Вероятность суммы двух событий. Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий
| Справочник по математике | Теория вероятностей и статистика | Теория вероятностей |
Содержание
| Вероятность суммы двух событий |
| Несовместные события |
| Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий |
Вероятность суммы двух событий
Пусть A и B – два произвольных события в случайном эксперименте с множеством элементарных исходов Ω .
Справедливо следующее утверждение.
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.
Другими словами, верна формула:
(1) |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим диаграммы Эйлера – Венна для суммы двух событий и произведения двух событий, разместив их на одном рисунке (рис.1).
| Событие A | Событие B |
| Событие A + B | Событие |
| Событие A |
| Событие B |
| Событие A + B |
| Событие |
Рис.1
Проведем доказательство утверждения 1 на примере геометрического определения вероятности.
Если площадь произвольной фигуры F обозначить символом S (F) , то из рисунка 1 легко установить справедливость равенства:
(2) |
которое словами можно выразить так: «Площадь фигуры A + B равна сумме площадей фигур A и B минус площадь фигуры ».
Если обе части равенства (2) разделить на число S (Ω) , то мы получим равенство
В силу геометрического определения вероятности справедливы формулы
с помощью которых равенство (3) преобразуется к виду (1), что и завершает доказательство утверждения 1.
Доказательство утверждения 1 для классического определения вероятности проводится аналогичным образом, и мы оставляем его читателю в качестве полезного упражнения.
Несовместные события
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Два события A и B называют несовместными, если они не пересекаются.
Другими словами, события A и B несовместны, если
ЗАМЕЧАНИЕ 1. События A и B несовместны в том, и только в том случае, если событие B является подмножеством события , то есть .
ЗАМЕЧАНИЕ 2. События A и B несовместны в том, и только в том случае, если событие A является подмножеством события , то есть .
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если события A и B несовместны, то вероятность их произведения равна нулю.
Другими словами, для несовместных событий A и B верна формула
ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если события A и B несовместны, то вероятность суммы событий A + B равна сумме вероятностей событий A и B .
Другими словами, для несовместных событий A и B верна формула
P (A + B) = P (A) + P (B)
Независимость двух событий.
Вероятность произведения двух независимых событийДва события A и B называют независимыми, если появление одного из этих событий никак не влияет на вероятность появления второго события.
ЗАМЕЧАНИЕ 5. Несовместные события и независимые события – это совершенно разные понятия, и их не следует путать.
Справедливо следующее утверждение.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
Другими словами, для двух независимых событий A и B верна формула
(4) |
Проиллюстрируем справедливость формулы (4) на примере.
ПРИМЕР 1. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая – в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число 3 , а на красной игральной кости выпадет число 4 .
РЕШЕНИЕ. Сформируем следующую таблицу, в которой записаны все 36 возможных вариантов пар чисел, выпадающих при подбрасывании двух игральных костей. Первая строка таблицы – это числа, выпавшие при бросании синей кости, а первый столбец таблицы – это числа, выпавшие при бросании красной кости. На пересечении строки и столбца указана пара чисел, выпавших на двух костях.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1, 1 | 1, 2 | 1, 3 | 1, 4 | 1, 5 | 1, 6 |
| 2 | 2, 1 | 2, 2 | 2, 3 | 2, 4 | 2, 5 | 2, 6 |
| 3 | 3, 1 | 3, 2 | 3, 3 | 3, 4 | 3, 5 | 3, 6 |
| 4 | 4, 1 | 4, 2 | 4, 3 | 4, 4 | 4, 5 | 4, 6 |
| 5 | 5, 1 | 5, 2 | 5, 3 | 5, 4 | 5, 5 | 5, 6 |
| 6 | 6, 1 | 6, 2 | 6, 3 | 6, 4 | 6, 5 | 6, 6 |
Благоприятным является только один исход, а именно, клетка с результатом 4, 3 , окрашенная в таблице желтым цветом.
Следовательно, вероятность события, состоящего в том, что на синей игральной кости выпадает число 3 , а на красной игральной кости выпадает число 4 , равна .
