Факториалы формулы: Факториал — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

нахождение факториала натурального числа, примеры решения задач

Содержание:

Определение факториала
Формула факториала
Примеры задач с решениями
Задания для самостоятельной работы

Содержание

Определение факториала
Формула факториала
Примеры задач с решениями
Задания для самостоятельной работы

Определение факториала

Факториал — это математическая функция, которая применяется к положительным целым числам, равная произведению всех натуральных чисел от единицы до вычисляемого числа. nk.\)
Факториал применяется в различных разделах математики, но активно он используется, когда речь заходит о комбинациях, перестановках, теории чисел, комбинаторике, математическом анализе и так далее.
В комбинаторике факториал числа n обозначает количество перестановок множества из n элементов.
Формула факториала
Из определения факториала следует формула:
Важно 3

$(n\;-\;1)!\;=\;\frac{n!}n.$

Расшифровав формулу, можно сделать вывод, что если мы знаем факториал числа, то можно найти факториал предыдущего числа путем деления значения факториала на само число.

Также из формулы следует, что при n=1 факториал 0!=1.

Примеры задач с решениями
Задача 1
В комнате стоит стол, вокруг которого стоят четыре стула. В комнату заходят четыре человека. Вычислите количество вариантов для рассаживания четырех человек вокруг стола.
Решение: так как количество стульев и людей совпадают, мы можем вычислить количество вариантов с помощью факториала.
$n\;=\;4,\\4!\;=\;1\cdot2\cdot3\cdot4\;=\;24$
Ответ: всего 24 варианта рассаживания четырех человек.
Задача 2
Вычислите $\frac{3!-2!}4.$
Решение:
$\frac{2!\cdot(3-1)}4=\frac{2!\cdot2}4=\frac44=1.$

Ответ: 1.
Задача 3
В расписании 11 класса на понедельник должно быть 5 предметов: алгебра, русский язык, литература, физика и геометрия. Сколько существует способов для составления расписания на этот день?
Решение:
$n\;=\;5,\\5!\;=\;1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\;=\;120.$
Ответ: 120 способов.
Задача 4
Сколько существует способов для составления указанного выше расписания из тех же 5 предметов, если требуется, чтобы урок геометрии был последним?
Решение:
\(n\;=\;4,\\4!\;=\;1\cdot2\cdot3\cdot4\;=\;24. {n}k}.
Например,
5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.
Для n=0{\displaystyle n=0} принимается в качестве соглашения, что
0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
12 479001600
13 6227020800^[1]
14 87178291200^[2]
15 1307674368000^[3]
16 20922789888000^[4]
17 355687428096000^[5]
18 6402373705728000^[6]
19 121645100408832000^[7]
20 2432902008176640000^[8]
25 15511210043330985984000000^[9]
50 30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000^[10]
70 11978571
669969891796072783721689098736458938142546^[11]
100 ≈9,332621544⋅10¹⁵⁷
450 ≈1,733368733⋅10¹⁰⁰⁰
1000 ≈4,023872601⋅10²⁵⁶⁷
3249 ≈6,412337688⋅10¹⁰⁰⁰⁰
10000 ≈2,846259681⋅10³⁵⁶⁵⁹
25206 ≈1,205703438⋅10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000 ≈2,824229408⋅10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023 ≈2,503898932⋅10^1000004
1000000 ≈8,263931688⋅10^5565708

10¹⁰⁰ ≈10^{9,956570552⋅10¹⁰¹}
10¹⁰⁰⁰ ≈10^10¹⁰⁰³
10^10 000 ≈10^{10^10 004}
10^100 000 ≈10^{10^100 005}
10^10¹⁰⁰ ≈10^{10^10¹⁰⁰}
Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др. {n}}}.
Содержание
1 Свойства
1.1 Рекуррентная формула
1.2 Комбинаторная интерпретация
1.3 Связь с гамма-функцией
1.4 Формула Стирлинга
1.5 Разложение на простые множители
1.6 Связь с производной от степенной функции

1.7 Другие свойства
2 История
3 Обобщения
3.1 Двойной факториал
3.2 Кратный факториал
3.3 Неполный факториал
3.3.1 Убывающий факториал
3.3.2 Возрастающий факториал
3.4 Праймориал или примориал
3.5 Фибонориал или фибоначчиал
3.6 Суперфакториалы
3.7 Субфакториал
4 См. также
5 Примечания

Свойства
Рекуррентная формула
Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулой:
n!={1n=0,n⋅(n−1)!n>0.{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}
Комбинаторная интерпретация
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. {m}={\frac {n!}{(n-m)!}}}
при n=m{\displaystyle n=m} обращается в формулу для числа перестановок из n{\displaystyle n} элементов (порядка n{\displaystyle n}), которое равно n!{\displaystyle n!}.

Связь с гамма-функцией
Основная статья: Гамма-функция
Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением
n!=Γ(n+1){\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}.
Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при n=−1,−2,−3…{\displaystyle n=-1,-2,-3\ldots }.
Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция Π(z)=Γ(z+1){\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}, которая при Re(z)>−1{\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1} может быть определена как

Π(z)=∫0∞tze−tdt{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t} (интегральное определение). {n}\geqslant n!\geqslant n}
Для любого n>1{\displaystyle n>1}:
n!{\displaystyle n!} не является квадратом целого числа;
Для любого n>4{\displaystyle n>4}:
n!{\displaystyle n!} оканчивается на 0;
Для любого n>9{\displaystyle n>9}:
n!{\displaystyle n!} оканчивается на 00.
Если n{\displaystyle n} простое число:
(n−1)!+1{\displaystyle (n-1)!+1} делится на n{\displaystyle n} (теорема Вильсона)

История
Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение n!{\displaystyle n!} предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году^[13]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} была неопределённая константа)^[14]. {(n+k)-1}i.}
Праймориал или примориал
Основная статья: Праймориал
Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,
p5#=2×3×5×7×11=2310{\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}.
Иногда праймориалом называют число n#{\displaystyle n\#}, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.
Последовательность праймориалов (включая 1#≡1{\displaystyle {\textstyle {1\#\equiv 1}}}) начинается так^[19]:
1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, …
Фибонориал или фибоначчиал
Произведение нескольких первых чисел Фибоначчи. {1}.}
Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так^[20]:
1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 790 267 296 391 960 000 000 000 000 000 000, 127 313 963 299 399 430 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …
Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так^[21]:
1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть
mf⁡(n,m)=mf⁡(n−1,m)mf⁡(n,m−1)=∏k=1nk(n−k+m−1n−k),{\displaystyle \operatorname {mf} (n,m)=\operatorname {mf} (n-1,m)\operatorname {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k},}
где mf⁡(n,0)=n{\displaystyle \operatorname {mf} (n,0)=n} для n>0{\displaystyle n>0} и mf⁡(0,m)=1. {\displaystyle \operatorname {mf} (0,m)=1.}
Субфакториал
Основная статья: Субфакториал
Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.
См. также
В Викисловаре есть статья «факториал»
Имеется викиучебник по теме «Реализации алгоритмов/Факториал»
Факторион
Примечания
↑ Шесть миллиардов двести двадцать семь миллионов двадцать тысяч восемьсот
↑ Восемьдесят семь миллиардов сто семьдесят восемь миллионов двести девяносто одна тысяча двести
↑ Один триллион триста семь миллиардов шестьсот семьдесят четыре миллиона триста шестьдесят восемь тысяч
↑ Двадцать триллионов девятьсот двадцать два миллиарда семьсот восемьдесят девять миллионов восемьсот восемьдесят восемь тысяч
↑ Триста пятьдесят пять триллионов шестьсот восемьдесят семь миллиардов четыреста двадцать восемь миллионов девяносто шесть тысяч
↑ Шесть квадриллионов четыреста два триллиона триста семьдесят три миллиарда семьсот пять миллионов семьсот двадцать восемь тысяч
↑ Сто двадцать один квадриллион шестьсот сорок пять триллионов сто миллиардов четыреста восемь миллионов восемьсот тридцать две тысячи
↑ Два квинтиллиона четыреста тридцать два квадриллиона девятьсот два триллиона восемь миллиардов сто семьдесят шесть миллионов шестьсот сорок тысяч
↑ Пятнадцать септиллионов пятьсот одиннадцать секстиллионов двести десять квинтиллионов сорок три квадриллиона триста тридцать триллионов девятьсот восемьдесят пять миллиардов девятьсот восемьдесят четыре миллиона
↑ Тридцать вигинтиллионов четыреста четырнадцать новемдециллионов девяносто три октодециллиона двести один септдециллион семьсот тринадцать седециллионов триста семьдесят восемь квиндециллионов сорок три кваттуордециллиона шестьсот двенадцать тредециллионов шестьсот восемь додециллионов сто шестьдесят шесть ундециллионов шестьдесят четыре дециллиона семьсот шестьдесят восемь нониллионов восемьсот сорок четыре октиллиона триста семьдесят семь септиллионов шестьсот сорок один секстиллион пятьсот шестьдесят восемь квинтиллионов девятьсот шестьдесят квадриллионов пятьсот двенадцать триллионов
↑ Одиннадцать дуотригинтиллионов девятьсот семьдесят восемь антригинтиллионов пятьсот семьдесят один тригинтиллион шестьсот шестьдесят девять новемвигинтиллионов девятьсот шестьдесят девять октовигинтиллионов восемьсот девяносто один септемвигинтиллион семьсот девяносто шесть сексвигинтиллионов семьдесят два квинвигинтиллиона семьсот восемьдесят три кватторвигинтиллиона семьсот двадцать один тревигинтиллион шестьсот восемьдесят девять дуовигинтиллионов девяносто восемь анвигинтиллионов семьсот тридцать шесть вигинтиллионов четыреста пятьдесят восемь новемдециллионов девятьсот тридцать восемь октодециллионов сто сорок два септдециллиона пятьсот сорок шесть седециллионов четыреста двадцать пять квиндециллионов восемьсот пятьдесят семь кваттуордециллионов пятьсот пятьдесят пять тредециллионов триста шестьдесят два додециллиона восемьсот шестьдесят четыре ундециллиона шестьсот двадцать восемь дециллионов девять нониллионов пятьсот восемьдесят два октиллиона семьсот восемьдесят девять септиллионов восемьсот сорок пять секстиллионов триста девятнадцать квинтиллионов шестьсот восемьдесят квадриллионов
↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
↑ Крамп, Кристиан (неопр. ). Дата обращения: 19 сентября 2016. Архивировано 19 сентября 2016 года.
↑ Pearson, Karl (1924), Historical note on the origin of the normal curve of errors, Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403], DOI 10.2307/2331714 : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}. Я считаю, что это не делает его автором теоремы»
↑ Дональд Кнут. Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976. — С. 79—81. — 736 с.
↑ Последовательность A006882 в OEIS
↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
↑ wolframalpha.com Архивная копия от 1 ноября 2013 на Wayback Machine.
↑ Последовательность A002110 в OEIS
↑ Последовательность A000178 в OEIS
↑ Последовательность A055462 в OEIS
Упрощение формулы с факториалами. : Чулан (М)
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

ARMICRON
Упрощение формулы с факториалами.
22.06.2008, 21:15
18/03/08
18
Никак не пойму преобразования.
http://img58.**invalid link**/my. php?image=mathmk8.png
Сначала расписал факториалы, затем сократил и вынес N, N сократилось, а в знаменателе получилось (1-(n-1)/N)*…*N. Не пойму в чём дело.


Brukvalub

22.06.2008, 21:18
Заслуженный участник
01/03/06
13626
Москва
Лень, да и опасно лезть на всякие файлообменные помойки. ..


PAV

22.06.2008, 21:22
Супермодератор
29/07/05
8248
Москва
! PAV:
ARMICRON, картинки в качестве замен формул не допускаются правилами форума. Запишите формулы в сообщении, не забывая использовать нотацию TeX.


ARMICRON

22.06.2008, 21:25

18/03/08
18
Застрял пока на первом преобразовании.


Cervix

22.06.2008, 21:33

21/06/08
67
А в чем собственно проблема? Все написано правильно — делайте преобрования последовательно и напишите, что вызывает трудности.


ewert
Re: Упрощение формулы с факториалами.
22.06.2008, 21:43
Заслуженный участник
11/05/08
32104
ARMICRON писал(а):
Сначала расписал факториалы, затем сократил и вынес N, N сократилось, а в знаменателе получилось (1-(n-1)/N)*. ..*N. Не пойму в чём дело.
Откуда последний-то ? если к-во остающихся вверху и внизу скобок одинаково.
Возможно, сбивает с толку то, что фактическое к-во сомножителей в знаменателе после сокращения на единицу меньше; но это просто потому, что один из сомножителей там оказывается равным 1.


ARMICRON

22.06.2008, 22:04
18/03/08
18
разве неправильно?
я никак не пойму где я ошибся, если кто-нибудь объяснит как так сократили, то дальше я сам смогу


ewert

22. 06.2008, 22:21
Заслуженный участник
11/05/08
32104
ARMICRON писал(а):
разве неправильно?
я никак не пойму где я ошибся, если кто-нибудь объяснит как так сократили, то дальше я сам смогу
Сейчас — всё правильно. И вверху, и внизу ровно по сомножителей. После вынесения за скобки и их сокращения все сомножители будут порядка единицы.


Cervix

22. 06.2008, 22:22
21/06/08
67
Правильно, теперь все делится на и получается так, как надо.


Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию
Страница 1 из 1
[ Сообщений: 9 ]
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
n k$$
Я не знаю, так ли работают продукты, но мне бы очень хотелось знать!
Итак, мой вопрос: почему нет явной формулы (в терминах n, отличной от n(n-1). ..2*1) для произведения первых n целых чисел? Есть ли доказательство того, что что-то не может существовать, или что оно не было открыто ?
Под явной формулой я подразумеваю нефункциональное уравнение, которое не требует n шагов для вычисления — точно так же, как формула суммирования не требует n сложений. 9n}{k!\,(n — k)!}=1$
$\endgroup$
$\begingroup$
Эти две формулы дают n! Это было обнаружено Эйлером. Ссылка на эту ссылку для дальнейшего чтения. http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2007-09.pdf
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Если я не ошибаюсь, Манджул Бхаргава обобщил функцию факториала, включив в нее такие числа, как (пи)! и (2+√3)!
$\endgroup$
4
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Вероятность и статистика Факториалы и перестановки
Допустим, у нас есть две книги: Одиссея и Илиада . Вероятно, у нас должно быть больше книг, но если у нас будет только две, то лучше две. Есть два возможных способа расположить эти книги на полке. У нас может быть любой из этих заказов:
Одиссея, Илиада
Илиада, Одиссея
Теперь добавим на полку третью книгу. Мы подумываем добавить что-нибудь от Джона Гришэма, но потом решаем, что сейчас не время объявлять миру об этом особом порочном удовольствии. Мы идем с Беовульф вместо него. Для каждого из двух приведенных выше порядков есть три места, куда мы могли бы добавить Беовульфа. Мы могли бы добавить его в начало полки, в середину или в конец:
Беовульф , Одиссея, Илиада
Одиссея, Беовульф , Илиада
Одиссея, Илиада, Беовульф
Беовульф , Илиада, Одиссея
Илиада, Беовульф , Одиссея
Илиада, Одиссея, Беовульф
Количество способов заказать три книги в три раза больше количества способов заказать две книги: то есть 3 × 2 = 6.
Теперь добавим на полку Гамлет . Нашему правому полушарию это нравится, но это ужасно усложняет жизнь нашему левому полушарию. Сколько сейчас способов заказать эти четыре книги? Краткий ответ: много. Если у нас уже есть три книги на полке, есть четыре места, где можно добавить «Гамлета»: в начало, между первой и второй книгами, между второй и третьей книгами или в конец.
Вот все возможные заказы:
Гамлет , Беовульф, Одиссея, Илиада
Беовульф, Гамлет , Одиссея, Илиада
Беовульф, Одиссея, Беовульф Гамлет Odyssey, Iliad, Hamlet
Гамлет , Одиссея, Беовульф, Илиада
Одиссея, ДАМИЯ , БЕВОЛФ, ИЛИАД
, БЕВИЛИ, БЕВИЛИ, БЕУЛИ, БЕУЛИ, БЕУЛИ, БЕУЛИ, БЕУЛИ, БЕУЛИ,
. , Илиада, Гамлет
Гамлет , Odyssey, The Iliad, Beowulf
The Odyssey, Hamlet , ILIAD, BeoWulf
The Odyssey, ILIAD, 4445,
, . Гамлет
Гамлет , Беовульф, Илиада, Одиссея
БЕВУЛЬФ, Деревня , Илиада,
Beowulf, ILIAD, 40145, odyssey.
Гамлет , Iliad, Beowulf, Odyssey
The Iliad, Гамлет , Beowulf, The Odyssey
The Iliad, Beowulf, Diamle
Гамлет , Iliad, The Odyssey, Beowulf
The Iliad, Hamlet , Odyssey, Beowulf
The Iliad, The Odyssey, Hamlet , Beowul0005
Количество способов заказать 4 книги равно
4 × (количество способов заказать 3 книги) = 4 × 3 × 2.
По мере добавления на полку новых и новых книг количество способов заказа книги становятся все больше и больше. Угу. Нам не нужно было бы иметь дело с этим, если бы у нас был Kindle.
В любом случае, если есть 5 книг, количество возможных заказов равно
5 × 4 × 3 × 2 × 1. (Умножение на 1 ничего не меняет).
Если имеется n книг, количество возможных заказов равно
n × ( n – 1) × . .. × 3 × 2 × 1.
Произведение всех чисел от n до 1 или от 1 до n . Причудливое математическое имя для этого произведения — факториал , а причудливый символ — восклицательный знак. Нам нравится думать, что этот символ — восклицательный знак, потому что эта математическая операция настолько захватывающая!
n факториал определяется
n ! = n × ( n – 1) × … × 3 × 2 × 1.
Например, 3! = 3 × 2 × 1 и 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
Мы говорим, что 0! = 1. В этом есть смысл, потому что если у вас нет книг, есть только один порядок, в котором вы можете поставить их на полку. Правда, и тоже немного удручает.
Как вы понимаете, факториалы очень быстро становятся большими. Так же, как вы и ваши братья и сестры в глазах ваших родителей. Ой, куда ушли годы?
Прежде чем мы двинемся дальше, вот изящный трюк с факториалом. Если мы разделим один факториал на другой, многое сократится. Например,
Причудливое математическое слово для обозначения порядка (да, есть причудливое математическое слово для обозначения практически всего) перестановка . Если ваш парикмахер напортачил по-королевски, вы можете вернуться и пожаловаться на свою мутацию химической завивки, но мы говорим совсем о другом. Но извините за ваши волосы. Похоже, вас вырвало из 80-х.
Есть две перестановки Одиссея и Илиада . Одна перестановка
Одиссея, Илиада
и другая перестановка
Илиада, Одиссея.
Вот еще один способ думать о перестановках, который очень скоро может оказаться полезным. Намек, намек, подмигнуть, подмигнуть. Мы хотим заказать 3 книги на полке, поэтому у нас должно быть 3 места на полке:
Есть три варианта книг для первого места:
Как только мы заполним первое место, у нас будет две книги. осталось поставить на полку. Есть два варианта для среднего места:
Есть только один вариант для последнего места, так как есть только одна книга, которую мы еще не поставили на полку:
Если мы перемножим эти числа вместе, мы найдем количество перестановок (порядков) книг :
Чтобы было немного интереснее, что, если у нас слишком много книг для места на полке? Что, если у нас есть 4 книги, но место только для 3? Помимо смены плотника, который построил нам самый маленький в мире книжный шкаф, какие у нас есть варианты?
Теперь есть 4 варианта для первого места:
После заполнения первого места остается 3 варианта для второго места:
и два варианта для третьего места:
Мы перемножаем эти числа, чтобы получить окончательный ответ. Есть
способов заказать 3 книги, когда у нас есть 4 книги на выбор.
Что, если у нас есть 8 книг, но место только для 5? Понятно, что нашему плотнику еще не доходит, но кроме того… что мы знаем?
Возможны
перестановок. С помощью удобного трюка с факториалом мы знаем, что
Если вы нам не верите, попробуйте найти выражение в левой части уравнения. Если вы делаете слепо верите нам, что бы мы ни говорили, тогда… не забывайте о тех 100 долларах, которые вы нам должны.
Конечно, для этого есть формула. Если у нас есть n вещей на выбор и r мест для заполнения, число возможных перестановок равно:
Если у нас есть 8 книг и 5 мест, n = 8 и r = 5, поэтому формула говорит, что количество перестановок должно быть
, что согласуется с тем, что мы нашли ранее. Просто один из факторов жизни.
Число ( n – r ) – это количество объектов, которые у нас останутся после того, как мы заполним все доступные места. Кроме того, n ! число перестановок, если мы используем все n объектов; деление на ( n – r )! учитывает пробелы, которые мы не можем заполнить, потому что у нас их нет с самого начала. Однако мы должны получить их в любой день. У Amazon они есть в резерве.
Мы сокращаем «число возможных перестановок с n объектов и r мест» в символах
.
Нет, мы не будем афишировать Национальное общественное радио. Хотя, возможно, все было бы не так уж плохо, если бы мы были такими, учитывая все обстоятельства.
Сначала идет n , потому что мы начинаем с n объектов. Затем переставляем (сокращенно буквой P ), используя r места. Другими словами, мы можем использовать формулу, которая у нас была ранее:
.
Пример задачи
Что такое ₇ P ₅ ?
Время перевода: ₇ P ₅ означает «количество возможных перестановок с 7 объектами и 5 пробелами». Здесь n = 7 и r = 5, поэтому
До сих пор мы рассматривали перестановки без замены или без повторения . До сих пор мы рассматривали перестановки без замены или без повторения . Подождите… мы уже это говорили?
Когда мы помещаем объект в пространство, у нас остается меньше объектов для выбора в следующем пространстве. Мы не стали бы ставить Одиссея на книжную полку дважды, потому что у нас есть только один экземпляр Одиссея , и мы не можем его повторить. Нет у нас и копии современной обработки шедевра: Иду Гомер .
Существуют также перестановки с заменой или с повторением . Для этих перестановок это больше похоже на то, что вы смотрите на объект, кладете его обратно и снова смотрите на объект (который может быть таким же, как первый). Вместо того, чтобы выбрать новый объект, вы можете сделать двойной дубль. Однако если вы дважды возьмете книгу в книжном магазине, с вас будет взиматься двойная плата.
Мы могли бы посмотреть на Одиссея , положить его обратно, а затем посмотреть на Одиссея снова. Если у нас есть Одиссея и Илиада , и мы хотим посмотреть на книгу, положить ее обратно и посмотреть на другую книгу, есть четыре возможности:
Одиссея, Одиссея
Одиссея, Илиада
Илиада, Илиада
Илиада, Одиссея
У нас было две книги на выбор, мы выбрали две, и мы получили 4 = 2 ² перестановок.
Подводя итог, если у нас есть n объектов и мы выбираем r из них, с допустимым повторением, есть
n ^r возможных перестановок.
Факторный калькулятор | Определение | Формула
Математикам требовалось больше, чем просто четыре операции: узнайте , как знаки препинания вошли в вашу домашнюю работу , с помощью нашего факториального калькулятора . С помощью этого простого инструмента вы узнаете:
Что такое факториал числа ;
Как вычислить факториал числа;
Как связаны вероятности и факториалы ; и
Факториал , но для сложения .
И будет место для чего-то большего!
Что такое факториал числа?
Факториал числа — это произведение всех целых чисел, меньших и равных самому числу .
Факториалы время от времени появлялись в истории, с некоторыми ссылками на произведения последующих целых чисел в древности, в частности, связанными — более или менее косвенно — с вычислением комбинаций. Только в 15 9В 0491-м -м веке математики приступили к более подробному анализу оператора, с первыми таблицами и анализом свойств.
С тех пор факториал стал краеугольным камнем математики, особенно комбинаторики. Физика широко использует оператор, особенно в области статистической механики. По причинам, которые мы скоро обнаружим, ученые-компьютерщики используют этот оператор для объяснения определенного способа написания кода.
В начале XIX века математик Крамп ввел обозначение восклицательный знак для обозначения факториала, открывая ворота для множества плохих математических шуток!
Как вычислить факториал числа?
Чтобы вычислить факториал числа nnn, просто запишите целые числа, ведущие к nnn, и умножьте их:
n!=1⋅2⋅3⋅ ⁣. ⁣. ⁣. ⁣⋅(n ⁣− ⁣1)⋅nn! = 1\cdot2\cdot3\cdot\!.\!.\!.\!\cdot(n\!-\!1)\cdot nn!=1⋅2⋅3⋅…⋅(n−1) ⋅n
Это довольно просто, правда? Вычислим первые пять факториалов:
1!=12!=1⋅2=23!=1⋅2⋅3=64!=1⋅2⋅3⋅4=245!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120\begin{align* } 1! &= 1\\ 2! &= 1\cdot2 = 2\\ 3! &= 1\cdot2\cdot3=6\\ 4!&=1\cdot2\cdot3\cdot4=24\\ 5! &= 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120 \end{align*}1!2!3!4!5!=1=1⋅2=2=1⋅2⋅3=6=1⋅2⋅3⋅4=24=1⋅2⋅3⋅ 4⋅5=120
Теперь попробуем вычислить факториал… 787878. Попробуем сделать это вручную:
78!=78⋅77⋅76⋅75. ..=6,006⋅76⋅75 …=456 456⋅75…\begin{выравнивание*} 78! &= 78\cdot77\cdot76\cdot75…\\ &=6,006\cdot76\cdot75…\\ &=456 456\cdot 75… \конец{выравнивание*} 78!=78⋅77⋅76⋅75…=6,006⋅76⋅75…=456,456⋅75…
Хорошо, слишком большой. Введите 787878 в наш… калькулятор восклицательных знаков! 😉
78! ⁣= ⁣11,324,281,178,206,297,831,457,521,158,732,046,228,731,749,579,488,251,990,048,962,825,668,835,325,234,200,766,245,086,213,177,344,000,000,000,000,000,000\begin{align*} 78!\!&=\!11 324 281 178 206 297,\\ &831,457,521,158,732,046,\\ &228,731,749,579,488,251,\\ &990,048,962,825,668,835,\\ &325 234 200 766 245 086,\\ &213,177,344,000,000,000,\\ &000,000,000 \end{align*}78!=11 324 281 178 206,297,831,457,521,158,732,046,228,731,749,579,488,251,990,048,962,825,668,835,325,234,200,766,245,086,213,177,344,000,000,000,000,000,000
Damn! Это огромное число. Факториал ведет себя так: быстро взрывает , и вычислять его становится все труднее и труднее. При расчетах лучше держать их не развернутыми, либо только в той мере, в какой вам необходимо выполнить некоторые необходимые упрощения.
Вы видели длинную серию нулей в конце 78!78!78!? Мы называем их * конечные нули , и они являются результатом умножения на 101010 , а иногда и на его простые множители 222 (только при умножении 555) и 555 (только при умножении четных чисел ). Обратите внимание, что второе условие автоматически влечет за собой первое.
Факториалы имеют хорошее свойство для широкого применения:
n!=(n−1)!⋅n=(n−2)!⋅(n−1)⋅n\begin{align*} н! &= (n-1)!\cdot n \\ &= (n-2)!\cdot(n-1)\cdot n \end{align*}n!=(n−1)!⋅n=(n−2)!⋅(n−1)⋅n
И так далее. Помимо того, что это свойство является фундаментальным в физике из-за множества возможных приближений, когда факториалы появляются в дробях, это свойство ценится учеными-компьютерщиками, поскольку оно является прекрасным примером рекурсии.
Если вы скажете своему компьютеру умножить число на то же число минус 111 и для этого дать в качестве аргумента той же операции то же число минус 111 и остановиться, когда число минус 111 равно 111, вы быстро вычислить факториал числа. В псевдокоде это будет выглядеть так:
function factorial(n):if n==0return 1return n×factorial(n−1)\footnotesize \начать{выравнивать*} &\textcolor{red}{\text{function}}\ \textcolor{blue}{\text{factorial}}(\text{n}):\\ &\qquad\textcolor{черный}{\text{if}}\ \textcolor{черный}{\text{n==0}}\\ &\qquad\qquad \textcolor{green}{\text{return}}\ 1\\ &\qquad \textcolor{green}{\text{return}}\ \textcolor{black}{\text{n}\times}\textcolor{blue}{\text{factorial}}(n-1) \end{align*}function factorial(n):if n==0return 1return n×factorial(n−1)
Очевидно, функция возвращает n!n!n!.
Чему равен факториал 0?
Факториал числа 000 сложен. Возьмите определение факториала и примените его к этому числу:
0!=?0! = ?0!=?
Да, он немного сломан. Мы используем следующее соглашение:
0!=10! =10!=1
В следующем разделе мы увидим, почему это имеет смысл!
Применение формулы факториала
Формула факториала имеет точную интерпретацию как количество возможных способов упорядочить набор из nnn объектов ( перестановка ). i}{i!} \end{align*}ex=1+1x+2×2+6×3+…=i=0∑∞i!xi
Факториал, но для сложения
Как насчет сложения? Нельзя ли определить оператор, аналогичный факториалу, но для суммы последующих чисел, а не для умножения?
Ответ да : он также получил неофициальное название от известного компьютерного ученого Дональда Кнута . Термальный оператор , применяемый к числу nnn, определяется как сумма всех положительных целых чисел, ведущих к nnn. Мы можем (по иронии судьбы) отметить его цифрой 9.0144 вопросительный знак :
n? ⁣= ⁣1+2+3+ ⁣. ⁣. ⁣. ⁣+(n ⁣− ⁣1)+nn?\! знак равно 1+2+3+\!.\!.\!.\!+(n\!-\!1)+nn?=1+2+3+…+(n−1)+n
Термиал числа имеет не так много применений, как факториал. Однако аналогичная концепция возникает, когда речь идет о треугольных числах : последовательность этих конкретных чисел (чисел, которые вы можете поместить в равносторонний треугольник) следует за терминалом:
T1=1T2=1+2=3T3=1+2+ 3=6T4=1+2+3+4=10T5=1+2+3+4+5=15\begin{выравнивание*} T_1 &= 1\\ T_2 &= 1+2 = 3\\ T_3 &= 1+2+3=6\\ T_4&=1+2+3+4=10\\ T_5 &= 1+2+3+4+5=15 \end{align*}T1T2T3T4T5=1=1+2=3=1+2+3=6=1+2+3+4=10=1+2+3+ 4+5=15
Первые 101010 номеров терминалов:
1,3,6,10,15,21,28,36,45,551, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 551,3,6 ,10,15,21,28,36,45,55
Как вычислить факториал числа, не сойдя с ума: приближение Стирлинга
Вычисление факториала с использованием дискретных целых чисел может быть утомительным, а результирующая функция трудно построить — и даже представить.
No related posts.