Формула муавра примеры решения: Комплексные числа, примеры с решением

Содержание

Возведение комплексного числа в натуральную степень: формула Муавра, примеры

Содержание:

Возведение комплексного числа в степень
Возведение в степень в показательной и тригонометрической форме, формула Муавра
Примеры решения задач

Содержание

Возведение комплексного числа в степень
Возведение в степень в показательной и тригонометрической форме, формула Муавра
Примеры решения задач

Возведение комплексного числа в степень

С началом учебы школьникам предстоит, помимо других предметов, осваивать принципы, закономерности, положения и теории математики. {2} =-1\).

Итог умножения пары чисел, являющихся комплексными, например, $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$, представляет собой комплексное число, полученное по итогам следующих вычислений: $z_{1} \cdot z_{2} =r_{1} \cdot r_{2} \cdot \cos (\varphi _{1} +\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} +\varphi _{2} )$

Примечание 1

Интерес представляет история введения в обиход комплексного числа. Изначально мысль о том, что требуется использовать такие числа, зародилась в процессе формализованного поиска ответов на уравнения с неизвестными в третьей степени. При этом в выражении Кардано образовывалось число со знаком минуса, заключенное под знак квадратного корня. Огромное значение для изучения комплексных чисел имеют труды Эйлера, Декарта и Гаусса. К примеру, известный научный деятель в области математики, Эйлер обозначил мнимую единицу за i. Непосредственно понятие комплексного числа было зафиксировано в 1831 году.

{n} \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\)

В действительности формулу Муавра несложно получить путем последовательных преобразований. К примеру, можно самостоятельно умножить рассматриваемое комплексное число $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ на идентичное комплексное число в течение такого количества раз, которое равно n.

Исходя из закономерности Муавра, допустимо сделать вывод о том, что при возведении какого-то комплексного числа в целую степень со знаком плюс, требуется модуль этого числа возвести в заданную степень, а аргумент, принадлежащий рассматриваемому комплексному числу, умножить на степенной показатель.

Не все задания можно решить одним простым действием. Встречаются задачи, где показателем степени, в которую возводят комплексное число, является большим числом. Тогда не нужно тратить время и силы на бесконечные операции умножения этого числа на само себя. Целесообразно упростить решение путем поэтапного выполнения следующего алгоритма:

записать алгебраическое комплексное число в тригонометрическом формате;
выполнить возведение в степень полученного числа, руководствуясь соотношением Муавра;
если это потребуется, выполнить обратное действие и записать полученный результат в алгебраической форме.

Примечание 2

Комплексные числа, а также функции с ними, характеризуются особыми возможностями. С помощью специальных свойств таких чисел можно значительно упростить и повысить качество решений математических, физических и технических задач. К примеру, таким способом обрабатывают сигналы, находят ответы к задачам по теории управления, колебательных движений, электрическом магнетизме. При составлении карт и в гидродинамической предметной области активно применяют трансформации комплексной плоскости. Система, состоящая из комплексных чисел, лежит в основе квантовой механики. Эти знания позволяют сформировать понимание современного физического мира.

Исходя из полученной информации, можно с легкостью решать примеры на представлении комплексных чисел в той или иной степени. При этом не нужно множество раз умножать такое число само на себя. Достаточно внимательно изучить предложенное выражение и применить полученные знания на практике.

С другой стороны, имеется несколько способов возведения в степень разных чисел. В качестве примера можно привести бинарное возведение в степень. В таком случае в процессе вычислений используют специальную формулу, сокращающую количество раз, в течение которых требуется выполнить умножение числа само на себя.

Примеры решения задач

В процессе решения примеров с комплексными числами, которые требуется представить в виде той или иной степени, необходимо руководствоваться стандартным алгоритмом действий. Начинать расчеты следует с определения вида уравнения. Поняв, какие действия нужно выполнить, можно вспомнить полезную формулу. Далее остается лишь применить закономерность, либо преобразовать выражение в подходящий формат. Не следует забывать о таком важном условии, как область допустимых значений. Подобная проверка позволит исключить посторонние корни.

Задача 1

Дано комплексное число, которое требуется возвести во вторую степень: $z = \sqrt{2}e^{\frac{\pi}{2}i}$

Решение

Воспользуемся уже известной формулой, чтобы представить во второй степени модуль и экспоненту. {3} \cdot (1+2\cdot i)=-11-2i-22i+4=-7-24i\)

Ответ: $-3+4i , -11-2i, -7-24i.$

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Поиск по содержимому

Страница не найдена — ПриМат

По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.

Искать:

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2),

Что такое Что такое формула де Муавра? Примеры

Формула Муавра (или) теорема Муавра относится к комплексным числам. Мы можем расширить мощность комплексного числа точно так же, как мы расширим мощность любого двучлена. Но формула де Муавра значительно упрощает процесс нахождения степени комплексного числа. Чтобы применить формулу де Муавра, комплексное число сначала необходимо преобразовать в полярную форму. Давайте узнаем больше об этой формуле в следующих разделах.

9{2}(\cos 2 \theta+i \sin 2 \theta) \end{align}\)

Точно так же мы можем видеть, что (r (cos θ + i sin θ)) ³ = r ³ (cos 3θ + i sin 3θ), расширив его вручную. Это основная идея формулы де Муавра. Если комплексное число (в полярной форме) r (cos θ + i sin θ) возводится в некоторую степень n (где n — целое число), то модуль результата равен r ⁿ, а аргумент результат nθ. Таким образом, формула де Муавра:

(r (cos θ + i sin θ)) ⁿ = r ⁿ (cos nθ + i sin nθ), где n ∈ Z

Доказательство формулы Муавра

Докажем теорему Муавра по принципу математической индукции.

Предположим, что S(n) : (r (cos θ + i sin θ)) ⁿ = r ⁿ (cos nθ + i sin nθ).

Шаг 1: Чтобы доказать S(n) для n = 1. r ¹ (cos (1)θ + i sin (1)θ) = r (cos θ + i sin θ)

Таким образом, S(n) истинно для n = 1.

Шаг 2: Предположим, что S(n) истинно для некоторого натурального числа n = k. Тогда

(r (cos θ + i sin θ)) ^k = r ^k (cos kθ + i sin kθ)

Шаг 3: Чтобы доказать S(n) для n = k + 1.

LHS = (r (cos θ + i sin θ)) ^{k + 1}

= (r (cos θ + i sin θ)) ^k • (r (cos θ + i sin θ))

= r ^k (cos kθ + i sin kθ) • (r (cos θ + i sin θ)) (по шагу 2)

= r ^{k + 1} [(cos kθ cos θ — sin kθ sin θ) + i (cos kθ sin θ + sin kθ cos θ)]

= r ^{k + 1} [ cos (kθ + θ ) + i sin (kθ + θ) ]

= r ^{k + 1} [ cos (k + 1)θ + i sin (k + 1)θ ]

= RHS

Итак, S(n) верно для n = k + 1.

Таким образом, по принципу математической индукции S(n) истинно для всех значений n.

Мы знаем, что cos θ + i sin θ можно записать как cis θ. Таким образом, формулу де Муавра также можно записать в виде:

(r цис θ) ⁿ = r ⁿ цис nθ, где n ∈ Z

Давайте посмотрим на несколько решенных примеров, чтобы лучше понять формулу де Муавра.

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Запись на бесплатный пробный урок

Решенные примеры с использованием формулы Де Муавра

Пример 1: Найдите значение (1 — √3 i) ⁵ по формуле Муавра.

Решение:

Пусть z = 1 — √3 i = a + ib.

Его модуль равен r = √(a ² + b ² ) = √(1+3) = 2.

α = tan ^-1 |b/a| = тангенс ^-1 √3 = π/3.

Поскольку a > 0 и b < 0, θ находится в четвертом ^-м-м квадранте. Итак,

θ = 2π — π/3 = 5π/3

Таким образом, z = r (cos θ + i sin θ) = 2 (cos 5π/3 + i sin 5π/3)

По формуле де Муавра + i sin 25π/3)

= 32 (1/2 + √3/2 i)

= 16 + 16 √3 i

Ответ: (1 — √3 i) ⁵ = 16 + 16 √3 я.

Пример 2: Найдите кубический корень из единицы по формуле Муавра.

Решение:

Нам нужно найти $\sqrt[3]1$.

1 в полярной форме равно 1 = 1 (cos 0 + i sin 0) = cos 2nπ + i sin 2nπ.

Здесь n = 0, 1, 2 (Мы взяли 3 числа, потому что нам нужно найти кубические корни).

$\sqrt[3]1$ = 1 ^1/3

= (cos 2nπ + i sin 2nπ) ^1/3

= cos 2nπ/3 + i sin 2nπ/3 (By формула де Муавра)

Когда n = 0, $\sqrt[3]1$ = cos 0 + i sin 0 = 1.

Когда n = 1, $\sqrt[3]1$ = cos cos 2π/3 + i sin 2π/3 = -1/2 + (√3/2) i.

Когда n = 2, $\sqrt[3]1$ = cos cos 4π/3 + i sin 4π/3 = -1/2 — (√3/2) i.

Ответ: $\sqrt[3]1$ = 1, -1/2 + (√3/2) i и -1/2 — (√3/2) i.

Теорема де Муавра – формулы, объяснение и примеры

Теорема де Муавра является важной теоремой при работе с комплексными числами. Эта теорема может помочь нам легко найти степени и корни комплексных чисел в полярной форме, поэтому мы должны изучить теорему де Муавра.

Теорема Муавра утверждает, что степень комплексного числа в полярной форме равна возведению модуля в ту же степень и умножению аргумента на ту же степень. Эта теорема помогает нам легко находить степени и корни комплексных чисел.

Эта закономерность была впервые обнаружена французским математиком Абрахамом де Муавром (1667–1754) и использовалась для нахождения степеней, корней и даже для решения уравнений с комплексными числами.

Прежде чем мы углубимся в теорему Муавра, убедитесь, что мы освежили наши знания о комплексных числах и полярных формах комплексных чисел.

Обязательно проверьте свои знания о комплексных числах и их тригонометрических формах.
Также важно рассмотреть, как мы преобразуем прямоугольные формы в полярные формы и наоборот.
Для доказательства теоремы Муавра овладейте знаниями о сложении, умножении, вычитании и делении комплексных чисел.

В этой статье мы узнаем о теореме Муавра, узнаем, как мы можем ее применять, и оценим ее полезность при работе с комплексными числами.

Мы также предоставим специальный раздел для доказательства теоремы для любознательных умов и тех, кто хочет узнать, как была установлена теорема.

9n (\cos n\theta + i\sin n\theta)$

Это означает, что для возведения $z = r (\cos \theta + i\sin \theta)$ в степень $n$ мы просто :

Возведите модуль $r$ в степень $n$.
Умножьте значение $\theta$ в скобках на $n$.

Кроме того, мы можем найти корни комплексных чисел, используя теорему Муавра.

$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left( \cos \dfrac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin \dfrac{ \theta + 2 \pi k}{n}\right) $.

Из формулы видно, что мы можем найти $n$-й корень из $z$ следующим образом:

Взяв $n$-й корень из модуля, $r$.
Разделите значение угла на $n$.
Повторите процесс, увеличив угол на $2\pi k$, где $k = 1, 2, …n-1$.
Перед остановкой убедитесь, что у вас есть $n$ комплексных чисел.

В следующем разделе вы увидите, насколько полезно знать эти две формулы при нахождении степеней, корней и даже при решении уравнений, включающих сложную систему.

Как пользоваться теоремой Муавра?

Теперь, когда мы знаем две основные формулы, полученные из теоремы Муавра. Давайте рассмотрим общие проблемы, связанные с комплексными числами, которые мы могли бы использовать с этими тождествами.

Мы можем легко возвести любое комплексное число (в прямоугольной или полярной форме) в $n$-ю степень, используя теорему Муавра. Получив комплексное число в прямоугольной форме, обязательно сначала преобразуйте его в полярную форму.

Точно так же мы можем найти $n$-й корень комплексных чисел. 94$ равно $4(\cos\pi + i\sin\pi)$ или $-4$.

Мы также можем найти кубический корень из $(1 + i) $, используя полярную форму $1 + i$.

$\begin{выровнено}\sqrt[3]{1 + i} &= \sqrt[3]{\sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi} {4}+ i\sin \ dfrac{\pi}{4}\right)} \end{aligned}$

Поскольку мы ищем кубический корень, мы используем $k = \{0, 1, 2\}$ в формуле , $ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left( \cos \dfrac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin \dfrac{ \theta + 2\ pi k}{n}\right) $.

9{\frac{1}{6}} \\&= \sqrt[6]{6}\end{aligned}$

Почему бы нам не начать с $k = 0$?

$\begin{align}\sqrt[3]{\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)} & = \ sqrt [3] {\ sqrt {2}} \ left ( \ cos \ dfrac {\ dfrac {\ pi} {4} + 2 \ pi (0)} {3} + i \ sin \ dfrac { \ dfrac{\pi}{4} + 2\pi(0)}{3}\right) \\&=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \left(\cos \dfrac{\pi}{ 12} + i\sin \dfrac{\pi}{12} \right )\\&=\sqrt[6]{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{12} + i\sin \dfrac {\pi}{12} \right )\end{align}$

Применим то же самое при вычислении двух оставшихся корней, когда $k = 1$ и $k = 2$.

$\boldsymbol{k}$	$\boldsymbol{\sqrt[3]{1 + i}}$
$k = 1$	$\begin{align}\sqrt[ 3] {\ sqrt {2} \ left (\ cos \ dfrac {\ pi} {4} + i \ sin \ dfrac {\ pi} {4} \ right)} & = \ sqrt [3] {\ sqrt { 2}}\left( \cos \dfrac{\dfrac{\pi}{4} + 2\pi (1)}{3} + i\sin \dfrac{ \dfrac{\pi}{4} + 2\ pi (1) {3} \ right) \\ & = \ sqrt [3] {\ sqrt {2}} \ left (\ cos \ dfrac {3 \ pi} {4} + i \ sin \ dfrac {3 \pi}{4} \right )\\&=\sqrt[6]{2}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + i\sin \dfrac{3\pi}{4} \right )\end{выровнено}$
$ k = 2 $	$ \ begin {align} \ sqrt [3] {\ sqrt {2} \ left (\ cos \ dfrac {\ pi} {4} + i \ sin \ dfrac {\ pi}{4}\right)}&= \sqrt[3]{\sqrt{2}}\left( \cos \dfrac{\dfrac{\pi}{4} + 2\pi (2)}{3 } + i\sin \dfrac{ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi(2)} {3}\right) \\&=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \left( \cos \dfrac{17\pi}{12} + i\sin \dfrac{17\pi}{12} \right )\\&=\sqrt[6]{2}\left(\cos \dfrac{17 \pi}{12} + i\sin \dfrac{17\pi}{12} \right )\end{aligned}$

Мы только что показали вам, как можно применить теорему де Муавра для нахождения сложных Сила чисел и корни. Не волнуйся. Мы приготовили для вас больше примеров!

Вы когда-нибудь задумывались, как мы можем подтвердить справедливость теоремы Муавра? Ознакомьтесь с разделом ниже, чтобы понять, как мы можем доказать эти формулы. Это также может помочь вам освоить две формулы, если вы знаете, как они были установлены.

Если вы хотите сразу приступить к решению других задач, связанных с теоремой Муавра, вы можете пропустить следующий раздел и начать с четырех приведенных нами примеров.

Доказательство теоремы Муавра

Мы можем доказать теорему Муавра, используя математическую индукцию. Давайте сначала вспомним процесс доказательства теоремы с помощью математической индукции. 92 \sin n\theta \sin \theta \\&=\cos n\theta \cos \theta + i \cos n\theta \sin \theta + i \sin n\theta \cos \theta – \sin n\ тета \ грех \ тета \\ & = \ соз п \ тета \ соз \ тета — \ грех п \ тета \ грех \ тета + я \ грех п \ тета \ соз \ тета + я \ соз п \ тета \ грех \ тета \\&=(\cos n\theta \cos \theta – \sin n\theta \sin \theta )+ i (\sin n \theta \cos \theta + \cos n\theta \sin \theta) \end {aligned}$

Перепишите сгруппированные члены, используя формулу суммы для косинуса и синуса. {n + 1} &=\cos (n\theta + \theta) + i \sin (n\theta + \theta) \\&= \cos (n+1)\theta + i\sin (n + 1)\theta\end{align}$ 9{12}$ в прямоугольной форме равен 4096$.

Пример 2

Найдите все комплексные кубические корни из $27$.

Решение

Мы можем выразить $27$ как комплексное число в прямоугольной форме: $27 = 27 + 0i$. Затем мы можем преобразовать $27 + 0i$ в полярную форму. Ожидается, что он будет лежать на положительной части действительной оси (или когда $\theta = 0). Мы все еще можем подтвердить это, используя традиционный подход:

$\boldsymbol{r}$ 9{-1} \dfrac{0}{27}\\&= 0 \end{aligned}$

$27 (\cos 0 + i \sin 0)$

Чтобы найти три комплексных корня $ \sqrt[3] 27$, воспользуемся формулой для $n$-го корня $r(\cos \theta + i\sin \theta)$, $ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n ]{r}\left( \cos \dfrac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin \dfrac{ \theta + 2\pi k}{n}\right) $.

Для $\sqrt[3] 27 = \sqrt[3]{27 (\cos 0 + i \sin 0)} $ мы будем использовать $n = 3$ и $k = \{0, 1, 2\}$.

$\boldsymbol{k}$	$\boldsymbol{\sqrt[3]{27 (\cos 0 + i \sin 0)} }$
$k = 0$	$\begin{aligned}\sqrt[3] {27 (\cos 0+ \sin 0)} &= \sqrt[3]{27} \left(\cos \dfrac{0 + 2\pi(0)}{3} + i\sin \dfrac{0 + 2 \pi (0)}{3} \right)\\&= 3 (\cos 0 + i \sin 0)\\&= 3(1 + 0)\\&= 3\end{выровнено}$
$k = 1$	$\begin{aligned}\sqrt[3] {27(\cos 0 + \sin 0)} &= \sqrt[3]{27} \left(\cos \dfrac{ 0 + 2\pi(1)}{3} + i\sin \dfrac{0 + 2\pi(1)}{3} \right)\\&= 3 \left(\cos \dfrac{2\pi {3}+ i \sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\\&= 3\left(-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{ 2}\right)\\&= -\dfrac{3}{2} + i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
$k = 2$	$\begin{aligned}\sqrt[3] {27(\cos 0 + \sin 0)} &= \sqrt[3]{27} \left(\cos \ dfrac{0 + 2\pi(2)}{3} + i\sin \dfrac{0 + 2\pi(2)}{3} \right)\\&= 3 \left(\cos \dfrac{4 \pi}{3}+ i \sin \dfrac{4\pi}{3} \right)\\&= 3\left(-\dfrac{1}{2} — i\dfrac{\sqrt{3} }{2}\right)\\&= -\dfrac{3}{2} – i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$

В прошлом мы знаем только, что кубический корень из $27$ равен $3$, но с нашими знаниями о комплексных числах и теореме Муавра мы можем найти два оставшихся корня! 9{-1} \dfrac{\sqrt{3}}{1}\\&= \dfrac{\pi}{3}\end{align}$ $2 \left(\cos \dfrac{\pi}{ 3} + i \sin \dfrac{\pi}{3}\right)$

Найдем кубический корень по формуле $ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r }\left( \cos \dfrac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin \dfrac{ \theta + 2\pi k }{n}\right) $, где $n = 3$ и $k = \{0, 1, 2\}$.