Формула квадрат синус квадрат: Синус в квадрате, формула и примеры

Содержание

Косинус квадрат и синус квадрат

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:

Гипотенуза — сторона, которая всегда лежит напротив прямого угла (угла в 90 градусов). Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника с прямым углом.

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

Теперь переходим к косинусу и синусу угла альфа (∠α) (так можно назвать любой непрямой угол в треугольнике или использовать в качестве обозначение икс — «x», что не меняет сути).

Синус угла альфа (sin ∠α)

— это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC

Косинус угла альфа (cos ∠α) — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Если снова смотреть по рисунку выше, то cos ∠ABC = AB / BC

И просто для напоминания: косинус и синус никогда не будут больше единицы, так как любой катит короче гипотенузы (а гипотенуза — это самая длинная сторона любого треугольника, ведь самая длинная сторона расположена напротив самого большого угла в треугольнике).

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Теперь переходим к основным тригонометрическим формулам: вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:

sin2α + cos2α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:

sin2α = 1 — cos2α

или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:

cos2α = 1 — sin2α

или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Эти две более сложные формулы синуса в квадрате и косинуса в квадрате называют еще «понижение степени для квадратов тригонометрических функций». Т.е. была вторая степень, понизили до первой и вычисления стали удобнее.

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

квадрат, куб, в 4 степени

Ниже представлены таблицы с формулами степеней (квадрат, куб, в 4-ой степени) прямых и обратных тригонометрических функций: синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы квадратов

Формулы кубов

Степень Формула
Синус в кубе
Косинус в кубе
Тангенс в кубе
Котангенс в кубе

microexcel.ru

Формулы функций в 4-ой степени

Степень
Формула
Синус в 4-ой степени
Косинус в 4-ой степени
Тангенс в 4-ой степени
Котангенс в 4-ой степени

microexcel.ru

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Формулы понижения степени являются одним из видов основных тригонометрических формул. Они выражают степени (2, 3, …) тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс через синус и косинус первой степени, но кратного угла (`\alpha, \ 3\alpha, \ …` или `2\alpha, \ 4\alpha, \ …`).

Содержание статьи:

Список всех тригонометрических формул понижения степени

Запишем данные тождества для тригонометрических функций от 2-й по 4-ю степень угла `\alpha`, а также для угла `\frac \alpha 2` и для произведения синус на косинус. Для удобства разделим их на группы.

Для квадрата

Формулы этой группы, особенно две первые, наиболее нужны. Они применяются при решении тригонометрических уравнений, интегралов и т. д.

`sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2`
`cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2`

`tg^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}{1+cos \ 2\alpha}`

`ctg^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}{1-cos \ 2\alpha}`

Для куба

Тождества этой группы и следующих встречаются гораздо реже, но это не повод их не знать.

`sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4`
`cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`

`tg^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}`

`ctg^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha+sin \ 3\alpha}{3cos \ \alpha-cos \ 3\alpha}`

Для 4-й степени

`sin^4 \alpha=\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`
`cos^4 \alpha=\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`

Для функций половинного угла

Это формулы половинного угла. Но когда они записаны именно в таком виде, то их можно отнести и к тодествам понижения степени.

` sin^2 \frac \alpha 2=\frac{1-cos \alpha}2`

` cos^2 \frac \alpha 2=\frac{1+cos \alpha}2`

`tg^2 \frac \alpha 2=\frac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha}`

`ctg^2 \frac \alpha 2=\frac{1+cos \alpha}{1-cos \alpha}`

Для произведения синус на косинус

`sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha=\frac{1-cos \ 4\alpha}8`
`sin^3 \alpha \cdot cos^3 \alpha=\frac{3sin \ 2\alpha-sin \ 6\alpha}32`

`sin^4 \alpha \cdot cos^4 \alpha=\frac{3-4cos \ 4\alpha+cos \ 8\alpha}128`

`sin^5 \alpha \cdot cos^5 \alpha=\frac{10sin \ 2\alpha-5sin \ 6\alpha+sin \ 10\alpha}512`

Доказательство

Теперь перейдем непосредственно к выводу формул понижения степени тригонометрических функций.

Чтобы доказать их для квадрата, нам понадобятся фождества двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`.

Формулу понижения степени синуса в квадрате получим, разрешив первое равенство относительно ` sin^2 \alpha`: `sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2`.

Аналогично и с косинусом в квадрате, получим тождество, разрешив второе равенство относительно ` cos^2 \alpha`: `cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2`.

Формула понижения степени тангенса и котангенса автоматически выводится из определений этих функций. Поскольку `tg  \alpha=\frac {sin \alpha}{cos \alpha}`, то `tg^2 \alpha=\frac {sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}=` `\frac {\frac{1-cos \ 2\alpha}2}{\frac{1+cos \ 2\alpha}2}=\frac{1-cos \ 2\alpha}{1+cos \ 2\alpha}`. Аналогично получим `ctg^2 \alpha=\frac {cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}=` `\frac {\frac{1+cos \ 2\alpha}2}{\frac{1-cos \ 2\alpha}2}=\frac{1+cos \ 2\alpha}{1-cos \ 2\alpha}`.

Для лучшего усвоения теоретического материала рекомендуем посмотреть видео, где подробно описывается процесс доказательстве первых двух формул:

Если формулы тройного угла `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha` и
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha` разрешить относительно `sin \ 3\alpha` и `cos \ 3\alpha`, то получим формулы понижения степени для синуса и косинуса  в кубе: `sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4` и `cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`.

Доказать данной равности для синуса и косинуса можно, воспользовавшись два раза формулами понижения квадратов:

`sin^4 \alpha=(sin^2 \alpha)^2=(\frac{1-cos \ 2\alpha}2)^2=` `\frac{1-2cos \ 2\alpha+cos^2 2\alpha}4=\frac{1-2cos \ 2\alpha+\frac{1+cos \ 4\alpha}2}4=` `\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`;

`cos^4 \alpha=(cos^2 \alpha)^2=(\frac{1+cos \ 2\alpha}2)^2=` `\frac{1+2cos \ 2\alpha+cos^2 2\alpha}4=\frac{1+2cos \ 2\alpha+\frac{1+cos \ 4\alpha}2}4=` `\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`.

Общий вид формул понижения степени

Для четных показателей степени (n=1, 2, 3,…):

`sin^n \alpha=\frac {C_\frac n 2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac n 2 -1} (-1)^{\frac n 2 -k} \cdot C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac {C_\frac n 2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac n 2 -1} C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.

Для нечетных показателей степени (n=3, 5, 7,…):

`sin^n \alpha=\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac {n-1}2} (-1)^{\frac {n-1} 2 -k} \cdot C_k^n \cdot sin((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac {n-1}2} C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.

Примеры решения задач с применением формул понижения степени

Пример 1. Воспользуйтесь формулой понижения степени для `cos^2 4\alpha`.

Решение. Применив формулу `cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2`, получим `cos^2 4\alpha=\frac{1+cos 2\cdot\ 4\alpha}2=\frac{1+cos 8\alpha}2`.

Ответ. `cos^2 4\alpha=\frac{1+cos 8\alpha}2`.

Пример 2. Используя выше указанные тождества, вычислить `sin^2 \frac \pi 8`.

Решение. Согласно формуле `sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2`, понизим степень синуса. Получим `sin^2 \frac \pi 8=\frac{1-cos \ 2\frac \pi 8}2=\frac{1-cos \frac \pi 4}2`. Поскольку `cos \frac \pi 4=\frac {\sqrt 2}2`, то `sin^2 \frac \pi 8=\frac{1-cos \frac \pi 4}2=\frac{1-\frac {\sqrt 2}2}2=\frac{\frac {2-\sqrt 2}2}2=\frac {2-\sqrt 2}4`.

Ответ. `sin^2 \frac \pi 8=\frac {2-\sqrt 2}4`.

Отметим, что формулы понижения степени в тригонометрии чаще всего используются при решении уравнений и преобразовании выражений.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…
Квадрат — синус — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Квадрат — синус

Cтраница 1

Квадраты синусов определяют на выходе вторую гармонику.  [1]

Преобразуя квадрат синуса, находим.  [2]

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна единице.  [3]

Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, половине.  [4]

Формулы удвоения позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заменить линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения.  [5]

Для исследования суммы квадратов синусов этих углов воспользуйтесь теоремой косинусов.  [6]

Доказать, что сумма квадратов синусов трех углов, образуемых произвольным лучом с ребрами прямого трехгранного угла, равна двум.  [7]

Так как в выражении (5.21) присутствует квадрат синуса, то мгновенная мощность всегда является положительной величиной. Положительный знак мгновенной мощности отражает тот факт, что происходит, односторонний процесс поглощения энергии в цепи переменного тока.  [9]

Эту теорему можно сформулировать так: квадрат синуса любого угла плюс квадрат косинуса того же угла равен единице.  [10]

Для получения подобного ряда следует взять отношения квадрата синуса 6 — каждой из линий Кка дифракционной картины рент-генограммы к квадрату синуса 9i первой линии.  [11]

Для получения подобного ряда следует взять отношения квадрата синуса в — каждой из линий ХЛа дифракционной картины рентгенограммы к квадрату синуса 0Г первой линии.  [13]

Формула или закон, известный обычно как закон квадрата синуса сопротивления воздуха Ньютона, относится к силе, действующей на наклонную плоскую пластину, омываемую равномерным воздушным потоком.  [14]

Косинус двойного угла равен квадрату косинуса данного угла минус квадрат синуса того же угла.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла

1. Формула стороны квадрата через диагональ

сторона квадрата через диагональ

 

 

a — сторона квадрата

d — диагональ квадрата

 

Формула стороны квадрата, (a):

сторона квадрата через диагональ


 

 

2. Формула стороны квадрата через радиус вписанной окружности

сторона квадрата через радиус вписанной окружности

 

a — сторона квадрата

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

 

Формула стороны квадрата, (a):

Формула стороны квадрата


 

3. Формула стороны квадрата через радиус описанной окружности

сторона квадрата через радиус описанной окружности

 

a — сторона квадрата

R — радиус описанной окружности

D — диаметр описанной окружности

d — диагональ

 

 

Формула стороны квадрата, (a):

Формула стороны квадрата


 

4. Формула стороны квадрата через площадь и периметр

сторона квадрата через площадь и периметр

 

a — сторона квадрата

S — площадь квадрата

P — периметр квадрата

 

 

Формула стороны квадрата, (a):

Формула стороны квадрата через площадь и периметр


 

5. Формула стороны квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

сторона квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

 

a — сторона квадрата

C — линия выходящая из угла на середину стороны квадрата

 

 

Формула стороны квадрата, (a):

сторона квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата



 

Формула площади квадрата

Формула периметра квадрата

Все формулы по геометрии


Диагонали прямоугольника равны между собой. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника ABC и ACD. Диагональ равна диаметру описанной окружности.

 

1. Формулы длины диагонали в прямоугольнике.

Длина диагонали прямоугольника

 

dдиагональ прямоугольника

a, b — стороны

α, β — углы полученные от деления, диагональю, прямого угла

 

 

Формула диагонали через стороны, (d):

Формула диагонали через стороны

 

 

Формулы диагонали через сторону и угол, (d):

Формулы диагонали через сторону и угол

Формулы диагонали через сторону и угол

 

Формулы величины углов через диагональ и стороны, (α, β):

Формулы величины углов через диагональ и стороны

Формулы величины углов через диагональ и стороны

 

 

2. Формулы углов между диагоналями в прямоугольнике.

Формулы величины углов через диагональ и стороны

 

d — диагонали прямоугольника

a, b — стороны

α, β — углы между диагоналями

 

 

Формулы углов между диагоналями через стороны и диагональ, (α, β ):

Формулы углов между диагоналями через стороны и диагональ

Формулы углов между диагоналями через стороны и диагональ

 




1. Формулы диагонали квадрата через стороны, площадь, периметр

диагональ  квадрата через стороны, площадь, периметр

a — сторона квадрата

S — площадь квадрата

P — периметр квадрата

d — диагональ квадрата

 

Формулы диагонали квадрата, (d ):

Формулы диагонали квадрата

Формулы диагонали квадрата

Формулы диагонали квадрата


 

 

2. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности

Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности

 

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

d — диагональ квадрата

 

 

Формула диагонали квадрата, (d ):

Формула диагонали квадрата


 

3. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности

диагональ квадрата через радиус описанной окружности

 

R — радиус описанной окружности

D — диаметр описанной окружности

d — диагональ

 

 

Формула диагонали квадрата, (d ):

Формула диагонали квадрата


 

4. Формула диагонали квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

диагональ квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

 

 

C — линия выходящая из угла на середину стороны квадрата

d — диагональ

 

 

Формула диагонали квадрата, (d ):

Формула диагонали квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата



 

Формула площади квадрата

Формула периметра квадрата

Все формулы по геометрии

Таблица квадратов

Таблица квадратов или таблица возведения чисел во вторую степень. Интерактивная таблица квадратов и изображения таблицы в высоком качестве.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801



Таблица квадратов

02=0

12=1

22=4

32=9

42=16

52=25

62=36

72=49

82=64

92=81

102=100

112=121

122=144

132=169

142=196

152=225

162=256

172=289

182=324

192=361

202=400

212=441

222=484

232=529

242=576

252=625

262=676

272=729

282=784

292=841

302=900

312=961

322=1024

332=1089

342=1156

352=1225

362=1296

372=1369

382=1444

392=1521

402=1600

412=1681

422=1764

432=1849

442=1936

452=2025

462=2116

472=2209

482=2304

492=2401

502=2500

512=2601

522=2704

532=2809

542=2916

552=3025

562=3136

572=3249

582=3364

592=3481

602=3600

612=3721

622=3844

632=3969

642=4096

652=4225

662=4356

672=4489

682=4624

692=4761

702=4900

712=5041

722=5184

732=5329

742=5476

752=5625

762=5776

772=5929

782=6084

792=6241

802=6400

812=6561

822=6724

832=6889

842=7056

852=7225

862=7396

872=7569

882=7744

892=7921

902=8100

912=8281

922=8464

932=8649

942=8836

952=9025

962=9216

972=9409

982=9604

992=9801



Теория

Квадрат числа – это результат умножения числа само на себя. Операция вычисления квадрата числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае во вторую:

62 = 6 × 6 = 36

Данное выражение читается: «возвести в квадрат число 6» или «6 в квадрате».



Скачать таблицу квадратов

  • Нажмите на картинку чтобы посмотреть в увеличенном виде.
  • Нажмите на надпись «скачать», чтобы сохранить картинку на свой компьютер. Изображение будет с высоким разрешением и в хорошем качестве.

Косинус в квадрате, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадрат косинуса можно выразить следующим образом

   

Эта формула называется формулой понижения степени косинуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2
Задание Упростить выражение

   

Решение Упростим выражение с помощью формулы квадрата косинуса:

   

   

Преобразуем каждый из членов разности следующим образом:

   

и

   

Тогда

   

Полученное выражение представляет собой правую часть формулы произведения синусов, т.е.

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Синусоидальная функция — исчисление

Эта статья о конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел. В статье представлена ​​информация о функции, включая ее область, диапазон и ключевые данные, касающиеся построения графиков, дифференцирования и интеграции.
Просмотрите полный список определенных функций на этой вики

Определение

Эта функция, обозначаемая \sin^2, определяется как составная функция квадрата и функции синуса.Явно это карта:

x \mapsto (\sin x)^2

Для краткости мы пишем (\sin x)^2 как \sin^2x.

Ключевые данные

Значение Четная функция Серия
пункт
Домен по умолчанию все действительные числа, то есть все \R
диапазон [0,1], т.е. \{ y \mid 0 \le y \le 1 \}
абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период \pi, то есть 180\,^\circ
локальное максимальное значение и очки достижения Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются при нечетных целых числах, кратных \pi/2.
местное минимальное значение и очки достижения Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых числах, кратных \pi.
точек перегиба (обе координаты) нечетных кратных \pi/4, со значением 1/2 в каждой точке.
производных x \mapsto \sin(2x) = 2\sin x \cos x, то есть функция синусоидального угла.
вторая производная x \mapsto 2\cos(2x)
n^{th} производная 2^{n-1} раз выражение, которое составляет \pm \sin или \pm \cos из 2x, в зависимости от остатка n мод 4
антипроизводных x \mapsto \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C
среднее значение за период 1/2
выражение в виде синусоидальной функции плюс постоянная функция (1/2) - \cos(2x)/2
важных симметрий (следует из составной части четной функции с нечетной функцией четного, квадратная функция четная, а синус-функция нечетная)
в более общем случае зеркально симметрично относительно любой вертикальной линии формы x = n\pi/2, n целое число.
Кроме того, половина поворота симметрии вокруг всех точек формы (n\pi/2 + \pi/4,1/2).
описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутого вверх / вниз Для каждого целого числа n интервал от n\pi до (n+1)\pi подразделяется на четыре части:
(n\pi, n\pi + \pi/4): увеличивается и вогнут до
(n\pi + \pi/4,n\pi + \pi/2): увеличивается и вогнут
(n\pi + \pi/2,n\pi + 3\pi/4): уменьшается и вогнут,
(n\pi + 3\pi/4,(n+1)\pi): уменьшается и вогнут до
и серия Тейлор Степенной ряд около 0 (что, следовательно, также ряд Тейлора) равен
\sum_{k=1}^\infty \frac{(2)^{2k-1}(-1)^{k-1}x^{2k}}{(2k)!} = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots
Это глобально сходящийся степенной ряд.

Персоны

У нас есть следующие важные личности, связанные с \sin^2:

График

Вот график на интервале [-2\pi,2\pi], нарисованный в масштабе:

Sinesquaredbasic.png

Вот крупным планом график между -\pi и \pi. Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение 1/2:

Sinesquaredcloseup.png

Красные пунктирные точки указывают точки перегиба, а черные пунктирные точки указывают локальные экстремальные значения.

Вот изображение, показывающее функцию (синяя) и функцию квадрата косинуса (фиолетовая) с пунктирной линией y = 1/2. На рисунке показано, что \sin^2x + \cos^2x = 1:

Sineandcosinesquared.png

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : цепное правило для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного угла косинуса

У нас есть:

\! \frac{d}{dx}(\sin^2x) = \sin(2x)

Мы можем сделать это двумя способами.

Используя цепное правило для дифференциации, мы имеем:

\! \frac{d}{dx}[(\sin x)^2] = 2\sin x \frac{d}{dx} (\sin x) = 2\sin x \cos x

По формуле синусоидального угла это то же самое, что и \sin(2x).

В качестве альтернативы, используя формулу косинуса двойного угла, мы переписываем:

\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

В отличии мы получаем:

\! \frac{d}{dx}(\sin^2x) = \frac{-1}{2} \frac{d}{dx}(\cos(2x)) = \frac{-1}{2} \cdot 2 \cdot (-\sin(2x)) = \sin(2x)

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

\frac{d^2}{dx^2}(\sin^2x) = \frac{d}{dx}[\sin(2x)] = \frac{d}{d(2x)}[\sin(2x)]\frac{d(2x)}{dx} = 2\cos(2x)

График функции с производной

Заполните это позже

точек и интервалов интереса

Критические очки

Рассмотрим \! f(x) = \sin^2x.Как было вычислено ранее, мы имеем:

\! f

Это равно нулю точно в точках x, где 2x = n\pi, n \in \mathbb{Z}, то есть x = n\pi/2, n \in \mathbb{Z}. Другими словами, критические точки встречаются при целых числах, кратных \pi/2.

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция \! f положительна для 2x \in (2n\pi, (2n+1)\pi) с n \in \mathbb{Z} и отрицательна для 2x \in ((2n + 1)\pi,(2n+2)\pi) с n \in \mathbb{Z}. Разделив на 2, получим:

Местные экстремальные значения

Из информации о интервалах увеличения и уменьшения мы заключаем, что:

Интервалы вогнутой вверх и вогнутой вниз

Вторая производная f — это функция x \mapsto 2\cos(2x).Это положительно для 2x \in (2n\pi - \pi/2,2n\pi + \pi/2) и отрицательно для 2x \in (2n\pi + \pi/2,2n\pi + 3\pi/2), где n \in \mathbb{Z}. Таким образом, мы получаем:

точек перегиба

Из определения интервалов, когда f является вогнутой вверх и вогнутой вниз, мы обнаруживаем, что точки перегиба — это точки с x -координатом, нечетным кратным \pi/4 Значение функции во всех этих точках равно 1/2.

  • В точках с x = n\pi + \pi/4, n \in \mathbb{Z} функция переходит от вогнутой вверх (слева) к вогнутой вниз (справа).
  • В точках с x = n\pi + 3\pi/4, n \in \mathbb{Z} функция переходит от вогнутой вниз (слева) к вогнутой вверх (справа).

Интеграция

Первый антидериватив

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного угла косинуса, рекурсивный вариант интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции
Использование формулы косинуса двойного угла

\! \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

Теперь мы можем сделать интеграцию:

\! \int \sin^2x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \int \frac{1}{2} \, dx - \int \frac{\cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\int \cos (2x) \, dx

Чтобы интегрировать \cos(2x), мы используем метод интегрирования линейного преобразования функции, чтобы получить \sin(2x)/2.Подключив это, мы получаем:

\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C

Использование интеграции по частям

Мы переписываем \sin^2x = (\sin x)(\sin x) и используем интеграцию по частям в его рекурсивной версии:

\int \sin^2x \, dx = (\sin x)(-\cos x) - \int (\cos x)(-\cos x) \, dx = -\sin x \cos x + \int \cos^2 x \, dx

Теперь мы переписываем \cos^2x = 1 - \sin^2x и получаем:

\int \sin^2x \, dx = -\sin x \cos x + \int (1 - \sin^2x) \, dx

Если установить I как выбор антидериватива, так что вышеупомянутое выполняется без каких-либо свободно плавающих констант, мы получим:

\! I = -\sin x \cos x + x - I

Переставляя, получаем:

\! 2I = x - \sin x \cos x

Это дает:

I = \frac{x - \sin x \cos x}{2}

Итак, общее антидеривативное выражение:

\frac{x - \sin x \cos x}{2} + C

Используя формулу двойного угла синуса \sin(2x) = 2 \sin x \cos x, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для заданной непрерывной функции на связном множестве антипроизводные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях антипроизводные могут быть в точности равны, но это , вообще не обязательно .
См нулевой производной подразумевает локально постоянную

График функции с антидеривативным

На рисунке ниже мы изображаем \sin^2 (синий) и функцию x \mapsto \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} (фиолетовый). Это уникальный анти-производный, который принимает значение 0 в 0.Другие антипроизводные могут быть получены путем вертикального смещения фиолетового графика:

Sinesquaredwithantiderivative.png

Черные точки соответствуют локальным крайним значениям для \sin^2, а красные точки соответствуют точкам перегиба для антипроизводных. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится в той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба для антидериватива соответствуют локальным экстремальным значениям для исходной функции. Дальше:

Определенные интегралы

Часть x/2 в антидеривативе означает, что линейная часть антипроизводного \sin^2 имеет наклон 1/2, и это связано с тем фактом, что \sin^2 имеет среднее значение 1/2 на любом интервале длины, равном периоду.Фактически ясно, что функция является синусоидальной функцией около x = 1/2.

Таким образом, имеем:

\int_a^{a + n\pi} \sin^2x \, dx = \frac{n\pi}{2}

, где n — целое число.

Среднее значение для \sin^2 за интервал длины, кратный периоду, составляет 1/2. Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение \sin^2 очень близко к 1/2, даже если оно не должно быть точно 1/2. В частности:

\! \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\int_a^{a + x} \sin^2t \, dt = \frac{1}{2}

Преобразованные версии

На основе интегрирования \sin^2 мы также можем интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

\int \sin^2(mx + \varphi) \, dx= \frac{x}{2} - \frac{\sin(2(mx + \varphi))}{4m} + C

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также составляет 1/2 для любого интервала длины, кратного периоду \pi/m.Кроме того, в течение достаточно длительного интервала среднее значение близко к 1/2:

\! \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\int_a^{a + x} \sin^2(mt + \varphi) \, dt = \frac{1}{2}

Высшее антипроизводное

Антидифференцировать \sin^2 можно более одного раза. Антипроизводное n^{th} представляет собой сумму полинома степени n и тригонометрической функции с периодом \pi.

Силовая серия и серия Тейлор

Вычисление степенных рядов

Мы можем использовать личность:

\! \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

вместе с степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для \sin^2.

Степенной ряд для функции косинуса сходится к функции везде и имеет вид:

\! \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}

Силовая серия для \cos(2x) это:

\! \cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \dots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^{2k}x^{2k}}{(2k)!}

Силовая серия для 1 - \cos(2x) это:

\! 1 - \cos(2x) = \frac{(2x)^2}{2!} - \frac{(2x)^4}{4!} + \frac{(2x)^6}{6!} - \dots = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}2^{2k}x^{2k}}{(2k)!}

Разделив на 2, мы получим степенной ряд за \sin^2x:

\! \sin^2x = \frac{2^1x^2}{2!} - \frac{2^3x^4}{4!} + \frac{2^5x^6}{6!} - \dots = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!}

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более явно:

\! \sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots

полиномов Тейлора как приближения

Обратите внимание, что, поскольку \sin^2 является четной функцией, все ее полиномы Тейлора также являются четными полиномами.На рисунке ниже мы рассматриваем графики \sin^2 и его второго, четвертого и шестого приближений Тейлора.

Sinesquaredandtaylorapproximations.png

Предельные вычисления

Ноль порядка

Из степенных рядов получаем следующий предел:

\! \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2x}{x^2} = 1

Таким образом, порядок нуля \sin^2 в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел может быть рассчитан многими способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть предел:

\! \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2x}{x^4} = \frac{1}{3}

Этот предел может быть рассчитан многими способами:

,

диагоналей, отношений и свойств квадрата

    • Классы
      • Класс 1 — 3
      • Класс 4 — 5
      • Класс 6 — 10
      • Класс 11 — 12
    • КОНКУРСЫ
      • BBS
      • 000000000 Книги
        • NCERT Книги для 5 класса
        • NCERT Книги Класс 6
        • NCERT Книги для 7 класса
        • NCERT Книги для 8 класса
        • NCERT Книги для 9 класса
        • NCERT Книги для 10 класса
        • NCERT Книги для 11 класса
        • NCERT Книги для 12-го класса
      • NCERT Exemplar
        • NCERT Exemplar Class 8
        • NCERT Exemplar Class 9
        • NCERT Exemplar Class 10
        • NCERT Exemplar Class 11
        • NCERT Exemplar Class 12
        • 9000al Aggar Agaris Agard Agard Agard Agard Agard 2000 12000000
          • Решения RS Aggarwal класса 10
          • Решения RS Aggarwal класса 11
          • Решения RS Aggarwal класса 10
          • 90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
          • Решения RS Aggarwal класса 8
          • Решения RS Aggarwal класса 7
          • Решения RS Aggarwal класса 6
        • Решения RD Sharma
          • Решения класса RD Sharma
          • Решения класса 9 Шарма 7 Решения RD Sharma Class 8
          • Решения RD Sharma Class 9
          • Решения RD Sharma Class 10
          • Решения RD Sharma Class 11
          • Решения RD Sharma Class 12
        • ФИЗИКА
          • Механика
          • 000000 Электромагнетизм
        • ХИМИЯ
          • Органическая химия
          • Неорганическая химия
          • Периодическая таблица
        • МАТС
          • Теорема Пифагора
          • Отношения и функции
          • Последовательности и серии
          • Таблицы умножения
          • Детерминанты и матрицы
          • Прибыль и убыток
          • Полиномиальные уравнения
          • Делительные дроби
        • 000 ФОРМУЛЫ
          • Математические формулы
          • Алгебровые формулы
          • Тригонометрические формулы
          • Геометрические формулы
        • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
          • Математические калькуляторы
          • S000
          • S0003
          • Pегипс Класс 6
          • Образцы документов CBSE для класса 7
          • Образцы документов CBSE для класса 8
          • Образцы документов CBSE для класса 9
          • Образцы документов CBSE для класса 10
          • Образцы документов CBSE для класса 11
          • Образец образца CBSE pers for Class 12
        • CBSE Документ с вопросами о предыдущем году
          • CBSE Документы за предыдущий год Class 10
          • CBSE Вопросы за предыдущий год Class 12
        • HC Verma Solutions
          • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
          • Решения HC Verma Class 12 Physics
        • Решения Lakhmir Singh
          • Решения Lakhmir Singh Class 9
          • Решения Lakhmir Singh Class 10
          • Решения Lakhmir Singh Class 8
        • Примечания
        • CBSE
        • Notes
            CBSE Класс 7 Примечания CBSE
          • Класс 8 Примечания CBSE
          • Класс 9 Примечания CBSE
          • Класс 10 Примечания CBSE
          • Класс 11 Примечания CBSE
          • Класс 12 Примечания CBSE
        • Примечания пересмотра
        • CBSE Редакция
        • CBSE
        • CBSE Class 10 Примечания к пересмотру
        • CBSE Class 11 Примечания к пересмотру 9000 4
        • Замечания по пересмотру CBSE класса 12
      • Дополнительные вопросы CBSE
        • Дополнительные вопросы CBSE 8 класса
        • Дополнительные вопросы CBSE 8 по естественным наукам
        • CBSE 9 класса Дополнительные вопросы
        • CBSE 9 дополнительных вопросов по науке CBSE
        • 9000 Класс 10 Дополнительные вопросы по математике
        • CBSE Класс 10 Дополнительные вопросы по науке
      • Класс CBSE
        • Класс 3
        • Класс 4
        • Класс 5
        • Класс 6
        • Класс 7
        • Класс 8
        • Класс 9
        • Класс 10
        • Класс 11
        • Класс 12
      • Решения для учебников
    • Решения NCERT
      • Решения NCERT для класса 11
          Решения NCERT для физики класса 11
        • Решения NCERT для класса 11 Химия
        • Решения для класса 11 Биология
        • NCERT Решения для класса 11 Математика
        • 9 0003 NCERT Solutions Class 11 Бухгалтерия
        • NCERT Solutions Class 11 Бизнес исследования
        • NCERT Solutions Class 11 Экономика
        • NCERT Solutions Class 11 Статистика
        • NCERT Solutions Class 11 Коммерция
      • NCERT Solutions для класса 12
        • NCERT Solutions для Класс 12 Физика
        • Решения NCERT для 12 класса Химия
        • Решения NCERT для 12 класса Биология
        • Решения NCERT для 12 класса Математика
        • Решения NCERT Класс 12 Бухгалтерский учет
        • Решения NCERT Класс 12 Бизнес исследования
        • Решения NCERT Класс 12 Экономика
        • NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 1
        • NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 2
        • NCERT Solutions Class 12 Микроэкономика
        • NCERT Solutions Class 12 Коммерция
        • NCERT Solutions Class 12 Макроэкономика
      • NCERT Solutions Для Класс 4
        • Решения NCERT для математики класса 4
        • Решения NCERT для класса 4 EVS
      • Решения NCERT для класса 5
        • Решения NCERT для математики класса 5
        • Решения NCERT для класса 5 EVS
      • Решения NCERT для класса 6
        • Решения NCERT для класса 6 Maths
        • Решения NCERT для класса 6 Science
        • Решения NCERT для класса 6 Общественные науки
        • Решения NCERT для класса 6 Английский
      • Решения NCERT для класса 7
        • Решения NCERT для класса 7 Математика
        • Решения NCERT для 7 класса Science
        • Решения NCERT для 7 класса Общественные науки
        • Решения NCERT для 7 класса Английский
      • Решения NCERT для 8 класса Математические решения
        • для 8 класса Математика
        • Решения NCERT для класса 8 Science
        • Решения NCERT для класса 8 Общественные науки
        • NCERT Solutio ns для класса 8 Английский
      • Решения NCERT для класса 9
        • Решения NCERT для класса 9 Общественные науки
      • Решения NCERT для класса 9 Математика
        • Решения NCERT для класса 9 Математика Глава 1
        • Решения NCERT Для класса 9 Математика 9 класса Глава 2
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 3
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 4
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 5
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 6
        • Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 7
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 8
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 9
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 10
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 11
        • Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 12
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 13
        • Решения NCERT для математики 9 класса Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
      • Решения NCERT для науки 9 класса
        • Решения NCERT для науки 9 класса Глава 1
        • Решения NCERT для науки 9 класса Глава 2
        • Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 4
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 5
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 6
        • Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 7
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 8
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 10
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 12
        • Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 11
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 13
        • Решения NCERT для 9 класса Научная глава 14
        • Решения NCERT для класса 9 Science Глава 15
      • Решения NCERT для класса 10
        • Решения NCERT для класса 10 Общественные науки
      • Решения NCERT для математики класса 10
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 3
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 4
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 5
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 6
        • решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 8
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 9
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 10
        • решения NCERT для математики класса 10 глава 11
        • решения NCERT для математики класса 10, глава 12
        • Решения NCERT для математики класса 10, глава 13
        • соль NCERT Решения для математики класса 10 Глава 14
        • Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
      • Решения NCERT для науки 10 класса
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 1
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 2
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 3
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 4
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 5
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 6
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 7
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 8
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 9
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 10
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 11
        • Решения NCERT для науки 10 класса, глава 12
        • Решения NCERT для 10 класса Science Глава 9
        • Решения NCERT для 10 класса Science Глава 14
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 15
        • Решения NCERT для науки 10 класса Глава 16
      • Программа NCERT
      • NCERT
    • Коммерция
      • Класс 11 Коммерческая программа Syllabus
      • Класс 11 бизнес-дисциплин Syllabus
      • Класс 11 Экономика Syllabus
    • Класс 12 коммерческий учебный план
      • Класс 12 Бухгалтерский учебный план
      • класс 12 бизнес-исследований S
18 ,
математика — самая быстрая реализация синуса, косинуса и квадратного корня в C ++ (не нужно быть очень точным) Переполнение стека
  1. Товары
  2. Клиенты
  3. Случаи использования
  1. Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
  2. Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
  3. предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
  4. работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
  5. Талант Нанимать технический талант
  6. реклама Связаться с разработчиками по всему миру
.
Площадь Площади | Что такое площадь квадратной формулы?
    • Классы
      • Класс 1 — 3
      • Класс 4 — 5
      • Класс 6 — 10
      • Класс 11 — 12
    • КОНКУРСЫ
      • BBS
      • 000000000 Книги
        • NCERT Книги для 5 класса
        • NCERT Книги Класс 6
        • NCERT Книги для 7 класса
        • NCERT Книги для 8 класса
        • NCERT Книги для 9 класса
        • NCERT Книги для 10 класса
        • NCERT Книги для 11 класса
        • NCERT Книги для 12-го класса
      • NCERT Exemplar
        • NCERT Exemplar Class 8
        • NCERT Exemplar Class 9
        • NCERT Exemplar Class 10
        • NCERT Exemplar Class 11
        • NCERT Exemplar Class 12
        • 9000al Aggar Agaris Agard Agard Agard Agard Agard 2000 12000000
          • Решения RS Aggarwal класса 10
          • Решения RS Aggarwal класса 11
          • Решения RS Aggarwal класса 10
          • 90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
          • Решения RS Aggarwal класса 8
          • Решения RS Aggarwal класса 7
          • Решения RS Aggarwal класса 6
        • Решения RD Sharma
          • Решения класса RD Sharma
          • Решения класса 9 Шарма 7 Решения RD Sharma Class 8
          • Решения RD Sharma Class 9
          • Решения RD Sharma Class 10
          • Решения RD Sharma Class 11
          • Решения RD Sharma Class 12
        • ФИЗИКА
          • Механика
          • 000000 Электромагнетизм
        • ХИМИЯ
          • Органическая химия
          • Неорганическая химия
          • Периодическая таблица
        • МАТС
          • Теорема Пифагора
          • Отношения и функции
          • Последовательности и серии
          • Таблицы умножения
          • Детерминанты и матрицы
          • Прибыль и убыток
          • Полиномиальные уравнения
          • Делительные дроби
        • 000 ФОРМУЛЫ
          • Математические формулы
          • Алгебровые формулы
          • Тригонометрические формулы
          • Геометрические формулы
        • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
          • Математические калькуляторы
          • S000
          • S0003
          • Pегипс Класс 6
          • Образцы документов CBSE для класса 7
          • Образцы документов CBSE для класса 8
          • Образцы документов CBSE для класса 9
          • Образцы документов CBSE для класса 10
          • Образцы документов CBSE для класса 11
          • Образец образца CBSE pers for Class 12
        • CBSE Документ с вопросами о предыдущем году
          • CBSE Документы за предыдущий год Class 10
          • CBSE Вопросы за предыдущий год Class 12
        • HC Verma Solutions
          • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
          • Решения HC Verma Class 12 Physics
        • Решения Lakhmir Singh
          • Решения Lakhmir Singh Class 9
          • Решения Lakhmir Singh Class 10
          • Решения Lakhmir Singh Class 8
        • Примечания
        • CBSE
        • Notes
            CBSE Класс 7 Примечания CBSE
          • Класс 8 Примечания CBSE
          • Класс 9 Примечания CBSE
          • Класс 10 Примечания CBSE
          • Класс 11 Примечания CBSE
          • Класс 12 Примечания CBSE
        • Примечания пересмотра
        • CBSE Редакция
        • CBSE
        • CBSE Class 10 Примечания к пересмотру
        • CBSE Class 11 Примечания к пересмотру 9000 4
        • Замечания по пересмотру класса CBSE 12
      • Дополнительные вопросы по CBSE
        • Дополнительные вопросы по CBSE 8 класса
        • Дополнительные вопросы по CBSE 8 по естествознанию
        • CBSE 9 Дополнительные вопросы по математике
        • CBSE 9 по дополнительным вопросам по науке CBSE
        • 9000 Класс 10 Дополнительные вопросы по математике
        • CBSE Класс 10 Дополнительные вопросы по науке
      • Класс CBSE
        • Класс 3
        • Класс 4
        • Класс 5
        • Класс 6
        • Класс 7
        • Класс 8
    ,

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *