Формула арифм прогрессии: Арифметическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Формула разности арифметической прогрессии — справочник для студентов и школьников

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, каждая из которых, начиная со второй, отличается от предыдущей тем же числом d, которое называется разностью прогрессии.

Другими словами, разница в арифметической прогрессии — это разница между следующим и предыдущим членами прогрессии. Если \(\ A=\left\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots\right\} \) является арифметической прогрессией, а \(\ a_{n} \) является ее n-м членом, то разность

\(\ d=a_{n+1}-a_{n} \)

Если разность арифметической прогрессии является положительным числом, то прогрессия будет возрастать, если отрицательно — уменьшаться.

В случае, когда известны первые члены \(\ a_{1} \) и n-й \(\ a_{n} \) прогрессии, разность d может быть найдена следующим образом:

\(\ d=\frac{a_{n}-a_{1}}{n-1} \)

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

Задача

найти разницу арифметической прогрессии, в которой \(\ a_{1}=10, a_{5}=22 \)

Решение

Поскольку известны первые и пятые члены арифметической прогрессии, различия соответственно равны

\(\ d=\frac{a_{n}-a_{1}}{n-1}=\frac{a_{5}-a_{1}}{5-1}=\frac{22-10}{4}=3 \)

Ответ \(\ d=3 \)

ПРИМЕР 2

Задача.

В арифметической прогрессии десятый член равен -30, а двадцатый — (-40). Найдите разницу в прогрессии.

Решение

Согласно условию задачи \(\ a_{10}=-30, a_{20}=-40 \) Мы находим их выражения через первый член прогрессии и разности:

\(\ \left\{\begin{array}{l}{a_{1}+9 d=-30} \\ {a_{1}+19 d=-40}\end{array}\right. \)

Мы решим полученную систему, для чего сначала вычитаем первое уравнение из второго уравнения. В результате мы получим:

\(\ 10 \mathrm{d}=-10 \)

Где мы получаем

\(\ d=-1 \)

Ответ \(\ d=-1 \)

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Формулы прогрессий Формула суммы геометрической прогрессии Формула суммы арифметической прогрессии Формулы геометрической прогрессии

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Член арифметической прогрессии | Онлайн калькулятор

org/ListItem»>Все калькуляторы

Учеба и наука

Математика

/ Член арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия, как правило, представлена рядом, в котором каждое число по сравнению с предыдущим монотонно убывает или возрастает на один и тот же шаг прогрессии. Онлайн калькулятор поможет найти первый член арифметической прогрессии можно, используя любой n член прогрессии и ее разность. Аналогично решаются задания формата «Найдите шестой член арифметической прогрессии (пятый, седьмой или любой другой)» .

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Для того чтобы понимать, каким образом упорядочены числа арифметической прогрессии, рассмотрим следующий ряд:
a₁
a₂=a₁+d
a₃=a₂+d=a₁+d+d=a₁+2d
a₄=a₃+d=a₁+2d+d=a₁+3d
. ..

Очевидно прослеживается закономерность формирования каждого следующего члена прогрессии, который можно выразить через предыдущий: a_n=a_(n-1)+d или через первый член арифметической прогресии a

1. Чтобы найти член арифметической прогрессии через первый член, к нему прибавляется количество шагов прогрессии, равное n-1, где n — это порядковый номер члена прогрессии, который нужно найти по заданным условиям. a_n=a₁+(n-1)d

Наоборот, зная какой-либо определенный n член арифметической прогрессии, можно найти первый член. Для этого выводится специальная формула из предыдущей: a₁=a_n-(n-1)d

Если по заданию нужно найти первые члены арифметической прогрессии, то в любом случае первым действием должно быть вычисление первого члена прогрессии, и затем путем прибавления разности прогрессии к каждому предыдущему числу можно будет найти необходимое количество первых членов, например, до пятого или до десятого члена.

