Формула sina sinb: Теорема синусов

alexxlab / / Разное

Содержание

Элементарная математика

  

Сканави М.И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. — 592с.

Книга представляет собой повторительный курс элементарной математики и рассчитана на тех, кто хочет пополнить, укрепить и систематизировать свои знания. Как и в первом издании, содержание ориентировано на программы вступительных экзаменов в технические вузы и, в особенности, на программы подготовительных отделений при высших учебных заведениях, для учащихся которых, как мы надеемся, книга окажется полезной.

(Книга включает в себя Ч1 — Арифметика, алгебра и элементарные функции и Ч2 — Геометрия. Каждый раздел включает в себя теоретическую часть и большое количество задач с решениями.)



Оглавление

ВВЕДЕНИЕ
Часть первая.
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
2. Простые и составные числа. Признаки делимости.
3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
4. Целые числа. Рациональные числа.
5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями.
6. Иррациональные числа. Действительные числа.
7. Действия с приближенными числами.
8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости.
§ 2. Степени и корни
9. Степени с натуральными показателями.
10. Степени с целыми показателями.
11. Корни.
12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями.
13. Алгоритм извлечения квадратного корня.
§ 3. Комплексные числа
14. Основные понятия и определения.
15. Рациональные действия с комплексными числами.
16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.
17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Формула Муавра.
18. Извлечение корня из комплексного числа.
Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены.
20. Формулы сокращенного умножения.
21. Бином Ньютона.
22. Разложение многочлена на множители.
23. Дробные алгебраические выражения.
§ 2. Иррациональные алгебраические выражения
24. Радикалы из алгебраических выражений.
25. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
Глава III. ЛОГАРИФМЫ
26. Определение и свойства логарифмов.
27. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода.
§ 2. Десятичные логарифмы
28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма.
29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям.
Глава IV. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
30. Величина. Числовые множества.
31. Определение функции.
32. График функции. Способы задания функций.
33. Элементарное исследование поведения функции.
34. Сложная функция.
35. Обратная функция.
36. n.
41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени.
42. Показательная функция.
43. Логарифмическая функция.
§ 3. Преобразование графиков
44. Параллельный сдвиг графика.
45. График квадратного трех члена.
46. График дробно-линейной функции.
47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика.
48. Построение графиков функций.
49. Сложение графиков.
§ 4. Некоторые сведения о рациональных функциях
50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов.
51. Схема Горнера. Теорема Безу.
52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители.
Глава V. УРАВНЕНИЯ
53. Уравнение. Корни уравнения.
54. Равносильные уравнения.
55. Системы уравнений.
56. Графическое решение уравнений.
§. 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной
57. Число и кратность корней.
58. Уравнения первой степени (линейные уравнения).
59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения).
60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители.
61. Исследование квадратного уравнения.
62. Уравнения высших степеней. Целые корни.
63. Двучленные уравнения.
64. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
65. Возвратные уравнения.
§ 3. Системы алгебраических уравнений
66. Линейные системы.
67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными.
68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения.
69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней.
§ 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения
70. Иррациональные уравнения.
71. Показательные уравнения.
72. Логарифмические уравнения.
73. Разные уравнения. Системы уравнений.
Глава VI. НЕРАВЕНСТВА
74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами.
75. Алгебраические неравенства.
§ 2. Решение неравенств
76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства.
77. Графическое решение неравенств.
79. Квадратные неравенства.
80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х.
81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства.
82. Неравенства с двумя неизвестными.
Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
83. Числовая последовательность.
84. Предел числовой последовательности.
85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода.
§ 2. Арифметическая прогрессия
86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена.
87. Свойства арифметической прогрессии.
88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии.
§ 3. Геометрическая прогрессия
89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена.
90. Свойства геометрической прогрессии.
91. Формулы для суммы n членов геометрической прогрессии.
92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА (ДУГИ)
93. Вектор, проекция вектора.
94. Положительные углы и дуги, меньшие 360°.
95. Углы и дуги, большие 360°.
96. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов.
§ 2. Тригонометрические функции произвольного угла
97. Определение основных тригонометрических функций.
98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi.
§ 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла
99. Основные тригонометрические тождества.
100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них.
101. Значения тригонометрических функций некоторых углов.
§ 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций
102. Четность и нечетность.
103. Понятие периодической функции.
104. Периодичность тригонометрических функций.
§ 5. Формулы приведения
105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов.
106. Формулы приведения.
Глава IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА И ИХ ГРАФИКИ
§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента
108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций.
109. Некоторые неравенства и их следствия.
§ 2. Графики тригонометрических функций
110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций.
111. Основные графики.
112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций.
113. Дальнейшие примеры построения графиков функций.
Глава X. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
114. Расстояние между двумя точками на плоскости.
115. Косинус суммы и разности двух аргументов.
116. Синус суммы и разности двух аргументов.
117. Тангенс суммы и разности двух аргументов.
118. О формулах сложения для нескольких аргументов.
§ 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a
119. Тригонометрические функции двойного аргумента.
120. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a при натуральном числе n.

121. Тригонометрические функции половинного аргумента.
122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента а через tg(a/2).
§ 3. Преобразование в сумму выражений вида sina•cosb, cosa•cosb и sinа•sinb
§ 4. Преобразование в произведение сумм вида
§ 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента
127. Преобразование в произведение выражения a•sina + b•cosa.
128. Преобразование в произведение выражений a•sina+b и a•cosa+b
129. Преобразование в произведение выражения a•tga+b.
Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
130. Функция у = arcsin x (арксинус).
131. Функция y = arccos x (арккосинус).
132. Функция y = arctg x (арктангенс).
133. Функция y = arcctg x (арккотангенс).
134. Пример.
§ 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями
135. Тригонометрические операции.
136. Операции сложения (вычитания).
§ 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями
137. Функция у = arcsin (sin x).
138. Функция y = arctg (tg x).
Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
139. Уравнение sin х = а.
140. Уравнение cos х = a.
141. Уравнение tg x = a.
142. Уравнение ctg x = a.
143. Некоторые дополнения.
§ 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента
145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента.
146. Способ разложения на множители.
147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.
§ 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем
148. Введение вспомогательного аргумента.
149. Преобразование произведения в сумму или разность.
150. Переход к функциям удвоенного аргумента.
151. Решение уравнения типа…
152. Применение подстановок sinx ± соsx = y.
§ 4. Решение тригонометрических неравенств
154. Простейшие тригонометрические неравенства.
155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим.
Часть вторая. ГЕОМЕТРИЯ
156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок.
157. Плоскость. Фигуры и тела.
160. Равенство фигур. Движение.
161. Равенство тел.
§ 2. Измерение геометрических величин
162. Сложение отрезков. Длина отрезка.
163. Общая мера двух отрезков.
164. Сравнительная длина отрезков и ломаных.
165. Измерение углов.
166. Радианная мера угла.
167. Измерение площадей.
168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда.
Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
169. Перпендикуляр и наклонные.
170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине.
171. Параллельные прямые.
172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей.
173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами.
§ 2. Геометрические места точек. Окружность
174. Геометрическое место точек.
175. Свойство биссектрисы угла.
176. Окружность.
177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая.
178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент.
179. Взаимное расположение двух окружностей.
§ 3. Основные задачи на построение
181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров.
182. Построение углов.
183. Другие задачи на построение.
Глава XV. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
184. Стороны и углы треугольника.
185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность.
186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность.
187. Медианы и выcоты треугольника.
188. Равенство треугольников.
189. Построение треугольников.
190. Равнобедренные треугольники.
191. Прямоугольные треугольники.
§ 2. Параллелограммы
192. Четырехугольники.
193. Параллелограмм и его свойства.
194. Прямоугольник.
§ 3. Трапеция
196. Трапеция.
197. Средняя линия треугольника.
198. Средняя линия трапеции.
199. Деление отрезка на равные части.
§ 4. Площади треугольников и четырехугольников
200. Площадь параллелограмма.
201. Площадь треугольника.
202. Площадь трапеции.
Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
203. Пропорциональные отрезки.
204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника.
§ 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия)
205. Определение гомотетичных фигур.
206. Свойства преобразования подобия.
§ 3. Общее подобное соответствие фигур
207. Подобные фигуры.
208. Периметры и площади подобных треугольников.
209. Применение подобия к решению задач на построение.
Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ
210. Углы с вершиной на окружности.
211. Углы с вершиной внутри и вне круга.
212. Угол, под которым виден данный отрезок.
213. Четырехугольники, вписанные в окружность.
214. Пропорциональные отрезки в круге.
215. Задачи на построение.
§ 2. Метрические соотношения в треугольнике
216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
218. Теорема синусов. Формула Герона.
217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого утла и треугольнике. Теорема косинусов.
218. Теорема синусов. Формула Герона.
219. Радиусы вписанной и описанной окружностей.
§ 3. Решение треугольников
220. Таблицы функций.
221. Решение треугольников. Сводка основных формул.
222. Решение прямоугольных треугольников.
223. Решение косоугольных треугольников.
Глава XVIII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА
224. Выпуклые многоугольники.
225. Правильные многоугольники.
226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой.
227. Периметр и площадь правильного n-угольника.
228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника.
§ 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей
229. Длина окружности.
230. Площадь круга и его частей.
Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости.
233. Взаимное расположение двух плоскостей.
234. Свойства параллельных прямых и плоскостей.
235. Построения в стереометрии.
§ 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей
236. Перпендикуляр к плоскости.
237. Перпендикуляр и наклонные.
238. Угол между прямой и плоскостью.
239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей.
240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
§ 3. Двугранные и многогранные углы
241. Двугранный угол.
242. Взаимно перпендикулярные плоскости.
243. Трехгранные углы.
244. Многогранные углы.
§ 4. Многогранники
245. Многогранники.
246. Правильные многогранники.
Глава XX. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА
247. Цилиндры и призмы.
248. Параллелепипеды.
249. Объемы призм и цилиндров.
250. Площадь боковой поверхности призмы.
251. Площадь поверхности цилиндра.
§ 2. Пирамида. Конус
252. Свойства пирамиды и конуса.
253. Объем пирамиды и конуса.
254. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и конуса.
255. Усеченный конус и усеченная пирамида.
§ 3. Шаровая поверхность. Шар
256. Шар и шаровая поверхность.
257. Объем шара и его частей.
258. Площадь поверхности шара и ее частей.
259. Понятие телесного угла.
Ответы к упражнениям
Приложения

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8Найти точное значениеcos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

Sina Sinb — Формула, Примеры, Доказательство

Sina Sinb — важная формула в тригонометрии, которая используется для упрощения различных задач в тригонометрии. Формула Sina Sinb может быть получена с использованием формул сложения и вычитания функции косинуса. Он используется для нахождения произведения функции синуса для углов a и b. Результат формулы sina sinb задается как (1/2) [cos (a — b) — cos (a + b)].

Давайте подробно разберем формулу sin a sin b и ее вывод в следующих разделах, а также ее применение при решении различных математических задач.

1. Что такое Сина Синб в тригонометрии?
2. Сина Синб Формула
3. Доказательство формулы Sina Sinb
4. Как применять формулу Sina Sinb?
5. Часто задаваемые вопросы о Sina Sinb

Что такое Сина Синб в тригонометрии?

Sina Sinb — тригонометрическое тождество для двух разных углов, сумма и разность которых известны. Он применяется, когда известны либо два угла a и b, либо сумма и разность углов. Его можно получить, используя тождества суммы углов и разностей функции косинуса cos (a + b) и cos (a — b) тригонометрических тождеств, которые являются одними из важных тригонометрических тождеств.

Формула Sina Sinb используется для определения произведения функции синуса для углов a и b по отдельности. Формула sina sinb представляет собой половину разности косинусов разности и суммы углов a и b, то есть sina sinb = (1/2)[cos(a — b) — cos(a + b)].

Сина Синб Формула

Произведение sina sinb на разность в тригонометрии для углов a и b задается как sina sinb = (1/2)[cos(a — b) — cos(a + b)]. Здесь a и b — углы, а (a + b) и (a — b) — их составные углы. Формула Sina Sinb используется, когда даны либо углы a и b, либо даны их сумма и разность.

Доказательство формулы Sina Sinb

Теперь, когда мы знаем формулу sina sinb, мы выведем формулу, используя тождества суммы углов и разностей функции косинуса. Тригонометрические тождества, которые мы будем использовать для вывода формулы sin a sin b:0005

  • cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin b — (1)
  • cos (a — b) = cos a cos b + sin a sin b — (2)

Вычитая уравнение (1) из (2), получаем

cos (a — b) — cos (a + b) = (cos a cos b + sin a sin b) — (cos a cos b — sin a sin b)

⇒ cos (a — b) — cos (a + b) = cos a cos b + sin a sin b — cos a cos b + sin a sin b

⇒ cos (a — b) — cos (a + b) = cos a cos b — cos a cos b + sin a sin b + sin a sin b

⇒ cos (a — b) — cos (a + b) = sin a sin b + sin a sin b [Термин cos a cos b был отменен из-за противоположных знаков]

⇒ cos (a — b) — cos (a + b) = 2 sin a sin b

⇒ sin a sin b = (1/2)[cos (a — b) — cos (a + b)]

Отсюда была выведена формула sina sinb.

Таким образом, sina sinb = (1/2)[cos(a — b) — cos(a + b)]

Как применять формулу Sina Sinb?

Далее мы поймем применение формулы sina sinb при решении различных задач, поскольку мы вывели формулу. Тождество sin a sin b можно использовать для решения простых тригонометрических задач и сложных задач интегрирования. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы четко понять концепцию, и следуем приведенным ниже шагам, чтобы научиться применять тождество sin a sin b:

Пример 1: Выразите sin x sin 7x как разность функции косинуса, используя формулу sina sinb.

Шаг 1: Мы знаем, что sin a sin b = (1/2)[cos(a — b) — cos(a + b)].

Определите a и b в данном выражении. Здесь а = х, b = 7х. Используя приведенную выше формулу, мы перейдем ко второму шагу.

Шаг 2: Подставьте значения a и b в формулу.

sin x sin 7x = (1/2)[cos (x — 7x) — cos (x + 7x)]

⇒ sin x sin 7x = (1/2)[cos (-6x) — cos (8x)]

⇒ sin x sin 7x = (1/2) cos (6x) — (1/2) cos (8x) ) [Потому что cos(-a) = cos a]

Следовательно, sin x sin 7x может быть выражен как (1/2) cos (6x) — (1/2) cos (8x) как разность функции косинуса .

Пример 2: Решите интеграл ∫ sin 2x sin 5x dx.

Чтобы решить интеграл ∫ sin 2x sin 5x dx, воспользуемся формулой sin a sin b.

Шаг 1: Мы знаем, что sin a sin b = (1/2)[cos(a — b) — cos(a + b)]

Определите a и b в данном выражении. Здесь а = 2х, b = 5х. Используя приведенную выше формулу, мы имеем

Шаг 2: Подставьте значения a и b в формулу и решите интеграл.

sin 2x sin 5x = (1/2)[cos (2x — 5x) — cos (2x + 5x)]

⇒ sin 2x sin 5x = (1/2)[cos (-3x) — cos (7x) )]

⇒ sin 2x sin 5x = (1/2)cos (3x) — (1/2)cos (7x) [Поскольку cos(-a) = cos a]

Шаг 3: Теперь замените sin 2x sin 5x = (1/2)cos (3x) — (1/2)cos(7x) в интеграл ∫ sin 2x sin 5x dx. Воспользуемся интегральной формулой функции косинуса ∫ cos x = sin x + C

∫ sin 2x sin 5x dx = ∫ [(1/2)cos (3x) — (1/2)cos (7x)] dx

⇒ ∫ sin 2x sin 5x dx = (1/2) ∫ cos ( 3x) ​​dx — (1/2) ∫ cos (7x) dx

⇒ ∫ sin 2x sin 5x dx = (1/2) [sin (3x)]/3 — (1/2) [sin (7x)] /7 + C

⇒ ∫ sin 2x sin 5x dx = (1/6) sin (3x) — (1/14) sin (7x) + C

Следовательно, интеграл ∫ sin 2x sin 5x dx = (1 /6) sin (3x) — (1/14) sin (7x) + C по формуле sin a sin b.

Важные замечания по формуле sina sinb

  • sin a sin b применяется, когда известны либо два угла a и b, либо сумма и разность углов.
  • sin a sin b = (1/2)[cos(a — b) — cos(a + b)]
  • Его можно получить, используя тождества суммы углов и разностей функции косинуса

Темы, относящиеся к sina sinb:

  • cos a cos b
  • потому что 2pi
  • соз (а — б)

Часто задаваемые вопросы о Sina Sinb

Что такое формула Sina Sinb в тригонометрии?

Sina Sinb — важная формула в тригонометрии, которая используется для упрощения различных задач тригонометрии. Формула sin a sin b выглядит следующим образом: sin a sin b = (1/2)[cos(a — b) — cos(a + b)].

Что такое Формула 2 Sina sinb?

Мы знаем, что sina sinb = (1/2)[cos(a — b) — cos(a + b)] ⇒ 2 sin a sin b = cos(a — b) — cos(a + b) . Следовательно, формула 2 sin a sin b равна cos(a — b) — cos(a + b).

Как подтвердить свою личность?

Тригонометрические тождества, которые используются для вывода формулы sina sinb:

  • cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin b
  • cos (a — b) = cos a cos b + sin a sin b

Вычтите два приведенных выше уравнения и упростите их, чтобы получить тождество sin a sin b.

Что такое расширение Sina Sinb в тригонометрии?

Формула разложения sina sinb в тригонометрии для углов a и b задается как sin a sin b = (1/2)[cos(a — b) — cos(a + b)]. Здесь a и b — углы, а (a + b) и (a — b) — их составные углы.

Как применять формулу Sina Sinb?

Тождество sina sinb можно использовать для решения простых тригонометрических задач и сложных задач интегрирования. Формула для sin a sin b может применяться в терминах cos (a — b) и cos (a + b) для решения различных задач.

Как использовать sina sinb Identity в тригонометрии?

Чтобы использовать формулу sin a sin b, сравните данное выражение с формулой sin a sin b = (1/2)[cos(a — b) — cos(a + b)] и подставьте соответствующие значения углов a и б решить проблему.

Sin A+Sin B — формула, доказательство, пример к формулам произведения, используемым для представления суммы функции синуса для углов A и B в форме их произведения. Результат для sin A + sin B дается как 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A — B).

Давайте разберем формулу sin A + sin B и ее доказательство в деталях, используя решенные примеры.

1. Что такое Sin A + Sin B Тождество в тригонометрии?
2. Сумма Sin A + Sin B в формуле произведения
3. Доказательство греха A + формула греха B
4. Как применить Sin A + Sin B?
5. Часто задаваемые вопросы о Sin A + Sin B

Что такое тождество SinA + SinB в тригонометрии?

Тригонометрическое тождество sinA + sinB используется для представления суммы синусов углов A и B, sin A + sin B в виде произведения с использованием сложных углов (A + B) и (A — B). В нем говорится, что sin A + sin B = 2 sin [(A + B)/2] cМы подробно изучим формулу sin A + sin B в следующих разделах.

Сумма Sin A + Sin B в формуле произведения

Сумма sin A + sin B в формуле произведения в тригонометрии для углов A и B задается как,

Sin A + Sin B = 2 sin [½ (A + B)] cos [½ (A — B)]

Здесь A и B — углы, а (A + B) и (A — B) — их составные углы.

Доказательство формулы SinA + SinB

Мы можем привести доказательство формулы sin A + sin B (sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A — B)) с помощью разложения sin(A + B) и sin( А — Б) формула. Мы знаем, используя тригонометрические тождества, ½ [sin(α + β) + sin(α — β)] = sin α cos β для любых углов α и β. Отсюда

[sin(α + β) + sin(α — β)] = 2 sin α cos β … (1)

Предположим, что (α + β) = A и (α — β) = B

⇒ 2α = А + В
⇒ α = (A + B)/2

⇒ 2β = A — B
⇒ β = (A — B)/2

Подставляя все эти значения в (1)

⇒ sinA + sinB = 2 sin ½(A + B) cos ½(A — B)

Следовательно, доказано.

Как применить грех A + грех B?

Мы можем применить формулу sin A + sin B как сумму к идентичности продукта. Давайте разберемся с его применением на примере sin 60º + sin 30º. Мы решим значение данного выражения двумя способами, используя формулу и непосредственно применяя значения, и сравним результаты. Взгляните на приведенные ниже шаги.

  • Сравните углы A и B с данным выражением, sin 60º + sin 30º. Здесь А = 60º, В = 30º.
  • Решая с помощью расширения формулы sin A + sin B, заданной как sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A — B), мы получаем,
    Sin 60° + Sin 30° = 2 sin ½ (60° + 30°) cos ½ (60° — 30°) = 2 sin 45° cos 15° = 2 (1/√2) ((√3 + 1)/2√2) = (√ 3 + 1)/2.
  • Также мы знаем, что sin 60º + sin 30º = (√3/2 + 1/2) = (√3 + 1)/2 (из таблицы триггеров).

Таким образом, результат подтвержден.

☛ Связанные темы:

  • Тригонометрическая таблица
  • Тригонометрические функции
  • грех кост загар
  • Закон синусов

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять концепцию sin A + sin B.

 

Примеры использования идентификатора Sin A + Sin B

  1. Пример 1: Найдите значение sin 200º + sin 20º, используя тождество sin A + sin B.

    Решение:

    Мы знаем, sinA + sinB = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A — B)

    Здесь A = 200º, B = 20º

    sin 200º + sin 20º = 2 sin ½ (200º + 20º) cos ½ (200º — 20º)

    = 2 sin 110º Cos 90º

    = 0 [ ∵ COS 90º = 0]

    Ответ: SIN 200º + SIN 20º = 0

  2. Пример 2: Используя значения углов из тригонометрической таблицы, решите выражение: 2 sin 67,5° cos 22,5°.

    Решение:

    Мы можем переписать данное выражение в виде 2 sin 67,5º cos 22,5º = 2 sin ½ (135)º cos ½ (45)º

    Предполагая A + B = 135º, A — B = 45º и решая для A и B, мы получаем, A = 90º и B = 45º.

    ⇒ 2 sin ½ (135)º cos ½ (45)º = 2 sin ½ (90º + 45º) cos ½ (90º — 45º)

    Мы знаем, sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B ) cos ½ (A — B)

    2 sin ½ (90° + 45°) cos ½ (90° — 45°) = sin 90° + sin 45° = 1 + (1/√2).

    Ответ: 2 sin 67,5º cos 22,5º = 1 + (1/√2)

  3. Пример 3: Докажите, что [(sin A — sin B)/(cos A + cos B)] + [(cos A — cos B)/(sin A + sin B)] = 0.

    Решение :

    Здесь, L.H.S. = [(sin A — sin B)/(cos A + cos B)] + [(cos A — cos B)/(sinA + sinB)]

    = [2 cos ½ (A + B) sin ½ (A — B)]/[2 cos ½ (A + B) cos ½ (A — B)] + [- 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A — B)]/[2 sin ½ (A + B) ) cos ½ (A — B)]

    = [sin ½ (A — B)]/[cos ½ (A — B)] + [- sin ½ (A — B)]/[cos ½ (A — B)]

    = [sin ½ (A — B)]/[cos ½ (A — B)] — [ sin ½ (A — B)]/[cos ½ (A — B)]

    = 0

    = R.H.S.

    Значит, доказано.

    Ответ: Данное тождество доказано.

  4. Пример 4: Проверить данное выражение, используя разложение sin A + sin B: sin 70° + cos 70° = 2 sin 45° cos 25°

    Решение:

    У нас есть, Л.Х.С. = sin 70° + cos 70°

    Так как, cos 70° = cos(90° — 20°) = sin 20°

    ⇒ sin 70° + cos 70° = sin 70° + sin 20°

    Используя sin A + sin B = 2 sin ½ (A + sin B = 2 sin ½ + B) cos ½ (A — B)

    ⇒ sin 70° + sin 20° = 2 sin ½ (70° + 20°) cos ½ (70° — 20°)

    = 2 sin 45° cos 25°

    = R. H.S.

    Следовательно, проверено.

    Ответ: Данное уравнение доказано.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по греху A + греху B

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о Sin A + Sin B

Какова ценность греха A плюс греха B?

Sin A плюс Sin B представляет собой тождество или тригонометрическую формулу, используемую для представления суммы синусов углов A и B, Sin A + Sin B в форме произведения с использованием сложных углов (A + B) и (A — Б). Здесь А и В — углы.

Что такое формула SinA + SinB?

Формула SinA + SinB для двух углов A и B может быть представлена ​​как sinA + sinB = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A — B).

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *