Формула а в с в квадрате: Формулы сокращённого умножения

Содержание

Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, квадрат суммы, разность кубов, бином Ньютона.


Откровенно говоря, эти формулы должен помнить любой ученик седьмого класса. Изучать алгебру даже на школьном уровне и не знать формулу разности квадратов или квадрата суммы просто невозможно. Они постоянно встречаются при упрощении алгебраических выражений, при сокращении дробей и даже могут помочь в арифметических вычислениях. Ну, например, вам нужно вычислить в уме: 3,162 — 2 • 3,16 • 1,16 + 1,162. Если вы начнете считать это «в лоб», получится долго и скучно, а если воспользуетесь формулой квадрата разности, ответ получите за 2 секунды!

Итак, семь формул «школьной» алгебры, которые должны знать все:


Название Формула
Квадрат суммы (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Квадрат разности (A — B)2 = A2 — 2AB + B2
Разность квадратов (A — B)(A + B) = A2 — B2
Куб суммы (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2+ B3
Куб разности (A — B)3 = A3 — 3A2B + 3AB2 — B3
Сумма кубов A3 + B3 = (A + B)(A2 — AB + B2)
Разность кубов A3 — B3 = (A — B)(A2 + AB + B2)

Версия для печати в формате png

Обратите внимание: никакой формулы суммы квадратов не существует! Не позволяйте своей фантазии заходить слишком далеко.

Как проще всего запомнить все эти формулы? Ну, скажем, увидеть определенные аналогии. Например, формула квадрата суммы похожа на формулу квадрата разности (отличие лишь в одном знаке), а формула куба суммы — на формулу куба разности. Далее, в составе формул разности кубов и суммы кубов мы видим нечто похожее на квадрат суммы и квадрат разности (только коэффициента 2 не хватает).

Но лучше всего эти формулы (как и любые другие!) запоминаются на практике. Решайте больше примеров на упрощение алгебраических выражений, и все ф-лы запомнятся сами собой.

Любознательным школьникам будет, вероятно, интересно обобщить приведенные факты. Вот, скажем, существуют формулы квадрата и куба суммы. А что, если рассмотреть выражения типа (A + B)4, (A + B)5 и даже (A + B)n, где n — произвольное натуральное число? Можно ли увидеть здесь какую — либо закономерность?

Да, подобная закономерность существует. Выражение вида (A + B)n называется биномом Ньютона. Я рекомендую пытливым школьникам самим вывести формулы для (A + B)4 и (A + B)5, а далее попытаться увидеть общий закон: сравнить, например, степень соответствующего бинома и степень каждого из слагаемых, которые получаются при раскрытии скобок; сравнить степень бинома с количеством слагаемых; попытаться найти закономерности в коэффициентах. Мы не будем сейчас углубляться в эту тему (для этого нужен отдельный разговор!), а лишь запишем готовый результат:

(A + B)n = An + Cn1An-1B + Cn2An-2B2 + … + CnkAn-kBk + … + Bn.

Здесь Cnk = n!/(k! • (n-k)!).

Напоминаю, что n! — это 1 • 2 • … • n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Называется это выражение факториалом числа n. Например, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24. Факториал нуля считается равным единице!

А что можно сказать по поводу разности квадратов, разности кубов и т. п.? Существует ли здесь какая-либо закономерность? Можно ли привести общую формулу для An — Bn?

Да, можно. Вот эта формула:

An — Bn = (A — В)(An-1 + An-2B + An-3B2 + … + Bn-1).

Более того, для нечетных степеней n существует аналогичная ф-ла и для суммы:

An + Bn = (A + В)(An-1 — An-2B + An-3B2 — … + Bn-1).

Мы не будем сейчас выводить эти формулы (кстати, это не очень сложно), но знать об их существовании, безусловно, полезно.



Возможно, вам будут интересны другие материалы:
  1. Тест по математике для 7 класса
  2. Тест по математике для 8 класса
  3. Проценты. Задачи «на проценты». Часть I
  4. Четность. Задачи: от элементарных до «олимпиадных»
  5. ОГЭ по математике — пробный тест № 1
  6. Подготовка к ОГЭ-2021 по математике

Зачем нужны формулы сокращенного умножения / Бери и делай

Умножение чисел не вызывает особых трудностей до тех пор, пока мы не сталкиваемся со сложными выражениями, где есть не только числа, но и переменные. Чтобы преобразовать или упростить такие выражения, можно использовать формулы сокращенного умножения. Они кажутся сложными, но лишь на первый взгляд.

«Бери и Делай» объясняет, что из себя представляют формулы сокращенного умножения, как их понять и использовать для решения разных задач.

Зачем нужны формулы сокращенного умножения

С этой темой чаще всего впервые сталкиваются в средней школе в рамках курса алгебры. На первый взгляд, все выглядит сложным, но формулы сокращенного умножения действительно помогают быстро и компактно произвести вычисления в определенных ситуациях.

Ситуация № 1. Вы не хотите в уме возводить в степень большие числа, а затем производить математические действия с полученными результатами. Посмотрите на картинку выше: вместо того чтобы возводить числа 89 и 88 в квадрат, а затем заниматься вычитанием больших чисел, как это сделано на картинке слева, легче воспользоваться формулой разности двух квадратов a2 − b2 = (a − b) × (a + b), как это сделано на картинке справа.

Аналогично, чтобы возвести в квадрат большое число, можно воспользоваться формулой квадрата разности (a − b)2 = a2 − 2ab + b2. Например: 792 = (80 − 1)2 = 6400 − 160 + 1 = 6241.

Ситуация № 2. Вы хотите избавиться от скобок в выражении, выполнив минимум действий. В примере выше для того, чтобы вынести из скобок выражение (5 + b)2, справа мы воспользовались формулой квадрата суммы двух чисел (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, в результате получив выражение 25 + 10b + b2. К этому же выражению можно прийти и без формулы, выполнив все действия последовательно, но именно благодаря формуле это быстрее и проще.

Ситуация № 3. Вам нужно привести многочлен (сумму произведений чисел и переменных) к стандартному виду. Для этого в примере на картинке выше мы снова использовали формулу квадрата суммы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и превратили (1 + 5x)2 − 12x − 1 в 25×2 − 2x.

Какие бывают формулы сокращенного умножения

Математически доказать эти формулы несложно. Достаточно последовательно выполнить действия.

Пример № 1. Возьмем правую часть разности квадратов (a − b) × (a + b) и избавимся от скобок, получив (a − b) × (a + b) = a2 + ab − ab − b2. Так как ab − ab = 0, в итоге получаем, что (a − b) × (a + b) = a2 − b2.

Пример № 2. Возьмем правую часть формулы квадрата суммы (a + b)2 и избавимся от степени, получив (a + b)2 = (a + b) × (a + b). Уберем скобки, получив a2 + ab + b2 + ab, а затем a2 + 2ab + b2. В итоге получаем, что (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Пример № 3. Часто встречается формула квадрата суммы трех чисел, но что делать, если нам нужна формула квадрата разницы трех чисел? Попробуем ее получить самостоятельно:
(a − b − c)2 = (a − b − c) × (a − b − c) = a2 − ab − ac − ba + b2 + bc − ca + cb + c2 = a2 − 2ab − 2ac + b2 + 2bc + c2. Для удобства восприятия ее можно записать так: (a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac + 2bc.

Формулы для кубов доказать можно точно так же.

Пример № 1. Возьмем правую часть формулы разности кубов (a − b) × (a2 + ab + b2) и избавимся от скобок, получив a3 + a2b + ab2 − ba2 − ab2 − b3 = a3 + a2b − ba2 − b3 = a3 − b3. В итоге получаем, что (a − b) × (a2 + ab + b2) = a3 − b3.

Как запомнить формулы сокращенного умножения

В школе формулы сокращенного умножения учат наизусть. Если вы их случайно забудете, всегда можно с помощью нескольких действий привести выражение к упрощенному виду, как мы делали это выше в доказательствах. Но есть пара способов, которые могут облегчить запоминание.

Обычно сложнее всего запомнить коэффициенты и знаки в середине формулы, если речь идет об n-й степени суммы или разницы (квадрате суммы, квадрате разницы, кубе суммы, кубе разницы и так далее). Но можно их не запоминать, если на черновике рисовать небольшую подсказку — треугольник Паскаля.

Для начала на листке бумаге расположите три единицы: одна в середине, две другие у нее по бокам, но так, чтобы они все вместе образовывали треугольник.

Строку с одной единицей будем считать нулевой. Таким образом, на первой строке располагаются две единицы. Чтобы получить вторую строчку, по краям снова расположим единицы, а между ними число, которое в сумме дают два вышестоящих над ним числа (единицы). Так в середине второй строчки появляется двойка.

Теперь записываем третью строку. По краям ставим единицы (так будет всегда), затем между ними снова добавляем те числа, которые получаются в результате сложения вышестоящих, то есть тройки.

Продолжим заполнять таким образом треугольник до четвертой строчки. Что мы получили? Посмотрите на картинку выше. В каждой строке у нас коэффициенты из разложения двучлена в многочлен.

Теперь осталось разобраться со знаками. Как их запомнить? Первый из них будет таким же, как в раскладываемом двучлене (если раскладываем сумму, то это плюс, если разность — минус), а дальше знаки будут чередоваться.

Альтернативный способ. Некоторым людям легче запомнить формулы, представляя вместо переменных абстрактные фигуры, как на изображении выше.

Как правильно читать формулы сокращенного умножения

  • a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab

Сумма квадратов двух выражений равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения.

  • a2 − b2 = (a − b) × (a + b)

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.

  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения.

  • (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения.

  • a3 + b3 = (a + b) × (a2 − ab + b2)

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.

  • a3 − b3 = (a − b) × (a2 + ab + b2)

Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.

  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго выражения.

  • (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго выражения.

Какие ошибки чаще всего допускают люди при использовании этих формул

  • Путают сумму квадратов и квадрат суммы, разность квадратов и квадрат разности, сумму кубов и куб суммы, разность кубов и куб разности.
  • Путают формулы сокращенного умножения и формулы умножения и деления переменных со степенями.
  • Не замечают, что в выражении есть часть, которую можно упростить или решить с помощью формулы сокращенного умножения.
  • Не видят формулу сокращенного умножения в выражении, потому что забывают, что иногда вместо одной переменной могут быть целые выражения.

Как раскрывается разность куба. Формулы сокращенного умножения

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 — b 2 = (a — b)(a + b)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112 2 .

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1

Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение!!!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a — b) 2 = (b — a) 2

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 = b 2 — 2ab + a 2 = (b — a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Выучите, что в начале идёт a 3 .

Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.

В спомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!!!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.

(a — b) 3 = + a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Сумма кубов ( Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2)

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

Первая скобка — сумма двух чисел.

Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

A 2 — ab + b 2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов (Не путать с кубом разности!!!)

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 + ab + b 2)

Будьте внимательны при записи знаков. Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.

Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.

Разложим, например, :

В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце — куб второго числа. А вот что посередине — запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго — увеличивается — несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).

Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они — коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее — ага, уже треугольник получается:

Первая строка, с одной единичкой — нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:

Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:


Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:


Ну а знаки запомнить еще проще: первый — такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму — значит, плюс, разность — значит, минус), а дальше знаки чередуются!

Вот такая это полезная штука — треугольник Паскаля. Пользуйтесь!

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке — следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи — ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение — это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных — о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая — готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая…

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой , которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a 2 −a·b+b 2 ) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a 2 +a·b+b 2 ) соответственно.

Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество . Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители , ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:


Три последних тождества в таблице имеют свои названия. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов , a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2 ) — формулой суммы кубов , а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2 ) — формулой разности кубов . Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений . Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений .

Пример.

Упростите выражение 9·y−(1+3·y) 2 .

Решение.

В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2) . Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2 .

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей , решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

И так вот они:

Первая х 2 — у 2 = (х — у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х — у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая (х — у) 3 = х 3 — 3х 2 у + 3ху 2 — у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 — ху + у 2) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х 3 — у 3 = (х — у) (х 2 + ху + у 2) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

О существовании этих закономерностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник , заключенный между отрезками a и b”.

A 2 b 2 c 2, сложение квадратов

Рассмотрим квадрат трех слагаемых:

(a + b + c)2

Представим его в таком виде:

((a + b) + c)2

Если рассматривать (a + b) как одно слагаемое, то мы можем применить формулу квадрата суммы для двух слагаемых:

((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

Итак в результате преобразования мы получили:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Если бы слагаемых было 4, то в результате преобразования выглядели так:

(a + b + c + d)2 = ((a + b) + (c + d))2 = (a + b)2 + 2(a+b)(c+d) + (c + d)2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2

В результате была бы получена следующая формула:

(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Вообще независимо от того, сколько слагаемых в квадрате суммы, при раскрытии скобок получается сумма квадратов всех слагаемых плюс удвоенные пары произведений этих слагаемых. 2=21 и a+b-c=7. найдите значение выражения ab-bc-ac

  • Квадрат разности
  • Разность квадратов
  • Формулы сокращенного умножения (ФСУ): таблица, формулировки, примеры применения.
  • Список формул сокращенного умножения (ФСУ) в виде таблицы
  • Дополнительные формулы
  • Как читаются формулы сокращенного умножения?
  • Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.
  • Доказательство
  • Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры
  • Приклади застосування формул скороченого множення
  • Формула Пифагора a2+b2=c2. Почему квадрат?
  • Квадрат суммы нескольких слагаемых
        • Пример 1 Преобразуйте выражение в многочлен
        • Пример 2 Преобразуйте выражение в многочлен
        • Пример 3 Выполните умножение
  • Pythagorean theorem
    • Больше информации по теме
  • Квадрат суммы и разности

    Квадрат суммы

    Выражение (a + b)2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

    (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2,

    т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

    Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    Многочлен a2 + 2ab + b2 называется разложением квадрата суммы.

    Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых. 2=21 и a+b-c=7. найдите значение выражения ab-bc-ac

    У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

    (3x2 + 2xy)2 = (3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2

    Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

    (3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2 = 9x4 + 12x3y + 4x2y2

    Квадрат разности

    Выражение (ab)2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b)2 представляет собой произведение двух многочленов (ab)(ab). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

    (ab)2 = (ab)(ab) = a2abab + b2 = a2 — 2ab + b2,

    т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

    Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

    (ab)2 = a2 — 2ab + b2

    Многочлен a2 — 2ab + b2 называется разложением квадрата разности.

    Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

    Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

    (2a2 — 5ab2)2

    Решение: используя формулу квадрата разности находим:

    (2a2 — 5ab2)2 = (2a2)2 — 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2

    Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

    (2a2)2 — 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2 = 4a4 — 20a3b2 + 25a2b4

    Разность квадратов

    Выражение a2b2 — это разность квадратов чисел a и b.

    Выражение a2b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

    (a + b)(ab) = a2 + ababb2 = a2b2,

    т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

    Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

    a2b2 = (a + b)(ab)

    Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

    Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

    (5a2 + 3)(5a2 — 3)

    Решение:

    (5a2 + 3)(5a2 — 3) = (5a2)2 — 32 = 25a4 — 9

    В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

    (a + b)(ab) = a2b2

    На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо и справа налево, в зависимости от ситуации.

    Выражения, преобразование выражений

    Формулы сокращенного умножения (ФСУ): таблица, формулировки, примеры применения.


    Для умножения и возведения в степень чисел и выражений (в частности многочленов) в некоторых случаях могут быть использованы так называемые формулы сокращенного умножения. Из названия понятно, что эти формулы позволяют проводить умножение сокращенно, то есть, быстрее при более компактной записи решения.

    В этой статье мы перечислим все основные наиболее часто используемые формулы сокращенного умножения. Для удобства запоминания занесем их в таблицу. Дальше дадим формулировки – они позволят читать формулы сокращенного умножения. После этого остановимся на принципах доказательства этих формул. Наконец, дадим обзор задач, для решения которых применяются формулы сокращенного умножения, и рассмотрим несколько примеров с подробными решениями.


    Список формул сокращенного умножения (ФСУ) в виде таблицы

    Формулы сокращенного умножения (фсу) изучаются на уроках алгебры в 7 классе после разговора про действия с многочленами и одночленами, при этом рассматриваются 7 основных формул. 3;

  • (a−b)·(a2+a·b+b2)=a3−b3.
  • Под буквами a и b понимаются числа, переменные, или, вообще, любые числовые и буквенные выражения.

    Формулы сокращенного выражения очень часто применяются на практике, так что их все желательно выучить наизусть. До этого момента нам будет служить верой и правдой таблица формул сокращенного умножения, которую мы рекомендуем распечатать и все время держать перед глазами:

    Первые четыре формулы из составленной таблицы формул сокращенного умножения позволяют возводить в квадрат и куб сумму или разность двух выражений. Пятая предназначена для краткого умножения разности и суммы двух выражений. А шестая и седьмая формулы используются для умножения суммы двух выражений a и b на их неполный квадрат разности (так называют выражение вида a2−a·b+b2) и разности двух выражений a и b на неполный квадрат их суммы (a2+a·b+b2) соответственно.

    Стоит отдельно заметить, что каждое равенство в таблице представляет собой тождество. Этим объясняется, почему формулы сокращенного умножения еще называют тождествами сокращенного умножения.

    При решении примеров, особенно в которых имеет место разложение многочлена на множители, ФСУ часто используют в виде с переставленными местами левыми и правыми частями:

    Три последних тождества в таблице имеют свои названия.

    Формула a2−b2=(a−b)·(a+b) называется формулой разности квадратов, a3+b3=(a+b)·(a2−a·b+b2) — формулой суммы кубов, а a3−b3=(a−b)·(a2+a·b+b2) — формулой разности кубов. Обратите внимание, что соответствующим формулам с переставленными частями из предыдущей таблицы фсу мы никак не назвали.

    К началу страницы

    Дополнительные формулы


    В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

    Во-первых, полезной будет формула бинома Ньютона вида , где — биномиальные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике Паскаля. С ее помощью можно сокращенно возводить сумму двух выражений в любую натуральную степень. Кстати, ФСУ квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3.

    Во-вторых, полезной бывает формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых вида
    (a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an−12+an2+
    +2·a1·a2+2·a1·a3+2·a1·a4+…+
    +2·a1·an−1+2·a1·an+
    +2·a2·a3+2·a2·a4+…+2·a2·an−1+2·a2·an+
    +…+
    +2·an−1·an.

    Она читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых. Для примера возведем в квадрат с использованием этой формулы сумму трех слагаемых a, b и c, имеем (a+b+c)2=a2+b2+c2+2·a·b+2·a·c+2·b·c. В частном случае при n=2 эта формула становится уже известной нам формулой квадрата суммы двух слагаемых.

    И еще не помешает держать перед глазами формулу разности n-ых степеней двух слагаемых вида an−bn=
    =(a−b)·(an−1+an−2·b+an−3·b2+…+a·bn−2+bn−1), которую обычно представляют раздельно для четных и нечетных показателей. Для четных показателей 2·m она имеет вид a2·m−b2·m=
    =(a2−b2)·(a2·m−2+a2·m−4·b2+a2·m−6·b4+…+b2·m−2), а для нечетных показателей 2·m+1 – вид a2·m+1−b2·m+1=
    =(a−b)·(a2·m+a2·m−1·b+a2·m−2·b2+…+b2·m).

    Частными случаями этой формулы являются формулы разность квадратов (при n=2), разность кубов (при n=3) и сумма кубов (при n=3 и если b заменить на −b).

    К началу страницы

    Как читаются формулы сокращенного умножения?

    Чтобы рассказать решение примера, в котором были использованы формулы сокращенного умножения, нужно знать, как эти формулы читаются. Дадим соответствующие формулировки.

    Сначала разберемся с принципом чтения формул сокращенного умножения. Это удобнее всего сделать, рассмотрев любую и них, например, первую формулу квадрата суммы вида (a+b)2=a2+2·a·b+b2.

    В левой ее части находится выражение (a+b)2, которое представляет собой квадрат суммы двух выражений a и b, оно так и читается (отсюда понятно и название формулы). Дальше стоит знак равно, он и произносится как равно. В правой части формулы расположена сумма трех слагаемых a2, 2·a·b и b2. a2 и b2 – это квадраты первого и второго выражений соответственно, а 2·a·b читается как удвоенное произведение выражений a и b, слово «удвоенное» отвечает числовому коэффициенту2. Осталось соединить все эти рассуждения в одно предложение, которое будет ответом на вопрос, как читается формула квадрата суммы.

    Итак, квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражений и квадрата второго выражения.

    Аналогично читаются и остальные фсу.

    Так квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения. Эта формулировка второй фсу вида (a−b)2=a2−2·a·b+b2.

    Дальше читаем формулу (a+b)3=a3+3·a2·b+3·a·b2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме куба первого выражения, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе, утроенного произведения первого выражения на квадрат второго и куба второго выражения.

    Аналогично читается и формула куба разности (a−b)3=a3−3·a2·b+3·a·b2−b3. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго выражения минус куб второго выражения.

    Переходим к чтению пятой по списку формулы сокращенного выражения (a−b)·(a+b)=a2−b2. Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов первого и второго выражений.

    А для удобства чтения шестой и, последней, седьмой ФСУ используют термины «неполный квадрат суммы» и «неполный квадрат разности» выражений a и b, которыми называют выражения a2+a·b+b2 и a2−a·b+b2 соответственно. (В свою очередь выражения a2+2·a·b+b2 и a2−2·a·b+b2 называют полным квадратом суммы и разности соответственно.)

    Итак, произведение суммы двух выражений на их неполный квадрат разности равно сумме кубов этих выражений.

    Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.

    Так читается формула (a+b)·(a2−a·b+b2)=a3+b3. И произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы равен разности кубов этих выражений, этому утверждению отвечает формула сокращенного умножения вида (a−b)·(a2+a·b+b2)=a3−b3.

    К началу страницы

    Доказательство

    Сейчас самое время остановиться на доказательстве формул сокращенного умножения.

    Доказать их достаточно легко – для этого нужно лишь выполнить возведение в степень или умножение выражений, находящихся в левых частях формул, основываясь на свойствах умножения.

    Для примера докажем формулу квадрата разности (a−b)2=a2−2·a·b+b2. Возведем разность a−b во вторую степень. Для этого степень заменяем умножением, и выполняем это действие: (a−b)2=(a−b)·(a−b)=
    =a·(a−b)−b·(a−b)=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)=
    =a2−a·b−b·a+b·b=a2−a·b−a·b+b2=
    =a2−2·a·b+b2.

    Абсолютно аналогично доказывается любая другая из 7 основных формул сокращенного умножения.

    Доказательство дополнительных ФСУ можно провести с использованием метода наименьших квадратов.

    К началу страницы

    Сферы применения формул сокращенного умножения (фсу) и примеры

    Основное предназначение формул сокращенного умножения (фсу) объясняется их названием, то есть, оно состоит в кратком умножении выражений. Однако сфера применения ФСУ намного шире, и не ограничивается кратким умножением. Перечислим основные направления.

    Несомненно, центральное приложение формулы сокращенного умножения нашли в выполнении тождественных преобразований выражений. Наиболее часто эти формулы используются в процессе упрощения выражений.

    Упростите выражение 9·y−(1+3·y)2.

    В данном выражении возведение в квадрат можно выполнить сокращенно, имеем 9·y−(1+3·y)2=9·y−(12+2·1·3·y+(3·y)2). Остается лишь раскрыть скобки и привести подобные члены: 9·y−(12+2·1·3·y+(3·y)2)=9·y−1−6·y−9·y2=3·y−1−9·y2.

    9·y−(1+3·y)2=3·y−1−9·y2.

    И если в 7 классе речь идет о преобразовании целых выражений с помощью формул сокращенного умножения, то в старших классах можно будет видеть применение ФСУ к преобразованию выражений всех других видов – дробных, иррациональных, логарифмических, тригонометрических и других. К примеру, тождества сокращенного умножения с переставленными частями позволяют представлять выражения в виде степеней или произведений, в частности, выполнять разложение многочленов на множители. Это очень полезно, к примеру, при сокращении алгебраических дробей.

    Сократите дробь .

    В числителе выражение представляет собой разность кубов двух выражений 2·x и z2, а в знаменателе – разность квадратов этих выражений. После применения соответствующих формул исходная дробь примет вид . Теперь можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе: .

    Оформим все решение кратко:

    .

    Формулы сокращенного умножения иногда позволяют рационально вычислять значения выражений. В качестве примера покажем, как можно возвести число 79 в квадрат с помощью формулы квадрата разности: 792=(80−1)2=802−2·80·1+12=6 400−160+1=6 241. Такой подход позволяет выполнять подобные вычисления даже устно.

    В заключение скажем еще про одно важное преобразование – выделение квадрата двучлена, в основе которого лежит формула сокращенного умножения квадрат суммы. Например, выражение 4·x2+4·x−3 может быть преобразовано к виду (2·x)2+2·2·x·1+12−4, и первые три слагаемых заменяются с использованием формулы квадратом суммы. Так что выражение принимает вид (2·x+1)2−4. Подобные преобразования широко используются, например, при интегрировании.

    Профиль автора статьи в Google+

    К началу страницы

    • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.
    • Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 13-е изд., испр. — М.: Мнемозина, 2009. — 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
    • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

    Формули скороченого множення застосовують для спрощення обчислень, а також розкладання многочленів на прості множники, швидкого множення многочленів. Більшість формул скороченого множення можна отримати з біному Ньютона, в цьому Ви скоро переконаєтеся.

    Формули для квадратів застосовують в обчисленнях найчастіше. Їх починають вивчати в шкільній програми починаючи з 7 класу і до кінця навчання формули для квадратів та кубів школярі повинні знати на зубок.


    Формули для кубів теж не надто складні і їх потрібно знати при зведенні многочленів до стандартного вигляду, для спрощення піднесення суми чи різниці змінної і числа до кубу.

    Формули позначені червоним отримують з попередніх групуванням доданків.

    Формули для четвертого степеня та п’ятого степеня в шкільному курсі мало кому пригодяться, однак є завдання при вивченні вищої математики де потрібно обчислювати коефіцієнти при степенях.

    Формули для степеня n степеня розписані через біноміальні коефіцієнти з використанням факторіалів наведені нижче

    Приклади застосування формул скороченого множення

    Приклад 1.Обчислити 512.

    Розв’язок.

    Якщо маєте калькулятор то без проблем знаходите

    Це я пожартував — з калькулятором мудрі усі, без нього … (не будемо про сумне).
    Не маючи калькулятора та знаючи наведені вище правила квадрат числа знаходимо за правилом

    Саме для таких спрощених обчислень і потрібні формули скороченого множенння.

    Приклад 2.Знайти 992.

    Розв’язок. Застосуємо формулу для різниці в квадраті

    Як можна переконатися з обчислень — це легше, ніж часом знайти в потрібний момент калькулятор.

    Приклад 3.Піднести до квадрату вираз
    (x+y-3).

    Розв’язок. Суму перших двох доданків уявно вважаємо одним доданком і за другою формулою скороченого множення знаходимо

    В такий спосіб отримали вадратичну залежність для двох змінних.

    Приклад 4.Знайти різницю квадратів
    112-92.

    Розв’язок. Оскільки числа невеликі то можна просто підставити значення квадратів

    Але мета в нас зовсім інша – навчитися використовувати формули скороченого множення для спрощення обчислень. Для цього прикладу застосуємо третю формулу

    При великих числах і невеликою різницею між ними така схема набагато ефективніша ніж підносити до квадратів, а пізніше шукати різницю квадратів.

    Приклад 5.Знайти різницю квадратів
    172-32.

    Розв’язок. На цьому прикладі Ви вже захочете вивчити правила, щоб обчислення звести до одного рядка

    Як бачите – нічого складного ми не робили. Кінцевий результат в складніших умовах отримують множенням чисел у стовпчик.

    Приклад 6. Спростити вираз
    (x-y)2-(x+y)2.

    Розв’язок. Можна розкладати квадрати, а пізніше сумувати подібні доданки. Проте можна прямо застосувати різницю квадратів

    Тут пропущені проміжні перетворенн, які займають чимало місця, але наша практика дозволяє на так записати. Для перевіри нас розпишіть добуток дужок самостійно.

    Приклад 7.Піднести до кубу многочлен
    x3-4.

    Розв’язок.

    Формула Пифагора a2+b2=c2. Почему квадрат?

    Застосуємо 5 формулу скороченого множення

    З кубами Вам доведеться часто мати справу в навчанні, тому раджу формуи вивчити або мати на шпаргалці.

    Приклад 8. Записати у вигляді різниці квадратів або сумі
    а) x2-8x+7
    б) x2+4x+29

    Розв’язок. а) Перегрупуємо доданки

    б) Спрощуємо на основі попередніх міркувань

    Такі переторення досить часто доводиться виконувати на інтегруванні, коли наведені квадратичні залежності містяться в чисельнику чи знаменнику і потрібно звести запис під формулу інтегрування.

    Приклад 9.Розкласти раціональний дріб

    Розв’язок.

    Застосуємо формулу різниці квадратів

    Складемо систему рівнянь для визначення констант


    До потроєного першого рівняння додамо друге. Знайдене значення підставляємо в перше рівняння


    Остаточно розклад прийме вигляд

    Розкласти раціональний дріб часто необхідно перед інтегруванням, щоб понизити степінь знаменника.

    Приклад 10.Використовуючи біном Ньютона розписати
    вираз (x-a)7.

    Розв’язок. Що таке біном Ньютона Ви мабуть вже знаєте. Якщо ні то нижче наведені біноміальні коефіцієнти

    Вони утворюються наступним чином: по краю ідуть одиниці, коефіцієнти між ними в нижньому рядку утворюють сумуванням сусідніх верхніх. Якщо нам потрібно знайти різницю в якомусь степені, то знаки в розкладі чергуються від плюса до мінуса. Таким чином для сьомого порядку отримаємо такий розклад

    Уважно також погляньте як змінюються показники – для першої змінної вони спадають на одиницю в кожному наступному доданку, відповідно для другої – на одиницю зростають. В сумі показники при ожному множгику завжди повинні давати степінь розкладу (=7). Використовуйте це правило для самоперевірки.
    Думаю на основі приведеного вище матеріалу Ви зможете розв’язати задачі на біном Ньютона. Вивчайте формули скороченого множення та застосовуйте всюди, де це може спростити обчислення та зекономити час виконання завдання.

    Квадрат суммы нескольких слагаемых

    Рассмотрим на примерах применение формул сокращенного умножения.

    Пример 1 Преобразуйте выражение в многочлен

    Разложим выражение на множители с помощью формулы квадрата суммы

    Пример 2 Преобразуйте выражение в многочлен

    Воспользуемся формулой квадрата разности

    Пример 3 Выполните умножение

    Разложим выражение на множители с помощью формулы разности квадратов

    Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук.

    Pythagorean theorem

    Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. А значит  будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

     

    И так вот они:

     

    Первая  х2 — у2 = (х — у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить  разности этих выражений на их суммы.

    Вторая (х + у)2 = х2 + 2ху + у2.  Чтобы найти квадрат суммы двух выражений  нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

    Третья (х — у)2 = х2 – 2ху + у2. Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

    Четвертая (х + у)3 = х3 + 3х2у + 3ху2 + у3.   Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

    Пятая  (х — у)3 = х3 – 3х2у + 3ху2 — у3.  Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от  куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

    Шестая  х3 + у3 = (х + у) (х2 — ху + у2)  Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

    Седьмая х3 — у3 = (х — у) (х2 + ху + у2)  Чтобы произвести вычисление  разности кубов двух выражений  надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

    Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

     О существовании этих закономерностей знали еще около 4 тысяч лет тому назад.

    Их широко применяли  жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

    Разберем доказательство квадрата суммы   (а + b)2 = a2 +2ab +b2.

    Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как  буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные  древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а2”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.

     

     И так Евклид взял квадрат со стороной (a + b):

     

     

      S = (a + b)2 – площадь квадрата;

     

     

    С другой стороны, этот же квадрат он представить иначе, разделив сторону на а и b:

    Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

     

     

     И так как квадраты были одинаковы, то их площади равны,  и это значит:

     

     

    Таким образом, была доказана геометрически формула квадрата суммы.

     

    Решение формулы суммы квадратов двух чисел

    Цитировать:

    Мамарахмонов Н.М., Мамарахмонов М.Х. Решение формулы суммы квадратов двух чисел // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. № 8(77). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/10642 (дата обращения: 22.09.2022).

    Прочитать статью:

     

    АННОТАЦИЯ

    В настоящей статье нами впервые предложено решение формулы сокращенного произведения, которая может широко применена в решении различных математических задач, равенств и неравенств, а также для упрощения сложных алгебраических выражений, имеющих широкое практическое применение в науке и технике.

    ABSTRACT

    In this article, we first proposed a solution to the abbreviated product formula, which can be used in solving various mathematical problems, equalities and inequalities, as well as to simplify complex algebraic expressions that have wide practical applications in science and technology.

     

    Ключевые слова: формулы сокращенного произведения, сумма квадратов двух чисел.

    Keywords: formulas of short multiplication, sum of squares two numbers.

     

    Известно, что при решении задач во всех разделах математики очень часто используют формулы сокращенного произведения (ФСУ) [1. 163-182, 2. 115, 3. 134]. Эти формулы удачно используются при упрощении сложных математических выражений, при решении алгебраических, тригонометрических уравнений, неравенств, геометрических задач, учебных и научных проблем различной сложности. Ниже приведены официально всем известные ФСУ в табличном виде, из учебников Алгебры для 7 класса:

     

    Таблица 1.

    Формулы сокращенного умножения

    Формула

    Название

    Name

    (a+b)2=a2+2ab+b2

    Квадрат суммы двух чисел

    Square of sum

    (1)

    (a-b)2=a2-2ab+b2

    Квадрат разности двух чисел

    Square of difference

    (2)

    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

    Куб суммы двух чисел

    Cube of sum

    (3)

    (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

    Куб разности двух чисел

    Cube of difference

    (4)

    a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

    Сумма кубов двух чисел

    Sum of cubes

    (5)

    a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

    Разность кубов двух чисел

    Difference of cubes

    (6)

    a2-b2=(a-b)(a+b)

    Разность квадратов двух чисел

    Difference of squares

    (7)

    a2+b2 = ?

    Сумма квадратов двух чисел                              (Примечание: не разлагающаяся на члены) [8]

    Sum of squares           (Note: not expands) [8,10]

    (8)

     

    Наглядно видно из таблицы 1, что приведенные в ней формулы 1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8 являются формулами-парами, которые отличаются нежели только со знаками у отдельных членов в левой части равенства. Однако, решение для урувнения формулой a2+b2 (8) до настоящего времени ни в официальных источниках, также в учебной и научной литературе не была приведена [1-7]. Тому можно убедиться после ознакомления в электронных интернет учебниках на английском, так и на других языках. В них формула (8) указана как “not expands” – «не разлагающаяся на члены» [8-10]. Также, во всех учебниках для средних образовательных школ по математике, так и в пособиях для ВУЗов Узбекистана, России и Европейских стран, написанные на узбекском, английком, так и на русском языках, формула (8), до настоящего времени обозначается как, “не разлагающаяся на члены”.

    В настоящей статье нами впервые предложена конкретное решение для формулы (8), для разложения суммы квадратов двух чисел на многочлены. Она имеет решение следующего вида:

                                           (8)

    Доказательство. Результат последовательного произведения многочленов в правой части формулы (8), должны равняться сумме квадратов двух чисел, в левой части равенства. Для этого применяем правила последовательного умножения для многочленов к выражениям в скобках, в правой части равенства:

    Примечание. Члены с одинаковыми абсолютными значениями, но с различными знаками взаимно сокращаются, как показано ниже:

    ;

    ;

     

    В результате упрощения получим результат сумму квадратов двух чисел, идентичный, что в левой части равенства a2+b2.

    Конец доказательства.

    Предложенная нами формула для суммы квадратов двух чисел (8) является инновационной, новой и имеет в дальнейшем практическое применение как в математике, информатике, ИТ, в точных науках в целом, так и в других отраслях науки и техники.

     

    Список литературы

    1.  Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворов. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений.: под ред. С.А.Теляковского.- М.: «Просвещение». — 2013. — 256 с.
    2. Ш.Алимов,О.Р. Холмухамедов, М.А. Мирзаахмедов. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразоват. учреждений.: T.: “Укитувчи”. — 2017. -192 c.
    3. А.У. Абдухамидов, Х.А.Насимов, Ж.Х.Хусанов. Алгебра и основы математического анализа, I-часть, Учебник для Академических лицеев.: T.: “Укитувчи”. — 2008. — 134-с.
    4. Ш.Ш.Ботиров, З.Н.Неъматов, Д.Ф.Орипова. Математика. Сборник тематических вопросов-ответов. Бухара.: “Бухоро”. – 2015. – 24с.
    5. Г. Худойберганов, А.Ворисов, Х.Мансуров, Б.Шоимкулов. Лекции по математическому анализу . T.: “Ворис-нашриёт”. — 2010. — 70 с.
    6. М. Хушвактов. Матемтический анализ. T.: “Янгиюл Полиграф Сервис”.-2008. – 59 с.
    7. П.Е.Данько, А.Г.Паров, Т.Е. Кожевникова. Высшая сатематика в задачах и упражнениях. T.: “Узбек файласуфлари миллий жамияти” – 2007. – 53 с.
    8. Short multiplication formulas/ MathForYou.net [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://www.mathforyou.net/en/formulas/shortmultiplication-formulas/ (Дата обращения 10.08.2020).
    9. Формулы сокращенного умножения многочленов / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://math-https://prosto.ru/?page=pages/fsu/short_multiplication_formula.php
    10. Short multiplication formulas / [Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: https://www.emathhelp.net/notes/algebra-2/trigonometry/short-multiplication-formulas/ (Дата обращения:10.08.2020).

    Формулы сокращенного умножения — МАТВОКС

    Формулы сокращенного умножения — МАТВОКС

    Перейти к содержанию

    ПОИСК

    Страница Вконтакте открывается в новом окне

    Вы здесь:

    Содержание раздела

    История формул сокращенного умножения

    За много веков до нашей эры математикам Китая и Древней Греции были известны формулы сокращённого умножения.

    Все алгебраические утверждения тогда выражались в геометрической форме.

    Древние греки обозначали величины не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не a в квадрате (a2), а «квадрат на отрезке a», не произведение ab, a «прямоугольник, содержащийся между отрезками a и b».

    Так как древнегреческие математики решали алгебраические уравнения геометрическим способом, то это направление в математике называлась геометрическая алгебра.

    Евклид во второй книге «Начал» сформулировал и доказал ряд алгебраических тождеств.

    Например, одно из них сформулировано было так: «если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». Другими словами, если прямая рассечена на два отрезка, то квадрат этой прямой будет равен сумме квадратов, построенных на этих отрезках, плюс сумма двух прямоугольников, построенных из длин этих отрезков.

    Покажем это на рисунке.

     

    Геометрический способ вывода формулы квадрата суммы

     

    Прямую рассечем на два отрезка отрезок а и отрезок b.

    В результате получим на прямой отрезок АВ (обозначим концы всего отрезка прямой буквами А и В). длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков a и b:

    AB=a+b

    Покажем, что квадрат всего отрезка равен квадрату суммы отрезков, из которых он состоит:

    AB2=(a+b)2

     

    На стороне AB построим квадрат ABCD. Для этого под прямыми углами проведем отрезки, равные АВ (AB=BD=CD=AC)

    Внутри квадрата построим квадрат со стороной а и его площадь обозначим S1.

    Далее построим квадрат со стороной b и его площадь обозначим S2.

    В результате образовались: квадрат, площадью S1, квадрат площадью S2 и два прямоугольника, у которых площади равны ab.

    Площадь квадрата равна квадрату стороны, значит, по построению: S1= a2, S2=b2.

    Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Значит, площадь построенного прямоугольника будет равна ab. А так как таких прямоугольников два, то их площади будут в два раза больше: 2ab.

    Итак, AB2 — это  построенный квадрат.

    Запишем, из чего он в результате состоит.

    И так как, ранее мы показали, что:

    AB=a+b

    То, можем записать:

    Таким же образом, при помощи отрезков были доказаны квадрат разности и разность квадратов.

    Древнегреческий ученый математик Диофант Александрийский в третьем веке до новой эры отказался от геометрических способов выражения. Диофант в своём труде «Арифметика» рассматривал формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов уже алгебраическим способом.

     

    Благодаря Виету и Декарту в XVI веке алгебраические тождества получили современную символику.

    Исаак Ньютон обосновал математические формулы на современном уровне.

    Однако некоторые термины из геометрической алгебры мы используем до сих пор. Например, квадратом мы называем вторую степень числа, кубом третью степень числа.

    Треугольник Паскаля

    В 1654 году французский математик Блез Паскаль написал «Трактат об арифметическом треугольнике».

     

    В 1303 году в книге китайского математика Чжу Шицзе «Яшмовое зеркало четырех элементов» на иллюстрации уже был изображён подобный треугольник.

     

    Немецкий математик, астроном Петер Апиан такой треугольник изобразил в учебнике арифметики на титульном листе в 1529 году.

     

    Но Паскаль в своем трактате исследует свойства числовой таблицы треугольной формы, которую называли «треугольником Паскаля».

    Приведем некоторые свойства треугольника Паскаля:

    • Сумма чисел каждой следующей строки в два раза больше суммы чисел предыдущей строки.
    • В каждой строке сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел на нечётных местах.
    • Если номер строки является простым числом, то и все числа в этой строке, кроме крайних, делятся на её номер.

    Около 1677 г Исаак Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени произвольное действительное число.

    Бином Ньютона (a+b)n — формула разложения натуральной степени двучлена (a+b)n в многочлен.

     

    View this post on Instagram

     

    A post shared by Математика для каждого (@mathvox_ru)

    9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

    MATHVOX

    Вверх

    Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

    Privacy & Cookies Policy

    Don`t copy text!

    A Square Plus B Square Plus C Square Formula — Examples

    a 2  + b 2  + c 2  формула используется для нахождения суммы квадратов трех чисел без фактического вычисления квадратов. a 2  + b 2  + c 2  формула является одним из основных алгебраических тождеств. Чтобы получить расширение формулы 2  + b 2  + c , оцените формулу (a + b + c) 2 . Давайте узнаем больше о a 92 Формула?

    Мы только что прочитали, что, умножая (a + b + c) само на себя, мы можем легко получить формулу a 2  + b 2  + c 2 . Давайте посмотрим на расширение формулы 2 + b 2 + c 2 .
    (a + b + c) 2  = (a + b + c)(a + b + c)
    (a + b + c) 2 = a 2 + ab + ac + ab + b 2 + bc + ca + bc + c 2
    (а + б + в) = а 2  + b 2  + c 2  + 2ab + 2bc + 2ca
    (a + b + c) 2  = a 2  + b 2  + c 2  + 2ab + 2bc + 2ca

    Вычитая 2ab + 2bc + 2ca из обеих частей приведенной выше формулы, 2 + B 2 + C 2 Формула:

    A 2 + B 2 + C 2 = (A + B + C) 2 — 2 (AB + BC + ва)

    (или)

    а 2  + б 2 + C 2 = (A + B + C) 2 -2AB -2BC -2CA

    A 2 + B 2 + C 2 = (A + B + C) 2 — 2 (AB+ BC+ CA)

    Мы также можем выразить формулу 2 + B 2 + C 2 AS,

    A 2 + B 2 + C 2 = ( a — b — c) 2 + 2ab + 2ac — 2bc

    Давайте посмотрим, как использовать формулу a 2 + b 2 + c 2 , в следующем разделе.

    Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

    Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

    Забронировать бесплатный пробный урок

    Примеры формулы a2 + b2 + c2

    Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять формулу a 2  + b 2  + c 2 .

    Пример 1: Найдите значение 2  + b 2  + c 2  если a + b + c = 10 и ab + bc + ca = -2.

    Решение:

    Найти: a 2  + b 2  + c 2
    Учитывая, что:
    а + б + с = 10
    аб + бс + са = -2
    Используя формулу a 2 + b 2 + c 2 ,
    a 2  + b 2  + c 2  = (a + b + c) 2  — 2(ab + bc + ca)
    а 2 + B 2 + C 2 = (10) 2 — 2 (-2) = 100+ 4 = 104

    Ответ: A 2 + B 2 + C 2 = 104.

    Пример 2: Найдите значение a 2  + b 2  + c 2  если a + b + c = -3, 1/a + 1/b + 1/c = -2 и abc = 3.

    Решение:

    Найти: a 2  + b 2  + c 2
    Учитывая, что:
    а + b + с = -3 … (1)
    1/а + 1/б + 1/с = -2 … (2)
    абв = 3 … (3)
    Умножение (2) и (3),
    abc(1/a + 1/b + 1/c) = (3)(−2)
    bc + ca + ab = −6
    Используя формулу a 2 + b 2 + c 2 ,
    a 2  + b 2  + c 2  = (a + b + c) 2  — 2(ab + bc + ca)
    a 2  + b 2  + c 2  = (-3) 2  — 2(-6) = 9 + 12 = 21

    Ответ: A 2 + B 2 + C 2 = 21.

    Пример 3: Найдите значение 2 + B 2 + C 2 , если A+ B + c = 20 и ab + bc + ca = 100.  

    Решение:

    Найти: a 2  + b 2  + c 2
    Учитывая, что:
    а + б + с = 20
    аб + бк + са = 100
    Использование a 2  + b 2  + c 2  формула,
    a 2  + b 2  + c 2  = (a + b + c) 2  — 2(ab + bc + ca)
    A 2 + B 2 + C 2 = (20) 2 — 2 (100) = 400 — 200 = 200

    Ответ: A 2 + B 2 + C 2  = 200.

    Часто задаваемые вопросы по a

    2  + b 2  + c 2  Формулы 

    Что такое расширение формулы a2 + b2 + c2?

    а 92 Формула в алгебре?

    Формула a 2  + b 2  + c 2  является одним из важных алгебраических тождеств. Оно читается как квадрат плюс квадрат b плюс квадрат c. Его формула a 2  + b 2  + c 2 выражается как + ок).

    Как упростить числа с помощью формулы a

    2  + b 2  + c 2  ?

    Давайте разберемся в использовании формулы a 2  + b 2  + c 2  с помощью следующего примера.
    Пример:  Найдите значение (2 2  + 5 2 + 3 2 ), используя формулу a 2  + b 2  + c 29003.
    Чтобы найти: (2 2  + 5 2 + 3 2 )
    Предположим, что a = 2, b = 5 и c = 3.
    Мы подставим их в формулу (a 2  + b 2 + c 2 ).
    a 2  + b 2  + c 2  = (a + b + c) 2  — 2(ab + bc + ca)
    = (2 + 5 + 3) 2 — 2(2×5 + 5×3 + 3×2)
    = 100 — 62 = 38
    Ответ: (2 2 + 5 2 + 3 2 ) = 38

    Как использовать (A

    2 + B 2 + C 2 ) Формула дает шаги?

    При использовании (a 92 как индивидуальная мощность или нет.

  • Запишите формулу (a 2  + b 2 + c 2 )
  • a 2  + b 2  + c 2  = (a + b + c) 2  — 2(ab + bc + ca)
  • Подставьте значения a, b и c в формулу a 2  + b 2  + c 2 и упростите.
  • Калькулятор теоремы Пифагора

    Создано Петром Малеком и Матеушем Мухой

    Отзыв от Ханны Памулы, кандидата наук, и Джека Боуотера

    Последнее обновление: 16 января 2022 г.

    Содержание:
    • Что такое теорема Пифагора?
    • Как пользоваться теоремой Пифагора
    • Что такое формула гипотенузы?
    • Другие соображения при работе с треугольниками

    Этот калькулятор теоремы Пифагора рассчитает длину любой из недостающих сторон прямоугольного треугольника, если вы знаете длины двух других его сторон. Это включает в себя вычисление гипотенузы. Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, противолежащая прямому углу, и самая длинная сторона. Эту сторону можно найти с помощью формулы гипотенузы, другого термина для теоремы Пифагора, когда она решает для гипотенузы. Напомним, что прямоугольный треугольник — это треугольник с углом, равным 90 градусов. Два других угла также должны составлять 90 градусов, так как сумма мер углов любого треугольника равна 180. Читайте дальше, чтобы ответить на вопрос «что такое теорема Пифагора и как она используется?»

    Что такое теорема Пифагора?

    Теорема Пифагора описывает, как три стороны прямоугольного треугольника связаны в евклидовой геометрии. Он гласит, что сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Вы также можете думать об этой теореме как о формуле гипотенузы. Если стороны прямоугольного треугольника равны a и b и гипотенуза c , формула

    a² + b² = c²

    Теорема была приписана древнегреческому философу и математику Пифагору, жившему в шестом веке до нашей эры. Хотя ранее она использовалась индийцами и вавилонянами, Пифагор (или его ученики) считался первым, кто доказал теорему. Следует отметить, что нет никаких конкретных доказательств того, что сам Пифагор работал над этой теоремой или доказал ее.

    Как использовать теорему Пифагора

    1. Введите в формулу две длины, которые у вас есть. Например, предположим, что вы знаете a = 4 , b = 8 и мы хотим найти длину гипотенузы c .
    2. После подстановки значений в формулу имеем 4²+ 8² = c²
    3. Возведите каждое слагаемое в квадрат, чтобы получить 16 + 64 = c²
    4. Объедините одинаковые члены, чтобы получить 80 = c²
    5. Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы получить с = 8,94 . Проверьте это с помощью нашего калькулятора теоремы Пифагора!

    Обратите внимание: если вы решаете для a или b , измените уравнение, чтобы изолировать нужную переменную, прежде чем объединять одинаковые члены и извлекать квадратный корень

    Калькулятор теоремы Пифагора решит для сторон в одном способ, который мы показали выше. Мы включили метод, чтобы показать вам, как вы можете решить свою проблему, если предпочитаете делать это вручную.

    Что такое формула гипотенузы?

    Формула гипотенузы просто берет теорему Пифагора и решает для гипотенузы, c . Находя гипотенузу, мы просто берем квадратный корень из обеих частей уравнения a² + b² = c² и находим c . При этом мы получаем c = √(a² + b²) . Это всего лишь расширение теоремы Пифагора и часто не связанное с именем формула гипотенузы .

    Другие соображения при работе с треугольниками

    Обратите внимание, что стороны треугольника имеют определенный уклон или наклон. Мы можем использовать калькулятор уклона, чтобы определить наклон каждой стороны. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, имеют наклоны, произведение которых равно -1. Формула для уклона, если вы хотите рассчитать вручную:

    (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

    Итак, если координаты (3,6) и (7,10) , уклон сегмента (10-6)/(7-3) = 1 . Если наклон другого сегмента, образующего угол, равен -1 , то линии будут перпендикулярны, поскольку 1 * -1 = -1 . Следовательно, треугольник прямоугольный.

    Вы также можете вычислить недостающие длины сторон и углы прямоугольного треугольника, используя калькулятор прямоугольного треугольника. Если углы, указанные в задаче, выражены в градусах, и вы хотите преобразовать их в радианы или радианы в градусы, воспользуйтесь нашим конвертером углов. Существует простой способ конвертировать градусы в радианы и радианы в градусы.

    Если угол выражен в радианах

    1. Умножить на 180/π

    Если угол выражен в градусах

    1. Умножить на π/180

    Иногда вы можете столкнуться с проблемой отсутствия длины двух или всех трех сторон. В таких случаях калькулятор теоремы Пифагора не поможет — вы будете использовать тригонометрические функции для решения этих недостающих частей.

    Петр Малек и Матеуш Муха

    a² + b² = c²

    Периметр

    Посмотреть 18 подобных калькуляторов треугольников 🔺

    30 60 90 треугольник45 45 90 треугольникПлощадь прямоугольного треугольника… Еще 15

    Что такое 4 в квадрате c в квадрате плюс? [54 ответа найдено]

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.