Общее

число членов арифметической прогрессии по умолчанию неограниченно, так как прибавление разности прогрессии является действием, возможным для бесконечного повторения. Предел такой последовательности будет стремиться в сторону плюс или минус бесконечности в зависимости от знака разности прогрессии. Так как последовательность будет бесконечно расти, для арифметической прогрессии можно найти сумму первых членов или сумму членов, определенных условием задания.

Соответственно, зная сумму арифметической прогрессии, найти первый член не составляет труда, если правильно перевернуть формулу. Сумма арифметической прогрессии — это среднее арифметическое (откуда и название) первого и последнего членов прогрессии, умноженное на общее количество членов прогрессии.

Первый член прогрессии в таком случае будет равен удвоенному отношению суммы к общему количеству членов за вычетом последнего члена в сумме.

Select rating12345

Рейтинг: 3.2 (Голосов 31)

Сообщить об ошибке

Смотрите также

Калькулятор арифметической последовательности | Формула

Авторы: Богна Шик и Анна Щепанек, доктор философии

Рецензию сделали Стивен Вудинг и Джек Боуотер

Последнее обновление: 29 июля 2022 г.

Содержание:

Что такое арифметическая последовательность?
Определение и наименование арифметической последовательности
Примеры арифметической последовательности
Формула арифметической последовательности
Различие между последовательностью и рядом
Арифметический ряд до бесконечности
Арифметические и геометрические последовательности
Арифметико-геометрическая последовательность
Калькулятор арифметической последовательности: пример использования числа, которые создаются путем добавления постоянного значения каждый раз . Вы можете использовать его, чтобы найти любое свойство последовательности — первое слагаемое, общую разность, nᵗʰ слагаемое или сумму первых n слагаемых. Вы можете сразу приступить к его использованию или прочитать дальше, чтобы узнать, как он работает.
В этой статье мы объясняем определение арифметической последовательности, поясняем уравнение последовательности, которое использует калькулятор, и даем вам формулу для нахождения арифметического ряда (сумма арифметической прогрессии). Мы также предоставляем обзор различий между арифметическими и геометрическими последовательностями и простой для понимания пример применения нашего инструмента.
Что такое арифметическая прогрессия?
Чтобы ответить на этот вопрос, сначала нужно узнать, что такое термин последовательность означает. По определению, последовательность в математике — это набор объектов, таких как числа или буквы, которые идут в определенном порядке. Эти объекты называются элементами или элементами последовательности. Довольно часто один и тот же объект появляется несколько раз в одной последовательности.
Арифметическая последовательность также является набором объектов, точнее, чисел. Каждое последовательное число создается путем добавления постоянного числа (называемого общей разностью 9).0032 ) к предыдущему. Такая последовательность может быть конечной, когда в ней есть определенное количество членов (например, 20), или бесконечной, если мы не указываем количество членов.
Каждая арифметическая последовательность однозначно определяется двумя коэффициентами: общей разностью и первым членом . Если вы знаете эти два значения, вы можете записать всю последовательность.
Определение арифметической последовательности и наименование
Как только вы начнете углубляться в тему что такое арифметическая последовательность , вполне вероятно, что вы столкнетесь с некоторой путаницей. Это происходит из-за различных соглашений об именах, которые используются.
Два наиболее распространенных термина, с которыми вы можете столкнуться, это арифметическая последовательность и ряд . Первую также часто называют арифметической прогрессией , а вторую также называют частичной суммой .
Основное различие между последовательностью и последовательностью состоит в том, что по определению арифметическая последовательность — это просто набор чисел, каждый раз складывающий общую разность. Арифметический ряд, с другой стороны, представляет собой сумму n членов последовательности. Например, вы можете обозначить сумму первых 12 членов как S ₁₂ = a ₁ + a ₂ + … + a ₁₂ .
Примеры арифметической последовательности
Некоторые примеры арифметической последовательности включают:
- 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, …
- 6, 3, 0, -3, -6, -9, -12, -15, …
- 50, 50. 1, 50.2, 50.3, 50.4, 50.5, …
Сможете ли вы найти общее отличие каждой из этих последовательностей? Подсказка: попробуйте вычесть термин из следующего термина.
Основываясь на этих примерах арифметических последовательностей, вы можете заметить, что общая разность не обязательно должна быть натуральным числом — это может быть дробь. На самом деле, это даже не должно быть положительным!

Если общая разность арифметической последовательности положительна, мы называем ее возрастающей последовательностью . Естественно, если разность отрицательна, последовательность будет уменьшающейся на . Что происходит в случае нулевой разницы? Ну, вы получите монотонная последовательность , где каждый член равен предыдущему.
Теперь давайте внимательно посмотрим на эту последовательность:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Можете ли вы определить, в чем состоит общее различие в этом случае? ?
На самом деле, у вас не должно быть возможности. Это не пример арифметической последовательности, а частный случай, называемый последовательностью Фибоначчи. Каждый термин находится путем сложения двух предшествующих ему терминов.

Отличным применением последовательности Фибоначчи является построение спирали. Если вы нарисуете квадраты со сторонами, длина которых равна последовательным членам этой последовательности, вы получите идеальную спираль.
Идеальная спираль — прямо как эта! (Источник: Викимедиа.)
Математикам всегда нравилась последовательность Фибоначчи! Если вы хотите обнаружить последовательность, которая пугала их почти столетие, воспользуйтесь нашим калькулятором гипотез Коллатца.
Формула арифметической последовательности
Предположим, вы хотите найти член 30ᵗʰ любой из упомянутых выше последовательностей (кроме последовательности Фибоначчи, конечно). Записывать первые 30 терминов было бы утомительно и отнимало много времени. Однако вы, наверное, заметили, что вам не нужно записывать их все! Достаточно, если вы добавить 29 общих отличий к первому члену.
Обобщим это утверждение, чтобы сформулировать уравнение арифметической последовательности. Это формула для любого nᵗʰ члена последовательности.
a = a₁ + (n-1)d
где:
a — nᵗʰ член последовательности;
d — Отличие общее; и
a₁ — Первый член последовательности.
Эта формула арифметической последовательности применяется в случае всех общих разностей, положительных, отрицательных или равных нулю. Естественно, что в случае нулевой разности все слагаемые равны друг другу, что делает ненужными какие-либо вычисления.
Разница между последовательностью и последовательностью
Наш калькулятор арифметической последовательности также может найти сумму последовательности (называемой арифметической последовательностью ) для вас. Поверьте, вы можете сделать это сами — это не так сложно!
Посмотрите на первый пример арифметической последовательности: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. Мы могли бы просуммировать все члены вручную, но это не обязательно. Попробуем суммировать термины более организованным образом. Мы сложим первое и последнее слагаемые вместе, затем второе и предпоследнее, третье и третье с последним и т. д. Вы быстро заметите, что:
3 + 21 = 24
5 + 19 = 24
7 + 17 = 24
Сумма каждой пары постоянна и равна 24 . Это означает, что нам не нужно складывать все числа. Все, что вам нужно сделать, это сложить первый и последний член последовательности и умножить эту сумму на количество пар (т. е. на n/2).
Математически это записывается как:
S = n/2 × (a₁ + a)
Подставляя уравнение арифметической последовательности вместо члена nᵗʰ:
S = n/2 × [a₁ + a₁ + (n-1)d]
После упрощения:
S = n/2 × [2a₁ + (n-1)d]
формула позволит вам найти сумму арифметической прогрессии.
Арифметический ряд до бесконечности
При поиске суммы арифметической последовательности вы, вероятно, заметили, что вам нужно выбрать значение n , чтобы вычислить частичную сумму. Что, если вы хотите просуммировать всех членов последовательности?
Интуитивно понятно, что сумма бесконечного числа слагаемых будет равна бесконечности независимо от того, является ли общая разность положительной, отрицательной или даже равной нулю. Однако это относится не ко всем типам последовательностей. Если вы выберете другую, например геометрическую последовательность, сумма до бесконечности может оказаться конечным членом .
Арифметические и геометрические последовательности
Очевидно, что наш калькулятор арифметических последовательностей не может анализировать никакие другие типы последовательностей. Например, последовательность 2, 4, 8, 16, 32, … не имеет общего различия. Это потому, что это другой вид последовательности — геометрическая прогрессия.
В чем основное отличие арифметической последовательности от геометрической? В то время как арифметическая последовательность использует общую разность для построения каждого последующего члена, геометрическая последовательность использует обыкновенное отношение . Это означает, что мы умножаем каждый термин на определенное число каждый раз, когда хотим создать новый термин.
Одним из интересных примеров геометрической последовательности является так называемая цифровая вселенная . Вы, наверное, слышали, что объем цифровой информации удваивается каждые два года. Это означает, что вы можете записать числа, представляющие количество данных в геометрической последовательности, с общим отношением, равным двум.
Арифметико-геометрическая последовательность
Вы также можете анализировать специальный тип последовательности, называемый арифметико-геометрической последовательностью . Он создается путем умножения членов двух прогрессий — арифметической и геометрической.
Например, рассмотрим следующие две прогрессии:
Арифметическая последовательность: 1, 2, 3, 4, 5, …
Геометрическая последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, …
Чтобы получить n-й член арифметико-геометрического ряда, нужно умножить n-й член арифметической прогрессии на n-й член геометрической прогрессии. В этом случае результат будет выглядеть так:
Первый член: 1 × 1 = 1
Второй член: 2 × 2 = 4
Третий член: 3 × 4 = 12
Четвертый член: 4 × 8 = 32
Пятый член: 5 × 16 = 80
Такая последовательность определяется четырьмя параметрами : начальным значением арифметической прогрессии a , общей разностью d , начальным значением геометрической прогрессии b , а обыкновенное отношение r .
Калькулятор арифметической прогрессии: пример использования
Разберем простой пример, который можно решить с помощью формулы арифметической прогрессии . Мы внимательно рассмотрим пример свободного падения.
Камень свободно падает в глубокую шахту. За первую секунду он опускается на четыре метра. Каждую следующую секунду расстояние, на которое он падает, увеличивается на 9,8 метра. Какое расстояние прошел камень между пятой и девятой секундами?
Пройденное расстояние следует арифметической прогрессии с начальным значением a = 4 м и общей разностью d = 9,8 м .
Сначала мы найдем общее расстояние, пройденное за первые девять секунд свободного падения, вычислив частичную сумму S₉ ( n = 9 ):
S₉ = n/2 × [2a₁ + ( n-1)d] = 9/2 × [2 × 4 + (9–1) × 9,8] = 388,8 м
За первые девять секунд камень проходит в общей сложности 388,8 м. Однако нас интересует только расстояние, пройденное с пятой по девятую секунду. Как рассчитать это значение? Это легко — все, что нам нужно сделать, это вычесть расстояние, пройденное за первые четыре секунды, S₄, из частичной суммы S₉.
S₄ = n/2 × [2a₁ + (n-1)d] = 4/2 × [2 × 4 + (4-1) × 9,8] = 74,8 м
S₄ равно 74,8 м. Теперь мы можем найти результат простым вычитанием:
расстояние = S₉ — S₄ = 388,8 — 74,8 = 314 м
Существует альтернативный метод решения этого примера. Вы можете использовать формулу арифметической последовательности , чтобы вычислить расстояние, пройденное за пятую, шестую, седьмую, восьмую и девятую секунды, и сложить эти значения вместе. Попробуйте сделать это сами — скоро вы поймете, что результат точно такой же!
Часто задаваемые вопросы
Как найти n-й член арифметической прогрессии?
Чтобы найти nᵗʰ член арифметической прогрессии, aₙ :
Умножьте на обыкновенную разность d на (n-1) .
Добавить этого продукта к первому члену a₁ .
Результатом является термин nᵗʰ. Отличная работа!
В качестве альтернативы можно использовать формулу: aₙ = a₁ + (n-1) × d .
Как найти общую разность в арифметической прогрессии?
Вычтите любые два соседних члена , чтобы получить общую разность последовательности. Можно взять любые последующие, например, a₂-a₁ , a₇-a₆ или a₁₀₀-a₉₉ . Если вы не получили одинаковый результат для всех различий, ваша последовательность не является арифметической.
Какая общая разница в следующей арифметической последовательности: -12, -1, 10, 21?
Общая разница 11 . Вы можете оценить его, вычитая любую последовательную пару членов, например, a₂ — a₁ = -1 — (-12) = 11 или a₄ — a₃ = 21 — 10 = 11
В чем разница между арифметикой и геометрическая последовательность?
разность между любыми соседними элементами постоянна для любой арифметической последовательности , в то время как отношение любой последовательной пары термов одинаково для любой геометрической последовательности .
Чтобы получить следующий член арифметической прогрессии, нужно добавить общее отличие к предыдущему .
Чтобы получить следующий член геометрической последовательности, нужно умножить предыдущий член на знаменатель .
Как определить, является ли последовательность арифметической?
Разница между любой последовательной парой чисел должна быть одинаковой. Чтобы проверить, является ли последовательность арифметической, найдите различия между каждой соседней парой терминов. Если какое-либо из значений отличается, ваша последовательность не является арифметической.
Богна Шик и Анна Щепанек, доктор философии
Этот калькулятор использует следующую формулу для нахождения n-го члена последовательности:
Введите любые два значения:
Общая разность, d
Как ввести больше членов?
Выберите расширенный режим ниже, если вам даны термины с индексами больше 5 и вы хотите, чтобы мы определили по ним последовательность.
Как найти больше терминов?
Здесь можно распечатать любую часть последовательности (или найти отдельные термины)
Хотите записать?
Сумма любого количества начальных членов
Найдите сумму a₁ + . .. + aₚ для p =
Для произвольного первого индекса выберите расширенный режим ниже.
Посмотреть 7 калькуляторов похожих последовательностей 🔗
Гипотеза КоллатцаФибоначчиГеометрическая последовательность… Еще 4
Арифметическая последовательность: формулы, примеры | Turito
Арифметическая последовательность или арифметическая прогрессия определяется как последовательность целых чисел, в которой разница между любыми двумя числами всегда постоянна. Эта разница известна как общая разница и обозначается буквой «d». Мы можем согласиться с тем, что если числа в списке увеличиваются или уменьшаются с постоянной общей разностью, они находятся в арифметической последовательности или арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия или арифметическая последовательность также обозначается «AP». Вы можете найти множество различных примеров, где будет приведена аббревиатура. Не запутайтесь и поймите, что это означает арифметическую прогрессию.
Ниже приведены некоторые ряды, представляющие собой арифметическую прогрессию:
1, 5, 9, 13, 17, ……
6, 3, 1, -3, -6, …..
а, а + 2, а + 4, а + 6, …..
Так зачем же эти точки доступа? Это можно понять, увидев общую разницу между каждым членом ряда.
В первой серии (5 – 1) = 4, (9 – 5) = 4, (13 – 9) = 4 и так далее. Вы можете видеть, что каждый раз, когда вычитаются два члена, ответ будет равен 4. Следовательно, ряд 1 является арифметической прогрессией.
Во второй серии ( 3 – 6) = -3, (1 – 3) = -2, ( -3 – 1) = -4. Здесь, как вы видите, разница между двумя последовательными терминами меняется от -3 до -2 и затем -4. Следовательно, этот ряд не является арифметической прогрессией.
Теперь давайте посмотрим на алгебраическую последовательность. (а + 2) – а = 2, (а + 4) – (а + 2) = 2, (а + 6) – (а + 4) = 2 и так далее. Таким образом, каждый член имеет общую разность 2 между ними. Следовательно, алгебраическая последовательность является арифметической последовательностью.
Как найти общую разность между точками доступа
Общая разность «d» может быть рассчитана путем вычитания следующего члена из предыдущего члена. Например, если у нас есть арифметическая последовательность:
AP -> a, b, c, d, e, …….
Общая разность = (b – a), или (c – b), или (d – c) {Второй член вычитается из первого}. Помните, что первое слагаемое «а» никогда не будет слагаемым, из которого будет вычтено какое-либо число.
Если ряд: 9, 6, 3, 0, …… то общая разность никогда не будет (9 – что-то) она будет либо (6 – 9) = -3, либо (3 – 6) = — 3 в каждом сценарии.
Это приводит нас к очень важному выводу. Предположим, что общая разность между любыми двумя числами арифметического ряда является положительным целым числом. В этом случае ряд называется возрастающим, а если общая разность является отрицательным целым числом, то ряд называется убывающим.
В математике общая разность формулируется как:
d = ( t _x – t _x-1 ), где ‘t’ относится к термину, а ‘x’ = 2, 3, 4, 5, ……
Если вы хотите сделать AP , затем выполните следующие действия:
Шаг 1: Возьмите начальный номер, который будет действовать как первый член точки доступа.
Шаг 2: Исправьте общую разницу и добавьте или вычтите из первого члена, чтобы получить второй член.
Шаг 3: Теперь добавьте или вычтите общую разность из второго члена, чтобы получить третий член.
Шаг 4: Продолжайте эти шаги, чтобы получить желаемую точку доступа.
Теперь, когда мы поняли основы арифметической прогрессии и общее различие, давайте изучим формулу арифметической последовательности и как найти любое количество терминов в AP.
Формула арифметической последовательности
Из приведенной выше концепции мы получаем стандартную форму записи арифметической прогрессии, которая задается как:
Если k — первый член ряда, то AP -> k, k + d , k + 2d, k + 3d, ………, k + (n-1)d. Формула арифметической последовательности может быть использована для обнаружения любого члена арифметической последовательности. Давайте посмотрим на пример, чтобы понять этот раздел.
Пример: Найдите 13-й член АП: 2, 5, 8, 11, …….
Решение: Указано AP = 2, 5, 8, 11,… ..
Общая разница ‘d’ = (5 — 2) = 3
Первый термин «k ‘= 2
13 -й термин AP = K + (N — 1) D
= 2 + (13 — 1) D
= 2 + 12 x 3
= 38
Следовательно, 13-й член данного AP равен 38. любое количество терминов этого AP. Кроме того, формула n-го члена задается как
L = k + (n – 1)d, также известная как явная формула для арифметических операций.
Применение формулы арифметической последовательности
Каждый день, если не каждую минуту, мы используем формулу арифметической последовательности, даже не замечая ее. Несколько примеров реального использования формулы арифметической последовательности приведены ниже.
Арифметическая последовательность используется для организации мест на стадионе или в театре.
Секундная стрелка, а также минутная и часовая стрелки в часах входят в арифметическую последовательность.
За AP следуют недели в месяце и годы. Каждый високосный год рассчитывается путем добавления предыдущего високосного года на четыре.
Сумма арифметической последовательности
До сих пор вы должны четко понимать, что такое арифметическая последовательность и формула арифметической последовательности. Из этой статьи мы узнаем о понятии и формуле, связанных с суммой арифметических последовательностей.
Когда мы складываем все термины, присутствующие в AP, получается сумма арифметической последовательности. Эту концепцию основал Карл Фридрих Гаусс, впоследствии ставший одним из величайших немецких математиков. Он учился в школе в 19го века, когда он нашел способ суммировать количество членов арифметической прогрессии. Например:
Найдите сумму AP 1, 4, 7 и 10.
Решение: Сумма AP = 1 + 4 + 7 + 10 = 22.
Это тот случай, когда AP содержит мало терминов. . Но что, если AP 1, 4, 7, 10, …………100. В таких случаях мы не можем записать всю последовательность. Здесь вступает в действие формула суммы арифметической прогрессии. Сумма арифметической формулы используется для нахождения суммы до r ^-й термин в любой последовательности. Он задается как
S _r = r/2 [2k + (r – 1) d]
Или
S _r = r/2 [k + kr]
В этой формуле S _r относится к сумме арифметического ряда до r-го члена, k относится к первому члену AP, kr относится к последнему члену AP, и d является общей разностью.
Сумму арифметической прогрессии можно найти двумя способами. Если мы знаем первый и последний член AP, мы можем использовать 2-ю формулу, чтобы найти сумму напрямую, но если нам задано положение r-го члена, мы можем найти сумму, используя первую формулу. Давайте решим примеры, связанные с обеими формулами для лучшего понимания.
Пример 1: Найдите сумму арифметической последовательности -5, 0, 5, 10, … до 20 членов.
Решение: Дано
Первый член k = -5
r = 20
d = 5 – 0 = 5
Следовательно, используя первую формулу: S _r 2 r + (r/2 [ -1) D]
S ₂₀ = 20/2 [(2 x -5) + (20 -1) x 5]
S ₂₀ = 10 x [(-10) + (19) x 5]
S ₂₀ = 10 x [(-10) + 95]
S ₂₀ = 10 x [85]
S ₂₀ = 850
Ответ: Сумма AP -5, 0, 5, 10, … до 20 членов равна 850.
Пример 2: Первый и последний члены AP равны 22 и 66 , соответственно. Найдите сумму АП до 8 членов.
Решение: Указано
Первая скорость K = 22
K _R = 66
R = 8
D = не дефицитно
, используя первую формулу: S _R = R/2. [K + K _R]
S ₈ = 8/2 [22 + 66]
S ₈ = 4 x [88]
S ₈ = 4 x 88
S ₈ = 352
Ответ: Сумма 8 Условий AP — 352.
Часто задаваемые вопросы
1. Как вы рассчитываете арифметическую последовательность?
Ответ. В арифметической последовательности каждое число прибавляется к предыдущему числу для вычисления следующего числа. Первый член называется t1, а каждый последующий член рассчитывается как tn+1=tn+d, где d — приращение между членами.
Формула для вычисления последовательности из n элементов: Tn=Tn-1 + D, где D представляет собой разницу между последовательными элементами в последовательности.
Например, если вы хотите вычислить последовательность, которая идет от 2 до 8 по двойкам (2, 4, 6, 8), вы должны использовать формулу: Tn = Tn – 1 + D = 2 + 2 = 4.
2. Как решать арифметические прогрессии?
Ответ. Арифметические последовательности — это тип последовательности, которая следует схеме сложения, очень похожей на последовательность чисел на часах. Их можно решить по формуле:
a[n] = a[n-1] + d, где «a» — первое слагаемое, «n» — число в последовательности, «d» — разница между каждым слагаемым, а «a[n ]» — его n-й член.
Допустим, у нас есть последовательность: 2, 4, 6, 8. Она может быть представлена как (2+1), (4+2) или (6+3). Мы видим, что разница между каждым членом равна двум — на один больше, чем в предыдущем. Итак, если мы хотим узнать, какое число идет после 10 в нашей последовательности, нам нужно добавить на 2 больше, чем 9 — это будет 11.
3. Где мы используем арифметические последовательности в реальной жизни?
Ответ. Арифметические последовательности используются в реальной жизни повсеместно.
Они используются для определения того, сколько продукции компания продаст за определенный период времени или сколько человек будет в классе. Они используются для расчета того, сколько денег у вас будет, если вы инвестируете 10 000 долларов сегодня и помещаете их на счет, который дает 10% годовых, пока вы не снимете их. И они даже привыкли вычислять, сколько нам будет лет, когда в следующем году наступит наш день рождения!
4. Что означает арифметическая прогрессия в математике?
Ответ.
No related posts.