Высшая математика Т3
Высшая математика Т3
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1.1. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению 1.2. Общие понятия 1.2.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения 1.2.2. Дифференциальное уравнение первого порядка 1.2.3. Задача Коши 1.2.4. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка 1.2.5. Общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка 1.2.6. Поле направлений 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка 1.3.1. Уравнение, записанное через дифференциалы 1.3.2. Уравнения с разделенными переменными 1.3.3. Уравнения с разделяющимися переменными 1.3.4. Однородные уравнения 1.3.5. Линейное уравнение 1.3.6. Уравнение Бернулли 1.4. Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка 1.5. Метрическое пространство 1.  5.1. Понятие метрического пространства1.5.2. Полное метрическое пространство 1.5.3. Принцип сжатых отображений 1.5.4. Приближенное значение корня функции 1.5.5. Метод Ньютона 1.6. Доказательство теоремы существования решения диффереацнального уравнения первого порядка 1.7. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка 1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной 1.9. Особые решения 1.10. Огибающая семейства кривых 1.11. Дифференциальное уравнение второго порядка 1.12. Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка 1.13. Дифференциальное уравнение n-го порядка 1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения 1.15.1. Понятие линейного уравнения высшего порядка 1.15.2. Фундаментальная система решений уравнения 1.15.3. Определитель Вронского 1.15.4. Структура общего решения 1.16. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами 1.  16.1. Методы решения1.16.2. Уравнение Эйлера 1.17. Метод вариации постоянных 1.18. Частное решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Приложения 1.18.1. Методы нахождения частных решений 1.18.2. Дифференциальное уравнение колебания пружины 1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство 1.20. Линейная однородная система дифференциальных уравнений 1.21. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1.22. Сведение системы уравнений к одному уравнению 1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов 1.25. Элементы теории устойчивости 1.26. Классификация точек покоя Глава 2. Кратные интегралы 2.1. Введение 2.2. Сведения из теории меры Жордана 2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования 2.4. Сведение кратного интеграла к повторным 2.  5. Доказательство существования интеграла от непрерывной функции2.6. Замена переменных. Простейший случай 2.7. Замена переменных. Общий случай 2.8. Полярная система координат в плоскости 2.9. Полярная система координат в пространстве 2.10. Цилиндрические координаты 2.11. Площадь поверхности 2.12. Координаты центра масс 2.13. Несобственные интегралы 2.14. Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии Глава 3. Векторный анализ 3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая 3.2. Криволинейный интеграл первого рода 3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой 3.3.1. Поле вектора 3.3.2. Криволинейный интеграл от вектора вдоль кривой 3.3.3. Свойства криволинейных интегралов второго рода 3.4. Поле потенциала 3.4.1. Понятие потенциала и его свойства 3.4.2. Доказательство свойств потенциала 3.4.3. Ротор вектора 3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах 3.  6. Ориентация плоской области3.7. Формула Грина 3.8. Интеграл по поверхности первого рода 3.9. Ориентация поверхности 3.10. Система координат и ориентация поверхности 3.11. Интеграл по ориентированной плоской области 3.12. Поток вектора через ориентированную поверхность 3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроградского 3.14. Соленоидальное поле 3.15. Формула Стокса Глава 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 4.1. Тригонометрические ряды 4.2. Сходимость тригонометрических рядов 4.3. Ряд Фурье 4.4. Признаки сходимости рядов Фурье 4.5. Ортогональные свойства тригонометрических функций 4.6. Коэффициенты Фурье 4.7. Оценка коэффициентов Фурье 4.8. Пространство функций со скалярным произведением 4.9. Ортогональная система функций 4.10. Полнота тригонометрических функций 4.11. Комплексная форма ряда Фурье 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье 4.13. Косинус- и синус- преобразования Фурье 4.14.  Примеры4.15. Приближение интеграла Фурье 4.16. Сумма Фейера 4.17. Полнота систем функций в С и L2’ 4.18. Сведения из теории кратных рядов Фурье Глава 5. Уравнения математической физики 5.2. Задача Дирихле 5.3. Задача Дирихле для круга 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне 5.6. Теплопроводность для бесконечного стержня 5.7. Малые колебания струны 5.8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера 5.9. Колебание круглой мембраны 5.10. Общая задача Штурма-Лиувилля 5.11. Интеграл энергии (Дирихле) 5.12. Применение преобразований Фурье Глава 6. Теория функций комплексного переменного 6.1. Понятие функции комплексного переменного 6.2. Производная функция комплексного переменного 6.3. Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана) 6.4. Гармонические функции 6.5. Обратная функция 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного 6.7. Формула Коши 6.  8. Интеграл типа Коши6.9. Степенной ряд 6.10. Ряд Лорана 6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты 6.12. Классификация особых точек на бесконечности 6.13. Теорема о вычетах 6.14. Вычисление интегралов при помощи вычетов 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция Глава 7. Операционное исчисление 7.1. Изображение Лапласа 7.2. Изображение простейших функций и свойства изображений 7.3. Приложения операционного исчисления 7.3.1. Операторное уравнение 7.3.2. Решение систем дифференциальных уравнений 7.3.3. Вычисление интегралов Глава 8. Обобщенные функции 8.1. Понятие обобщенной функции 8.2. Операции над обобщенными функциями 8.3. Преобразование Фурье обобщенных функций |
Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии § 2. Определения § 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) § 4.  (n) = f(x)§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний § 28. Вынужденные колебания § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 31.  Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 2. Вычисление двойного интеграла § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов § 5. Двойной интеграл в полярных координатах § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) § 7. Вычисление площади поверхности § 9. Момент инерции площади плоской фигуры § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры § 11. Тройной интеграл § 12. Вычисление тройного интеграла § 13. Замена переменных в тройном интеграле § 14.  Момент инерции и координаты центра масс тела§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 2. Вычисление криволинейного интеграла § 3. Формула Грина § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования § 5. Поверхностный интеграл § 6. Вычисление поверхностного интеграла § 7. Формула Стокса § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда § 2. Необходимый признак сходимости ряда § 3. Сравнение рядов с положительными членами § 4. Признак Даламбера § 5. Признак Коши § 6. Интегральный признак сходимости ряда § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость § 9. Функциональные ряды § 10. Мажорируемые ряды § 11. Непрерывность суммы ряда § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов § 13.  Степенные ряды. Интервал сходимости§ 14. Дифференцирование степенных рядов § 15. Ряды по степеням x-a § 16. Ряды Тейлора и Маклорена § 17. Примеры разложения функций в ряды § 18. Формула Эйлера § 19. Биномиальный ряд § 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 23. Уравнение Бесселя § 24. Ряды с комплексными членами § 25. Степенные ряды с комплексной переменной § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) § 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье § 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье § 4.  Ряды Фурье для четных и нечетных функций§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена § 8. Интеграл Дирихле § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье § 11. Практический гармонический анализ § 12. Ряд Фурье в комплексной форме § 13. Интеграл Фурье § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье) § 4.  Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи§ 5. Распространение тепла в пространстве § 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях § 10. Решение задачи Дирихле для круга § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение § 2. Изображение функций … § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at § 4. Свойство линейности изображения § 5. Теорема смещения § 6. Изображение функций … § 7.  Дифференцирование изображения§ 8. Изображение производных § 9. Таблица некоторых изображений § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения § 11. Теорема разложения § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом § 13. Теорема свертывания § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний § 16. Исследование свободных колебаний § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса § 19. Теорема запаздывания § 20. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей § 2.  Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события § 4. Умножение вероятностей независимых событий § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах § 11. Функции от случайных величин § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины § 15.  Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения§ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок § 21. Среднеарифметическая ошибка § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок § 23. Двумерная случайная величина § 24. Нормальный закон распределения на плоскости § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания § 27.  Задачи математической статистики. Статистический материал§ 28. Статистический ряд. Гистограмма § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы § 3. Обратное преобразование § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы § 6. Обратная матрица § 7. Нахождение матрицы, обратной данной § 8. Матричная запись системы линейных уравнений § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы § 11. Собственный вектор линейного преобразования § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами § 13.  Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому§ 14. Квадратичные формы и их преобразования § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи Упражнения к главе XXI ПРИЛОЖЕНИЯ |
С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов.—13-е изд.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с.
Ряд Фурье
Синусоидальные и косинусоидальные волны могут выполнять другие функции!
Здесь две различные синусоидальные волны складываются вместе, образуя новую волну:
Попробуйте «sin(x)+sin(2x)» на графике функций.
(Вы также можете послушать на Sound Beats.)
Квадратная волна
Можем ли мы использовать синусоидальные волны, чтобы получить прямоугольную волну ?
Нашей целью является эта прямоугольная волна:
Начните с грех(х) :
Затем возьмите sin(3x)/3 :
И добавьте его, чтобы получить sin(x)+sin(3x)/3 :
Вы видите, как это начинает немного походить на прямоугольную волну?
Теперь возьмите sin(5x)/5 :
Добавьте его также, чтобы получить sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5 :
Выздоравливай! Давайте добавим намного больше синусоид.
Используя 20 синусоид, мы получаем sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5 + … + sin(39x)/39 :
Используя 100 синусоид, мы получаем sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5 + … + sin(199x)/199 :
И если бы мы могли добавить бесконечные синусоидальные волны в этот образец, мы бы получили прямоугольную волну!
Итак, мы можем сказать, что:
прямоугольная волна = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + .
.. (бесконечно)
В этом заключается идея ряда Фурье.
Добавляя бесконечные синусоидальные (и/или косинусоидальные) волны, мы можем создавать другие функции, даже если они немного странные.
Возможно, вам захочется немного поиграть с:
Графический анализатор ряда Фурье
Также интересно использовать Spiral Artist и наблюдать, как круги образуют волны.
Они предназначены для экспериментов, так что поиграйте и прочувствуйте предмет.
Нахождение коэффициентов
Откуда мы узнали, что нужно использовать sin(3x)/3, sin(5x)/5 и т. д.?
Есть формулы!
Сначала запишем полный ряд синусов и косинусов, назвав все коэффициенты:
f(x) = а 0 +
a n cos(nx π L ) +
b n sin(nx π L )
Где:
- f(x) — функция, которую мы хотим (например, прямоугольная волна)
- L это половина периода функции
- a 0 , a n и b n это коэффициенты которые нам нужно рассчитать!
Что означает
a n cos(nx π L ) означает?
Используется сигма-нотация для обозначения суммы вверх по ряду значений, начиная с n=1:
- a 1 cos(1x π/L)
- a 2 cos(2x π/L)
- и т.
д.
д.Мы (пока) не знаем значения числа 1 , 2 и т. д.
Чтобы найти коэффициенты a 0 , a n и b n мы используем следующие формулы:
a 0 = 1 2L
f(x) dx
a n = 1 L
f(x) cos(nx π L ) dx
b n = 1 L
f(x) sin(nx π L ) dx
Что означает
f(x) sin(nx π L ) dx среднее?
Это интеграл, но на практике он просто означает нахождение чистой площади
f(x) sin(nx π L )
между −L и L
3 9 часто находим эту область, просто делая наброски и используя базовые вычисления, но в других случаях нам может понадобиться использовать правила интеграции.
Вот что мы делаем:
- Возьмем нашу целевую функцию , умножим ее на синус (или косинус) и проинтегрируем (найдем площадь)
- Сделайте это для n=0, n=1 и т. д., чтобы вычислить каждый коэффициент
- И после того, как мы рассчитаем все коэффициенты, подставим их в приведенную выше формулу ряда.
Давайте посмотрим, как выполнить каждый шаг, а затем соберем результат в конце!
Пример: эта прямоугольная волна:
- L = π (Период 2π)
- Прямоугольная волна от −h до +h
Теперь нам нужно вычислить a 0 , a n и b n
010002
3
3 — чистая площадь между −L и L, затем разделенная по 2л. Это в основном среднее значение f(x) в этом диапазоне. Глядя на этот эскиз:
Чистая площадь прямоугольной волны от −L до L равна ноль .
Итак, мы знаем, что:
a 0 = 0
1 π
f(x) cos(1x π π ) dx
Что упрощается до:
a 1 = 30 1
f(x) cos(x) dx
Теперь, поскольку прямоугольная волна резко меняется при x=0, нам нужно разбить расчет на −π до 0 и 0 до π ,
От −π до 0 мы знаем, что f(x) просто равно −h :
1 π −h, потому что (x) dx
Мы можем вынести константу −h за пределы интеграла:
−h π
cos(x) dx
Нарисуем 3 9012 cos(x) 9012 cos 0002
чистая площадь cos(x) от -π до 0 равна нулю .
Таким образом, чистая площадь должна быть 0:
−h π
cos(x) dx = 0
Та же идея применима от 0 до π ,
x
90 число ноль .
и, таким образом, мы можем заключить, что:
a 1 = 0
Теперь давайте посмотрим на a 2
Аааа… происходит то же самое!
Чистая площадь cos(2x) от -π до 0 равна нулю .
And:
Чистая площадь cos(2x) от 0 до π также равна нулю .
Итак, мы знаем, что:
a 2 = 0
На самом деле мы можем распространить эту идею на каждое значение a и заключить, что: Пока не было необходимости в каких-либо серьезных расчетах! Нескольких набросков и небольшого размышления было достаточно.
А теперь к синусу функция!
Для b 1 мы знаем, что n=1 и L=π, поэтому: 1x π π ) dx
Что упрощается до:
b 1 = 1 π
sin(x) dx
и, как и прежде, из-за резкого изменения при x=0, нам нужно разбить вычисление на -π до 0 и 0 до π ,
Итак, просто взглянув на интеграл от −π до 0 , мы знаем, что f(x) = −h:
Мы можем вынести константу −h за пределы интеграла:
−h π
sin(x) dx
И sin(x) выглядит так:
Откуда мы знаем, что площадь равна −2?
Сначала мы используем правила интегрирования, чтобы найти интеграл от sin(x) равно − cos(x) :
Затем мы вычисляем определенный интеграл между −π и 0, вычисляя значение −cos( х) на 0 , а для −π , а затем вычитание:
[−cos(0)] − [−cos(−π)] = −1 − 1 = −2
Итак, между −π и 0 получаем
−h π (−2)
Далее смотрим интеграл от 0 до π :
h
sin(x) dx
И его интеграл:
[−cos(π)] − [−cos(0)] = 1 − [−1] = 2
Теперь, объединив обе части, мы получим:
b 1 = 1 π [ (−h) × (−2) + (h) × (2) ] = 4h π
2Чистая площадь прямоугольной волны от −L до L равна ноль .
π −h, потому что (x) dx
Мы можем вынести константу −h за пределы интеграла:
−h π
cos(x) dx
Нарисуем 3 9012 cos(x) 9012 cos 0002
чистая площадь cos(x) от -π до 0 равна нулю .
Таким образом, чистая площадь должна быть 0:
−h π
cos(x) dx = 0
Та же идея применима от 0 до π ,
x90 число ноль .
Чистая площадь cos(2x) от -π до 0 равна нулю .
Чистая площадь cos(2x) от 0 до π также равна нулю .
3 Для 9
3 0 2 у нас есть этот интеграл:
−h π
sin(2x) dx
От −π до 0 это выглядит так:
Чистая площадь sin(2x) от −π до 0 это ноль .
И мы уже видели подобное раньше, поэтому мы заключаем, что:
b 2 = 0
Для b 3 мы имеем следующий интеграл: 0 получаем вот такую интересную ситуацию:
Две области отменяются, но третья важна!
Это похоже на интеграл b 1 , но только с одной третью площади.
Для от 0 до π имеем:
Опять две области сокращаются, но не третья
И мы можем сделать вывод:
b 3 = b 1 3 = 4h 3π
3 Схема продолжается
Когда n равно четному, области отменяются на результат ноль.
Когда n нечетно, все области, кроме одной, отменяются, что дает результат 1/n.
Таким образом, мы можем сказать
b n = 4h nπ , когда n нечетно, и 0 в противном случае
И мы подходим к последнему шагу: подставляем коэффициенты в основную формулу:
f(x) = a 0 +
a n cos(nx π L ) +
b n sin(nx π L )
мы знаем, что: 3- а 0 = 0
- a n = 0 (все!),
- b n = 0 , когда n равно
- б н = 4h nπ когда n нечетное
Итак:
f(x) = 4h π [sin(x) + sin(3x) 3 + sin(5x) 0 90 + 901] В заключение: И когда вы закончите, перейдите к: Графический анализатор ряда Фурье и проверьте, правильно ли вы поняли! Почему бы не попробовать это с «sin((2n-1)*x)/(2n-1)», 2n−1 аккуратно дает нечетные значения и посмотреть, получится ли прямоугольная волна. Конечно, мы можем использовать это для многих других функций! Но мы должны уметь вычислять все коэффициенты, что на практике означает, что мы вычисляем площадь из: Но, как мы видели выше, мы можем использовать такие приемы, как разбиение функции на части, используя здравый смысл, геометрию и исчисление, чтобы помочь нам. Вот несколько известных: Сноска. Различные версии формулы! На этой странице мы использовали общую формулу: f(x) = a 0 + a n cos(nx π L ) + b n sin(nx π L ) период от -π до π мы можем использовать упрощенную версию: f(x) = a 0 + a n cos(nx) + b n sin(nx) Или вот этот, где 0 скатывается в первую сумму (теперь n= 0 ) : f(x) = a n cos(nx) + b n sin(nx) Но я предпочитаю тот, который мы используем здесь, так как он более практичен с учетом разных периодов. Ряд Фурье представляет собой сумму синусоидальных и косинусоидальных волн, которая представляет собой периодическую функцию. Каждая волна в сумме, или гармоника, имеет частоту, кратную основной частоте периодической функции. Гармонический анализ может использоваться для определения фазы и амплитуды каждой гармоники. Ряд Фурье может иметь неограниченное количество гармоник. Суммирование некоторых, но не всех гармоник в ряду Фурье функции дает приближение к этой функции. Например, прямоугольную волну можно аппроксимировать, используя первые несколько гармоник ряда Фурье. Как было показано выше, периодические функции часто появляются в задачах по высшей математике. Способ решения этих проблем состоит в том, чтобы представить их в терминах основных периодических функций, которые имеют небольшой диапазон и могут иметь область определения всех действительных чисел, таких как синус и косинус; это приводит нас к ряду Фурье (FS). Предположим, что нам дана периодическая функция f(x). Теперь, поскольку исходная функция является периодической, следовательно, c 1 f 1 (x) + … + c n f n (x) Далее рассмотрим бесконечный ряд, ⇒ 900 (3) ⇒ 900 (1) 2L-периодическая функция сходится при всех x, то функция, к которой она сходится, будет периодической периода 2L. Теперь, как показано выше, нам нужно представить функцию f(x) таким образом, чтобы периодическая функция f(x) была заменена такими функциями, как синус и косинус. Для этого ряд Фурье задается выражением Здесь . . n = 1,2,3…. Общая форма ряда Фурье Для любой функции f(x) с периодом 2L ряд Фурье задается как . Экспоненциальная форма ряда Фурье Из приведенного выше уравнения . Теперь по формуле Эйлера e iθ = cosθ +isinθ Используя это f(x) = C n e inx . Здесь Cn называется коэффициентом разложения и рассчитывается как . Предположим, что функция f(x) имеет период 2π и интегрируема за период [-π, π]. Теперь есть два условия. Функция f(x) с периодом 2π абсолютно интегрируема на [-π, π], так что следующий интеграл Дирихле от этой функции конечен: Следующее условие состоит в том, что функция является однозначной, кусочно-непрерывной (должна иметь конечное число скачков) и кусочно-монотонной (должна иметь конечное число максимумов и минимумов). При выполнении условий 1 и 2 ряд Фурье для функции существует и сходится к заданной функции. Это означает, что сумма ряда Фурье любой заданной функции сходится обратно, чтобы дать ту же самую функцию. Это основное определение Расширение ряда Фурье. Теперь, если f(-x) = -f(x) = -y , то функция называется нечетной. Функция имеет нечетный характер и симметрична относительно начала координат Если f(-x) = f(x) = y Тогда функция четна по своей природе. Это четная функция, график которой симметричен относительно оси Y. f(x) = f(x + λ). График функции tanx является примером периодической функции. Следовательно, периодические функции — это те функции, которые повторяются в интервале значений (λ, как показано выше). Наименьшее возможное положительное значение λ называется периодом этой функции. Вопрос 1: Найдите разложение в ряд Фурье функции f(x) = e x в пределах [– π, π]. Решение : Использование разложения в ряд Фурье. . . . Ряд Фурье для этой функции задается как . Вопрос 2: Найдите разложение в ряд Фурье функции f(x) = x в пределах [– 1, 1]. Решение: Из разложения в ряд Фурье. Здесь . . . . . Ом решая интегралы, мы получаем четные функции и одну нечетную функцию. Следовательно, . Вопрос 3. Предположим, что функция f(x) = tanx находит свое разложение Фурье в пределах [-π, π]. Решение: Теперь интеграл от tanx⋅sinnx и tanx⋅ не может быть найден. Следовательно, ряд Фурье для этой функции f(x) = tanx не определен. Вопрос 4. Найдите ряд Фурье функции f(x) = 1 для пределов [– π, π] . Решение: Сравнивая с общим разложением в ряд Фурье, получаем х) = π Вопрос 5: Рассмотрим функцию f(x) = x 2 для пределов [– π, π]. Найдите его разложение в ряд Фурье. Решение: Сравнивая с общим разложением в ряд Фурье, получаем, Вопрос 6: Найдите разложение в ряд Фурье функции f(x) = 4-3x для пределов [– 1, 1]. Решение: Сравнивая с общим разложением в ряд Фурье, получаем Вопрос 7: Найдите разложение функции .
Прочие функции
Волна Серия Графическое устройство серии Фурье Прямоугольная волна sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + … sin((2n−1)*x)/(2n−1) 92 
Формула ряда Фурье — GeeksforGeeks
Ряд Фурье
Ряд Фурье — особенно полезный инструмент для работы с уравнениями в частных производных.
Условия для рядов Фурье
Перед дальнейшим пониманием концепции ряда Фурье мы должны сначала понять концепцию нечетных и четных функций и периодических функций.
Ряд Фурье
Примеры задач
