Формула понижения степени sin: Формулы понижения степени — урок. Алгебра, 10 класс.

alexxlab / / Разное

Содержание

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы
  

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.— 416 с.

В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике.



Оглавление

СЛОВО К УЧАЩИМСЯ
ГЛАВА I. ЧИСЛА
§ 1. Натуральные числа
2. Арифметические действия над натуральными числами.
3. Деление с остатком.
4. Признаки делимости.
5. Разложение натурального числа на простые множители.
6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел.
7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел.

8. Употребление букв в алгебре. Переменные.
§ 2. Рациональные числа
10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
11. Приведение дробей к общему знаменателю.
12. Арифметические действия над обыкновенными дробями.
13. Десятичные дроби.
14. Арифметические действия над десятичными дробями.
15. Проценты.
16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь.
17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.
18. Координатная прямая.
19. Множество рациональных чисел.
§ 3. Действительные числа
21. Действительные числа. Числовая прямая.
22 Обозначения некоторых числовых множеств.
23. Сравнение действительных чисел.
25. Числовые промежутки.
26. Модуль действительного числа.
27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой.
28. Правила действий над действительными числами.
29. Свойства арифметических действий над действительными числами.

30. Пропорции.
31. Целая часть числа. Дробная часть числа.
32. Степень с натуральным показателем.
33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем.
34. Стандартный вид положительного действительного числа.
35. Определение арифметического корня.
36. Корень нечетной степени из отрицательного числа.
37. Степень с дробным показателем.
38. Свойства степеней с рациональными показателями.
39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности.
40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку.
41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа.
42. Понятие о степени с иррациональным показателем.
43. Свойства степеней с действительными показателями.
§ 4. Комплексные числа
45. Арифметические операции над комплексными числами.
46. Алгебраическая форма комплексного числа.
47. Отыскание комплексных корней уравнений.
ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
49. 3.
112. Построение графика функции y = f(x-m)+n
113. График квадратичной функции.
114. Способы построения графика квадратичной функции
115. Построение графика функции y = f(kx).
116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций.
117. График гармонического колебания
ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма
119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию.
120. Свойства логарифмов.
121. Переход к новому основанию логарифма.
122. Логарифмирование и потенцирование.
123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма.
§ 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений
125. Формулы сложения и вычитания аргументов.
126. Формулы приведения.
127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
128. Формулы двойного угла.
129. Формулы понижения степени.
130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.
132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a).
133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.
ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§ 14. Уравнения с одной переменной
135. Равносильность уравнений.
136. Линейные уравнения.
137. Квадратные уравнения.
138. Неполные квадратные уравнения.
139. Теорема Виета.
140. Системы и совокупности уравнений.
141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни.
143. Уравнения с переменной в знаменателе.
144. Область определения уравнения.
145. Рациональные уравнения.
146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители.
147. Решение уравнений методом введения новой переменной.
148. Биквадратные уравнения.
149. Решение задач с помощью составления уравнений.
150. Иррациональные уравнения.
151. Показательные уравнения.
152. Логарифмические уравнения.
153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений.
154. Простейшие тригонометрические уравнения.
155. Методы решения тригонометрических уравнений.
156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений).
157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений).
158. Графическое решение уравнений.
159. Уравнения с параметром.
§ 15. Уравнения с двумя переменными
161. График уравнения с двумя переменными.
162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
§ 16. Системы уравнений
164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.
165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения.
167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными.
168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления.
170. Системы показательных и логарифмических уравнений.
171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными.
172. Системы трех уравнений с тремя переменными.
173. Решение задач с помощью составления систем уравнений.
Глава VI. НЕРАВЕНСТВА
§ 17. Решение неравенств с переменной
175. Графическое решение неравенств с одной переменной.
176. Линейные неравенства с одной переменной.
177. Системы неравенств с одной переменной.
178. Совокупность неравенств с одной переменной.
179. Дробно-линейные неравенства.
180. Неравенства второй степени.
181. Графическое решение неравенств второй степени.
182. Неравенства с модулями.
183. Решение рациональных неравенств методом промежутков.
184. Показательные неравенства.
185. Логарифмические неравенства.
186. Иррациональные неравенства.
187. Решение тригонометрических неравенств.
188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.
§ 18. Доказательство неравенств
190. Синтетический метод доказательства неравенств.
191. Доказательство неравенств методом от противного.
192. Использование неравенств при решении уравнений.
ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
§ 19. Числовые последовательности
194. Способы задания последовательности.
195. Возрастание и убывание последовательности.
196. Определение арифметической прогрессии.
197. Свойства арифметической прогрессии
198. Определение геометрической прогрессии.
199. Свойства геометрической прогрессии.
200. Понятие о пределе последовательности.
201. Вычисление пределов последовательностей.
202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции
204. Вычисление пределов функции при х->оо.
205. Предел функции в точке. Непрерывные функции.
206. Вертикальная асимптота.
207. Вычисление пределов функций в точке.
§ 21. Производная и ее применения
209. Определение производной.
210. Формулы дифференцирования. Таблица производных.
211. Дифференцирование суммы, произведения, частного.
212. Сложная функция и ее дифференцирование.
213. Физический смысл производной.
214. Вторая производная и ее физический смысл.
215. Касательная к графику функции.
216. Применение производной к исследованию функций на монотонность.
217. Применение производной к исследованию функций на экстремум.
218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.
219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке.
220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин.
221. Применение производной для доказательства тождеств.
222. Применение производной для доказательства неравенств.
223. Общая схема построения графика функции.
§ 22. Первообразная и интеграл
225. Таблица первообразных.
226. Правила вычисления первообразных.
227. Интеграл.
228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница).
229. Правила вычисления интегралов.
230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур.
ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ
2. Точка. Прямая.
3. Определения. Аксиомы. Теоремы.
§ 2. Основные свойства простейших геометрических фигур
5. Луч.
6. Окружность. Круг.
7. Полуплоскость.
8. Угол. Градусная мера угла.
9. Смежные и вертикальные углы.
10. Центральные и вписанные углы.
11. Параллельные прямые.
12. Признаки параллельности прямых.
13. Перпендикулярные прямые.
14. Касательная к окружности.
15. Треугольники.
16. Равенство треугольников.
17. Равнобедренный треугольник.
18. Сумма углов треугольника.
19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника.
§ 3. Геометрические построения на плоскости
22. Простейшие задачи на построение.
23. Геометрическое место точек на плоскости.
§ 4. Четырехугольники
25. Параллелограмм.
26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат.
27. Трапеция.
§ 5. Многоугольники
29. Выпуклые многоугольники.
30. Правильные многоугольники.
31. Длина окружности.
§ 6. Решение треугольников
33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
34. Теорема косинусов. Теорема синусов.
35. Решение треугольников.
§ 7. Площади плоских фигур
37. Площади многоугольников.
38. Площади подобных фигур.
39. Площадь круга.
ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве
§ 9. Параллельность прямых и плоскостей
42. Параллельность прямой и плоскости.
43. Параллельные плоскости.
§ 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей
45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
46. Перпендикулярность плоскостей.
ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 11. Многогранники
48. Многогранные углы. Многогранники.
49. Призма. Параллелепипед. Куб.
50. Пираприда.
51. Правильные многогранники.
§ 12. Тела вращения
53. Конус.
54. Шар.
§ 13. Изображение пространственных фигур на плоскости
56. Ортогональное проектирование.
57. Геометрическое место точек в пространстве.
§ 14. Объемы тел
59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды.
60. Объем цилиндра и конуса.
61. Общая формула объемов тел вращения.
§ 15. Площади поверхностей тел
63. Понятие площади поверхности.
64. Площади поверхностей тел вращения.
ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
§ 16. Координаты на плоскости и в пространстве
66. Координаты середины отрезка.
§ 17. Уравнения фигур на плоскости
68. Пересечение двух окружностей.
69. Уравнение прямой.
70. Пересечение прямой и окружности.
§ 18. Уравнения фигур в пространстве
72. Уравнение сферы.
73. Взаимное расположение сферы и плоскости.
74. Пересечение двух сфер.
ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР
76. Понятие движения.
§ 20. Подобие фигур
78. Подобные фигуры.
ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ
80. Понятие вектора.
81. Координаты вектора.
§ 22. Операции над векторами
83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы.
84. Скалярное произведение векторов.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЯ

73 формулы тригонометрии

На странице вы найдете все формулы тригонометрии в удобном для использования оформлении. Формулы структурированы в блоки по количеству аргументов, степеням, арифметическим операциям над ними.

Содержание:
  1. Основные тригонометрические тождества
  2. Формулы двойного угла
  3. Формулы тройного угла
  4. Формулы понижения степени
    1. Вторая степень
    2. Третья степень
    3. Четвертая степень
    4. Пятая степень
  5. Формулы половинного угла
  6. Формулы понижения степени половинного угла
  7. Формулы сложения аргументов
  8. Формулы вычитания аргументов
  9. Формулы суммы
  10. Формулы разности
  11. Формулы произведения
  12. Формулы произведения в степени
  13. Все формулы на одном листе

Все формулы тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

\tg \alpha = \dfrac {\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \dfrac{1}{\ctg \alpha}

\ctg \alpha = \dfrac {\cos \alpha}{ \sin \alpha} = \dfrac{1}{\tg \alpha}

\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1

1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}

1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}

\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1

Формулы двойного угла (аргумента)

\sin(2\alpha)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha

\sin(2\alpha)=\dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{1+\ctg ^2 \alpha}=\dfrac{2}{\tg \alpha + \ctg \alpha}

\cos(2\alpha)=\cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha = 2 \cdot \cos ^2 \alpha- 1 = 1- 2 \cdot \sin ^2 \alpha

\cos(2\alpha)=\dfrac{1 -\tg ^2 \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{\ctg ^2 \alpha- 1}{\ctg ^2 \alpha +1}=\dfrac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\ctg \alpha + \tg \alpha}

\tg(2\alpha) = \dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1-\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{\ctg ^2 \alpha- 1}=\dfrac{2}{\ctg \alpha- \tg \alpha}

\ctg(2\alpha) = \dfrac{\ctg ^2 \alpha-1}{2 \cdot \ctg \alpha}=\dfrac{\ctg \alpha- \tg \alpha}{2}

Формулы тройного угла (аргумента)

\sin(3\alpha)=3 \cdot \sin \alpha- 4 \cdot \sin ^3 \alpha

\cos(3\alpha)= 4 \cdot \cos ^3 \alpha- 3 \cdot \cos \alpha

\tg(3\alpha)= \dfrac{3 \cdot \tg \alpha- \tg ^3 \alpha}{1-3 \cdot \tg ^2 \alpha}

\ctg(3\alpha)= \dfrac{\ctg ^3 \alpha- 3 \cdot \ctg \alpha}{3 \cdot \ctg ^2 \alpha -1}

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Вторая степень

\sin ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}

\cos ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2}

\tg ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}

\ctg ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)}

(\sin \alpha- \cos \alpha)^2=1-\sin(2 \alpha)

(\sin \alpha+ \cos \alpha)^2=1+\sin(2 \alpha)

Третья степень

\sin ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin(\alpha)-\sin(3 \alpha)}{4}

\cos ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos(\alpha)+\cos(3 \alpha)}{4}

\tg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}

\ctg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}

Четвёртая степень

\sin ^4 \alpha = \dfrac{3-4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8}

\cos ^4 \alpha = \dfrac{3+4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8}

Пятая степень

\sin ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \sin(\alpha)-5 \cdot \sin(3 \alpha)+\sin(5 \alpha)}{16}

\cos ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \cos(\alpha)+5 \cdot \cos(3 \alpha)+\cos(5 \alpha)}{16}

Формулы половинного угла (аргумента)

\sin \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}

\cos \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}

\tg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}

\ctg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}

Формулы понижения степени половинного угла (аргумента)

\sin ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{2}

\cos ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{2}

\tg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}

\ctg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}

Формулы сложения аргументов

\sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta

\cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta- \sin \alpha \cdot \sin \beta

\tg(\alpha + \beta)= \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta}

\ctg(\alpha + \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta-1}{\ctg \alpha + \ctg \beta}

Формулы вычитания аргументов

\sin(\alpha- \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta- \cos \alpha \cdot \sin \beta

\cos(\alpha- \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+ \sin \alpha \cdot \sin \beta

\tg(\alpha- \beta)= \dfrac{\tg \alpha- \tg \beta}{1+\tg \alpha \cdot \tg \beta}

\ctg(\alpha- \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta+1}{\ctg \alpha- \ctg \beta}

Формулы суммы тригонометрических функций

\sin \alpha+ \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)

\cos \alpha+ \cos \beta=2 \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)

\tg \alpha + \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}

\ctg \alpha + \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}

\sin (\alpha)+\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha+ \dfrac{\pi}{4} \Big)

Формулы разности тригонометрических функций

\sin \alpha- \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha+ \beta}{2} \big)

\cos \alpha- \cos \beta=-2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)

\tg \alpha- \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}

\ctg \alpha- \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}

\sin (\alpha)-\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha- \dfrac{\pi}{4} \Big)

Формулы произведения тригонометрических функций

\sin \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)-\cos(\alpha + \beta)}{2}

\sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\sin (\alpha- \beta)+\sin(\alpha + \beta)}{2}

\cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)+\cos(\alpha + \beta)}{2}

\tg \alpha \cdot \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{\ctg \alpha + \ctg \beta}

\ctg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\ctg \alpha + \ctg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta}

\tg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)+ \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+ \beta)- \sin(\alpha-\beta)}

Формулы произведения тригонометрических функций в степени

\sin ^2 (\alpha) \cdot \cos ^2 (\alpha) = \dfrac{1-\cos(4 \alpha)}{8}

\sin ^3 (\alpha) \cdot \cos ^3 (\alpha) = \dfrac{3 \cdot \sin(2 \alpha)- \sin(6 \alpha)}{32}

\sin ^4 (\alpha) \cdot \cos ^4 (\alpha) = \dfrac{3-4 \cdot \cos(4 \alpha)+ \cos(8 \alpha)}{128}

\sin ^5 (\alpha) \cdot \cos ^5 (\alpha) = \dfrac{10 \cdot \sin (2 \alpha)-5 \cdot \sin(6 \alpha)+\sin (10 \alpha)}{512}

Все формулы тригонометрии на одном листе

На этой картинке собраны все формулы тригонометрии для печати. Лист можно распечатать и использовать при решении задач ЕГЭ или вырезать таблицы и использовать как шпаргалку. Распечатанный лист можно применять как справочный материал при решении задач по тригонометрии в 10 и 11 классе.

Формула приведения – объяснение, часто используемые формулы приведения и примеры решений

Формула приведения считается важным методом интегрирования. Интегрирование по формулам приведения позволяет решать сложные задачи интегрирования. Его можно использовать для тригонометрических функций, мощности элементарных функций, произведения двух или более сложных функций и т. Д. Эти функции не могут быть легко интегрированы. Следовательно, для упрощения процесса интегрирования мы можем использовать некоторые формулы приведения для определения решения интегральных задач. Эти формулы приведения помогают нам минимизировать степень интегралов и формулировать интегралы за конечное число шагов.

Некоторые из часто используемых формул приведения для интегралов, включая общие функции, обсуждаются ниже.

Формулы приведения для тригонометрических функций

Здесь мы обсудим некоторые важные формулы приведения для тригонометрических функций.

  • ∫ Sinn(y) dy = -sinn-1 (y) cos (y)/n + n-1/n Sinn-2 (y) dy

  • ∫ yn Sinn(y) dy = — yncos (y) + n ∫ yn-1 cos (y) dy

  • ∫ yn Cos(y) dy = ynSin (y) — n ∫ yn-1 sin (y) dy

  • ∫ tann (y) dy = — tann-1 (y)/n-1 – ∫ tann-2 (y) dy

  • ∫ Sinn(y) dy Cosm(y) dy = sinn+1 (y) cosm-1(y)/n+m + m-1/n+m ∫ Sinn(y) Cosm-2(y)dy

Формула приведения экспоненциальной функции

  • ∫ yn emy dy = 1/mynemy –n/m yn-1 emydy

  • ∫ emy / yn dy = emy (n-1)yn-1 + m/n-1 ∫ emx/xn-1 y

  • ∫ dy / sinhny = -1/n sinhn-1 y ch y – (n-1/n) ∫ sh n-2 y dy

  • ∫ Sinhn y dy = -1/n Sin hn-1 ch y – n-1/n ∫ Sinhn-2 y dy

Формула приведения для алгебраических функций

  • ∫ yn / ayn + b yn / ayn y/a-b/a ∫ dy/ayn + b

  • ∫ dy (ay2 + by + C)n = — 2ay- b/ (n-1)(b2 – 4ac) (ay2 + by + C)n- 1 -2(2n-3)a/(n-1)(b2 – 4ac) ∫ dy/(ay2 + by + C)n-1 , n ≠ 1

  • ∫ dy/(y2-a2)n = x/2(n-1)a2(y2 – a2)n-1 – 2n-3/2(n-1)a2 ∫ dy(y2 – a2)n-1 , n ≠ 1

  • ∫ dy /(y2 + a2)n = x/2(n-1)a2(y2 – a2)n-1 + 2n-3/2(n-1)a2 ∫ dy(y2 – a2)n-1 , n ≠ 1 9{π/2} \] sin10 (x) cos (x) dx

    1. 1

    2. 0

    3. 13π/1098

    4. 21π/2048

  • 210012 21π/2048

    • 9007

    611

    21π/2048

    9007

    6611 210012 21 88

    9007

    6666611 210012 9000

    9007

    666666611 210012 21 88

    9007

    66666611 210012 21.

    1. Учитывая формулу приведения

    In = ∫ sin y dy = 1/n cos y sinn-1 y + n-1/n In-2

    Вычислить

    ∫ Sin4 y dy;

    Решение:

    Использование формулы приведения с n = 4 дает

    ∫ Sin4 y dy = -1/4 cos y sin3 y + ¾ I2

    Нам нужно рассчитать I2 = sin2 y dy с соответствует n= 2

    Используя интегральные уравнения, мы получаем,

    ∫ Sin2 y dy = y/2-1/2 sin y cos y + K все вместе дает

    ∫ Sin4 y dy

    = -¼ Cos y Sin3 y + ¾ [y/2 – 1/ sin y cos y + K]

    = -1/4 -¼ Cos y Sin3 y + 3/ 8y – cos y sin y + K’

    = 3/8 y -1/4 sin (2y) + 1/32 sin 4(y) + K’

    Примечание. Мы использовали значения K и K’ как значения констант на самом деле разные.

    2. Рассчитайте интеграл

    Y⁷ (8 + 3Y⁴) ⁸ DY

    Решение:

    U = 8 + 3Y⁴ ￫ DU = 12y³Dy ￫ Y³DY = 1/12 DU

    Давайте переписать целое число

    Рассчитайте интеграл.

    ∫ y7 (8 + 3y4)⁸ dy = ∫ y4y3 (8 + 3y4)8 dy = ∫ y4(8 + 3y4)y3dy

    Теперь рассмотрим, что мы можем преобразовать все y в подынтегральное выражение, за исключением y4, которое находится впереди. Мы можем считать из подстановки, что мы можем решить ее для y4, чтобы получить

    y4 = 1/3(u-8)

    Теперь сделаем подстановку и вычислим интеграл

    y7 (8 + 3y4) =1/12 1/3 (u-8)u8 du = 1/36 u9 – 8u8 du = 1/36 (1/10 u10 -8/9u9 + C

    = 1/36(1/10 (8 + 3Y4)10 — 8/9 (8 + 3y4)9) + C

    Интегрирование по формулам приведения — доказательства и рабочие примеры

    Интегрирование по формулам приведения

    Предположим, вам нужно ∫e x sin(x)dx.

    Используем интегрирование по частям для получения результата, только чтобы наткнуться на небольшую загвоздку:

    u = e x ; дв/дх = грех х
    Итак, du/dx = e x ; v = -cos х
    ∫e x sin(x)dx = -e x cos x + ∫ e x cos x dx 1
    Теперь нам нужно повторить процесс интегрирования для ∫ e x cos x dx, который выглядит следующим образом:
    и = е х ; dv/dx = cos x
    du/dx = e x ; v = грех х
    Итак, ∫ e x cos x dx = e x sin x — ∫ e x sin x dx 2
    Как видите, сейчас мы движемся к бесконечному циклу; следовательно, мы должны использовать другой подход.
    Сделаем ∫ e x cos x dx субъектом из обоих уравнений и приравняем их.
    Из 1 => ∫e x sin(x)dx + e x cos x = ∫ e x cos x dx 3
    Из 2 => ∫ e x cos x dx = e x sin x — ∫ e x sin x dx 4
    Поскольку 3 = 4 => ∫e x sin(x)dx + e x cos x = e x sin x — ∫ e x sin x dx
    2∫e x sin(x)dx = e x sin x — e x cos x
    ∫e x sin(x)dx = 1/2e x [sin x — cos x]
    Нам удается найти интеграл, но знак интегрирования все равно остается частью решения!

    Существует множество случаев, когда процесс интеграции не является ни простым, ни простым. Интегрирование по формулам приведения является одним из таких методов.

    Интегрирование по формулам приведения

    В этом методе мы постепенно уменьшаем мощность функции до тех пор, пока она не дойдет до стадии, когда ее можно будет интегрировать. Обычно это достигается методом интеграции по частям .

    ∫ [ln x] n dx

    Воспользуемся методом интегрирования по частям:
    u = [ln x] n => du/dx = n/x [ln x] n-1 ; dv/dx = 1 => v = x
    ∫ [ln x] n dx = x[ln x] n — n/x∫x[ln x] n-1
    = x[ln x] n — n∫[ln x] n-1
    Если ∫ [ln x] n dx = I n , то ∫[ln x] n-1 = I n-1
    Следовательно,
    I n = x [ln x] n — n I n-1

    Это формула приведения для интегрирования [ln x] n по x. На данном этапе это не дает никакого результата; поэтому. посмотрим, как это работает на самом деле.

    Предположим, вы хотите найти ∫[ln x] 3 dx, то есть I 3 .
    I 3 = x[ln x] 3 — 3 I 2
    = x(ln x) 3 — 3 [x (ln x) 2 — 2 I 1 ]
    = x(ln x) 3 — 3x (ln x) 2 + 6 I 1
    = x(ln x) 3 — 3x (ln x) 2 + 6 [x (ln x) 1 — I 0 ]
    = x(ln x) 3 — 3x (ln x) 2 + 6x (длина x) 1 — 6I 0
    = x(ln x) 3 — 3x (ln x) 2 + 6x (ln x) — 6[x(ln x) 0 — 0 I -1 ]
    = x(ln x) 3 — 3x (ln x) 2 + 6 x (ln x) — 6x + c
    Итак, ∫[ln x] 3 dx = x(ln x) 3 — 3x (ln x) 2 + 6x (ln x) — 6x + c

    Теперь докажем, что интеграл, полученный по формуле приведения, действительно равен интегралу ∫[ln x] 3 dx, путем дифференцирования первого:

    Доказательство

    Применим правило произведения и цепное правило для его дифференциации 90 207. d[x(ln x) 3 — 3x (ln x) 2 + 6x (ln x) — 6x]/dx = x(3)[ln x] 2 (1/x) + [ln x] 3 — 6ln x — 3 [ln x] 2 + 6 + 6 ln x -6
    = [ln x] 3

    Формулы приведения можно распространить на ряд функций. Однако процедура не одинакова для каждой функции.

    Например, 1

    Найдите формулу приведения для интегрирования ∫sin n x dx и, следовательно, найдите ∫sin 4 x dx.

    ∫sin n x dx = ∫sin n-1 x sin x dx
    Пусть u = ∫sin n-1 x и dv/dx = sin x
    Итак, du/dx = (n-1)sin n-2 x cos x; v = -cos х
    ∫sin n x dx = -sin n-1 x cos x + ∫ cos x (n-1)sin n-2 x cos x dx
    = -sin n-1 x cos x + ∫ cos 2 х (n-1)sin n-2 х дх
    = -sin n-1 x cos x + ∫ [1 — sin 2 x ](n-1)sin n-2 x dx
    = -sin n-1 x cos x + ∫ (n-1)sin n-2 x dx — ∫(n-1)sin 2 x sin n-2 x dx
    = -sin n-1 x cos x + ∫ (n-1)sin n-2 x dx — ∫(n-1)sin n x dx
    ∫n sin n x dx = -sin n-1 x cos x + ∫ (n-1)sin n-2 x dx
    ∫грех n x dx = -1/n sin n-1 x cos x+ ∫ (n-1)/n sin n-2 x dx
    I n = -1/n sin n-1 x cos x + (n-1)/n I n-2

    ∫ sin 4 x dx = -1/4 sin 3 x cos x + ∫ 3/4 sin 2 x dx
    = -1/4 sin 3 x cos x + 3/4[-1/2 cos x sin x + ∫ 1/2 sin 0 x dx]
    = -1/4 sin 3 x cos x -3/8 cos x sin x + 3/8 x + c dx
    = -1/4 sin 3 x cos x -3/8 sin x cos x + 3/8 x + c
    поскольку sin 2x = 2 sin x cos x
    ∫ sin 4 x dx = -1/4 sin 3 x cos x — 3/16 sin 2x + 3/8 x + c

    Например, 2

    Найдите формулу приведения для интегрирования ∫cos n x dx и, следовательно, найдите ∫cos 4 x dx.

    ∫cos n x dx = ∫cos n-1 x cos x dx
    Пусть u = ∫cos n-1 x и dv/dx = cos x
    Итак, du/dx = -(n-1)cos n-2 x sin x; v = грех х
    ∫cos n x dx = -cos n-1 x sin x + ∫ sin x (n-1)cos n-2 x sin x dx
    = cos n-1 x sin x + ∫ sin 2 x (n-1)cos n-2 x dx
    = cos n-1 x sin x + ∫ [1 — cos 2 x ](n-1)cos n-2 x dx
    = cos n-1 x sin x + ∫ (n-1) cos n-2 x dx — ∫(n-1) cos n x dx
    ∫n cos n x dx = cos n-1 x sin x + ∫(n-1)cos n-2 x dx
    ∫cos n x dx = 1/n cos n-1 x sin x + ∫ (n-1)/n cos n-2 x dx
    I n = 1/n cos n-1 x sin x + (n-1)/n I n-2

    ∫ cos 4 x dx = 1/4 cos 3 x sin х + ∫ 3/4 cos 2 х dx
    = 1/4 cos 3 x sin x + 3/4[1/2 cos x sin x + ∫ 1/2 cos 0 x dx]
    = 1/4 cos 3 x sin x + 3/8 cos x sin x + 3/8 x + c
    Так как sin 2x = 2 sin x cos x
    ∫ cos 4 x dx = 1/4 cos 3 x sin x + 3/16 sin 2x + 3/8 x + c

    Например, 3

    Найдите формулу приведения для интегрирования ∫ tan n x dx и, следовательно, найдите ∫tan 4 x dx.

    ∫tan n x dx = ∫tan n-2 x tan 2 x dx
    u = tan n-2 x => du/dx = n-2 tan n-3 x sec 2 x; dv/dx tan 2 x = sec 2 x — 1 => v = tan x — x
    Интегрирование приводит к следующей формуле:
    ∫tan n x dx = 1/n-1 tan n-1 x — ∫tan n-2 x dx
    I n = 1/n-1 I n-1 — I n-2

    ∫tan 4 x dx = 1/3 tan 3 x — ∫tan 2 x dx
    = 1/3 тангенса 3 х — [тангенс х — ∫ dx]
    = 1/3 tan 3 x — tan x + x + c

    Например, 4

    Найдите формулу приведения для интегрирования ∫ e x x n x dx и, следовательно, найдите ∫e x x 3 dx.

    u = x n => du/dx = nx n-1 ; dv/dx = е х => е х
    ∫ e x x n x dx = x n e x — n∫e x x n-1 dx
    I n = x n e x — nI n-1

    ∫ e x x 3 x dx = x 3 e x — 3∫e x x 2 dx
    = x 3 e x — 3[x 2 e x — 2∫e x x dx]
    =x 3 e x — 3x 2 e x + 6∫e x x dx
    =x 3 e x — 3x 2 e x + 6[xe x x — ∫e x x 0 dx]
    =х 3 е х — 3х 2 e x + 6xe x x — 6∫e x dx
    =x 3 e x — 3x 2 e x + 6xe x x — 6e x + c

    Вы можете практиковать интерактивные графические представления вышеприведенных интегралов. Пожалуйста, выберите по одному примеру за раз, чтобы предотвратить размытие графики.

    Формула приведения — интерактивная графическая практика

    Это прекрасная возможность для вас попрактиковаться в интегрировании по формулам приведения; он полностью интерактивен, и вам нужно очень внимательно выполнить следующие шаги, чтобы он заработал. 92(х). Затем нажмите Enter.
    Синяя кривая — функция, которую нужно интегрировать; красная кривая — интегрированная функция.

    Рекомендуемая литература


     

    Математика сложная; так найти правильную книгу. К.А. Страуд в этой книге умело изложил все основные темы с помощью большого количества примеров; Популярность книги говорит сама за себя — 7 -й -й тираж в печати.

    Рекомендуется — GCSE и iGCSE


     

    Это лучшая книга по новой спецификации GCSE(9-1) и iGCSE: в ней много рабочих примеров; действительно хороший сборник задач для тренировки; каждая отдельная тема адекватно освещена; темы расположены в логическом порядке.

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *