О градиенте изображения / Хабр
Аннотация
В статье рассказывается о вычислении градиента по изображению, с использованием разностных шаблонов. Предлагается очевидный и красивый способ оптимизировать последовательность: «Смаз -> Вычисление градиента». Статья является необходимой преамбулой к планируемой статье о быстрых и хитрых алгоритмах выделения контуров и углов.
Введение
Градиент — векторная величина, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины. В нашем случае «некоторая величина» — это двумерная функция яркости изображения, допустим что мы рассматриваем «псевдонепрерывное» изображение, тогда вектор градиента определяется формулой
где I – это наше изображение.
На практике, картинка дискретна и в классическом смысле производной не существует, поэтому используют ее разностные аналоги, например в простейшем случае
— левая разностная производная.
К примеру, будем использовать разностный аналог первой производной, шестого порядка точности аппроксимации по шагу дискретизации:
А теперь предположим, что I(i,j) — независимые случайные величины, распределенные по любому закону распределению, и посмотрим дисперсии:
- Для первой аппроксимации получаем:
- Для второй аппроксимации получаем
Как правило дисперсию аддитивного шума можно считать изотропной и тогда вытекает соотношения
Таким образом, коэффициент усиления шума (1.17), в случае аппроксимации производной разностью более высокого порядка, меньше чем коэффициент (2) в случае аппроксимации производной левой разностью.
Рисунок 1 — Исходное изображение, 2 — модуль градиента по первой формуле, 3 — модуль градиента по второй формуле.
В итоге мы рассчитали градиент, на котором шумовая компонента увеличилась не в 2 раза а всего в 1.17 раз, однако опять же, если на картинке есть шум, то было бы неплохо его диспресию предварительно (до вычисления градиента) уменьшить – например, смазать исходное изображение I, то есть сделать свертку например с гауссовым ядром f. Тогда градиент запишется как:
однако, из свойств оператора свертки известна формула:
Мы вычисляем производную не по изображению, а по ядру
Таким образом, можно построить алгоритм «Смаз — Вычисление градиента»:
- Вычисляем разностные аналоги производных по ядру,
- Сворачиваем полученные ядра с изображением
- В итоге, получим компоненты вектора градиента.
В вычислительном плане:
Было: Одна свертка c окном (NxN) для смаза, + две свертки со специфическими окнами (1xN, Nx1) для вычисления производных.
Стало: Две свертки со специфическими окнами (но уже NxN) для вычисления производных.
Вычисление градиента смазанного изображения задача, которая очень часто встречается, например, в хитрых детекторах углов и контуров, о которых будет следующая статья.
Что будет работать быстрее, а главное — устойчивее к шуму? Я предлагаю ответить на этот вопрос в комментариях к статье самим читателям.
Высшая математика Т2
Высшая математика Т2
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава 1. ВВЕДЕНИЕ § 1.1. Предмет математики. Переменные и постоянные величины, множества § 1.2. Операции над множествами § 1.  3. Символика математической логики§ 1.4. Действительные числа § 1.5. Определение равенства и неравенства § 1.6. Определение арифметических действий 1.6.1. Общие соображения 1.6.2. Стабилизирующиеся последовательности 1.6.3. Определение арифметических действий § 1.7. Основные свойства действительных чисел § 1.8. Аксиоматический подход к понятию действительного числа § 1.9. Неравенства для абсолютных величин § 1.10. Отрезок, интервал, ограниченное множество § 1.11. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел Глава 2. Предел последовательности § 2.1. Понятие предела последовательности § 2.2. Арифметические действия с переменными, имеющими предел § 2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины § 2.4. Неопределенные выражения § 2.5. Монотонные последовательности § 2.6. Число e § 2.7. Принцип вложенных отрезков § 2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества § 2.  9. Теорема Больцано-Вейерштрасса§ 2.10. Верхний и нижний пределы § 2.11. Условие Коши сходимости последовательности § 2.12. Полнота и непрерывность множества действительных чисел § 3.1. Функция 3.1.1. Функция от одной переменной. 3.1.2. Функции многих переменных. 3.1.3. Полярная система координат § 3.2. Предел функции § 3.3. Непрерывность функции § 3.4. Разрывы первого и второго рода § 3.5. Функции, непрерывные на отрезке § 3.6. Обратная непрерывная функция § 3.7. Равномерная непрерывность функции § 3.8. Элементарные функции § 3.9. Замечательные пределы § 3.10. Порядок переменной. Эквивалентность Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной § 4.1. Производная § 4.2. Геометрический смысл производной § 4.3. Производные элементарных функций § 4.4. Производная сложной функции § 4.5. Производная обратной функции § 4.6. Производные элементарных функций (продолжение) § 4.  