| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | cos(pi/4) | ||
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 68 | tan(45) | ||
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) | |
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
10 класс. Алгебра. Преобразование тригонометрических выражений. Формулы двойного аргумента и понижения степени. — Формулы двойного аргумента.
Комментарии преподавателяФормулы двойного аргумента
На уроке выводятся формулы двойного аргумента синуса и косинуса из формул синуса и косинуса суммы аргументов и формула для тангенса двойного аргумента двумя способами, анализируется ее область допустимых значений.
Решается несколько задач на упрощение, вычисление и решение уравнений с помощью формул двойного аргумента.
Доказать:
Доказательство:
при имеем:
.
Аналогично доказывается формула косинуса двойного аргумента.
Доказательство (1-й способ):
При получается
Вывод формулы вторым способом подчеркивает особенность формулы, то есть сужение ОДЗ.
Доказательство (2-й способ):
при .
1) Область определения левой части
Иллюстрация полученного множества допустимых значений приведена на рис.1.
Рис. 1.
2) Область определения правой части
Иллюстрация полученного множества приведена на рис.2.
Рис. 2.
Происходит сужение области определения – результат анализа формулы.
Пример на ОДЗ.
существует при
не существует при так как не существует
Применяя формулы двойного аргумента для угла :
то и формулы примут вид:
Аналогично, можно применить формулы для аргумента .
sin4x = sin(2·2x) = 2sin2x·cos2x1. Вычислить:
1)
2)
3)
2. Дано:
Найти: а) б)
Решение:
а)
Учитывая, что , то
Ответ:
б)
Ответ:
3. Упростить:
а) б)
Решение:
а)
Ответ: .
б)
Ответ:
4. Решить уравнение:
Решение:
или
Ответ:
На уроке рассматривались формулы двойного аргумента и их использование при решении задач.
ИСТЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenijb/formuly-dvoynogo-argumenta
http://www.youtube.com/watch?v=nkZzYvbKsu8
http://school.xvatit.com/index.php?title=Формулы_двойного_аргумента
http://fs1.ppt4web.ru/uploads/ppt/95377/13c5a0e1a68202530b71500caf12f9c8.ppt
http://dist-tutor.info/file.php/158/Risunki/Formuly_dvoinogo_argumenta.jpg
http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf
http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-4-preobrazovanie-trigonometricheskih-vyrazhenij/21-formuly-dvojnogo-argumenta/38
Формулы двойного угла и половинного угла: примеры и типы |
Знаете ли вы, что
и
?
Из этой статьи вы узнаете, что происходит, когда тригонометрические тождества удваиваются или уменьшаются вдвое.
Формулы двойного угла
Тригонометрические функции можно удвоить, но не так, как удваиваются обычные числа.
Если у вас есть выражение 3y и вы хотите его удвоить, то легко умножить 3y на 2 и получить 6y. Обратите внимание, что sin30° равно 0,5, а удвоение угла дает 60°, но sin60° не даст вам 1. Поскольку обычные математические операции умножают 0,5 на 2, чтобы получить 1, тригонометрическим тождествам потребуется собственная формула, чтобы удвоить их функцию.
Получение формулы двойного угла для функции синуса
Мы намерены найти формулу для sin2θ. Обратите внимание, что
Напомним, что,
Теперь возьмем, мы получим
Формула двойного угла для функции синуса дается как
Найти с помощью формулы двойного угла.
Решение:
. заданное, но чтобы применить нашу формулу, нам нужно найти cosθ.
Напомним, что,
Таким образом,
Извлекаем квадратный корень из обеих частей, чтобы получить,
Обратите внимание, что диапазон угла составляет от 90° до 180°, это означает, что θ находится во втором квадранте.
Косинус углов во второй четверти имеет отрицательные значения. Таким образом,
Теперь мы должны применить нашу формулу двойного угла,
Получение формулы двойного угла для функции косинуса
Теперь мы разработаем формулу двойного угла для функции косинуса. Выводим три равные формулы.
Сначала заметим, что
Теперь вспомним, что
Взяв, мы получим
Таким образом, мы выводим первую формулу для ,
Теперь мы вспоминаем тождество , таким образом, мы имеем.
Теперь заменим полученную формулу для , чтобы получить
Таким образом, вторая формула для
Аналогичным образом имеем .
Подставляя значение в формулу , имеем
Таким образом, третья формула для IS
Формулы с двойным углом для косинусной функции приведены,
Учитывая, что, если
Решение:
Метод 1.
.
Прямой способ найти — использовать формулу , так как нам дано значение .
Итак,
Метод 2.
Мы можем использовать любую из других формул, чтобы найти, мы будем использовать Нам нужно таким образом найти.
Вспомним, что , таким образом
Взяв квадратный корень из обеих сторон, мы получим
Обратите внимание, что это означает, что находится во втором квадранте. Косинусы углов во второй четверти имеют отрицательные значения. Таким образом,
Итак, мы можем применить нашу формулу
Для , найти, когда
Решение:
При решении этой задачи быстрее использовать формулу.
Таким образом,
Получение формулы двойного угла для функции тангенса
Разработаем формулу для двойного угла функции тангенса.
Вспоминаем, что
и,
Таким образом,
Подставляя и по их выражениям, получаем
0003
Чтобы еще больше упростить это, мы разделим числитель и знаменатель правой части уравнения на , чтобы получить
Формула двойного угла для функции тангенса дается как,
Учитывая, что найти если
Решение:
Нам нужно найти, это означает, что мы сначала должны найти .
Напоминаем, что таким образом. Заменив на его значение, получим
Берем квадратный корень из обеих частей, получаем
Обратите внимание, что это означает, что находится во втором квадранте. Косинусы углов во второй четверти имеют отрицательные значения. Таким образом, .
Следовательно,
Таким образом,
Вывод формул двойного угла для функций секанса, косеканса и котангенса
Функции секанса, косеканса и котангенса являются обратными значениями косинуса, синуса и тангенса соответственно. Чтобы вывести их формулы двойного угла, вам просто нужно найти мультипликативную инверсию соответствующих формул двойного угла.
Формула двойного угла для секанса
По определению функции секанса мы помним, что
поэтому
но из формулы двойного угла для косинуса имеем , таким образом
Теперь выразим через и .
На самом деле, и , таким образом, мы имеем
Формула двойного угла для функции секанса дается как,
Формула двойного угла для косеканса
Мы помним из определения функции секанса, что
, поэтому
, но из формулы двойного угла для функции синуса мы имеем, таким образом,
Формула двойного угла для функции косеканса дается как,
Формула двойного угла для котангенса
Мы помним определение функции секанса, что
поэтому
Мы помним из формулы двойного угла для функции тангенса, что у нас есть
Формула двойного угла для функции котангенса дается как,
Учитывая, что найти и учитывая, что
Решение:
У нас есть значение sinθ, но чтобы применить эти формулы, нам нужно найти cosθ.
Напоминаем, что,
Таким образом, но так как таким образом.
Итак,
Следовательно, у нас есть
, но, таким образом, у нас есть
Формулы половинного угла
Тригонометрические функции можно делить пополам, но не так, как сокращаются пополам нормальные числа. Если у вас есть выражение 6y и вы хотите разделить его пополам, легко умножить 6y на 0,5, чтобы получить 3y. Обратите внимание, что sin30° равно 0,5, а уменьшение угла вдвое дает 15 градусов, но sin15° не даст вам 0,25. Поскольку обычные математические операции умножают 0,5 на 0,5 (половина), чтобы получить 0,25, тригонометрические тождества потребуют своей собственной формулы для половинной функции.
Вывод формулы половины угла для синуса
Чтобы найти , вспомним сначала, что
Пусть , таким образом,
Чтобы изолировать , вычтем 1 из обеих сторон, чтобы получить
900 стороны уравнения на -2, мы получаемИзвлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, мы получаем
Формула половинного угла для функции синуса дается как,
Если , и 90°<θ<180°, найти .
Решение:
Поскольку , значит,
Таким образом, чтобы найти, надо найти cosθ. Напомним, что
С
Затем,
Теперь мы можем заменить значение COSθ в нашем уравнении
, Получение полугольной формулы для косицирации
.
Следовательно
Добавьте 1 к обеим частям уравнения
Разделите обе части на 2
Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения
Решение:
Для начала получите значение cosθ.
Обратите внимание, что
Таким образом,
Напомним из вопроса, что θ попадает в третий квадрант, поэтому значения косинуса будут отрицательными. Таким образом
Примечание перед
Итак, подставив значение cosθ, мы получим
Умножим правую часть уравнения на (рационализация surds)
изменить тоже на
Углы здесь попадают в третий квадрант.
Разделив это на 2, вы получите
во втором квадранте, а cosθ отрицательно во втором квадранте.
Получение формулы половинки угла для касательных
Зная, что
, затем
Умножьте правую сторону уравнения на
.
Найти, когда .
Решение:
При заданном значении противоположное и соседнее числа равны 4 и 3 соответственно. Используя теорему Пифагора, мы получим значение гипотенузы.
Теперь у нас есть значение гипотенузы, затем
Теперь можно применить формулу
Вывод формулы половины угла для секанса, косеканса и котангенса котангенс обратен косинусу, синусу и тангенсу соответственно. Чтобы вывести их формулы половинного угла, вам просто нужно найти мультипликативную инверсию соответствующих формул половинного угла. Таким образом, формула половины угла секанса становится:
формула половинного угла косеканса принимает вид:
а формула половинного угла котангенса принимает вид:
Решение:
Поскольку,
и
Затем,
Зная это;
Поэтому;
Поскольку были найдены значения cosθ и sinθ, легче найти половинные углы sec, cosec и cot.
Таким образом, половина угла секунды становится:
Для половины угла cosec
И для половины угла cot
Применение формул двойного угла и половины угла
Вот несколько примеров, которые показывают применение двойной формулы угла и полуугла.
Решите для θ в
Решение:
Вспомните, что
Подставьте в уравнение. Следовательно,
Это означает, что
или
Теперь, чтобы найти θ, мы должны найти как arcsinθ, так и arccosθ. Следовательно,
Однако -2 выходит за пределы возможных значений для arccosθ. Следовательно,
является недействительным
Таким образом, значение θ равно 270°.
Что такое двухугольные тождества?
Обновлено 5 декабря 2020 г.0593 θ ), где вас попросят найти значение θ . Игра методом проб и ошибок с диаграммами или калькулятором, чтобы найти ответ, может варьироваться от затянувшегося кошмара до совершенно невозможного.
К счастью, идентичности с двойным углом здесь, чтобы помочь. Это особые случаи так называемой составной формулы, которая разбивает функции форм ( A + B ) или ( A – B ) на функции только А и 92θ}
Использование двухугольных тождеств
Представьте, что вы столкнулись с прямоугольным треугольником, в котором вы знаете длину его сторон, но не знаете меру углов. Вас попросили найти θ , где θ — один из углов треугольника. Если гипотенуза треугольника равна 10 единицам, сторона, примыкающая к вашему углу, равна 6 единицам, а сторона, противоположная углу, равна 8 единицам, то не имеет значения, что вы не знаете меру θ ; вы можете использовать свои знания синуса и косинуса, а также одну из формул двойного угла, чтобы найти ответ.
После того, как вы выбрали угол, вы можете определить синус как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус как отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Итак, в только что приведенном примере у вас есть:
\sinθ = \frac{8}{10} \\ \,\\ \cosθ = \frac{6}{10}
Вы нашли эти два выражения, потому что они re самые важные строительные блоки для формул двойного угла.
Так как существует так много формул двойного угла, вы можете выбрать ту, которая кажется более простой для вычисления и вернет тип необходимой вам информации. В этом случае, поскольку вы уже знаете sin θ и cos θ , ясно, что самое удобное выражение:
\sin(2θ) = 2\sinθ\cosθ
Вы уже знаете значения sinθ и cosθ, поэтому подставьте их в уравнение:
\sin(2θ) = 2 × \frac{8}{10} × \frac{6}{10}
После упрощения у вас будет:
\sin(2θ) = \frac{96}{100}
Большинство тригонометрических диаграмм даются в десятичных дробях, поэтому затем поработайте с делением, представленным дробью, чтобы преобразовать его в десятичная форма. Теперь у вас есть:
\sin(2θ) = 0,96
Наконец, найдите арксинус или арксинус 0,96, который записывается как sin −1 (0,96).