Решение задач из курса аналитической геометрии и линейной алгебры
Арт:1480
Магазин на Бутлерова: В наличии
880 ₽ × Решение задач из курса аналитической геометрии и линейной алгебры теперь в вашей корзине покупок
Добавить к сравнению
В пособии представлены решения задач из <<Курса аналитической геометрии и линейной алгебры>> Д.В. Беклемишева. Расположение задач соответствует главам и параграфам учебника, в решениях используются только сведения, изложеннные в соответствующих разделах учебника Для студентов высших учебных заведений.
| Автор | Беклемишев Дмитрий Владимирович |
| Издательство | ООО «Физматлит» |
| Дата издания | 2017 |
| Кол-во страниц | 192 |
| ISBN | 978-5-9221-1480-6 |
| Тематика |  Прикладная математика
|
| Вес книги | 217 г |
| № в каталоге | 1508 |
Категории: Учебная литература
Решение задач по алгебре
Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
Тульский государственный педагогический университет
им.
Л.Н.Толстого
ДЛЯ 4 КУРСА ОЗО
ФАКУЛЬТЕТА МАТЕМАТИКИ
И ИНФОРМАТИКИ
Тула 2001
Решение задач по алгебре для 4 курса ОЗО факультета математики и информатики
Методические рекомендации предназначены для студентов 4 курса ОЗО факультета математики и информатики, изучающих теорию многочленов в курсе алгебры. Приведены основные теоретические сведения, необходимые для решения задач. Разобраны решения типовых заданий. Приведены упражнения для решения на практических занятиях. Даны задания для контрольных работ.
Составитель —
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры и геометрии ТГПУ им. Л. Н. Толстого
Ю. А. Игнатов
Рецензент —
канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа
ТГПУ им. Л.
Н.
Толстого И. В. Денисов
Учебное издание
Решение задач по алгебре для 4 курса ОЗО факультета математики и информатики
Составитель
Игнатов Юрий Александрович
Формат 60 84 / 16. Бумага офс.
Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 1,4. Тираж 120 экз. Изд. № 35.
© Ю. Игнатов, 2001 г.
Теория многочленов
1. Деление с остатком. Схема Горнера
Многочленом над полем F называется формальное выражение
f = a0 + a1x + … + anxn , где a0 , a1 , … an F, an 0.
Степенью
многочлена называется число deg f = n в этом выражении. Степень многочлена f = 0 не определена. Многочлен нулевой
степени – это ненулевой элемент поля
F.
Над многочленами естественным образом
определены операции сложения, вычитания,
умножения, относительно которых
множество многочленов образует кольцо,
обозначаемое F[
Теорема 1.1.Для многочленовf, gF[x],g 0, существует, и при том единственная, пара многочленовq, r, такая что
f = gq + r, deg r < deg g или r = 0.
Теорема 1.2 (Безу).Остаток от деления многочленаf на двучленх– сравенf(с).
Для практического выполнения деления с остатком используется деление «уголком», как для чисел. При этом многочлены записываем в порядке убывания степеней членов. Для нахождения очередного члена в частном старший член очередного остатка делим на старший член делителя.
Пример1.1. Разделить 2х4 – 4х3 + 3х + 4 с остатком на 2 х2 – х + 1.
Решение.
Таким образом, 2х4 – 4х3 + 3х + 4 = (2х2 – х + 1)( х2 – 2х – 3/2) + (-13/2 х + 11/2).
Для деления многочлена f(x) на двучлен видах– с применяется более простой способ, основанный на схеме Горнера. Она оформляется в виде таблицы. В первой строке расставляем коэффициенты многочлена в порядке убывания степеней. Эта строка подчеркивается. В левом столбце второй строки ставим числос. Следующий элемент второй строки сносится из подчеркнутой строки. А в каждом следующем столбце элемент получается умножением только что полученного элемента наси прибавлением подчеркнутого элемента из своего столбца. В результате последний полученный элемент есть
Пример1.2. Разделить 3х4 – 5х3 + х + 3 с остатком на х –2.
Решение.
3 | -5 | 0 | 1 | 3 | |
2 | 3 | 32 – 5 = 1 | 12 + 0 = 2 | 22 + 1 = 5 | 52 + 3 = 13 |
Таким образом, 3х4 – 5х3 + х + 3 = (х –2)( 3х3 + х2+ 2х + 5) + 13.
Этот способ применяется и для нахождения
значения f(с).
Если
требуется найти несколько значений
для различныхс, то каждому
соответствует своя строка. При этом
должны быть подчеркнуты только
коэффициенты многочлена, остальные
строки не подчеркиваются. Если же
потребуется перейти к другому многочлену,
являющемуся частным при одном из
делений, то его коэффициенты следует
подчеркнуть и продолжать работать с
ними.
Пример1.3. Разложить многочленх4– 2х3+ 3х2 + 1 по степеням х –1.
Решение. Для выполнения этой задачи следует разделить с остатком на
1 | -2 | 3 | 0 | 1 | |
1 | 1 | -1 | 2 | 2 | 3 |
1 | 1 | 0 | 2 | 4 | |
1 | 1 | 1 | 3 | ||
1 | 1 | 2 | |||
1 | 1 |
Искомое разложение имеет вид
f = (х –1)4+ 2(х –1)3+ 3(х –1)2+ 4(х –1) + 3.
Элемент сназывается корнем многочленаf, еслиf(с) = 0. Кореньсимеет кратностьk, еслиf= (x – c)kg, причемg(с)0.
Упражнения.
1.1. Разделите с остатком:
а) х5 + 3х4 – 2х3 – 4х+ 3 нах2 – 3х+ 2;
б) 2х4 – 2х3 +х2 – 3х+ 1 на 2х2 –х+ 3.
1.2. Найдите остаток от деления:
а) х17 + 2х14 – 5х6 –х2 + 2 нах– 1;
б) х27 – 3х15 + 4х4 – 3х3 + 1 нах2 – 1;
в) х20 – 2х11 +х6 + 3х4 + 3 нах2 +х – 2.
1.3. При делении многочлена f(x) нах – 1 их– 2 остатки равны соответственно 1 и 2. Найдите остаток от деления f(x) на произведение (х–1)(х–2).
1.4. Разложите f(x) по степенямx – c:
а) f(x)= 2х4 – 4х3 – 2х2 +х+ 3,с= 2;
б) f(x)= х4 – 3х3 + 2х2 + 1,с= 3;
в) f(x)= х4 – 2х3 –х2 +х– 1,с= 1+i.
1.5. Найдите кратность корня смногочленаf:
а) f(x) = 2х4 – 7х3 + 9х2 – 5х+ 1, с = 1;
б) f(x)
= х5 – 5х4 + 40х2 – 80х+ 48, с = 2.
1.6. Найдите значения а, при которых многочленх5–ах2–ах+ 1 имеет –1 корнем не ниже второй кратности.
Решать текстовые задачи с использованием алгебраических методов
Учащиеся могут:
- обобщать алгебраические правила, чтобы соответствовать полученной информации
- выполнить соответствующие замены алгебраическими выражениями
- решать уравнения с дробями
Действия в поддержку стратегии
При решении этой задачи учащиеся должны составить обобщенные алгебраические уравнения для каждой части вопроса. Затем учащиеся должны будут выполнить соответствующие замены и решить полученное уравнение. Чтобы сделать это эффективно, им нужно будет тщательно выбирать и иметь уверенное представление о заменах и решении уравнений с участием дробей.
То есть: Куми составляет ¾ роста Зака. Сью на ⅔ роста Зака. Куми на 15 сантиметров выше Сью. Какой рост у Зака в сантиметрах?
Это должно привести к следующим уравнениям:
K= ¾ Z, S = ⅔ Z, K = S + 15 S с S = ⅔ Z, таким образом создавая уравнение ¾ Z = ⅔ Z+15
Затем учащиеся должны распознать и умножить каждое из условий на общий знаменатель 12, а затем решить полученное уравнение:
Занятие 1
Сначала учащиеся должны повторить процесс написания алгебраических выражений и уравнений на основе словесного описания или правила.
Особое внимание следует уделить порядку действий, правильному использованию математических условностей и потенциальным проблемным областям при использовании языка
- Трижды определенное число плюс пять равно тридцати пяти — 3 x + 5 = 35
- Разность шести и х 6 — х
- Через пять лет мой сын будет в два раза моложе меня ∴ с + 5 = ½ (d+5)
Упражнение 2
Учащиеся также должны попрактиковаться в использовании алгебраической замены в различных ситуациях, включая простую числовую замену в формулах и случаи, когда одно алгебраическое выражение заменяется другим.
Справочные материалы
Учебная программа Австралии
ACMNA176: создание алгебраических выражений и их оценка путем подстановки заданного значения для каждой переменной с использованием аутентичных формул для выполнения подстановок
Программа Нового Южного Уэльса
MA4-8NA: обобщает свойства чисел для работы с алгебраическими выражениями,
MA4-1WM: передает и связывает математические идеи с использованием соответствующей терминологии, диаграмм и символов,
MA4-2WM: применяет соответствующие математические методы для решения задач,
MA4-3WM: распознает и объясняет математические отношения с помощью рассуждений
Ресурсы для учащихся
- TIMES Модуль 36 — Числа и алгебра: формулы — это 13-страничное руководство для учителей знакомит с использованием формул, включает подстановку и решение полученного уравнения.
- Сопоставление формулы с заданным контекстом — этот пятистраничный HTML-ресурс посвящен решению проблем, связанных с сопоставлением формулы в заданном контексте. Он содержит пять вопросов, два из которых интерактивные, а один видео. Ресурс обсуждает и объясняет определение формулы для укрепления понимания учащихся.
- TIMES Module 26 — Числа и алгебра: линейные уравнения — это 16-страничное руководство для учителей знакомит с решением линейных уравнений и их использованием.
Решатели задач по алгебре Word
Решатели задач по алгебре WordАлгебра -> Настраиваемые средства решения задач Word -> Решатели задач по алгебре Word Войти
|
| |||||||||||||||||||||
Все проблемы настраиваемый (это означает, что вы можете изменить все параметры). Мы стараемся
иметь исчерпывающую коллекцию школьных задач по алгебре.
Хорошей новостью является то, что шаги для решения текстовых задач всегда одинаковы.
Плохая новость заключается в том, что вам, возможно, придется хорошенько подумать.
д.