Теперь рассмотрим случайный эксперимент, описанный в примере 1, с другой стороны. Для этого обозначим буквой A случайное событие, состоящее в том, что на синей игральной кости выпадает число 3 , а буквой B — случайное событие, состоящее в том, что на красной игральной кости выпадает число 4 . События A и B являются независимыми событиями, а их вероятности равны:
Событие состоит в том, что на синей игральной кости выпадет число 3 , а на красной игральной кости выпадет число 4 . Поскольку,
то в рассматриваемом случайном эксперименте по подбрасыванию двух игральных костей формула (4) верна.
В заключение приведем ещё одну иллюстрацию применимости формулы для вероятности суммы двух событий и формулы для вероятности произведения двух независимых событий.
ПРИМЕР 2. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,9 . Второй стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8 . Найти вероятность того, что мишень будет поражена.
РЕШЕНИЕ. Обозначим буквой A случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает первый стрелок, а буквой B обозначим случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает второй стрелок. Тогда событие A + B означает, что мишень поражена, а событие означает, что в мишень попали оба стрелка. По условию
P (A) = 0,9 и P (B) = 0,8
а поскольку события A и B независимы, то в силу формулы (4)
Воспользовавшись формулой (1), находим
ОТВЕТ: 0,98
1.2.5. Независимые события
Рассмотрим определение независимости событий, которое отражает понятие реальной независимости несвязанных событий.
Определение. События называются Независимыми, Если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.
Пример 1.12. Предположим, что подбрасывают два игральных кубика независимо друг от друга. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел (N = 36):
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Рассмотрим два события.
Событие A = { число очков на первом кубике > 4 } состоит из всех пар пятой и шестой строк ( M = 12) и имеет вероятность
Событие B = { число очков на втором кубике < 4 } состоит из всех пар первых трех столбцов (N = 18 ) и имеет вероятность P(B) = . Очевидно, что эти события причинно не связаны друг с другом и Независимы в этом смысле.
Найдем Вероятность произведениЯ этих событий.
Событие AB состоит из шести пар выпадающих цифр (M = 6 )
{ (5,1) (5,2) (5,3) (6,1) (6,2) (6,3) }
И имеет вероятность P (AB)= . Очевидно, что выполняется равенство P(AB) = P(A) P(B). Оно отражает независимость событий A и B.
Определение. События A и B называются Независимыми, если выполняется равенство P(AB) = P(A) P(B) , (1.4)
Т. е. Вероятность произведения двух Независимых Событий равна Произведению Вероятностей этих событий. В противном случае события считают зависимыми.
Пример 1.13. (продолжение примера 1.12).
Рассмотрим событие C = {сумма очков равна 8}. Оно состоит из 5 пар
{(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)}
И имеет вероятность P(C)=.
Событие, которое получается как Произведение События A На событие C, состоит из пар {(5,3) (6,2)} и имеет вероятность
P(AC)=.
Так как P(AC) ¹ P(A) P(C) = = , то события A и C следует считать Зависимыми.
Свойство 6 . Вероятность Суммы двух НезависимыХ событий А и В рАвна Сумме вероятностей этих событий Минус произведение вероятности события А на вероятность события В, т. е.
P(A +В) = p(A) + Р(В) — P(A) p(В).
(***)
Примечания:
А) Формулы (*), (**), (***) позволяют вычислить вероятность суммы двух любых событий.
Б) Если требуется вычислить вероятность Суммы трех и более событий, то вычисление надо производить, введя замену переменных таким образом, чтобы поэтапно свести расчет к вычислению вероятности суммы двух событий.
Например, найти P(A +В +С + D ) = P ( R + K) =P(R )+ P(K ) – P(RK),
Где R=A +B, K = C + D. Тогда по формуле 1.3 находим
Р(R) =p( A +B ) = p(A) +P(B) – P(AB), P(K) = P(C + D) = P(C) + P(D) – P(CD), Значения которых надо подставить в исходную формулу.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Статистически независимые события — Глоссарий
- Проекты
- Публикации Развернуть или свернуть
- Темы Развернуть или свернуть
- Новости и обновления
- События
- Глоссарий
- О CSRC Развернуть или свернуть
Поиск
Сортировать по
Релевантность (наилучшее соответствие)Срок (A-Z)Срок (Z-A)
Пункты на странице 100200500Все
- Глоссарий
А | Б | С | Д | Е | Ф | г | ЧАС | я | Дж | К | л | М | Н | О | п | Вопрос | р | С | Т | U | В | Вт | Икс | Д | Z
Статистически независимые события
Определения:
Два события независимы, если возникновение одного события не влияет на шансы возникновения другого события.
Математическая формулировка независимости событий A и B представляет собой вероятность появления обоих событий A и B, равную произведению вероятностей событий A и B (т. е. P(A и B) = P(A)P( Б)).
Источник(и):
NIST SP 800-22 Ред. 1a
Независимость | Условная независимость
← предыдущее
следующее →
Пусть $A$ будет событием, состоящим в том, что завтра пойдет дождь, и предположим, что $P(A)=\frac{1}{3}$. Также предположим, что Я бросаю честную монету; пусть $B$ будет событием, когда выпадет хедз-ап. Имеем $P(B)=\frac{1}{2}$.
Теперь я спрашиваю вас, что такое $P(A|B)$? Каковы ваши предположения? Вы, наверное, догадались, что $P(A|B)=P(A)=\frac{1}{3}$.
Ты прав! Результат моего подбрасывания монеты не имеет ничего общего с завтрашней погодой.
Таким образом, независимо от того, произойдет $B$ или нет, вероятность $A$ не должна измениться. это пример
из двух независимых события . Два события независимы, если одно из них не несет никакой информации.
о другом. Теперь дадим формальное определение независимости.
Два события $A$ и $B$ независимы тогда и только тогда, когда $P(A \cap B)=P(A)P(B)$.
Теперь давайте сначала согласуем это определение с тем, что мы упоминали ранее, $P(A|B)=P(A)$. Если два события независимы, то $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, поэтому
| $P(A|B)$ | $ = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ |
| $= \frac{P(A)P(B)}{P(B)}$ | |
| $=П(А)$. |
Таким образом, если два события $A$ и $B$ независимы и $P(B)\neq 0$, то $P(A|B)=P(A)$. Обобщить,
мы можем сказать: «независимость означает, что мы можем умножать вероятности событий, чтобы получить
вероятность их пересечения», или, что то же самое, «независимость означает, что условная вероятность
одного события при данном другом совпадает с исходной (априорной) вероятностью».
Иногда независимость двух событий совершенно очевидна, потому что кажется, что эти два события не имеют любое физическое взаимодействие друг с другом (например, два события, описанные выше). В другие времена, это не так очевидно, и нам нужно проверить, удовлетворяют ли они условию независимости. Давайте посмотрим на пример.
Пример
Я выбираю случайное число из $\{1,2,3,\cdots,10\}$ и называю его $N$. Предположим, что все исходы с равной вероятностью. Пусть $A$ — событие, когда $N$ меньше $7$, а $B$ — событие, когда $N$ является четным числом. Являются ли $A$ и $B$ независимыми?
- Решение
У нас есть $A=\{1,2,3,4,5,6\}$, $B=\{2,4,6,8,10\}$ и $A\cap B=\{ 2,4,6\}$. Затем $$P(A) =0,6,$$ $$P(B)=0,5,$$ $$P(A\cap B)=0,3$$ Следовательно, $P(A \cap B)=P(A)P(B)$, поэтому $A$ и $B$ независимы. Это означает, что зная то, что произошло $B$, не меняет нашего мнения о вероятности $A$. В этом Проблема в том, что два события имеют примерно одно и то же случайное число, но они все еще независимы.
Определение независимости можно распространить на случай трех и более событий.
Три события $A$, $B$ и $C$ независимы, если выполняются все следующих условий $$P(A \cap B)=P(A)P(B),$$ $$P(A \cap C)=P(A)P(C),$$ $$P(B \cap C)=P(B)P(C),$$ $$P(A \cap B \cap C)=P(A)P(B)P(C).$$
Обратите внимание, что все четыре из указанных условий должны выполняться, чтобы три события были независимыми.
В частности, можно встретить ситуации, в которых три из них выполняются, а четвертое нет.
В общем случае, чтобы $n$ событий $A_1, A_2,\cdots,A_n$ были независимыми, необходимо, чтобы
$$P(A_i \cap A_j)=P(A_i)P(A_j), \textrm{ для всех различных } i,j \in \{1,2,\cdots,n\};$$
$$P(A_i \cap A_j \cap A_k)=P(A_i)P(A_j)P(A_k), \textrm{ для всех различных } i,j,k \in \{1,2,\cdots,n \};$$
$$\hspace{50pt} . \hspace{50pt} .$$
$$\hspace{50pt} . \hspace{50pt} .$$
$$\hspace{50pt} . \hspace{50pt} .$$
$$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cdots \cap A_n)=P(A_1)P(A_2)P(A_3) \cdots P(A_n).
$$
Это может показаться сложным определением, но обычно мы можем утверждать, что события независимы. гораздо проще. Например, мы могли бы оправдать независимость, взглянув на то, как проводится случайный эксперимент. Простой пример независимого события — подбрасывание монеты. неоднократно. В таком эксперименте результаты любого подмножества подбрасываний монеты не имеют никакого значения. на других.
Пример
Я подбрасываю монету несколько раз, пока не увижу первую решку, на которой я останавливаюсь. Пусть $X$ будет общее количество подбрасываний монеты. Найдите $P(X=5)$.
Обсуждение: Некоторые находят более понятным, если посмотреть на проблему следующим образом.
Я никогда не перестаю бросать монету. Таким образом, результатом этого эксперимента всегда является бесконечная последовательность орлов.
или хвосты. Значение $X$ (которое нас интересует) есть просто функция начальной части
последовательность, пока не увидите решку.
Если вы думаете о проблеме таким образом, вам не следует беспокоиться о
время остановки. Для этой задачи концептуально это может не иметь большого значения, но для некоторых подобных
проблемы такой способ мышления может быть полезным. 96}$ на основе
по имеющейся статистике. Предположим, что разные полеты независимы. Если бизнесмен летает за $20$
в год, какова вероятность того, что он погибнет в авиакатастрофе в течение следующих $20$ лет? (Давайте
предположим, что он не умрет по другой причине в течение следующих $20$ лет.)
Внимание! Одной из распространенных ошибок является путаница с независимостью и с непересекающимся . Эти
это совершенно разные понятия. Когда два события $A$ и $B$ не пересекаются, это означает, что если одно из
один из них встречается, другой не может возникнуть, т. е. $A\cap B=\emptyset$. Таким образом, событие $A$ обычно дает
много информации о событии $B$, что означает, что они не могут быть независимыми. Сделаем это точным.
Лемма
. Рассмотрим два события $A$ и $B$, причем $P(A)\neq 0$ и $P(B)\neq 0$. Если $A$ и $B$ не пересекаются, тогда они , а не независимы.
Доказательство
Поскольку $A$ и $B$ не пересекаются, имеем $$P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B).$$ Таким образом, $A$ и $B$ не являются независимыми. $\quad\square$
Таблица 1.1 суммирует две концепции непересекаемости и независимости.
| Концепция | Значение | Формулы |
| Непересекающийся | $A$ и $B$ не могут произойти одновременно | $A \cap B=\emptyset, $ $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ |
| Независимый | $A$ не дает никакой информации о $B$ | $P(A|B)=P(A), P(B|A)=P(B)$ $P(A \cap B)=P(A)P(B)$ |
Таблица 1.1: Различия между дизъюнктностью и независимостью.
Пример (Аналогичная задача приведена в [6])
Два баскетболиста играют в игру, в которой они по очереди бросают баскетбольный мяч в кольцо. Первый тот, кто забьет корзину, побеждает в игре. На каждый выстрел Игрок 1 (тот, кто стреляет первым) имеет вероятность $p_1$ успеха, в то время как у Игрока 2 есть вероятность $p_2$ успеха (предположим, что $0
- Найдите $P(W_1)$, вероятность того, что Игрок 1 выиграет игру.
- При каких значениях $p_1$ и $p_2$ это честная игра, т. е. каждый игрок имеет $50$-процентный шанс на победу в игре?
- Решение
В этой игре событие $W_1$ может произойти по-разному. Мы рассчитываем вероятность каждого из этих способов, а затем сложить их, чтобы найти общую вероятность выигрыша. В частности, Игрок 1 может выиграть своим первым броском, вторым броском и так далее. Определите $A_i$ как событие, которое Игрок 1 выигрывает при $i$-ом броске.
