Формула синуса квадрат: Синус в квадрате, формула и примеры

Содержание

Тригонометрические тождества и преобразования


Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств. 
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.


Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс - нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус "минус альфа" даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:


Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла

) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем  α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α 
cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой - сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель - единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель - единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой - произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла - преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце - угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90)  = cos α .

См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.


Угол α + 90
α + π/2
α + 180
α + π
α + 270
α + 3π/2
90 - α
π/2- α
180 - α
π- α
270 - α
3π/2- α
360 - α
2π- α
sin cos α -sin α -cos α cos α sin α -cos α -sin α
cos -sin α -cos α sin α sin α -cos α -sin α cos α
tg -ctg α tg α -ctg α ctg α -tg α ctg α -tg α
ctg -tg α ctg α -tg α tg α -ctg α tg α -ctg α
Содержание главы:
 Синус, ко синус, тангенс угла 120 градусов (sin 120 cos 120 tg 120) | Описание курса | Пояснение (доказательство) простейших тригонометрических тождеств 

   

Основные формулы тригонометрии. - Тригонометрия.

Теорема синусов[править | править вики-текст]

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного треугольника

где  — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов[править | править вики-текст]

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами  и углом , противолежащим стороне ,

или:

Теорема тангенсов[править | править вики-текст]

Формула Эйлера[править | править вики-текст]

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа  выполнено следующее равенство:

где  — основание натурального логарифма,  — мнимая единица. Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания формул Эйлера:

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением.

2 в степени синус квадрат х

На чтение 7 мин. Просмотров 65 Опубликовано

два в степени синус квадрат икс плюс 2 в степени косинус квадрат икс равно трем

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Elnur4523 16.2 x) + 16 = 0

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α — sin 3 α 4 sin 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 — cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α и cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin 3 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 — cos 2 α 2 ) 2 = 1 — 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 — 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 — 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n 2 — k k = 0 n 2 — 1 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид

sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n — 1 ∑ ( — 1 ) n — 1 2 — k k = 0 n — 1 2 · C k n · cos ( ( n — 2 · k ) α ) .

C p q = p ! q ! · ( p — q ) ! — это число сочетаний из p элементов по q .

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n — 1 · ∑ ( — 1 ) n — 2 2 — k k = 0 n — 1 2 — k · C k n · sin ( ( n — 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим

sin 3 α = 1 2 3 — 1 · ∑ ( — 1 ) 3 — 1 2 — k k = 0 3 — 1 2 — k · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( — 1 ) 1 — k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 — 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 — 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 — 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 — 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 — 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( — 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( — 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 — 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( — sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α — sin 3 α 4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .

По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( — 1 2 ) 8 = 9 16

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α — sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .

Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 — sin 6 β 5 4 .

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.

[email protected] Выход

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>
С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Тригонометрические функции числового аргумента

здравствуйте тема данного видеоурока тригонометрические функции числового аргумента предыдущих уроках мы с вами научились находить синус кость на странице к танец для любого числа ты на примере синуса напомню что для того чтобы найти синус числа ты мы для числа т ставим соответствие некоторую точку на числовой окружности знает точку на числовой окружности мы находим ее x к y координату это y-координата будет синусом таким образом мы числу ты ставим соответствие некоторое значение синус ты именно словами мы задали функцию числового аргумента мы задали функцию синус ты которые каждому числу т ставит в соответствие некоторое значение аналогично и с другими функциями с функции синус и косинус танец и к танец называется тригонометрическими но для того чтобы найти значение синуса мы должны проделать довольно таки большой путь это не всегда удобно поэтому нам необходимо вывести некоторые соотношение между этими функциями для того чтобы определять их более удобным способом 1 формул который мы с вами уже знаем это синус квадрат плюс косинус квадрат равен единице эта форма получается из уравнения окружности x квадрат плюс y квадрат равен 1 где вместо x y мы ставим соответственно синус и косинус также мы знаем с вами что танец это отношение синуса на косинус х танец это отношение косинусы на синус из последнего соотношения легко установить следующие правила что тангенс умноженное на k танец равняется 1 действительно если мы перемножим левой части перемножаем и правой части синусы сократятся косинус сократятся останется единицы иными словами можно написать танец степ равняется единица деленной на к танец или наоборот давайте рассмотрим пример попробуем упростить следующее выражение один плюс тангенс квадрате т для того чтобы упростить распишем танец танец мы знаем это синус деленный на косинус в квадрате соответственно будет синус в квадрате деленное на косинус квадрат найдем общий знаменатель получим косинус в квадрате ты сюда дополнительный множитель косинус будет косинус квадрат плюс синус квадрат но косинус квадрат пусти нас квадрат мы с вами знаем это единицы значит это будет 1 деленное на косинус квадрат и т таким образом мы получили что 1 + танец квадрате равняется 1 деленное на косинус в квадрате эта формула которая связывает танец и косинус аналогично мы можем получить формулу 1 плюс котангенс квадрате t будет равняться единице деленный на синус в квадрате д вот эти две формулы вместе с предыдущими четырьмя формулами образуют так называемый основные тригонометрические тождества давайте рассмотрим следующий пример пусть у нас известно значение синуса некоторое 2 числа т и пусть оно равняется допустим три пятых требуется найти значение всех остальных функций косинуса танец и и катар лица давайте будем считать что в данном случае еще известно что ты у нас принадлежит первой четверти найдем косинус мы знаем формулу синус квадрат плюс косинус квадрат равняется единице отсюда выражаем косинус отсюда косинус тета будет равняться единице минус синус квадрате это будет косинус квадрате и извлекаем корень вообще говоря когда мы извлекаем корень здесь должно появиться плюс-минус но так как у нас известно что ты из первой четверти а в первой четверти мы знаем кость у нас положительный значит здесь будет плюс тогда косинус равен корень 1 минус синус квадрат подставляем вместо синуса значение один минус три пятых квадрате это будет 925 их вычисляя вот это мы получим четыре пятых значит косинус у нас будет четыре пятых осталось найти танец танец мы знаем что это синус деленная на косинус синус у нас три пятых делить на косинус четыре пятых это будет три четвертых тогда к танец мы знаем что танец умножить на k танец это один то есть к танец равняется 1 деленное на танец иначе говорят так перевернуты танец три четвертых значит к танец будет четыре третьих таким образом зная только одну функцию допустим нашем случае синус и знает какой четверти принадлежит аргумент мы сможем найти все остальные функции рассмотрим еще один такой пример пусть у нас тангенс т равняется минус 512 их и пусть те принадлежит допустим второй четверти давайте найдем все остальные значения мы знаем формулу который связывает тангенс и косинус а именно 1 плюс stan getz квадрат равняется единице деленное на косинус квадрат отсюда осталось выразить косинус косинус t будет равняться единице деленное на вот эту сумму извлекаем корень теперь смотрим так как у нас т принадлежит второй четверти косинуса второй четверти отрицательный значит перед корнем появится знак минус теперь подставляем значения это будет минус 11 плюс войны с квадрате то есть пять 12х минус 512 в квадрате это будет 25 144 тогда если мы посчитаем мы получим 12 13 их со знаком минус зная косинус мы легко находим синус мы можем найти синус из формула 1 минус косинус квадрат под корнем но легче будет найти с помощью тангенсы мы знаем что тангенс это синус делена косинус отсюда мы можем получить синус как танец умноженное на косинус подставляем танец у нас минус 512 их косинусы нас минус 12 13 их этого будет 513 их мы нашли синус осталось найти каталонец к танец мы находим как единица деленное на танец это будет -12 пятых таким образом мы нашли все все значения косинус синус и к танец на этом данный видео урок окончен [музыка]

Найдите тангенс альфа если синус

В данной статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с выражениями. Задания данной группы довольно разнообразны. Если вы запомнили свойства степеней, корней и логарифмов, знаете основные формулы тригонометрии, и постоянно практикуетесь, то большинство задач для вас никакого труда не представят.

Относительную сложность могут вызывать следующие:

— преобразования буквенных иррациональных выражений
— вычисление значений тригонометрических выражений
— преобразования тригонометрических выражений

Если перечислить все группы задач, то они довольно разнообразны.

Они включают в себя: ПОКАЗАТЬ/СКРЫТЬ

Здесь мы с вами разберём задачи на вычисление значений тригонометрических выражений. Конечно, все их в одной статье разобрать невозможно. Но мы обязательно разберём и другие примеры, не пропустите!

Итак, что обязательно вы должны знать и всегда помнить? Это знаки тригонометрических функций в четвертях. ЭТО ВАЖНО!!!

Как  осознать эту  информацию и понять  следствием чего она является –  об этом будет отдельная статья (если вы это знаете, то прекрасно). Пока предлагаю пока просто запомнить:

Основное тригонометрическое тождество:

Формулы тангенса и котангенса:

Выполняются элементарные алгебраические преобразования:

1. Числитель и знаменатель дроби можем умножать и делить на одно и тоже число.
2. Левую и правую часть уравнения можем умножать и делить на одно и тоже число.

В представленных ниже заданиях используется основное тригонометрическое тождество и формула тангенса.

Найдите тангенс альфа, если

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

Косинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Теперь ВАЖНЫЙ момент: необходимо определить знак синуса для интервала (3Пи/2;2Пи). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть).  Как переводить радианы в градусы можно посмотреть здесь. Значение синуса в этой четверти отрицательное, поэтому:

Таким образом:

Ответ: – 0,5

Найдите tg α, если

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

Cинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение косинуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Определяем знак косинуса для интервала (Пи/2;Пи). Это интервал  от 90 до 180 градусов (вторая четверть). Значение косинуса в этой четверти отрицательное (смотрите эскиз). Поэтому

Таким образом:

Ответ: – 0,25

Найдите 5·cos α, если синус альфа

Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos2x = 1– sin2x и

Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу (3Пи/2;2Пи).

Это интервал от 270 до 360 градусов  (четвёртая четверть).  Значение косинуса в этой четверти  положительное, поэтому:

Таким образом, 5·cos α = 5∙0,7 = 3,5

Ответ: 3,5

Найдите 0,1·sin α, если

Необходимо найти синус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что sin2x = 1– cos2x  и

Определим знак синуса. Угол принадлежит интервалу (0; Пи/2).

Это интервал от 0 до 90 градусов  (первая четверть).  Значение синуса в этой четверти  положительное, поэтому:

Таким образом 0,1·sin α = 0,1∙0,3 = 0,03

Ответ: 0,03

Общая рекомендация для следующих данных примеров! Если требуется найти тангенс аргумента (квадрат  тангенса), то осуществляем деление на косинус (квадрат косинуса). Если требуется найти котангенс аргумента (квадрат  котангенса), то осуществляем деление на синус (квадрат синуса). Примеры:

65217. Найдите tg2 α, если  3sin2 α + 8 cos2 α = 7

Требуется найти квадрат тангенса. Разделим обе части уравнения на cos2 α, получим:

Второй способ:

Далее по формуле основного тригонометрического тождества можно найти квадрат синуса и используя формулу тангенса вычислить уже его квадрат:

Ответ: 0, 25

65269. Найдите

Преобразуем данное выражение так, чтобы в числителе и знаменателе был тангенс. Разделим числитель и знаменатель на cos α, получим:

Ответ: – 0,5

65273. Найдите

Здесь дано значение тангенса. Необходимо сделать так, чтобы в выражении у нас был тангенс. Вынесем cosα за скобки в числителе и знаменателе (или разделим числитель и знаменатель на  cosα), получим:

Подставим значение тангенса данное в условии, получим:

*Косинус у нас сократился.

Ответ: 4

65363. Найдите tg α, если

В левой части в числителе и знаменателе вынесем cosα за скобки, получим:

Ответ: 0,4

65423. Найдите tg α, если

Умножим обе части уравнения на  4 (2sinα+cosα+1)

Ответ: –1,9

26775. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26776. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26777. Найдите 3cos α, если

Посмотреть решение

26778. Найдите 5sin α, если

Посмотреть решение

26787. Найдите  tg2 α, если

Посмотреть решение

26788. Найдите

Посмотреть решение

26789. Найдите

Посмотреть решение

26790. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26791. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

Подведём итог, для решения подобных примеров вы:

1. Должны знать на зубок основные формулы тригонометрии.
2. Не забывать определять знак (+ или -) для тригонометрических функций в четвертях. Потерянный знак на экзамене – это ошибка и потерянный бал, будьте внимательны!!!

Надеюсь, что материал был для вас полезен.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град. )
96 Найти точное значение tan((7pi)/6)
97 Найти точное значение cos(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100 Преобразовать из градусов в радианы 88 град.

Понижение степени косинуса в квадрате

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α – sin 3 α 4 sin 4 = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 – 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α – 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α – 4 · sin 3 α и cos 3 α = – 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin 3 α = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 – cos 2 α 2 ) 2 = 1 – 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 – 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 · ∑ ( – 1 ) n 2 – k k = 0 n 2 – 1 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ ( – 1 ) n 2 – k k = 0 n 2 – 1 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) .

Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид

sin n α = 1 2 n – 1 · ∑ ( – 1 ) n – 1 2 – k k = 0 n – 1 2 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n – 1 ∑ ( – 1 ) n – 1 2 – k k = 0 n – 1 2 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) .

C p q = p ! q ! · ( p – q ) ! – это число сочетаний из p элементов по q .

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n – 1 · ∑ ( – 1 ) n – 2 2 – k k = 0 n – 1 2 – k · C k n · sin ( ( n – 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим

sin 3 α = 1 2 3 – 1 · ∑ ( – 1 ) 3 – 1 2 – k k = 0 3 – 1 2 – k · C k 3 · sin ( ( 3 – 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( – 1 ) 1 – k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 – 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( – 1 ) 1 – 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 – 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 – 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 – 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( – 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( – 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 – 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( – sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α – sin 3 α 4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .

По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( – 1 2 ) 8 = 9 16

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α – sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 – sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .

Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 – sin 6 β 5 4 .

Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 – sin 6 β 5 4 .

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.

Формулы понижения степени являются одним из видов основных тригонометрических формул. Они выражают степени (2, 3, …) тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс через синус и косинус первой степени, но кратного угла (`alpha, 3alpha, …` или `2alpha, 4alpha, …`).

Список всех тригонометрических формул понижения степени

Запишем данные тождества для тригонометрических функций от 2-й по 4-ю степень угла `alpha`, а также для угла `frac alpha 2` и для произведения синус на косинус.2(frac<2>)$ и затем подставим в выражение $(2)$, имеем:

Теперь выразим квадрат косинуса половинного аргумента:

Данная формула носит название формулы понижения степени косинуса.

Формулы $(4)$ и $(5)$ также иногда называют формулами половинного аргумента. Используя их, можно вывести формулы понижения степени для квадратов тангенса и котангенса половинного аргумента:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Функция синус-квадрат - исчисление

Эта статья посвящена конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел. Информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференциации и интеграции, представлена ​​в статье.
Посмотреть полный список конкретных функций в этой вики

Определение

Эта функция, обозначенная, определяется как комбинация функции квадрата и функции синуса.Явно это карта:

Для краткости запишем как.

Ключевые данные

Арт. Значение
Домен по умолчанию все действительные числа, т.е. весь диапазон
, то есть
абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период , т.е.
локальное максимальное значение и точки достижения Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются с нечетным целым числом, кратным.
локальное минимальное значение и точки достижения Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных.
точки перегиба (обе координаты) нечетных кратных, со значением 1/2 в каждой точке.
производная , т.е. двухугловая синусоидальная функция.
вторая производная
производная раз выражение, которое является или, в зависимости от остатка от мода
первообразное
среднее значение за период 1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии четная функция (следует из композиции четной функции с нечетной функцией, четной функцией квадрата и нечетной функцией синуса)
в более общем смысле, зеркальной симметрией относительно любой вертикальной линии формы, целым числом.
Кроме того, симметрия на пол-оборота относительно всех точек формы.
Описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутости вверх / вниз Для каждого целого числа интервал от до делится на четыре части:
: увеличивающийся и вогнутый вверх
: увеличивающийся и вогнутый вниз
: убывающий и вогнутый вниз,
: убывающий и вогнутый вверх
силовая серия и серия Тейлора Ряд степеней около 0 (который, следовательно, также ряд Тейлора) равен

Это глобально сходящийся ряд степеней.

Личности

У нас есть следующие важные личности:

График

Вот график на интервале в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и. Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение:

Красные точки указывают точки перегиба, а черные точки указывают локальные экстремальные значения.

Вот изображение, показывающее функцию (синий) и функцию косинуса в квадрате (фиолетовый) с пунктирной линией.На картинке показано, что:

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : правило цепочки для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного углового косинуса

У нас есть:

Это можно сделать двумя способами.

Используя цепное правило дифференциации, мы имеем:

По формуле синуса двойного угла это то же самое, что.

В качестве альтернативы, используя формулу двойного углового косинуса, мы перепишем:

Различая, получаем:

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Считай. Как было вычислено ранее, мы имеем:

Это равно нулю точно в точках, где, так.Другими словами, критические точки возникают в целых числах, кратных.

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция положительна для, с и отрицательна для, с. Разделив на 2, получим:

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах увеличения и уменьшения делаем вывод, что:

Интервалы подъема и опускания подбарабанья

Вторая производная - это функция. Это положительно для и отрицательно для, где.Таким образом получаем:

Точки перегиба

Из определения интервалов, где находится вогнутый вверх и вогнутый вниз, мы обнаруживаем, что точки перегиба являются точками с координатой -координатой, нечетной кратной. Значение функции во всех этих точках равно.

  • В точках с функция переходит от вогнутого вверх (слева) к вогнутому вниз (справа).
  • В точках с функция переходит от вогнутости вниз (слева) к вогнутости вверх (справа).

Интеграция

Первая первообразная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного углового косинуса, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции
Использование формулы двойного углового косинуса

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Для интегрирования мы используем метод интегрирования линейного преобразования функции, чтобы получить. Подключив это, мы получаем:

Использование интеграции по частям

Переписываем и используем интеграцию по частям в ее рекурсивной версии:

Перепишем и получим:

Установка как выбор первообразной, так что вышеупомянутое выполняется без каких-либо свободно плавающих констант, мы получаем:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем проверить, что это соответствует предыдущему ответу.

Для данной непрерывной функции на связном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть в точности равными, но это , обычно не обязательно .
См. Нулевую производную подразумевает локальную константу

График функции с первообразной

На рисунке ниже мы изображаем (синий) и функцию (фиолетовый). Это уникальная первообразная, которая принимает значение 0 на 0.Остальные первообразные можно получить, сдвинув пурпурный график по вертикали:

Черные точки соответствуют локальным экстремальным значениям, а красные точки соответствуют точкам перегиба первообразной. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится на той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба первообразной соответствуют локальным экстремальным значениям исходной функции. Дальше:

Определенные интегралы

Часть первообразной означает, что линейная часть первообразной имеет наклон, и это связано с тем фактом, что имеет среднее значение на любом интервале длины, равной периоду.Фактически ясно, что функция является синусоидальной функцией около.

Таким образом, имеем:

где - целое число.

Среднее значение на интервале длины, кратном периоду. Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение очень близко к 1/2, даже если оно не обязательно должно быть точно 1/2. Конкретно:

Преобразованные версии

На основе интегрирования, мы также можем интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также на любом интервале длины, кратной периоду.Также на достаточно большом интервале среднее значение близко к 1/2:

Высшие первообразные

Антидифференцировать можно более одного раза. Первообразная - это сумма полинома степени и тригонометрической функции с периодом.

Серия

Power и серия Тейлора

Вычисление степенного ряда

Мы можем использовать удостоверение личности:

вместе со степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для.

Степенный ряд для функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Силовая серия для:

Силовая серия для:

Разделив на 2, получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более четко:

Полиномы Тейлора как приближения

Обратите внимание, что, поскольку является четной функцией, все ее многочлены Тейлора также являются четными многочленами.На рисунке ниже мы рассматриваем графики и его второго, четвертого и шестого тейлоровских приближений.

Предельные вычисления

Порядок нуля

Мы получаем следующий предел из степенного ряда:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел можно вычислить разными способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть лимит:

Этот предел можно вычислить разными способами:

Идентичности в квадрате (Триггер без слез, часть 6)

Идентичности в квадрате (Триггер без слез, часть 6)

Триггер без слез Часть 6:

Авторские права 19972020 Стэн Браун, BrownMath.com

Резюме: В этой главе начинается изучение тригонометрических тождеств. В трех из них задействовано всего квадрата функций . Их называют пифагорейскими тождествами , потому что они просто старая добрая Теорема Пифагора в новой одежде. Учить действительно базовый , а именно sin² A + cos² A = 1, и остальные легко получить из него за один шаг.

Студенты, кажется, увязли в огромном количестве тригонометрические тождества.Как я сказал ранее, я думаю, проблема в том, что Ожидается, что студенты запомнят их все. Но на самом деле ты не должны, потому что все они всего лишь формы очень немногих основных идентичности. В следующих парах глав мы исследуем эту идею.

Например, давайте начнем с действительно основного идентификатора:

(38) sin² A + cos² A = 1

Это легко запомнить: он включает только основной синус и косинус, и вы не сможете ошибиться в порядке, если не попробуете.

Но вам не нужно помнить даже об этом, потому что на самом деле это просто еще один форма теоремы Пифагора . (Вы помните , что I надежда?) Просто представьте себе прямоугольный треугольник с гипотенузой единицы. блок, как показано справа.

Сначала убедитесь, что фигура правильная, что длина двух ножек sin A и cos A . (Вернитесь в сечение по длинам сторон, если вы нужно.) Теперь запишите Теорема Пифагора для этого треугольника.Вуаля! У вас есть уравнение 38.

Что приятно, так это то, что вы можете получить другой квадрат или пифагорейских тождества из этого, и вам не обязательно запомнить любой из них. Просто начните с уравнения 38 и разделите через sin² A или cos² A .

Например, как насчет загадки, которую мы начали? с, связь между tan² A и sec² A ? На него легко ответить быстрым на мой взгляд, проще, чем запоминать.

Если вам нужна личность, включающая tan² A , помните уравнение 3: tan A определяется как sin A / cos A . Следовательно, для создания айдентики с использованием tan² A вам потребуется sin² A / cos² A . Итак, возьмите уравнение 38 и разделите на по cos² A :

sin² A + cos² A = 1

sin² A / cos² A + cos² A / cos² A = 1 / cos² A

(sin A / cos A ) + 1 = (1 / cos A )

, что сразу приводит к окончательной форме:

(39) tan² A + 1 = sec² A

Вы должны уметь определить третью личность (включая cot² A и csc² A ) достаточно легко.Ты можно начать с уравнения 39 выше и использовать правила совместной функции (уравнение 6 и уравнение 7), или начнем с уравнения 38 и разделить на что-нибудь подходящее. В любом случае, убедитесь, что что вы получаете

(40) детская кроватка² A + 1 = csc² A

Возможно, вам будет проще визуализировать эти два тождества геометрически. Начнем с греха А , cos A , 1 прямоугольный треугольник вверху. Разделите все три стороны на cos A и вы получите первый треугольник ниже; разделить на sin A вместо и вы получите второй.Затем вы можете просто прочитать пифагорейский идентичности.

Из первого треугольника, tan² A + 1 = sec² A ; со второго треугольник, cot² A + 1 = csc² A .

Практические задачи

Чтобы получить максимальную пользу от этих проблем, решите их. без предварительного просмотра решений. Вернитесь к главе текст, если вам нужно освежить память.

Рекомендация : Работайте на бумаге труднее обмануть себя, действительно ли ты полностью разобраться в проблеме.

Вы найдете полный решения для всех проблем. Не просто проверяй свой ответы, но проверьте и свой метод.

1 Если sin A = 3/4, найдите cos A .

2 tan B = −2√2. Найдите sec B .

3 загар C = √15. Найдите cos C .

4 tan D = √15, Найти sin D .

5 Докажите: sin² x = tan² x / (tan² x + 1)
Предполагается, что x ≠ π / 2 + k π, для целого числа к или 90 + 180 к , если вы предпочитаю, потому что касательная для этих углов не определена.

следующий: 7 / Сумма и разница

Формула Sin в квадрате X - Выучите две формулы Sin в квадрате X

Sin в квадрате x означает грех x в квадрате целиком. Есть две формулы sin в квадрате x. Один из них получен из одного из тождеств Пифагора, а другой - из формулы двойного угла функции косинуса. Первое используется при доказательстве различных тригонометрических тождеств, тогда как второе широко используется при решении интегралов. Давайте изучим формулы sin в квадрате x вместе с выводами и несколькими решенными примерами.

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных элементов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно если вы понимаете концепции посредством визуализации.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Что такое формулы Sin в квадрате x?

Используя одно из тригонометрических тождеств, имеем sin 2 x + cos 2 x = 1. Вычитая cos 2 x с обеих сторон, мы получаем sin 2 x = 1 - cos 2 x.2x = \ dfrac {1- \ cos 2x} {2} \)

Давайте посмотрим на использование формул греха в квадрате x в следующих решенных примерах.

Решенных примеров с использованием формулы Sin в квадрате x

  1. Пример 1. Докажите следующее тригонометрическое тождество с помощью формулы sin в квадрате x: sin

    2 x - sin 4 x = cos 2 x - cos 4 x.

    Решение:

    Мы будем использовать формулу sin в квадрате x, sin 2 x = 1 - cos 2 x, чтобы доказать это.2x \, dx = \ dfrac {x} {2} - \ dfrac {\ sin 2x} {4} + C \).

Подробнее>

перейти к слайду

Тригонометрия: основные триггерные тождества - Magoosh Math

Какие основные триггерные тождества вам необходимо знать? Посмотрите видео и узнайте!

Основные триггерные идентификаторы. До сих пор мы говорили о трех основных триггерных функциях: синусе, косинусе и тангенсе. Эти три отношения.Но технически из трех сторон треугольника SOHCAHTOA можно создать шесть соотношений. Таким образом, каждая из шести функций является отдельной триггерной функцией, и действительно важно знать все шесть. Итак, мы уже знаем троих из них.

Итак, давайте посмотрим на треугольник SOHCAHTOA. Вот наш знакомый треугольник SOHCAHTOA, который имеет угол 41 градус, есть противоположная смежная сторона гипотенузы. Итак, несомненно, три из отношений, которые мы можем создать, являются знакомыми отношениями SOHCAHTOA.Но есть еще три соотношения, которые мы можем создать, и вот они.

Фундаментальные триггерные тождества: еще три отношения

Котангенс является смежным с противоположным, секансом является гипотенуза над смежным, а косеканс является гипотенузой над противоположным. И это шесть соотношений вместе. Итак, подождите секунду, что это за имена? Давайте внимательно посмотрим на эти имена, вот полные имена. Итак, мы уже говорили о синусе, косинусе и тангенсе, а теперь мы говорим о котангенсе, секансе и косекансе.

И обратите внимание, как они здесь перечислены. Если вы помните троих слева, то тройка справа - это одно и то же имя с буквой «Со» перед ним. Так что, по крайней мере, некоторые из этих имен возникли в геометрических отношениях. Поговорим об этом минутку. Итак, теперь давайте посмотрим на круг. Это может быть единичная окружность, радиус которой равен 1, центр в начале координат, поэтому AB и CD параллельны оси y.

Итак, у нас есть два вертикальных сегмента, AB и CD. И похоже, что B - это точка, где эта радиусная линия пересекает круг, она продолжается.А D выглядит так, как будто он касается круга, где он пересекает ось x. Хорошо, обратите внимание на несколько вещей. Что в треугольнике OAB, треугольник внутри круга, OB, радиус равен 1, и, конечно, OA - это косинус, а AB - синус, хорошо?

Это знакомое соотношение SOHCAHTOA. Теперь посмотрите на треугольник, треугольник чуть побольше, ОКР. Итак, это тот, который начинается в точке O, проходит через B полностью до C, спускается вниз до D и возвращается по оси x. В этом треугольнике OD равен 1.И это будет означать, что противоположный CD над 1 равен касательной, поэтому касательная равна CD.

А это значит, что гипотенуза над соседним ОС над единицей секущая. Итак, OC равно секущей. Но вот что действительно здорово в этой диаграмме. Обратите внимание, что сегмент CD, длина которого равна касательной, на самом деле касается окружности. Он проходит по кругу и касается его в одной точке.

Это касательная линия. Обратите внимание, что OC, секущая, на самом деле пересекает круг.Итак, это то, что в геометрии называется секущей линией. Вот почему эти две функции имеют такие имена, потому что одна представляет длину касательного сегмента, а другая - длину секущего сегмента. Итак, если вы очень наглядный человек, это может помочь вам немного запомнить эти вещи.

Все начинается с синуса и косинуса

Хорошо, синус и косинус - самые элементарные триггерные функции, и мы можем выразить остальные четыре через них. И это действительно важные формулы, которые нужно знать.

Касательную мы можем записать как синус над косинусом. Котангенс, мы можем записать как косинус по синусу, поэтому обратите внимание, что эти два являются обратными, тангенс и котангенс являются обратными.

Секанс - величина, обратная косинусу. А косеканс - это величина, обратная синусу. Обратите внимание, что люди иногда путаются, потому что думают, что буквы S и S должны идти вместе. C и C должны идти вместе. Они этого не делают.

Секанс - величина, обратная косинусу. Косеканс - это величина, обратная синусу.Таким образом, тест может дать вам один из них, если он вам понадобится в задаче, но он может ожидать, что вы также его запомните. Так что это действительно хорошо. Запомнить эти четыре.

Фундаментальная пифагорейская идентичность

Теперь, в первом уроке триггерной теории, мы упомянули фундаментальную пифагорейскую идентичность. Косинус в квадрате + синус в квадрате = 1. Теперь, когда у нас есть еще две функции, мы также можем выразить другие тождества Пифагора. Один из них - квадрат касательного + 1 = квадрат секущей, один - квадрат котангенса + 1 = квадрат косеканса.

Итак, тест, скорее всего, даст вам эти уравнения, если проблема потребует их. Но они могут служить ярлыком или способом подтвердить ответ. Еще я скажу, что если вы планируете заниматься математическим анализом, я гарантирую, я абсолютно гарантирую, что вам нужно знать все три этих уравнения, как только вы приступите к математическому анализу.

Чтобы запомнить? Или понять?

Я скажу несколько слов об этом. Конечно, вы можете запоминать их вслепую, но мы не рекомендуем этого делать.Мы действительно рекомендуем их понять.

Итак, если вы начнете с единицы сверху, косинус в квадрате плюс синус в квадрате = 1. Вы можете разделить все элементы с обеих сторон на квадрат косинуса, и вы получите вершину пифагорейской идентичности по нижнему касательному и секущему.

Или вы можете разделить все в квадрате косинуса плюс квадрат синуса = 1 на квадрат синуса. И тогда вы получите нижний - квадрат котангенса и косеканс. В качестве альтернативы вы можете вернуться к исходному треугольнику SOHCAHTOA с помощью ABC и начать с теоремы Пифагора, A в квадрате + B в квадрате = C в квадрате.Вы, возможно, помните, что мы получили это высшее тождество Пифагора, косинус в квадрате + синус в квадрате = 1.

Мы получили это, взяв квадрат плюс b в квадрате плюс c в квадрате и разделив все, все три члена, на c в квадрате. Что ж, вместо деления на c в квадрате мы можем разделить все три члена либо на квадрат, либо на b в квадрате. И если вы сделаете это, а затем подставите триггерные функции из соотношений, вы получите эти две пифагорейские тождества.

И поэтому я настоятельно рекомендую сделать это самостоятельно, показать несколькими разными способами, что вы можете придумать все эти уравнения, потому что тогда вы действительно их поймете.

Практическая задача

Хорошо, теперь мы можем перейти к практической задаче. Поставьте видео на паузу, и мы поговорим об этом.

Изображение Автор ONYXprj

Хорошо, в треугольнике справа, в терминах b и c, какое из следующих значений является значением касательной теты?

Хорошо, давай подумаем об этом. У нас там две стороны, нам даны b и c. И, конечно же, c - гипотенуза, b - противоположность, а касательная противоположна смежным.У нас противоположное, у нас нет соседнего, поэтому нам понадобится третья сторона.

Снова использование Пифагора!

Что ж, мы можем использовать теорему Пифагора. Итак, теорема Пифагора говорит нам, что b в квадрате плюс любой квадрат соседней стороны равняется c в квадрате. И мы можем решить это с прилегающей стороной. Смежный квадрат равен c в квадрате минус b в квадрате, получим квадратный корень из обеих сторон. Обратите внимание, что извлекая квадратный корень, мы не можем извлекать квадратный корень из c и b по отдельности.

Мы должны оставить это выражение в квадрате c минус b в квадрате. Но это выражение для длины смежных сторон: c в квадрате минус b в квадрате. Итак, теперь мы золотые, потому что касательная противоположна смежной. У нас наоборот у нас есть смежные. Так противоположно по соседству, и это будет равно b по квадратному корню из c в квадрате минус b в квадрате.

И на самом деле это ответ C. Мы вернулись к задаче и выбрали ответ C. Подводя итог, мы представили три другие триггерные функции.Котангенс, секанс и косеканс. Мы обсудили, как выразить остальные четыре через синус и косинус. Так что очень хорошо понять, как они вписываются в треугольник SOHCAHTOA.

Очень хорошо понять, как они связаны с синусом и косинусом. И, наконец, мы обсуждаем три пифагорейских тождества.

Другие формы формулы двойного угла косинуса - Концепция

Формула двойного угла косинуса: cos (2theta) = cos2 (theta) - sin2 (theta).Комбинируя эту формулу с тождеством Пифагора, cos2 (theta) + sin2 (theta) = 1, появляются две другие формы: cos (2theta) = 2cos2 (theta) -1 и cos (2theta) = 1-2sin2 (theta). Их можно использовать для нахождения формул уменьшения мощности, которые уменьшают триггерную функцию второй степени или выше до первой степени. Эти формулы очень полезны в математическом анализе.

Я хочу поговорить о других формах тождеств двойного угла косинуса.Во-первых, давайте вспомним пифагорейскую идентичность и две другие ее формы. Косинус в квадрате плюс синус в квадрате, равный 1, также может быть записан как косинус в квадрате, тета равен 1 минус синус в квадрате, тета или синус в квадрате, тета равен 1 минус косинус в квадрате, тета. Теперь исходная формула двойного угла косинуса такова: косинус 2 тэта равен косинусу в квадрате тета минус синус в квадрате тета, но я могу использовать свои пифагоровы тождества, чтобы переписать это, так что другой формой будет косинус ой косинус 2 тета равен альфа-косинусу тета I ' Я заменю его на 1 минус синус в квадрате тета минус синус тета синус в квадрате тета, и это 1 минус 2 синус в квадрате тета, так что это вторая форма, косинус 2 тета равен 1 минус 2 синус в квадрате тета, но мы также можем сделать косинус 2 тета равным и начав отсюда я могу заменить синус в квадрате на 1 минус косинус, так что я получаю косинус в квадрате тета минус 1 минус синус в квадрате тета и минус распределяется, я получаю минус 1 Извините, это должен быть косинус, поехали, наш минус 1 распределяет мы получаем минус 1 и минус минус плюс косинус в квадрате тета, поэтому косинус в квадрате тета минус 1 плюс косинус в квадрате тета равен 2, косинус в квадрате тета минус 1, они очень похожи.Косинус 2 тета равен 1 минус 2, синус в квадрате тета, косинус 2 тета равен 2 косинусу в квадрате минус 1.
Чтобы запомнить, какой из них является, запомните исходную формулу двойного угла косинуса. в других формах синус все еще отрицательный, а косинус все еще положительный.

Производная функции синус-квадрат

В этом руководстве мы обсудим производную функции квадрата синуса и связанные с ней примеры.2} x}} {{\ Delta x}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ left [ {\ sin \ left ({x + \ Delta x} \ right) + \ sin x} \ right] \ left [{\ sin \ left ({x + \ Delta x} \ right) - \ sin x} \ right ]}} {{\ Delta x}} \\ \ end {gather} \]

Используя формулу тригонометрии \ [\ sin A - \ sin B = 2 \ cos \ left ({\ frac {{A + B}} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {{A - B}} {2}} \ right) \]
\ [\ begin {gather} \ frac {{dy}} {{dx}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ left [{\ sin \ left ({x + \ Delta x} \ right) + \ sin x} \ right] \ left [{2 \ cos \ left ({\ frac {{x + \ Delta x + x}} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {{x + \ Delta x - x}} {2}} \ right)} \ right]}} {{\ Delta x} } \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ left [{\ sin \ left ({x + \ Delta x} \ right ) + \ sin x} \ right] \ times \ frac {{\ cos \ left ({\ frac {{2x + \ Delta x}} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {{\ Дельта x}} {2}} \ right)}} {{\ frac {{\ Delta x}} {2}}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ до 0} \ left [{\ sin \ left ({x + \ Delta x} \ right) + \ sin x} \ right] \ times \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ cos \ left ({\ frac {{2x + \ Delta x}} {2}} \ right) \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {{\ sin \ left ({\ frac {{\ Delta x}} {2}} \ right)}} {{\ frac {{ \ Delta x}} {2}}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ left [{\ sin \ left ({x + 0} \ right) + \ sin x} \ right] \ cos \ left ({\ frac {{2x + 0}} {2}} \ right) \ left (1 \ right) \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = 2 \ sin x \ cos х \\ \ конец {собрано} \]

Пример : Найдите производную от \ [y = f \ left (x \ right) = {\ sin ^ 2} \ sqrt {x - 1} \]

У нас есть заданная функция как
\ [y = {\ sin ^ 2} \ sqrt {x - 1} \]

Дифференцируя по переменной $$ x $$, получаем
\ [\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx}} {\ sin ^ 2} \ sqrt {x - 1} \]

Используя правило $$ \ frac {d} {{dx}} {\ sin ^ 2} x = 2 \ sin x \ cos x $$, получаем
\ [\ begin {gather} \ frac {{dy} } {{dx}} = 2 \ sin \ sqrt {x - 1} \ cos \ sqrt {x - 1} \ frac {d} {{dx}} \ sqrt {x - 1} \\ \ frac {{dy }} {{dx}} = 2 \ sin \ sqrt {x - 1} \ cos \ sqrt {x - 1} \ frac {1} {{2 \ sqrt {x - 1}}} \ frac {d} { {dx}} \ left ({x - 1} \ right) \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{\ sin \ sqrt {x - 1} \ cos \ sqrt {x - 1}}} {{\ sqrt {x - 1}}} \\ \ end {gather} \]

Sin Squared X Formula - Объяснение и часто задаваемые вопросы

Тригонометрия - интересная область высшей математики, которую студенты любят изучать и решать задачи.Соотношение сторон прямоугольного треугольника, выраженное в форме тригонометрических соотношений, и их связь с углами довольно увлекательно изучать. Для этого вам нужно будет изучить различные тригонометрические соотношения и их идентичность. Эти тождества объяснят, что означает формула Sin в квадрате x. В этом разделе вы узнаете, что представляет собой это выражение и как его можно использовать.

Что вы имеете в виду под формулой греха в квадрате X?

Тригонометрия - это фундаментальный раздел высшей математики, который занимается отношениями сторон треугольников и их представлением в виде символов, таких как синус, косинус, секанс, косеканс, тангенс и котангенс.Эти символы представляют собой определенное соотношение сторон прямоугольного треугольника. Одним из таких тригонометрических соотношений является синус или синус. После него пишется угол, чтобы завершить представление определенного значения отношения двух сторон. Когда он возведен в квадрат, синус становится:

Sin X = перпендикуляр / гипотенуза = p / h

Sin 2 X = (p / h) 2

Следовательно, формула квадрата Sin X представлена ​​в Сюда. Когда этот квадрат удваивается, представление становится немного другим.

Sin 2 X = (p / h) 2

При удвоении 2 Sin 2 X = 2 (p / h) 2

Как видите, 2 просто умножается на квадрат этого отношения, чтобы получить значение. Здесь значение X может быть любым. Изменение значения X также изменит значение Sin X.

Давайте рассмотрим здесь другой пример. Если угол увеличится вдвое, он станет 2X. Что будет с формулой Sin в квадрате 2X? Давайте проверим.

Если угол равен 2X, то отношение станет Sin 2X.Когда он возведен в квадрат, результат будет другим и представлен следующим образом.

(Sin 2X) 2 = Sin 2 2X

Проверьте и поймите разницу между квадратом синуса угла и квадратом угла в два раза. Узнайте, как правильно представлять эти выражения, чтобы избежать путаницы при решении тригонометрических задач в упражнении и на экзаменах.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *