Как найти радиус формула: 1) Найти радиус окружности, если её длина 6,28 см. Число пи округлите до сотых. 2)…

как найти через высоту, формула с доказательством

Содержание:

• Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус
• Свойства вписанной в треугольник окружности
  • Первое свойство
  • Второе свойство
  • Третье свойство
• Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
  • Произвольный треугольник
  • Прямоугольный треугольник
  • Равнобедренный треугольник
  • Равносторонний треугольник
• Как найти через высоту или стороны, примеры решения

Содержание

• Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус
• Свойства вписанной в треугольник окружности
  • Первое свойство
  • Второе свойство
  • Третье свойство
• Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
  • Произвольный треугольник
  • Прямоугольный треугольник
  • Равнобедренный треугольник
  • Равносторонний треугольник
• Как найти через высоту или стороны, примеры решения

Окружность, вписанная в треугольник — как найти радиус

Определение

Вписанной в треугольник окружностью называют такую окружность, которая занимает внутреннее пространство геометрической фигуры, соприкасаясь со всеми ее сторонами.

В таком случае грани треугольника представляют собой касательные к этой окружности. Сама геометрическая фигура с тремя углами считается описанной вокруг рассматриваемой окружности.

Источник: people-ask.ru

Свойства вписанной в треугольник окружности

Окружность, которую вписали в треугольник, обладает определенными свойствами. Основные из них можно записать таким образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

1. Центр окружности, которую вписали в треугольник, совпадает с точкой пересечения биссектрис этой геометрической фигуры.
2. Во внутреннее пространство любого треугольника можно вписать лишь одну окружность.
3. Формула радиуса окружности, который вписали во многоугольник с тремя углами, будет иметь такой вид:

Источник: people-ask.ru

В представленной формуле радиуса окружности использованы следующие величины:

• S – является площадью треугольника;
• р – представляет собой полупериметр геометрической фигуры;
• a, b, c – являются сторонами треугольника.

Перечисленные свойства необходимо доказать.

Первое свойство

Требуется доказать, что центр окружности, которую вписали в фигуру с тремя углами, совпадает с точкой пересечения биссектрис.

Доказательство построено в несколько этапов:

1. Необходимо опустить из центральной точки окружности перпендикулярные прямые OL, OK и OM, которые опускаются на стороны треугольника АВС. Из вершин треугольника следует провести прямые, соединяющие их с центром фигуры OA, OC и OB.

Источник: people-ask.ru

2. Далее можно рассмотреть пару треугольников AOM и AOK. Можно отметить, что они являются прямоугольными, так как OM и OK являются перпендикулярами к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для пары этих фигур.
3. Исходя из того, что касательная к окружности является перпендикуляром к радиусу, который проведен в точку касания, согласно свойству касательной к окружности, то катеты OМ и OК представляют собой радиусы окружности и, следовательно, равны.
4. Согласно полученным утверждениям, можно сделать вывод о равенстве прямоугольных треугольников AOМ и AOК по гипотенузе и катету. Таким образом, углы OAМ и OAК тоже равны. Получается, что OA является биссектрисой угла BAC.
5. Аналогично можно доказать, что OC является биссектрисой угла ACB, а OB – биссектрисой угла ABC.
6. Таким образом, биссектрисы треугольника совпадают в одной точке, которая представляет собой центр вписанной окружности.

Данное свойство окружности доказано.

Второе свойство

Необходимо представить доказательства свойства окружности, согласно которому в любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Доказательство состоит из нескольких этапов:

1. Окружность получится вписать в треугольник в том случае, когда существует точка, удаленная на равные расстояния от сторон геометрической фигуры.
2. Можно построить пару биссектрис ОА и ОС. Из точки, в которой они пересекаются, необходимо опустить перпендикулярные прямые OK, OL и OM ко всем граням многоугольника с тремя углами ABC.

Источник: people-ask.ru

3. Затем следует рассмотреть пару треугольников AOK и AOM.
4. Эти фигуры обладают общей гипотенузой АО. Углы OAK и OAM равны, так как OA является биссектрисой угла KAM. Углы OKA и OMA прямые, то есть также равны, так как OK и OM являются перпендикулярами к сторонам AB и AC.
5. Исходя из того, что две пары углов равны, можно сделать вывод о равенстве третьей пары AOM и AOK.
6. Таким образом, получилось подтвердить равенство треугольников AOK и AOM по стороне AO и двум углам, которые к ней прилегают.

Источник: people-ask.ru

7. Удалось определить равенство сторон ОМ и ОК, то есть они удалены на одинаковое расстояние от сторон геометрической фигуры АС и АВ.
8. Аналогично можно доказать, что OM и OL равны, то есть равноудалены от граней AC и BC.
9. Таким образом, точка равноудалена от сторон треугольника, что делает ее центром окружности, которая вписана в этот многоугольник.
10. Аналогичным способом можно определить точку во внутреннем пространстве любой геометрической фигуры с тремя углами, которая будет удалена на равные расстояния от его сторон, и представляет собой центр окружности, вписанной в этот треугольник.
11. Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что в любой треугольник можно вписать окружность.
12. Необходимо заметить, что центральная точка окружности совпадает с точкой, в которой пересекаются биссектрисы треугольника.
13. Можно допустить ситуацию, при которой в геометрическую фигуру с тремя углами можно вписать две и более окружности.
14. Необходимо провести три прямые из вершин геометрической фигуры к центральной точке окружности, вписанной в нее, и опустить перпендикулярные прямые к каждой грани треугольника. Таким образом, будет доказано, что рассматриваемая окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника, согласно доказательству ее первого свойства.
15. Получим совпадение центральной точки окружности и центра первой окружности, которая уже была вписана в этот треугольник, а ее радиус соответствует перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника так же, как и в первом случае. Можно сделать вывод о совпадении этих окружностей.
16. Аналогично любая другая окружность, вписанная в геометрическую фигуру с тремя углами, будет совпадать с первой окружностью.
17. Таким образом, в треугольник получается вписать лишь одну окружность.

Свойство доказано.

Третье свойство

Требуется доказать, что радиус окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, представляет собой отношение площади треугольника к полупериметру:

Источник: people-ask.ru

Кроме того, необходимо представить доказательства следующему равенству:

Источник: people-ask.ru

Доказательство:

Источник: people-ask.ru

1. Следует рассмотреть произвольный треугольник АВС, стороны которого соответствуют a, b и c. Для расчета полупериметра данного треугольника целесообразно использовать формулу:

Источник: people-ask.ru

2. Центральная точка окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис геометрической фигуры с тремя углами. Прямые OA, OB и OC, которые соединяют O с вершинами треугольника АВС, разделяют геометрическую фигуру на три части: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC представляет собой сумму площадей этих трех частей.

Источник: people-ask.ru

3. Исходя из того, что площадь какого-либо треугольника представляет собой половину произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA рассчитывается, как радиус окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно определить по формулам:

Источник: people-ask.ru

4. Далее необходимо представить площадь S геометрической фигуры АВС, как сумму площадей нескольких треугольников:

Источник: people-ask.ru

5. Следует отметить, что второй множитель является полупериметром геометрической фигуры с тремя углами АВС, что можно записать в виде равенства:

Источник: people-ask.ru Источник: people-ask. ru

6. Таким образом, доказано равенство радиуса вписанной окружности и отношения площади треугольника к полупериметру.
7. Можно записать формулу Герона, смысл которой заключается в следующем: площадь треугольника (S) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра (p) на разности полупериметра и каждой из его сторон (a, b, c)

Источник: people-ask.ru

8. Далее следует преобразовать формулу для расчета радиуса:

Источник: people-ask.ru

Свойство окружности доказано.

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Параметры окружности, которую вписали в геометрическую фигуру с тремя углами, можно рассчитать с помощью стандартных формул. Радиус окружности будет определен в зависимости от типа треугольника.

Произвольный треугольник

Определить радиус окружности, которая вписана в какой-либо треугольник, можно, как удвоенную площадь треугольника, поделенную на его периметр.

Источник: microexcel.ru

В данном случае, a, b, c являются сторонами геометрической фигуры с тремя углами, S – ее площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, которую вписали в треугольник с прямым углом, представляет собой дробь с числителем в виде суммы катетов за минусом гипотезы и знаменателем, равным числу 2.

Источник: microexcel.ru

В формуле a и b являются катетами, c – гипотенузой треугольника.

Равнобедренный треугольник

Радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник, определяют по формуле:

Источник: microexcel.ru

В этом случае a – боковые стороны, b – основание треугольника.

Равносторонний треугольник

Расчет радиуса окружности, которая вписана в правильный или равносторонний треугольник, выполняют по формуле:

Источник: microexcel.ru

где a – сторона геометрической фигуры с тремя углами.

Как найти через высоту или стороны, примеры решения

Задача 1

Имеется геометрическая фигура с тремя углами, стороны которой составляют 5, 7 и 10 см. Требуется определить радиус окружности, которая вписана в этот треугольник.

Решение

В первую очередь необходимо определить, какова площадь треугольника. Для этого можно воспользоваться формулой Герона:

Источник: microexcel.ru

Затем применим формулу для расчета радиуса круга:

Источник: microexcel.ru

Ответ: радиус окружности составляет примерно 1,48 см.

Задача 2

Необходимо рассчитать радиус окружности, которая вписана в равнобедренный треугольник. Боковые стороны геометрической фигуры составляют 16 см, а основание равно 7 см.

Решение

Следует использовать подходящую формулу для расчета радиуса, подставив в нее известные величины:

Источник: microexcel.ru

Ответ: радиус окружности примерно равен 2,8 см.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.50 (Голосов: 2)

Поиск по содержимому

Радиусы описанной и вписанной окружностей в квадрат

Окружность вписанная в квадрат

Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить какими свойствами обладает данная фигура. У квадрата:

• все углы прямые, то есть, равны 90°;
• все стороны, как и углы, равны;
• диагонали равны, точкой пересечения бьются строго пополам и пересекаются под углом 90°.

При этом вписанная в выпуклый многоугольник окружность обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD, точку пресечения его диагоналей O. Как видно на рисунке 1, пересечение линий АС и ВD дают равнобедренный треугольник АОВ, в котором стороны АО=ОВ, углы ОАВ=АВО=45°, а угол АОВ=90°. Тогда радиусом вписанной окружности в квадрат будет не что иное, как высота ОЕ полученного равнобедренного треугольника АОВ.

Если предположить, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть следующим образом:

Объяснение: в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОЕ или радиус r делят основание АВ пополам (свойства), образовывая при этом прямоугольный треугольник с прямым угол ОЕВ. В маленьком треугольнике ЕВО основание ОВ образует со сторонами ОЕ и ЕВ углы по 45°. Значит треугольник ЕВО еще и равнобедренный. Стороны ОЕ и ЕВ равны.

Для наглядности приведем численный пример нахождения величины радиуса вписанной окружности в квадрат со стороной равной 13 см. В данном случае значение вписанного радиуса будет равно:

Легко решить и обратную задачу. Предположим, что известен радиус вписанной окружности – 9 см, тогда анализируя пример нахождения величины радиуса вписанной окружности в квадрат, можно найти сторону квадрата:
Находим из этого уравнения неизвестное значение: .

Окружность описанная около квадрата

Вокруг квадрата также можно описать окружность. В этом случае каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата будет находиться еще проще. В этом случае R описанной окружности будет равен половине диагонали квадрата. В буквенном виде формула выглядит так (рисунок 2):

Объяснение: после проведения диагоналей ABCD образовались два одинаковых прямоугольных треугольника АВС = CDA. Рассмотрим один из них. В треугольнике CAD:

• угол CDA=90°;
• стороны AD=CD. Признак равнобедренного треугольника;
• угол DAC равен ACD. Они равны по 45°.

Чтобы найти в этом прямоугольном треугольнике гипотенузу АС, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:
, отсюда
Поскольку окружность касается вершин квадрата, а точка пересечения его диагоналей является центром описанной окружности (свойства), то отрезок ОС и будет радиусом окружности. Он является половинкой гипотенузы. Это утверждение вытекает из свойств равнобедренного треугольника или свойств диагоналей квадрата. Потому формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата в нашем случае имеет следующий вид:

Поскольку AD=CD, а свойства квадратного корня позволяют вынести одно из подкоренных выражений, тогда формула приобретает вид:

Численный пример нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата будет таким.
Предположим, что диагональ квадрата равна , тогда:

Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.

Рассмотрим пример

Задача

: радиус окружности вписанной в квадрат равен . Найти радиус окружности описанной около этого квадрата.

Дано

:

• треугольник ОСЕ – равнобедренный и прямоугольный;
• ОЕ=ЕС=;
• ОЕС=90°;
• ЕОС=ОСЕ=45°;

Найти: ОС=?
Решение: в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.

Как рассчитать радиус маленького круга | Широта и долгота

На изображении выше показан радиус маленького круга.

Для расчета радиуса малого круга необходимы два основных параметра: значение R и значение широты северной или южной широты экватора (α).

Формула для расчета радиуса малого круга:

r = Rcosα

Где:

r = Радиус малого круга или Радиус параллели 9 широты0019 R = радиус Земли
α = значение широты к северу или югу от экватора

Давайте решим пример;
Найдите радиус маленького круга, если значение R равно 6400, а значение широты к северу или югу от экватора равно 22.

Отсюда следует, что;

R = радиус Земли = 6400
α = значение широты к северу или югу от экватора = 22

r = Rcosα
r = 6400 x cos22°
r = 6400 x 0,927
r = 79030,00002 Следовательно, радиус малого круга равен 5933,97 км.

Расчет значения широты к северу или югу от экватора, когда известны радиус малого круга и значение R.

α = ^r / _Rcos

Где:

α = Значение широты к северу или югу от экватора
R = Радиус Земли
r = Радиус малого круга параллели или Широта

Решим пример;
Найдите значение широты к северу или югу от экватора с радиусом малого круга, равным 20, и значением R, равным 6400.

Отсюда следует, что;

R = Radius of the Earth = 6400
r = Radius of the small circle or Radius of Parallel of Latitude =20

α = ^r / _Rcos
α = ²⁰ / _6400cos
α = ²⁰ / _0,1736
α = 115,207

Следовательно, значение широты к северу или югу от экватора — это 115,207°.

Калькулятор Никзома –  Энциклопедия калькулятора способна вычислить радиус маленького круга.

Чтобы получить ответ и вычисления радиуса малого круга с помощью Калькулятор Никзома – Энциклопедия калькулятора. Во-первых, вам нужно получить приложение.

Вы можете получить это приложение любым из следующих способов:

Интернет  – https://www.nickzom.org/calculator-plus

Чтобы получить доступ к0007 профессиональная версия через Интернет, вам необходимо зарегистрироваться и подписаться за 1500 NGN за годовой , чтобы иметь полный доступ ко всем функциям.
Вы также можете попробовать демо-версию через https://www.nickzom.org/calculator

Android (платная)  – https://play.google.com/store/apps/details?id=org .nickzom.nickzomcalculator
Android (бесплатно)  – https://play. google.com/store/apps/details?id=com.nickzom.nickzomcalculator
Apple (платно)  – https://itunes.apple.com/us/app/nickzom-calculator/id1331162702?mt=8
После того, как вы получили приложение энциклопедии калькулятора, перейдите к  Карта калькулятора,  затем нажмите Широта и долгота под Математика .

Теперь нажмите Радиус маленького круга под Широта и долгота

На снимке экрана ниже показана страница или действие для ввода ваших значений, чтобы получить ответ для радиуса маленького круга в соответствии с к соответствующим параметрам, которые являются значение R и значение широты северной или южной широты экватора (α).

Теперь введите соответствующие значения для параметров в соответствии с требованиями значение R равно 6400 и значение широты северной или южной широты экватора (α) равно 22 .

Наконец, нажмите «Вычислить».

Опубликовано Ноябрь 21, 2019 Автор Loveth IdokoКатегории МатематикаТеги энциклопедия калькулятора, широта и долгота, математика, калькулятор nickzom, радиус малого круга, значение R, значение широты N или S экватора

Видео-вопрос: нахождение радиуса внутренней окружности, касающейся сторон треугольника, с использованием заданного соотношения и длин сторон треугольника

Длины треугольника равны 12 см, 5 см и 11 см. Найдите радиус внутренней окружности, касающейся сторон, по формуле 𝑟 = площадь (△𝐴𝐵𝐶)/𝑝, где 𝑝 — половина периметра треугольника.

Стенограмма видео

Длина треугольника равна 12 сантиметры, пять сантиметров и 11 сантиметров. Найдите внутренний радиус окружность, касающаяся сторон по формуле 𝑟, равна площади треугольника 𝐴𝐵𝐶 над 𝑝, где 𝑝 — половина периметра треугольника.

Ну, чтобы мы могли использовать Формула радиуса круга, нам нужно найти площадь треугольник. И то, что нам говорят, три стороны длины нашего треугольника: 12, 5 и 11. Ну, а если у нас три длины сторон треугольника, то мы можем использовать формулу Герона, чтобы найти площадь. А формула Герона говорит нам, что площадь равна квадратному корню из 𝑠, умноженному на 𝑠 минус 𝑎, умноженному на 𝑠 минус 𝑏, умноженный на 𝑠 минус 𝑐, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — длины сторон наш треугольник. А 𝑠 равно 𝑎 плюс 𝑏 плюс 𝑐 больше двух, потому что это полупериметр нашего треугольника. Ну, на самом деле, это связано с формула для радиуса у нас есть, потому что нам сказали, что формула для радиус равен площади треугольника, деленной на 𝑝, где 𝑝 — половина периметр треугольника. Ну, по сути, это то же самое, что и 𝑠 потому что оба они означают полупериметр или половину периметра треугольника.

Итак, первое, что мы хотим сделать узнать площадь треугольника. А для этого, во-первых, нам нужно найдите полупериметр или 𝑝, половину периметра треугольника. Ну, это будет равно 12 плюс пять плюс 11 на два. Итак, это будет равно 14 сантиметры. Так здорово, что мы можем сделать сейчас подставьте это в формулу Герона. И когда мы это сделаем, мы собираемся получить площадь равна корню квадратному из 14 умножить на 14 минус 12 умножить на 14 минус пять умножить на 14 минус 11, что равно корню 756. А если это упростить, то получится шесть корень 21. И мы сохраним его в сурде форме, чтобы сохранить точность, и единицами для этого будут сантиметры в квадрате, потому что это наш район.

Хорошо, отлично. Итак, теперь у нас есть все, что нужно подставить в формулу для нахождения радиуса. Что мы сделали, так это то, что мы набросали то, что мы пытаемся найти, потому что мы пытаемся найти радиус внутренний круг, который касается сторон нашего треугольника.