Формула умножения косинусов: Произведение косинусов (Косинус умножить на косинус)

Содержание

Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

В данной статье рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов, а также формулы произведения синуса на косинус. Допустим, есть необходимость вычислить произведение синусов или косинусов углов α и β. Формулы произведения позволяют перейти от произведения к сумме или разности синусов и косинусов углов α+β и α-β.

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

  1. Произведение синусов углов α и β равно полуразности косинуса угла α-β и косинуса угла α+β.
  2. Произведение косинусов углов α и β равно полусумме косинуса угла α-β и косинуса угла α+β.
  3. Произведение синуса угла α на косинус угла β равно полусумме синуса угла α-β и синуса угла α+β.
Формулы произведения

Для любых α и β справедливы формулы

  • sin α·sin β=12cosα-β-cosα+β;
  • cos α·cos β=12cosα-β+cosα+β;
  • sin α·cos β=12sinα-β+sinα+β.

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

cosα+β=cos α·cos β-sin α·sin βcosα-β=cos α·cos β+sin α·sin β

Сложим эти равенства и получим:

cosα+β+cosα-β=cos α·cos β-sin α·sin β+cos α·cos β+sin α·sin βcosα+β+cosα-β=2·cos α·cos β

Отсюда

cos α·cos β=12cosα+β+cosα-β

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

-cos(α+β)=-cos α·cosβ+sin α·sinβ

Добавим к равенству формулу cosα-β=cos α·cos β+sin α·sinβ.

Получим:

-cos(α+β)+cosα-β=-cos α·cosβ+sin α·sinβ+cos α·cos β+sin α·sinβ-cos(α+β)+cosα-β=2·sin α·sinβsin α·sinβ=12(cosα-β-cos(α+β))

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

sinα+β=sin α·cos β+cos α·sin βsinα-β=sin α·cos β-cos α·sin βsinα+β+sinα-β=sin α·cos β+cos α·sin β+sin α·cos β-cos α·sin βsinα+β+sinα-β=2sin α·cos βsin α·cos β=12(sinα+β+sinα-β)

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач. 

Пусть α=60°, β=30°. Возьмем формулу произведения синусов и подставим в нее конкретные значения.

sin α·sin β=12(cosα-β-cosα+β)sin 60°·sin 30° =12(cos60°-30°-cos60°+30°)sin 60°·sin 30°=12(cos30°-cos90°)sin 60°·sin 30°=12(32-0)=34

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

sin60°·sin30°=32·12=34.

 Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Пример. Формулы произведения

Нужно sin 75° умножить на cos 15° и вычислить точное  значение произведения.

Мы не располагаем точными значениями синуса и косинуса данных углов, однако можем вычислить точное значение произведения sin 75°·cos 15° c помощью формулы произведения синуса на косинус.

sin 75°·cos 15°=12sin(75°-15°+sin(75°+15°))sin 75°·cos 15°=12sin60°+sin90°=1232+1=3+24

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Формула умножения синуса на косинус. Сумма и разность синусов и косинусов: вывод формул, примеры

Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.

Истоки тригонометрии

Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.

Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры. В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.

Начальный этап

Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.

Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.

Сферическая тригонометрия

Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов. Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».

Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание — она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.

Прямоугольный треугольник

Немного узнав про способы применения тригонометрии, вернемся к базовой тригонометрии, чтобы в дальнейшем разобраться, что такое синус, косинус, тангенс, какие расчёты можно с их помощью выполнять и какие формулы при этом использовать.

Первым делом необходимо уяснить понятия, относящиеся к прямоугольному треугольнику. Во-первых, гипотенуза — это сторона, лежащая напротив угла в 90 градусов. Она является самой длинной. Мы помним, что по теореме Пифагора её численное значение равно корню из суммы квадратов двух других сторон.

Например, если две стороны равны 3 и 4 сантиметрам соответственно, длина гипотенузы составит 5 сантиметров. Кстати, об этом знали ещё древние египтяне около четырех с половиной тысяч лет назад.

Две оставшиеся стороны, которые образуют прямой угол, носят название катетов. Кроме того, надо помнить, что сумма углов в треугольнике в прямоугольной системе координат равняется 180 градусам.

Определение

Наконец, твердо понимая геометрическую базу, можно обратиться к определению синуса, косинуса и тангенса угла.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета (т. е. стороны, располагающейся напротив нужного угла) к гипотенузе. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Запомните, что ни синус, ни косинус не может быть больше единицы! Почему? Потому что гипотенуза — это по умолчанию самая длинная Каким бы длинным ни был катет, он будет короче гипотенузы, а значит, их отношение всегда будет меньше единицы. Таким образом, если у вас в ответе к задаче получился синус или косинус со значением, большим, чем 1, ищите ошибку в расчётах или рассуждениях. Этот ответ однозначно неверен.

Наконец, тангенсом угла называется отношение противолежащей стороны к прилежащей. Тот же самый результат даст деление синуса на косинус. Посмотрите: в соответствии с формулой мы делим длину стороны на гипотенузу, после чего делим на длину второй стороны и умножаем на гипотенузу. Таким образом, мы получаем то же самое соотношение, что и в определении тангенса.

Котангенс, соответственно, представляет собой отношение прилежащей к углу стороны к противолежащей. Тот же результат мы получим, разделив единицу на тангенс.

Итак, мы рассмотрели определения, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, и можем заняться формулами.

Простейшие формулы

В тригонометрии не обойтись без формул — как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.

Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.

Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой. Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.

Формулы двойного угла и сложения аргументов

Ещё две формулы, которые требуется выучить, связаны со значениями синуса и косинуса при сумме и разности углов. Они представлены на рисунке ниже. Обратите внимание, что в первом случае оба раза перемножается синус и косинус, а во втором складывается попарное произведение синуса и косинуса.

Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих — в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.

Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теоремы

Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов. С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.

Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла — полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.

Ошибки по невнимательности

Даже зная, что такое синус, косинус и тангенс, легко совершить ошибку из-за рассеянности внимания или ошибки в простейших расчётах. Чтобы избежать таких ошибок, ознакомимся с наиболее популярными из них.

Во-первых, не следует преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные до получения окончательного результата — можно и ответ оставить в виде обыкновенной дроби, если в условии не оговорено обратное. Такое преобразование нельзя назвать ошибкой, однако следует помнить, что на каждом этапе задачи могут появиться новые корни, которые по задумке автора должны сократиться. В этом случае вы напрасно потратите время на излишние математические операции. Особенно это актуально для таких значений, как корень из трёх или из двух, ведь они встречаются в задачах на каждом шагу. То же касается округлений «некрасивых» чисел.

Далее, обратите внимание, что к любому треугольнику применима теорема косинусов, но не теорема Пифагора! Если вы по ошибке забудете вычесть удвоенное произведение сторон, умноженное на косинус угла между ними, вы не только получите совершенно неверный результат, но и продемонстрируете полное непонимание предмета. Это хуже, чем ошибка по невнимательности.

В-третьих, не путайте значения для углов в 30 и 60 градусов для синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов. Запомните эти значения, ведь синус 30 градусов равен косинусу 60, и наоборот. Их легко перепутать, вследствие чего вы неизбежно получите ошибочный результат.

Применение

Многие ученики не спешат приступать к изучению тригонометрии, поскольку не понимают её прикладного смысла. Что такое синус, косинус, тангенс для инженера или астронома? Это понятия, благодаря которым можно вычислить расстояние до далёких звёзд, предсказать падение метеорита, отправить исследовательский зонд на другую планету. Без них нельзя построить здание, спроектировать автомобиль, рассчитать нагрузку на поверхность или траекторию движения предмета. И это только самые очевидные примеры! Ведь тригонометрия в том или ином виде используется повсюду, начиная от музыки и заканчивая медициной.

В заключение

Итак, вы синус, косинус, тангенс. Вы можете использовать их в расчётах и успешно решать школьные задачи.

Вся суть тригонометрии сводится к тому, что по известным параметрам треугольника нужно вычислить неизвестные. Всего этих параметров шесть: длины трёх сторон и величины трёх углов. Всё различие в задачах заключается в том, что даются неодинаковые входные данные.

Как найти синус, косинус, тангенс исходя из известных длин катетов или гипотенузы, вы теперь знаете. Поскольку эти термины обозначают не что иное, как отношение, а отношение — это дробь, главной целью тригонометрической задачи становится нахождение корней обычного уравнения либо же системы уравнений. И здесь вам поможет обычная школьная математика.

Я не буду убеждать вас не писать шпаргалки. Пишите! В том числе, и шпаргалки по тригонометрии. Позже я планирую объяснить, зачем нужны шпаргалки и чем шпаргалки полезны. А здесь — информация, как не учить, но запомнить некоторые тригонометрические формулы. Итак — тригонометрия без шпаргалки!Используем ассоциации для запоминания.

1. Формулы сложения:

косинусы всегда «ходят парами»: косинус-косинус, синус-синус. И еще: косинусы — «неадекватны». Им «все не так», поэтому они знаки меняют: «-» на «+», и наоборот.


Синусы — «смешиваются» : синус-косинус, косинус-синус.

2. Формулы суммы и разности:

косинусы всегда «ходят парами». Сложив два косинуса — «колобка», получаем пару косинусов- «колобков». А вычитая, колобков точно не получим. Получаем пару синусов. Еще и с минусом впереди.

Синусы — «смешиваются» :

3. Формулы преобразования произведения в сумму и разность.

Когда мы получаем пару косинусов? Когда складываем косинусы. Поэтому

Когда мы получаем пару синусов? При вычитании косинусов. Отсюда:

«Смешение» получаем как при сложении, так и при вычитании синусов. Что приятнее: складывать или вычитать? Правильно, складывать. И для формулы берут сложение:

В первой и в третьей формуле в скобках — сумма. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

Принципиален порядок только для второй формулы. Но, чтобы не путаться, для простоты запоминания мы во всех трех формулах в первых скобках берем разность

а во вторых — сумму

Шпаргалки в кармане дают спокойствие: если забыл формулу, можно списать. А дают уверенность: если воспользоваться шпаргалкой не удастся, формулы можно легко вспомнить.

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии.

Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения


Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла



Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени


Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций


Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус


Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
  • Copyright by cleverstudents

    Все права защищены.
    Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

    Тригонометрические тождества

    — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

    tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

    tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

    Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

    При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

    Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

    tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace

    Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

    Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

    Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

    Зависимость между тангенсом и котангенсом

    tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

    Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

    Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

    Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

    tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. {2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .

    По условию \frac{\pi}{2}

    Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.

    ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .

    Формулы для заучивания

    Формулы сокращенного умножения

    1. Формула разности квадратов: .

    2. Формула квадрата суммы: .

    3. Формула квадрата разности: .

    4. Формула куба суммы: .

    5. Формула куба разности: .

    6. Формула суммы кубов: .

    7. Формула разности кубов: .

    Обобщения формул сокращенного умножения

    1.

    2.

    3. Формула бинома Ньютона:

    ,

    где , , ; ;

    Свойства логарифмов

    1. Основное логарифмическое тождество: .

    2. Логарифм произведения: .

    3. Логарифм частного: .

    4. Логарифм степени: .

    5. Формула перехода к новому основанию: .

    6. Формула связи:

    Свойства степеней

    1. Умножение степеней с одинаковым основанием: .

    2. Деление степеней с одинаковым основанием: .

    3. Возведение степени в степень: .

    4. Умножение степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:.

    5. ,

    Формулы тригонометрии

    1. Нечетность синуса , четность косинуса .

    2. Синус суммы: .

    3. Синус разности: .

    4. Косинус суммы: .

    5. Косинус разности: .

    6. Основное тригонометрическое тождество: .

    7. Синус двойного угла: .

    8. Косинус двойного угла: .

    9. Формулы понижения: степени:.

    1. Выражение синуса и косинуса через тангенс угла: , .

    2. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: .

    Формулы преобразования суммы или разности в произведение

    1. Сумма синусов: .

    2. Разность синусов: .

    3. Сумма косинусов: .

    4. Разность косинусов: .

    Формулы преобразования произведения в сумму или разность

    1. Произведение синуса на косинус: .

    2. Произведение синуса на синус: .

    3. Произведение косинуса на косинус: .

    Таблица значений тригонометрических функций

    0

    0

    1

    0

    -1

    0

    1

    0

    -1

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    0

    0

    Прогрессии

    1. Формула — го члена арифметической прогрессии

    Здесь — первый член арифметической прогрессии, — разность прогрессии.

    1. Формула суммы первых членов арифметической прогрессии

    1. Формула — го члена геометрической прогрессии

    Здесь — первый член геометрической прогрессии, — знаменатель прогрессии.

    1. Формула суммы первых членов геометрической прогрессии

    1. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

    Свойства гиперболических функций

    1. , 2. ,

    3. , 4. ,

    5. ,

    Формулы приведения

    1. , 2.,

    3. , 4. ,

    5. , 6. ,

    7. , 8. ,

    9. , 10. ,

    11. , 12. ,

    13. , 14.

    15. 16.

    Таблица производных

    1. , 2. ,

    3. , 4. ,

    5. , 6. ,

    7. , 8. ,

    9. , 10. ,

    11. , 12. ,

    13. , 14. ,

    15. , 16. ,

    17. ,

    18. , ,

    19. , ,

    20. , ,

    21. , .

    Таблица интегралов

    1. 2.

    3. , 4. ,

    5. 6. ,

    7. , 8. . ,

    9. , 10. ,

    11. , 12.. ,

    13. , 14. ,

    15. , 16. ,

    17. , 18. ,

    19. , 20. ,

    21. ,

    22. ,

    23. ,

    24. , 25. ,

    26. , 27. .

    28. , 29. ,

    30. ,

    31. ,

    Замечания.

    1. Если то

    2. Рекуррентная формула для нахождения интеграла

    , ,

    Интегрирование тригонометрических функций: методы и примеры

    • Подынтегральное выражение можно преобразовать из произведения тригонометрических функций в сумму
    • Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента
    • Использование метода замены переменной
    • Универсальная тригонометрическая подстановка

    Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

    Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида

     (1)

    Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами

     (2)
     (3)
     (4)
    можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам

     (5)

    и

     (6)

    • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

    Пример 1. Найти интеграл от тригонометрической функции

    Решение. По формуле (2) при

    имеем

    Поэтому

    Применяя далее формулу (5), получим

    Пример 2. Найти интеграл от тригонометрической функции

    Решение. По формуле (3) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:

    Поэтому

    Применяя далее формулу (6), получим

    Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

    • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

    Пример 3. Найти интеграл от тригонометрической функции

    Решение. По формуле (4) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:

    Применяя формулу (6), получим

    Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т. е.

     (7)

    В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.

    При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен — sin x dx).

    Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.

    Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 — нечётный. Тогда, учитывая, что

    получим

    Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x. Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей — нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса — это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень — отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени — только чётные. О них — следующем абзаце.

    Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы

    понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей — отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе.

    • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

    Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции

    Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим

    в виде

    и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим

    Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём

    Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

    Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции

    .

    Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим

    в виде

    и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx). Тогда получим

    Раскроем скобки

    и получим

    Возвращаясь к старой переменной, получаем решение

    Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции

    Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:

    Тогда получим

    Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x. Тогда (1/2)dt = cos2x dx. Следовательно,

    а

    Окончательно получаем

    • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

    Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

    Пример 7. Найти интеграл от тригонометрической функции

    .

    Посмотреть правильное решение и ответ.

    Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

    Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус — в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t, но и tgx = t и ctgx = t.

    Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции

    .

    Решение. Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:

    .

    Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

    Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

    • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

    Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции

    .

    Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:

    .

    Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:

    .

    Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

    .

    Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции

    .

    Решение. Произведём замену переменной: , тогда .

    Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество :

    Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите выше, чему равно dt). Далее раскладываем подынтегральное выражение на множители и интегрируем по таблице:

    .

    Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:

    .

    Для самопроверки при расчетах можно воспользоваться калькулятором неопределённых интегралов онлайн.

    Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

    Пример 11. Найти интеграл от тригонометрической функции

    .

    Посмотреть правильное решение и ответ.

    • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений

    Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:

    где .

    Тогда .

    Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.

    Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции

    .

    Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
    .

    Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

    Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

    К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:

    .

    Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции

    .

    Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
    .

    Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда

    .

    Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим

    К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:

    .

    Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции

    .

    Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда

    Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:

    Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:

    Теперь получаем:

    Используем подведение под знак дифференциала:

    К последнему слагаемому применяем замену переменной , тогда . Получаем:

    Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение:

    • Пригодится: тригонометрические тождества для преобразования выражений
    НазадЛистатьВперёд>>>

    К началу страницы

    Пройти тест по теме Интеграл

    Начало темы «Интеграл»

    Неопределённый интеграл: основные понятия, свойства, таблица неопределённых интегралов

    Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений

    Метод замены переменной в неопределённом интеграле

    Интегрирование подведением под знак дифференциала

    Метод интегрирования по частям

    Интегрирование дробей

    Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

    Интегрирование некоторых иррациональных функций

    Продолжение темы «Интеграл»

    Определённый интеграл

    Несобственные интегралы

    Площадь плоской фигуры с помощью интеграла

    Объём тела вращения с помощью интеграла

    Вычисление двойных интегралов

    Длина дуги кривой с помощью интеграла

    Площадь поверхности вращения с помощью интеграла

    Определение работы силы с помощью интеграла

    10.

    Тригонометрия — MAPHY.COM

    Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

    При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

    1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
    2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
    3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
    4. Верьте, что всё будет хорошо.

     

    Основные тригонометрические формулы

    Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

    Тогда, определение синуса:

    Определение косинуса:

    Определение тангенса:

    Определение котангенса:

    Основное тригонометрическое тождество:

    Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

    Формулы двойного угла.  Синус двойного угла:

    Косинус двойного угла:

    Тангенс двойного угла:

    Котангенс двойного угла:

     

    Дополнительные тригонометрические формулы

    Тригонометрические формулы сложения. 

    Синус суммы:

    Синус разности:

    Косинус суммы:

    Косинус разности:

    Тангенс суммы:

    Тангенс разности:

    Котангенс суммы:

    Котангенс разности:

    Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

    Разность синусов:

    Сумма косинусов:

    Разность косинусов:

    Сумма тангенсов:

    Разность тангенсов:

    Сумма котангенсов:

    Разность котангенсов:

    Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

    Произведение синуса и косинуса:

    Произведение косинусов:

    Формулы понижения степени.  Формула понижения степени для синуса:

    Формула понижения степени для косинуса:

    Формула понижения степени для тангенса:

    Формула понижения степени для котангенса:

    Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

    Формула половинного угла для котангенса:

     

    Тригонометрические формулы приведения

    Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

    • Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
    • Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
    • При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т. е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

    Формулы приведения задаются в виде таблицы:

     

    Тригонометрическая окружность

    По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

     

    Тригонометрические уравнения

    Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

    • Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
    • Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
    • При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
    • Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
    • Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
    • Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
    • Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

    Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

    Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

    Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

    Для тангенса:

    Для котангенса:

    Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

    принцесса, доктор, астроном и математика