7. Дифференциал функции4.7.1. Дифференцируемые функции 4.7.2. Дифференциал функции 4.7.3. Приближенное выражение приращения функции § 4.8. Другое определение касательной § 4.9. Производная высшего порядка § 4.10. Дифференциал высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка § 4.11 Дифференцирование параметрически заданных функций § 4.12. Теоремы о среднем значении § 4.13. Раскрытие неопределенностей § 4.14. Формула Тейлора § 4.15. Ряд Тейлора § 4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций § 4.17. Локальный экстремум функции § 4.18. Экстремальные значения функции на отрезке § 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба § 4.20. Асимптота графика функции § 4.21. Непрерывная и гладкая кривая § 4.22. Схема построения графика функции § 4.23. Вектор-функция. Векторы касательной и нормали Глава 5. неопределенные интегралы § 5.1. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов § 5.2. Методы интегрирования § 5.  § 5.4. Теория многочлена n-й степени § 5.5. Действительный многочлен n-й степени § 5.6. Интегрирование рациональных выражений § 5.7. Интегрирование иррациональных функций Глава 6. Определенный Интеграл § 6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, и его определение § 6.2. Свойства определенных интегралов § 6.3. Интеграл как функция верхнего предела § 6.4. Формула Ньютона – Лейбница § 6.5. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме § 6.6. Суммы Дарбу. Условия существования интеграла § 6.7. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций § 6.8. Несобственные интегралы § 6.9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций § 6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов § 6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках Глава 7. Приложения интегралов. Приближенные методы § 7.1. Площадь в полярных координатах § 7.2. Объем тела вращения § 7.3. Гладкая кривая в пространстве.  Длина дуги§ 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой. Эволюта и эвольвента § 7.5. Площадь поверхности вращения § 7.6. Интерполяционная формула Лагранжа § 7.7. Квадратурные формулы прямоугольников и трапеций § 7.8. Формула Симпсона Глава 8. Дифференциальное исчисление функций многих переменных § 8.1. Предварительные сведения § 8.2. Предел функции § 8.3. Непрерывная функция § 8.4. Частные производные и производная по направлению § 8.5. Дифференцируемые функции § 8.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях § 8.7. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала § 8.8. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент 8.8.1. Производная сложной функции 8.8.2. Производная по направлению 8.8.4. Однородные функции § 8.9. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка § 8.10. Формула Тейлора § 8.11. Замкнутое множество § 8.12. Непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве § 8.  13. Экстремумы§ 8.14. Нахождение наибольших и наименьших значений функции § 8.15. Теорема существования неявной функции § 8.16. Касательная плоскость и нормаль § 8.17. Системы функций, заданных неявно § 8.18. Отображения § 8.19. Условный (относительный) экстремум Глава 9. Ряды § 9.1. Понятие ряда § 9.2. Несобственный интеграл и ряд § 9.3. Действия с рядами § 9.4. Ряды с неотрицательными членами § 9.5. Ряд Лейбница § 9.6. Абсолютно сходящиеся ряды § 9.7. Условно сходящиеся ряды с действительными членами § 9.8. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость § 9.9. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов § 9.10. Перемножение абсолютно сходящихся рядов § 9.11. Степенные ряды § 9.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов § 9.13. Функции exp(z), sinz, cosz от комплексного переменного § 9.14. Ряды в приближенных вычислениях § 9.15. Понятие кратного ряда § 9.  16. Суммирование рядов и последовательностей |
— 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — (Высшее образование: Современный учебник).
Градиент линии — формула, определение, примеры
LearnPracticeDownload
Градиент линии определяется как изменение координаты «y» по отношению к изменению координаты «x» этой линии. Градиент линии полезен для определения наклона или крутизны линии. Формула градиента линии вычисляет наклон любой линии, находя отношение изменения по оси Y к изменению по оси X.
Давайте узнаем больше о градиенте линии, о том, как найти градиент линии, о применении градиента линии и примерах.
| 1. | Что такое градиент линии? |
| 2. | Как найти градиент линии? |
| 3. | Применение градиента линии |
| 4. | Примеры градиента линии |
| 5. | Практические вопросы |
6. | Часто задаваемые вопросы о градиенте линии |
Что такое градиент линии?
Градиент линии используется для расчета крутизны линии и определения ее наклона относительно оси X. Для вычисления градиента любой линии используются координаты x и y линии. Другими словами, это отношение изменения по оси у к изменению по оси х.
Формула для расчета градиента линии имеет следующий вид: m = (\(y_2\)−\(y_1\))/(\(x_2\)−\(x_1\)) = Δy/Δx , Где m представляет собой градиент линии. \(x_1\), \(x_2\) — координаты оси x, а \(y_1\), \(y_2\) — координаты оси y. Координаты x и y точки используются для расчета градиента линии, который также называется наклоном линии.
Градиент линии также может быть измерен как чистое изменение координаты y по отношению к изменению координаты x и может быть записан как м = Δy/Δx. Здесь Δy — изменение координаты y, а Δx — изменение координаты x. Кроме того, мы знаем, что тангенс θ также является наклоном линии, где θ — это угол, образуемый линией с положительным направлением оси x, и тангенс θ = высота/основание.
Таким образом, градиент линии равен m=tanθ=Δy/Δx
Как найти градиент линии?
Градиент линии можно вычислить следующими методами.
- Из двух точек: Градиент линии можно вычислить из любых двух точек, лежащих на линии. Для двух точек \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) градиент линии равен \(m = \dfrac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\)
- Угол наклона: Угол наклона линии равен θ относительно оси x. Градиент линии — это значение, полученное из тангенса угла наклона линии по отношению к оси x. m = Танθ.
- Уравнение линии: Уравнение линии также полезно для определения градиента линии. Стандартная форма уравнения линии, имеющая уравнение ax + by + c = 0, имеет градиент m = -a/b. А форма уравнения линии y = mx + c с пересечением наклона имеет градиент m, который является коэффициентом члена x.
Применение градиента линии
Градиент линии имеет множество применений в координатной геометрии, трехмерной геометрии и векторной алгебре.
Вот некоторые из важных применений градиента линии.
- Градиент линии определяет наклон линии относительно оси X.
- Градиент линии используется для нахождения уравнения линии.
- Градиент линии имеет приложения в трехмерной геометрии, для нахождения уравнения линии и уравнения плоскости.
- Градиент двух линий полезен для определения угла между двумя линиями.
- Градиент двух линий полезен, чтобы знать, параллельны или перпендикулярны две линии по отношению друг к другу.
- Произведение градиента двух перпендикулярных линий равно -1. \(m_1.m_2 = -1\).
- Градиент двух параллельных линий имеет одинаковое значение. \(m_1 = m_2\).
Связанные темы
Следующие темы помогают лучше понять градиент линии.
- Координатная геометрия
- Склон
- Формула уклона
- Форма уклона точки
- Форма пересечения уклона
- Угол между двумя линиями
Примеры градиента линии
Пример 1: Найдите градиент линии, проходящей через точки (4, -5) и (2, 3)
Решение:
Две заданные точки равны \((x_1, y_1)\ ) = (4, -5) и \((x_2, y_2)\) = (2, 3).
Формула для определения градиента линии: m = \(\dfrac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\) = \(\dfrac{2 — 4}{3 — (-5)}\) = \(\dfrac{-2}{8}\) = -1/4.
Следовательно, градиент линии равен m = -1/4.
Пример 2: Найдите градиент линии, используя уравнение 5x — 4y + 11 = 0.
Решение:
Данное уравнение линии 5x — 4y + 11 = 0.
Сравнивая это уравнение с уравнением линии ax + by + c = 0, градиент линии равен m = -a/b.
Здесь для данного уравнения мы имеем a = 5 и b = -4.
Градиент линии равен m = -(5)/-4 = 5/4
Следовательно, градиент линии равен 5/4.
перейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, зачем нужна математика, с нашими сертифицированными экспертами
Запишитесь на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по градиенту линии
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о градиенте линии
Что такое градиент линии?
Градиент линии — это наклон или наклон линии относительно оси X.
Градиент линии задается как m = (\(y_2\)−\(y_1\))/(\(x_2\)−\(x_1\)) = Δy/Δx, где m представляет градиент линия. \((x_1, y_1)\). \((x_2, y_2)\) любые две точки на линии..
Как найти градиент линии?
Градиент линии можно вычислить по любым двум точкам на линии, по углу наклона линии или по уравнениям линии. .
- Для двух точек \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) градиент линии равен \(m = \dfrac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\ )
- Для угла наклона линии ‘θ’ относительно оси x градиент линии равен m = Tanθ.
- Стандартное уравнение прямой ax + by + c = 0 имеет градиент m = -a/b.
- Уравнение линии y = mx + c в форме пересечения наклона имеет градиент m, который является коэффициентом члена x.
Как найти градиент линии из двух заданных точек?
Градиент линии из двух заданных точек равен отношению изменения координаты y к изменению координаты x. Для любых двух точек \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) градиент линии равен \(m = \dfrac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\).
Какая формула для градиента линии?
Формула для определения градиента линии: \(m = \dfrac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = Tanθ\).
Рабочие листы по математике и визуальная программа
Градиент линии — GCSE по математике
Введение
Что такое градиент линии?
Градиент диагональных линий
Градиент горизонтальных и вертикальных линий
Как рассчитать градиент линии
Градиент линии рабочего листа
Распространенные заблуждения
Практика градиента линии вопросы
Градиент линии GCSE вопросы
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4
Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE
Узнать больше
Введение
Что такое градиент линии?
Градиент диагональных линий
Градиент горизонтальных и вертикальных линий
Как рассчитать градиент линии
Градиент линии рабочего листа
Распространенные заблуждения
Практика градиента линии вопросы
Градиент линии GCSE вопросы
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Здесь мы узнаем о градиенте линии, в том числе о том, как найти градиент линии по графику и по двум координатам, а также сформулируем уравнения горизонтальных и вертикальных линий.
Существуют также рабочие листы, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.
Что такое градиент линии?
Градиент линии является мерой крутизны прямой линии.
Градиент линии может быть как положительным, так и отрицательным и не обязательно должен быть целым числом.
Градиент линии может быть направлен вверх (положительное значение) или вниз (отрицательное значение)
Что такое градиент линии?
Что такое уклон прямой линии?
Формула градиента прямой линии показывает нам, насколько крутая линия. В общем уравнении прямой y = mx + c градиент обозначается буквой м .
Чтобы вычислить градиент прямой линии через две координаты (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ), используйте эту формулу градиента
\[\\m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\\\]
Как понять уклон линии
Представьте себе ходьбу вверх по лестнице.
Каждая ступенька имеет одинаковую высоту, и при каждом движении вы можете делать только один шаг вперед. Если ступеньки выше, вы быстрее доберетесь до вершины лестницы, если каждая ступенька короче, вы доберетесь до вершины лестницы медленнее.
Давайте посмотрим на наборы лестниц,
Синие ступени выше, чем красные, и поэтому уклон круче (обратите внимание, синяя стрелка круче, чем красная).
Зеленые ступени не такие высокие, как красные, поэтому градиент меньше (зеленая стрелка меньше красной).
Градиенты могут быть положительными или отрицательными , но всегда наблюдаются слева направо.
Линейную зависимость между двумя переменными можно изобразить в виде графика прямой линии, а градиент линии вычисляет скорость изменения между двумя переменными .
Пример градиента валюты
При расчете обменного курса двух валют мы можем рассчитать градиент линии, чтобы найти скорость изменения между ними.
Здесь обменный курс между фунтами (£) и долларами ($) равен \frac{3}{5}
Формула градиента
Формула градиента — это способ выражения изменения высоты с использованием координаты y разделить на изменение ширины с использованием координат x.
Итак, используя формулу градиента, чтобы найти Градиент прямой линии , учитывая координаты T WO (x ₁ , Y ₁ ) и (x ₂ , Y ₂ ), нам нужно поработать:
- -leab в х есть разница между координатами х: х ₂ − х ₁
- изменение y есть разница между координатами y: y ₂ − y ₁
Это дает нам формулу градиента:
\[\\m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\\\]
Может быть полезно представить эту формулу как:
‘ Изменение y, деленное на изменение x ‘
Или
‘ Превышение скорости ‘
Уравнение градиента
Уравнение градиента — это еще один способ, которым мы обозначаем градиент прямой линии, используя координаты x и y.
Таким образом, снова уравнение градиента рассматривается как m = подъем / бег, где m — градиент или уклон.
\[\\m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\\\]
Как найти уклон линии
Чтобы найти уклон линии, нужно разделить изменение высоты (y ₂ − y ₁ ) на изменение горизонтального расстояния (x ₂ − x ₁ )
Например, на прямой с точками (4, 2) и (6, 8) возьмем разность координат у (8 – 2 = 6) и разность координат х (6 – 4 = 2), делим 6 на 2 и получаем градиент 3.
Градиент диагональных линий
Давайте поближе посмотрим на градиент 4-х линий
- Когда m = 1, на каждый единичный квадрат мы двигаемся вправо, мы двигаемся на 1 единичный квадрат вверх.
- Когда m = 2, на каждую единичную клетку, которую мы двигаем вправо, мы двигаемся на 2 единичные клетки вверх.
- Когда m = −3, на каждую единичную клетку, которую мы двигаем вправо, мы перемещаемся на 3 единичные клетки вниз.
- Когда m = ½, на каждую единичную клетку мы двигаемся вправо, мы двигаемся на ½ единичной клетки вверх.
Насколько далеко друг от друга должны быть выбраны координаты?
Давайте рассмотрим пример m = 2.
- Первая синяя линия имеет градиент
\[\\m=\frac{2}{1}=2\\\]
- Вторая синяя линия имеет градиент
\[\\m=\frac{6}{3}=2\\\]
- Третья синяя линия имеет градиент
\[\\m=\frac{10}{5}=2\\\]
Независимо от того, насколько далеко друг от друга находятся координаты на линии, результирующее значение всегда будет упрощаться до одного и того же числа, здесь m = 2.
Полезный совет: Используйте две координаты, пересекающие угол двух квадратов сетки, чтобы можно было точно измерить горизонтальное и вертикальное расстояние между ними. Используйте целые числа как можно больше!
Помните: изменение x горизонтально, изменение y вертикально.
Градиент горизонтальных и вертикальных линий
Между x и y на горизонтальных или вертикальных линиях нет связи , поэтому они не могут быть записаны в виде y = mx + c как градиент не может быть измерен .
Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы лучше понять уравнения горизонтальных и вертикальных линий.
Пример 1
На приведенной выше диаграмме все координаты имеют общее значение x, равное 4, независимо от значения y, поэтому, если мы соединим координаты вместе, чтобы получить прямую линию, мы получим вертикальную линию с уравнение x = 4.
Обратите внимание на то, что линия пересекает ось x в точке (4,0) (пересечение x равно 4).
Пример 2
На приведенной выше диаграмме все координаты имеют общее значение y, равное 2, независимо от значения x, поэтому, если мы соединим координаты вместе, чтобы получить прямую линию, мы получим горизонтальную линию с уравнением y = 2.
Обратите внимание, что линия пересекает ось y в точке (0,2) (точка пересечения с осью y равна 2).
Как рассчитать градиент линии
Чтобы рассчитать градиент линии:
- Выберите две точки на линии, которые находятся на углах двух квадратов сетки.
- Нарисуйте прямоугольный треугольник и отметьте изменение y и изменение x.
- Разделите изменение y на изменение x, чтобы найти m.
Объясните, как рассчитать уклон линии
Рабочий лист с градиентом линии
Получите бесплатный рабочий лист с градиентом линии, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
ИксРабочий лист с градиентом линии
Получите бесплатный рабочий лист с градиентом линии, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
Градиент кривой
Мы можем оценить градиент кривой в заданной точке, проведя касательную в этой точке и вычислив ее градиент.
Касательная касается кривой только в одной точке. Для целей GCSE по математике касательная — это оценка, нарисованная на глаз, но вы должны стараться быть максимально точными. 9{2} и проведена синяя касательная для оценки касательной в точке (2, 4).
Используя точки (3, 8) и (2, 4), лежащие на касательной, вычисляем \frac{\text {изменение } y}{\text {изменение } x}=\frac{ 4}{1}=4. Следовательно, градиент в точке (2, 4) равен 4.
Примеры градиента линии
Пример 1: использование линейного графика (положительный градиент)
Рассчитать градиент линии:
- Выберите две точки на линии, расположенные на углах двух квадратов сетки.
2 Начертите прямоугольный треугольник и вычислите изменение y и изменение x.
3 Разделите изменение y на изменение x, чтобы найти m.
Здесь
\[\frac{4}{2}=2\]
, т. е. m = 2.
Пример 2: использование линейного графика (отрицательный градиент)
Рассчитать градиент линии :
Выберите две точки на линии, расположенные на углах двух квадратов сетки.
Нарисуйте прямоугольный треугольник и вычислите изменение y и изменение x .
Помните, что высота треугольника представляет изменение y, а ширина треугольника представляет изменение x.
Глядя на координату (1, 2), чтобы получить координату (5, −4), мы должны добавить 4 к координате x и вычесть 6 из координаты y.
Хотя высота треугольника всегда положительна, мы вычисляем изменение y, поэтому мы должны записать изменение y как -6.
Разделите изменение y на изменение x, чтобы найти m .
Здесь
\[\\\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}\\ \]
so
\[\\m=-\frac{3}{2}\\\]
Пример 3.
Использование линейного графика с двумя координатами (положительный градиент)Вычислить градиент линия:
Выберите две точки на линии, которые находятся на углах двух квадратов сетки .
Здесь у нас уже есть эта информация, поэтому мы можем перейти к шагу 2.
Нарисуйте прямоугольный треугольник и вычислите изменение y и изменение x .
Разделите изменение y на изменение x, чтобы найти m .
Здесь
\[\\\frac{5}{5}=1\\ \]
so
\[\\m=1\\\]
Пример 4: использование линейного графика с двумя координатами (отрицательный градиент)
Вычислить градиент линии:
Выберите два точки на линии, которые встречаются на углах двух квадратов сетки.
Здесь у нас уже есть эта информация, поэтому мы можем перейти к шагу 2.
Нарисуйте прямоугольный треугольник и вычислите изменение y и изменение x .
Здесь мы должны быть осторожны, потому что каждый квадрат сетки имеет ширину 1 единицу, но высоту 2 единицы. Это означает, что расстояние между координатами y (изменение y) равно −8 − 8 = −16.
Разделите изменение y на изменение x, чтобы найти m .
Здесь
\[\\\frac{-16}{1}=-16\\ \]
so
\[\\m=-16\\\]
Пример 5: заданы две координаты (положительный градиент)
Вычислить градиент линии с координатами A(4, 3) и B (7, 12).
Выберите две точки на линии, расположенные на углах двух квадратов сетки.
Здесь у нас есть две координаты A(4, 3) и B(7, 12) без графика для визуализации линии. Поэтому нам нужно определить, имеет ли линия положительный или отрицательный градиент, а также значение m.
Нарисуйте прямоугольный треугольник и вычислите изменение y и изменение x .
Поскольку прямого угла для наброска нет, мы будем решать алгебраически, вычислив изменение y и изменение x.
\[\\y_{2}-y_{1}=12-3=9\\\]
\[\\x_{2}-x_{1}=7-4=3\\\]
Главный совет: убедитесь, что вы всегда вычитаете одну координату из другой. Здесь мы вычли значения из координаты А из координаты В. Не перепутайте порядок.
Разделите изменение y на изменение x, чтобы найти m .
\[\\m=\frac{9}{3}\\ \]
\[\\m=3\\\]
Пример 6: заданы две координаты (отрицательный градиент)
Вычислить градиент линии с координатами P(−10, −3) и Q(2, −7).
Выберите две точки на линии, расположенные на углах двух квадратов сетки.
Здесь у нас есть две координаты P(−10, −3) и Q(2, −7) без графика для визуализации линии. Поэтому нам нужно определить, имеет ли линия положительный или отрицательный градиент, а также значение m.
Нарисуйте прямоугольный треугольник и вычислите изменение y и изменение x .
Поскольку прямого угла для наброска нет, мы будем решать алгебраически, вычислив изменение y и изменение x.
\[\\y_{2}-y_{1}=-7- -3=-7+3=-4\\\]
\[\\x_{2}-x_{1}=2 — -10=2+10=12\\\]
Разделите изменение y на изменение x, чтобы найти m .
\[\\m=\frac{-4}{12}\\ \]
\[\\m=-\frac{1}{3}\\\]
Распространенные заблуждения
- Перепутал координаты
Распространенной ошибкой является перепутывание координат при вычислении изменения y и изменения x.
Полезно пометить каждую координату (x₁, y₁) и (x₂, y₂), чтобы, когда мы отнимаем значения первой координаты от второй координаты, мы получали:
Изменение x равно x₂ − x₁
Изменение y равно y₂ − y₁
- Неправильное упрощение m (отрицательное числовое деление)
При вычитании одной координаты из другой один или оба числителя и знаменателя могут быть отрицательными. Если один отрицательный, градиент отрицательный.
Если оба отрицательные, помните, что отрицательное число, деленное на другое отрицательное число, является положительным числом, поэтому градиент положительный.
\[\frac{6}{-2}=\frac{-6}{2}=-3\quad \text{ или } \quad \frac{-8}{-4}=\frac{8 {4}=2 \]
- Изменение x, деленное на изменение y
Легко ошибиться при расчете m как изменения x, деленного на изменение y. Это приведет к обратной величине градиента, которая в большинстве случаев (хотя и не всегда) неверна.
- Неверное чтение весов
Иногда масштаб оси может измениться, например, 1 квадрат может быть половиной единицы или 2 единицами и т. д. По этой причине важно использовать координаты и оси, чтобы убедиться, что эти значения правильные. Пример 4 подчеркивает этот факт, поскольку каждый квадрат по оси Y равен 2 единицам.
Практические вопросы по градиенту линии
\\m = \frac{2}{5}\\
\\m = \frac{5}{2}\\
\\m = \frac{4 {10}\\
м=\frac{10}{4}
\\m=\frac{2}{5}\\
\\m=\frac{9}{14}\\
\\m=\frac{14}{9}\\
\\m=-\frac{9}{14}\\
м=-\frac{14}{9}
\\m=\frac{-9}{14}\\
\\m=\frac{4}{3}\\
\\m=\frac{14}{4}\\
\\m=\frac{3}{4}\\
\\m=\frac{8}{3}\\
\\m=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\\
(каждый квадрат по оси X равен 2 единицам)
\\m=\frac{1}{2}\\
\\m=-\frac{1}{4}\\
\\m=\frac{-3}{6}\\
(каждый квадрат по оси X равен \frac{1}{2} единице)
м=\frac{1}{3}
\\m=\frac{24-6}{8-2}=\frac{18}{6}=3\\
\\m=\frac{-1}{4}\\
\\m= -1\\
\\m=\frac{10–8}{-5–3}=\frac{10+8}{-5+3}=\frac{18}{-2 }=-9\\
Градиент линии Вопросы GCSE
1.
Два прямых графика A и B показаны на наборе осей. Уравнение линии A: y=2(x+1).
Используйте эту информацию для расчета уклона линии B.
(4 балла)
Показать ответ
Точка пересечения линии A = 2 или (0,2) с меткой
(1)
Каждый квадрат по оси X равен 1 единице, по оси Y равен 2 Единицы:
(1)
Две координаты, выбранные в линии B с правильным изменением Y и изменением x, например:
. Изменение Y ранее -8. , а изменение x равно 4
(1)
\\m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-8}{4}= -2\\
(1)
2. (a) Запишите уравнение в форме y=mx+c, которое имеет тот же уклон, что и линия 3y+9=12x.
(b) Отметьте утверждения, которые верны для уравнения 3y+9=12x и вашего решения для части a).
Они параллельны
Они пересекаются в точке с координатой (0,-3)
Они перпендикулярны друг другу
(4 балла)
Показать Ответ
(A)
(1)
M = 4
(1)
.
=4x+c
Напр.
у=4х, у=4х+7, у=4х-8.
(1)
(b)
Они параллель ✔
Они пересекаются в координате (0, -3)
Они перпендикулярны друг другу
(1)
3. Крейг вычисляет уклон прямой линии, показанной ниже.
Вот работа Крейга:
Прав ли Крейг? Поясните свой ответ.
(3 балла)
Показать ответ
Нет (с аргументацией)
(1)
Изменение x равно:
-6–2=-6+2=-4
, тогда как Крейг указал высоту треугольника как 4
(1)
Градиент
\\m=\frac{y_ {2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}\\
, тогда как Крейг неправильно рассчитано
\\m=\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}\\
(1)
Контрольный список для обучения
У вас есть теперь научился:
- Расчет и интерпретация градиентов графиков таких линейных уравнений численно, графически и алгебраически
- Интерпретировать градиент прямолинейного графика как скорость изменения
Все еще зависает?
Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning.