Курс статистической физики (Ноздрев В.Ф.)
Курс статистической физики (Ноздрев В.Ф.)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕВВЕДЕНИЕ § 1. Предмет и метод статистической физики § 2. К вопросу возникновения и развития молекулярно-кинетической теории материи § 3. Место статистической физики в раскрытии материалистической картины мира § 4. Феноменологические и молекулярно-кинетические теории § 5. Модельность в статистической физике. Классическая и квантовая модели вещества Глава II.  НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ§ 1. Случайные события и случайные величины § 2. Понятие вероятности § 3. Свойства вероятности. Формула сложения и умножения вероятностей § 4. Средние значения случайных величин § 5. Примеры законов распределения случайных величин § 6. Функция распределения для нескольких случайных величин ЧАСТЬ I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ § 1. Модель идеального газа § 2. Распределение молекул газа по скоростям § 3. Связь распределения Максвелла по скоростям с абсолютной температурой § 4. Характерные скорости максвелловского распределения § 5. Средние относительные скорости § 6. Соответствие модели идеального газа реальному газу Глава IV. ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ § 2. Поперечные сечения. Длина свободного пробега § 3. Распределение свободных пробегов частиц § 4. Вязкость газов § 5.  Теплопроводность газов§ 6. Диффузия газов ЧАСТЬ II. КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА § 1. Невозможность последовательного механического описания физических систем многих частиц § 2. Макроскопическое и микроскопическое описание системы в термодинамическом равновесии § 3. Изображение системы в фазовом пространстве § 4. Элемент фазового объема. Вероятность нахождения системы в фазовом пространстве § 5. Теорема о сохранении фазового объема (Теорема Лиувилля) § 6. Макроскопические величины как фазовые средние Глава VI. СТАЦИОНАРНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ § 1. Микроканоническое распределение § 2. Каноническое распределение Гиббса § 3. Свойства канонического распределения § 4. Физический смысл параметров канонического распределения § 5. Энтропия и ее связь с вероятностью состояния § 6. Распределение Максвелла-Больцмана § 7. Большое каноническое распределение Гиббса Глава VII. ПРИМЕНЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА К РЕАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ § 1.  Выражение термодинамических функций через интеграл состояний§ 2. Интеграл состояний и термодинамические функции идеального газа § 3. Статистическое рассмотрение системы взаимодействующих частиц § 4. Вывод уравнения состояния реального газа § 5. Статистика диэлектриков Глава VIII. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ § 1. Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы § 2. Теплоемкость разреженных газов § 4. Применение методов статистической физики к равновесному излучению § 5. Классическая теория электронного газа Глава IX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФЛУКТУАЦИЙ § 2. Связь флуктуаций со свободной энергией. Корреляция § 3. Чувствительность различных измерительных приборов § 4. Рассеяние света на флуктуациях плотности § 5. Броуновское движение § 6. Статистика полимеров ЧАСТЬ III. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА § 1. Квантовые системы и их свойства § 2.  Описание квантовых систем§ 3. Применение статистического метода к квантовым системам § 4. Метод ячеек Больцмана § 5. Статистики квантовых систем § 6. Сопоставление статистик Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака Глава XI. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ § 1. Квантовый осциллятор и квантовый ротатор § 2. Сумма по состояниям и внутренняя энергия систем осцилляторов и ротаторов § 3. Теплоемкость газов. Характеристические температуры § 4. Теплоемкость твердых тел. Закон Дебая § 5. Законы равновесного излучения § 6. Статистика парамагнетиков Глава XII. ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИК БОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА И ФЕРМИ — ДИРАКА § 1. Применение статистики Бозе — Эйнштейна к описанию системы частиц § 2. Равновесное излучение как фотонный газ § 3. Применение статистики Ферми — Дирака к описанию поведения системы частиц § 4. Электронный газ в металлах § 5. Магнитные свойства электронного газа § 6. Состояния систем с отрицательной абсолютной температурой ПРИЛОЖЕНИЯ.  |
Математическое ожидание ряда. Среднее и Математическое ожидание в EXCEL
Случайные величины помимо законов распределения могут описываться также
Математическим ожиданием М (x) случайной величины называется ее среднее значение.
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле
где – значения случайной величины, р i — ихвероятности.
Рассмотрим свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание константы равно самой константе
2. Если случайную величину умножить на некоторое число k, то и математическое ожидание умножится на это же число
М (kx) = kМ (x)
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий
М (x 1 + x 2 + … + x n) = М (x 1) + М (x 2) +…+ М (x n)
4. М (x 1 — x 2) = М (x 1) — М (x 2)
5. Для независимых случайных величин x 1 , x 2 , … x n математическое ожидание произведения равно произведению их математических ожиданий
М (x 1 , x 2 , … x n) = М (x 1) М (x 2) … М (x n)
6.
Вычислим математическое ожидание для случайной величины из Примера 11.
М (x) = = .
Пример 12. Пусть случайные величины x 1 , x 2 заданы соответственно законами распределения:
x 1 Таблица 2
x 2 Таблица 3
Вычислим М (x 1) и М (x 2)
М (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 · 0,4 + 0,01 · 0,2 + 0,1 · 0,1 = 0
М (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 · 0,2 + 10 · 0,1 + 20 · 0,3 = 0
Математические ожидания обеих случайных величин одинаковы- они равны нулю. Однако характер их распределения различный. Если значения x 1 мало отличаются от своего математического ожидания, то значения x 2 в большой степени отличаются от своего математического ожидания, и вероятности таких отклонений не малы. Эти примеры показывают, что по среднему значению нельзя определить, какие отклонения от него имеют место как в меньшую, так и в большую сторону. Так при одинаковой средней величине выпадающих в двух местностях осадков за год нельзя сказать, что эти местности одинаково благоприятны для сельскохозяйственных работ.
D (x) = M (x — M (x)) 2 . (2)
Дисперсия –это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания. Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле:
D (x) = = (3)
Из определения дисперсии следует, что D (x) 0.
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия константы равна нулю
2. Если случайную величину умножить на некоторое число k , то дисперсия умножится на квадрат этого числа
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) = М (x 2) – М 2 (x)
4. Для попарно независимых случайных величин x 1 , x 2 , … x n дисперсия суммы равна сумме дисперсий.
D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)
Вычислим дисперсию для случайной величины из Примера 11.
Математическое ожидание М (x) = 1. Поэтому по формуле (3) имеем:
D (x) = (0 – 1) 2 ·1/4 + (1 – 1) 2 ·1/2 + (2 – 1) 2 ·1/4 =1·1/4 +1·1/4= 1/2
Отметим, что дисперсию вычислять проще, если воспользоваться свойством 3:
D (x) = М (x 2) – М 2 (x).
Вычислим дисперсии для случайных величин x 1 , x 2 из Примера 12 по этой формуле. Математические ожидания обеих случайных величин равны нулю.
D (x 1) = 0,01· 0,1 + 0,0001· 0,2 + 0,0001· 0,2 + 0,01· 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204
D (x 2) = (-20) 2 · 0,3 + (-10) 2 · 0,1 + 10 2 · 0,1 + 20 2 · 0,3 = 240 +20 = 260
Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем меньше разброс случайной величины относительно среднего значения.
Величина называется среднеквадратическим отклонением . Модой случайной величины x дискретного типа Md называется такое значение случайной величины, которому соответствует наибольшая вероятность.
Модой случайной величины x непрерывного типа Md , называется действительное число, определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей f(x).
Медианой случайной величины x непрерывного типа Mn называется действительное число, удовлетворяющее уравнению
Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины X , заданной на дискретном вероятностном пространстве, называется число m =M[X]=∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.
Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .
Свойства математического ожидания случайной величины
- Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
- M=C M[X]
- Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
- Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.
Свойства дисперсии
- Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
2D(Y) + 0 = 81*9 — 64*6 = 345Алгоритм вычисления математического ожидания
Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.
- Поочередно умножаем пары: x i на p i .
- Складываем произведение каждой пары x i p i .
Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны.
Пример №1 .
x i 1 3 4 7 9 p i 0.1 0.2 0.1 0.3 0. 3Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i — M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 — 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:
Х -10 -5 0 5 10 р а 0,32 2a 0,41 0,03 Найти величину a , математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0. 76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08Пример №3 . Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1 x 3 =12Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3Математическое ожидание
Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса .
Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x):
Задана функция распределения F(x):
Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть }
3.2 – Среднее, также называемое ожидаемым значением, дискретной переменной
Фраза ожидаемое значение является синонимом среднего значения в долгосрочной перспективе (имеется в виду для многих повторений или большого размера выборки).
Для дискретной случайной величины вычисление представляет собой сумму (значение × вероятность), где мы суммируем все значения (после отдельного вычисления значения × вероятность для каждого значения), выраженное как:\( E(X)=\sum x_i p_i \),
означает, что мы берем каждое наблюдаемое значение X и умножаем его на соответствующую вероятность. Затем мы добавляем эти продукты, чтобы получить ожидаемое значение, обозначенное как E(X). [ПРИМЕЧАНИЕ: буква X является распространенным символом, используемым для обозначения случайной величины. Можно использовать любую букву.]
Пример : Подбрасывается правильная шестигранная кость. Вы выигрываете 2 доллара, если результат «1», вы выигрываете 1 доллар, если результат «6», но в противном случае вы теряете 1 доллар.
Распределение вероятностей для X = сумма выигрыша или проигрыша Х +2
+1
-1
Вероятность 1/6
1/6
4/6
\( Ожидаемое\ значение = (2 \times \frac {1}{6})+(1 \times \frac {1}{6})+(-1 \times \frac {4}{6) })= — \frac {1}{6}=-\$ 0,17 \)
Интерпретация заключается в том, что если вы играете много раз, то в среднем вы теряете 17 центов за игру.
Пример : Используя приведенное выше распределение вероятностей количества татуировок (не кумулятивное!),
Среднее количество татуировок на одного ученика равно
\( Ожидаемое\ значение=(0 х 0,85)+(1 х 0,12)+ (2 х 0,015) +(3 х 0,010) +(4 х 0,005) =0,20 \)
Стандартное отклонение дискретной переменной
Знание ожидаемого значения — не единственная важная характеристика, которую может потребоваться знать о наборе дискретных чисел: может также потребоваться знать разброс или изменчивость этих данных. Например, вы можете «ожидать» выигрыша в размере 20 долларов при игре в конкретную игру (что кажется хорошим!), но разброс для этого может быть от проигрыша в 20 долларов до выигрыша в 60 долларов. Знание такой информации может повлиять на ваше решение о том, стоит ли играть. 92\) и снова подставим Е(Х) вместо \х.
Стандартное отклонение находится путем извлечения квадратного корня из дисперсии. Обратите внимание, что в суммирующей части этого уравнения мы возводим в квадрат каждое наблюдаемое значение X и , а не , соответствующую вероятность.
Пример : Возвращаясь к первому примеру, использованному выше для ожидания с участием игральной кости, мы вычислим стандартное отклонение для этого дискретного распределения, сначала вычислив дисперсию:
92\)\(= \frac{4}{6}+\frac {1}{6}+ \frac{4}{6}-\frac{1}{36} = \frac{53}{ 36}=1,472 \)
Таким образом, стандартное отклонение будет квадратным корнем из 1,472 или 1,213
Среднее или ожидаемое значение и стандартное отклонение
Результаты обучения
- Расчет и интерпретация ожидаемых значений
- Классифицировать дискретные текстовые задачи по их распределению
Ожидаемое значение часто называют «долгосрочным» средним или средним значением . Это означает, что в течение длительного времени, проводя эксперимент снова и снова, вы должны ожидать этого среднего значения.
Вы бросаете монету и записываете результат. Какова вероятность того, что в результате выпадет орёл? Если вы подбросите монету два раза, скажет ли вам вероятность, что эти подбрасывания приведут к одному орлу и одной решке? Вы можете подбросить правильную монету десять раз и выпадет девять решек.
Вероятность не описывает краткосрочные результаты эксперимента. Он дает информацию о том, что можно ожидать в долгосрочной перспективе. Чтобы продемонстрировать это, Карл Пирсон однажды подбросил правильную монету 24 000 раз! Он записал результаты каждого броска, получив орла 12 012 раз.
В своем эксперименте Пирсон проиллюстрировал Закон больших чисел.Закон больших чисел гласит, что по мере увеличения числа испытаний в вероятностном эксперименте разница между теоретической вероятностью события и относительной частотой приближается к нулю (теоретическая вероятность и относительная частота становятся ближе и ближе друг к другу) . Оценивая долгосрочные результаты статистических экспериментов, мы часто хотим знать «средний» результат. Это «долгосрочное среднее» известно как означают или ожидаемое значение эксперимента и обозначаются греческой буквой μ . Другими словами, после проведения многих попыток эксперимента вы ожидаете получить это среднее значение.
Примечание
Чтобы найти ожидаемое значение или долгосрочное среднее, μ , просто умножьте каждое значение случайной величины на его вероятность и сложите произведения.
Пример
Мужская футбольная команда играет в футбол ноль, один или два дня в неделю. Вероятность того, что они сыграют нулевой день, равна 0,2, вероятность того, что они сыграют один день, равна 0,5, а вероятность того, что они сыграют два дня, равна 0,3. Найдите долгосрочное среднее или ожидаемое значение, μ , количество дней в неделю, когда мужская футбольная команда играет в футбол.
Чтобы решить эту задачу, сначала пусть случайная величина X = количество дней, в течение которых мужская футбольная команда играет в футбол в неделю. X принимает значения 0, 1, 2. Создайте таблицу PDF, добавив столбец x ⋅ P ( x ). В этом столбце вы будете умножать каждое значение x на его вероятность.
Таблица ожидаемых значений.
Эта таблица называется таблицей ожидаемых значений. Таблица поможет вам рассчитать ожидаемое значение или долгосрочное среднее значение.х Р ( х ) x ⋅ P ( x ) 0 0,2 (0)(0,2) = 0 1 0,5 (1)(0,5) = 0,5 2 0,3 (2)(0,3) = 0,6 Добавить последний столбец x ⋅ P ( x ), чтобы найти долгосрочное среднее или ожидаемое значение: (0)(0,2) + (1)(0,5) + (2)(0,3) = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1.
Пример
Ожидаемое значение равно 1,1. Мужская футбольная команда в среднем будет играть в футбол 1,1 дня в неделю. Число 1,1 — это долгосрочное среднее или ожидаемое значение, если мужская футбольная команда играет в футбол неделю за неделей за неделей.
Мы говорим μ = 1,1.Найдите математическое ожидание того, сколько раз плач новорожденного будит мать после полуночи. Ожидаемое значение — это ожидаемое количество раз в неделю, когда плач новорожденного ребенка будит его мать после полуночи. Также вычислите стандартное отклонение переменной.
Вы ожидаете, что новорожденный будет будить мать после полуночи в среднем 2,1 раза в неделю.
х Р ( х ) x ⋅ P ( x ) ( x – μ ) 2 ⋅ P ( x ) 0 [латекс]\displaystyle{P}{({x}={0})}=\frac{{2}}{{50}}[/latex] 9{{2}}\cdot{0.02}={0.1682}[/латекс]Сложите значения в третьем столбце таблицы, чтобы найти ожидаемое значение X :
μ = Ожидаемое значение = [латекс]\displaystyle\frac{{105}}{{50}} [/latex] = 2,1
Используйте μ для заполнения таблицы.
Четвертый столбец этой таблицы содержит значения, необходимые для расчета стандартного отклонения. Для каждого значения x умножьте квадрат его отклонения на его вероятность. (Каждое отклонение имеет формат х – мк ).Добавьте значения из четвертого столбца таблицы:
0,1764 + 0,2662 + 0,0046 + 0,1458 + 0,2888 + 0,1682 = 1,05
Стандартное отклонение X равно квадратному корню из этой суммы: [ \sigma = \sqrt{{1.05}} \simeq {1.0247}[/latex]
попробуйте
Исследователя больницы интересует, сколько раз средний послеоперационный пациент звонит медсестре в течение 12- часовая смена. Для случайной выборки из 50 пациентов была получена следующая информация. Какова ожидаемая стоимость?
х Р ( х ) 0 [латекс]\displaystyle{P}{({x}={0})}=\frac{{4}}{{50}}[/latex] 1 [латекс]\displaystyle{P}{({x}={1})}=\frac{{8}}{{50}}[/latex] 2 [латекс]\displaystyle{P}{({x}={2})}=\frac{{16}}{{50}}[/latex] 3 [латекс]\displaystyle{P}{({x}={3})}=\frac{{14}}{{50}}[/latex] 4 [латекс]\displaystyle{P}{({x}={4})}=\frac{{6}}{{50}}[/latex] 5 [латекс]\displaystyle{P}{({x}={5})}=\frac{{2}}{{50}}[/latex] Ожидаемое значение 2,24,
[латекс]\displaystyle{0})\frac{{4}}{{50}}+{({1})}\frac{{4}}{{ 50}}+{({2})}\frac{{16}}{{50}}+{({3})}\frac{{14}}{{50}}+{({4}) }\frac{{6}}{{50}}+{({5})}\frac{{2}}{{50}}={0}+\frac{{8}}{{50}} +\frac{{32}}{{50}}+\frac{{42}}{{50}}+\frac{{24}}{{50}}+\frac{{10}}{{50 }}=\frac{{116}}{{50}}={2.
32}[/латекс]Пример
Предположим, вы играете в азартную игру, в которой выбираются пять чисел от 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Компьютер случайным образом выбирает пять чисел от нуля до девяти. с заменой. Вы платите 2 доллара за игру и можете получить 100 000 долларов, если угадаете все пять чисел по порядку (вы получите свои 2 доллара обратно плюс 100 000 долларов). Какова ваша ожидаемая прибыль от игры в долгосрочной перспективе?
Чтобы решить эту задачу, создайте таблицу ожидаемой стоимости для суммы денег, которую вы можете получить.
Пусть X = сумма денег, которую вы заработали. Значения x не равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Поскольку вас интересует ваша прибыль (или убыток), значения x равны 100 000 долларов и −2 доллара.
Чтобы выиграть, вы должны правильно угадать все пять номеров по порядку. Вероятность выбора одного правильного числа составляет
[латекс]\displaystyle\frac{{1}}{{10}}[/латекс], потому что чисел десять. Вы можете выбрать номер более одного раза. Вероятность того, что все пять чисел выбраны правильно и по порядку, равна 9.{{-{5}}})}={0,00001}[/latex]Следовательно, вероятность выигрыша равна 0,00001, а вероятность проигрыша равна [latex]\displaystyle{1}-{0,00001}={0,99999} [/latex]
Таблица ожидаемых значений выглядит следующим образом:
x Р ( х ) x ⋅ P ( x ) Потеря –2 0,99999 (–2)(0,99999) = –1,99998 Прибыль 100 000 0,00001 (100000)(0,00001) = 1 Добавить последний столбец. –1,99998 + 1 = –0,99998
Поскольку –0,99998 равно –1, в среднем вы ожидаете, что будете терять примерно 1 доллар за каждую игру, в которую вы играете. Однако каждый раз, когда вы играете, вы либо теряете 2 доллара, либо получаете 100 000 долларов.
1 доллар — это средний или ожидаемый УБЫТОК за игру после того, как вы играете в эту игру снова и снова.попробуй
Вы играете в азартную игру, в которой из стандартной колоды в 52 карты вытягиваются четыре карты. Вы угадываете масть каждой карты до того, как она будет разыграна. Карты меняются в колоде при каждом розыгрыше. Вы платите 1 доллар за игру. Если вы каждый раз угадываете правильную масть, вы получаете свои деньги обратно и 256 долларов. Какова ваша ожидаемая прибыль от игры в долгосрочной перспективе?
Пусть X = сумма денег, которую вы заработали. Значения x равны –$1 и $256.
Вероятность угадывания правильной масти каждый раз равна
[латекс]\displaystyle{(\frac{{1}}{{4}})}{(\frac{{1}}{{4}}) }{(\frac{{1}}{{4}})}{(\frac{{1}}{{4}})}=\frac{{1}}{{256}}={0,0039} [/latex]
Вероятность проигрыша равна
[latex]\displaystyle{1}-\frac{{1}}{{256}}=\frac{{255}}{{256}}={0,9961} [/латекс](0,0039)256 + (0,9961)(–1) = 0,9984 + (–0,9961) = 0,0023 или 0,23 цента.
ПРИМЕР
Предположим, вы играете в игру со смещенной монетой. Вы играете в каждую игру, подбрасывая монету один раз.
P (головки) = [латекс]\displaystyle\frac{{2}}{{3}}[/латекс]. Если вы подбрасываете голову, вы платите 6 долларов. Если вы подбросите решку, вы выиграете 10 долларов. Если вы будете играть в эту игру много раз, выйдете ли вы вперед?- Определить случайную величину X .
- Заполните следующую таблицу ожидаемых значений.
х ____ ____ ВЫИГРЫШ 10 [латекс]\displaystyle \frac{{1}}{{3}} [/латекс] ____ ПОТЕРЯ ____ ____ [латекс]\displaystyle \frac{{-12}}{{3}} [/латекс] - Каково ожидаемое значение, μ ? Ты выходишь вперед?
Решение:
- X = сумма прибыли
х Р ( х ) хР ( х ) ВЫИГРЫШ 10 [латекс]\displaystyle \frac{{1}}{{3}} [/латекс] [латекс]\displaystyle \frac{{10}}{{3}} [/латекс] ПОТЕРЯ –6 [латекс]\displaystyle \frac{{2}}{{3}} [/латекс] [латекс]\displaystyle \frac{{-12}}{{3}} [/латекс] - Добавить последний столбец таблицы. Ожидаемое значение μ = [латекс]\displaystyle \frac{{-2}}{{3}} [/латекс]. Вы теряете в среднем около 67 центов каждый раз, когда играете в игру, поэтому не выходите вперед.
попробуй
Предположим, вы играете в игру со спиннером. Вы играете в каждую игру, вращая спиннер один раз.
P (красный) = [латекс]\displaystyle\frac{{2}}{{5}}[/латекс]. Если вы приземлитесь на красное, вы платите 10 долларов. Если вы приземлитесь на синий, вы ничего не платите и не выигрываете. Если вы приземлитесь на зеленый, вы выиграете 10 долларов. Заполните следующую таблицу ожидаемых значений.[латекс]\displaystyle-\frac{{20}}{{5}}[/latex] [latex]\displaystyle\frac{{2}}{{5}}[/latex]
х Р ( х ) Красный Синий Зеленый 10 Вот заполненная таблица:
x Р ( х ) x ⋅ P ( x ) Красный –10 [латекс]\displaystyle\frac{{2}}{{5}}[/латекс] [латекс]\displaystyle-\frac{{20}}{{5}}[/латекс] Синий 0 [латекс]\displaystyle\frac{{2}}{{5}}[/латекс] [латекс]\displaystyle\frac{{0}}{{5}}[/латекс] Зеленый 10 [латекс]\displaystyle\frac{{1}}{{5}}[/латекс] [латекс]\displaystyle\frac{{10}}{{5}}[/латекс] Как и данные, распределения вероятностей имеют стандартные отклонения.
Чтобы вычислить стандартное отклонение ( σ ) распределения вероятностей, найдите каждое отклонение от ожидаемого значения, возведите его в квадрат, умножьте на вероятность, сложите произведения и извлеките квадратный корень. Чтобы понять, как производить расчет, посмотрите на таблицу количества дней в неделю, в течение которых мужская футбольная команда играет в футбол. Чтобы найти стандартное отклонение, добавьте записи в столбец с надписью ( x – μ ) 2 P ( x ) и извлеките квадратный корень.х Р ( х ) x ⋅ P ( x ) ( x – μ ) 2 P ( x ) 0 0,2 (0)(0,2) = 0 (0 – 1,1) 2 (0,2) = 0,242 1 0,5 (1)(0,5) = 0,5 (1 – 1,1) 2 (0,5) = 0,005 2 0,3 (2)(0,3) = 0,6 (2 – 1,1) 2 (0,3) = 0,243 Добавьте последний столбец в таблицу.
0,242 + 0,005 + 0,243 = 0,490. Стандартное отклонение — это квадратный корень из 0,49, или σ = [латекс]\displaystyle\sqrt{{0,49}}[/латекс] = 0,7Обычно для вероятностных распределений мы используем калькулятор или компьютер для расчета μ и σ для уменьшения ошибки округления. Для некоторых распределений вероятностей существуют сокращенные формулы для расчета μ и σ .
Пример
Дважды подбросьте правильный шестигранный кубик. Пусть X = количество граней, которые показывают четное число. Постройте таблицу, подобную приведенной выше в разделе «Попробуйте», и рассчитайте среднее значение μ и стандартное отклонение σ для X .
Решение:
Подбрасывание одного правильного шестигранного кубика дважды занимает такое же пространство выборки, как и подбрасывание двух правильных шестигранных игральных костей. Выборочное пространство имеет 36 исходов:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Используйте образец для заполнения следующей таблицы:
Расчет μ и σ .
х Р ( х ) x P ( x ) ( x – μ ) 2 ⋅ P ( x ) 0 [латекс]\displaystyle\frac{{9}}{{36}}[/латекс] 9019{{2}} \cdot \frac{{9}}{{36}}=\frac{{9}}{{36}}[/latex]Сложите значения в третьем столбце, чтобы найти ожидаемое значение: [latex]\displaystyle \mu =\frac{{36}}{{36}}={1}[/latex]. Используйте это значение, чтобы заполнить четвертый столбец.
Сложите значения в четвертом столбце и извлеките квадратный корень из суммы: [латекс]\displaystyle \sigma =\sqrt {{\frac {{18}}{{36}}}} \simeq {0,7071}[ /латекс].
Пример
11 мая 2013 г. в 21:30 вероятность того, что умеренная сейсмическая активность (одно умеренное землетрясение) произойдет в следующие 48 часов в Иране, составляла около 21,42%. Предположим, вы делаете ставку на то, что в этот период в Иране произойдет умеренное землетрясение.
Если вы выиграете ставку, вы выиграете 50 долларов. Если вы проиграете ставку, вы заплатите 20 долларов. Пусть X = сумма прибыли от ставки.P (выигрыш) = P (произойдет одно умеренное землетрясение) = 21,42%
Если вы будете ставить много раз, выиграете ли вы? Объясните свой ответ полным предложением, используя числа. Каково стандартное отклонение
X ? Составьте таблицу, аналогичную той, что приведена в примере 5, чтобы помочь вам ответить на эти вопросы.Решение:
x П(х) x (пкс) ( x – μ ) 2 P ( x ) выигрыш 50 0,2142 10,71 [50 – (–5,006)] 2 (0,2142) = 648,0964 потеря –20 0,7858 –15,716 [–20 – (–5,006)] 2 (0,7858) = 176,6636 Среднее значение = ожидаемое значение = 10,71 + (–15,716) = –5,006.
Если вы сделаете эту ставку много раз при одних и тех же условиях, ваш долгосрочный результат будет составлять в среднем
убыток в размере 5,01 доллара США за ставку.[латекс]\displaystyle \text{Стандартное отклонение} = \sqrt{{{648.0964}+{176.6636}}} \simeq {28.7186}[/latex]
попробуй
11 мая 2013 г. в 9 :30 вечера, вероятность того, что умеренная сейсмическая активность (одно умеренное землетрясение) произойдет в течение следующих 48 часов в Японии, составляла около 1,08%. Как и в примере 6, вы ставите на то, что в этот период в Японии произойдет умеренное землетрясение. Если вы выиграете ставку, вы выиграете 100 долларов. Если вы проиграете ставку, вы заплатите 10 долларов. Пусть X = сумма прибыли от ставки. Найдите среднее значение и стандартное отклонение X .
х Р ( х ) х ⋅ ( пкс ) ( x – μ ) 2 P ( x ) выигрыш 100 0,0108 1,08 [100 – (–8,812)] 2 ⋅ 0,0108 = 127,8726 потеря –10 0,9892 –9,892 [–10 – (–8,812)] 2 ⋅ 0,9892 = 1,3961 Среднее значение = ожидаемое значение = μ = 1,08 + (–9,892) = –8,812
Если вы сделаете эту ставку много раз при одних и тех же условиях, ваш долгосрочный результат будет равен среднему убытку в размере 8,81 доллара США за ставку.
[латекс]\displaystyle \text{Стандартное отклонение} = \sqrt{{{127,7826}+{1,3961}}} \simeq {11,3696}[/latex]
Одними из наиболее распространенных дискретных функций вероятности являются биномиальная, геометрическая, гипергеометрическая и функция Пуассона. Большинство элементарных курсов не охватывают геометрические, гипергеометрические и пуассоновские. Ваш инструктор сообщит вам, если он или она желает покрыть эти раздачи.
Функция распределения вероятностей представляет собой закономерность. Вы пытаетесь подогнать вероятностную задачу под шаблон или распределение, чтобы выполнить необходимые вычисления. Эти распределения являются инструментами, облегчающими решение вероятностных задач. Каждый дистрибутив имеет свои особенности. Изучение характеристик позволяет различать разные дистрибутивы.
Ссылки
Каталог классов Университета штата Флорида. Доступно в Интернете по адресу https://apps.oti.fsu.edu/RegistrarCourseLookup/SearchFormLegacy (по состоянию на 15 мая 2013 г.
2D(Y) + 0 = 81*9 — 64*6 = 345
3
76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08
Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .
Для дискретной случайной величины вычисление представляет собой сумму (значение × вероятность), где мы суммируем все значения (после отдельного вычисления значения × вероятность для каждого значения), выраженное как:
Вероятность не описывает краткосрочные результаты эксперимента. Он дает информацию о том, что можно ожидать в долгосрочной перспективе. Чтобы продемонстрировать это, Карл Пирсон однажды подбросил правильную монету 24 000 раз! Он записал результаты каждого броска, получив орла 12 012 раз. 
Эта таблица называется таблицей ожидаемых значений. Таблица поможет вам рассчитать ожидаемое значение или долгосрочное среднее значение.
Мы говорим μ = 1,1.
Четвертый столбец этой таблицы содержит значения, необходимые для расчета стандартного отклонения. Для каждого значения x умножьте квадрат его отклонения на его вероятность. (Каждое отклонение имеет формат х – мк ).
32}[/латекс]
Вы можете выбрать номер более одного раза. Вероятность того, что все пять чисел выбраны правильно и по порядку, равна 9.{{-{5}}})}={0,00001}[/latex]
1 доллар — это средний или ожидаемый УБЫТОК за игру после того, как вы играете в эту игру снова и снова.
Ожидаемое значение μ = [латекс]\displaystyle \frac{{-2}}{{3}} [/латекс]. Вы теряете в среднем около 67 центов каждый раз, когда играете в игру, поэтому не выходите вперед.
Чтобы вычислить стандартное отклонение ( σ ) распределения вероятностей, найдите каждое отклонение от ожидаемого значения, возведите его в квадрат, умножьте на вероятность, сложите произведения и извлеките квадратный корень. Чтобы понять, как производить расчет, посмотрите на таблицу количества дней в неделю, в течение которых мужская футбольная команда играет в футбол. Чтобы найти стандартное отклонение, добавьте записи в столбец с надписью ( x – μ ) 2 P ( x ) и извлеките квадратный корень.
0,242 + 0,005 + 0,243 = 0,490. Стандартное отклонение — это квадратный корень из 0,49, или σ = [латекс]\displaystyle\sqrt{{0,49}}[/латекс] = 0,7
Если вы выиграете ставку, вы выиграете 50 долларов. Если вы проиграете ставку, вы заплатите 20 долларов. Пусть X = сумма прибыли от ставки.
