Формула равнобедренной трапеции средняя линия: Все формулы средней линии равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Навигация по странице: Определение равнобедренной трапеции Признаки равнобедренной трапеции Основные свойства равнобедренной трапеции Стороны равнобедренной трапеции Средняя линия равнобедренной трапеции Высота равнобедренной трапеции Диагонали равнобедренной трапеции Площадь равнобедренной трапеции Окружность описанная вокруг равнобедренной трапеции

Формулы и свойства трапеции

Определение.

Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.

На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.

Рис.1

Признаки равнобедренной трапеции

Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:

1. Углы при основе равны:

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

2. Диагонали равны:

AC = BD

3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

4. Сумма противоположных углов равна 180°:

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

5. Вокруг трапеции можно описати окружность

Основные свойства равнобедренной трапеции

1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:

AB = CD = m

3. Вокруг равнобедренной трапеции можна описать окружность

4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):

h = m

5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:

S_ABCD = h²

6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:

h² = BC · AD

7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:

AC² + BD² = AB² + CD² + 2BC · AD

8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:

HF ┴ BC ┴ AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньшый (PD) — равен полуразности оснований:

AP =	BC + AD
	2

PD =	AD — BC
	2

10. Также смотрите свойства трапеции

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:

a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α

b = a — 2h ctg α = a — 2c cos α

c =	h	=	a — b
	sin α		2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =	d12 — c2	b =	d12 — c 2	c = √d12 — ab
	b		a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a =	2S	— b      b =	2S	— a
	h		h

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

с =	S
	m sin α

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

с =	2S
	(a + b) sin α

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:

m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √c² — h² = b + √c² — h²

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

m =	S
	c sin α

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

h =	1	√4c2 — (a — b)2
	2

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =	a — b	tg β	= c sin β
	2

Диагонали равнобедренной трапеции

Диагонали равнобедренной трапеции равны:

d₁ = d₂

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

1. Формула длины диагонали через стороны:

d₁ = √с² + ab

2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:

d₁ = √a² + c² — 2ac cos α

d₁ = √b² + c² — 2bc cos β

3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:

d₁ = √h² + m²

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

d1 =	1	√4h2 + (a + b)2
	2

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S =	a + b	√4c2 — (a — b)2
	4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = (b + c cos α) c sin α = (a — c cos α) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =	4 r 2	=	4 r 2
	sin α		sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

S =	ab	=	ab
	sin α		sin β

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m

6. Формула площади через через диагонали и угол между ними:

S =	d12	· sin γ	=	d12	· sin δ
	2			2

7. Формула площади через через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через через основания и высоту:

S =	a + b	· h
	2

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d1
	4√p(p — a)(p — c)(p — d1)

где

p =	a + c + d1
	2

a — большее основание

Формулы по геометрии Квадрат. Формулы и свойства квадрата Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника Параллелограмм. Формулы и свойства параллелограмма Ромб. Формулы и свойства ромба Трапеция. Формулы и свойства трапеции — Равнобедренная трапеция. Формулы и свойства равнобедренной трапеции — Прямоугольная трапеция. Формулы и свойства прямоугольной трапеции Формулы площади геометрических фигур Формулы периметра геометрических фигур Формулы объема геометрических фигур Формулы площади поверхности геометрических фигур

Все таблицы и формулы

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Как найти высоту трапеции через диагонали.

Как найти площадь трапеции: формулы и примеры

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h .

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h . Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d 1 и d 2 , которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними:

S= 1/2d 1 d 2 *sinα .

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2 .

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α.

Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r 2 /sinα . Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 30 0: S = 8r 2 .

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d 1 и d 2 , а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h 2 .

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка на оси x.

Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок ), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a) . В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке . И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). И высчитать его площадь: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см 2 .

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S AMPC = S APX = 54 см 2 .

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h 1 для треугольника ТМЕ и высоту h 2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h 1 = 1/5(b + х) * h 2 . Преобразуем и получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На простой вопрос «Как найти высоту трапеции?» существует несколько ответов, и все потому, что могут быть даны разные исходные величины. Поэтому и формулы будут различаться.

Эти формулы можно запомнить, но они несложно выводятся. Нужно только применять ранее изученные теоремы.

Принятые в формулах обозначения

Во всех приведенных ниже математических записях верны такие прочтения букв.

В исходных данных: все стороны

Для того чтобы найти высоту трапеции в общем случае потребуется воспользоваться такой формулой:

н = √(с 2 — (((а — в) 2 + с 2 — d 2)/(2(а — в))) 2). Номер 1.

Не самая короткая, но и встречается в задачах достаточно редко. Обычно можно воспользоваться другими данными.

Формула, которая подскажет, как найти высоту равнобедренной трапеции в той же ситуации, гораздо короче:

н = √(с 2 — (а — в) 2 /4). Номер 2.

В задаче даны: боковые стороны и углы при нижнем основании

Принимают, что угол α прилежит к боковой стороне с обозначением «с», соответственно угол β к стороне d. Тогда формула для того, как найти высоту трапеции, в общем виде будет такой:

н = с * sin α= d * sin β. Номер 3.

Если фигура равнобедренная, то можно воспользоваться таким вариантом:

н = с * sin α= ((а — в) / 2) * tg α. Номер 4.

Известны: диагонали и углы между ними

Обычно к этим данным присоединяются еще известные величины. Например, основания или средняя линия. Если даны основания, то для ответа на вопрос, как найти высоту трапеции, пригодится такая формула:

н = (d 1 * d 2 * sin γ) / (а + в) или н = (d 1 * d 2 * sin δ) / (а + в). Номер 5.

Это для общего вида фигуры. Если дана равнобедренная, то запись преобразится так:

н = (d 1 2 * sin γ) / (а + в) или н = (d 1 2 * sin δ) / (а + в). Номер 6.

Когда в задаче идет речь о средней линии трапеции, то формулы для поиска ее высоты становятся такими:

н = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m или н = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Номер 5а.

н = (d 1 2 * sin γ) / 2m или н = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Номер 6а.

Среди известных величин: площадь с основаниями или средней линией

Это, пожалуй, самые короткие и простые формулы того, как найти высоту трапеции. Для произвольной фигуры она будет такой:

н = 2S / (а + в). Номер 7.

Она же, но с известной средней линией:

н = S / m. Номер 7а.

Как ни странно, но для равнобедренной трапеции формулы будут выглядеть так же.

Задачи

№1. На определение углов при нижнем основании трапеции.

Условие. Дана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой 5 см. Ее основания равны 6 и 12 см. Требуется найти синус острого угла.

Решение. Для удобства следует ввести обозначение. Пусть левая нижняя вершина будет А, все остальные по часовой стрелке: В, С, Д. Таким образом, нижнее основание будет обозначено АД, верхнее — ВС.

Нужно провести высоты из вершин В и С. Точки, которые укажут концы высот будут обозначены Н 1 и Н 2 , соответственно. Поскольку в фигуре ВСН 1 Н 2 все углы прямые, то она является прямоугольником. Это означает, что отрезок Н 1 Н 2 равен 6 см.

Теперь нужно рассмотреть два треугольника. Они равны, так как являются прямоугольными с одинаковыми гипотенузами и вертикальными катетами. Отсюда следует, что и меньшие катеты у них равны. Поэтому их можно определить как частное от разности. Последняя получится от вычитания из нижнего основания верхнего. Делиться оно будет на 2. То есть 12 — 6 нужно поделить на 2. АН 1 = Н 2 Д = 3 (см).

Теперь из теоремы Пифагора нужно найти высоту трапеции. Она необходима для нахождения синуса угла. ВН 1 = √(5 2 — 3 2) = 4 (см).

Воспользовавшись знанием о том, как находится синус острого угла в треугольнике с прямым углом, можно записать такое выражение: sin α= ВН 1 / АВ = 0,8.

Ответ. Искомый синус равен 0,8.

№2. На нахождение высоты трапеции по известному тангенсу.

Условие. У равнобедренной трапеции нужно вычислить высоту. Известно, что ее основания равны 15 и 28 см. Дан тангенс острого угла: 11/13.

Решение. Обозначение вершин такое же, как в предыдущей задаче. Снова нужно провести две высоты из верхних углов. По аналогии с решением первой задачи нужно найти АН 1 = Н 2 Д, которые определятся как разность 28 и 15, деленная на два. После подсчетов получается: 6,5 см.

Поскольку тангенс — это отношение двух катетов, то можно записать такое равенство: tg α= АН 1 / ВН 1 . Причем это отношение равно 11/13 (по условию). Так как АН 1 известен, то можно вычислить высоту: ВН 1 = (11 * 6,5) / 13. Простые расчеты дают результат в 5,5 см.

Ответ. Искомая высота равна 5,5 см.

№3. На вычисление высоты по известным диагоналям.

Условие. О трапеции известно, что ее диагонали равны 13 и 3 см. Нужно узнать ее высоту, если сумма оснований составляет 14 см.

Решение. Пусть обозначение фигуры будет таким же, как раньше. Предположим, что АС — меньшая диагональ. Из вершины С нужно провести искомую высоту и обозначить ее СН.

Теперь потребуется выполнить дополнительное построение. Из угла С нужно провести прямую, параллельную большей диагонали и найти точку ее пересечения с продолжением стороны АД. Это будет Д 1 . Получилась новая трапеция, внутри которой начерчен треугольник АСД 1 . Он-то и нужен для дальнейшего решения задачи.

Искомая высота окажется еще и ей же в треугольнике. Поэтому можно воспользоваться формулами, изученными в другой теме. Высота треугольника определяется как произведение числа 2 и площади, деленное на сторону, к которой она проведена. А сторона оказывается равна сумме оснований исходной трапеции. Это исходит из правила, по которому выполнено дополнительное построение.

В рассматриваемом треугольнике все стороны известны. Для удобства введем обозначения х = 3 см, у = 13 см, z = 14 см.

Теперь можно сосчитать площадь, воспользовавшись теоремой Герона. Полупериметр будет равен р = (х + у + z)/ 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (см). Тогда формула для площади после подстановки значений будет выглядеть так: S = √(15 * (15 — 3) * (15 — 13) * (15 — 14)) = 6 √10 (см 2).

Ответ. Высота равна 6√10 / 7 см.

№4. Для поиска высоты по сторонам.

Условие. Дана трапеция, три стороны которой равны 10 см, а четвертая 24 см. Нужно узнать ее высоту.

Решение. Поскольку фигура равнобедренная, то потребуется формула под номером 2. В нее нужно просто подставить все значения и сосчитать. Это будет выглядеть так:

н = √(10 2 — (10 — 24) 2 /4) = √51 (см).

Ответ. н = √51 см.

Многоликая трапеция… Она может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной. И в каждом случае нужно знать, как найти площадь трапеции. Конечно, проще всего запомнить основные формулы. Но иногда проще воспользоваться той, которая выведена с учетом всех особенностей конкретной геометрической фигуры.

Несколько слов о трапеции и ее элементах

Любой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, можно назвать трапецией. В общем случае они не равны и называются основаниями. Большее из них — нижнее, а другое — верхнее.

Две другие стороны оказываются боковыми. У произвольной трапеции они имеют различную длину. Если же они равны, то фигура становится равнобедренной.

Если вдруг угол между любой боковой стороной и основанием окажется равным 90 градусам, то трапеция является прямоугольной.

Все эти особенности могут помочь в решении задачи о том, как найти площадь трапеции.

Среди элементов фигуры, которые могут оказаться незаменимыми в решении задач, можно выделить такие:

• высота, то есть отрезок, перпендикулярный обоим основаниям;
• средняя линия, которая имеет своими концами середины боковых сторон.

По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?

Это выражение дается основным, потому что чаще всего можно узнать эти величины, даже когда они не даны явно. Итак, чтобы понять, как найти площадь трапеции, потребуется сложить оба основания и разделить их на два. Получившееся значение потом еще умножить на значение высоты.

Если обозначить основания буквами а 1 и а 2 , высоту — н, то формула для площади будет выглядеть так:

S = ((а 1 + а 2)/2)*н.

Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия

Если посмотреть внимательно на предыдущую формулу, то легко заметить, что в ней явно присутствует значение средней линии. А именно, сумма оснований, деленная на два. Пусть средняя линия будет обозначена буквой l, тогда формула для площади станет такой:

S = l * н.

Возможность найти площадь по диагоналям

Этот способ поможет, если известен угол, образованный ими. Предположим, что диагонали обозначены буквами д 1 и д 2 , а углы между ними — α и β. Тогда формула того, как найти площадь трапеции, будет записана следующим образом:

S = ((д 1 * д 2)/2) * sin α.

В этом выражении можно легко заменить α на β. Результат не изменится.

Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?

Бывают и такие ситуации, когда в этой фигуре известны именно стороны. Эта формула получается громоздкой и ее сложно запомнить. Но возможно. Пусть боковые стороны имеют обозначение: в 1 и в 2 , основание а 1 больше, чем а 2 . Тогда формула площади примет такой вид:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ {в 1 2 — [(а 1 — а 2) 2 + в 1 2 — в 2 2) / (2 * (а 1 — а 2))] 2 }.

Способы вычисления площади равнобедренной трапеции

Первый связан с тем, что в нее можно вписать окружность. И, зная ее радиус (он обозначается буквой r), а также угол при основании — γ, можно воспользоваться такой формулой:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Последняя общая формула, которая основана на знании всех сторон фигуры, существенно упростится за счет того, что боковые стороны имеют одинаковое значение:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ {в 2 — [(а 1 — а 2) 2 / (2 * (а 1 — а 2))] 2 }.

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Понятно, что подойдет любой из перечисленных для произвольной фигуры. Но иногда полезно знать об одной особенности такой трапеции. Она заключается в том, что разность квадратов длин диагоналей равна разности, составленной из квадратов оснований.

Часто формулы для трапеции забываются, в то время как выражения для площадей прямоугольника и треугольника помнятся. Тогда можно применить простой способ. Разделить трапецию на две фигуры, если она прямоугольная, или три. Одна точно будет прямоугольником, а вторая, или две оставшиеся, треугольниками. После вычисления площадей этих фигур останется их только сложить.

Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.

Как быть, если известны координаты вершин трапеции?

В этом случае потребуется воспользоваться выражением, которое позволяет определить расстояние между точками. Его можно применить три раза: для того, чтобы узнать оба основания и одну высоту. А потом просто применить первую формулу, которая описана немного выше.

Для иллюстрации такого метода можно привести такой пример. Даны вершины с координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Нужно узнать площадь фигуры.

До того как найти площадь трапеции, по координатам нужно вычислить длины оснований. Потребуется такая формула:

длина отрезка = √{(разность первых координат точек) 2 + (разность вторых координат точек) 2 }.

Верхнее основание обозначено АВ, значит, его длина будет равна √{(8-5) 2 + (7-7) 2 } = √9 = 3. Нижнее — СД = √ {(10-1) 2 + (1-1) 2 } = √81 = 9.

Теперь нужно провести высоту из вершины на основание. Пусть ее начало будет в точке А. Конец отрезка окажется на нижнем основании в точке с координатами (5; 1), пусть это будет точка Н. Длина отрезка АН получится равной √{(5-5) 2 + (7-1) 2 } = √36 = 6.

Осталось только подставить получавшиеся значения в формулу площади трапеции:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Задача решена без единиц измерения, потому что не указан масштаб координатной сетки. Он может быть как миллиметр, так и метр.

Примеры задач

№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).

Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм 2). Задача решена.

Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм 2 .

№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е — середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.

Чтобы отчетливо увидеть ход решения задачи, потребуется выполнить дополнительное построение. А именно, провести прямую, которая будет параллельна стороне АВ. Точки пересечения этой прямой с АД — Р, а с продолжением ВС — Х. Получившаяся фигура ВХРА — параллелограмм. Причем его площадь равна искомой. Это связано с тем, что треугольники, которые получились при дополнительном построении, равны. Это следует из равенства стороны и двух прилежащих к ней углов, один — вертикальный, другой — накрест лежащий.

Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.

Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см 2 .

Ответ: S = 20 см 2 .

№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание — 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45º. Нужно вычислить ее площадь.

Решение. Пусть меньшее основание имеет обозначение ВС. Высота, проведенная из точки В, будет называться ВН. Поскольку угол 45º, то треугольник АВН получится прямоугольный и равнобедренный. Значит, АН=ВН. Причем АН очень легко найти. Она равна половине разности оснований. То есть (14 — 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).

Ответ: Искомая площадь равна 45 см 2 .

№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.

Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т; вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.

Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н 1 , большей АОЕД — н 2 .

Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:

(х + а 2) * н 1 = 1/5 (х + а 1) * н 2

н 1 /н 2 = (х + а 1) / (5(х + а 2)).

Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:

н 1 /н 2 = (х — а 2) / (а 1 — х).

В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а 1) / (5(х + а 2)) равно (х — а 2) / (а 1 — х).

Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.

В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.

Ответ : х = √ {(а 1 2 + 5 а 2 2) / 6}.

(S) трапеции, начните вычисление высоты (h) с нахождения полусуммы длин параллельных сторон: (a+b)/2. Затем на полученное значение разделите площадь — результат и будет искомой величиной: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Зная длину средней линии (m) и площадь (S) можно упростить формулу из предыдущего шага. По определению средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, поэтому для вычисления высоты (h) фигуры просто разделите площадь на длину средней линии: h = S/m.

Можно определить высоту (h) такого и в том случае, если даны только длина одной из боковых сторон (с) и угол (α), образуемый ей и длинным основанием. В этом случае следует рассмотреть , образуемый этой стороной, высотой и коротким отрезком основания, который отсекает опущенная на него высота. Этот треугольник будет прямоугольным, известная сторона будет в нем гипотенузой, а высота — катетом. Отношение длин и гипотенузы равно противолежащего катету угла, поэтому для вычисления высоты трапеции умножьте известную длину стороны на синус известного угла: h = с*sin(α).

Такой же треугольник стоит рассмотреть и если даны длина боковой стороны (с) и величина угла (β) между ней и другим (коротким) основанием. В этом случае величина угла между боковой стороной (гипотенузой) и высотой (катетом) будет на 90° меньше известного из условий угла: β-90°. Так как отношение длин катета и гипотенузы равно косинусу угла между ними, то высоту трапеции вычислите умножением косинуса уменьшенного на 90° угла на длину боковой стороны: h = с*cos(β-90°).

Если вписана окружность известного радиуса (r), вычисления высоты (h) будет очень проста и не потребует никаких других параметров. Такая окружность по определению должна каждого из оснований только одной точкой и эти точки будут лежать на одной линии с центром . Это значит, что расстояние между ними будет равно диаметру (удвоенному радиусу), проведенному перпендикулярно основаниям, то есть совпадающим с высотой трапеции: h=2*r.

Трапецией считается такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Высотой трапеции называется отрезок, проведенный перпендикулярно между двумя параллельными прямыми. В зависимости от исходных данных ее можно вычислить по-разному.

Вам понадобится

• Знание сторон, оснований, средней линии трапеции, а так же, опционально, ее площадь и/или периметр.

Инструкция

Допустим, имеется трапеция с теми же данными, что и на рисунке 1. Проведем 2 высоты, получим , у которого 2 меньшие стороны катетами прямоугольных треугольников. Обозначим меньший катит за x. Он находится

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия – это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:

Допустим, дана трапеция с основаниями a = 3 см, b = 7 см и боковыми сторонами c = 5 см, d = 4 см. найдем площадь фигуры:

Площадь равнобокой трапеции

Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.
Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.
Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:

Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!

То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.

Площадь криволинейной трапеции

Отдельный случай – это криволинейная трапеция . Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.

Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками:
Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.
Формула прописывается так:

Рассмотрим пример расчета площади криволинейной трапеции. Формула требует определенных знаний для работы с определенными интегралами. Для начала разберем значение определенного интеграла:

Здесь F(a) – это значение первообразной функции f(x) в точке a , F(b) – значение этой же функции f(x) в точке b .

Теперь решим задачу. На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная функцией . Функция
Нам необходимо найти площадь выделенной фигуры, которая является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком , справа прямой x ={-8}, слева прямой x ={-10} и осью OX снизу.
Площадь этой фигуры мы будем рассчитывать по формуле:

Условиями задачи нам задана функция. По ней мы найдем значения первообразной в каждой из наших точек:

Теперь
Ответ: площадь заданной криволинейной трапеции равняется 4.

Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.

Рассчитать площадь трапеции по сторонам онлайн. Площадь трапеции

И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.

Трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение. Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.
Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.

Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
   
2. У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
   
3. Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
   
4. Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
   
5. Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
   
6. Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
   
7. Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.
   

Как найти площадь трапеции .

Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:

где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.

Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.

Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции. Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов. А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.

В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.

Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция — вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание — a, нижнее основание — b, а высота — h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:

S = ½ * (a+b) * h

т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.

Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию — m. Тогда

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции — a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:

Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 — диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ½ * (b2 — a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

• Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:

• Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

• Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

• Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

• Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin α

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

• Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

• Другой способ рассчитать площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

• Следующий способ вычисления — через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

S = ½ * d1 * d2

• Еще один способ вычисления — через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

S = (2r + c) * r

• Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

где m — длина средней линии.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке , осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.

Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, — 180 градусам.

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника .
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы:). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике : Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве , подготовка к ЕГЭ в Строгино .

Для того чтобы чувствовать себя на уроках геометрии уверенно и успешно решать задачи, недостаточно выучить формулы. Их нужно в первую очередь понимать. Бояться, а тем более ненавидеть формулы — непродуктивно. В этой статье доступным языком будут проанализированы различные способы поиска площади трапеции. Для лучшего усвоения соответствующих правил и теорем уделим некоторое внимание ее свойствам. Это поможет разобраться в том, как работают правила и в каких случаях следует применять те или иные формулы.

Определяем трапецию

Что это за фигура в целом? Трапецией называют многоугольник из четырех углов с двумя параллельными сторонами. Две другие стороны трапеции могут быть наклонены под различными углами. Ее параллельные стороны называют основаниями, а для непараллельных сторон применяют наименование «боковые стороны» или «бедра». Такие фигуры довольно часто встречаются в обыденной жизни. Контуры трапеции можно увидеть в силуэтах одежды, предметах интерьера, мебели, посуды и многих других. Трапеция бывает разных видов: разносторонняя, равнобокая и прямоугольная. Более детально их типы и свойства разберем далее в статье.

Свойства трапеции

Остановимся коротко на свойствах этой фигуры. Сумма углов, прилегающих к любой боковой стороне, всегда равняется 180°. Надо заметить, что все углы трапеции в сумме составляют 360°. У трапеции существует понятие средней линии. Если соединить середины боковых сторон отрезком — это и будет средняя линия. Ее обозначают m. У средней линии есть важные свойства: она всегда параллельна основаниям (мы помним, что основания также параллельны между собой) и равна их полусумме:

Это определение обязательно надо выучить и понять, ведь это ключ к решению множества задач!

У трапеции всегда можно опустить высоту на основание. Высота — это перпендикуляр, часто обозначаемый символом h, который проведен из любой точки одного основания на другое основание или его продолжение. Средняя линия и высота помогут найти площадь трапеции. Подобные задачи являются самыми распространенными в школьном курсе геометрии и регулярно появляются среди контрольных и экзаменационных работ.

Самые простые формулы площади трапеции

Разберем две самые популярные и простые формулы, с помощью которых находят площадь трапеции. Достаточно умножить высоту на полусумму оснований, чтобы легко найти искомое:

S = h*(a + b)/2.

В этой формуле a, b обозначают основания трапеции, h — высоту. Для удобства восприятия в этой статье знаки умножения отмечены символом (*) в формулах, хотя в официальных справочниках знак умножения обычно опускают.

Рассмотрим пример.

Дано: трапеция с двумя основаниями, равными 10 и 14 см, высота составляет 7 см. Чему равна площадь трапеции?

Разберем решение этой задачи. По этой формуле сначала нужно найти полусумму оснований: (10+14)/2 = 12. Итак, полусумма равняется 12 см. Теперь полусумму умножаем на высоту: 12*7 = 84. Искомое найдено. Ответ: площадь трапеции равна 84 кв. см.

Вторая известная формула гласит: площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции. То есть фактически вытекает из предшествующего понятия средней линии: S=m*h.

Использование диагоналей для вычислений

Другой способ нахождения площади трапеции на самом деле не так уж сложен. Он связан с ее диагоналями. По этой формуле для нахождения площади требуется умножить полупроизведение ее диагоналей (d 1 d 2) на синус угла между ними:

S = ½ d 1 d 2 sina.

Рассмотрим задачу, которая показывает применение этого способа. Дано: трапеция с длиной диагоналей равной соответственно 8 и 13 см. Угол a между диагоналями равняется 30°. Найти площадь трапеции.

Решение. Используя вышеприведенную формулу, легко вычислить требуемое. Как известно, sin 30° составляет 0,5. Следовательно, S = 8*13*0,5=52. Ответ: площадь равна 52 кв. см.

Ищем площадь равнобокой трапеции

Трапеция может быть равнобокой (равнобедренной). Ее боковые стороны одинаковы И углы при основаниях равны, что хорошо иллюстрирует рисунок. Равнобедренная трапеция имеет такие же свойства, что и обычная, плюс ряд особых. Вокруг равнобокой трапеции может быть описана окружность, и в нее может быть вписана окружность.

Какие же есть методики вычисления площади такой фигуры? Нижеприведенный способ потребует больших вычислений. Для его применения нужно знать значения синуса (sin) и косинуса (cos) угла при основании трапеции. Для их расчетов требуются либо таблицы Брадиса либо инженерный калькулятор. Вот эта формула:

S = c *sin a *(a — c *cos a ),

где с — боковое бедро, a — угол при нижнем основании.

Равнобокая трапеция обладает диагоналями одинаковой длины. Верно и обратное утверждение: если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной. Отсюда следующая формула, помогающая найти площадь трапеции — полупроизведение квадрата диагоналей на синус угла между ними: S = ½ d 2 sina.

Находим площадь прямоугольной трапеции

Известен частный случай прямоугольной трапеции. Это трапеция, у которой одна боковая сторона (ее бедро) примыкает к основаниям под прямым углом. Она имеет свойства обычной трапеции. Помимо этого, она обладает очень интересной особенностью. Разность квадратов диагоналей такой трапеции равняется разности квадратов ее оснований. Для нее используют все ранее приведенные методики вычисления площади.

Применяем смекалку

Есть одна хитрость, которая может помочь в случае забывчивости специфических формул. Рассмотрим внимательнее, что представляет собой трапеция. Если мысленно разделить ее на части, то мы получим знакомые и понятные геометрические фигуры: квадрат или прямоугольник и треугольник (один или два). Если известны высота и стороны трапеции, можно воспользоваться формулами площади треугольника и прямоугольника, после чего сложить все полученные величины.

Проиллюстрируем это следующим примером. Дана прямоугольная трапеция. Угол C = 45°, углы A, D составляют 90°. Верхнее основание трапеции равно 20 см, высота равна 16 см. Требуется вычислить площадь фигуры.

Данная фигура очевидным образом состоит из прямоугольника (если два угла равны 90°) и треугольника. Так как трапеция прямоугольная, следовательно, ее высота равна ее боковой стороне, то есть 16 см. Имеем прямоугольник со сторонами 20 и 16 см соответственно. Рассмотрим теперь треугольник, угол которого равен 45°. Мы знаем, что одна его сторона составляет 16 см. Так как эта сторона является одновременно высотой трапеции (а нам известно, что высота опускается на основание под прямым углом), следовательно, второй угол треугольника равен 90°. Отсюда оставшийся угол треугольника составляет 45°. Следствием этого мы получаем прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две стороны одинаковы. Значит, другая сторона треугольника равна высоте, то есть 16 см. Осталось вычислить площадь треугольника и прямоугольника и сложить полученные величины.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (16*16)/2 = 128. Площадь прямоугольника равняется произведению его ширины на длину: S = 20*16 = 320. Мы нашли требуемое: площадь трапеции S = 128 + 320 = 448 кв. см. Можно легко себя перепроверить, воспользовавшись вышеприведенными формулами, ответ будет идентичен.

Используем формулу Пика

Напоследок приведем еще одну оригинальную формулу, помогающую искать площадь трапеции. Она называется формулой Пика. Ею удобно пользоваться, когда трапеция нарисована на клетчатой бумаге. Подобные задачи часто встречаются в материалах ГИА. Выглядит она следующим образом:

S = M/2 + N — 1,

в этой формуле M — количество узлов, т.е. пересечений линий фигуры с линиями клетки на границах трапеции (оранжевые точки на рисунке), N — количество узлов внутри фигуры (синие точки). Удобнее всего пользоваться ею при нахождении площади неправильного многоугольника. Тем не менее, чем больше арсенал используемых методик, тем меньше ошибок и лучше результаты.

Разумеется, приведенными сведениями далеко не исчерпываются типы и свойства трапеции, а также способы поиска ее площади. В этой статье дан обзор наиболее важных ее характеристик. В решении геометрических задач важно действовать постепенно, начинать с легких формул и задач, последовательно закреплять понимание, переходить на другой уровень сложности.

Собранные воедино самые распространенные формулы помогут ученикам сориентироваться в разнообразных способах вычисления площади трапеции и более качественно подготовиться к тестам и контрольным работам по этой теме.

формула, признаки, свойства, характеристика / Справочник :: Бингоскул

В геометрии существуют десятки многоугольников с собственными названиями, характеристиками, свойствами. Одним из интереснейших четырёхугольников считается трапеция, имеющая одинаковые боковые стороны. Рассмотрим, что собой представляет равнобедренная трапеция, её особенности, свойства, признаки. Научимся проводить её расчёты: площадь, среднюю линию, радиусы описанной окружности.

Определение

К трапециям относятся выпуклые 4-угольники, чьи противоположные стороны не пересекаются. Равнобедренная трапеция – это частный случай рассматриваемого многоугольника, который обладает осью симметрии, что пролегает через середины верхней и нижней сторон. Пара её сторон не пересекается, боковые – равные по длине. Смежные углы при суммировании дают 180°.

Под описание подпадает и параллелограмм с одинаковыми диагоналями. В отличие от него у рассматриваемого 4-угольника боковые стороны не являются параллельными. 

Иногда прямоугольник с квадратом причисляют к частным случаям равнобедренных трапеций, хотя под определение попадают частично.

Встречаются четырёхугольники, называемые трёхсторонними или триравнобедренными – верхняя сторона равная по длине боковым. Их получают посредством сечения четырёх последовательных вершин многоугольника минимум с пятью сторонами. 

Основаниями четырёхугольника называют параллельные стороны, непараллельные – боковыми. Перпендикуляр, проводимый между параллельными сторонами, зовётся высотой геометрической фигуры; отрезок, что соединяет центры боковых сторон, именуют средней линией. Последняя разделяет геометрическую фигуру на две подобные. 

Свойства равнобедренной трапеции

Рассматриваемый многоугольник обладает рядом особенностей. К признакам равнобокой трапеции относят:

• Соединяющий середины параллельных сторон геометрической фигуры отрезок будет центром симметрии трапеции – разделяет четырёхугольник на два одинаковых, отраженных зеркально.


• Опущенный из короткого основания перпендикуляр – высота рассматриваемого многоугольника. Она разделяет нижнее основание на части. Большая равна половине суммы длин оснований, меньшая – их полуразности.


• Вокруг геометрической фигуры описывается круг.

К свойствам диагоналей равнобедренной трапеции относятся:

• Когда диагонали пересекаются под углом 90°, высота геометрической фигуры равняется полусумме параллельных сторон.


• Диагонали одинаковы, пересекаются в точке, принадлежащей оси симметрии.


• Если в рассматриваемый четырёхугольник вписывается окружность, значит, его боковые стороны равны средней линии.


• Площадь 4-угольника с перпендикулярными диагоналями равняется высоте, поднесённой к квадрату.


• Когда в геометрическую фигуру вписывается окружность, её высота равняется корню квадратному произведения оснований.


• Сумма квадратов диагоналей равняется удвоенному произведению протяженностей оснований трапеции плюс сумма квадратов (удвоенному квадрату) боковых сторон.


• Ось симметрии – проведённая между серединами непересекающихся сторон высота.


• Высота, проведённая из верхнего основания, разделяет нижнее на части так: длина большей равняется полусумме оснований, меньшей – половине разности их длин.

Диагонали относятся как:

.

Получается: равнобокая трапеция – это равнодиагональный четырёхугольник.

Известно, что углы при основаниях любой равнобедренной трапеции обладают интересными свойствами:

• перекрёстные углы попарно равны;


• сумма величин лежащих один напротив одного углов составляет 180°;


• углы при нижнем (длинном) основании острые, при верхнем (коротком) – тупые.

Исходя из описанных свойств, существует множество способов расчёта рассматриваемого четырёхугольника.

Формулы равнобедренной трапеции

Рассмотрим распространённые выражения для вычислений равнобочной трапеции: её площади, высоты, диагоналей.

Площадь равняется одной второй произведения высоты геометрической фигуры на полусумму длин оснований.

Если высота неизвестна, но есть боковые стороны – c, прибегают к формуле Брахмагупты:

, здесь:

s – половина периметра 4-угольника:

Выражение напоминает упрощённую, благодаря равности боковых сторон, формулу Герона.

Третья формула:

Радиус описанной окружности лежит на оси симметрии, вычисляется по формуле:

 Диагонали вычисляются по указанной ниже формуле.

где:

• h – высота четырёхугольника;
• m – длина средней линии.

Перпендикуляр OF, проведённый из точки, где пересекаются диагонали, к нижнему основанию, вычисляется по формуле:
.

Задача

Дана трапеция: AB = CD, AG = GB = DH = HC. Доказать, что GH || AD.

Исходя из условий задачи, перед нами равнобедренная трапеция, где GH – средняя линия. Докажем это. По теореме Фалеса отрезок GH делит AB с CD пополам, о чём сказано в условии, значит GH || BC || AD.

Как рассчитать площадь трапеции. Формула площади трапеции

Содержание

1. Основные свойства трапеции
2. Формулы определения длин сторон трапеции:
3. Как найти площадь трапеции через четыре стороны
4. Средняя линия трапеции
5. Формулы определения длины средней линии трапеции:
6. Через длины оснований и высоту
7. Формула
8. Пример
9. Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали
10. Как вычислить площадь равнобедренной трапеции через четыре стороны
11. Таблица с формулами площади трапеции
12. Найти площадь равнобедренной трапеции, зная радиус вписанной окружности и угол
13. Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
14. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
15. Пусть a и b основания трапеции. доказать что отрезок, соединяющий середины её диагоналей равен 1/2 * | а – б|?
16. Площадь трапеции через основания и два угла
17. Найти площадь трапеции, зная диагонали и угол между ними

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =	a + b
	2

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d₁ и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂² = 2ab + c² + d²

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2m – b

b = 2m – a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a – c·cos α – d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =	h	d =	h
	sin α		sin β

Как найти площадь трапеции через четыре стороны

Отнимите от большего основания меньшее.

Найдите квадрат полученного числа.

Прибавьте к результату квадрат одной боковой стороны и отнимите квадрат второй.

Поделите полученное число на удвоенную разность оснований.

Найдите квадрат результата и отнимите его от квадрата боковой стороны.

Найдите корень из полученного числа.

Умножьте результат на половину от суммы оснований.

• S – искомая площадь трапеции.
• a, b – основания трапеции.
• c, d – боковые стороны.

Средняя линия трапеции

Определение.

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =	a + b
	2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =	S
	h

Через длины оснований и высоту

Чему равна площадь трапеции, если:
основание a =
основание b =
высота h =

Ответ: S =

ед. ²

Округление ответа:

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также высота h?

Формула

S = ½ ⋅ (a + b) ⋅ h

Пример

Если у трапеции основание a = 3 см, основание b = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

S = ½ ⋅ (3 + 6) ⋅ 4 = 36 / 2 = 18 см²

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

{S= dfrac{1}{2} d_1 cdot d_2}

Формула для нахождения площади трапеции через перпендикулярные диагонали: {S=dfrac{1}{2}d_1 cdot d_2}, где d₁, d₂ — диагонали трапеции (перпендикулярные).

Как вычислить площадь равнобедренной трапеции через четыре стороны

Отнимите от большего основания трапеции меньшее и поделите результат на два.

Найдите квадрат полученного числа и отнимите его от квадрата боковой стороны.

Найдите корень из результата.

Умножьте полученное число на сумму оснований и поделите на два.

• S — искомая площадь трапеции.
• a, b — основания трапеции.
• c, d — боковые стороны (напомним, в равнобедренной трапеции они равны).

Таблица с формулами площади трапеции

В зависимости от известных исходных данных и вида трапеции, площадь трапеции можно вычислить по различным формулам.

		эскиз	формула
Площадь для всех видов трапеции
1	высота и два основания
2	высота и средняя линия
3	четыре стороны
4	диагонали и угол между ними
5	основания и углы при одном из оснований
Площадь равнобедренной трапеции
6	стороны
7	основание, боковые стороны и угол при основании
8	основание, боковые стороны и угол при основании
9	основания и углы при одном из оснований
10	диагонали и угол между ними
11	средняя линия, боковые стороны и углы между основанием и боковыми сторонами
12	радиус вписанной окружности и угол при основании
13	основания и радиус вписанной окружности
14	основания и углы при одном из оснований
15	основания и боковые стороны
16	основания и средняя линия

Найти площадь равнобедренной трапеции, зная радиус вписанной окружности и угол

Радиус вписанной окружности r

Угол трапеции α

Сообщить об ошибке

Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Чему равна площадь трапеции, если:
средняя линия m =
сторона c =
угол α =

Ответ: S =

ед. ²

Округление ответа:

Чему равна площадь равнобедренной трапеции если средняя линия m, боковая сторона с, a угол при основании α?

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
	2		2		a + b

 

Пусть a и b основания трапеции. доказать что отрезок, соединяющий середины её диагоналей равен 1/2 * | а – б|?

Возьмем трапецию ABCD

Определим точку М как середину диагонали АС, точку N как середину диагонали BD. Тогда средняя линия трапеции KF будет проходить через точки M и N.

Вспомним свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции является параллельной основаниям и равняется полусумме их длин.

Рассмотрим треугольник ACD:

MF = AD/2

Рассмотрим треугольник BCD

NF = BC/2

Выразим MN через отрезки MF и NF:

MN = MF-NF

Подставим в формулу значения отрезков MF и NF:

MN = AD/2-BC/2 = (AD-BC)/2

Площадь трапеции через основания и два угла

[ S = frac{1}{2} left( b^{2} – a^{2} right) frac{ sin(alpha) cdot sin(beta) }{sin(alpha + beta)} ]

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной)
• Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
• У равнобокой трапеции углы при основании равны.
• У равнобокой трапеции диагонали равны.
• Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
• В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и продолжения боковых сторон находятся на одной прямой.

 

Найти площадь трапеции, зная диагонали и угол между ними

Диагональ трапеции d₁

Диагональ трапеции d₂

Угол между диагоналями α

Источники

• https://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium/
• https://Lifehacker.ru/kak-najti-ploshhad-trapecii/
• https://poschitat.online/ploshad-trapecii
• https://mnogoformul.ru/ploshhad-trapecii-formuly-i-kalkulyator-online
• https://doza.pro/art/math/geometry/area-trapezium
• https://geleot.ru/education/math/geometry/area/trapezoid
• https://yandex.ru/q/question/hw.math/kak_naiti_ploshchad_trapetsii_5a22794d/?answer_id=6adac048-9ff1-4e4b-8aae-c657d64364f1&w=answer&w_question_id=1327ad2e-f410-4eda-9d70-bc19c2d134e5&w_origin=grave_unauth
• https://calcsbox.com/post/formula-plosadi-trapecii.html

свойства четырёхугольника, теоремы и формулы

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
   Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
   Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
   Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

• Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

• Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи — пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен.

Трапеция. Определение, формулы и свойства

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Трапеция — четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.

Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.

Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеции бывают:

— разносторонние ;

— равнобокие ;

— прямоугольные

.
Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим — основания трапеции.

A — равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция
B — прямоугольная трапеция
C — разносторонняя трапеция

У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.

У боковые стороны равны, а основания параллельны.

У основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям.

Свойства трапеции

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей , равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина
• Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
• Точка пересечения диагоналей трапеции , точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
• Треугольники, лежащие на основаниях трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными. Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции
• Треугольники, лежащие на боковых сторонах трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
• В трапецию можно вписать окружность , если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)

Углы трапеции

Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые .
Прямыми бывают только два угла.

У прямоугольной трапеции два угла прямые , а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.

Тупые углы трапеции принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию.

Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник , у которого линия сечения параллельна основанию треугольника.
Важно . Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.

Как найти стороны и диагонали трапеции

Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:

В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.

a — меньшее из оснований трапеции
b — большее из оснований трапеции
c,d — боковые стороны
h 1 h 2 — диагонали

Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)

ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства »

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны

Рассмотрено и

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

Введение 2

Определения 3

Свойства равнобедренной трапеции 4

Вписанные и описанные окружности 7

Свойства вписанных и описанных трапеций 8

Средние величины в трапеции 12

Свойства произвольной трапеции 15

Признаки трапеции 18

Дополнительные построения в трапеции 20

Площадь трапеции 25

10. Заключение

Список используемой литературы

Приложение

Доказательства некоторых свойств трапеции 27

Задачи для самостоятельных работ

Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции .

2 . Свойства равнобедренной трапеции

3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4

1
0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.

3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4 . Свойства вписанных и описанных трапеций

2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4 . Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.

Е сли в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.

1

0 . Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое

В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Свойства произвольной трапеции

1
. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.

2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.

Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.

5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т. е. имеют равные площади).

6. Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d 1 2 — d 2 2 = a 2 – b 2

8 . Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7 . Признаки трапеции

8 . Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.

2
. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3
. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.

4

. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7
.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.

1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
2 . Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.

13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9. Площадь трапеции

1 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b ) h или

П

лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = m h .

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы

Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

Гордин Р. К. Планиметрия. Задачник.

Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М: Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN 5-89155-188-3

Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1.Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L . Доказать, что если основания трапеции равны а и b , то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b . Пря­мая KL параллельна основанию AD , следовательно, K О ║ AD , треугольники В K О и BAD подобны, поэтому

(1)

(2)

Подставим (2) в (1) , получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L = KO + LO =

В о всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

K

Окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ = х, МС = у, AN = и, ND = v . Имеем:

∆ ВКМ ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

∆ MК C ~ ∆NKD → →

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы у многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Вершины углов многоугольника и вершины многоугольника — это совпадающие точки.

Определение. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны равны.
На рис. 11 AB = CD ; BC = AD .

2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
На рис. 11 ∠A = ∠C ; ∠B = ∠D .

3 Диагонали (отрезки прямой, соединяющие две противолежащие вершины) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

На рис. 11 отрезки AO = OC ; BO = OD .

Определение. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны называются ее основаниями , а две другие стороны — боковыми сторонами .

Виды трапеций

1. Трапеция , у которой боковые стороны не равны,
называется разносторонней (рис. 12).

2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (рис. 13).

3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной (рис. 14).

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции (MN ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

Площадь параллелограмма и трапеции

Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Связанные определения

Элементы трапеции

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами .
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция

Равнобедренная трапеция

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной .
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Общие свойства

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

• Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
• Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
• В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
• В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
• Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
• Около равнобедренной трапеции можно описать окружность .
• Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

Площадь

Эти формулы — одинаковы, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции.

Как найти длину диагонали трапеции

Все ресурсы по продвинутой геометрии

6 Диагностические тесты 57 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Расширенная справка по геометрии » Плоская геометрия » Четырехугольники » Трапеции » Как найти длину диагонали трапеции

Какова длина диагоналей трапеции ? Предположим, что фигура представляет собой равнобедренную трапецию.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти длину диагонали, нам нужно использовать теорему Пифагора. Следовательно, нам нужно начертить внутри трапеции следующий треугольник:

Мы знаем, что длина основания треугольника . Вычитая вершину трапеции из низа трапеции, получаем:

Разделив на два, имеем длину каждой дополнительной стороны по низу трапеции:

Складывая эти два значения вместе, мы получаем .

В формуле длины диагонали используется теорема Пифагора:

, где  – точка между  и , представляющая основание треугольника.

Подставив наши значения, получим:

Сообщить об ошибке

Найдите длину обеих диагоналей этого четырехугольника.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Все длины с одной отметкой имеют длину 5, а все длины сторон с двумя отметками имеют длину 4. Зная это, мы можем сложить длины сторон, чтобы найти, что одна диагональ является гипотенузой в этом прямоугольном треугольнике. :

Используя теорему Пифагора, получаем:

возьмем квадратный корень из каждой стороны

Точно так же можно найти другую диагональ этого прямоугольного треугольника:

Снова используя теорему Пифагора, получаем ответ

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагоналей этой равнобедренной трапеции, при .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти длину диагоналей, разделите верхнюю сторону на 3 части, как показано ниже:

Две конгруэнтные части плюс 8 дают в сумме 14. Таким образом, две конгруэнтные части в сумме дают 6. Каждая из них должна быть 3. Это означает, что вершина прямоугольного треугольника с диагональю в качестве гипотенузы должна быть равна 11, так как .

Мы можем найти диагональ, показанную на рисунке, с помощью теоремы Пифагора:

извлечь квадратный корень из обеих сторон

Сообщить об ошибке

Сообщить об ошибке приведен ниже.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы вычислить длину диагонали, мы сначала должны предположить, что высота перпендикулярна как вершине, так и основанию трапеции.

Зная это, мы можем провести диагональ, как показано ниже, и использовать теорему Пифагора, чтобы найти диагональ.

Теперь мы берем квадратный корень с обеих сторон:

Сообщите о ошибке

Найдите длину диагонали трапециона.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

1) Диагональ можно найти по теореме Пифагора.

2) Длина основания ,  должна быть найдена, потому что  это длина основания .

3) .

4) Using the Pythagorean Theorem on  to find ,

5) Using the Pythagorean Theorem on  to find ,

 

Сообщить об ошибке

Рисунок выполнен НЕ в масштабе.

См. рисунок выше, на котором показана трапеция  с диагональю . До ближайшего целого числа укажите длину .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы проиллюстрировать, как определить правильную длину, проведите перпендикулярный отрезок от  до , назвав точку пересечения .

 делит трапецию на прямоугольник  и прямоугольный треугольник  .

Противоположные стороны прямоугольника равны, значит .

. Два угла трапеции, лежащие на одном и том же катете, в частности, и  , являются дополнительными, поэтому

Итак, а

 является гипотенузой прямоугольного треугольника , поэтому по теореме Пифагора его длина может быть рассчитана как

Набор  и :

Сообщить об ошибке

Рисунок НЕ выполнен в масштабе.

См. рисунок выше, на котором показана трапеция  с диагональю . До ближайшего целого числа укажите длину .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы проиллюстрировать, как определить правильную длину, проведите перпендикулярный отрезок от  до , назвав точку пересечения .

 делит трапецию на прямоугольник  и прямоугольный треугольник  .

Противоположные стороны прямоугольника равны, значит .

. Два угла трапеции, лежащие на одном и том же катете, в частности, и  , являются дополнительными, поэтому

Итак, и

 является гипотенузой прямоугольного треугольника , поэтому по теореме Пифагора его длина может быть рассчитана как

Установить и:

 

Сообщить об ошибке

Рис.

См. рисунок выше, на котором показана трапеция с диагональю . До ближайшего целого числа укажите длину .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы проиллюстрировать, как определить правильную длину, проведите перпендикулярный отрезок от  до , назвав точку пересечения .

 делит трапецию на прямоугольник  и прямоугольный треугольник  .

Противоположные стороны прямоугольника равны, значит .

. Два угла трапеции вдоль одной и той же ноги- в частности, и- являются дополнительными, так что

к теореме 45-45-45 Туголь прямоугольного треугольника, поэтому по теореме Пифагора его длина может быть рассчитана равной

SET и:

Отчет о ошибке

Уведомление об авторских правах

Все передовые ресурсы геометрии

6 Диагностические тесты 57 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по Concept

Диагонали трапеции. Диагонали трапеции Формулы нахождения диагоналей трапеции

Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то при решении задачи будет полезен следующий теоретический материал.

1. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота трапеции равна половине суммы оснований.

Проведем прямую CF через точку C параллельно BD и продолжим прямую AD до пересечения с CF.

Четырехугольник BCFD является параллелограммом (BC∥ DF как основание трапеции, BD∥ CF по построению). Итак, CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.

Треугольник ACF прямоугольный (если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой). Так как в равнобедренной трапеции диагонали равны, а CF=BD, то CF=AC, то есть треугольник ACF равнобедренный с основанием AF. Следовательно, его высота CN также является медианой. А так как медиана прямоугольного треугольника, проведенного к гипотенузе, равна ее половине, то

, что можно записать в общем виде как

, где h — высота трапеции, a и b — ее основания.

2. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее высота равна средней линии.

Так как средняя линия трапеции m равна половине суммы оснований, то

3. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высота трапеции (или квадрат полусуммы оснований, или квадрат средней линии).

Так как площадь трапеции находится по формуле

и высота, то половины суммы оснований и средней линии равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями равны между собой:

4 , Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы оснований, а также удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату средней линии.

Так как площадь выпуклого четырехугольника можно найти через его диагонали и угол между ними по формуле

Опять пифагорейский треугольник :))) Если отрезок большой диагонали от большого основания до точки пересечения обозначить через x, то из очевидного подобия прямоугольных треугольников с одинаковыми углами это следует. х/64 = 36/х, следовательно, х = 48; 48/64 = 3/4, поэтому ВСЕ прямоугольные треугольники, образованные основаниями, диагоналями и стороной, перпендикулярной основанию, подобны треугольнику со сторонами 3,4,5. Единственным исключением является треугольник, образованный отрезками диагоналей и косой стороны, но он нас не интересует :). (Для ясности, рассматриваемое подобие — это просто ДРУГИЕ НАЗВАННЫЕ тригонометрические функции углов 🙂 мы уже знаем тангенс угла между большой диагональю и большим основанием, он равен 3/4, поэтому синус равен 3/5, а косинус 4/5 :)) можно сразу написать

Ответы. Нижнее основание 80, высота трапеции будет 60, а верхнее 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

Связанные задачи:

1. Основанием призмы является треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковой край равен 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равнобедренного куба.

2. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и представляет собой ромб, меньшая диагональ которого равна с. Найдите объем призмы.

3. У наклонной призмы основанием является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, один острый угол равен 30, боковое ребро равно и составляет с плоскостью основания угол 60. Найдите объем призмы.

1. Найдите сторону квадрата, если его диагональ равна 10 см

2. В равнобедренной трапеции тупой угол на 135 градусов меньше, чем основание равно 4 см, а высота равна 2 см. Найдите площадь ​трапеция?

3. Высота трапеции в 3 раза больше одного из оснований, но вдвое меньше другого. Найдите основания трапеции и высоту, если площадь трапеции равна 168 см в квадрате?

4. В треугольнике ABC угол A = угол In = 75 градусов. Найдите ВС, если площадь треугольника равна 36 см в квадрате.

1. Диагонали трапеции ABCD со сторонами AB и CD пересекаются в точке O

а) Сравните площади треугольников ABD и ACD

б) Сравните площади треугольников ABO и CDO

в) Докажите, что OA*OB=OC*OD

2. Основание равнобедренного треугольника относится к стороне как 4:3, а высота, проведенная к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эта высота делится биссектрисой угла при основании.

3. Линия АМ-касательная к окружности, АВ-хорда этой окружности. Докажите, что угол MAB измеряется половиной дуги AB, лежащей внутри угла MAB.

1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований
2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения, подобны
3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на сторонах трапеции, равны (имеют одинаковую площадь)
4. Если мы продолжим стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в ​​пропорции, равной отношению длин оснований трапеции
6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеция

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединяем середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас получится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции , лежит на средней линии трапеции .

Этот отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, образованные основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции трапециевидные — аналогичны .
Треугольники BOC и AOD подобны. Поскольку углы BOC и AOD вертикальны, они равны.
Углы OCB и OAD внутренние крест-накрест, лежащие на параллельных прямых AD и BC (основания трапеций параллельны друг другу) и секущей AC, следовательно, равны.
Углы ОВС и ОДА равны по той же причине (внутреннее пересечение).

Поскольку все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, эти треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если известны длины двух соответствующих элементов подобных треугольников, то находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов связаны друг с другом точно такой же величиной.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на сторонах трапеции AB и CD. Это треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон этих треугольников могут быть совершенно разными, но площади треугольников, образованных сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции, равны , то есть треугольники равны.

Если стороны трапеции продолжить в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, проходящей через середины оснований .

Таким образом, любую трапецию можно продолжить до треугольника. При этом:

• Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продолженных сторон, подобны
• Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является одновременно медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, лежащей в точке пересечения диагоналей трапеции (КН), то отношение составляющих ее отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (КО/ОН) будет равно отношению оснований трапеции (ВС/АД).

КО/ОН=БК/АД

Это свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет иметь следующее свойства:

• Заданное расстояние (км) делит пополам точку пересечения диагоналей трапеции
• Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна КМ = 2ab/(a + b)

A, B — основания трапеции

C, D — Стороны трапеции

D1 D2 — Диагоналы ARAPEZOID 9000

α -40421 α -40421 α -40421. — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Это свойство диагоналей трапеции можно доказать как отдельную теорему

2 . Эта формула получается преобразованием предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали набрасывается на знак равенства, после чего из левой и правой частей выражения извлекается квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с тем отличием, что в левой части выражения

оставлена ​​еще одна диагональ. Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает подобное отношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание . В этом уроке дается решение задач по геометрии о трапециях. Если вы не нашли решение задачи по геометрии интересующего вас типа — задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | BC) пересекаются в точке O. Найдите длину основания BC трапеции, если основание AD = 24 см, длина AO = 9 см, длина OS = 6 см.

Решение .
Решение этой задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC подобны по трем углам — AOD и BOC вертикальны, а остальные углы попарно равны, так как образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Так как треугольники подобны, то все их геометрические размеры связаны друг с другом, как известные нам по условию задачи геометрические размеры отрезков АО и ОС. это

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / B. C.
БК = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Чтобы найти высоту трапеции из вершин меньшего основания В и С, опускаем две высоты на большее основание. Так как трапеция неравнополочная, обозначим длину АМ = а, длину КД = b (не путать с символами в формуле нахождения площади трапеции). Так как основания трапеции параллельны и мы опустили две высоты, перпендикулярные большему основанию, то MBCK является прямоугольником.

Средства
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK прямоугольные, поэтому их прямые углы образованы высотами трапеций. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Считаем, что a = 16 — b , то в первом уравнении
ч 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
ч 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставляем значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по теореме Пифагора. Получаем:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
— (64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Где
ч 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдите площадь трапеции, используя ее высоту и половину суммы оснований
, где а b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см2.

Площадь трапеции

Площадь трапеции , формулы и калькулятор для расчета площади онлайн. Формулы даны для всех типов трапеций и частных случаев для равнобедренных трапеций.

Таблица с формулами площади трапеции (в конце страницы)

— Вычисление  (показано) (скрыт)

— примечания   (показаны) (скрыт)

Зона для всех типов трапеций

1

Площадка трапециевидная по высоте и два основания

. .. подготовка …

а — база

б — база

ч — высота

---

2

Площадь трапеции по высоте и средней линии

… подготовка …

м — средняя линия

ч — высота

---

3

Зона трапеции с четырех сторон

… подготовка …

а — база

б — база

в — сбоку

д — сбоку

---

4

Площадь трапеции по диагонали и угол между диагоналями

… подготовка …

д ₁ — диагональ

д ₂ — диагональ

α ° — Угол между диагоналями

---

5

Площадь трапеции через основание и углы у основания

. .. подготовка …

а — база

б — база

α ° — угол при основании

β ° — угол при основании

---

Площадь равнобедренной трапеции

6

Площадь равнобедренной трапеции через ее стороны

… подготовка …

а — сбоку

б — сбоку

в — сбоку

---

7

Площадь равнобедренной трапеции через малое основание, боковую сторону и угол с большим основанием

… подготовка …

а — база

в — сбоку

α ° — угол при основании

---

8

Площадь равнобедренной трапеции через большее основание, боковую сторону и угол с большим основанием

. .. подготовка …

б — база

в — сбоку

α ° — угол при основании

---

9

Площадь равнобедренной трапеции через основание и угол при основании

… подготовка …

а — база

б — база

α ° — угол при основании

---

10

Площадь равнобедренной трапеции через диагонали и угол между диагоналями

… подготовка …

д — диагональ

α ° — Угол между диагоналями

---

11

Площадь равнобедренной трапеции через среднюю линию, сторону и угол у основания

… подготовка …

м — средняя линия

в — сбоку

α ° — угол между сторонами

---

12

Площадь равнобедренной трапеции по радиусу вписанной окружности и углу между сторонами

Эта формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

р — радиус вписанной окружности

α ° — угол между сторонами

---

13

Площадь равнобедренной трапеции через два основания и радиус вписанной окружности

Эта формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

а — база

б — база

r — радиус вписанной окружности

---

14

Площадь равнобедренной трапеции через ее основание и угол с большим основанием

Эта формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

а — база

б — база

α ° — угол при основании

---

15

Площадь равнобедренной трапеции по сторонам

Эта формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

а — база

б — база

в — сбоку

---

16

Площадь равнобедренной трапеции через основание и среднюю линию

Эта формула применима только для равнобедренных трапеций, в которые можно вписать окружность.

… подготовка …

а — база

б — база

м — средняя линия

---

Примечание:

Если в исходных данных угол указан в радианах, то для перевода в градусы можно использовать формулу: 1 радиан × (180/π)° = 57,296°

---

Таблица с формулами площади трапеции

В зависимости от известных исходных данных и вида трапеции площадь трапеции можно вычислить по различным формулам.

	исходные данные (активная ссылка для перехода на калькулятор)	эскиз	формула
Площадка для всех типов трапеций
1	высота и два основания
2	высота и средняя линия
3	четыре стороны
4	диагонали и угол между ними
5	основания и уголки на одном из оснований
Площадь равнобедренной трапеции
6	стороны
7	основание, боковые стороны и угол у основания
8	основание, боковые стороны и угол у основания
9	основания и уголки на одном из оснований
10	диагонали и угол между ними
11	средняя линия, боковые стороны и углы между основанием и боковыми сторонами
12	радиус вписанной окружности и угол при основании
13	основание и радиус вписанной окружности
14	основания и уголки на одном из оснований
15	основания и боковины
16	основание и средняя линия

---

Центральная медиана равнобедренной трапеции с учетом высоты, бокового ребра и длинного основания Калькулятор

✖long Основание Изоплексных трапеций Трапеля является более длинной стороной среди пары параллельных сторон трапеции Isockeles. RadiusCable (International)Cable (UK)Cable (US)CaliberCentimeterChainCubit (Greek)Cubit (UK)DecameterDecimeterEarth Distance from MoonEarth Distance from SunEarth Equatorial RadiusEarth Polar RadiusElectron Radius (Classical)EllExameterFamnFathomFemtometerFermiFinger (Cloth)FingerbreadthFootFoot (US Survey)FurlongGigameterHandHandbreadthHectometerInchKenKilometerKiloparsecKiloyardLeagueLeague (Statute)Light YearLinkLong CubitLong ReedMegameterMegaparsecMeterMicroinchMicrometerMicronMilMileMile (Roman)Mile (US Survey)MillimeterMillion Light YearNail (ткань)NanometerNautical League (int)Nautical League UKNautical Mile (International)Nautical Mile (UK)ParsecОкунь ПетаметрПикаПикометрПланк ДлинаТочкаПолюсКварталТростникРоман АктусВеревкаРусский АрчинПролет (Ткань)Солнце РадиусТераметрТвипВара КастелланаВара КонукераВара Де ТареаЯрдЙоктометрЙоттаметрЗептометрЗеттаметр	+10% -10%
Lateral ]		AlnAngstromArpentAstronomical UnitAttometerAU of LengthBarleycornBillion Light YearBohr RadiusCable (International)Cable (UK)Cable (US)CaliberCentimeterChainCubit (Greek)Cubit (UK)DecameterDecimeterEarth Distance from MoonEarth Distance from SunEarth Equatorial RadiusEarth Polar RadiusElectron Radius (Classical)EllExameterFamnFathomFemtometerFermiFinger (Ткань)FingerbreadthFootFoot (US Survey)FurlongGigameterHandHandbreadthHectometerInchKenKilometerKiloparsecKiloyardLeagueLeague (Statute)Light YearLinkLong CubitLong ReedMegameterMegaparsecMeterMicroinchMicrometerMicronMileMileMile (Roman)Mile (US Survey)MillimeterMillion Light LeagueNail (Cloth)NanometerNanometer l League UKМорская миля (Международная)Морская миля (Великобритания)ПарсекОкуньПетаметрПикаПикометрПланк ДлинаТочкаПолюсКварталТростникРоман ActusВеревкаРусский АрчинПротяженность (Ткань)Солнце РадиусТераметрТвипВара КастелланаВара КонукераВара Де ТареаЯрдЙоктометрЙоттаметрЗептометрЗеттаметр	+10% -10%
.	AlnAngstromArpentAstronomical UnitAttometerAU of LengthBarleycornBillion Light YearBohr RadiusCable (International)Cable (UK)Cable (US)CaliberCentimeterChainCubit (Greek)Cubit (UK)DecameterDecimeterEarth Distance from MoonEarth Distance from SunEarth Equatorial RadiusEarth Polar RadiusElectron Radius (Classical)EllExameterFamnFathomFemtometerFermiFinger (Cloth)FingerbreadthFootFoot (US Survey)FurlongGigameterHandHandbreadthHectometerInchKenKilometerKiloparsecKiloyardLeagueLeague (Statute)Light YearLinkLong CubitLong ReedMegameterMegaparsecMeterMicroinchMicrometerMicronMilMileMile (Roman)Mile (US Survey)MillimeterMillion Light YearNail (ткань)NanometerNautical League (int)Nautical League UKNautical Mile (Международная)Морская миля (Великобритания)ПарсекОкуньПетаметрПикаПикометрДлина ПланкаТочкаПолюсКварталТростникРоман АктусВеревкаРусский АрчинПротяженность (Ткань)Радиус СолнцаТераметрТвипВара КастелланаВара КонукераВара Де ТареаЯрдЙоктометрЙоттаметрЗептометрЗеттаметр	+10% -10%

✖Центральная медиана равнобедренной трапеции – это длина линии, соединяющей середины боковых и непараллельных ребер равнобедренной трапеции. ⓘ Центральная медиана равнобедренной трапеции с учетом высоты, бокового ребра и длинного основания [M]

AlnAngstromArpentAstronomical UnitAttometerAU of LengthBarleycornBillion Light YearBohr RadiusCable (International)Cable (UK)Cable (US)CaliberCentimeterChainCubit (Greek)Cubit (UK)DecameterDecimeterEarth Distance from MoonEarth Distance from SunEarth Equatorial RadiusEarth Polar RadiusElectron Radius (Classical)EllExameterFamnFathomFemtometerFermiFinger (Cloth)FingerbreadthFootFoot (US Survey) FurlongGigameterHandHandbreadthHectometerInchKenKilometerKiloparsecKiloyardLeagueLeague (Statute)Light YearLinkLong CubitLong ReedMegameterMegaparsecMeterMicroinchMicrometerMicronMilMileMile (Roman)Mile (US Survey)MillimeterMillion Light YearNail (Cloth)NanometerNautical League (int)Nautical League UKNautical Mile (International)Nautical Mile (UK)ParsecPerchPetameterPicaPicometerPlanck LengthPointPoleQuarterReedRodRoman ActusRopeRussian ArchinSpan (Cloth)Sun RadiusTerameterTwipVara CastellanaVara ConuqueraVara De TareaYardYoctometerYottameterZeptometerZettameter

⎘ Копировать

👎

Формула

Перезагрузить

👍

Центральная медиана равнобедренной трапеции с заданными высотой, боковым краем и длинным основанием Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1: Преобразование входных данных в базовую единицу

Длинное основание равнобедренной трапеции: 15 метров —> 15 метров Преобразование не требуется
Боковая кромка равнобедренной трапеции: 5 метров — -> 5 метров Преобразование не требуется
Высота равнобедренной трапеции: 4 метра —> 4 метра Преобразование не требуется

ШАГ 2: вычисление формулы

ШАГ 3: преобразование результата в единицу измерения

12 метров —> преобразование не требуется Требуется 92))

Что такое равнобедренная трапеция?

Трапеция – это четырехугольник с одной парой параллельных ребер. Равнобедренная трапеция означает трапецию, у которой пара непараллельных ребер равна. Пара параллельных ребер называется основаниями, а пара непараллельных равных ребер — боковыми ребрами. Углы при длинном основании равны острым углам, а углы при коротком основании равны тупым углам. Кроме того, пары противоположных углов дополняют друг друга. Следовательно, равнобедренная трапеция циклична. 92)) для расчета центральной медианы равнобедренной трапеции, центральная медиана равнобедренной трапеции с учетом высоты, бокового ребра и длинного основания определяется как длина линии, соединяющей середины боковых и непараллельных ребер равнобедренной трапеции, и рассчитывается с использованием высоты, бокового ребра и длинного основания равнобедренной трапеции. Центральная медиана равнобедренной трапеции обозначена символом M .

Как рассчитать центральную медиану равнобедренной трапеции по высоте, боковому краю и длинному основанию с помощью этого онлайн-калькулятора? Чтобы использовать этот онлайн-калькулятор для средней медианы равнобедренной трапеции с учетом высоты, бокового края и длинного основания, введите Длинное основание равнобедренной трапеции 92)) .

Часто задаваемые вопросы

Чему равна центральная медиана равнобедренной трапеции с учетом высоты, бокового края и длинного основания?

Центральная медиана равнобедренной трапеции с учетом высоты, бокового края и длинного основания определяется как длина линии, соединяющей середины боковых и непараллельных краев равнобедренной трапеции, и рассчитывается с использованием высоты, бокового края и длинного основания равнобедренная трапеция и представлена ​​как 92)) . Длинное основание равнобедренной трапеции — это более длинная сторона среди пары параллельных сторон равнобедренной трапеции, боковое ребро равнобедренной трапеции — это длина пары противоположных и непараллельных ребер равнобедренной трапеции, а высота равнобедренной трапеции — это перпендикулярное расстояние. между парой параллельных ребер основания равнобедренной трапеции.

Как рассчитать центральную медиану равнобедренной трапеции по высоте, боковому краю и длинному основанию?

92)) . Чтобы рассчитать центральную медиану равнобедренной трапеции с учетом высоты, бокового ребра и длинного основания, вам нужно Длинное основание равнобедренной трапеции (B _{Длинная} ) , Боковая кромка равнобедренной трапеции (e _{Боковая} ) и Высота равнобедренной трапеции (ч) . С помощью нашего инструмента вам нужно ввести соответствующие значения для длинного основания равнобедренной трапеции, бокового края равнобедренной трапеции и высоты равнобедренной трапеции и нажать кнопку расчета. Вы также можете выбрать единицы измерения (если есть) для ввода (ов) и вывода.

Сколькими способами можно вычислить центральную медиану равнобедренной трапеции?

В этой формуле центральная медиана равнобедренной трапеции использует длинное основание равнобедренной трапеции, боковой край равнобедренной трапеции и высоту равнобедренной трапеции. Мы можем использовать 6 других способов, чтобы вычислить то же самое, которые следующие:

• Центральная медиана равнобедренной трапеции = (Длинное основание равнобедренной трапеции + Короткое основание равнобедренной трапеции)/2
• Центральная медиана равнобедренной трапеции Равнобедренная трапеция = Короткое основание равнобедренной трапеции+(Высота равнобедренной трапеции*cot(Острый угол равнобедренной трапеции)) 92)/(2*Высота равнобедренной трапеции))*(sin(Тупой угол диагоналей равнобедренной трапеции))
• Центральная медиана равнобедренной трапеции = Площадь равнобедренной трапеции/(Боковая кромка равнобедренной трапеции*sin(Острый угол Равнобедренная трапеция))
• Центральная медиана равнобедренной трапеции = Площадь равнобедренной трапеции/Высота равнобедренной трапеции

Доля

Скопировано!

Синус острого угла трапеции.

Углы равнобедренной трапеции

На простой вопрос «Как найти высоту трапеции?» есть несколько ответов, и все потому, что могут быть даны разные входные данные. Поэтому формулы будут отличаться.

Эти формулы можно запомнить, но их несложно вывести. Нужно только применить ранее изученные теоремы.

Обозначения, используемые в формулах

Во всех приведенных ниже математических обозначениях эти прочтения букв верны.

В исходных данных: все стороны

Для того чтобы найти высоту трапеции в общем случае нужно воспользоваться следующей формулой:

n = √(s 2 — (((a — c) 2 + c 2 — d 2) / (2 (а — в))) 2). Номер 1.

Не самый короткий, но и в заданиях встречается достаточно редко. Обычно можно использовать другие данные.

Формула, подсказывающая, как найти высоту равнобедренной трапеции в той же ситуации, намного короче:

n = √(s 2 — (a — c) 2/4). Номер 2.

Задана задача: стороны и углы у нижнего основания

Предполагается, что угол α примыкает к стороне с обозначением «с», соответственно угол β примыкает к стороне d. Тогда формула, как найти высоту трапеции, в общем виде будет такой:

n = c * sin α = d * sin β. Число 3.

Если фигура равнобедренная, то можно использовать такой вариант:

n = c * sin α = ((a — c) / 2) * tg α. Номер 4.

Известные: диагонали и углы между ними

Обычно к этим данным добавляются известные величины. Например, основания или средняя линия. Если даны основания, то для ответа на вопрос, как найти высоту трапеции, пригодится следующая формула:

n = (d 1 *d 2 *sin γ) / (a ​​+ c ) или n = (d 1 *d 2 *sin δ)/(а + с). Номер 5.

Это для общего вида фигуры. Если задано равнобедренное, то запись преобразуется следующим образом:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​+ c) или n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​+ c). Число 6.

Когда в задаче речь идет о средней линии трапеции, то формулы нахождения ее высоты становятся такими:

n = (d 1 *d 2 *sin γ)/2m или n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2м. Номер 5а.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m или n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Номер 6а.

Среди известных величин: площадь с основаниями или средней линией

Это, пожалуй, самые короткие и простые формулы, как найти высоту трапеции. Для произвольной цифры это будет так:

n = 2S/(a+c). Число 7.

То же самое, но с известной средней линией:

н = С/м. Номер 7а.

Как ни странно, но для равнобедренной трапеции формулы будут выглядеть одинаково.

Задания

№1. Определить углы при нижнем основании трапеции.

Состояние. Дана равнобедренная трапеция, сторона которой равна 5см. Его основания 6 и 12 см. Требуется найти синус острого угла.

Решение. Для удобства следует ввести обозначения. Пусть нижняя левая вершина будет A, все остальные по часовой стрелке: B, C, D. Таким образом, нижнее основание обозначим AD, верхнее BC.

Необходимо провести высоты из вершин B и C. Точки, обозначающие концы высот, обозначим H 1 и H 2 соответственно. Так как в фигуре БЧ 1 Н 2 все углы прямые, то это прямоугольник. Это означает, что отрезок H 1 H 2 равен 6 см.

Теперь нам нужно рассмотреть два треугольника. Они равны, потому что имеют прямоугольную форму с одинаковыми гипотенузами и вертикальными катетами. Отсюда следует, что их меньшие ноги также равны. Следовательно, их можно определить как частное от разности. Последний получается вычитанием верхнего из нижнего основания. Оно будет делиться на 2. То есть 12 — 6 надо разделить на 2. AN 1 = H 2 D = 3 (см).

Теперь по теореме Пифагора нужно найти высоту трапеции. Необходимо найти синус угла. ВН 1 = √(5 2 — 3 2) = 4 (см).

Используя знания о том, как расположен синус острого угла в треугольнике с прямым углом, можно написать следующее выражение: sin α = BH 1 / AB = 0,8.

Ответ. Желаемый синус равен 0,8.

№ 2. Найти высоту трапеции по известной касательной.

Состояние. Для равнобедренной трапеции нужно вычислить высоту. Известно, что его основания равны 15 и 28 см. Дан тангенс острого угла: 11/13.

Решение. Обозначение вершин такое же, как и в предыдущей задаче. Снова нужно провести две высоты от верхних углов. По аналогии с решением первой задачи нужно найти AH 1 = H 2 D, которые определяются как разница между 28 и 15, деленная на два. После расчетов получается: 6,5 см.

Так как тангенс есть отношение двух катетов, то можно записать следующее равенство: tg α = AN 1 / VN 1 . Причем это отношение равно 11/13 (по условию). Поскольку известен AH 1, можно рассчитать высоту: HH 1 = (11*6,5)/13. Простые вычисления дают результат 5,5 см.

Ответ. Желаемая высота 5,5 см.

№3. Вычислить высоту по известным диагоналям.

Состояние. О трапеции известно, что ее диагонали равны 13 и 3 см. Нужно узнать его высоту, если сумма оснований равна 14 см.

Решение. Пусть обозначение рисунка останется прежним. Предположим, что AC — меньшая диагональ. Из вершины С нужно провести нужную высоту и обозначить ее СН.

Теперь нам нужно сделать дополнительную сборку. От угла С нужно провести прямую, параллельную большей диагонали, и найти точку ее пересечения с продолжением стороны AD. Это будет D1. Получилась новая трапеция, внутри которой нарисован треугольник АСД 1. Это то, что нужно для дальнейшего решения проблемы.

Желаемая высота в треугольнике также будет одинаковой. Поэтому можно использовать формулы, изученные в другой теме. Высота треугольника определяется как произведение числа 2 на площадь, деленное на сторону, к которой он обращен. А сторона оказывается равной сумме оснований исходной трапеции. Это следует из правила, по которому выполняется дополнительная конструкция.

В рассматриваемом треугольнике известны все стороны. Для удобства введем обозначения x = 3 см, y = 13 см, z = 14 см.

Теперь вы можете вычислить площадь по теореме Герона. Полупериметр будет равен p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (см). Тогда формула площади после подстановки значений будет выглядеть так: S = √ (15 * (15 — 3) * (15 — 13) * (15 — 14)) = 6 √10 (см 2 ).

Ответ. Высота 6√10/7 см.

№ 4. Найти высоту по сторонам.

Состояние. Дана трапеция, три стороны которой 10 см, а четвертая 24 см. Вам нужно узнать его высоту.

Решение. Поскольку фигура равнобедренная, требуется формула №2. Нужно просто подставить в него все значения и посчитать. Это будет выглядеть так:

n = √ (10 2 — (10 — 24) 2 / 4) = √51 (см).

Ответ. ч = √51 см.

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (прямоугольное сечение трапеции). Если вам нужно решить задачу по геометрии, которой здесь нет — напишите об этом на форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» используется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указывается подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений можно использовать знак «√»

Свойства прямоугольной трапеции

• У прямоугольной трапеции два угла должны быть прямыми
• Оба прямых угла прямоугольной трапеции обязательно принадлежат смежным вершинам
• Оба прямых угла в прямоугольной трапеции обязательно прилегают к одной и той же боковой стороне
• Диагонали прямоугольной трапеции образуют прямоугольный треугольник с одной стороны
• Длина стороны трапеция, перпендикулярная основаниям, равна ее высоте
• У прямоугольной трапеции основания параллельны , одна сторона перпендикулярна основаниям, а вторая сторона наклонена к основаниям
• У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других острый и тупой

Задача

У трапеции прямоугольной длинная сторона равна сумме оснований, высота 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.

Решение .
Обозначим трапецию ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямой угол равен

∠A.

Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна
S=ab

Из вершины С верхнего основания трапеции ABCD опускаем высоту СК к нижнему основанию . Высота трапеции известна из условия задачи. Тогда по теореме Пифагора
CK 2 + KD

2=CD 2

Так как длинная сторона трапеции условно равна сумме оснований, то CD = a + b
Так как трапеция прямоугольная, то высота, проведенная от верхнего основания трапеции делит нижнее основание на два отрезка

AD = AK + KD. Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образует прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b, поэтому KD будет равно разности длин оснований прямоугольная трапеция KD = a — b.
т.е.
12 2 + (a — b) 2 = (a + b) 2
где
144 + a 2 — 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
144=4ab

Так как площадь ​​прямоугольник S = ab (см. выше), тогда
144=4S
S=144 / 4=36

Ответ: 36 см

2 .

Инструкция

Если известны длины обоих оснований (b и c) и сторон равнобедренных, одинаковых по определению (a), то по прямоугольному треугольнику можно вычислить значение одного из его острые углы (γ). Для этого уменьшаем высоту от любого угла, примыкающего к короткому основанию. Прямоугольный треугольник будет образован высотой (), стороной (гипотенузой) и отрезком длинного основания между высотой и ближней стороной (вторым катетом). Длину этого отрезка можно найти, вычитая длину меньшего основания из длины большего основания и разделив результат пополам: (c-b)/2,

Получив значения длин двух смежных сторон прямоугольного треугольника, приступаем к вычислению угла между ними. Отношение длины гипотенузы (a) к длине катета ((c-b)/2) дает значение косинуса этого угла (cos(γ)), ​​а преобразовать его поможет функция арккосинуса к углу в градусах: γ=arccos(2*a/(c-b)). Так вы получите значение одного из острых, а так как он равнобедренный, то и второй острый угол будет иметь такое же значение. Сумма всех углов должна быть 360°, а это значит, что сумма двух углов будет равна разнице между этим и удвоенным острым углом. Так как оба тупых угла также будут одинаковыми, то для нахождения значения каждого из них (α) эту разность необходимо разделить пополам: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* а/(в-б)) . Теперь у вас есть вычисление всех углов равнобедренной трапеции, учитывая длины ее сторон.

Если длины сторон фигуры неизвестны, но задана ее высота (h), то действовать нужно аналогично. В этом случае в прямоугольном треугольнике, составленном из боковой стороны и короткого отрезка длинного основания, вы будете знать длины двух катетов. Их отношение определяет тангенс нужного вам угла, а у этой тригонометрической функции есть и свой антипод, который переводит значение тангенса в значение угла — арктангенс. Преобразуйте формулы острого и тупого угла, полученные на предыдущем шаге, соответственно: γ=arctg(2*h/(c-b)) и α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

Для решения этой задачи методами векторной алгебры необходимо знать следующие понятия: геометрическая сумма векторов и скалярное произведение векторов, а также следует помнить о свойстве суммы внутренних углов четырехугольника.

Вам понадобится

• — бумага;
• — ручка;
• — линейка.

Инструкция

Вектор представляет собой направленный отрезок, то есть значение, которое считается полностью заданным, если заданы его длина и направление (угол) к данной оси. Положение вектора больше не ограничено. Два вектора, имеющие длину и одинаковое направление, считаются равными. Поэтому при использовании координат векторы представляются радиус-векторами точек их конца (начала в начале координат).

По определению: результирующий вектор геометрической суммы векторов — это вектор, исходящий из начала первого и имеющий конец второго, при условии, что конец первого совпадает с началом второго. Это можно продолжать дальше, выстраивая цепочку из одинаково расположенных векторов.
Изобразите данные ABCD векторами a, b, c и d на рис. 1. Очевидно, что при таком расположении результирующий вектор равен d=a+b+c.

Скалярное произведение в данном случае удобнее на основе векторов a и d. Скалярное произведение, обозначаемое как (a, d)= |a||d|cosφ1. Здесь φ1 — угол между векторами a и d. 92)).

Углы равнобедренной трапеции. Привет! В этой статье речь пойдет о решении задач с трапецией. Эта группа заданий является частью ЕГЭ, задания простые. Вычислим углы трапеции, основания и высоты. Решение ряда задач сводится к решению, как говорится: куда же мы без теоремы Пифагора, ?

Работать будем с равнобедренной трапецией. У него равны стороны и углы при основаниях. В блоге есть статья о трапеции, .

Отметим небольшой и важный нюанс, подробно описывать который в процессе решения самих задач мы не будем. Смотрите, если у нас есть два основания, то большее основание делится на три отрезка опущенными к нему высотами — один равен меньшему основанию (это противоположные стороны прямоугольника), два других равны между собой ( это стороны равнобедренных прямоугольных треугольников):

Простой пример: даны два основания равнобедренной трапеции 25 и 65. Большее основание разделено на отрезки следующим образом:

*И дальше! Буквенные обозначения в задания не вносятся. Это сделано намеренно, чтобы не перегружать решение алгебраическими изысками. Согласен, что это математически безграмотно, но цель донести суть. А обозначения вершин и других элементов всегда можно сделать самому и записать математически правильное решение.

Рассмотрим задачи:

27439. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Стороны равны 25. Найти синус острого угла трапеции.

Чтобы найти угол, нужно построить высоты. На эскизе обозначаем данные в условии размера. Нижнее основание равно 65, делится высотами на отрезки 7, 51 и 7:

В прямоугольном треугольнике мы знаем гипотенузу и катет, можем найти второй катет (высоту трапеции) и затем вычислить синус угла.

По теореме Пифагора указанный катет равен:

Таким образом:

Ответ: 0,96

27440. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен 5/7. Найдите сторону.

Построим высоты и разметим данные в условии величины, нижнее основание разделено на отрезки 15, 43 и 15:

27441. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14 , Синус острого угла равен (2√10)/7. Найдите меньшую базу.

Давайте построим высоты. Для того, чтобы найти меньшее основание, нам нужно найти, чему равен отрезок, являющийся катетом в прямоугольном треугольнике (обозначен синим цветом):

Мы можем вычислить высоту трапеции, а затем найти катет:

По теореме Пифагора вычислим катет:

Итак, меньшее основание равно:

27442. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен 5/11. Найдите высоту трапеции.

Давайте нанесем высоты и отметим данные в условии магнитуды. Нижняя база разбита на сегменты:

Что делать? Выразим тангенс известного нам угла при основании в прямоугольном треугольнике:

27443. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции 39. Тангенс острого угла равен 13/8. Найдите большую базу.

Строим высоты и вычисляем чему равен катет:

Значит большее основание будет:

27444. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найти тангенс острого угла.

Строим высоты и отмечаем известные значения на эскизе. Нижнее основание разделено на сегменты 35, 17, 35:

По определению касательной:

77152. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите сторону.

Построим эскиз, настроим высоты и отметим известные значения, большее основание разобьем на отрезки 3, 6 и 3:

Выразим гипотенузу, обозначенную х, через косинус:

Из базового тригонометрическое тождество находим cosα

Таким образом:

27818. Каков наибольший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность между противолежащими углами равна 50 0 ? Дайте ответ в градусах.

Из курса геометрии мы знаем, что если у нас есть две параллельные прямые и секущая, то сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 . В нашем случае это

Условие говорит о том, что разность противоположных углов равна 50 0 , то есть

Из точек D и C опускаем две высоты:

Как было сказано выше, они делят большее основание на три отрезка: один равен меньшему основанию, два других равны между собой.

В данном случае это 3, 9 и 3 (всего 15). Кроме того, заметим, что прямоугольные треугольники отсекаются по высотам, и они равнобедренные, так как углы при основании равны 45 0 . Отсюда следует, что высота трапеции будет равна 3.

Вот и все! Удачи тебе!

С уважением, Александр.

Сложение и вычитание векторов

На этой странице представлены решенные тесты по геометрии для 8 и 9 классов:

• – задачи 1 — 8 показывают практические примеры решений и ответов по математике и геометрии 8 класс. Темы урока: средняя линия треугольника, параллелограмм, площадь треугольника, равнобедренная трапеция, вписанная и описанная окружности;
• – практические онлайн-тесты 9– 12 могут помочь решить геометрию по теме «Коллинеарные векторы»;
• – решения задач по теме «Разложение вектора на два неколлинеарных вектора» находятся в тестах 13 — 15;
• – тема «Компоненты векторов» раскрыта в упражнениях 16 — 22 рабочей тетради. Эти решения показывают ответы на вопросы о том, как решать задачи, если вы хотите найти компоненты суммы, разность векторов и произведение векторов. вектор по номеру.

Задача 1.

Дано:

ABCD — четырехугольник

M, N, K, E — середины сторон AB, BC, DC, AD

Доказать:

Четырехугольник MNKE — параллелограмм 9005

Доказательство:

Соединяем точку A с точкой C. Получаем треугольник ∆ ABC, где MN — средняя линия треугольника ∆ ABC, и треугольник ∆ ADC, где EK — средняя линия треугольника ∆ ADC.

Из свойства средней линии треугольника ∆ следует, что

МН || AC параллельны и MN=

AC,

EK || AC параллельны и EK=

AC.

Затем MN || EK параллельны и MN=EK, поэтому

MNKE — параллелограмм (по первой теореме о параллелограмме).

***

Задача 2.

Дано:

∆ ABC – треугольник

Длина стороны треугольника AB = 8,5 см 5

Длина треугольника0005

Высота AH = 4 см, т.е. отрезок AH перпендикулярен стороне BC

H

BC, т.е. точка H лежит на стороне BC

Решить:

Площадь треугольника = Площадь _{∆ Азбука} = ?

Решение:

Площадь _{∆ ABC} =

до н.э. ∙ AH

по теореме Pythagorean

BH =

=

=

= 7,5. 5 CM

=

=

= 7.0005

CH =

=

= 3 cm

BC = BH + CH = 3 +7.5 = 10.5 cm

Area _∆ABC =

∙ 10.5 ∙ 4 = 21 cm ²

Answer: Площадь _{∆ ABC} = 21 см ²

***

Задача 3.

.

Дано:

ABCD — равнобедренная трапеция

Докажите: NE

KM =

Докажите:

Проведите перпендикуляры BH и CH ₁ , т.е. BH

AD перпендикулярны; также CH ₁

AD перпендикулярны.

Но BH и CH ₁ пересекают NE

, затем BR

NE и CR ₁

NE перпендикулярны.

Стороны BH = CH ₁ и

BH || CH ₁ параллельны.

Следовательно, BH = KM = CH ₁

BH

KM

CH ₁ параллельны как отрезки между параллельными прямыми.

Следовательно, углы равны

КОН =

НР ₁ С = 90º как соответствующие углы.

Тогда

КОН =

ЭОМ = 90º, как вертикальные углы.

***

Задача 4.

Дано:

AB — отрезок

AC = CB

O — произвольная точка 9(1)

+

(2)

Добавление равенства (1) и (2), мы получаем

***

Проблема 5.

. a, b, c — векторы

Три вектора

и

неколлинеарны.

Сборка:

Суммы и разности векторов.

Строительство:

по правилу полигона

A)

B)

=

***

. Проблема 6.

. Поступили, что развязки. Соединение противоположные стороны равнобедренной трапеции перпендикулярны.

Дано:

Четырехугольник ABCD является равнобедренной трапецией

Докажите: EF

NM =

, т. е. угол пересечения двух отрезков равнобедренной трапеции равен 90º.

Доказательство:

Начертить параллельные линии

MK || АВ

МР || CD

Получаем равнобедренный треугольник ∆MKR

AB=MK, так как трапеция равнобедренная,

CD=MR, так как трапеция равнобедренная.

Следовательно, EF — средняя линия треугольника ∆MKR, следовательно,

MH=HR и OK=MO.

BM=MC=AK=RD, так как ABMK и MCDR — параллелограммы.

Следовательно, HR=KO.

Тогда MN — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ∆MKR.

Поскольку MN — высота, мы видим, что отрезки MN

AD перпендикулярны.

Из свойства средней линии треугольника ∆ следует, что

EF || КР.

Затем EF

NM =

***

Задача 7.

Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на медиане, проведенной к основанию.

Дано:

. Вписанный круг в треугольнике Isockeles

∆ABC — это Isockeles Triangle

BH ₂ — это медиана

Проверьте: O

BH ₂ , то есть. на медиане равнобедренного треугольника

Доказательство:

Провести перпендикуляры ОН ₁ ; ОН ₂ ; OH ₃ в стороны BC, AC, AB.

Здесь из двух точек проводится один и тот же перпендикуляр на сторону АС, а в треугольнике на сторону можно провести только один перпендикуляр и только из одной точки.

Следовательно, O

BH ₂

***

Задача 8.

Докажите, что центр окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию или к его продолжению.

Given:

The circumcircle around an isosceles triangle

∆ ABC is an inscribed isosceles triangle

BH ₃ is a median

Prove: O

BH ₃

Proof:

Draw перпендикуляры из центра окружности

OH ₁ ; ОН ₂ ; OH ₃ в стороны BC, AC, AB.

Здесь перпендикуляр к стороне АС проведен из двух точек, а к стороне можно провести только один перпендикуляр и только из одной точки треугольника.

Следовательно, O

BH ₃

***

Вернуться к началу

Коллинеарные векторы

Лемма является вспомогательной для доказательства следующей теоремы.

Лемма о коллинеарных векторах:

Если векторы

и

коллинеарны (где

), то можно найти такое число k, что верно равенство

(вектор 105 9012 произведению числа k на вектор

)

Дано: вектор a, вектор b

Векторы

и

коллинеарны, т.е. вектор b коллинеарен вектору a.

Докажите: существует такое число k, что справедливо равенство k>0, так как

. Тогда

и

являются сонаправленными векторами.

Следовательно,

***

Корпус 2.

Пусть A, B векторы являются противоположными векторами, т.е.

, где k <0

9004. ,

***

Проблема 9.

Дано:

Вектор M, вектор N

1)

— противоположные векторы,

= 0,5 см,

9995

= 0,5 см,

9

= 0,5 см,

9.0012 = 2 см

2)

— сонаправленные векторы,

= 12 см,

= 240 см

Решить: k – ?

Решение: 1) Поскольку

, мы видим, что k<0. Отсюда

= –

= – 4

Ответ: k = – 4.

Решение: 2) Так как

, то k>0. Следовательно,

=

= 20.

Ответ: k = 20.

***

Задача 10.

Дано:

ABCD — это параллелограмм

BD

AC = O

M — средняя точка сегмента AO

1)

2)

Solve: K -?

Решение:

1) Поскольку

, мы видим, что k>0.

По свойству параллелограмма

видим, что

Ответ: k=

2) Поскольку

, видим, что k<0.

,

коллинеарны, так как лежат на одной прямой. Найдите середину OC и назовите ее точкой N.

Мы видим, что AM=MO=ON=NC

Поскольку k<0, мы видим, что

Ответ: k=

***

Задача 11.

Дано:

1)

-векторы, направленные на противоположно направленные,

= 400 мм,

= 4DM = 400 мм

2)

0005

,

=

Решить: k – ?

Решение: 1) Поскольку

, мы видим, что k<0. Отсюда

= –

= –1

Ответ: k = –1.

Решение: 2) Поскольку

, мы видим, что k>0. Следовательно,

=

=

= 5.

Ответ: k = 5.

***

Задача 12.

Решить уравнение: найти значения x, y.

Решение: 1)

y=3

Ответ: x=0, y=3

***

Решить уравнение: найти значения x, y.

Решение: 2)

–3y = –1 , x= –1

y =

Ответ: x= – 1, y=

***

Вернуться к началу
05 Разрешение
05 вектор на два неколлинеарных вектора

Определение: Если

, где

и

— заданные векторы, x и y — некоторые числа, то говорят, что вектор

разбивается на векторы

и

, где x и y — коэффициенты разрешения.

Express the vector:

through vectors

and

through

and

through

and

through

and

Solution:

a) By правило параллелограмма

(x= 1, y= 1)

B)

,

(x = y = 2)

C)

=

+

,

= 2

—

(x = 2, y = –1)

DD. ) С

= 2

—

= 2

+

=

— 2

(x = 1, y = –2)

***

Задача 13.

Дано: ABCD — параллелограмм

;

М

; AM: MC = 4: 1

Найти:

Решение:

по правилу параллелограммы

или

, но

, затем

Ответ:

***

. 14.

Дано: векторы

и

неколлинеарны.

а)

б)

Решите: коэффициенты разрешения x, y – ?

Решение:

а)

3 – у = 0, х+1=0

у= 3, х= – 1

б)

4 – х = 0, 5+у=0

х = 4, y= –5

Ответ: а) x= –1, y= 3 б) x = 4, y= –5

***

Задача 15.

Дано: фигура ABCD есть трапеция

EF является средней линией трапеции

Докажите: EF

AD, т.е. средняя линия трапеции параллельна ее основанию,

т.е. длина средней линии трапеции равна половине суммы длин оснований трапеций.

Доказательство:

По правилу многоугольника

+

.

Поскольку

, мы видим, что

и

Поэтому EF || AD и

***

Теорема: Любой вектор

можно разложить на два неколлинеарных вектора, причем коэффициенты разрешения определяются однозначно.

Дано:

вектор a, вектор b

и

неколлинеарные векторы.

Докажите:

Докажите:

Через точку А и точку В проведем прямые, параллельные прямым, содержащим векторы

и

. Найдите точку C.

Тогда по правилу треугольника

Заметим, что векторы

и

коллинеарны, а векторы

тоже

коллинеарны.

от леммы о коллинеарных векторах

,

, затем

Уникальность разрешения

Доказательство:

Мы знаем, что

(1)

в результате разности выражений (1) и (2) получаем

Это равенство возможно

;

Т.е.

;

***

Вернуться к началу

Координаты вектора

Определение: Единичный вектор — это вектор длины, равной 1.

— неколлинеарные векторы, мы видим, что любой вектор

можно разложить на векторы

и

.

Т.е.

, где x и y — координаты вектора.

{1: 2}

{2: –3}

{0; 0}

IF

и

,

Then

IF

9005

,

. Затем

IF

и

,

9

и

,

и

,

9

**

Задача 16.

Найти координаты векторов.

Решение:

{2;3}

{–2;3}

{2;0}

–90;004 5 –90;004 {–90;042}0005

{2;–2}

{–4;–5}

***

Задача 17.

Найти координаты векторов.

Решение:

{2; 3}

{ —

; –2}

{8; 0}

{1; —1}

9000 9000

{1; —1} 9000 9000 9000 9000 9000 9000

{1; 1; 1,1000 9000 9000

{1; 1; 1; ;–2}

{–1;0}

***

Задача 18.

Найти сумму вектора по его координатам.

Решение:

{–3;

}

{–2; –3}

{–1; 0}

{0; 3}

{0; 1}

**000

правила, позволяющие находить координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число из координат векторов.

1. Вектор

с координатами (a ₁ + b ₁ ;a ₂ +B ₂ ) называется Сумма векторов

и

с координатами (A ₁ ; A ₂ ) и (B ₁ ; B 2 ).

Дано:

{ a ₁ ; а ₂ }; { б ₁ ; б ₂ };

Доказать:

{ a ₁ + b ₁ ; а ₂ + b ₂ }

это сумма координат вектора, т.е. это формула как найти координаты вектора сложением.

Доказательство:

{ a ₁ + b ₁ ; a ₂ + b ₂ }

***

Пример 1 про сложение векторов, как найти координаты векторов:

Если заданы координаты векторов

{3;2};

{2;5}, затем

2. Разность векторов

и

с координатами {a ₁ ; а ₂ } и {б ₁ ; b ₂ } — вектор

с координатами {a ₁ — b ₁ ; а ₂ – б ₂ }.

3. Произведение вектора

с координатами {a ₁ ; a ₂ } на произвольное число k есть вектор

с координатами {ka ₁ ; ка ₂ }.

Дано:

{a ₁ ;a ₂ }

k — произвольное число

Докажите: 5 0 8 9 0 9 0 0 4 9 0 0 0 4 ; ka ₂ }

является произведением вектора на число

Доказательство:

Следовательно, вектор

{ka ₁ ; ka ₂ }

Пример 2 о том, как найти координаты вектора:

Найти координаты вектора

if

{1;2};

{0;3};

{–2; 3}

Решение:

{0; 6}

{0; 6}

Ответ:

{0; 6}

***

wrings. 19.

Найти координаты вектора

, если даны векторы с координатами

{–7;–1};

{–1;7};

{4; –6}

Решение:

= {–21; –14}

Ответ: {–21; –14}

***

Проблема 20.

40004 ***

20.

40004 ***

.

Дано:

1)

2)

Решить: коэффициенты разрешения x, y – ?

Решение:

1)

По теореме о разложении вектора на два неколлинеарных вектора:

x=–3, y=7

2)

По теореме о разложении вектора на два неколлинеарных вектора:

x= –4, y=0

***

Задача 21.

4 Дано: координаты векторов

1)

{3;6};

{4;–3}

2)

{–5;–6};

{2;–4}

Решить: разность векторов

–

Решение:

1)

–

= = {–1;9}

–

{–1;9}

2)

–

= ={–7;–2}

–

{ –7;–2}

***

Задача 22.