Формула теории вероятностей: Теория вероятностей на ЕГЭ по математике. Формулы, теория, решения

Содержание

Основные понятия и формулы теории вероятностей

Похожие презентации:

Основные понятия теории вероятности. Случайные события

Основные понятия теории вероятностей

Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики

Основные понятия теории вероятности. Лекция 1

Основные сведения из теории вероятностей. Лекция 1

Основные теоремы и формулы теории вероятности

Теория вероятности и математическая статистика. Введение. Основные понятия. Алгебра событий

Теория вероятностей

Основы теории вероятностей. Случайные события

1. Урок № 79 Тема: Основные понятия и формулы теории вероятностей

При определенных условиях
выполняются испытания.
Итоги испытаний принимаются в
теории вероятностей за
события

3. Основные понятия теории вероятностей

Рассмотрим множество всех событий, которые могут произойти или не произойти в данном
эксперименте.

Невозможное (или невыполнимое) событие – событие,
которое не может наступить в данном эксперименте — Ǿ.
Достоверное (или истинное) событие – событие, которое
обязательно произойдет в данном эксперименте – Ω.
Случайное событие – событие, которое может произойти, а
может не произойти в данном эксперименте
Несколько событий называют равновозможными, если в
результате опытов ни одно из них не имеет большую
возможность появления, чем другие.
Несколько событий называются неравновозможными, если
в результате опытов одно из них имеет большую
возможность появления, чем другие.
Свойства вероятности

5. Основные понятия теории вероятностей

Два события называются совместными, если появление
одного из них не исключает появление другого в одном и том
же испытании.
Пример 1. Испытание: однократное бросание игральной
кости. Событие А — появление четырех очков, событие В —
появление четного числа очков. События А и В совместны.

Два события называются несовместными, если появление
одного из них исключает появление другого в одном и том же
испытании.
Пример 2. Испытание: однократное бросание монеты.
Событие А — выпадение герба, событие В— выпадение
цифры. Эти события несовместны, так как появление одного
из них исключает появление другого.

6. Основные понятия теории вероятностей

А В
В А

7. Классическое определение вероятности

Событие А называется благоприятствующим событию
В, если наступление события А влечет за собой
наступление события В.
Вероятностью события А называют отношение числа
благоприятствующих этому событию исходов к общему
числу всех равновозможных несовместных
элементарных исходов, образующих полную группу
•где m — число элементарных исходов,
благоприятствующих А;
•n — число всех возможных элементарных исходов
испытания.
m
P A
n

8. Сложение несовместных событий

Два события называются несовместными, если
появление одного из них исключает появление другого в
одном и том же испытании.

Суммой событий А и В называется событие А + В,
которое наступает тогда и только тогда, когда наступает
хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема. Вероятность появления одного из двух
несовместных событий, безразлично какого, равна сумме
вероятностей этих событий: P(A+B) =P(A)+P(B).

9. Пример 1

В урне 30 шариков: 15-красные, 10синие, 5- зеленые.
Найти вероятность, что наудачу
извлеченный шарик – не зеленый
5
6
Пример 2 Уровень В*
67
91

11. Произведение независимых событий

Событие В называют независимым от события А, если появление события
А не изменяет вероятности события В.
Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий. Р(АВ) = Р(А) Р(В)
Пример 3
3
0,12
25
Формула Бернулли для n независимых
испытаний
А- событие в том, что оно произойдет
n k
ровно k раз:
k
k
р( А) Cn p q
Пример 4.
Найдите вероятность,
что событие произойдет ровно 3 раза в
5 пяти независимых испытаниях,
если постоянная вероятность этого
события равна 0,2
0,0512
Если вероятность одного из двух противоположных событий
обозначена через р, то вероятность другого события обозначают
через q.

p q 1
Level B*
г) по меньшей мере один элемент

English Русский Правила

Теория вероятности: основные понятия и определения, основы, предмет, события, формулы и примеры простыми словами

С чего начать изучение теории вероятностей?

Итак, теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных событий, операции над ними.

У теории вероятностей нет цели что-либо угадать и предсказать. Предположим, что мы подбрасываем монету — нам нет необходимости угадывать, какой стороной она упадёт.

Однако если одну и ту же монету

в одинаковых условиях подбрасывать сотни и тысячи раз, то будет прослеживаться чёткая закономерность, описываемая вполне жёсткими законами.

Событие — это базовое понятие теории вероятности. События бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным является событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт. Например, в условиях земного тяготения подброшенная монета непременно упадёт вниз.
Невозможным является событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания. Например, камень при падении улетит вверх. Например, монета зависнет в воздухе или вообще полетит вверх.
Случайным называется событие, которое в результате испытания может произойти, а может не произойти. Например, уже знакомая монетка может упасть либо орлом вверх, либо решкой — это и есть случайное событие.

Любой результат испытания называется исходом, который, собственно и представляет собой появление определённого события.

В частности, при подбрасывании монеты возможно 2 исхода (случайных события): выпадет орёл или выпадет решка. Подразумевается, что опыт проводится в таких условиях, что монета не может встать на ребро или зависнуть в невесомости.

События (любые) обозначают большими латинскими буквами A, B, C… либо буквами с индексами, например: A1, A2, A3….

Исключение составляет буква P, которая используется для обозначения вероятности события. Например, вероятность события А обозначается Р(А).

Ещё события можно обозначать индексами в виде букв, например:

АО — в результате броска монеты выпадет орёл.

Самая важная формула для решения самых простых задач выглядит так:

P(A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов данного испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Другая важная характеристика событий — это их равновозможность. Два или большее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например: выпадение орла или решки при броске монеты, выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика (при условии, что монета и кубик имеют геометрически правильную форму), извлечение карты трефовой, пиковой, бубновой или червовой масти из колоды с учётом, что количество всех мастей одинаковое).

События могут быть не равновозможными

. Например, если в колоде не хватает одной червовой карты — тогда вероятность выпадения этой масти будет меньше. Или если игральный кубик не является геометрически правильным кубиком.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Формула распределения вероятностей | Примеры с шаблоном Excel

Формула распределения вероятностей (оглавление)

Формула
Примеры
Калькулятор

Термин «распределение вероятностей» относится к любой статистической функции, которая диктует все возможные результаты случайной величины в заданном диапазоне значений. Одним из наиболее распространенных примеров распределения вероятностей является нормальное распределение. Однако существуют и другие основные категории вероятностных распределений — распределение хи-квадрат, биномиальное распределение и распределение Пуассона.

С другой стороны, термин «формула распределения вероятностей» охватывает формулу параметров распределения вероятностей – среднее значение, стандартное отклонение, асимметрию и эксцесс. Однако в этой статье мы обсудим формулу для среднего и стандартного отклонения.

Среднее значение — это ожидаемое значение случайной величины в распределении вероятностей. Формула среднего значения распределения вероятностей выражается как совокупность произведений значения случайной величины и ее вероятности. Математически это представляется как

x̄ = ∑ [x _I * P (x _I)]

, где,

x _I = значение случайной переменной в I ^TH.
P(x _i ) = Вероятность i ^{-го значения}

Стандартное отклонение — это мера отклонения всех значений случайной величины от ее ожидаемого значения. Формула стандартного отклонения выражается как квадратный корень из произведения квадрата отклонения каждого значения от среднего и вероятности каждого значения.

Математически это представляется как

ơ = √ ∑ (x _i – x̄) ² * P(x _i )

Обратите внимание, что сумма всех вероятностей в распределении вероятностей равна 03. Примеры формулы распределения вероятностей (с шаблоном Excel)

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять расчет формулы распределения вероятностей.

Вы можете скачать этот шаблон Excel с формулой распределения вероятностей здесь — Шаблон Excel с формулой распределения вероятностей

Формула распределения вероятностей – Пример №1

Возьмем в качестве примера опрос, проведенный в определенном месте, чтобы узнать ожидаемое количество человек в семье; имеются следующие данные. Вычислите среднее значение и стандартное отклонение распределения вероятностей.

Решение:

Среднее значение (x̄) вычисляется по формуле, приведенной ниже0003

Среднее (x̄) = 2 * 0,22 + 3 * 0,48 + 4 * 0,25 + 5 * 0,05
Среднее (x̄) = 3,13

Стандартное отклонение (ơ) рассчитывается с использованием формулы, приведенной ниже

Стандартное отклонение (ơ) = √ ∑ (x _I — x̄) ² * P (x _I)

999 Стандартное отклонение (ơ)=√ [(2 – 3,13) ² * 0,22 + (3 – 3,13) ² * 0,48 + (4 – 3,13) ² * 0,25 + (5 – 3,13) ² * 0,05]
Стандартное отклонение (ơ) = 0,808

Таким образом, согласно опросу, ожидаемых нет. человек на семью составляет 3,13 со стандартным отклонением 0,808.

Формула распределения вероятностей – Пример №2

Возьмем в качестве примера мешок с 2 красными и 4 синими шарами. Если наугад вытащены два шара без замены, то вычислить ожидаемое число. красных шаров и их стандартное отклонение.

Решение:

Среднее значение (x̄) рассчитывается с использованием формулы, приведенной ниже

Среднее (x̄) = ∑ [x _I * P (x _I)]

99 Среднее (x̄) = 0 * 0,40 + 1 * 0,27 + 1 * 0,27 + 2 * 0,07
Среднее (x̄) = 0,67

Стандартное отклонение (ơ) рассчитывается по формуле, приведенной ниже0039 * P (x _I)

Стандартное отклонение (ơ) = √ [(0 — 0,66) ² * 0,40 + (1 — 0,66) ² * 0,27 + (1 — 1 — 1 — 1 — 0,66. 0,66) ² * 0,27 + (2 – 0,66) ² * 0,06]
Стандартное отклонение (ơ) =
0,596

Таким образом, ожидаемый номер. красных шаров в данном случае составляет 0,67 при стандартном отклонении 0,596.

Объяснение

Формулу для среднего и стандартного отклонения распределения вероятностей можно вывести, выполнив следующие шаги:

Шаг 1: Сначала определите значения случайной величины или события посредством ряда наблюдений, и они обозначаются x ₁ , x ₂ , ….., x _n или x _я.

Шаг 2: Затем вычислить вероятность появления каждого значения случайной величины и обозначить их P(x ₁ ), P(x ₂ ), ….., P(x _n ) или P(x _i ).

P(x _i ) = количество событий с i ^th Значение/общее количество событий

Шаг 3: Далее формула для среднего может быть получена путем сложения произведений значения случайной величины (шаг 1) и ее вероятности (шаг 2) , как показано ниже.

x̄ = ∑[x _i * P(x _i )]

Шаг 4: распределение вероятностей.

Д _i = x _i – x̄

Шаг 5: Затем можно вывести формулу для стандартного отклонения путем сложения произведений квадратов отклонения каждого значения (шаг 4) и его вероятности (шаг 2), а затем вычислить квадратный корень из результата, как показано ниже.

ơ = √[∑(x _i – x̄) ² * P(x _i )]

Формула распределения вероятности очень важна2 поскольку он в основном оценивает ожидаемый результат на основе всех возможных результатов для заданного диапазона данных. Одной из наиболее важных частей распределения вероятностей является определение функции, поскольку все остальные параметры просто вращаются вокруг нее. Распределение вероятностей находит применение при расчете доходности инвестиционного портфеля, проверке гипотез, ожидаемом росте населения и т. д.

Калькулятор формулы распределения вероятностей

Вы можете использовать следующий калькулятор формулы распределения вероятностей

xi
x̄
P(xi)
ơ

ơ	= √[∑(xi — x̄) ² * P(xi)]
	√[∑(0 — 0) ² * 0 ] = 0

Формула вероятности | Определение вероятности

Слово «вероятность» может быть определено как определенность или неопределенность возникновения события. Значение вероятности любого события находится между 0 и 1. 0 указывает на невозможность события, тогда как 1 указывает на достоверность события. Вероятность любого события Е определяется как отношение числа исходов к общему числу возможных исходов. Обозначается как Р (Е).

P (E) = n / N

Это называется формулой вероятности.

Важные термины, связанные с формулами вероятности, следующие:

- Эксперимент: Эксперимент — это метод, который можно повторять бесконечно и который состоит из набора возможных результатов.

Пространство выборки: Множество всех возможных результатов эксперимента называется пространством выборки.

Результат: Результат эксперимента называется исходом.

Событие: Событие — это комбинация всех возможных исходов эксперимента.
Функция вероятности: Функция, позволяющая определить вероятность каждого результата эксперимента, называется функцией вероятности.

Правила вероятности

Правила вероятности приведены ниже:

Правило 1: Рассмотрим два события A и B. Вероятность того, что произойдут оба события A и B или одно из них, определяется выражением

P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

Правило 2: Считайте два события A и B взаимоисключающими (непересекающимися) событиями. Вероятность того, что происходят оба события A и B или одно из них, определяется как

P (A U B) = P (A) + P (B)

Правило 3: Вероятность дополнения A равна P ( А ^с ) = 1 – Р (А).

Стандартные формулы вероятности

Диапазон вероятности: 0 ≤ P (A) ≤ 1
Правило дополнительных событий: P (A ^c ) + P (A) = 1
Непересекающиеся события: События A и B не пересекаются, если P (A ∩ B) = 0
Условная вероятность: Мера вероятности наступления события при условии, что другое событие уже произошло. Он определяется вероятностью A при данном B.

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Формула Байеса: Математическая формула, используемая для определения условной вероятности событий. Он был основан в 1763 году английским статистиком Томасом Байесом.

P (A | B) = P (B | A) ⋅ P (A) / P (B)

P (A | B) – вероятность наступления события A при условии, что произошло событие B

P ( B | A) – вероятность наступления события B при условии, что произошло событие A

P (A) – вероятность события A

P(B) – вероятность события B

P(A) – вероятность наступления события.
No related posts.