Формула квадрат синус квадрат: Синус в квадрате, формула и примеры

Содержание

Косинус квадрат и синус квадрат

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:

Гипотенуза — сторона, которая всегда лежит напротив прямого угла (угла в 90 градусов). Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника с прямым углом.

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

Теперь переходим к косинусу и синусу угла альфа (∠α) (так можно назвать любой непрямой угол в треугольнике или использовать в качестве обозначение икс — «x», что не меняет сути).

Синус угла альфа (sin ∠α)

— это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC

Косинус угла альфа (cos ∠α) — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Если снова смотреть по рисунку выше, то cos ∠ABC = AB / BC

И просто для напоминания: косинус и синус никогда не будут больше единицы, так как любой катит короче гипотенузы (а гипотенуза — это самая длинная сторона любого треугольника, ведь самая длинная сторона расположена напротив самого большого угла в треугольнике).

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Теперь переходим к основным тригонометрическим формулам: вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:

sin²α = 1 — cos²α

или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.

sin²α = (1 – cos(2α)) / 2

Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:

cos²α = 1 — sin²α

или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.

cos²α = (1 + cos(2α)) / 2

Эти две более сложные формулы синуса в квадрате и косинуса в квадрате называют еще «понижение степени для квадратов тригонометрических функций». Т.е. была вторая степень, понизили до первой и вычисления стали удобнее.

<center><ins class="lazy lazy-hidden adsbygoogle" style="display:inline-block;width:580px;height:400px" data-ad-client="ca-pub-5948177564140711" data-ad-slot="9081085738"></ins> <script>(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({});</script></center>

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

квадрат, куб, в 4 степени

Ниже представлены таблицы с формулами степеней (квадрат, куб, в 4-ой степени) прямых и обратных тригонометрических функций: синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы квадратов

Формулы кубов


Степень	Формула
Синус в кубе
Косинус в кубе
Тангенс в кубе
Котангенс в кубе

microexcel.ru

Формулы функций в 4-ой степени


Степень	Формула
Синус в 4-ой степени
Косинус в 4-ой степени
Тангенс в 4-ой степени
Котангенс в 4-ой степени

microexcel.ru

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Формулы понижения степени являются одним из видов основных тригонометрических формул. Они выражают степени (2, 3, …) тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс через синус и косинус первой степени, но кратного угла (`\alpha, \ 3\alpha, \ …` или `2\alpha, \ 4\alpha, \ …`).

Содержание статьи:

Список всех тригонометрических формул понижения степени

Запишем данные тождества для тригонометрических функций от 2-й по 4-ю степень угла `\alpha`, а также для угла `\frac \alpha 2` и для произведения синус на косинус. Для удобства разделим их на группы.

Для квадрата

Формулы этой группы, особенно две первые, наиболее нужны. Они применяются при решении тригонометрических уравнений, интегралов и т. д.

`sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2`
`cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2`

`tg^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}{1+cos \ 2\alpha}`

`ctg^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}{1-cos \ 2\alpha}`

Для куба

Тождества этой группы и следующих встречаются гораздо реже, но это не повод их не знать.

`sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4`
`cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`

`tg^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}`

`ctg^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha+sin \ 3\alpha}{3cos \ \alpha-cos \ 3\alpha}`

Для 4-й степени

`sin^4 \alpha=\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`
`cos^4 \alpha=\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`

Для функций половинного угла

Это формулы половинного угла. Но когда они записаны именно в таком виде, то их можно отнести и к тодествам понижения степени.

` sin^2 \frac \alpha 2=\frac{1-cos \alpha}2`

` cos^2 \frac \alpha 2=\frac{1+cos \alpha}2`

`tg^2 \frac \alpha 2=\frac{1-cos \alpha}{1+cos \alpha}`

`ctg^2 \frac \alpha 2=\frac{1+cos \alpha}{1-cos \alpha}`

Для произведения синус на косинус

`sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha=\frac{1-cos \ 4\alpha}8`
`sin^3 \alpha \cdot cos^3 \alpha=\frac{3sin \ 2\alpha-sin \ 6\alpha}32`

`sin^4 \alpha \cdot cos^4 \alpha=\frac{3-4cos \ 4\alpha+cos \ 8\alpha}128`

`sin^5 \alpha \cdot cos^5 \alpha=\frac{10sin \ 2\alpha-5sin \ 6\alpha+sin \ 10\alpha}512`

Доказательство

Теперь перейдем непосредственно к выводу формул понижения степени тригонометрических функций.

Чтобы доказать их для квадрата, нам понадобятся фождества двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`.

Формулу понижения степени синуса в квадрате получим, разрешив первое равенство относительно ` sin^2 \alpha`: `sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2`.

Аналогично и с косинусом в квадрате, получим тождество, разрешив второе равенство относительно ` cos^2 \alpha`: `cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2`.

Формула понижения степени тангенса и котангенса автоматически выводится из определений этих функций. Поскольку `tg \alpha=\frac {sin \alpha}{cos \alpha}`, то `tg^2 \alpha=\frac {sin^2 \alpha}{cos^2 \alpha}=` `\frac {\frac{1-cos \ 2\alpha}2}{\frac{1+cos \ 2\alpha}2}=\frac{1-cos \ 2\alpha}{1+cos \ 2\alpha}`. Аналогично получим `ctg^2 \alpha=\frac {cos^2 \alpha}{sin^2 \alpha}=` `\frac {\frac{1+cos \ 2\alpha}2}{\frac{1-cos \ 2\alpha}2}=\frac{1+cos \ 2\alpha}{1-cos \ 2\alpha}`.

Для лучшего усвоения теоретического материала рекомендуем посмотреть видео, где подробно описывается процесс доказательстве первых двух формул:

Если формулы тройного угла `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha` и
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha` разрешить относительно `sin \ 3\alpha` и `cos \ 3\alpha`, то получим формулы понижения степени для синуса и косинуса в кубе: `sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4` и `cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`.

Доказать данной равности для синуса и косинуса можно, воспользовавшись два раза формулами понижения квадратов:

`sin^4 \alpha=(sin^2 \alpha)^2=(\frac{1-cos \ 2\alpha}2)^2=` `\frac{1-2cos \ 2\alpha+cos^2 2\alpha}4=\frac{1-2cos \ 2\alpha+\frac{1+cos \ 4\alpha}2}4=` `\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`;

`cos^4 \alpha=(cos^2 \alpha)^2=(\frac{1+cos \ 2\alpha}2)^2=` `\frac{1+2cos \ 2\alpha+cos^2 2\alpha}4=\frac{1+2cos \ 2\alpha+\frac{1+cos \ 4\alpha}2}4=` `\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`.

Общий вид формул понижения степени

Для четных показателей степени (n=1, 2, 3,…):

`sin^n \alpha=\frac {C_\frac n 2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac n 2 -1} (-1)^{\frac n 2 -k} \cdot C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac {C_\frac n 2^n}{2^n}+\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac n 2 -1} C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.

Для нечетных показателей степени (n=3, 5, 7,…):

`sin^n \alpha=\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac {n-1}2} (-1)^{\frac {n-1} 2 -k} \cdot C_k^n \cdot sin((n-2k) \alpha)` и `cos^n \alpha=\frac1{2^{n-1}} \cdot \sum_{k=0}^{\frac {n-1}2} C_k^n \cdot cos((n-2k) \alpha)`.

Примеры решения задач с применением формул понижения степени

Пример 1. Воспользуйтесь формулой понижения степени для `cos^2 4\alpha`.

Решение. Применив формулу `cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2`, получим `cos^2 4\alpha=\frac{1+cos 2\cdot\ 4\alpha}2=\frac{1+cos 8\alpha}2`.

Ответ. `cos^2 4\alpha=\frac{1+cos 8\alpha}2`.

Пример 2. Используя выше указанные тождества, вычислить `sin^2 \frac \pi 8`.

Решение. Согласно формуле `sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2`, понизим степень синуса. Получим `sin^2 \frac \pi 8=\frac{1-cos \ 2\frac \pi 8}2=\frac{1-cos \frac \pi 4}2`. Поскольку `cos \frac \pi 4=\frac {\sqrt 2}2`, то `sin^2 \frac \pi 8=\frac{1-cos \frac \pi 4}2=\frac{1-\frac {\sqrt 2}2}2=\frac{\frac {2-\sqrt 2}2}2=\frac {2-\sqrt 2}4`.

Ответ. `sin^2 \frac \pi 8=\frac {2-\sqrt 2}4`.

Отметим, что формулы понижения степени в тригонометрии чаще всего используются при решении уравнений и преобразовании выражений.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Квадрат — синус — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Квадрат — синус

Cтраница 1

Квадраты синусов определяют на выходе вторую гармонику. [1]

Преобразуя квадрат синуса, находим. [2]

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна единице. [3]

Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, половине. [4]

Формулы удвоения позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заменить линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения. [5]

Для исследования суммы квадратов синусов этих углов воспользуйтесь теоремой косинусов. [6]

Доказать, что сумма квадратов синусов трех углов, образуемых произвольным лучом с ребрами прямого трехгранного угла, равна двум. [7]

Так как в выражении (5.21) присутствует квадрат синуса, то мгновенная мощность всегда является положительной величиной. Положительный знак мгновенной мощности отражает тот факт, что происходит, односторонний процесс поглощения энергии в цепи переменного тока. [9]

Эту теорему можно сформулировать так: квадрат синуса любого угла плюс квадрат косинуса того же угла равен единице. [10]

Для получения подобного ряда следует взять отношения квадрата синуса 6 — каждой из линий Кка дифракционной картины рент-генограммы к квадрату синуса 9i первой линии. [11]

Для получения подобного ряда следует взять отношения квадрата синуса в — каждой из линий ХЛа дифракционной картины рентгенограммы к квадрату синуса 0Г первой линии. [13]

Формула или закон, известный обычно как закон квадрата синуса сопротивления воздуха Ньютона, относится к силе, действующей на наклонную плоскую пластину, омываемую равномерным воздушным потоком. [14]

Косинус двойного угла равен квадрату косинуса данного угла минус квадрат синуса того же угла. [15]

Страницы: 1 2 3 4

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла

1. Формула стороны квадрата через диагональ

a — сторона квадрата

d — диагональ квадрата

Формула стороны квадрата, (a):

2. Формула стороны квадрата через радиус вписанной окружности

a — сторона квадрата

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

Формула стороны квадрата, (a):

3. Формула стороны квадрата через радиус описанной окружности

a — сторона квадрата

R — радиус описанной окружности

D — диаметр описанной окружности

d — диагональ

Формула стороны квадрата, (a):

4. Формула стороны квадрата через площадь и периметр

a — сторона квадрата

S — площадь квадрата

P — периметр квадрата

Формула стороны квадрата, (a):

5. Формула стороны квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

a — сторона квадрата

C — линия выходящая из угла на середину стороны квадрата

Формула стороны квадрата, (a):

Формула площади квадрата

Формула периметра квадрата

Все формулы по геометрии

Диагонали прямоугольника равны между собой. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника ABC и ACD. Диагональ равна диаметру описанной окружности.

1. Формулы длины диагонали в прямоугольнике.

d — диагональ прямоугольника

a, b — стороны

α, β — углы полученные от деления, диагональю, прямого угла

Формула диагонали через стороны, (d):

Формулы диагонали через сторону и угол, (d):

Формулы величины углов через диагональ и стороны, (α, β):

2. Формулы углов между диагоналями в прямоугольнике.

d — диагонали прямоугольника

a, b — стороны

α, β — углы между диагоналями

Формулы углов между диагоналями через стороны и диагональ, (α, β ):

1. Формулы диагонали квадрата через стороны, площадь, периметр

a — сторона квадрата

S — площадь квадрата

P — периметр квадрата

d — диагональ квадрата

Формулы диагонали квадрата, (d ):

2. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

d — диагональ квадрата

Формула диагонали квадрата, (d ):

3. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности

R — радиус описанной окружности

D — диаметр описанной окружности

d — диагональ

Формула диагонали квадрата, (d ):

4. Формула диагонали квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

C — линия выходящая из угла на середину стороны квадрата

d — диагональ

Формула диагонали квадрата, (d ):

Формула площади квадрата

Формула периметра квадрата

Все формулы по геометрии

Таблица квадратов

Таблица квадратов или таблица возведения чисел во вторую степень. Интерактивная таблица квадратов и изображения таблицы в высоком качестве.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Таблица квадратов

0²=0

1²=1

2²=4

3²=9

4²=16

5²=25

6²=36

7²=49

8²=64

9²=81

10²=100

11²=121

12²=144

13²=169

14²=196

15²=225

16²=256

17²=289

18²=324

19²=361

20²=400

21²=441

22²=484

23²=529

24²=576

25²=625

26²=676

27²=729

28²=784

29²=841

30²=900

31²=961

32²=1024

33²=1089

34²=1156

35²=1225

36²=1296

37²=1369

38²=1444

39²=1521

40²=1600

41²=1681

42²=1764

43²=1849

44²=1936

45²=2025

46²=2116

47²=2209

48²=2304

49²=2401

50²=2500

51²=2601

52²=2704

53²=2809

54²=2916

55²=3025

56²=3136

57²=3249

58²=3364

59²=3481

60²=3600

61²=3721

62²=3844

63²=3969

64²=4096

65²=4225

66²=4356

67²=4489

68²=4624

69²=4761

70²=4900

71²=5041

72²=5184

73²=5329

74²=5476

75²=5625

76²=5776

77²=5929

78²=6084

79²=6241

80²=6400

81²=6561

82²=6724

83²=6889

84²=7056

85²=7225

86²=7396

87²=7569

88²=7744

89²=7921

90²=8100

91²=8281

92²=8464

93²=8649

94²=8836

95²=9025

96²=9216

97²=9409

98²=9604

99²=9801

Теория

Квадрат числа – это результат умножения числа само на себя. Операция вычисления квадрата числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае во вторую:

6² = 6 × 6 = 36

Данное выражение читается: «возвести в квадрат число 6» или «6 в квадрате».

Скачать таблицу квадратов

Нажмите на картинку чтобы посмотреть в увеличенном виде.
Нажмите на надпись «скачать», чтобы сохранить картинку на свой компьютер. Изображение будет с высоким разрешением и в хорошем качестве.

Косинус в квадрате, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадрат косинуса можно выразить следующим образом

Эта формула называется формулой понижения степени косинуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2

Задание

Упростить выражение

Решение

Упростим выражение с помощью формулы квадрата косинуса:

Преобразуем каждый из членов разности следующим образом:

Тогда

Полученное выражение представляет собой правую часть формулы произведения синусов, т.е.

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Синусоидальная функция — исчисление

Эта статья о конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел. В статье представлена информация о функции, включая ее область, диапазон и ключевые данные, касающиеся построения графиков, дифференцирования и интеграции.
Просмотрите полный список определенных функций на этой вики

Определение

Эта функция, обозначаемая $\sin^2$ , определяется как составная функция квадрата и функции синуса.Явно это карта:

$x \mapsto (\sin x)^2$

Для краткости мы пишем $(\sin x)^2$ как $\sin^2x$ .

Ключевые данные

Значение Четная функция Серия

пункт
Домен по умолчанию	все действительные числа, то есть все $\R$
диапазон	, т.е. $\{ y \mid 0 \le y \le 1 \}$ абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	$\pi$ , то есть $180\,^\circ$
локальное максимальное значение и очки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются при нечетных целых числах, кратных $\pi/2$ .
местное минимальное значение и очки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых числах, кратных $\pi$ .
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных $\pi/4$ , со значением 1/2 в каждой точке.
производных	$x \mapsto \sin(2x) = 2\sin x \cos x$ , то есть функция синусоидального угла.
вторая производная	$x \mapsto 2\cos(2x)$
$n^{th}$ производная	$2^{n-1}$ раз выражение, которое составляет $\pm \sin$ или $\pm \cos$ из , в зависимости от остатка мод
антипроизводных	$x \mapsto \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$
среднее значение за период	1/2
выражение в виде синусоидальной функции плюс постоянная функция	$(1/2) - \cos(2x)/2$
важных симметрий	(следует из составной части четной функции с нечетной функцией четного, квадратная функция четная, а синус-функция нечетная) в более общем случае зеркально симметрично относительно любой вертикальной линии формы $x = n\pi/2$ , целое число. Кроме того, половина поворота симметрии вокруг всех точек формы $(n\pi/2 + \pi/4,1/2)$ .
описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутого вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от $n\pi$ до $(n+1)\pi$ подразделяется на четыре части: $(n\pi, n\pi + \pi/4)$ : увеличивается и вогнут до $(n\pi + \pi/4,n\pi + \pi/2)$ : увеличивается и вогнут $(n\pi + \pi/2,n\pi + 3\pi/4)$ : уменьшается и вогнут, $(n\pi + 3\pi/4,(n+1)\pi)$ : уменьшается и вогнут до
и серия Тейлор	Степенной ряд около 0 (что, следовательно, также ряд Тейлора) равен $\sum_{k=1}^\infty \frac{(2)^{2k-1}(-1)^{k-1}x^{2k}}{(2k)!} = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots$ Это глобально сходящийся степенной ряд.

Персоны

У нас есть следующие важные личности, связанные с $\sin^2$ :

График

Вот график на интервале $[-2\pi,2\pi]$ , нарисованный в масштабе:

Вот крупным планом график между $-\pi$ и $\pi$ . Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение 1/2 :

Красные пунктирные точки указывают точки перегиба, а черные пунктирные точки указывают локальные экстремальные значения.

Вот изображение, показывающее функцию (синяя) и функцию квадрата косинуса (фиолетовая) с пунктирной линией y = 1/2 . На рисунке показано, что $\sin^2x + \cos^2x = 1$ :

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : цепное правило для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного угла косинуса

У нас есть:

$\! \frac{d}{dx}(\sin^2x) = \sin(2x)$

Мы можем сделать это двумя способами.

Используя цепное правило для дифференциации, мы имеем:

$\! \frac{d}{dx}[(\sin x)^2] = 2\sin x \frac{d}{dx} (\sin x) = 2\sin x \cos x$

По формуле синусоидального угла это то же самое, что и $\sin(2x)$ .

В качестве альтернативы, используя формулу косинуса двойного угла, мы переписываем:

$\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

В отличии мы получаем:

$\! \frac{d}{dx}(\sin^2x) = \frac{-1}{2} \frac{d}{dx}(\cos(2x)) = \frac{-1}{2} \cdot 2 \cdot (-\sin(2x)) = \sin(2x)$

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

$\frac{d^2}{dx^2}(\sin^2x) = \frac{d}{dx}[\sin(2x)] = \frac{d}{d(2x)}[\sin(2x)]\frac{d(2x)}{dx} = 2\cos(2x)$

График функции с производной

Заполните это позже

точек и интервалов интереса

Критические очки

Рассмотрим $\! f(x) = \sin^2x$ .Как было вычислено ранее, мы имеем:

$\! f$

Это равно нулю точно в точках , где $2x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$ , то есть $x = n\pi/2, n \in \mathbb{Z}$ . Другими словами, критические точки встречаются при целых числах, кратных $\pi/2$ .

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция $\! f$ положительна для $2x \in (2n\pi, (2n+1)\pi)$ с $n \in \mathbb{Z}$ и отрицательна для $2x \in ((2n + 1)\pi,(2n+2)\pi)$ с $n \in \mathbb{Z}$ . Разделив на 2, получим:

Местные экстремальные значения

Из информации о интервалах увеличения и уменьшения мы заключаем, что:

Интервалы вогнутой вверх и вогнутой вниз

Вторая производная — это функция $x \mapsto 2\cos(2x)$ .Это положительно для $2x \in (2n\pi - \pi/2,2n\pi + \pi/2)$ и отрицательно для $2x \in (2n\pi + \pi/2,2n\pi + 3\pi/2)$ , где $n \in \mathbb{Z}$ . Таким образом, мы получаем:

точек перегиба

Из определения интервалов, когда является вогнутой вверх и вогнутой вниз, мы обнаруживаем, что точки перегиба — это точки с -координатом, нечетным кратным $\pi/4$ Значение функции во всех этих точках равно 1/2 .

В точках с $x = n\pi + \pi/4, n \in \mathbb{Z}$ функция переходит от вогнутой вверх (слева) к вогнутой вниз (справа).
В точках с $x = n\pi + 3\pi/4, n \in \mathbb{Z}$ функция переходит от вогнутой вниз (слева) к вогнутой вверх (справа).

Интеграция

Первый антидериватив

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного угла косинуса, рекурсивный вариант интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы косинуса двойного угла

$\! \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Теперь мы можем сделать интеграцию:

$\! \int \sin^2x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \int \frac{1}{2} \, dx - \int \frac{\cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\int \cos (2x) \, dx$

Чтобы интегрировать $\cos(2x)$ , мы используем метод интегрирования линейного преобразования функции, чтобы получить $\sin(2x)/2$ .Подключив это, мы получаем:

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$

Использование интеграции по частям

Мы переписываем $\sin^2x = (\sin x)(\sin x)$ и используем интеграцию по частям в его рекурсивной версии:

$\int \sin^2x \, dx = (\sin x)(-\cos x) - \int (\cos x)(-\cos x) \, dx = -\sin x \cos x + \int \cos^2 x \, dx$

Теперь мы переписываем $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ и получаем:

$\int \sin^2x \, dx = -\sin x \cos x + \int (1 - \sin^2x) \, dx$

Если установить как выбор антидериватива, так что вышеупомянутое выполняется без каких-либо свободно плавающих констант, мы получим:

$\! I = -\sin x \cos x + x - I$

Переставляя, получаем:

$\! 2I = x - \sin x \cos x$

Это дает:

$I = \frac{x - \sin x \cos x}{2}$

Итак, общее антидеривативное выражение:

$\frac{x - \sin x \cos x}{2} + C$

Используя формулу двойного угла синуса $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ , мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для заданной непрерывной функции на связном множестве антипроизводные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях антипроизводные могут быть в точности равны, но это , вообще не обязательно .
См нулевой производной подразумевает локально постоянную

График функции с антидеривативным

На рисунке ниже мы изображаем $\sin^2$ (синий) и функцию $x \mapsto \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4}$ (фиолетовый). Это уникальный анти-производный, который принимает значение 0 в 0.Другие антипроизводные могут быть получены путем вертикального смещения фиолетового графика:

Черные точки соответствуют локальным крайним значениям для $\sin^2$ , а красные точки соответствуют точкам перегиба для антипроизводных. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится в той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба для антидериватива соответствуют локальным экстремальным значениям для исходной функции. Дальше:

Определенные интегралы

Часть x/2 в антидеривативе означает, что линейная часть антипроизводного $\sin^2$ имеет наклон 1/2 , и это связано с тем фактом, что $\sin^2$ имеет среднее значение 1/2 на любом интервале длины, равном периоду.Фактически ясно, что функция является синусоидальной функцией около x = 1/2 .

Таким образом, имеем:

$\int_a^{a + n\pi} \sin^2x \, dx = \frac{n\pi}{2}$

, где — целое число.

Среднее значение для $\sin^2$ за интервал длины, кратный периоду, составляет 1/2 . Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение $\sin^2$ очень близко к 1/2, даже если оно не должно быть точно 1/2. В частности:

$\! \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\int_a^{a + x} \sin^2t \, dt = \frac{1}{2}$

Преобразованные версии

На основе интегрирования $\sin^2$ мы также можем интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

$\int \sin^2(mx + \varphi) \, dx= \frac{x}{2} - \frac{\sin(2(mx + \varphi))}{4m} + C$

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также составляет 1/2 для любого интервала длины, кратного периоду $\pi/m$ .Кроме того, в течение достаточно длительного интервала среднее значение близко к 1/2:

$\! \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\int_a^{a + x} \sin^2(mt + \varphi) \, dt = \frac{1}{2}$

Высшее антипроизводное

Антидифференцировать $\sin^2$ можно более одного раза. Антипроизводное $n^{th}$ представляет собой сумму полинома степени и тригонометрической функции с периодом $\pi$ .

Силовая серия и серия Тейлор

Вычисление степенных рядов

Мы можем использовать личность:

$\! \sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

вместе с степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для $\sin^2$ .

Степенной ряд для функции косинуса сходится к функции везде и имеет вид:

$\! \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}$

Силовая серия для $\cos(2x)$ это:

$\! \cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \dots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^{2k}x^{2k}}{(2k)!}$

Силовая серия для $1 - \cos(2x)$ это:

$\! 1 - \cos(2x) = \frac{(2x)^2}{2!} - \frac{(2x)^4}{4!} + \frac{(2x)^6}{6!} - \dots = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}2^{2k}x^{2k}}{(2k)!}$

Разделив на 2, мы получим степенной ряд за $\sin^2x$ :

$\! \sin^2x = \frac{2^1x^2}{2!} - \frac{2^3x^4}{4!} + \frac{2^5x^6}{6!} - \dots = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!}$

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более явно:

$\! \sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots$

полиномов Тейлора как приближения

Обратите внимание, что, поскольку $\sin^2$ является четной функцией, все ее полиномы Тейлора также являются четными полиномами.На рисунке ниже мы рассматриваем графики $\sin^2$ и его второго, четвертого и шестого приближений Тейлора.

Предельные вычисления

Ноль порядка

Из степенных рядов получаем следующий предел:

$\! \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2x}{x^2} = 1$

Таким образом, порядок нуля $\sin^2$ в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел может быть рассчитан многими способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть предел:

$\! \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2x}{x^4} = \frac{1}{3}$

Этот предел может быть рассчитан многими способами:

диагоналей, отношений и свойств квадрата

- Классы
  Класс 1 — 3
  Класс 4 — 5
  Класс 6 — 10
  Класс 11 — 12
- КОНКУРСЫ
  BBS
  000000000 Книги
  NCERT Книги для 5 класса
  NCERT Книги Класс 6
  NCERT Книги для 7 класса
  NCERT Книги для 8 класса
  NCERT Книги для 9 класса
  NCERT Книги для 10 класса
  NCERT Книги для 11 класса
  NCERT Книги для 12-го класса
  NCERT Exemplar
  NCERT Exemplar Class 8
  NCERT Exemplar Class 9
  NCERT Exemplar Class 10
  NCERT Exemplar Class 11
  NCERT Exemplar Class 12
  9000al Aggar Agaris Agard Agard Agard Agard Agard 2000 12000000
  Решения RS Aggarwal класса 10
  Решения RS Aggarwal класса 11
  Решения RS Aggarwal класса 10
  90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
  Решения RS Aggarwal класса 8
  Решения RS Aggarwal класса 7
  Решения RS Aggarwal класса 6
  Решения RD Sharma
  Решения класса RD Sharma
  Решения класса 9 Шарма 7 Решения RD Sharma Class 8
  Решения RD Sharma Class 9
  Решения RD Sharma Class 10
  Решения RD Sharma Class 11
  Решения RD Sharma Class 12
  ФИЗИКА
  Механика
  000000 Электромагнетизм
  ХИМИЯ
  Органическая химия
  Неорганическая химия
  Периодическая таблица
  МАТС
  Теорема Пифагора
  Отношения и функции
  Последовательности и серии
  Таблицы умножения
  Детерминанты и матрицы
  Прибыль и убыток
  Полиномиальные уравнения
  Делительные дроби
  000 ФОРМУЛЫ
  Математические формулы
  Алгебровые формулы
  Тригонометрические формулы
  Геометрические формулы
  КАЛЬКУЛЯТОРЫ
  Математические калькуляторы
  S000
  S0003
  Pегипс Класс 6
  Образцы документов CBSE для класса 7
  Образцы документов CBSE для класса 8
  Образцы документов CBSE для класса 9
  Образцы документов CBSE для класса 10
  Образцы документов CBSE для класса 11
  Образец образца CBSE pers for Class 12
  CBSE Документ с вопросами о предыдущем году
  CBSE Документы за предыдущий год Class 10
  CBSE Вопросы за предыдущий год Class 12
  HC Verma Solutions
  HC Verma Solutions Класс 11 Физика
  Решения HC Verma Class 12 Physics
  Решения Lakhmir Singh
  Решения Lakhmir Singh Class 9
  Решения Lakhmir Singh Class 10
  Решения Lakhmir Singh Class 8
  Примечания
  CBSE
  Notes
  CBSE Класс 7 Примечания CBSE
  Класс 8 Примечания CBSE
  Класс 9 Примечания CBSE
  Класс 10 Примечания CBSE
  Класс 11 Примечания CBSE
  Класс 12 Примечания CBSE
  Примечания пересмотра
  CBSE Редакция
  CBSE
  CBSE Class 10 Примечания к пересмотру
  CBSE Class 11 Примечания к пересмотру 9000 4
  Замечания по пересмотру CBSE класса 12
  Дополнительные вопросы CBSE
  Дополнительные вопросы CBSE 8 класса
  Дополнительные вопросы CBSE 8 по естественным наукам
  CBSE 9 класса Дополнительные вопросы
  CBSE 9 дополнительных вопросов по науке CBSE
  9000 Класс 10 Дополнительные вопросы по математике
  CBSE Класс 10 Дополнительные вопросы по науке
  Класс CBSE
  Класс 3
  Класс 4
  Класс 5
  Класс 6
  Класс 7
  Класс 8
  Класс 9
  Класс 10
  Класс 11
  Класс 12
  Решения для учебников
- Решения NCERT
  Решения NCERT для класса 11
  Решения NCERT для физики класса 11
  Решения NCERT для класса 11 Химия
  Решения для класса 11 Биология
  NCERT Решения для класса 11 Математика
  9 0003 NCERT Solutions Class 11 Бухгалтерия
  NCERT Solutions Class 11 Бизнес исследования
  NCERT Solutions Class 11 Экономика
  NCERT Solutions Class 11 Статистика
  NCERT Solutions Class 11 Коммерция
  NCERT Solutions для класса 12
  NCERT Solutions для Класс 12 Физика
  Решения NCERT для 12 класса Химия
  Решения NCERT для 12 класса Биология
  Решения NCERT для 12 класса Математика
  Решения NCERT Класс 12 Бухгалтерский учет
  Решения NCERT Класс 12 Бизнес исследования
  Решения NCERT Класс 12 Экономика
  NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 1
  NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 2
  NCERT Solutions Class 12 Микроэкономика
  NCERT Solutions Class 12 Коммерция
  NCERT Solutions Class 12 Макроэкономика
  NCERT Solutions Для Класс 4
  Решения NCERT для математики класса 4
  Решения NCERT для класса 4 EVS
  Решения NCERT для класса 5
  Решения NCERT для математики класса 5
  Решения NCERT для класса 5 EVS
  Решения NCERT для класса 6
  Решения NCERT для класса 6 Maths
  Решения NCERT для класса 6 Science
  Решения NCERT для класса 6 Общественные науки
  Решения NCERT для класса 6 Английский
  Решения NCERT для класса 7
  Решения NCERT для класса 7 Математика
  Решения NCERT для 7 класса Science
  Решения NCERT для 7 класса Общественные науки
  Решения NCERT для 7 класса Английский
  Решения NCERT для 8 класса Математические решения
  для 8 класса Математика
  Решения NCERT для класса 8 Science
  Решения NCERT для класса 8 Общественные науки
  NCERT Solutio ns для класса 8 Английский
  Решения NCERT для класса 9
  Решения NCERT для класса 9 Общественные науки
  Решения NCERT для класса 9 Математика
  Решения NCERT для класса 9 Математика Глава 1
  Решения NCERT Для класса 9 Математика 9 класса Глава 2
  Решения NCERT для математики 9 класса Глава 3
  Решения NCERT для математики 9 класса Глава 4
  Решения NCERT для математики 9 класса Глава 5
  Решения NCERT для математики 9 класса Глава 6
  Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 7
  Решения NCERT для математики 9 класса Глава 8
  Решения NCERT для математики 9 класса Глава 9
  Решения NCERT для математики 9 класса Глава 10
  Решения NCERT для математики 9 класса Глава 11
  Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 12
  Решения NCERT для математики 9 класса Глава 13
  Решения NCERT для математики 9 класса Глава 14
  Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
  Решения NCERT для науки 9 класса
  Решения NCERT для науки 9 класса Глава 1
  Решения NCERT для науки 9 класса Глава 2
  Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
  Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 4
  Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 5
  Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 6
  Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 7
  Решения NCERT для 9 класса Научная глава 8
  Решения NCERT для 9 класса Научная глава
  Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 10
  Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 12
  Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 11
  Решения NCERT для 9 класса Научная глава 13
  Решения NCERT для 9 класса Научная глава 14
  Решения NCERT для класса 9 Science Глава 15
  Решения NCERT для класса 10
  Решения NCERT для класса 10 Общественные науки
  Решения NCERT для математики класса 10
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
  решения NCERT для математики класса 10 глава 3
  решения NCERT для математики класса 10 глава 4
  решения NCERT для математики класса 10 глава 5
  решения NCERT для математики класса 10 глава 6
  решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
  решения NCERT для математики класса 10 глава 8
  решения NCERT для математики класса 10 глава 9
  решения NCERT для математики класса 10 глава 10
  решения NCERT для математики класса 10 глава 11
  решения NCERT для математики класса 10, глава 12
  Решения NCERT для математики класса 10, глава 13
  соль NCERT Решения для математики класса 10 Глава 14
  Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15
  Решения NCERT для науки 10 класса
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 1
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 2
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 3
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 4
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 5
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 6
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 7
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 8
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 9
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 10
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 11
  Решения NCERT для науки 10 класса, глава 12
  Решения NCERT для 10 класса Science Глава 9
  Решения NCERT для 10 класса Science Глава 14
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 15
  Решения NCERT для науки 10 класса Глава 16
  Программа NCERT
  NCERT
- Коммерция
  Класс 11 Коммерческая программа Syllabus
  Класс 11 бизнес-дисциплин Syllabus
  Класс 11 Экономика Syllabus
- Класс 12 коммерческий учебный план
  Класс 12 Бухгалтерский учебный план
  класс 12 бизнес-исследований S

18 ,
математика — самая быстрая реализация синуса, косинуса и квадратного корня в C ++ (не нужно быть очень точным) Переполнение стека
Товары
Клиенты
Случаи использования
Переполнение стека Публичные вопросы и ответы
Команды Частные вопросы и ответы для вашей команды
предприятие Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
Талант Нанимать технический талант
реклама Связаться с разработчиками по всему миру
.
Площадь Площади | Что такое площадь квадратной формулы?
Классы
Класс 1 — 3
Класс 4 — 5
Класс 6 — 10
Класс 11 — 12
КОНКУРСЫ
BBS
000000000 Книги
NCERT Книги для 5 класса
NCERT Книги Класс 6
NCERT Книги для 7 класса
NCERT Книги для 8 класса
NCERT Книги для 9 класса
NCERT Книги для 10 класса
NCERT Книги для 11 класса
NCERT Книги для 12-го класса
NCERT Exemplar
NCERT Exemplar Class 8
NCERT Exemplar Class 9
NCERT Exemplar Class 10
NCERT Exemplar Class 11
NCERT Exemplar Class 12
9000al Aggar Agaris Agard Agard Agard Agard Agard 2000 12000000
Решения RS Aggarwal класса 10
Решения RS Aggarwal класса 11
Решения RS Aggarwal класса 10
90 003 Решения RS Aggarwal класса 9
Решения RS Aggarwal класса 8
Решения RS Aggarwal класса 7
Решения RS Aggarwal класса 6
Решения RD Sharma
Решения класса RD Sharma
Решения класса 9 Шарма 7 Решения RD Sharma Class 8
Решения RD Sharma Class 9
Решения RD Sharma Class 10
Решения RD Sharma Class 11
Решения RD Sharma Class 12
ФИЗИКА
Механика
000000 Электромагнетизм
ХИМИЯ
Органическая химия
Неорганическая химия
Периодическая таблица
МАТС
Теорема Пифагора
Отношения и функции
Последовательности и серии
Таблицы умножения
Детерминанты и матрицы
Прибыль и убыток
Полиномиальные уравнения
Делительные дроби
000 ФОРМУЛЫ
Математические формулы
Алгебровые формулы
Тригонометрические формулы
Геометрические формулы
КАЛЬКУЛЯТОРЫ
Математические калькуляторы
S000
S0003
Pегипс Класс 6
Образцы документов CBSE для класса 7
Образцы документов CBSE для класса 8
Образцы документов CBSE для класса 9
Образцы документов CBSE для класса 10
Образцы документов CBSE для класса 11
Образец образца CBSE pers for Class 12
CBSE Документ с вопросами о предыдущем году
CBSE Документы за предыдущий год Class 10
CBSE Вопросы за предыдущий год Class 12
HC Verma Solutions
HC Verma Solutions Класс 11 Физика
Решения HC Verma Class 12 Physics
Решения Lakhmir Singh
Решения Lakhmir Singh Class 9
Решения Lakhmir Singh Class 10
Решения Lakhmir Singh Class 8
Примечания
CBSE
Notes
CBSE Класс 7 Примечания CBSE
Класс 8 Примечания CBSE
Класс 9 Примечания CBSE
Класс 10 Примечания CBSE
Класс 11 Примечания CBSE
Класс 12 Примечания CBSE
Примечания пересмотра
CBSE Редакция
CBSE
CBSE Class 10 Примечания к пересмотру
CBSE Class 11 Примечания к пересмотру 9000 4
Замечания по пересмотру класса CBSE 12
Дополнительные вопросы по CBSE
Дополнительные вопросы по CBSE 8 класса
Дополнительные вопросы по CBSE 8 по естествознанию
CBSE 9 Дополнительные вопросы по математике
CBSE 9 по дополнительным вопросам по науке CBSE
9000 Класс 10 Дополнительные вопросы по математике
CBSE Класс 10 Дополнительные вопросы по науке
Класс CBSE
Класс 3
Класс 4
Класс 5
Класс 6
Класс 7
Класс 8
,
No related posts.

Косинус квадрат и синус квадрат

Косинус в квадрате, синус в квадрате

квадрат, куб, в 4 степени

Формулы квадратов

Формулы кубов

Формулы функций в 4-ой степени

Список всех тригонометрических формул понижения степени

Для квадрата

Для куба

Для 4-й степени

Для функций половинного угла

Для произведения синус на косинус

Доказательство

Общий вид формул понижения степени

Примеры решения задач с применением формул понижения степени

Квадрат — синус

Таблица квадратов

Таблица квадратов

Теория

Скачать таблицу квадратов

Косинус в квадрате, формула и примеры

Примеры решения задач

Синусоидальная функция — исчисление

Определение

Ключевые данные

Персоны

График

Дифференциация

Первая производная

Вторая производная

График функции с производной

точек и интервалов интереса

Критические очки

Интервалы увеличения и уменьшения

Местные экстремальные значения

Интервалы вогнутой вверх и вогнутой вниз

точек перегиба

Интеграция

Первый антидериватив

Использование формулы косинуса двойного угла

Использование интеграции по частям

График функции с антидеривативным

Определенные интегралы

Преобразованные версии

Высшее антипроизводное

Силовая серия и серия Тейлор

Вычисление степенных рядов

полиномов Тейлора как приближения

Предельные вычисления

Ноль порядка

Пределы высшего порядка

диагоналей, отношений и свойств квадрата

Добавить комментарий Отменить ответ