Тригонометрия 10 класс для чайников: Тригонометрия 10 класс. Первые уроки.

Содержание

Тригонометрия — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

  • Основные теоретические сведения
    • Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований
    • Основные тригонометрические формулы
    • Дополнительные тригонометрические формулы
    • Тригонометрические формулы приведения
    • Тригонометрическая окружность
    • Тригонометрические уравнения

 

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

К оглавлению…

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

  1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
  2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
  3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
  4. Верьте, что всё будет хорошо.

 

Основные тригонометрические формулы

К оглавлению…

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

 

Дополнительные тригонометрические формулы

К оглавлению. ..

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла.  Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

К оглавлению…

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

  • Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
  • Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
  • При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

К оглавлению. ..

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

  • Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
  • Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
  • При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
  • Применяя
    метод замены переменной
    , как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
  • Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
  • Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
  • Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы.

Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Ключевые слова: проектная деятельность, тригонометрические уравнения

Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10

Руководитель:
Злобова Людмила Викторовна,
учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον — «тригон» — треугольник и μετρειν — «метрео» — измеряю).

Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (

прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н. э.

Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.

Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?

  • Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
  • Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
  • Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.

Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

  • познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
  • изучить соответствующую литературу;
  • научиться решать тригонометрические уравнения;
  • найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
  • научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
  • подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

II РАЗДЕЛ (практический)

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

sinx=cos2x;

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos2x−sin2x]

sinx−(cos2x−sin2x)=0;

sinx−(1−sin2x−sin2x)=0;

sinx−(1−2sin2x)=0;

2sin2x+sinx−1=0.

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

2t2+t-1=0

D=b2-4ac, т.е. D=9

t1 = -1, t2 = ½.

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

Ответ:

(Более подробный пример в приложении №1)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем — небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
  2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова — М. Просвещение, 2017.
  3. С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных — М: Издательство: «Экзамен», 2005.
  4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. — М.: Математика ЕГЭ, 2012.

Электронные ресурсы

  1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрия
  2. https://www.yaklass.ru/p/ege/matematika/podgotovka-k-ege-po-matematike-profilnyi-uroven-10744/trigonometricheskie-uravneniia-s-ogranicheniiami-zadacha-13-536475/re-a4b9cc95-fe96-40c2-b70c-f46548b726a0
  3. https://mat. 1sept.ru/1999/no19.htm
  4. https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-1-trigonometriya/
  5. https://math-ege.sdamgia.ru/
  6. https://alexlarin.net/ege21.html
  7. https://www.academia.edu/10962821/МАТЕМАТИКА_ЕГЭ_2012_Тригонометрические_уравнения_методы_решений_и_отбор_корней_типовые_задания_С1
  8. http://teacher-andreeva.ru/wp-content/uploads/2016/03/тригоном-ур-я.pdf
  9. https://reshimvse.com/article.php?id=100

Тригонометрические неравенства для «чайников»



Только что мы разобрали уравнения  и сейчас очередь за соответствующими неравенствами – строгими  и нестрогими . Эти неравенства тоже можно решить разными способами, но я по-прежнему ратую за графический метод решения, он полезнее и нагляднее. Вспоминаем общий принцип:

Решением неравенства  являются те интервалы числовой прямой (оси ), на которых график функции  расположен  выше графика прямой . И, наоборот, неравенству  соответствуют интервалы, где график  ниже графика . Если неравенства нестрогие, то к решению нужно добавить допустимые граничные точки, то есть вместо интервалов получатся отрезки либо полуинтервалы.

И из этих соображений сразу «щёлкаются» некоторые примеры:

 – решением этого неравенства являются все значения «икс», поскольку синусоида  полностью лежит под графиком прямой . Соответственно, неравенство  решений не имеет, т.к. выше прямой синусоиды нет.

 – решением этого неравенства тоже является любое «икс»: , ибо график  расположен не ниже прямой .

Теперь переходим к общему случаю. В предыдущем параграфе я начал с синуса, и сейчас для разнообразия «запилим» с косинуса. Алгоритм решения рассмотрим на конкретном примере: . Решением данного неравенства являются те участки оси , на которых график  выше графика :

На картинке всё тип-топ, но как получить это красивое решение аналитически? Сначала нужно решить соответствующее уравнение: , по общей формуле: , при этом нас будут интересовать два корня, которые расположены близко к началу координат. Очевидно, это корни . Таким образом, неравенство  выполнено на интервале  (малиновая штриховка) и из чертежа следует, что эта ситуация повторяется через каждые  радиан, то есть решением данного неравенства является множество интервалов:
, где …. Громоздко, но довольно просто! Так, при   получаем интервал, который левее: , а при  – интервал, который правее:   (синие штриховки).

Противоположному неравенству  соответствуют те участки оси , на которых график косинуса ниже прямой. Нетрудно выяснить, что это интервал  и его «клоны», повторяющиеся через каждые  радиан: .

Если аргумент тригонометрической функции более сложный, например,  то неравенство удобно решить аналитически, используя некоторые геометрические факты и тот же алгоритм. График функции  имеет такой же вид, как и , только он сжат по горизонтали (как «гармошка») в два раза. Сначала решим соответствующее уравнение: . По общей формуле: , откуда выражаем . Нас по-прежнему интересует два ближайших к нулю угла, и это углы .  На интервале  график  расположен выше прямой  и эта ситуация повторяется через каждые (внимание!)  радиан (так как период сократился в 2 раза), таким образом, решение: .

И обещанный вывод формулы, выражающей косинус через синус на примере простого аргумента («икс»). Из основного тригонометрического тождества выражаем , после чего извлекли корень из обеих частей: . Теперь вспоминаем, как извлекается этот корень:  и как раскрывается модуль:
Решим неравенство . График косинуса не ниже прямой  (оси ) на отрезке  и аналогичная ситуация повторяется через каждые радиан. Таким образом, если , то , и мы получаем формулу со знаком «плюс»: .  Неравенство , очевидно, выполнено  на интервалах  (анализируем чертёж выше), в этом случае мы получаем  и  формулу со знаком «минус»:

Аналогично с «зеркальной» формулой:   . Синусоида (представили в уме!) не ниже оси  на отрезках  и иже с ним, поэтому при этих значениях угла: . Синусоида ниже оси  на интервалах  и иже с ним – при этих углах синус отрицателен, и в формуле следует поставить знак «минус»:

Таким образом, простые неравенства можно решать устно! – это доступно даже «чайнику», главное, помнить, как выглядят графики функций, и где они пересекают ось абсцисс. Следует также заметить, что во многих задачах высшей математики неравенство нужно решить только для одного (обычно первого) периода. Так, для неравенства  берут лишь отрезок , а для  – лишь .

И синусы (с тангенсами заодно) я очень скоро предложу вам для самостоятельного решения, после того, как мы разберём котангенс на примере неравенства .

Изобразим на чертеже график  и прямой :
Нашему неравенству соответствуют те участки оси, где график котангенса не выше прямой. Рассмотрим «главный» период котангенса (от 0 до «пи») и найдём «иксовую» координату точки пересечения графиков: . Таким образом, получаем полуинтервал  и, очевидно, эта ситуация повторяется через каждые  радиан:
Легко понять, что противоположному неравенству  соответствует интервал  (где котангенс выше прямой) и его «клоны»: . Ну а неравенства  вообще решаются устно:  Если аргумент с множителем, например, , то можно использовать тот же шаблон:  и для того, чтобы выразить «икс», нужно умножить на три каждую границу: . График  имеет такую же форму, как и , но растянут по горизонтали в 3 раза (т.е. период был , а стал ).

И в заключение обещанный пункт для самостоятельного решения:

ж) Решить неравенства:  если  (найти решение на первом периоде), .

Решения и ответы в конце книги.

И я Вас поздравляю с успешным (надеюсь) завершением курса!

Должен сказать, в нём есть что-то сакральное. Дело в том, что я получил советское образование и окончил 10 классов, и сейчас у меня получилось ровно 100 страниц (по 10 на класс) и ровно 10 заданий для самостоятельного решения! Причём, и то, и другое вышло совершенно непреднамеренно – я ничего не сокращал и ничего не «подгонял». Желаю успехов и до скорых встреч в курсе высшей математики!

5.7. Простейшие тригонометрические уравнения

| Оглавление |



Тригонометрия… И зачем мне это учить? | Саморазвитие

От редакции

3 подписчика

24.03.2020

3K

Вы помните, что такое синус и косинус? Вы точно начинали это проходить на геометрии в 7 — 8 классах: катеты, гипотенузы, прямоугольный треугольник, прилежащая сторона, противолежащая и их соотношение. К 10 классу у школьников начинается алгебра и начало анализа. В этот момент синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы переносятся уже сюда, появляется ось координат и функции. И если десятиклассник при желании может всю эту информацию вызубрить и забыть, то зачем это помнить во взрослом возрасте?

Урок геометрии и алгебры

Начнём с геометрии. То, что в треугольнике не только три угла, но и три стороны, знает каждый, кто учился в школе. То же самое актуально и для прямоугольного треугольника, только один из его углов равен 90°, огибающие его стороны — катеты, а противоположная и по совместительству самая длинная сторона — гипотенуза.

Два других угла прямоугольного треугольника и являются «точкой отсчёта» для синуса и косинуса. Так, синусом угла является числовое отношение противоположного катета к гипотенузе, а косинусом — смежного катета к гипотенузе. Тангенс же — это отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс — наоборот.

Для расчёта тригонометрических функций всё это переносится на ось координат. Так косинус (cos) отсчитывается по оси абсцисс (х), а синус (sin) — по оси ординат (y). Для удобства и понимания иногда чертится тригонометрический круг с центром в начале координат и с радиусом, равным единице. На этой окружность откладываются углы.

И всё-таки зачем?

Даже если сейчас вы достаточно взрослый человек, предыдущий пункт может восприниматься не так уж легко, и воспоминания о полученных в школе знаниях не торопятся возвращаться. И вы вполне резонно спросите:  «Вы действительно считаете, что это может пригодиться где-то, кроме уроков геометрии и алгебры?» И мы ответим: «Да, может. Смотрите сами!»

Ближе к звёздам
Наших предков тянуло к звёздам не меньше, чем современных людей. И хотя они не летали в космос, они изучали его на уровне, доступном им: они пытались вычислить расстояние до небесных тел. Как они это делали?

Древнейшим астрономическим инструментом считается гномон, представлявший собой вертикальный шест или колонну. В полдень по длине его тени можно было рассчитать угловую высоту солнца. В получении новых знаний использовался котангенс — длина отбрасываемой тени от высоты гномоностолба. Тангенс — непосредственно длина тени.

Этот же способ использовался не только для постижения тайн далёких звезд, но и для определения времени.

Математическое искусство
Математика кажется нам наукой, не терпящей лирики. И в то же время, искусство невозможно без математики, как и без творческого компонента. Прежде всего, речь идёт о скульптуре и архитектуре. 

Так во время Золотого века искусства людям открылся один парадокс: статуя, выполненная по всем законам композиции, при подъёме на пьедестал стала выглядеть несимметричной, кривой. Оказалось, что скульптор не учёл тот факт, что по правилам перспективы, чем ближе к горизонту, тем меньше смотрится деталь.

Но приблизить фигуру к идеалу помогло знание соотношения тех или иных пропорций. Так, зная расстояние от макушки произведения искусства до человеческого глаза и высоту самой скульптуры, мы можем узнать синус угла падения взгляда. Конечно же, при подъёме статуи на постамент, менялись все величины. Но расчёт коэффициента пропорциональности (из сравнения обычной высоты изваяния с высотой на пьедестале) помог решить эту проблему.

Впрочем, даже если вы не скульптор и не архитектор, это вовсе не значит, что о синусах и косинусах стоит забыть: это важно для построения композиции в живописи и графике, фотографии и даже теории музыки.  

Дела сердечные
Не так давно студентом Иранского факультета были открыты алгебраически-тригонометрические принципы, помогающие всем медикам мира систематизировать знания об электрокардиограмме — главном исследования сердца. Это комплексное математическое равенство, и состоит оно, ни много, ни мало, из 8 выражений, 32 коэффициентов и объединяет 33 основных параметра. Оно настолько продуманное, что включает в себя особые расчёты на случай аритмии. Вот как!

Несколько фактов
— Мы не замечаем этого, но наш мозг определяет расстояние до разных окружающих объектов с помощью «встроенной функции» понимания тригонометрических законов;
— Движение рыб в воде происходит по законам синуса и косинуса. Для подтверждения можно наметить точку на хвосте и проследить за перемещением. При плавании тельце рыбы принимает форму, сходную с графиком уравнения y=tg x;
— В папирусе Ринда (II тысячелетие до н.э.) есть задача. Её условием является нахождение наклона пирамиды с высотой 250 локтей и длиной 360 локтей.

Тригонометрия — это удивительная наука, которая может быть тем или иным образом задействована почти во всех областях человеческой деятельности.
Конечно, далеко не каждый из нас становится инженером, астрономом, архитектором или медицинским специалистом. Но, например, создавая уникальный дизайн у себя дома и решив сделать треугольную стойку для цветочного горшка, вы можете вспомнить заветные формулы, и ваш вопрос решится. Впрочем, даже если вы просто любите время от времени поиграть в компьютерные игры, вам стоит знать, что даже их создание не обходится без пресловутых синусов и косинусов. 

Сервер временно недоступен. Пожалуйста, попробуйте позже

Ошибка 404 — Страница не найдена

К сожалению мы не можем показать то, что вы искали. Может быть, попробуете поиск по сайту или одну из приведенных ниже ссылок?

Поиск для:

Архивы

Архивы Выберите месяц Сентябрь 2022 Август 2022 Июль 2022 Июнь 2022 Май 2022 Апрель 2022 Март 2022 Февраль 2022 Январь 2022 Декабрь 2021 Ноябрь 2021 Октябрь 2021 Сентябрь 2021 Август 2021 Июль 2021 Июнь 2021 Май 2021 Апрель 2021 Март 2021 Февраль 2021 Январь 2021 Декабрь 2020 Ноябрь 2020 Октябрь 2020 Сентябрь 2020 Август 2020 Июль 2020 Июнь 2020 Май 2020 Апрель 2020 Март 2020 Февраль 2020 Январь 2020 Декабрь 2019 Ноябрь 2019 Октябрь 2019 Сентябрь 2019 Август 2019 Июль 2019 Июнь 2019 Май 2019 Апрель 2019 Март 2019 Февраль 2019 Январь 2019 Декабрь 2018 Ноябрь 2018 Октябрь 2018 Сентябрь 2018 Август 2018 Июль 2018 Июнь 2018 Февраль 2018 Январь 2018 Ноябрь 2017 Сентябрь 2017 Август 2017 Июль 2017 Апрель 2017 Март 2017 Февраль 2017 Январь 2017

Рубрики

РубрикиВыберите рубрикуbritish bulldogАстраБез рубрикиВидеоурокивоспитательная работаВПРВСОШвысшая пробадвидиктантЕГЭЕГЭ 2022 информатикаЕГЭ 2022 математикаЕГЭ по химиизолотое руноизложениеитоговое сочинениеитоговое устное собеседованиеКенгуруКИТконкурс Пегасконтрольная работактпматематический праздникмежрегиональный химический турнирМОШмцкоОВИООГЭОГЭ 2022 математикаолимпиада звездаолимпиада курчатоволимпиада ЛомоносовОПКРаботы статградрабочая программарабочая тетрадьРДРРешу ЕГЭРешу ОГЭрусский медвежонокСочинениеСтатьитексты егэтесттурнир ЛомоносоваУчебные пособияЧИПЮМШ

Страницы

  • 04. 10.2020 XLIII Турнир Ломоносова задания и ответы
  • 05.12.17 Ответы и задания по математике 10 класс СтатГрад варианты МА00201-МА00208
  • 05.12.17 Ответы и задания по математике 7 класс «СтатГрад» варианты МА70101-МА70106
  • 06.11.2017 Олимпиада «Звезда» естественные науки задания и ответы 6-11 класс отборочный этап
  • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Камчатского края и Чукотского автономного округа
  • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Республика Алтай, Алтайский край, Республика Тыва, Респ. Хакасия, Красноярский край, Кемеровская, Томская и Новосибирская область
  • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 зона 8 Республика Саха (Якутия), город Якутск, Амурская область, Забайкальский край
  • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения для Республика Бурятия, Иркутская область зона 7
  • 06.12.2017 5 зона Омск MSK+3 (UTC+6) официальные темы
  • 06.12.2017 Ответы и задания по обществознанию 9 класс «СтатГрад» варианты ОБ90201-ОБ90204
  • 07. 12.17 Ответы и задания по русскому языку 11 класс СтатГрад варианты РЯ10701-РЯ10702
  • 07.12.2017 Ответы и задания по биологии 9 класс пробное ОГЭ 4 варианта
  • 08.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс контрольная работа ОГЭ 56 регион
  • 08.12.2017 Ответы и задания по физике 9 класс работа СтатГрад ОГЭ ФИ90201-ФИ90204
  • 10.04.2020 Решать впр тренировочные варианты по математике 6 класс с ответами
  • 10.10.17 Математика 9 класс контрольная работа 4 варианта ФГОС 56 регион задания и ответы
  • 10.10.17 Русский язык 9 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ90101-РЯ90102
  • 10.11.2017 История 9 класс задания и ответы статград варианты ИС90201-ИС90204
  • 100balnik мы в ВКОНТАКТЕ
  • 100balnik отзывы пользователей
  • 11 апреля 10-11 класс география ответы и задания
  • 11 апреля 6 класс история ответы и задания
  • 11 апреля 7 класс биология ответы и задания
  • 11.04.2020 Решать ВПР тренировочные варианты по математике 5 класс с ответами
  • 11. 10.17 Физика 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты ФИ10101-ФИ10104
  • 11.12.2017 — 16.12.2017 Олимпиада по дискретной математике и теоретической информатике
  • 11.12.2017 Зимняя олимпиада по окружающему миру для 4 класса задания и ответы
  • 11.12.2017 Ответы и задания по английскому языку 11 класс СтатГрад вариант АЯ10101
  • 11.12.2017 Соревнование для 5-6 классов интернет-карусель по математике задания и ответы
  • 12.04.2020 Решать тренировочные варианты ВПР по математике 4 класс + ответы
  • 12.10 Русский язык 10 класс диагностическая работа ФГОС для 11 региона задания и ответы
  • 12.10.17 Русский 2 класс ВПР официальные варианты задания и ответы
  • 12.10.17 Химия 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ90101-ХИ90104
  • 12.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс работа СтатГрад варианты ГГ90101-ГГ90102
  • 13.09.2017 Биология 11 класс СтатГрад задания и ответы все варианты
  • 13.10.17 Математика 9 класс задания и ответы для 11 региона
  • 13. 10.2017 Обществознание 11 класс работа СтатГрад задания и ответы ОБ10101-ОБ10104
  • 13.12.2017 Ответы по физике 11 класс статград задания варианты ФИ10201-ФИ10204
  • 13.12.2017 Письмо говорение по английскому языку 7-9 класс работа 56 регион
  • 14.09.2017 Информатика 11 класс тренировочная работа статград ответы и задания
  • 14.12 Геометрия 9 класс задания и ответы «СтатГрад»
  • 14.12.2017 КДР ответы по русскому языку 8 класс задания все варианты
  • 14.12.2017 Контрольная работа по математике 8 класс за 1 полугодие 2 варианта заданий с ответами
  • 14.12.2017 Литература 11 класс ответы и задания СтатГрад вариант ЛИ10101
  • 14.12.2017 Ответы КДР по математике 10 класс задания 6 вариантов
  • 14.12.2017 Ответы по геометрии 9 класс СтатГрад задания варианты МА90301-МА90304
  • 14.12.2017 Ответы по математике 11 класс КДР задания 6 вариантов
  • 15.09 Математика 10 класс контрольная работа 3 варианта 56 регион задания и ответы
  • 15. 09.2017 Биология 9 класс тренировочная работа «СтатГрад» БИ90101-БИ90104 ответы и задания
  • 15.11.2017 Задания и ответы 2-11 класс по Русскому медвежонку 2017 год
  • 15.12.2017 Обществознание 11 класс ответы и задания СтатГрад варианты ОБ10201-ОБ10204
  • 16 апреля 11 класс английский язык ответы и задания
  • 16 апреля 5 класс история ответы и задания
  • 16 апреля 6 класс биология ответы и задания
  • 16 апреля 7 класс география ответы и задания
  • 16.01.2018 Контрольная работа по русскому языку 9 класс в формате ОГЭ с ответами
  • 16.01.2018 Ответы и задания КДР по русскому языку 11 класс 23 регион
  • 16.10.2017 Ответы и задания всероссийской олимпиады школьников по математике 4-11 класс ВОШ
  • 16.11.2017 МЦКО 10 класс русский язык ответы и задания
  • 17.01.2018 Ответы и задания по информатике 11 класс работа статград варианты ИН10301-ИН10304
  • 17.10.17 Физика 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ФИ90101-ФИ90104
  • 18 апреля 11 класс химия ответы и задания
  • 18 апреля 5 класс биология ответы и задания
  • 18 апреля 6 класс обществознание ответы и задания
  • 18 апреля 7 класс математика ответы и задания
  • 18. 09. Математика 10 класс задания и ответы
  • 18.10.17 Математика 9 класс РПР 64 регион задания и ответы 1 этап
  • 18.10.2017 Задания и ответы по математике 9 класс 50 регион Московская область
  • 18.12.2017 Биология 11 класс Статград задания и ответы варианты БИ10201-БИ10204
  • 19.09 Диагностическая работа по русскому языку 5 класс задания и ответы за 1 четверть
  • 19.09 Контрольная работа по русскому языку 11 класс для 56 региона задания и ответы 1 четверть
  • 19.09.2017 школьный этап всероссийской олимпиады по ОБЖ 5-11 класс задания и ответы
  • 19.10.17 Русский язык 11 класс (ЕГЭ) задания и ответы статград варианты РЯ10601-РЯ10602
  • 19.12.2017 КДР геометрия 8 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
  • 19.12.2017 КДР математика 9 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
  • 19.12.2017 Математика 10 класс тригонометрия база и профиль ответы и задания СтатГрад
  • 2 апреля 11 класс история ВПР
  • 2 апреля 7 класс английский язык ВПР
  • 20. 09 Входная контрольная работа русский язык 7 класс для 56 региона задания и ответы
  • 20.09.2017 История 9 класс варианты ИС90101-ИС90102 ОГЭ задания и ответы
  • 20.11.2017 Русский язык 9 класс «СтатГрад» ОГЭ задания и ответы РЯ90701-РЯ90702
  • 20.12.2017 Химия 9 класс ответы и задания работа Статград варианты ХИ90201-ХИ90202
  • 21.09.17 Математика 11 класс варианты МА10101-МА10108 задания и ответы
  • 21.10.17 ОБЖ 7-11 класс муниципальный этап ВОШ для Москвы ответы и задания
  • 21.11.17 Биология 9 класс СтатГрад задания и ответы варианты БИ90201-БИ90204
  • 21.12.2017 Математика 9 класс РПР для 64 региона задания и ответы 2 этап
  • 21.12.2017 Ответы и задания по математике 11 класс «СтатГрад» база и профиль
  • 21.12.2017 Ответы и задания по русскому языку 10-11 класс варианты КДР 23 регион
  • 22.09.17 Обществознание 9 класс работа статград ОГЭ варианты ОБ90101-ОБ90102 задания и ответы
  • 22.09.17 Русский язык 10 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы
  • 22. 10 Задания и ответы олимпиады по литературе 7-11 класс муниципальный этап 2017
  • 23 апреля математика 5 класс ВПР 2019
  • 23 апреля русский язык 6 класс ВПР 2019
  • 23 апреля ФИЗИКА 7 класс ВПР 2019
  • 23.11.2017 Задания и ответы по информатике 9 класс для вариантов статград ИН90201-ИН90204
  • 24.10.17 Изложение 9 класс русский язык СтатГрад варианты РЯ90601-РЯ90602
  • 24.10.17 КДР 8 класс математика алгебра задания и ответы 23 регион
  • 24.10.17 Контрольная работа английский язык 7-9 класс для 56 региона письмо
  • 25.09.17 Информатика 9 класс задания и ответы СтатГрад варианты ИН90101-ИН90102
  • 25.10.17 Английский язык 7-9 класс контрольная работа для 56 региона чтение варианты
  • 25.10.17 История 11 класс МЦКО варианты задания и ответы
  • 25.10.17 Русский язык 9 класс МЦКО задания и ответы
  • 26.09 Английский язык 7,8,9 класс контрольная работа для 56 региона задания и ответы ФГОС
  • 26.09.17 История 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты ИС10101-ИС10102
  • 26. 09.17 Математика 11 класс мониторинговая работа ЕГЭ 3 варианта задания и ответы
  • 26.10 ВПР Русский язык 5 класс ответы и задания все реальные варианты
  • 26.10.17 Химия 11 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ10101-ХИ10104
  • 27.09.2017 Математика 9 класс работа статград варианты МА90101-МА90104 задания и ответы
  • 27.10 Задания и ответы для олимпиады по биологии муниципальный этап 2017
  • 28.09.17 Русский язык 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ10101-РЯ10102
  • 29.09.17 Математика 10 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты МА00101-МА00104
  • 30.11.2017 МЦКО математика 11 класс ответы и задания
  • 4 апреля 11 класс биология ВПР
  • 4 апреля 7 класс обществознание ВПР
  • 4 класс диктант 2019 год
  • 4 класс диктант платно
  • 4 класс математика 22.04.2019-26.04.2019
  • 4 класс математика платно ответы и задания
  • 4 класс окр. мир платно
  • 4 класс окружающий мир 22.04.2019-26. 04.2019
  • 4 класс русский тест 2019 год
  • 4 класса тест платно
  • 5 класс биология платно
  • 5 класс история платно
  • 5 класс русский язык впр 25 апреля
  • 5 класс русский язык платно
  • 6 класс история платно
  • 6 класс математика впр 25 апреля
  • 6 класс математика платно
  • 6 класс общество платно
  • 6 класс платно гео ответы и задания
  • 6 класс платно ответы и задания
  • 7 класс ВПР 2019 по географии ответы и задания 16 апреля 2019
  • 7 класс история впр 25 апреля
  • 7 класс русский язык 56 регион ответы и задания 21.12.2018
  • 7.11.17 Английский язык 9 класс от СтатГрад задания и ответы варианты АЯ90101-АЯ90102
  • 8.11.2017 Русский язык 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты РЯ10201-РЯ10202
  • 9 апреля география 6 класс ВПР 2019
  • 9 апреля русский язык 7 класс ВПР 2019
  • 9 апреля физика 11 класс ВПР 2019
  • 9 класс английский язык ОГЭ 24 25 мая
  • 9 класс БИОЛОГИЯ ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
  • 9 класс информатика огэ 2019 год
  • 9 класс математика огэ 2019 год
  • 9 класс обществознание ОГЭ 2019
  • 9 класс ОГЭ 2019
  • 9 класс русский язык ОГЭ 2019
  • 9 класс ФИЗИКА огэ 2019 год
  • 9 класс ФИЗИКА ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
  • 9 класс экзамен по истории огэ 2019 год
  • 9. 11.17 Математика 9 класс работа «СтатГрад» задания и ответы варианты МА90201-МА90204
  • British Bulldog 2019 ответы и задания 3-4 класс 10-11 декабря 2019
  • British Bulldog 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
  • British Bulldog 5-6 класс ответы и задания 2018-2019
  • British Bulldog 9-11 класс ответы и задания 2018-2019
  • FAQ
  • My Calendar
  • Алгебра 7 класс статград 4 декабря 2019 ответы и задания МА1970101-106
  • Алгебра и начала анализа статград 10 класс 4 декабря 2019 ответы и задания
  • Английский 9 класс СтатГрад задания и ответы
  • Английский язык 11 класс АЯ10301 ответы и задания 23 апреля 2019 год
  • Английский язык 11 класс СтатГрад 17.04
  • Английский язык 11 класс статград 5 декабря 2019 ответы и задания АЯ1910101
  • Английский язык 7 класс ВПР 2020 тренировочные варианты задания и ответы
  • Английский язык 7 класс ВПР ответы и задания 2 апреля 2019 год
  • Английский язык 7-9 класс ответы и задания 56 регион
  • Английский язык 7,8,9 класс мониторинговая работа чтение 2019
  • Английский язык 9 класс ответы и задания АЯ1990101 АЯ1990102 статград 6 ноября 2019
  • Английский язык 9 класс платно
  • Английский язык 9 класс статград ответы и задания 2018-2019 06. 11
  • Английский язык аудирование ответы 7 8 9 класс 56 регион 2018-2019
  • Английский язык говорение 56 регион ответы 7 8 9 класс 2018-2019
  • Английский язык задания и ответы школьного этапа олимпиады ВОШ 2019-2020
  • Английский язык ответы 7 8 класс 56 регион чтение 2018-2019
  • Английский язык письмо 7 8 класс ответы и задания 2018-2019
  • Аргументы для тем итогового сочинения 2019-2020 регион МСК+8
  • Архив работ
    • 01.04.2020 Английский язык 9 класс ответы и задания для АЯ1990201-АЯ1990202
    • 05.03.2020 Физика 11 класс статград ответы и задания ФИ1910401-ФИ1910404
    • 06.03.2020 История 11 класс ИС1910401-ИС1910404 статград ответы и задания
    • 12.02.2020 Математика 10 класс МА1900401-МА1900404 ответы и задания
    • 12.05.2020 Математика 9 класс МА1990701-МА1990704 ответы и задания статград
    • 13.05.2020 Русский язык 11 класс варианты РУ1910501-РУ1910502 ответы и задания
    • 14.05.2020 Химия 11 класс варианты ХИ1910501-ХИ1910504 ответы и задания
    • 14. 09.2017 Варианты и ответы контрольной работы математика 8 класс для 56 региона
    • 15.05.2020 Математика 10-11 класс варианты МА1900701-МА1900710 ответы и задания
    • 18.05.2020 Физика 11 класс варианты ФИ1910501-ФИ1910504 ответы и задания
    • 19.03.2020 Русский язык 10-11 класс РЯ1910901-РЯ1910902 ответы и задания
    • 19.05.2020 История 11 класс варианты ИС1910501-ИС1910504 статград ответы и задания
    • 21.05.2020 ОБ1910501-ОБ1910504 ответы и задания обществознание 11 класс статград
    • 24.03.2020 Химия 11 класс ХИ1910401-ХИ1910404 ответы и задания статград
    • Биология 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2020 ответы и задания
    • Вариант № 33006760 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
    • Варианты с ответами пробного экзамена ЕГЭ 2020 по математике в Санкт-Петербурге
    • ВПР 2020 по математике 8 класс новые варианты с ответами
    • ВПР 2020 тренировочная работа по обществознанию 8 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 тренировочные варианты БИ1980201-БИ1980202 по биологии 8 класс задания с ответами
    • ВПР 2020 тренировочные варианты по биологии 6 класс задания с ответами
    • ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 7 класс задания с ответами
    • ВПР 2020 тренировочные варианты по математике 7 класс
    • ВПР 2020 физика 7 класс варианты ФИ1970101, ФИ1970102 с ответами
    • ВПР по математике 4 класс задания и ответы 2018
    • ВПР по математике 5 класс задания и ответы 2018 год
    • ВПР по обществознанию 7 класс 2020 тренировочные варианты с ответами
    • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по литературе 11 класс
    • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по математике ПРОФИЛЬ 11 класс
    • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по русскому языку 11 класс
    • Задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников по праву 5-11 класс 2017-2018
    • Задания и ответы регионального этапа 2019 по экономике ВСОШ
    • История 5 класс ИС1950101-ИС1950102 ВПР 2020 ответы и задания
    • Контрольная работа в формате ОГЭ 2020 по истории 9 класс 3 четверть
    • Контрольная работа ЕГЭ 2020 по химии 11 класс задания и ответы
    • Контрольная работа по истории 11 класс в формате ЕГЭ 2020 задания и ответы
    • Математика 7 класс ответы и задания по диагностической работе 09. 10.2018
    • МЦКО русский язык 11 класс задания и ответы варианты 14 января 2020
    • Новые задачи с ответами по химии 9-10 класс Сириус
    • Новый тренировочный вариант 200622 по информатике и ИКТ 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Новый тренировочный вариант 33006755 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Обществознание 9 класс ответы ОБ90301 и ОБ90302 25.01.2019
    • Олимпиада по английскому языку 4-7 класс ответы и задания для пригласительного этапа 16 апреля 2020
    • Ответы Биология 11 класс тренировочная работа 18 января 2019
    • Ответы пробное ОГЭ география 9 класс 22 января 2019
    • Ответы работа статград история 11 класс 22 января 2019
    • Пробные варианты ВПР 2020 по окружающему миру 4 класс с ответами
    • Пробный ЕГЭ по математике 11 класс задания и ответы апрель 2020 год
    • РДР 2020 5 класс реальные 2 варианта задания и ответы
    • РДР 2020 6 класс реальные задания и ответы 12 марта 2020 год
    • Решать новые тренировочные варианты впр по обществознанию 6 класс 2020
    • Решу ЕГЭ 2020 по информатике 11 класс тренировочный вариант задания №200106
    • Тренировочная работа Обществознание 11 класс ответы 1 февраля 2019
    • Тренировочная работа по математике 9 класс ответы 12 февраля 2019
    • Тренировочная работа по физике 9 класс ответы статград 29 января 2019
    • Тренировочная работа по химии 9 класс ответы статград 14 февраля 2019
    • Тренировочная работа русский язык 11 класс ответы 5 февраля 2019
    • Тренировочная работа русский язык 9 класс ответы 7 февраля 2019
    • Тренировочный вариант 200622 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Тренировочный вариант 200622 по географии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Тренировочный вариант 200622 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Тренировочный вариант 200622 по химии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Тренировочный вариант 29382872 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 29382873 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29382874 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29527679 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 29527683 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29527684 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29527685 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29527686 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29527687 по математике 11 класс профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 33006750 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 33006751 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 33006752 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 33006753 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 33006754 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 33006756 по математике профильный уровень ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 200525 задания и ответы по математике профиль
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527688 по математике 11 класс профильный задания с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527689 по математике 11 класс профильный задания с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527690 по математике 11 класс профильный задания с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 33006763 задания и ответы по математике профиль
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 33006764 задания и ответы по математике профиль
    • Физика 9 класс ФИ1990401- ФИ1990404 ответы и задания статград 3 марта 2020
    • Химия 11 класс ХИ1910601-ХИ1910602 ВПР 2020 тренировочная работа
    • Экзаменационная контрольная работа по литературе 9 класс ОГЭ 2020
  • Астра 2019 ответы и задания 3-4 класс 20 ноября 2019
  • Банк заданий ФИПИ по русскому языку ЕГЭ 2019 морфемика и словообразование
  • Биология 10 класс РДР задания и ответы 14 ноября 2019-2020
  • Биология 11 класс 5 ноября 2019 статград ответы и задания БИ1910201-204
  • Биология 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
  • Биология 11 класс ВПР ответы и задания 11. 05
  • Биология 11 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019
  • Биология 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Биология 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 18 апреля 2019 год
  • Биология 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
  • Биология 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Биология 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
  • Биология 6 класс платно
  • Биология 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
  • Биология 7 класс впр статград ответы и задания 11 сентября 2019
  • Биология 9 класс 15 ноября ответы и задания статград 2018
  • Биология 9 класс БИ90501 БИ90502 ответы и задания 23 апреля 2019
  • Биология 9 класс ответы БИ90401 и БИ90402 статград 01.2019
  • Биология 9 класс ответы и задания 25 ноября работа статград БИ1990201-БИ1990204
  • Биология 9-10 класс ответы КДР 24 января 2019
  • Биология ОГЭ 2018 платно
  • Благодарим за ваш заказ!
  • Британский бульдог 7-8 класс ответы и задания 2018-2019
  • Вариант 322 КИМы с реального ЕГЭ 2018 по математике
  • Вариант № 33006761 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
  • Вариант № 33006762 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
  • Вариант №1 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
  • Вариант №2 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
  • Вариант №3 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
  • Вариант №4 морфемика и словообразование банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ
  • Вариант №5 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
  • Вариант №6 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
  • Вариант №7 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
  • Вариант по биологии с реального ЕГЭ 2020 задания и ответы
  • Варианты БИ1910301-БИ1910304 по биологии 11 класс ответы и задания 14 января 2020
  • Варианты ВПР по физике 11 класс задания и ответы за 2018 год
  • Варианты для проведения ВПР 2020 по математике 6 класс с ответами
  • Ваши отзывы — пожелания
  • Вероятность и статистика 7 класс ответы 16. 05
  • Вероятность и статистика 8 класс ответы 16.05
  • Витрина
  • ВКР английский язык 7,8,9 класс задания и ответы говорение 2019-2020
  • ВКР по геометрии 8 класс ответы и задания
  • Возможные варианты для устного собеседования 9 класс ОГЭ 13 марта 2019
  • Вот что с восторгом воскликнул Иван Васильевич готовые сочинения
  • ВОШ всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
  • ВОШ ВСЕРОССИЙСКИЕ школьные олимпиады 2017-2018 задания и ответы
  • ВОШ муниципальный этап по обществознанию ответы и задания 2018-2019
  • ВОШ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ 2017-2018
  • ВОШ Школьный этап 2017-2018 задания и ответы для Республики Коми
  • ВОШ школьный этап по экономике ответы и задания 2018-2019
  • ВПР 11 класс английский язык ответы и задания 20 марта 2018
  • ВПР 11 класс география
  • ВПР 11 класс история ответы и задания 21 марта 2018
  • ВПР 2019 6 класс обществознание ответы и задания 18 апреля 2019 год
  • ВПР 2019 по математике 7 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
  • ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
  • ВПР 2019 физика 11 класс ответы и задания 9 апреля 2019 год
  • ВПР 2020 6 класс задание №10 по математике с ответами которые будут
  • ВПР 2020 6 класс задание №11 по математике с ответами которые будут
  • ВПР 2020 6 класс задание №6 по математике с ответами
  • ВПР 2020 6 класс задание №7 по математике с ответами
  • ВПР 2020 6 класс задание №8 по математике с ответами
  • ВПР 2020 6 класс задание №9 по математике с ответами которые будут
  • ВПР 2020 английский язык варианты АЯ1910201-АЯ1910202 задания и ответы
  • ВПР 2020 биология 11 класс варианты БИ1910601-БИ1910602 ответы и задания
  • ВПР 2020 биология 5 класс новые варианты с ответами
  • ВПР 2020 вариант демоверсии по биологии 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 география 10-11 класс варианты ГГ1910401-ГГ1910402 ответы и задания
  • ВПР 2020 география 6 класс варианты ГГ1960101, ГГ1960102 задания и ответы
  • ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по математике с ответами которые будут
  • ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по русскому языку с ответами
  • ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по математике с ответами которые будут
  • ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по русскому языку с ответами
  • ВПР 2020 год 6 класс задание №14 по русскому языку с реальными ответами
  • ВПР 2020 демоверсия по биологии 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по географии 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по географии 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по иностранным языкам 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по истории 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по истории 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по математике 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по математике 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 задание 6 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №1 по математике 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
  • ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
  • ВПР 2020 задание №2 по математике 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №3 по математике 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №4 по математике 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №5 по математике 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
  • ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
  • ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
  • ВПР 2020 математика 5 класс реальные задания с ответами
  • ВПР 2020 новые варианты с ответами по русскому языку 7 класс
  • ВПР 2020 ответы и задания всероссийские проверочные работы
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №1 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №10 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №2 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №3 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №4 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №6 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №7 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №8 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №9 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по биологии 7 класс тренировочные варианты БИ1970201,БИ1970202
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание 1 с ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №10 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №2 с ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №3 с ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №4 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №5 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №6 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №7 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №8 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №9 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание 11 реальное с ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание 12 реальное с ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №1 реальное с ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №13 реальное с ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №2 реальное с ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №8 реальное с ответами
  • ВПР 2020 русский язык 8 класс варианты РУ1980201, РУ1980202 ответы
  • ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 8 класс задания с ответами
  • ВПР 2020 тренировочные варианты по русскому языку 5 класс задания с ответами
  • ВПР 2020 физика 11 класс варианты ФИ1910601-ФИ1910602 ответы и задания
  • ВПР 2020 химия 8 класс демоверсия задания и ответы
  • ВПР 2021 ответы и задания всероссийские проверочные работы
  • ВПР 2022 ответы и задания всероссийские проверочные работы
  • ВПР 4 класс математика 2020 год реальные официальные задания и ответы
  • ВПР БИОЛОГИЯ 11 класс 2018 реальные ответы и задания
  • ВПР география 10-11 класс
  • ВПР математика 5 класс ответы и задания
  • ВПР по истории 11 класс ответы и задания 18. 05
  • ВПР ФИЗИКА 11 класс 2018
  • ВПР физика 11 класс резервный день ответы
  • ВПР ХИМИЯ 11 05.04
  • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2018-2019 задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2019-2020 задания и ответы
  • Всероссийская олимпиада по праву ответы и задания школьный этап 25-26 октября 2019
  • Всероссийская олимпиада по химии ответы и задания школьный этап 21-22 октября 2019
  • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада региональный этап 2018-2019 задания и ответы
  • Всероссийская олимпиада школьников региональный этап 2019-2020 задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Краснодарского края
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Челябинской области
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 региональный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 учебный год задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 учебный год задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 школьный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2019-2020 учебный год задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 школьный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2021 заключительный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2022-2023 задания и ответы
  • Всероссийские проверочные работы 2017 задания и ответы
  • Всероссийские проверочные работы 2017-2018 задания и ответы
  • Всероссийские проверочные работы 2018-2019 задания и ответы
  • Всесибирская олимпиада школьников задания и ответы по математике 2018-2019
  • Входная контрольная работа по математике 11 класс ответы и задания 2019-2020
  • Входная контрольная работа по математике 4 класс ответы и задания 2019-2020
  • Входная контрольная работа по математике 5 класс ответы и задания 2019-2020
  • Входная работа по русскому языку 11 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
  • Входные контрольные работы ФГОС варианты и ответы с 1 по 11 класс
  • Гарантия
  • ГГ1910101 ответы и задания география 11 класс статград 4 октября 2019
  • ГДЗ 5 классы решебники
  • ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н. Я
  • ГДЗ решебники
  • Гелиантус АСТРА 1-2 класс ответы и задания 2018-2019
  • Гелиантус АСТРА 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
  • География 10-11 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
  • География 11 класс ответы и задания 17 апреля 2019 тренировочная №4
  • География 11 класс ответы и задания вариант ГГ10101 статград 2018-2019
  • География 11 класс платно
  • География 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
  • География 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 9 апреля 2019
  • География 6 класс ВПР 2020 год задание 7 и официальные ответы
  • География 6 класс ВПР 2020 год задание №8 и реальные ответы
  • География 6 класс ВПР 2020 задание №2 официальное с ответами
  • География 6 класс ВПР 2020 задание №3 с ответами официальные
  • География 6 класс ВПР 2020 задание №4 с ответами официальные
  • География 6 класс ВПР 2020 задание №5 с ответами официальные
  • География 6 класс ВПР 2020 задание №6 и официальные ответы
  • География 6 класс задание №1 реального ВПР 2020 с ответами
  • География 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
  • География 9 класс ответы и задания ГГ90401 ГГ90402 22 апреля 2019
  • География 9 класс ответы и задания тренировочная статград 18 марта 2019
  • География 9 класс СтатГрад задания и ответы
  • География 9 класс статград ответы и задания 13 марта 2018
  • География задания и ответы школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
  • География муниципальный этап 2019 задания и ответы всероссийской олимпиады
  • Геометрия 9 класс ответы и задания 12 декабря 2019 работа статград
  • Готовое итоговое сочинение 2018-2019 на тему может ли добрый человек проявлять жестокость?
  • Готовые сочинения для варианта №1 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И. П
  • Готовые сочинения для варианта №2 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения для варианта №3 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения для варианта №4 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения для варианта №5 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения для варианта №6 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения для варианта №7 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения ЕГЭ в избушке у самого леса живёт старый охотник
  • Готовые сочинения ЕГЭ несомненно Дюма останется ещё на многие
  • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту может быть самая трогательная и самая глубокая
  • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту Н. Тэффи нежность самый кроткий робкий божественный лик любви
  • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту отправь голову в отпуск Измайлов
  • Готовые сочинения ЕГЭ ты часто жаловался мне, что тебя «не понимают!»
  • Готовые сочинения как-то Анатолий Бочаров высказал по тексту В. В. Быкову
  • Готовые сочинения на Невском, у Литейного постоянно толпились
  • Готовые сочинения по тексту Ф. М. Достоевскому в эту ночь снились мне
  • Готовые сочинения чего нам так не хватает а не хватает нам любви к детям по тексту А. А. Лиханову
  • Готовые сочинения я очень плохо знаю деревенскую жизнь с проблемами и текстом
  • ДВИ МГУ варианты ответы и программы вступительных испытаний
  • Демоверсии ЕГЭ 2023 года ФИПИ по всем предметам
  • Демоверсия ВПР 2020 география 6 класс задания и ответы фипи
  • Демоверсия ВПР 2020 история 6 класс задания и ответы фипи
  • Демоверсия ВПР 2020 по биологии 6 класс задания и ответы фипи
  • Демоверсия ВПР 2020 по обществознанию 6 класс задания и ответы фипи
  • Демоверсия ОГЭ 2019 по математике решение заданий
  • Диктант по русскому языку 4 класс ВПР 2018 задания
  • ДКР 2019 по географии 10 класс ответы и задания Свердловская область
  • ДКР 2019 по географии 7 класс задания и ответы 11 декабря 2019-2020
  • Добро пожаловать
  • Доступ ко всем работам
  • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по истории 11 класс
  • Если хочешь понять душу леса найди лесной 9 готовых сочинений ЕГЭ
  • Естественные науки ответы и задания олимпиада ЗВЕЗДА 25-29 ноября 2019-2020
  • за эти месяцы тяжелой борьбы решающей 9 готовых сочинений ЕГЭ
  • Задание № 15 неравенства ОГЭ по математике 9 класс 2020
  • Задания ВПР 2017 для 11 класса по географии
  • Задания ВПР 2017 для 4 класса по русскому языку
  • Задания ВПР 2017 для 5 класса по математике
  • Задания заключительного этапа ВСЕРОССИЙСКОЙ олимпиады по информатике 2017/2018
  • Задания и ответы 2 варианта пробного экзамена ЕГЭ по математике 11 класс 4 апреля 2018
  • Задания и ответы 56 регион на ФЕВРАЛЬ 2017
  • Задания и ответы 6 класс XXX математический праздник 2019 год
  • Задания и ответы Англ. яз 18.11
  • Задания и ответы Биология 14.11
  • Задания и ответы Биология 9 класс 21.11.
  • Задания и ответы всероссийской олимпиады по русскому языку Московской области 19 ноября 2017
  • Задания и ответы ГЕОГРАФИЯ 21.11.2017
  • Задания и ответы для комплексной работы КДР для 8 класса ФГОС 4 варианта
  • Задания и ответы для Оренбургской области 56 регион декабрь 2017
  • Задания и ответы для Оренбургской области ноябрь 2017
  • Задания и ответы для Оренбургской области октябрь 2017
  • Задания и ответы для Оренбургской области сентябрь 2017
  • Задания и ответы для работ 11 регион Республика Коми 2018-2019
  • Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми Декабрь 2018-2019
  • Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми НОЯБРЬ 2018-2019
  • Задания и ответы для работ 56 региона октябрь 2018
  • Задания и ответы для работ Республики Коми
  • Задания и ответы для регионального этапа по физической культуре 2018
  • Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион декабрь 2018
  • Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион февраль 2018
  • Задания и ответы КДР 2019 математика 9 класс 20 февраля
  • Задания и ответы Математика 03. 12
  • Задания и ответы Математика 17.11
  • Задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 по немецкому языку 7-11 класс ВСОШ
  • Задания и ответы муниципального этапа по русскому языку 2019-2020 Москва
  • Задания и ответы МХК 15.11
  • Задания и ответы на Апрель 2017 для 56 региона
  • Задания и ответы на Май 2017 для 56 региона
  • Задания и ответы на Март 2017 для 56 региона
  • Задания и ответы олимпиады по литературе региональный этап 2020
  • Задания и ответы по информатике 11 класс 28 ноября 2017 СтатГрад варианты ИН10201-ИН10204
  • Задания и ответы по истории для 11 классов (56 регион)
  • Задания и ответы по математике 11 класс профиль вариант №22397963
  • Задания и ответы по математике 11 класс профиль ЕГЭ вариант №22397967
  • Задания и ответы по математике 6 класс ВПР 2018
  • Задания и ответы по русскому языку 6 класс ВПР 2018
  • Задания и ответы по русскому языку 9 класс СтатГрад 29 ноября 2017 варианты РЯ90201-РЯ90202
  • Задания и ответы по физике муниципального этапа 2019 всероссийская олимпиада
  • Задания и ответы по химии 11 класс СтатГрад 30 ноября 2017 года варианты ХИ10201-ХИ10204
  • Задания и ответы ПРАВО 14. 11
  • Задания и ответы право региональный этап ВОШ 2019
  • Задания и ответы регионального этапа 2019 по английскому языку
  • Задания и ответы регионального этапа 2019 по испанскому языку
  • Задания и ответы регионального этапа 2019 по китайскому языку
  • Задания и ответы регионального этапа 2019 по химии ВОШ
  • Задания и ответы региональный этап ВОШ 2019 по французскому
  • Задания и ответы Русский язык 19.11
  • Задания и ответы Русский язык ОГЭ 9 класс 20.11.
  • Задания и ответы Физика 18.11
  • Задания и ответы Химия 24.11
  • Задания Московской математической олимпиады 8 класс 17 марта 2019 год
  • Задания МОШ 2019 по физике 1 тур 7 8 9 10 класс
  • Задания по истории муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
  • Задания, ответы и результаты олимпиады по биологии региональный этап 2020
  • Задания, ответы и результаты олимпиады по химии региональный этап 2020
  • Заключительный этап 2022 задания и ответы многопрофильной инженерной олимпиады звезда
  • Заключительный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020 задания и ответы
  • Закрытый раздел
  • Золотое руно 2018 ответы и задания 16 февраля конкурс по истории
  • Изложение русский язык 9 класс статград ответы и задания 4 октября 2019
  • Информатика 11 класс 15 ноября 2019 статград ответы и задания ИН1910201- ИН1910204
  • Информатика 11 класс КДР ответы и задания 18 декабря 2018
  • Информатика 11 класс платно
  • Информатика 11 класс СтатГрад задания и ответы
  • Информатика 11 класс тренировочная №5 ответы и задания 15 апреля 2019 год
  • Информатика 7 класс ответы РДР 21 февраля 2019
  • Информатика 9 класс 06. 03
  • Информатика 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
  • Информатика 9 класс ответы и задания тренировочная №5 25 апреля 2019
  • Информатика 9 класс ответы статград 13 ноября 2018
  • Информатика 9 класс ответы статград 31 января 2019
  • Информатика ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
  • Информатика ОГЭ 2018
  • Информатика ОГЭ 2018 платно
  • Информатика ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
  • История 10 класс РДР 2019 официальные задания и ответы все варианты
  • История 11 класс 13 ноября 2019 ответы и задания статград вариант ИС1910201- ИС1910204
  • История 11 класс ВПР 2018 год задания и ответы все варианты
  • История 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 2 апреля 2019 год
  • История 11 класс ВПР 2020 тренировочные варианты с ответами
  • История 11 класс задания и ответы СтатГрад
  • История 11 класс ИС10201 и ИС10202 ответы и задания статград 23.11.2018
  • История 11 класс ответы и задания СтатГрад 24. 04
  • История 11 класс ответы ИС10401 и ИС10402 11 марта 2019 год
  • История 11 класс СтатГрад 24 ноября 2017 задания и ответы варианты ИС10201-ИС10204
  • История 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • История 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
  • История 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
  • История 5 класс ВПР 25.04
  • История 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • История 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
  • История 6 класс тренировочные варианты ВПР 2020 задания и ответы
  • История 7 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
  • История 7 класс платно 24 апреля
  • История 9 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы 2019-2020
  • История 9 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019 год
  • История 9 класс СтатГрад 27 февраля ответы и задания
  • История 9 класс статград ответы и задания 2018-2019
  • История 9 класс статград ответы и задания 30 марта 2018
  • История всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
  • Итоговая контрольная работа по математике 8 класс за 2018-2019 учебный год
  • Итоговая контрольная работа по русскому языку 7 класс за 2018-2019 учебный год
  • Итоговая работа математика 10 класс ответы и задания 24 апреля 2019 год
  • Итоговое собеседование варианты 12 февраля 2020
  • Итоговое сочинение 05. 12.2018
  • Итоговое сочинение 2017
  • Итоговое устное собеседование ОГЭ 2022 по русскому языку 9 класс
  • Как написать эссе по обществознанию ЕГЭ
  • Как получить задания и ответы для ВПР 2019
  • Как получить работу задания и ответы
  • Как получить темы на итоговое сочинение 6 декабря 2017 года
  • Как человеку воспитать в себе доброту? готовое итоговое сочинение 2018-2019
  • КДР (задания+ответы) на Февраль 2017
  • КДР (задания+ответы) на Январь 2017
  • КДР 1 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
  • КДР 2 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
  • КДР 2019 23 регион ответы и задания май 2019 год
  • КДР 2019 задания и ответы по английскому языку 8 класс 21 мая 2019 год
  • КДР 2019 ответы и задания апрель 2019 год
  • КДР 2019 ответы по географии 9 класс 15 февраля
  • КДР 2019 химия 9 и 10 класс ответы 19 марта 2019 год
  • КДР 2019-2020 декабрь 23 регион ответы и задания
  • КДР 2020 23 регион ответы и задания Краснодарский край
  • КДР 9 класс русский язык ответы и задания 14 декабря 2018
  • КДР Английский язык 8 класс ответы и задания 2018-2019
  • КДР апрель 2017 работы задания и ответы
  • КДР апрель 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
  • КДР декабрь 2017 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
  • КДР задания и ответы
  • КДР задания и ответы комплексная работа 3 класс 2018 год
  • КДР задания и ответы комплексная работа 4 класс варианты 2018 год
  • КДР Май 2017 работы задания и ответы
  • КДР Май 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
  • КДР математика 11 класс задания и ответы 28 февраля 2018 год
  • КДР математика 7 класс ответы и задания 12. 04
  • КДР математика 9 класс 19.04
  • КДР ответы и задания 23 регион Январь 2019
  • КДР ответы и задания для Краснодарского края 23 регион ДЕКАБРЬ 2018
  • КДР ответы и задания математика 10-11 класс 23 ноября 2018
  • КДР ответы и задания НОЯБРЬ 2018 для Краснодарского края 23 регион
  • КДР ответы и задания октябрь 2018 для Краснодарского края 23 регион
  • КДР ответы и задания по английскому языку 9 10 11 класс 8 февраля 2018
  • КДР ответы и задания по Биологии 10 класс 23 января 2018
  • КДР ответы и задания по Биологии 11 класс 23 января 2018
  • КДР ответы и задания по Биологии 9 класс 23 января 2018
  • КДР ответы и задания по Географии 10 класс 25 января 2018
  • КДР ответы и задания по Географии 9 класс 25 января 2018
  • КДР ответы и задания по информатике 10 класс 18 января 2018
  • КДР ответы и задания по информатике 9 класс 18 января 2018
  • КДР ответы и задания по истории 9 10 11 класс 13 февраля 2018
  • КДР ответы и задания по обществознанию 9 10 11 класс 1 февраля 2018
  • КДР ответы и задания по русскому языку 9 класс 6 февраля 2018
  • КДР ответы и задания по химии 10 11 класс 6 февраля 2018
  • КДР ответы математика 7 класс 30 января 2019
  • КДР ответы русский язык 9 класс 6 февраля 2019
  • КДР ответы физика 9-10 класс 31 января 2019
  • КДР по алгебре 8 класс ответы и задания 2018-2019
  • КДР ПО ГЕОГРАФИИ 11 КЛАСС 23 регион ответы и задания 22 февраля
  • КДР по литературе 10 11 класс 2018 ответы и задания
  • КДР по литературе 10 класс ответы
  • КДР по Математике 9 класс официальные ответы
  • КДР по русскому языку для 9 классов
  • КДР русский язык 7 8 класс ответы и задания
  • КДР русский язык 7-8 класс ответы 17. 05
  • КДР февраль 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
  • КДР январь 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
  • Кенгуру 2017 9 класс ответы
  • Кенгуру 2017 ответы и задания 2-10 класс
  • Кенгуру 2019 ответы и задания 5-6 класс
  • Кенгуру 2019 ответы и задания для 7-8 класса
  • КИТ 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
  • КИТ 8-9 класс ответы и задания 2018-2019
  • КИТ-2019 ответы и задания 10-11 класс 27 ноября 2019-2020
  • Комплексная работа ФГОС 5 6 7 8 9 класс ответы и задания 30 ноября 2018
  • Конкурс АСТРА 2019 ответы и задания 5-6 класс 20 ноября 2019
  • Конкурс КИТ 2018 4-5 класс ответы и задания
  • Конкурс КИТ 2019 ответы и задания 2-3 класс 27 ноября 2019
  • Контакты
  • Контрольная входная работа по русскому языку 10 класс ответы и задания 2019-2020
  • Контрольная работа за 1 полугодие по русскому языку 7 класс ответы и задания
  • Контрольная работа по математике 11 класс 2 четверть в формате ЕГЭ 3 варианта с ответами
  • Контрольная работа по русскому языку 10 класс за 1 полугодие 2 варианта с ответами
  • Контрольная работа по русскому языку 8 класс за 1 полугодие 2 четверть задания и ответы
  • Контрольные работы ОГЭ 2021 задания и ответы для 9 класса
  • Контрольные срезы 56 регион ответы и задания октябрь 2019-2020
  • Корзина
  • Критерии ответы и задания по физике 11 класс статград 23 марта 2018
  • Критерии ответы по информатике 11 класс статград 16 марта 2018
  • Критерии ответы по русскому языку 11 класс статград 2018
  • Кружила январская метелица скрипели мерзлые готовые сочинения ЕГЭ
  • Куда поступить после 11 класса в 2017 году
  • Литература 11 класс ответы и задания ЕГЭ статград 22. 03.2018
  • Литература 11 класс СтатГрад задания и ответы
  • Литература 9 класс ОГЭ 2019 год
  • Литература 9 класс ответы и задания статград 22 ноября 2018 год
  • Литература 9 класс статград ОГЭ сочинение ответы 14 марта 2018
  • Литература ОГЭ 2018 платно
  • Литература олимпиада ВОШ задания муниципальный этап 2018-2019
  • Литература ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
  • Литература ответы и задания школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
  • Литература школьный этап 2019-2020 задания и ответы олимпиады ВОШ
  • Математика 7 классов 56 регион задания и ответы
  • Математика 10 класс (вероятность и статистика)
  • Математика 10 класс 56 регион ответы 16.05
  • Математика 10 класс вероятность и статистика ответы и задания 4 апреля 2019
  • Математика 10 класс задания и ответы мониторинговая работа ФГОС 2019-2020
  • Математика 10 класс ответы и задания 18.05
  • Математика 10 класс ответы и задания статград
  • Математика 10 класс ответы и задания статград 2018-2019
  • Математика 10 класс статград ответы и задания 29. 03.2018
  • Математика 10 класс статград ответы и задания БАЗА и ПРОФИЛЬ
  • Математика 10 класс тригонометрия ответы статград 18.12.2018
  • Математика 10-11 класс ответы и задания варианты статград 17 мая 2019
  • Математика 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
  • Математика 11 класс 17 декабря 2019 контрольная работа задания и ответы
  • Математика 11 класс диагностическая работа ЕГЭ профиль задания и ответы для 11 региона
  • Математика 11 класс КДР ответы и задания 28 февраля
  • Математика 11 класс ответы база профиль статград 24 января 2019
  • Математика 11 класс ответы и задания БАЗА ПРОФИЛЬ 20.09
  • Математика 11 класс ответы и задания тренировочная работа №5 19 апреля 2019
  • Математика 11 класс ответы статград БАЗА ПРОФИЛЬ 20.12.2018
  • Математика 11 класс профиль 56 рег
  • Математика 11 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 13 марта 2019
  • Математика 3 класс задания ВСОКО МЦКО итоговая работа 2019
  • Математика 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Математика 4 класс ВПР ответы 25. 04
  • Математика 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
  • Математика 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Математика 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
  • Математика 5 класс задания и ответы СтатГрад варианты 12 сентября 2017 год
  • Математика 5 класс контрольная работа за 1 полугодие задания и ответы 2019-2020
  • Математика 5 класс официальная демоверсия ВПР 2020 задания и ответы
  • Математика 5 класс платно
  • Математика 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Математика 6 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
  • Математика 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
  • Математика 6 класс ответы СтатГрад 15.05
  • Математика 7 класс ответы и задания варианты МА70301 МА70302 14 мая 2019
  • Математика 7 класс РДР ответы 2018-2019
  • Математика 8 класс 56 регион 17.03
  • Математика 8 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
  • Математика 8 класс входная контрольная работа ответы и задания 2019-2020
  • Математика 8 класс задания и ответы работа статград 12 сентября 2017
  • Математика 8 класс ответы и задания варианты МА80201 МА80202 14 мая 2019
  • Математика 8 класс ответы и задания по диагностической работе 11 регион 2018-2019
  • Математика 8 класс статград ответы и задания
  • Математика 9 класс — 64 регион ответы
  • Математика 9 класс 12 ноября 2019 ответы и задания работа статград МА1990201-04
  • Математика 9 класс 13. 02
  • Математика 9 класс 56 рег ответы
  • Математика 9 класс контрольная работа в формате ОГЭ 4 варианта ответы и задания
  • Математика 9 класс ОГЭ 2018 ответы и задания
  • Математика 9 класс ответы 11 регион 18.12.2018
  • Математика 9 класс ответы 15.05 СтатГрад
  • Математика 9 класс ответы и задания 11 регион 4 октября 2018
  • Математика 9 класс ответы и задания варианты 56 регион 10 октября 2019
  • Математика 9 класс ответы и задания РПР 64 регион 20.12.2018
  • Математика 9 класс ответы и задания статград 19 марта 2019
  • Математика 9 класс ответы и задания статград варианты 15 мая 2019 год
  • Математика 9 класс ответы РПР 64 регион 2019 3 этап 20 марта
  • Математика 9 класс пробник статград ответы и задания 21 марта 2018
  • Математика 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
  • Математика 9 класс статград ответы и задания 13 февраля 2018 года
  • Математика 9 класс статград ответы и задания 27.09.2018
  • Математика База платно
  • Математика геометрия 9 класс КДР ответы и задания 20 февраля 2018
  • Математика задания и ответы муниципальный этап ВОШ 2018-2019 для Москвы
  • Математика олимпиада ВОШ 2018-2019 школьный этап задания и ответы
  • Математика ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
  • Математика профиль 11 класс 56 регион контрольная работа 18. 12.2018
  • Математика тренировочная работа 9 класс ответы статград 8 ноября 2018 года
  • Математическая вертикаль 2021-2022 ответы и задания
  • Математическая вертикаль ответы и задания 2020-2021 учебный год
  • Материалы за 2016-2021 учебный год
  • Международный молодёжный предметный чемпионат по правоведению для 10-11 классов.
  • Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2017-2018 задания и ответы
  • Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2018-2019 ответы и задания
  • Многопрофильная инженерная олимпиада Звезда 2021-2022 ответы и задания
  • Многопрофильная олимпиада Звезда 2019-2020 ответы и задания
  • Многопрофильная олимпиада Звезда 2020-2021 ответы и задания
  • Мой аккаунт
  • Мониторинговая работа аудирование по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019-2020
  • Мониторинговая работа по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019
  • Мониторинговая работа по русскому языку 5 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
  • Мониторинговая работа по русскому языку 8 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
  • Мониторинговые работы 56 регион ответы и задания сентябрь 2019
  • Московская олимпиада школьников 2020-2021 ответы и задания
  • Московская олимпиада школьников 2021-2022 ответы и задания
  • Московский турнир юных физиков задания 2019-2020 учебный год
  • МПУ МЦКО 4 класс задания 31 января 2019 год
  • Муниципальный этап 2019 олимпиады по испанскому языку задания и ответы ВОШ
  • Муниципальный этап 2019 олимпиады по истории задания и ответы ВСОШ
  • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиада по ОБЖ ответы и задания для Москвы
  • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по химии задания и ответы Московская область
  • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по экологии ответы и задания ВсОШ Москва
  • Муниципальный этап 2019-2020 по литературе ответы и задания ВсОШ Москва
  • Муниципальный этап ВОШ 2018 по праву задания и ответы для Москвы
  • Муниципальный этап ВОШ 2018-2019 задания по химии в Московской области
  • Муниципальный этап ВОШ по астрономии ответы и задания 2018-2019 учебный год
  • Муниципальный этап ВОШ по ОБЖ ответы и задания 2018-2019
  • Муниципальный этап олимпиады 2019 по искусству МХК задания и ответы ВСОШ
  • Муниципальный этап олимпиады 2019-2020 по астрономии задания и ответы Московская область
  • Муниципальный этап олимпиады по биологии ответы и задания 19 октября 2019
  • Муниципальный этап по астрономии всероссийской олимпиады задания 2018-2019
  • Муниципальный этап по обществознанию 2019-2020 ответы и задания ВСОШ Москва
  • Муниципальный этап по экономике всероссийская олимпиада 2018-2019
  • МХК искусство задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 учебный год
  • МХК искусство школьный этап 2019 ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
  • МХК муниципальный этап 8 ноября задания всероссийской олимпиады 2018-2019
  • МЦКО 2019-2020 расписание и демоверсии диагностических работ
  • МЦКО 2020-2021 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
  • МЦКО 2021-2022 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
  • МЦКО 2022-2023 демоверсии, варианты и ответы диагностических работ
  • МЦКО 7 класс математика ответы 13 февраля 2018
  • МЦКО 8 класс метопредмет ответы и задания 27 февраля
  • МЦКО 8 класс ответы 15. 03
  • МЦКО история 10 класс ответы 25.10.2018
  • МЦКО математика 3 класс задания
  • Мцко математика 7 класс 02.03.17
  • МЦКО математика 9 класс варианты задания и ответы 2019-2020
  • МЦКО математика 9 класс ответы и задания 3 октября 2018
  • МЦКО ответы и задания по русскому языку 11 класс 18 января 2018
  • МЦКО ответы и задания по русскому языку 7 8 класс 1 февраля 2018
  • МЦКО по физике для 9 классов
  • МЦКО русский язык 9 класс ответы 2018-2019
  • МЦКО физика для 7 классов ответы и задания
  • Направления тем итогового сочинения 2017-2018
  • Наше наследие 1-11 класс муниципальный тур ответы и задания 2019-2020
  • Наше наследие 1-11 класс школьный тур ответы и задания 2019-2020
  • Наше наследие олимпиада задания и ответы 2017-2018
  • Наше наследие ответы и задания 5-6 класс школьный тур 2019-2020
  • Наше наследие ответы и задания 9-11 класс школьный тур 2019-2020
  • Новый тренировочный вариант 200622 по биологии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 200622 по физике 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 210201 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 210201 по истории 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 210201 по литературе 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 210201 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 210208 по химии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 34072997 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
  • Новый тренировочный вариант 34072998 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
  • Новый тренировочный вариант 34072999 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 34073000 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант ЕГЭ 34073001 по математике профильный с ответами
  • Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по биологии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по физике 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • О нас
  • ОБ1910201-ОБ1910204 ответы и задания обществознание 11 класс 13 декабря 2019
  • ОБЖ школьный этап задания и ответы олимпиады ВОШ 2019-2020
  • Обществознание 10 класс КДР 2019 задания и ответы 01. 03.2019
  • Обществознание 11 класс 04.05
  • Обществознание 11 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
  • Обществознание 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания 19 марта 2018
  • Обществознание 11 класс СтатГрад задания и ответы
  • Обществознание 11 класс Статград ответы и задания
  • Обществознание 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Обществознание 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
  • Обществознание 9 11 класс контрольная работа 56 регион 20 февраля 2018
  • Обществознание 9 класс 19 декабря 2019 ответы и задания ОБ1990201-ОБ1990204
  • Обществознание 9 класс КДР 2019 ответы 01.03.2019
  • Обществознание 9 класс ответы и задания 29 апреля 2019 тренировочная №5
  • Обществознание 9 класс СтатГрад задания и ответы
  • Обществознание 9 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
  • Обществознание 9 класс тренировочная работа №1 ответы и задания 21.09
  • ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ для 9 классов Республика Коми, 11 регион
  • Обществознание ОГЭ 2018 платно
  • ОГЭ
  • ОГЭ 2017 закрытый раздел
  • ОГЭ 2018 Математика платно
  • ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 24 региона
  • ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 54 региона
  • ОГЭ 2019 официальное расписание экзаменов 9 класс
  • ОГЭ английский язык 2018 ответы и задания 9 класс
  • Одно желание было у лейтенанта Бориса Костяева готовые сочинения ЕГЭ
  • Окружающий мир 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Окружающий мир 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
  • Олимпиада Звезда заключительный тур 2017-2018 задания и ответы
  • Олимпиада Ломоносов по математике 11 класс задания и ответы 2018-2019
  • Олимпиада Наше Наследие 2019-2020 учебный год задания и ответы
    • Школьный тур 5-11 класс наше наследие задания и ответы 2019-2020
  • Олимпиада Наше Наследие 2020-2021 учебный год ОВИО задания и ответы
  • Олимпиада Наше Наследие задания и ответы 2018-2019 учебный год
  • Олимпиада основы православной культуры задания и ответы 2019-2020
  • Олимпиада по английскому языку 8-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 17 апреля 2020
  • Олимпиада по английскому языку задания и ответы муниципального этапа 2019
  • Олимпиада по английскому языку школьный этап 2017 задания
  • Олимпиада по астрономии муниципальный этап 2019 задания и ответы
  • Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап 2019 ВОШ
  • Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап ВсОШ 23-24 октября 2019
  • Олимпиада по математике НТИ отборочный этап ответы и задания 2018-2019
  • Олимпиада по МХК школьный этап 2017 задания
  • Олимпиада по обществознанию школьный этап 2017 задания
  • Олимпиада по праву школьный этап 2017 задания
  • Олимпиада по русскому языку задания и ответы школьного этапа 2019
  • Олимпиада по физической культуре муниципальный этапа 2019-2020 задания и ответы
  • Олимпиада по экологии 4-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 15 апреля 2020
  • Олимпиада по экологии ответы и задания школьный этап 2019-2020 Московская область
  • Олимпиада по экологии школьный этап 2017 задания
  • Олимпиада РОСАТОМ 2018-2019 задания и ответы
  • Олимпиада ФИЗТЕХ 11 класс ответы и задания 2018-2019
  • Олимпиада школьников САММАТ 2019-2020 ответы и задания
  • Оплата заказа
  • Оренбургская область 56 регион задания и ответы работы январь 2018
  • Отборочные задания по математике для физико-математической школы 2019 год
  • Отборочные задания по физике для физико-математической школы 2019 год
  • Ответы 56 регион математика 8 класс 19 декабря 2018
  • Ответы 7 8 класс золотое руно 2019 с заданиями
  • Ответы 9-11 класс золотое руно задания 2019
  • Ответы английский язык 7 8 9 класс говорение 56 регион 2018-2019
  • Ответы английский язык для 9 классов 56 регион
  • Ответы ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №5
  • Ответы для реального задания №10 ВПР 2020 по географии 6 класс
  • Ответы для реального задания №9 ВПР 2020 по географии 6 класс
  • Ответы задания и сочинения татарский язык ЕРТ
  • Ответы задания изложение по русскому языку 9 класс СтатГрад 8 февраля 2018
  • Ответы и задания 1-2 класс конкурс АСТРА 20 ноября 2019-2020
  • Ответы и задания 10-11 класс КИТ 2018
  • Ответы и задания 11 класс кенгуру выпускника 2019
  • Ответы и задания 12. 04.2018
  • Ответы и задания 2 класс пегас 2019
  • Ответы и задания 2 класс чип 2019-2020 Австралия
  • Ответы и задания 3-4 класс золотое руно 2019
  • Ответы и задания 3-4 класс кенгуру 2019 год
  • Ответы и задания 3-4 класс пегас 2019
  • Ответы и задания 3-4 класс ЧИП 2019 год
  • Ответы и задания 4-5 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
  • Ответы и задания 4-5 класс русский медвежонок 14 ноября 2019
  • Ответы и задания 5-6 класс Гелиантус (астра) 2018-2019
  • Ответы и задания 5-6 класс золотое руно 2019 год
  • Ответы и задания 6-7 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
  • Ответы и задания 6-7 класс русский медвежонок 2018-2019
  • Ответы и задания 8-9 класс русский медвежонок 2018-2019
  • Ответы и задания 9 класс кенгуру выпускника 2019
  • Ответы и задания 9-10 класс кенгуру 2019 год
  • Ответы и задания английский язык 9 класс диагностика №2 22 марта 2019
  • Ответы и задания БИ10401 и БИ10402 биология 11 класс 4 марта 2019
  • Ответы и задания биология 11 класс статград
  • Ответы и задания биология 11 класс статград 30 ноября 2018
  • Ответы и задания ВПР по географии 10-11 класс 03. 04.2018
  • Ответы и задания география 11 класс статград 9 декабря 2019 ГГ1910201
  • Ответы и задания для конкурса Кенгуру 2020 11 класс
  • Ответы и задания для конкурса по информатике КИТ 1-11 класс 29 ноября 2017 год
  • Ответы и задания для Оренбургской области 56 регион март 2019
  • Ответы и задания для пробных работ 56 региона 2018
  • Ответы и задания для работ 15.02.2017
  • Ответы и задания для работы статград по истории 9 класс
  • Ответы и задания золотое руно 2019 1-2 класс
  • Ответы и задания информатика 11 класс ИН1910101 ИН1910102 23 сентября 2019
  • Ответы и задания история 9 класс статград 29 ноября 2018 год
  • Ответы и задания КДР 23 регион март 2019 год
  • Ответы и задания КДР геометрия 8 класс 16 ноября 2018 года
  • Ответы и задания кенгуру 2 класс 2019 год
  • Ответы и задания кенгуру выпускника 4 класс 2019
  • Ответы и задания контрольная по математике 7 класс
  • Ответы и задания контрольных работ для 56 региона декабрь 2019
  • Ответы и задания МЦКО английский язык 9 класс 2018
  • Ответы и задания ОГЭ 2018 по математике 9 класс
  • Ответы и задания олимпиада звезда по обществознанию 2019-2020 отборочный этап
  • Ответы и задания олимпиады по физкультуре 8,9,10 класс пригласительный этап 28 апреля 2020
  • Ответы и задания по астрономии школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
  • Ответы и задания по биологии 11 класс 30 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по биологии 11 класс статград 12. 09
  • Ответы и задания по биологии 9 класс 17.09 статград
  • Ответы и задания по Биологии 9 класс 24 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по биологии 9 класс БИ1990101-02 статград 14 октября 2019
  • Ответы и задания по биология 9 класс СтатГрад 2018
  • Ответы и задания по информатике 11 класс статград 14.09
  • Ответы и задания по информатике 9 класс статград 19.09
  • Ответы и задания по информатике 9 класс СтатГрад 31 января 2018
  • Ответы и задания по Истории 11 класс 23 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по истории 11 класс ИС1910101 ИС1910102 27 сентября 2019
  • Ответы и задания по истории 9 класс 18 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по истории школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
  • Ответы и задания по итальянскому языку школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
  • Ответы и задания по китайскому языку олимпиада школьный этап 2019-2020
  • Ответы и задания по литературе школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020 московская область
  • Ответы и задания по математике 10 класс контрольная работа
  • Ответы и задания по математике 11 класс 25 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по математике 11 класс ЕГЭ база 56 регион 04. 04.18
  • Ответы и задания по математике 11 класс мониторинговая работа 2019-2020
  • Ответы и задания по математике 8 класс статград 11.09
  • Ответы и задания по математике 9 класс 12 декабря 2019 статград все варианты
  • Ответы и задания по математике 9 класс 56 регион 4 декабря 2018
  • Ответы и задания по математике 9 класс МА1990101-МА1990104 3 октября 2019
  • Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада
  • Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
  • Ответы и задания по МХК искусство всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020
  • Ответы и задания по ОБЖ всероссийская олимпиада 2018-2019
  • Ответы и задания по ОБЖ школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
  • Ответы и задания по обществознанию 11 класс ОБ10101 ОБ10102 статград 2018-2019
  • Ответы и задания по обществознанию 9 класс 26 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по обществознанию ОГЭ 2018
  • Ответы и задания по праву муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
  • Ответы и задания по русскому языку 11 класс 19 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по русскому языку 11 класс 2 октября 2019 РУ1910101 РУ1910102
  • Ответы и задания по Русскому языку 11 класс статград 28 марта 2018
  • Ответы и задания по русскому языку 7 класс входная работа
  • Ответы и задания по русскому языку 8 класс 56 регион
  • Ответы и задания по русскому языку 9 класс МЦКО 1 октября 2019
  • Ответы и задания по русскому языку 9 класс статград РУ1990101-02 16 октября 2019
  • Ответы и задания по Русскому языку КДР 11 класс январь 2019
  • Ответы и задания по русскому языку муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
  • Ответы и задания по русскому языку ОГЭ 2018
  • Ответы и задания по русскому языку олимпиада школьный этап 22 октября 2019
  • Ответы и задания по физике 10 класс КДР 30 января 2018
  • Ответы и задания по физике 11 класс ВОШ 2018-2019
  • Ответы и задания по физике 11 класс ВПР 2018 10. 04.18
  • Ответы и задания по физике 11 класс КДР 30 января 2018
  • Ответы и задания по физике 9 класс 29 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по физике 9 класс КДР 30 января 2018
  • Ответы и задания по физике 9 класс статград
  • Ответы и задания по физике школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
  • Ответы и задания по химии 11 класс 28 ноября 2018
  • Ответы и задания по химии 11 класс ВПР 2018 05.04.18
  • Ответы и задания по химии 11 класс статград ХИ1910101 и ХИ1910102 15 октября 2019
  • Ответы и задания по химии 9 класс статград ХИ1990101-ХИ1990104 21 октября 2019
  • Ответы и задания по химии 9 класс тренировочная работа статград
  • Ответы и задания по экологии школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
  • Ответы и задания русский язык 11 класс варианты 16 мая 2019 год
  • Ответы и задания русский язык 7 класс ВПР 9 апреля 2019 год
  • Ответы и задания русский язык 9 класс 56 регион 06. 04.18
  • Ответы и задания стартовая работа русский язык 8 класс 23 сентября 2019
  • Ответы и задания статград обществознание 11 класс 14 декабря 2018
  • Ответы и задания статград по физике 9 класс варианты 24 октября 2019
  • Ответы и задания тренировочная №4 история 9 класс 21 марта 2019
  • Ответы и задания ФИ90401 и ФИ90402 физика 9 класс 4 марта 2019
  • Ответы и задания Физика ОГЭ 2018 9 класс
  • Ответы и задания ЧИП 1-2 класс 2019
  • Ответы и задания школьный этап по математике всероссийской олимпиады новосибирская область 2019-2020
  • Ответы и задания школьный этап по физике всероссийской олимпиады в Московской области 2019-2020
  • Ответы КДР 2019 по информатике 10 класс 15 марта 23 регион
  • Ответы КДР 2019 по информатике 9 класс 15 марта 23 регион
  • Ответы КДР 2019 по литературе 10 класс 15 марта 23 регион
  • Ответы КДР 2019 по литературе 9 класс 15 марта 23 регион
  • Ответы КДР 23 регион биология 11 класс 21. 12.2018
  • Ответы КДР 23 регион история 11 класс 21.12.2018
  • Ответы КДР задания 23 регион Февраль 2019 год
  • Ответы КДР литература 11 класс 14 декабря 2018
  • Ответы КДР физика 11 класс 14 декабря 2018
  • Ответы МЦКО математика 10 класс 5 декабря 2018
  • Ответы МЦКО математика 11 класс 28 ноября 2018
  • Ответы МЦКО по истории 9 класс 19.09
  • Ответы на тренировочная работа по химии 9 класс «СтатГрад»
  • Ответы на тренировочную работу по русскому языку 11 класс
  • Ответы обществознание 9 класс статград 5 декабря 2018
  • Ответы обществознание для 10 классов 23 регион
  • Ответы ОГЭ 2018 английский язык
  • Ответы ОГЭ 2018 русский язык
  • Ответы олимпиада по праву 9 класс школьный этап ВОШ 2018-2019
  • Ответы олимпиада по физике 9 класс 2018-2019
  • Ответы по английскому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
  • Ответы по английскому языку олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
  • Ответы по астрономии школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
  • Ответы по биологии 9 10 11 класс вош 2018-2019 школьный этап
  • Ответы по биологии для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
  • Ответы по географии ВОШ олимпиада школьный этап 2018-2019
  • Ответы по географии для 9 классов 11 регион
  • Ответы по информатике 11 класс 12. 05
  • Ответы по искусству МХК олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
  • Ответы по истории 11 класс статград тренировочная работа №1 26.09
  • Ответы по истории 11 класс школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
  • Ответы по истории 9 класс статград
  • Ответы по истории для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
  • Ответы по математике 7-8 класс КДР
  • Ответы по математике 8 класс МЦКО 28 марта 2018
  • Ответы по математике 9 класс 64 регион
  • Ответы по математике 9 класс СтатГрад 15.02
  • Ответы по немецкому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
  • Ответы по русскому языку 11 класс 11 регион 13.02
  • Ответы по русскому языку для 7 и 8 класс 12.05
  • Ответы по русскому языку школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
  • Ответы по тренировочная работа по биологии 11 класс
  • Ответы по тренировочная работа по обществознанию 9 класс
  • Ответы по физике 9 класс ФИ90201 и ФИ90202 статград 7 декабря 2018
  • Ответы по физике, биологии для 11 классов 56 регион 16. 02
  • Ответы по химии 11 класс пробное ЕГЭ статград 12 марта 2019
  • Ответы по химии 9 класс статград 19 декабря 2018
  • Ответы по химии, информатике, географии, обществознанию для 9 классов
  • Ответы по экологии школьный этап ВОШ 2018-2019
  • Ответы репетиционный экзамен по математике 9 класс пробное ОГЭ 9 февраля 2018
  • Ответы РПР по математике 9 класс 64 регион 3 этап 2018
  • Ответы русский язык 10 класс 56 регион 12.05
  • Ответы русский язык 5-8 класс контрольная работа за 1 полугодие 56 регион 2018
  • Ответы статград география 11 класс 11.12.2018
  • Ответы СтатГрад по обществознанию 9 класс
  • Ответы статград по обществознанию 9 класс варианты ОБ1990101-02 23 октября 2019
  • Ответы тренировочная работа по истории 9 класс
  • Ответы тренировочная работа по математике 10 класс 08.02.2017
  • Ответы тренировочная работа по русскому языку 9 класс 09.02.2017
  • Ответы тренировочная работа по химии 11 класс 14. 02
  • Ответы физике для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
  • Отзывы прошлых лет
  • Отзывы с первого экзамена ОГЭ 2018 по английскому языку
  • Отзывы с первых экзаменов ЕГЭ 2017
  • Отзывы с прошедших экзаменов ОГЭ 2019
  • Отзывы с экзамена по русскому языку ОГЭ 2018
  • Открытый банк заданий и ответы ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку 11 класс
  • Официальные работы РДР 2019-2020 для 78 региона
    • РДР 2020 по математике 11 класс задания и ответы 2 варианта ИС «Знак»
    • РДР 2020 по математике 9 класс задания, ответы и критерии
  • Официальные работы РДР для 78 региона 2018-2019 учебный год
  • Официальные РДР 2020 для Московской области задания и ответы
  • Официальные РДР 2021 для Московской области задания и ответы
  • Официальные РДР 2022 для Московской области задания и ответы
  • Официальные темы для Республика Саха (Якутия) Сахалинская область итоговое сочинение 2018-2019
  • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+1
  • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+6
  • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса МСК
  • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK +9
  • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK+7
  • Оформление заказа
  • Пегас 2018 задания и ответы 7 февраля конкурс по литературе
  • Пегас 2019 5-6 класс ответы и задания
  • Пегас 2019 7-8 класс ответы и задания
  • Пегас 2019 ответы для 9-11 класса
  • Письмо английский язык 7 8 9 класс 56 регион ответы и задания
  • Платно русский язык 9 класс
  • Поддержать проект
  • Полугодовая контрольная работа по русскому языку 11 класс задания и ответы 2019-2020
  • ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ
  • Предэкзаменационная работа задания и ответы по информатике 9 класс ОГЭ 2019
  • Предэкзаменационная работа задания и ответы по математике 11 класс ЕГЭ 2019
  • Пригласительный школьный этап 2021 всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
  • Пробная (тренировочная) ВПР 2019 география 10-11 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 биология 11 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 география 6 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 математика 7 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 4 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 5 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 6 класс ответы и задания
  • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 11 класс
  • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 5 класс
  • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 7 класс
  • Пробное ВПР 2019 по истории 5 класс ответы и задания
  • Пробное ВПР 2019 по истории 6 класс ответы и задания
  • Пробное ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания
  • Пробное Итоговое собеседование 9 класс русский язык ОГЭ 2019 задания
  • Пробный экзамен по обществознанию и литературе для 11 классов ответы
  • Проект математическая вертикаль ответы и задания
  • Работа по математике 11 класс статград ответы и задания 25 сентября 2019
  • Работа статград по русскому языку 9 класс 3 декабря 2019 ответы и задания
  • Работы (задания+ответы) для Республики Коми Март 2017
  • Работы (задания+ответы) Март 2017 СтатГрад
  • Работы (задания+ответы) Февраль 2017
  • Работы (задания+ответы) Январь 2017
  • Работы 56 регион ответы и задания май 2019 год
  • Работы для 56 региона Май 2018 ответы и задания
  • Работы для Оренбургской области
  • Работы для Республики Коми Декабрь 2017 задания и ответы
  • Работы для Республики Коми Ноябрь 2017 задания и ответы
  • Работы для Республики Коми Октябрь 2017 задания и ответы
  • Работы задания и ответы по регионам
  • Работы МЦКО демоверсии задания и ответы
  • Работы СтатГрад 2018 февраль задания и ответы
  • Работы СтатГрад апрель 2018 задания и ответы
  • Работы Статград ВПР задания и ответы февраль 2019
  • Работы статград ВПР март 2019 задания и ответы
  • Работы СтатГрад декабрь 2017 задания и ответы
  • Работы статград декабрь 2018-2019 ответы и задания
  • Работы статград декабрь 2019 задания и ответы 2019-2020 учебный год
  • Работы статград задания и ответы ноябрь 2019-2020 учебный год
  • Работы СтатГрад задания и ответы октябрь 2018
  • Работы статград задания и ответы октябрь 2019-2020 учебный год
  • Работы СтатГрад задания и ответы сентябрь 2018
  • Работы СтатГрад март 2018 задания и ответы
  • Работы СтатГрад ноябрь 2017 задания и ответы
  • Работы СтатГрад октябрь 2017 задания и ответы
  • Работы СтатГрад сентябрь 2017 задания и ответы
  • Работы статград сентябрь 2019 год ответы и задания
  • Работы СтатГрад январь 2018 задания и ответы
  • Работы статград январь 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
  • Работы СтатГрад, КДР за апрель 2017
  • Работы СтатГрад, КДР за май 2017
  • Работы СтатГрад, КДР за март 2017
  • Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за февраль 2017
  • Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за январь 2017
  • Рабочая программа по окружающему миру ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
  • Рабочая программа по чтению ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
  • Рабочие программы по английскому языку ФГОС с 2 по 11 класс на 2022-2023
  • Рабочие программы ФГОС на 2022-2023 учебный год для 1-11 класса
    • Рабочая программа по информатике ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
    • Рабочие программы 7 класс по ФГОС на 2022-2023 год
    • Рабочие программы для 10 класса ФГОС на 2022-2023
    • Рабочие программы по ОБЖ ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
  • Разговоры о важном цикл внеурочных занятий 2022-2023
  • Расписание
    • ЕГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов от Рособрнадзора
    • ЕГЭ и ОГЭ 2020 год официальное расписание экзаменов у 9 и 11 класса
    • ОГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов у 9 класса
    • Официальное расписание ЕГЭ 2019 11 класс основной досрочный этап
    • Расписание муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников в Санкт-Петербурге 2018-2019
    • Расписание работ КДР 2019
    • Расписание РДР 2020-2021 для 58 региона задания и ответы Пензенская область
    • Расписание РПР 2018-2019 для 26 региона
  • Расписание ГИА ОГЭ 2017
  • Расписание ЕГЭ 2018 досрочный основной резервный период
  • Расписание итогового сочинения 2017-2018
  • Расписание проведения экзаменов 9 класса ОГЭ 2018
  • Расписание школьных олимпиад 2017-2018 задания и ответы
  • Распределения реальных тем итогового сочинения 2017-2018 по зонам регионам
  • РДР 2019-2020 по физике 10 класс ответы и задания
  • РДР 8 класс ответы и задания по математике 15 ноября 2018
  • РДР математика 10 класс 14 ноября 2019 ответы и задания
  • РДР математика 6 класс ответы и задания 21 ноября 2019 78 регион
  • РДР ответы и задания для Санкт-Петербурга
    • Официальные работы РДР для 78 региона задания и ответы 2020-2021 учебный год
  • РДР по русскому языку 9 класс ответы и задания вариант 1901 и 1902 17 октября 2019
  • Реальное ВПР 2020 задание 1 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание 2 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №10 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №12 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №3 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №4 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №5 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №6 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №6 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №7 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальные задания по математике ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2018
  • Реальные темы и готовые сочинения 4 декабря 2019 ФИПИ для региона МСК+9
  • Реальные темы итогового сочинения 2018-2019 5 декабря
  • Реальный вариант с ЕГЭ 2019 по математике 29 мая 2019 год
  • Региональный экзамен по математике 7 класс
  • Региональный экзамен по математике 7 класс 56 регион ответы и задания
  • Региональный экзамен по русскому языку 8 класс 56 регион
  • Региональный этап 2019 по астрономии задания и ответы всероссийская олимпиада
  • Региональный этап 2019 по географии ответы и задания ВОШ
  • Региональный этап 2019 по искусству МХК ответы и задания ВОШ
  • Региональный этап 2019 по истории задания и ответы всероссийская олимпиада
  • Региональный этап 2019 по немецкому языку задания и ответы
  • Региональный этап по биологии задания всероссийская олимпиада 2018-2019
  • Региональный этап по математике ответы и задания 2019
  • Результаты ЕГЭ 2017 у школьников
  • Решать реальное ВПР 2020 задание №8 по биологии 5 класс с ответами
  • Решать реальное ВПР 2020 задание №9 по биологии 5 класс с ответами
  • Решения и задания муниципального этапа 2019 олимпиады по математике
  • РПР 2017-2021 задания и ответы для Саратовской области 64 регион
  • РПР математика 9 класс 3 этап задания и ответы 2018-2019
  • РПР по математике 9 класс 64 регион задания 2018-2019
  • Русский медвежонок 10-11 класс ответы и задания 2018-2019
  • Русский медвежонок 14 ноября 2019 ответы и задания 6-7 класс
  • Русский медвежонок 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
  • Русский медвежонок 2019 ответы и задания для 10-11 класса 14 ноября
  • Русский Медвежонок 2019 ответы и задания для 2-3 класса
  • Русский медвежонок 2019-2020 ответы и задания 8-9 класс 14 ноября
  • Русский медвежонок 4-5 класс ответы и задания 2018-2019
  • Русский медвежонок для учителей 2020 год задания и ответы
  • Русский язык 10 класс КДР ответы и задания
  • Русский язык 10 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
  • Русский язык 10 класс ответы и задания 56 регион
  • Русский язык 10 класс ответы МЦКО 8 ноября 2018 год
  • Русский язык 10 класс СтатГрад ответы 12. 05
  • Русский язык 10-11 класс ответы и задания 22 апреля 2019 тренировочная №1
  • Русский язык 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
  • Русский язык 10-11 класс ответы РЯ10901 и РЯ10902 6 марта 2019
  • Русский язык 11 класс 03.06.2019
  • Русский язык 11 класс 11 ноября 2019 ответы и задания работа статград
  • Русский язык 11 класс 56 регион ответы
  • Русский язык 11 класс диагностическая работа №5 ответы и задания 8 апреля 2019
  • Русский язык 11 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
  • Русский язык 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2 варианта задания и ответы
  • Русский язык 11 класс мониторинговая работа ответы и задания
  • Русский язык 11 класс ответы и задания диагностика 2 статград 18 марта 2019
  • Русский язык 11 класс ответы и задания СтатГрад 17.05
  • Русский язык 11 класс ответы РЯ10601 и РЯ10602 статград 2018-2019
  • Русский язык 11 класс ответы статград 30 января 2019
  • Русский язык 11 класс РЯ1910701-РЯ1910702 статград ответы и задания 11 декабря 2019
  • Русский язык 11 класс статград 24 октября 2019 ответы и задания РЯ1910601-02
  • Русский язык 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
  • Русский язык 11 класс СТАТГРАД ответы и задания 28 февраля
  • Русский язык 11 класс статград ответы и задания вариант РЯ10201 и РЯ10202 07. 11.2018
  • Русский язык 11 класс тренировочная работа №1 ответы статград 2018-2019
  • Русский язык 3 класс МЦКО ВСОКО задания итоговая работа 2019
  • Русский язык 4 класс ВПР 2020 демоверсия задания и ответы ФИПИ
  • Русский язык 4 класс задания и ответы мониторинговая работа 2019-2020
  • Русский язык 5 класс демоверсия ВПР 2020 ФИПИ задания и ответы
  • Русский язык 5 класс ответы и задания 21.09
  • Русский язык 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Русский язык 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
  • Русский язык 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
  • Русский язык 6 класс статград ответы и задания 2018-2019
  • Русский язык 7 класс 56 регион ответы
  • Русский язык 7 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
  • Русский язык 7 класс задания и ответы мониторинговая работа 10 сентября 2019
  • Русский язык 7 класс ответы и задания РУ1970101 и РУ1970102 26 сентября 2019
  • Русский язык 7 класс ответы и задания статград 2018-2019
  • Русский язык 7 класс статград ответы и задания
  • Русский язык 7-8 класс ответы КДР 23 января 2019
  • Русский язык 8 класс 56 регион задания и ответы
  • Русский язык 8 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
  • Русский язык 8 класс ответы и задания 56 регион
  • Русский язык 8 класс ответы и задания 6 мая 2019 итоговая работа
  • Русский язык 8 класс стартовая работа ответы и задания 24. 09
  • Русский язык 8 класс статград ответы и задания
  • Русский язык 9 класс 11.05 ответы
  • Русский язык 9 класс 74 регион ответы
  • Русский язык 9 класс ответы и задания 19 апреля 2019 диагностическая работа №4
  • Русский язык 9 класс ответы и задания варианты 13 мая 2019 год
  • Русский язык 9 класс ответы и задания диагностика статград 15 марта 2019
  • Русский язык 9 класс ответы и задания полугодовая работа 2018-2019
  • Русский язык 9 класс ответы изложение статград 2018-2019
  • Русский язык 9 класс СтатГрад 17.04
  • Русский язык 9 класс СтатГрад задания и ответы
  • Русский язык 9 класс статград ОГЭ ответы и задания 15 марта 2018
  • Русский язык 9 класс СТАТГРАД ответы и задания
  • Русский язык 9 класс статград РЯ90201-РЯ90202 ответы и задания 27.11.
  • Русский язык платно
  • Русский язык школьный этап 2018-2019 ответы и задания Санкт-Петербург
  • Русский язык школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
  • РЭ по математике 7 класс 24. 05 ответы
  • РЭ по русскому языку 7 класс ответы 19.05
  • РЭ по русскому языку 8 класс ответы 24.05
  • СтатГрад
    • Задания и ответы работы СТАТГРАД ВПР март 2020
    • Работы статград апрель 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград апрель 2022 год варианты ответы и решения
    • Работы статград декабрь 2020 год задания ответы и решения
    • Работы статград декабрь 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград задания и ответы апрель 2020 год
    • Работы статград май 2020 год задания, ответы, решения
    • Работы статград май 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград май 2022 год варианты ответы и решения
    • Работы статград март 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград март 2022 год задания ответы и решения
    • Работы статград ноябрь 2020 год задания, ответы и решения
    • Работы статград ноябрь 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград октябрь 2020 год задания, ответы и решения
    • Работы статград октябрь 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград сентябрь 2020 год задания, ответы и решения
    • Работы статград сентябрь 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград сентябрь 2022 год варианты ответы и решения
    • Работы статград февраль 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград февраль 2022 год задания ответы и решения
    • Работы статград январь 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград январь 2022 год задания ответы и решения
  • Статград 9 класс русский язык ответы и задания 21. 12.2018
  • СтатГрад апрель 2017 работы задания и ответы
  • СтатГрад биология 11 класс 14.04.17
  • Статград ВПР работы апрель 2019 ответы и задания
  • СТАТГРАД ВПР февраль 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
  • Статград география 11 класс ответы и задания март 2018
  • Статград география 9 класс ответы и задания 20 ноября 2018
  • СтатГрад задания и ответы по обществознанию 11 класс 1 февраля 2018 года
  • Статград задания и ответы январь 2018-2019
  • Статград информатика 9 класс 27 ноября 2019 ответы и задания ИН1990201-ИН1990204
  • СтатГрад информатика 9 класс ответы и задания 5 марта 2018
  • Статград история 11 класс 2 варианта ответы и задания 12 марта 2018
  • СтатГрад май 2017 работы задания и ответы
  • СтатГрад математика 11 класс ответы и задания 6 марта 2018
  • Статград Обществознание 11 класс ответы и задания
  • Статград обществознание 9 класс ответы и задания 13 марта 2018
  • СтатГрад обществознание 9 класс ответы и задания 17. 05
  • СтатГрад ответы и задания для работ ноябрь 2018
  • СтатГрад ответы и задания по математике 10 класс База и Профиль 7 февраля 2018
  • СтатГрад ответы и задания по русскому языку 11 класс 6 февраля 2018
  • Статград ответы русский язык 11 класс 19.12.2018
  • СтатГрад по математике для 11 классов
  • Статград работы май 2018 ответы и задания
  • Статград работы ответы и задания май 2019
  • СтатГрад русский язык диагностические работы 2017 задания и ответы
  • Темы итогового сочинения 2017
  • Темы на пробное итоговое сочинение для 52 региона
  • Темы по направлениям которые будут итоговое сочинение 2018 6 декабря
  • Тест по русскому языку 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Тренировочная работа по биологии 11 класс
  • Тренировочная работа по биологии 9 класс ответы и задания 15 января 2019
  • Тренировочная работа по информатике 11 класс
  • Тренировочная работа по информатике 9 класс ответы
  • Тренировочная работа по математике 10 класс ответы 6 февраля 2019
  • Тренировочная работа по математике 11 класс ответы 06. 03
  • Тренировочная работа по химии 11 класс ответы 8 февраля 2019
  • Тренировочная работа статград по географии 11 класс ответы 15.02.2019
  • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 7 класс
  • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 6 класс
  • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по истории 11 класс
  • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по математике 6 класс
  • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по физике 11 класс
  • Тренировочные варианты 200203, 200217, 200302 по химии 11 класс с ответами 2020
  • Тренировочные варианты ВПР 2020 по химии 8 класс ХИ1980101,ХИ1980102
  • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по биологии задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по обществознанию 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по русскому языку задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по английскому языку 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по географии 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по информатике задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по истории 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по литературе 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по физике 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по химии 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты КДР 10 класс обществознание 2019
  • Тренировочные варианты ОГЭ по английскому языку 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по биологии 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по географии 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по информатике 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по истории 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по обществознанию 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по русскому языку 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по физике 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по химии 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты по биологии 10 класс задания с ответами
  • Тренировочные задания МЦКО ВСОКО математика 3 класс 2019
  • Тренировочные работы для 56 региона задания и ответы сентябрь 2018
  • Тренировочные работы для 56 региона Оренбургской области задания и ответы
  • Тренировочные работы по математике статград 2017 задания и ответы
  • Тренировочный вариант 33006757 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант 33006758 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант 33006759 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073002 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073003 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073004 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073005 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073006 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073007 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073008 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073009 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073010 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073011 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант с ответами 200316 по физике 11 класс ЕГЭ 2020
  • Тренировочный варианты №191223 и №191209 по химии 11 класс ЕГЭ 2020
  • Тренировочный ЕГЭ 2020 математика 11 класс профиль задания и ответы
  • Турнир ЛОМОНОСОВ задания и ответы 2018-2019
  • Турнир Ломоносова задания и ответы 2019-2020 учебный год
    • 09. 03.2020 XLII Заключительный тур Ломоносова по биологии задания и ответы
    • 09.03.2020 Заключительный тур Ломоносова по астрономии задания и ответы
    • 29.09.2019 Задания и ответы по астрономии 42 турнир М.В.Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по биологии 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по истории 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по лингвистике 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по литературе 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по математике 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по физике 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по химии 42 турнир М.В. Ломоносова
    • Ответы и задания по истории XLII заключительный тур Ломоносова 9 марта 2020
    • Ответы и задания по лингвистике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
    • Ответы и задания по литературе XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
    • Ответы и задания по математике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
    • Ответы и задания по физике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
    • Ответы и задания по химии XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
  • Условия перепечатки материалов | Правообладателям
  • Устная часть английский язык 2018 платно
  • Устное собеседование 2019 официальные варианты 13 февраля
  • Устное собеседование 9 класс 2019
  • Физика 11 класс 7 ноября 2019 статград ответы и задания варианты ФИ1910201-ФИ1910204
  • Физика 11 класс ВПР ответы 25. 04
  • Физика 11 класс ответы и задания 6 мая 2019 тренировочная работа №5
  • Физика 11 класс ответы и задания пробник статград 14 февраля 2018
  • Физика 11 класс ответы и задания статград 2018
  • Физика 11 класс ответы и задания ФИ1910101 ФИ1910102 19 сентября 2019
  • Физика 11 класс СтатГрад ответы и задания
  • Физика 11 класс тренировочная ЕГЭ №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
  • Физика 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
  • Физика 9 класс задания и ответы СтатГрад
  • Физика 9 класс ответы и задания ФИ90101 и ФИ90102 статград 2018-2019
  • Физика 9 класс ответы и задания ФИ90401 ФИ90402 статград
  • Физика 9 класс СтатГрад 03.05 ответы
  • Физика 9 класс статград ответы и задания 10 декабря 2019 варианты ФИ1990201-ФИ1990204
  • Физика ОГЭ 2018 ответы и задания 2 июня
  • Физика ОГЭ 2018 платно
  • Физика турнир Ломоносова задания 2018-2019
  • Физическая культура 10 ноября задания муниципальный этап всероссийская олимпиада 2018-2019
  • ФИПИ открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по русскому языку Лексика и фразеология
  • Французский язык 7-11 класс муниципальный этап 2019-2020 ответы и задания Москва
  • Химия 11 класс 10. 05 СтатГрад ответы
  • Химия 11 класс ВПР 27.04 задания и ответы
  • Химия 11 класс ЕГЭ статград ответы и задания 14 марта 2018
  • Химия 11 класс ответы для ХИ10101 ХИ10102 статград 19.10
  • Химия 11 класс ответы и задания 28 ноября 2019 статград ХИ1910201-ХИ1910204
  • Химия 11 класс ответы и задания варианты статград 13 мая 2019 год
  • Химия 11 класс ответы и задания СтатГрад 9 февраля 2018 года
  • Химия 11 класс СтатГрад задания и ответы
  • Химия 9 класс задания и ответы СтатГрад
  • Химия 9 класс КДР ответы и задания 15 февраля 2018 года
  • Химия 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
  • Химия 9 класс ОГЭ статград ответы и задания 15 февраля 2018
  • Химия 9 класс ответы и задания 16.05
  • Химия 9 класс ответы и задания ОГЭ статград 22.03.2018
  • Химия 9 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
  • Химия 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
  • Химия ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
  • Химия ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
  • Частная группа
  • ЧИП Австралия 23 октября 2019 ответы и задания 7-8 класс
  • ЧИП Австралия 3-4 класс ответы и задания 23 октября 2019-2020
  • ЧИП Австралия ответы и задания 5-6 класс 23 октября 2019-2020
  • ЧИП мир сказок 2019 ответы и задания для 1 класса 5-7 лет
  • Читательская грамотность 4 класс МЦКО 2019 тестирование
  • Чтение читательская грамотность 3 класс МЦКО ВСОКО задания 2019
  • Школьные конкурсы расписание 2017-2018
  • Школьные олимпиады и конкурсы 2017-2018 задания и ответы
  • Школьный тур наше наследие 7-8 класс ответы и задания 2019-2020
  • Школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада по астрономии ответы и задания
  • Школьный этап 2019-2020 олимпиады ВОШ по физике ответы и задания
  • Школьный этап 2019-2020 по биологии ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
  • Школьный этап 2019-2020 по испанскому языку ответы и задания всероссийской олимпиады
  • Школьный этап 2019-2020 по праву задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников
  • Школьный этап 2019-2020 по праву ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
  • Школьный этап 2019-2020 по русскому языку ответы и задания всероссийская олимпиада школьников
  • Школьный этап ВОШ 2019-2020 ответы и задания по французскому языку
  • Школьный этап ВОШ по информатике ответы и задания 2018-2019
  • Школьный этап ВОШ по испанскому языку ответы и задания 2018-2019
  • Школьный этап ВОШ по математике задания и ответы 2018-2019
  • Школьный этап ВСЕРОССИЙСКИХ олимпиад 2017-2018 задания
  • Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по обществознанию 2019-2020 учебный год
  • Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по физической культуре 2019-2020
  • Школьный этап ВсОШ 2019-2020 ответы и задания по обществознанию
  • Школьный этап олимпиады по информатике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
  • Школьный этап олимпиады по математике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
  • Школьный этап олимпиады по экономике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
  • Школьный этап по английскому языку 2019-2020 задания и ответы московская область
  • Школьный этап по ОБЖ задания и ответы всероссийская олимпиада 2019-2020
  • Экзамен по географии ОГЭ 2019
  • Экономика олимпиада муниципальный этап 2019 ВсОШ задания и ответы

Советы по тригонометрии для 10-х классов

Учащиеся 10-х классов по математике узнают много новых и интересных понятий, одним из которых является тригонометрия. Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения между сторонами и углами треугольников. Полезно понимать, как работает тригонометрия, поскольку она применяется во многих областях, таких как инженерия и наука. Если вы учитесь в 10 классе по математике или готовитесь к 10 классу по математике, вы обратились по адресу. Вот несколько советов, которые помогут вам добиться успеха в тригонометрии 10 класса.

Изучение свойств треугольника.

  • Прежде чем погрузиться в тригонометрию, вы должны иметь четкое представление о свойствах треугольника.
  • Треугольники имеют три стороны и три угла. Существуют различные типы треугольников, такие как равносторонний, равнобедренный и разносторонний.
  • Равнобедренные треугольники имеют три равные стороны и три равных угла. Следовательно, в равносторонних треугольниках всегда три угла по 60°.
  • Равнобедренные треугольники имеют две равные стороны, а разносторонние треугольники не имеют равных сторон. Это означает, что углы будут различаться при взгляде на эти треугольники.
  • Треугольники также могут различаться своими углами.
    • Остроугольные треугольники имеют углы меньше 90°.
    • Прямоугольные треугольники имеют один угол 90°.
    • В тупоугольных треугольниках один угол больше 90°.
  • Треугольники могут иметь одинаковые углы, даже если они разного размера. Посмотрите на этот пример:

Знакомство с функцией касательной.

  • В 10 классе по математике вам нужно будет использовать тригонометрические функции, чтобы найти значения углов и сторон треугольников.
  • Есть три тригонометрические функции, которые помогут вам решить эти сложные математические задачи. Во-первых, мы собираемся поговорить о касательной функции.
  • Функция касательной («tan») используется для нахождения угла наклона или длины гипотенузы прямоугольного треугольника.

  • Посмотрите пример задачи ниже:
  • Мы ищем угол θ. Даны прилежащая сторона треугольника, равная 6см, и противолежащая сторона, равная 3см.
  • Используя функцию тангенса, мы можем легко найти угол θ.
  • Сначала перестройте уравнение, чтобы изолировать θ на одной стороне уравнения. Для этого мы должны использовать функцию обратного загара (tan-1).

  • Чтобы найти угол, вам понадобится научный калькулятор. Найдите на калькуляторе функцию обратного загара и умножьте ее на 3/6.

tan-1(3 ÷ 6) = 26,7

  • Следовательно, угол θ равен 26,7°.
  • Вы также можете использовать функцию касательной, чтобы найти длину смежной или противоположной стороны треугольника.
  • Используя тот же треугольник выше, подставьте θ = 26,7 в функцию тангенса и найдите длину противоположной стороны. Это даст вам загар (26,7) = напротив/6.
  • Перестройте уравнение, чтобы изолировать «противоположное» в одной части уравнения.
  • Используйте свой калькулятор, чтобы умножить тангенс (26,7) × 6, и вы обнаружите, что он равен 3!

Узнайте о функциях синуса и косинуса.

  • Теперь вам может быть интересно узнать о других углах и сторонах.
  • Синус и косинус также являются тригонометрическими функциями, которые можно использовать для нахождения недостающих углов и сторон треугольников.
  • Перед изучением функций синуса и косинуса важно понять, как найти противоположную и прилежащую стороны каждого треугольника.
  • Противоположная и соседняя стороны меняются, если смотреть под разными углами. Посмотрите на изображение ниже:

  • Теперь, когда мы установили стороны треугольника, мы можем использовать синус («sin») и косинус («cos») для решения задач тригонометрии.
  • Функция синуса используется для противоположной стороны и гипотенузы.
  • Функция косинуса используется для прилежащей стороны и гипотенузы.
  • Лучший способ запомнить функции тангенса, синуса и косинуса — это «SOHCAHTOA».

  • Sohcahtoa Stands для:
  • S INE, O PPOSITE, H Ypothenus0008
  • T angent, O pposite,  A djacent
  • Теперь, когда у вас есть три тригонометрические функции, вы можете решить все стороны и углы треугольника! Процесс такой же, как и в функции касательной, которую мы видели выше.
  • Если вы ищете угол , вам нужно использовать обратную функцию синуса (sin-1), косинуса (cos-1) или тангенса (tan-1). Если вы ищете длину стороны , используйте обычная функция  (sin, cos или tan).

 

Повторите приведенные выше концепции и практикуйтесь, практикуйтесь, практикуйтесь!

  • Как и на любом другом курсе математики, который вы проходили в прошлом, вам нужно как можно чаще работать над практическими задачами, чтобы добиться успеха.
  • Находите время, чтобы часто повторять Тригонометрию и делать обзоры глав в своем учебнике.
  • Всегда обращайтесь за помощью, если тема кажется вам запутанной. Заполнение пробелов в знаниях предотвратит мелкие ошибки на контрольных и экзаменах в будущем.

 

Если вы будете следовать приведенным выше советам, у вас будет все необходимое для успешной сдачи тригонометрии 10 класса. Продолжайте усердно работать, и вы сможете достичь всего, к чему стремитесь. Если вам нужна помощь с тригонометрией, не стесняйтесь обращаться к своему учителю или другу. Здесь, в Success Tutorial School, мы предлагаем ряд программ, призванных помочь учащимся подготовиться к 10 классу по математике или помочь тем, кто уже зачислен. Свяжитесь с нами сегодня, чтобы узнать больше о том, как мы можем помочь вам или вашему ребенку добиться успеха в математике в 10 классе.

23 июля 2021 г.

TOP

Тригонометрия для чайников Мэри Джейн Стерлинг, в мягкой обложке

Тригонометрия для чайников

By Mary Jane Sterling


By Mary Jane Sterling


By Mary Jane Sterling


. : 0-7645-6903-1



Глава первая

Технические особенности тригонометрии

В этой главе

* Понимание того, что такое тригонометрия

* Говорить на языке триггеров

* Составить все это в уравнения

* Графики для понимания

Как Колумб нашел путь через Атлантический океан? Как египтяне строили пирамиды? Как первые астрономы измеряли расстояние до Луны? Нет, Колумб не шел по дороге из желтого кирпича. Нет, у египтян не было инструкций Лего. И нет, нет рулетки достаточной длины, чтобы добраться до Луны. Общий ответ здесь тригонометрия.

Тригонометрия — это изучение углов и треугольников и чудесных вещей, которые вы можете с ними делать. На протяжении веков люди могли измерять расстояния, которых они не могли достичь из-за силы этого математического предмета.

Прокатиться с Тригом: Что такое Триг

«Какой у тебя угол?» Этот вопрос не является навязчивым, например: «Какой у вас астрологический знак?» В тригонометрии вы измеряете углы как в градусах, так и в радианах. Вы можете запихнуть их в треугольники и круги и заставить их делать особые вещи. На самом деле углы управляют тригонометрией. Конечно, вы должны учитывать алгебру и другую математику. Но у вас не может быть тригонометрии без углов. Поместите угол в триггерную функцию, и вы получите специальное уникальное число. Что вы делаете с этим числом? Читайте дальше, потому что это и есть триггер.

Определение основных фигур

Сегменты, лучи и линии являются одними из основных форм в геометрии, и они почти так же важны в тригонометрии. Как я объясню в следующих разделах, вы используете эти сегменты, лучи и линии для формирования углов.

Рисование сегментов, лучей и линий

Сегмент представляет собой прямую фигуру, проведенную между двумя конечными точками. Обычно вы называете его по его конечным точкам, которые вы указываете заглавными буквами. Иногда одна буква обозначает сегмент, но строчная буква обычно обозначает угол, противоположный этому сегменту.

Луч — это еще одна прямая фигура, у которой есть конечная точка на одном конце, а затем она просто продолжает двигаться бесконечно в каком-то заданном направлении. Вы называете лучи сначала по их конечной точке, а затем по любой другой точке, лежащей на луче.

Линия — это прямая фигура, идущая вечно и всегда в любом направлении. Вам нужны только две точки, чтобы определить конкретную линию, и только одна линия может проходить через обе эти точки. Прямую можно назвать по любым двум точкам, лежащим на ней.

Пересекающиеся прямые

Когда две прямые пересекаются, если они пересекаются, то только в одной точке. Они не могут повернуть назад и снова пересечься. Некоторые любопытные вещи происходят, когда две линии пересекаются. Углы, образующиеся между этими двумя линиями, связаны друг с другом. Любые два угла, которые находятся рядом друг с другом и имеют общую сторону, называются смежными углами. На рисунке 1-2 линии AB и CD пересекаются в точке 9.0192 Е . Два угла ниже линии CD (пронумерованные 1 и 2) примыкают друг к другу. Такими же являются два угла справа от линии AB (под номерами 2 и 3), углы слева от линии AB (под номерами 1 и 4) и углы над линией CD (под номерами 3 и 4). ). Таким образом, это пересечение имеет четыре разные пары смежных углов.

Углы, лежащие друг напротив друга при пересечении двух прямых, также имеют особое название. Математики называют эти углы вертикали углы. У них нет общей стороны. Вы можете найти две пары вертикальных углов на рис. 1-2, пару углов слева и справа (под номерами 1 и 3) и пару сверху и снизу (под номерами 2 и 4).

Почему эти разные ракурсы такие особенные? Они разные из-за того, как они взаимодействуют друг с другом. Смежные углы здесь называются дополнительными углами. Стороны, которые они не разделяют, образуют прямую линию, которая имеет меру 180 градусов. Вертикальные углы всегда равны.

Угол для положения

Когда две линии, сегменты или лучи касаются друг друга или пересекаются, они образуют угол. В случае двух пересекающихся прямых получается четыре разных угла. Когда два сегмента пересекаются, они могут образовывать один, два или четыре угла, в зависимости от того, как они соприкасаются, как вы можете видеть на рис. 1-3. То же самое касается двух лучей.

Эти примеры — лишь некоторые способы формирования углов. Геометрия, например, описывает угол как возникающий, когда два луча имеют общую конечную точку. С практической точки зрения, вы можете составить угол разными способами из многих фигур. Работа с двумя лучами означает, что вы можете расширить две стороны угла дальше, чтобы помочь в измерениях, расчетах и ​​решении практических задач.

Вы относитесь к частям всех углов одинаково. Место пересечения прямых, отрезков или лучей называется вершиной угла. От вершины отходят две стороны.

Обозначение углов по размеру

Вы можете называть или классифицировать углы на основе их размера или измерения в градусах (см. Тупой: Угол, измеряемый между 90 и 180 градусов

  • Право: Угол, равный ровно 90 градусам
  • Прямо: Угол, равный ровно 180 градусам (прямая линия)

    Обозначение углов буквами

    3 90 ? Зачем ему вообще нужно имя? В большинстве случаев вы хотите иметь возможность отличить конкретный ракурс от всех остальных на изображении. Когда вы смотрите на фотографию в газете, вы хотите знать имена разных людей и иметь возможность указать на них. С углами вы должны чувствовать то же самое.

    Вы можете назвать угол одним из трех способов:

  • Только по его вершине: Часто вы называете угол только по его вершине, потому что такая метка эффективна, аккуратна и легко читается. На рисунке 1-5 вы можете назвать угол A .
  • Точкой на одной стороне, затем вершиной, а затем точкой на другой стороне: Например, вы можете назвать угол на рис. 1-5 углом BAC или углом CAB . Этот метод именования полезен, если кто-то может быть сбит с толку тем, какой угол вы имеете в виду на изображении. Помните: Убедитесь, что вы всегда называете вершину посередине.
  • Буквой или цифрой, написанной внутри угла: Обычно эта буква греческая; однако на рис. 1-5 угол обозначен буквой w . Часто вы используете число для простоты, если вы не разбираетесь в греческих буквах или если вы собираетесь позже сравнить разные ракурсы.

    Триангуляция вашего положения

    Все углы сами по себе, безусловно, очень увлекательны. Но поместите их в треугольник, и вы получите глазурь на торте. Треугольники – одна из наиболее часто изучаемых геометрических фигур. Углы, составляющие треугольник, придают им многие характеристики.

    Углы в треугольниках

    У треугольника всегда три угла. Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам — ни больше, ни меньше. Треугольник с именем ABC имеет углы A, B, и ITLITL, и вы можете назвать стороны AB, BC, и AC , в зависимости от того, между какими двумя углами находится сторона. Сами углы могут быть острыми, тупыми или прямыми. Если в треугольнике есть либо тупой, либо прямой угол, то два других угла должны быть острыми.

    Названия треугольников по их форме

    Треугольники имеют специальные имена, основанные на их углах и сторонах. Они также могут иметь более одного названия — например, треугольник может быть как остроугольным, так и равнобедренным. Вот их описания и посмотрите на рисунки на рис. 1-6:

  • Остроугольный треугольник: Треугольник, в котором все три угла острые
  • Прямоугольный треугольник: Треугольник с прямым углом (два других должны быть острым)
  • Тупоугольный треугольник: Треугольник с тупым углом (два других должны быть острыми)
  • Равнобедренный треугольник: Треугольник с двумя углами, имеющими одинаковую меру; длины сторон, противоположных этим углам, также равны.
  • Равносторонний треугольник: Треугольник, в котором все три угла равны 60 градусам; все длины сторон тоже равны
  • Разносторонний треугольник: Треугольник без углов и сторон одинаковой меры

    Движение вагонов по кругу

    Круг представляет собой геометрическую фигуру, которой нужны только две части, чтобы идентифицировать ее и классифицировать по размеру: ее центр (или середина) и ее радиус (расстояние от центр в любую точку окружности). Технически центр не является частью круга, это просто своего рода якорь или точка отсчета. Окружность состоит только из всех тех точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра.

    Радиус, диаметр, длина окружности и площадь

    После того, как вы выбрали точку в качестве центра круга и знаете, как далеко эта точка находится от всех точек, лежащих на окружности, вы можете нарисовать вполне приличная картинка. С помощью меры радиуса можно многое сказать об окружности: ее диаметр (расстояние от одной стороны до другой, проходящее через центр), ее окружность (насколько далеко окружность) и ее участок (сколько квадратных дюймов, футов, ярдов, метров — сколько у вас — влезло в него). На рис. 1-7 показаны эти функции.

    Древние математики выяснили, что длина окружности всегда чуть более чем в три раза превышает диаметр окружности. С тех пор они сузили это «немногим более чем в три раза» до значения, называемого пи (произносится как «пирог»), обозначаемого греческой буквой [пи]. Десятичное значение pi не является точным — оно продолжается вечно, но в большинстве случаев люди называют его приблизительно равным 3,14 или 22/7, в зависимости от того, какая форма лучше подходит для конкретных вычислений.

    Формула для определения длины окружности связана с [пи] и диаметром.

    TRIG RULES

    Длина окружности: ITLITL = [pi] d = 2[pi] r

    радиус. Диаметр всегда в два раза больше радиуса, поэтому работает любая форма уравнения.

    Точно так же формула площади круга связана с [пи] и радиусом.

    TRIG RULES

    Площадь круга: A = [pi][ r .sup.2]

    Эта формула гласит: «Площадь равна pi в квадрате». И все это время я думал, что пироги круглые.

    Пример: Найдите радиус, длину окружности и площадь круга, если его диаметр равен 10 футам в длину.

    Если диаметр (d) равен 10, вы записываете это значение как d = 10 . Радиус равен половине диаметра, поэтому радиус равен 5 футам или р = 5 . Вы можете найти длину окружности, используя формулу ITLITL = [pi] d = [pi] x 10 [приблизительно равно] 3,14 x 10 = 31,4. Таким образом, окружность составляет около 31 1/2 фута. Вы можете найти площадь, используя формулу A = [pi][ r .sup.2] = [pi] x [5.sup.2] = [pi] x 25 [приблизительно равно] 3,14 x 25 = 78,50, поэтому площадь составляет около 78 1/2 квадратных футов.

    Хорда относительно касательной

    Вы показываете диаметр и радиус окружности, рисуя сегменты от точки на окружности до или через центр окружности. Но две другие прямые фигуры имеют место на окружности. Одна из этих фигур называется хордой, а другая фигура — касательной.

    Хорды ​​окружности

    Хорда окружности — это отрезок, который вы проводите из одной точки окружности в другую точку окружности (см. рис. 1-8). Этот сегмент всегда остается внутри круга. Самая большая возможная хорда — это диаметр, вы не можете получить больше, чем этот отрезок.

    Касательные к окружности

    Касательная к окружности представляет собой линию, луч или отрезок, который касается внешней стороны окружности ровно в одной точке, как показано на рис. 1-9.. Он никогда не переходит в круг. Касательная не может быть хордой, потому что хорда касается окружности в двух точках, пересекая внутреннюю часть окружности.

    Сечение секторов

    Сектор круга представляет собой сечение круга между двумя радиусами (множественное число от радиуса). Вы можете рассматривать эту часть как кусок пирога, вырезанный из круглой тарелки (см. рис. 1-10).

    Вы можете найти площадь сектора круга, если знаете угол между двумя радиусами. Окружность имеет в общей сложности 360 градусов вокруг центра, поэтому, если сектор имеет угловую меру 60 градусов между двумя радиусами, сектор занимает 60/360 или 1/6 градусов на всем пути. около. В этом случае сектор имеет 1/6 площади всего круга.

    Пример: Найдите площадь сектора круга, если угол между двумя радиусами, образующими сектор, равен 80 градусов, а радиус круга равен 9 дюймам.

    1. Найдите площадь круга.

    Площадь всего круга равна A = [pi][ r .sup.2] = [pi] x [(4.5)sup.2] [приблизительно равно] 3,14 x 20,25 = 63,585 , или около 63 1/2 квадратных дюймов.

    2. Найдите часть круга, которую представляет сектор.

    Сектор занимает всего 80 градусов окружности. Разделите 80 на 360, чтобы получить 80/360 = 2/9 [приблизительно равно] 0,222

    3. Вычислите площадь сектора.

    Умножьте дробь из шага 2 на общую площадь, чтобы получить площадь сектора: 0,222 x 63,585 [приблизительно равно] 14,116. Весь круг имеет площадь почти 64 квадратных дюйма, а сектор имеет площадь чуть более 14 квадратных дюймов.

    Понимание Trig Speak

    Любая математическая или научная тема имеет свой собственный уникальный словарный запас. Некоторые очень хорошие повседневные слова имеют особое значение, когда они используются в контексте этого предмета. Тригонометрия не исключение.

    Определение триггерных функций

    Каждый треугольник состоит из шести частей: трех сторон и трех углов. Если вы измерите стороны, а затем соедините эти измерения в пары (сняв по две за раз), у вас получится три разных пары. Решайте задачи на деление с парами — меняйте порядок в каждой паре — и у вас будет шесть разных ответов. Эти шесть разных ответов представляют собой шесть триггерных функций. Например, если стороны вашего треугольника равны 3, 4 и 5, то шесть делений — это 3/4, 4/3, 3/5, 5/3, 4/5 и 5/4. В главе 7 вы узнаете, как все эти дроби работают в мире триггерных функций, используя разные стороны прямоугольного треугольника. А затем, в главе 8, вы примените совершенно другой подход, когда узнаете, как определять триггерные функции с помощью окружности.

    Шесть триггерных функций называются синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс . Многие люди путают произносимое слово sine с знаком — вы не сможете увидеть разницу, когда услышите это, если не будете осторожны с контекстом. Вы можете «уйти по касательной» в некоторых личных отношениях, но эта фраза имеет совершенно другое значение в триггере. Подписание кредита — это не то, что имеет в виду Триг. Остальные три соотношения являются специальными для триггерного разговора. Их ни с чем другим не спутаешь.

    ПОМНИТЕ

    Интерпретация триггерных сокращений

    Несмотря на то, что слово sine не такое уж длинное, у вас есть трехбуквенное сокращение для этой триггерной функции и всех остальных. Математикам проще использовать аббревиатуры, и эти версии лучше подходят для клавиш калькулятора. Функции и их сокращения:

  • синус [стрелка вправо] sin
  • косинус [стрелка вправо] cos
  • тангенс [стрелка вправо] tan
  • котангенс [стрелка вправо] cot
  • секанс [стрелка вправо] sec
  • косеканс [стрелка вправо] csc

    Как видите, первые три буквы в полном названии составляют сокращения, за исключением косеканса.

    Обозначения

    Углы являются основным предметом в тригонометрии, и вы часто не знаете их меру. Многие углы и меры их углов имеют общие правила, применимые к ним. Вы можете называть углы одной буквой, тремя буквами или числом, но для решения тригонометрических задач и вычислений математики обычно называют меры углов греческими буквами.

    Наиболее часто используемые буквы для обозначения углов: [альфа] (альфа), [бета] (бета), [гамма] (гамма) и [тета] (тета). Кроме того, во многих уравнениях используется переменная x для представления меры угла.

    ТЕХНИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ

    Алгебра имеет обычные обозначения, включающие надстрочные индексы, такие как 2 в [хи-квадрат]. В тригонометрии верхние индексы имеют те же правила и характеристики, что и в другой математике. Но верхние индексы триггеров часто выглядят совсем по-другому. В таблице 1-1 представлен список многих способов, которыми триг использует верхние индексы.

    (Продолжение…)


    Выдержка из Тригонометрия для чайников автора Мэри Джейн Стерлинг Выдержка с разрешения.
    Все права защищены. Никакая часть этого отрывка не может быть воспроизведена или перепечатана без письменного разрешения издателя.
    Выдержки предоставляются Dial-A-Book Inc. исключительно для личного использования посетителями этого веб-сайта.
  • Список символов геометрии и тригонометрии

    Геометрия и тригонометрия — разделы математики, связанные с геометрическими фигурами и углами треугольников. В следующем списке перечислены некоторые из наиболее заметных символов в этих темах, а также их использование и значение.

    В целях удобочитаемости эти символы разбиты на категории по их функциям в таблицы. Другие полные списки математических символов — с разбивкой по темам и типам — также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).

    Содержание

    Предпочитаете версию в формате PDF?

    Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

    Да. Это было бы полезно.

    Символы, относящиеся к точкам/линиям

    В геометрии точки и линии образуют основу более сложных геометрических фигур, таких как треугольники, окружности, четырехугольники и многоугольники. В следующей таблице приведены некоторые из наиболее заметных символов, связанных с ними, а также значение каждого символа и пример.

    Название символа Пояснение Пример
    $A$, $B$, $C$, $D$,
    $R$, $$, $QS, $$ $
    Переменные для точек Если $P_1 =P_2$, то $\overline{P_1 Q} = \overline{P_2 Q}$.
    $\ell$ Переменная для строк $\ell_1 \parallel \ell_2$
    $\overleftrightarrow{AB}$ 9068 строка)0645, образованный точками $A$ и $B$ $\overleftrightarrow{AB}=\overleftrightarrow{BA}$
    $\overline{AB}$ Отрезок между точками $A$ и $ B$ $\overline{AB} \cong \overline{PQ}$
    $\overrightarrow{AB}$ Луч из точки $A$ в точку $B$ $\overrightarrow{ AB} \ne \overrightarrow{BA}$
    $|AB|$ Расстояние от точки $A$ до точки $B$ $|БК| \le \\ |AB| + |AC|$
    $\ell_1 \parallel \ell_2$ Прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ параллельны Если $\square ABCD$ — параллелограмм, то $\overline{ AB} \parallel \overline{CD}$.
    $\ell_1 \nparallel \ell_2$ Прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ непараллельны Если $\overleftrightarrow{PQ} \nparallel \overleftrightarrow{RS}$, то они должны пересекаться в точке $A$. 92.$
    $\ell_1 \not\perp \ell_2$ Линии $\ell_1$ и $\ell_2$ неперпендикулярны Если $\overline{AB} \not\perp \overline {BC}$, то $\square ABCD$ не является прямоугольником.

    Символы, связанные с углом

    Угол по существу соответствует «открытию» геометрической фигуры, количественное определение которого приводит к большому развитию геометрии и тригонометрии. В следующей таблице приведены некоторые из наиболее заметных символов, связанных с углами, а также значение каждого символа и пример. 9{\prime\prime} = \left(\dfrac{38}{60}\right)’$ ∟ Прямой угол символ $-, =, \equiv$ ( метки штриховки) Равные углы/длины Ключевые углы в градусах и радианах

    Символы, связанные с окружностью

    точки окружности можно рассматривать как равноудаленные друг от друга точку и часто играет решающую роль в развитии евклидовой геометрии и тригонометрии. В следующей таблице приведены некоторые из наиболее заметных символов, связанных с кругом, а также их соответствующее значение и пример.

    6 4
    Symbol Name Explanation Example
    $O$ Variable for circle
    (or center of circle )
    If circles $O_1$ and $O_2$ share одинаковый радиус, то они равны.
    $\odot P$ Окружность с центром вокруг точки $P$ Если $P \ne Q$, то $\odot P \ne \odot Q$.
    р$ Радиус окружности $r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}$
    $d$ Диаметр окружности $d =2r$ 9086 $C$ Окружность окружности $C=2\pi r$
    $\overparen{AB}$ Сегмент дуги между точками $A$ и $B$ 9068 \overline{AB}$ — это диаметр, тогда $\overparen{AB}$ будет соответствовать полуокружности. 92$

    Тригонометрические функции

    В тригонометрии многие функции используются для связи углов внутри прямоугольного треугольника с его различными длинами или отношениями . В следующей таблице описаны некоторые из наиболее распространенных функций этой категории, а также их соответствующее использование и примеры.

    9{-1}x$
    Имя символа Объяснение Пример
    $\sin \theta$ Функция арктангенса
    (арктангенс)
    $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \arctan x = \dfrac{\pi}{2}$
    • Sine function
    • Cosine function
    • Tangent function
    • Cosecant function
    • Secant function
    • Cotangent function

    Other 2D/3D-figure-related Symbols

    В элементарной геометрии большая часть исследования вращается вокруг анализа многоугольников , многогранников и других трехмерных фигур . В следующей таблице приведены некоторые из наиболее заметных символов в этих категориях, а также соответствующее значение и использование каждого символа.

    $ $ $ $ 9064. вычислить $F’$ $6643 90 . 2w$. 9{\circ}$.
    Название символа Объяснение Пример
    $\triangle ABC$ 0686 $\треугольник ABC \sim \треугольник A’B’C’$
    $\square ABCD$ Квадрат / Четырехугольники с вершинами $A$, $B$, $C$ и $ D$ Если $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$, то $\square ABCD$ является трапецией.
    $ \ pi $ (Capital Pi) Переменная для ПЛАНИ $ \ PI_1 \ PARALLEL \ PI_2 $
    $ F $
    $ F $
    $
    $\triangle ABC \sim \triangle PQR$
    $F \nsim F’$ Фигура $F$ не похожа на фигуру $F’$ Так как $F$ правильный пятиугольник и $F’$ не является $F \nsim F’$.
    $F \cong F’$ Фигура $F$ конгруэнтна фигуре $F’$ $\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’$
    $\implies \overline {AB} \cong \overline{A’B’}$
    $F \ncong F’$ Цифра $F$ равна не соответствует фигуре $F’$ $\квадрат ABCD \nsim \\ \квадрат A’B’C’D’ \ подразумевает \\ \квадрат ABCD \ncong \\ \квадрат A’B’C’D ‘ $
    $\varphi$ (phi) Золотое сечение $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \приблизительно 1,618$
    Высота треугольника/четырехугольника/
    Трехмерные фигуры
    Поскольку $h = 5$, $A=\dfrac{5 \cdot 3}{2}$.
    $b$ Основание треугольника/четырехугольника Для тупоугольного треугольника $b$ соответствует расширенному основанию треугольника.
    $l$ Длина прямоугольника/прямоугольного тела Когда $l=10$, $A= 10 \cdot 20$.
    $ w $ Ширина прямоугольника/прямоугольного твердого вещества
    $V$ Количество вершин в многограннике Для куба $V = 8$.
    $E$ Количество ребер в многограннике В общем случае $E \ge V$ для многогранников.
    $F$ Количество граней в многограннике Для тетраэдра $F=4$.
    $\chi$ (chi) Эйлерова характеристика Для выпуклых многогранников $\chi = V-E + F = \\ 2.$

    На следующих рисунках показаны 5 платоновых тел (правильные, выпуклые многогранники) вместе с соответствующим количеством вершин, ребер и граней.

    • Тетраэдр $(V= 4, E= 6, \\ F=4, \chi=2)$
    • Куб $(V=8, E=12, \\ F=6, \ chi=2)$
    • Октаэдр $(V=6, E=12, \\ F=8, \chi=2)$
    • Додекаэдр $(V=20, E=30, F=12 , \chi= 2)$
    • Икосаэдр $(V=12, E=30, F=20, \chi=2)$

    Основной список символов см. в разделе Математические символы. Списки символов, классифицированных по типу и по теме , см. на соответствующих страницах ниже.

    Предпочитаете версию в формате PDF?

    Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

    Да. Это было бы полезно.

    Дополнительные ресурсы

    • Подробное руководство по изучению высшей математики : Автономная система из 10 принципов для эффективного обучения математике, мышления и решения задач
    • Полное справочное руководство по LaTeX : Полное справочное руководство, которое сделает процесс LaTeX более эффективным и менее болезненным
    • 10 заповедей обучения высшей математике : Иллюстрированное веб-руководство по 10 масштабируемым правилам изучения высшей математики
    • Полный глоссарий терминов высшей математики : Обзор высшей математики в 106 терминах

    Применение тригонометрии в реальной жизни другой способ мышления, чтобы понять.

    По этой причине многие люди просто хотят покончить с этим, когда в школе появляется триггер. В этой статье от enbibe (Источник: https://www.embibe.com/exams/real-life-applications-of-trigonometry/) объясняется, насколько полезной может быть тригонометрия в самых разных реальных приложениях!

    670

    АКЦИИ

    Поделиться на Facebook

     

    Тригонометрия означает просто расчеты с треугольниками (отсюда и слово «три»). Это изучение соотношений в математике, включая длины, высоты и углы различных треугольников. Область возникла в 3 веке до нашей эры, от приложений геометрии до астрономических исследований. Тригонометрия находит применение в различных областях, таких как архитекторы, геодезисты, космонавты, физики, инженеры и даже следователи на месте преступления.

    Теперь, прежде чем перейти к подробностям ее применения, давайте ответим на вопрос, задумывались ли вы когда-нибудь, в какой области науки впервые использовалась тригонометрия?

    Непосредственным ответом, как ожидается, будет математика, но это не останавливается на достигнутом, даже в физике используется множество понятий тригонометрии. Другой ответ Согласно Моррису Клайну, в своей книге под названием «Математическая мысль от древности до современности» он провозгласил, что «тригонометрия впервые была разработана в связи с астрономией, с приложениями для навигации и построения календарей». Это было около 2000 лет назад. Геометрия намного старше, а тригонометрия построена на геометрии». Однако истоки тригонометрии можно проследить до цивилизаций Древнего Египта, Месопотамии и Индии более 4000 лет назад.

    Начиная с основ,

     

    Можно ли использовать тригонометрию в повседневной жизни?

    Тригонометрия может и не иметь прямого применения при решении практических задач, но она используется в различных вещах, которые нам так нравятся. Например, музыка, как вы знаете, звук распространяется волнами, и эта закономерность, хотя и не такая регулярная, как функция синуса или косинуса, все же полезна при разработке компьютерной музыки. Очевидно, что компьютер не может слушать и понимать музыку так, как это делаем мы, поэтому компьютеры представляют ее математически с помощью составляющих ее звуковых волн. А это значит, что звукорежиссерам необходимо знать хотя бы основы тригонометрии. А хорошая музыка, которую производят эти звукорежиссеры, успокаивает нас от нашей суетливой, полной стрессов жизни — все благодаря тригонометрии.

     

    Тригонометрию можно использовать для измерения высоты здания или горы:

    если вы знаете расстояние, с которого вы наблюдаете здание, и угол возвышения, вы можете легко найти высоту здания. Точно так же, если у вас есть значение одной стороны и угол наклона от вершины здания, вы можете найти и другую сторону в треугольнике, все, что вам нужно знать, это одна сторона и угол треугольника.

     

    Тригонометрия в видеоиграх:

    Ты когда-нибудь играл в эту игру, Марио? Когда видишь его, так плавно скользишь по дорожным блокам. На самом деле он не прыгает прямо по оси Y, это слегка изогнутый путь или параболический путь, по которому он преодолевает препятствия на своем пути. Тригонометрия помогает Марио перепрыгивать через эти препятствия. Как вы знаете, игровая индустрия связана с информационными технологиями и компьютерами, поэтому тригонометрия имеет одинаковое значение для этих инженеров.

     

    Тригонометрия в строительстве:

    Тригонометрия в строительстве необходима для расчета:

    • Измерение полей, участков и площадей;
    • Делаем стены параллельными и перпендикулярными;
    • Укладка керамической плитки;
    • Наклон крыши;
    • Высота здания, ширина, длина и т.д. и многое другое, где необходимо использовать тригонометрию.

    Архитекторы используют тригонометрию для расчета структурной нагрузки, уклонов крыш, поверхности земли и многих других аспектов, включая затенение от солнца и углы освещения.

     

    Тригонометрия в бортовой технике:

    Бортинженеры должны учитывать их скорость, расстояние и направление, а также скорость и направление ветра. Ветер играет важную роль в том, как и когда самолет прибудет туда, где это необходимо. Это решается с помощью векторов для создания треугольника с использованием тригонометрии для решения. Например, если самолет движется со скоростью 234 мили в час, 45 градусов северной широты и восточной долготы, а ветер дует строго на юг со скоростью 20 миль в час. Тригонометрия поможет найти ту третью сторону вашего треугольника, которая будет вести самолет в правильном направлении, самолет действительно будет двигаться с добавленной к его курсу силой ветра.

     

    Тригонометрия в физике:

    В физике тригонометрия используется для нахождения компонентов векторов, моделирования механики волн (как физических, так и электромагнитных) и колебаний, суммирования напряженностей полей, а также использования скалярных и векторных произведений. Даже в движении снаряда у вас есть много применений тригонометрии.

     

    Используют ли археологи тригонометрию?

    Тригонометрия используется для правильного разделения участков раскопок на равные рабочие участки. Археологи определяют различные инструменты, использовавшиеся цивилизацией, и использование тригонометрии может помочь им в этих раскопках. Они также могут использовать его для измерения расстояния до систем подземных вод.

     

    Тригонометрия в криминалистике:

    В криминалистике тригонометрия может помочь рассчитать траекторию снаряда, оценить, что могло стать причиной столкновения в автокатастрофе, или как предмет упал откуда-то, или под каким углом пуля, выстрел и т. д.

    Тригонометрия в морской биологии;

    Морские биологи часто используют тригонометрию для проведения измерений. Например, выяснить, как уровень освещенности на разной глубине влияет на способность водорослей к фотосинтезу. Тригонометрия используется для определения расстояния между небесными телами. Кроме того, морские биологи используют математические модели для измерения и понимания морских животных и их поведения. Морские биологи могут использовать тригонометрию для определения размера диких животных на расстоянии.

     

    Тригонометрия в морской технике:

    В морской технике тригонометрия используется для постройки морских судов и управления ими. Чтобы быть более конкретным, тригонометрия используется для проектирования морского пандуса, который представляет собой наклонную поверхность для соединения нижних и верхних уровней уровня, он может быть наклоном или даже лестницей в зависимости от его применения.

     

    Тригонометрия, используемая в навигации:

    Тригонометрия используется для установки направлений, таких как север-юг-восток-запад. Он используется в навигации для точного определения местоположения. Он также используется для определения расстояния от берега до точки в море. Он также используется, чтобы увидеть горизонт.

     

    Другие применения тригонометрии:

    • Используется в океанографии для расчета высоты приливов и отливов в океанах.
    • Функции синуса и косинуса лежат в основе теории периодических функций, описывающих звуковые и световые волны.
    • Исчисление состоит из тригонометрии и алгебры.
    • Тригонометрию можно использовать для кровли дома, для наклона крыши (в случае одиночных индивидуальных бунгало) и высоты крыши в зданиях и т. д.
    • Применяется в морской и авиационной промышленности.
    • Используется в картографии (создание карт).
    • Тригонометрия также находит применение в спутниковых системах.

    Какие существуют приложения тригонометрии в реальной жизни?

    Тригонометрия — это раздел математики, изучающий соотношение сторон и углов в треугольнике. С помощью тригонометрии возможно определение высоты больших гор или башен, а также в астрономии, она используется для определения расстояния между звездами или планетами и широко используется в физике, архитектуре и системах GPS-навигации. Тригонометрия основана на принципе, что «Если два треугольника имеют одинаковое множество углов, то их стороны находятся в одинаковом отношении» . Длина сторон может быть разной, но соотношение сторон одинаковое.

    Тригонометрические функции

    • sin A = перпендикуляр / гипотенуза
    • cos A = основание / гипотенуза
    • tan A = перпендикуляр / основание Гипотенуза/перпендикуляр.

    Применение тригонометрии

    Тригонометрия находит широкое применение в вычислении расстояний, нахождении путей в движении и изучении волн, некоторые из них обсуждаются ниже:

    Тригонометрия используется для измерения высоты гор, башен или зданий:

    Высоты гор высокие башни можно легко найти с помощью тригонометрии. Если вы хотите найти высоту башни, измеряя горизонтальное расстояние от основания башни, и найти угол возвышения до вершины башни с помощью секстанта, то вы можете легко найти высота башни, горы или любой другой вещи.

    Тригонометрия, используемая на строительных площадках:

    Тригонометрия на строительных площадках используется для расчета следующего: наклон и скаты крыши,

  • Установка керамической плитки и камней,
  • Высота и ширина здания.
  • углы освещения и защита от солнца.
  • Тригонометрия, используемая бортинженерами:

    Тригонометрия используется для определения траектории полета самолета от посадки до взлета при расчете скорости, направления и наклона. Используется тригонометрия. При посадке и взлете, какой угол и какая скорость идеальны даже при ветре, вычисляется с помощью тригонометрии.

    Тригонометрия при нахождении путей движущихся объектов:

    Тригонометрия используется в радиолокационных системах для расчета направления и скорости движущихся объектов. Тригонометрия также играет важную роль в движении снаряда, нахождении путей пуль, нахождении пути выпущенной ракеты или брошенного камня.

    Тригонометрия в физике и математике:

    В физике и математике тригонометрия используется в векторной алгебре, нахождении компонент вектора, векторном произведении, исчислении, волнах и колебаниях, круговых движениях, оптике.

    Тригонометрия в спутниковой навигационной системе:

    Спутниковая навигационная система определяет ваше местоположение на карте с помощью 24 спутников на околоземной орбите, в расчетах используется тригонометрия, особенно закон косинуса используется для упрощения вычислений.

    Еще несколько применений:

    Тригонометрия также используется в астрономии, навигационной системе, геодезии, архитектуре, компьютерной томографии и ультразвуке, теории чисел, океанографии, компьютерной графике и разработке игр.

    Некоторые важные тригонометрические формулы:

    Следующие тождества получены с использованием теоремы Пифагора и верны для всех значений угла A.

    1. sin 2 (A) + COS 2 (A) = 1
    2. TAN 2 (A) + 1 = SEC 2 (A)
    3. COT 2 (A) + 10297 COT 2 (A) + 10008
    4. . = cosec 2 (A)

    Примеры задач

    Вопрос 1. Если sin угла A равен 0,3, найдите cos угла A?

    Решение:

    Учитывая sin(A) = 0,3

    из тригонометрических тождеств, мы имеем sin 2 (A) + cos 2 (A) = 1

    (0,3) 2 + COS 2 (A) = 1

    COS 2 (A) = 1 — 0,09

    COS 2 (A) = 0,01

    COS (A) = 0,10

    Вопрос 2. Если косинус угла А равен 0,5, найдите тангенс угла А?

    Решение:

    Учитывая cos(A) = 0,5

    сек(А) = 2

    из тригонометрических тождеств получаем

    желтовато-коричневый(А) 2 + 1 = (2) 2

    tan(A) 2 = 3

    tan(A) = √3

    Вопрос 3. Если койка угла A равна 3, найти косинус угла А?

    Решение:

    Указанная Cot (a) = 3

    Из тригонометрических идентичностей. cosec 2 (A)

    cosec 2 (A) = 4

    cosec(A) = 2

    Вопрос 4. Если косинус угла А равен 0,2, найдите тангенс угла А?

    Решение:

    Учитывая cos(A) = 0,2

    sec(A) = 5

    из тригонометрических тождеств имеем tan 2 3A 1 0 9 1 + 1 9 0 0 9 1 70 = sec 2

    tan(A) 2 + 1 = (5) 2

    tan(A) 2 = 24

    tan(A) = 2√6

    2 906

    (А) + желто-коричневый 2( А) = сек 2 (А) – cos 2 (А).

    Решение:

    Дано: sin 2 (A) + tan 2 (A) = sec 2 (A) – cos 2( A).

    Перестановка

    sin2(A) + cos 2 (A) = sec 2 (A) – tan 2 (A)

    из тождеств имеем sin 2 cos 9s (A) (A) = 1 и с 2 (A) – желто-коричневый 2 (A) = 1

    1 = с 2 (A) – желтовато-коричневый 2 (A)

    LHS = RHS

    Отсюда доказано!

    Знакомство с тригонометрией | NZ Maths

    Начало работы

    На этом занятии обсуждается важность прямоугольных треугольников. Начните со сценария в PowerPoint One. Древний Египет был одним из первых мест для тригонометрии, хотя основная история связана с Фалесом, которого часто считают отцом греческой математики.

    На втором слайде представлена ​​задача нахождения крутизны великой пирамиды. Вы можете захотеть иметь модель пирамиды, чтобы показать, насколько крутизна наклонной высоты круче, чем наклон вдоль ребра. Если вы делаете пирамиду из глины для лепки, вы можете разрезать ее вертикально по диагонали квадратного основания для иллюстрации.

    Вам может понадобиться обсудить меру «царский локоть», которая была длиной от локтя фараона до его самого длинного пальца (40 – 45 см). Попросите учащихся использовать линейку и транспортир, чтобы сделать масштабный чертеж обоих профилей. Они должны получить разумную оценку углов: 51,84° для углов высоты наклона и 41,99° для краевого угла. Это размеры оригинальной пирамиды, которые сегодня изменились из-за эрозии.

    Обсудите упражнение.

    • Насколько эффективно создавать масштабные чертежи больших зданий?
    • Что может пойти не так? (Масштаб является особенно важным аспектом)
    • Что могли сделать древние египтяне и другие культурные группы, чтобы быть более точными в своих планах? (Некоторые учащиеся могут предложить тригонометрию)

    Покажите следующие слайды PowerPoint One, чтобы рассказать историю о попытке Фалеса измерить высоту великой пирамиды с помощью ее тени. Вполне вероятно, что Фалес использовал треугольник 45 °, 45 °, 90 °, поэтому тень была такой же длины, как высота полюса и пирамиды соответственно. История была бы богаче, если бы он использовал неравнобедренный треугольник, как показано в PowerPoint One.

    • Как Фалес мог использовать длину тени?
    • Что общего в обоих треугольниках (Слайд 8)?

    Обратите внимание учащихся на то, что треугольники подобны, поскольку соответствующие углы одинаковы. Гораздо менее очевидна эквивалентность отношений между длинами сторон внутри каждого треугольника и между треугольниками.

    2 составляет две трети от 3, а 186 составляет две трети от 279.

    186 равно 93 x 2 и 279 равно 93 x 3. Обратите внимание, что 93 — это коэффициент масштабирования.

    Вы можете спросить, выполняются ли отношения внутри и между гипотенузой. Это дает возможность применить теорему Пифагора. Гипотенуза стержневого треугольника равна √2² + 3²  = 3,61, а соответствующая сторона треугольника пирамиды равна √186² + 279²  = 335,32.
    93 x 3,61 = 335,73, поэтому отношение между ними сохраняется (с учетом округления).

    Отношения внутренних сторон, вертикальная сторона ÷ гипотенуза и горизонтальная сторона ÷ гипотенуза, одинаковы для обоих треугольников?

    3 ÷ 3,61 = 0,83 и 2 ÷ 3,61 = 0,55 (палочный треугольник) и 279 ÷ 335,73 = 0,83 и 186 ÷ 335,73 = 0,55 (пирамидальный треугольник). Следовательно, отношения внутренних сторон равны для обоих треугольников. Равенство отношений внутри и между подобными треугольниками является основой тригонометрии.

    Дайте учащимся Copymaster One, который включает в себя четыре пары подобных прямоугольных треугольников. Их задача следующая:

    1. Найдите пары подобных треугольников и проверьте, совпадают ли внутренние углы.
    2. Вычислите отношения сторон внутри треугольника для обоих треугольников в каждой паре (противоположный ÷ гипотенуза, прилежащий ÷ гипотенуза и противолежащий ÷ гипотенуза). Для этого учащиеся должны указать опорный угол. Одинаковы ли отношения для обоих треугольников в паре?
    3. Вычислите коэффициент(ы) масштабирования, которые увеличивают один треугольник в паре до другого. Сохраняется ли масштабный коэффициент для каждого набора совпадающих сторон?

    После того, как учащиеся выполнят упражнение, обсудите, что всегда одинаково в подобных прямоугольных треугольниках. Поищите учащихся, которые суммируют одинаковые углы и одинаковые соотношения сторон.

    Изучение

    Последний урок, который мы узнали о Фалесе. Сегодня мы исследуем вклад Гиппарха, другого древнего грека, который жил более чем на 300 лет позже Фалеса. Его великим математическим изобретением была единичная окружность.

    Гиппарх создал таблицы со значениями треугольников, подобные этой (см. PowerPoint 2: Slide One).

    • Что вы заметили в этом прямоугольном треугольнике? (Нарисуйте длину гипотенузы равной единице)
    • Чем может быть полезен этот «единичный треугольник»?

    На втором слайде показано приложение.

    • Как можно вычислить высоту дерева из единичного треугольника?

    Учащиеся могут заметить, что масштабный коэффициент, отображающий единичный треугольник на треугольник дерева, равен 20 ÷ 0,866 = 23,09 (2 dp). Умножение противоположной стороны единичного треугольника на этот масштабный коэффициент дает высоту дерева 23,09 x 0,5 = 11,55 локтя. Этот метод может показаться немного неэффективным по сравнению с использованием Tan (30°) = x/20, но соотношение tan (30°) является заранее рассчитанным соотношением.

    Вы можете выполнить практическую задачу по созданию значений для противоположной и смежной сторон, используя метровую гипотенузу. Гиппарх вполне мог выполнять аналогичную задачу по расчету своих таблиц, хотя и с большей точностью.

    Учащимся потребуется копия Copymaster Two (увеличенная до A3, если возможно), мел и метровая линейка. Попросите учащихся точно нарисовать прямоугольные треугольники с гипотенузой ровно в метр. Попросите их найти длину противоположных и смежных сторон единичного треугольника для углов 30° (согласно первому слайду), 45°, 60° и 75°. Если они используют миллиметры в качестве степени точности, они могут найти значения с точностью до 3 знаков после запятой. Скажите им создать такую ​​таблицу:

    Угол

    Прилегающая сторона (метры)

    Противоположная сторона (метры)

    30°

     

     

    45°

     

     

    60°

     

     

    75°

     

     

     

    Учащиеся могут заметить, что значения «поменялись местами» для 30 и 60 градусов. Они также могут увидеть, что значения соседних сторон уменьшаются по мере увеличения угла, в то время как значения противоположных сторон увеличиваются.

    В вашем калькуляторе уже есть эти отношения смежной стороны ÷ гипотенузы и противолежащей стороны ÷ гипотенузы, сохраненные в виде косинуса и синуса. Поскольку гипотенуза равна единице, отношения совпадают с измеренными вами значениями, например. Для 60 ° соседняя ÷ гипотенуза = 0,5 ÷ 1 = 0,5, а противолежащая ÷ гипотенуза = 0,866 ÷ 1 = 0,866.

    • Что происходит с синусом при увеличении угла?
    • Для какого угла синус равен нулю?…единице?
    • Как найти косинус и синус 54° на калькуляторе? Исследовать.

    Учащиеся должны найти клавиши косинуса и синуса и использовать их для получения значений косинуса и синуса для заданных углов. Предложите учащимся воспользоваться графической программой или использовать графический калькулятор для построения графика конкретных значений косинуса и синуса в диапазоне от 0 до 9.0°. Посмотрите на форму набора точек, а затем постройте график функций. Приведенные ниже примеры относятся к y = sin x.

    Завершите занятие двумя задачами на третьем и четвертом слайдах второй презентации PowerPoint. На третьем слайде генерируются значения косинуса и синуса для угла 65°.

    Знают ли учащиеся, что на четвертом слайде смежная и противоположная стороны равны, поскольку прямоугольный треугольник равнобедренный?

    Дерево высотой 18 метров. Гипотенузу можно найти с помощью теоремы Пифагора, h = √18² + 18² , или косинуса, cos(45°) = 18/h, или синуса, sin(45°) = 18/h. Знают ли учащиеся, что возможны три стратегии и что они должны давать один и тот же ответ?

    Третья сессия исследует девять основных типов задач, которые можно решить с помощью соотношений косинуса, синуса и тангенса. Важный вопрос:

    Сколько измерений прямоугольного треугольника необходимо, чтобы начертить треугольник?

    Учащимся понадобятся линейки и транспортиры, чтобы нарисовать треугольники, если они смогут. Начните с рисования учащимися прямого угла, который образует один из внутренних углов треугольника. Создайте кубик с такими размерами граней: 37°, 45°, 63°, 6 см, 8 см, 10 см. Скажите учащимся, что вы будете бросать кубик, а их задача — нарисовать треугольник с полученными мерами. Если треугольник нельзя нарисовать с помощью одной меры. затем кубик бросается снова и снова до тех пор, пока треугольник не может быть нарисован или его невозможно нарисовать.

    Например, 37° может быть брошен первым. Учащиеся могут нарисовать это:

    Некоторые учащиеся могут заметить, что углы теперь равны 90°, 37° и 63°, поскольку сумма внутренних углов должна равняться 180°. Однако без длины стороны масштаб треугольника неизвестен.

    Следующие 8 см прокатываются. Учащиеся могут нарисовать три разные фигуры.

    Вы можете обсудить, почему двух измерений недостаточно для создания точного треугольника, но может быть, если известно положение стороны по отношению к углу 30 ° (противоположная, смежная или гипотенуза). Обсудите, что может быть брошено дальше и сможет ли это измерение «исправить» треугольник. Возможные варианты: 63° (уже известно), 45° и 37° (невозможно, так как сумма углов не будет равна 180°), 6 см (работает, только если 6 см противоположно углу 30°, а 8 см примыкает к 30°), 8 см (невозможно, так как треугольник должен быть равнобедренным с углами 90°, 45°, 45°), 10 см (работает, только если 8 см соседствует с 30°, а 10 см является гипотенузой).

    Попробуйте три примера последовательного рисования треугольников на основе информации об измерениях. Важным обобщением является то, что можно нарисовать точный треугольник, если:

    1. Известны длины двух сторон и известно их положение относительно прямого угла.
    2. Известны одна длина стороны и один угол, а также известно расположение стороны относительно угла.

    Знание всех трех углов дает подобные треугольники, но размер неясен.

    PowerPoint 3, слайды 1-6, посвящены выбору правильного соотношения, синуса или косинуса, для решения задач, в которых отсутствует одна мера в тригонометрическом соотношении, и ее необходимо найти из предоставленной информации. Для каждого слайда спросите:

    • Что дается?
    • Что нам нужно найти?
    • Какое соотношение необходимо для этой задачи? Откуда вы знаете?
    • Можете ли вы написать уравнение для этой задачи?

    На данный момент учащиеся не встретили касательную. Вспомните, какие меры даны для синуса и косинуса, чтобы иметь отношение к решению проблемы.

    Синус — это отношение противоположностей к гипотенузе. Косинус – это отношение прилежащих к гипотенузе. Покажите отношения вот так. После того, как синус и косинус представлены стрелками, спросите:  Какое соотношение отсутствует?

    Учащиеся могут заметить, что они не знают соотношения между противоположными и соседними сторонами. Скажите своим ученикам, что тангенсом называется отношение противоположного к соседнему. Вы можете ввести мнемонику SOH-CAH-TOA как полезный способ запомнить три основных тригонометрических соотношения. Перейдите к слайдам 7-9 в PowerPoint 3, чтобы учащиеся увидели, как можно применить отношение касательной.

    Учащимся может потребоваться больше практики для определения соотношения, необходимого для данной ситуации, и написания уравнения, которое необходимо решить.

    Пятое занятие

    На этом этапе учащиеся должны решить линейные уравнения, такие как cos(56°) = x/16 и cos(56°) = 28/x , чтобы найти неизвестные длины сторон. Общие проблемы:

    1. Тригонометрические отношения как процесс, который необходимо выполнить, а не просто число, например. cos(56°) равен 0,5592.
    2. Видя знак равенства как представление транзитивного баланса, т.е. значения cos(56°) и x/16 совпадают.
    3. Распознавание деления как одной из интерпретаций дроби, т.е. x/16 может означать x, деленное на 16.
    4. Понимание «отменяющей» природы обратных операций и того, как сохраняется равенство, например. Умножение обеих сторон на 16 изменяет cos(56°) = x/16 на 16cos(56°) = x.

    Следите за этими проблемами, пока ваши ученики работают над примерами в PowerPoint Four. Ставьте видео на паузу там, где вам удобно, чтобы учащиеся могли поработать над подзадачами и обсудить их.

    После прохождения задания в PowerPoint ваши ученики могут предложить аналогичную задачу для решения партнера. Попросите их предоставить полное решение со всеми шагами. Выберите несколько примеров, чтобы поделиться ими с классом, а остальные поместите в сборник задач по тригонометрии.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.