Решить онлайн ду: Дифференциальные уравнения онлайн

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений в среде MATLAB. Часть 1

В среде MATLAB можно решать системы диффуров с начальными условиями, краевые задачи, а также решать дифференциальные уравнения в частных производных с помощью инструмента PDE toolbox.

В данном обзоре речь пойдет лишь о системах дифференциальных уравнений с начальными условиями, то есть о задаче Коши. В англоязычной литературе это называется Initial Value Problem.

Рассмотрим:

• каким образом записывать системы диффуров
• как задать начальные условия
• временной интервал
• какой получать результат решения для дальнего использования

Решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно как в MATLAB, так и в Simulink. 

В первую очередь, следует определиться, использовать для решения Matlab и его текстовый редактор, или Simulink, где те же системы дифференциальных уравнений могут быть записаны в виде функциональных блоков.

Выбор ваш должен зависеть от задачи. Если Вы, например, хотите смоделировать какой-либо объект управления, описываемый системой диффуров, то в данном случае имеет смысл использовать именно Simulink, так как Вам, впоследствии, понадобиться синтез, например, системы управления, и Simulink подойдет здесь как нельзя лучше.

А вот если у Вас, например, есть необходимость решать системы диффуров с большим количеством уравнений и неизвестных, или специфика Вашей задачи требует особой и специальной настройки численного метода, а также если вы хотите использовать решение диффура в составе других скриптов MATLAB, то Вам имеет смысл решать дифференциальные уравнения способом, о котором пойдёт речь в этом обзоре.

Рассмотрим синтаксис решателей matlab.В качестве аргументов следует подать правую часть системы в виде MATLAB-функции.

На рисунке показан требуемый вид системы, когда выражены старшие производные.

 

Системы, чей вид отличается от требуемого, следует преобразовать к таковому.

Если функция простая, то её можно записать прямо в поле аргумента, однако, когда речь идёт о системах уравнений, имеет смысл записывать систему уравнений в виде отдельной функции, в том числе и в виде отдельного м-файла.

Об этом мы поговорим чуть позже и на конкретном примере. 

Также подается интервал времени, на котором будет найдено решение. Интервал задаётся строкой из двух чисел: начальной величины независимого аргумента t и его конечного значения.

Далее задаются начальные условия. Значения всех неизвестных искомых переменных в начале расчёта задаются в виде столбца соответствующей размерности.

Далее, при необходимости, задаются опции. Вот тут и раскрываются широкие возможности MATLAB по настройке решателя. Помимо управления точностью и величиной шага, имеется возможность обрабатывать данные в процессе вычисления, а также выполнять скрипты по завершению вычисления. Но ещё более полезным является опция отслеживания событий по условию, более подробно поговорим об этом дальше. Также есть другие специальные опции, которые могут быть использованы при решении определённых типов систем.

Вы могли заметить, что название функции — odeXY – это обозначение для всех решателей, которых всего 8 штук. В данном ролике мы пользоваться решателем ode45, соответствующего численному по методу Дормана-Принса 4(5). Этого решателя достаточно для подавляющего большинства задач. Остальные решатели будут подробно рассмотрены в приложении к задачам соответствующих типов позже.

Перейдем к примерам.

Рассмотрим 2 примера:

• решение дифференциального уравнения первого порядка.
• решение системы двух дифференциальных уравнений второго порядка.

В качестве уравнение первого порядка рассмотрим логистическое уравнение Ферхюльста, которое описывает динамику численности популяции. Суть уравнения такова: скорость прироста населения y пропорциональна количеству населения, однако лимитирована максимальной численностью популяции.

Забавный факт: Ферхюльст назвал это уравнение логистическим, и никто до сих пор не знает почему, ибо сам Ферхюльст об этом никому не рассказал.

Решение этого дифференциального уравнения выглядит следующим образом.

Пишем функцию в явном виде, задаём интервал расчёта и записываем начальное условие. Пару слов о записи функции подобным образом. Знак собаки в матлабе является оператором создания функции соответствующих переменных. Вы задаёте аргументы функции и саму функцию через пробел, как показано на рисунке.

Перейдем в окно MATLABа и посмотрим, как это выглядит.

Так выглядит скрипт:

Так выглядит график решения дифференциального уравнения:

В качестве примера решения системы, состоящей из двух дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрим шарик, подвешенный на пружине, который ещё и тормозит о воздух.

Уравнения показаны на рисунке. Но вид системы отличается от требуемого, в том числе потому, что в нём присутствуют вторые производные. Для приведения системы в требуемый вид выполним 2 простых шага:

Первое: следует заменить переменные соответствующим образом. Теперь у нас 4 неизвестных. Далее следует преобразовать уравнение с учетом замены. Таким образом, мы имеем систему из четырёх дифференциальных уравнений первого порядка.

Настало время её записать.

Итак, мы имеем систему, параметры, интервал времени и начальные условия. Решим же эту задачу скорее.

В отличие от предыдущего примера, систему четырех уравнений проблематично записать в поле аргумента. Поэтому всю систему будем записывать в отдельную функцию.

Эту функцию можно располагать как в самом скрипте решения в самом его конце, так и в виде отдельного m-файла.

На выходе функция должна представлять собой вектор-столбец, который записывается перечислением компонент через точку запятой как показано на рисунке.

Теперь рассмотрим скрипт самого решения.

На этот раз запишем интервал и начальные условия в виде переменных MATLAB. Интервал, соответственно, в виде строки, а начальные условия – в виде столбца длинной 4.

Сообразно с уже разобранным ранее синтаксисом укажем функцию pendulum_np, интервал времени и начальные условия.

Перейдем теперь в окно MATLAB и посмотрим решение.

Так выглядит скрипт:

Часть 2

Запускаем скрипт и получаем графики:

Зачастую хочется, чтобы одну и ту же систему можно было бы решать с разными параметрами, и при этом не менять их в теле самой функции.

И это можно, и даже нужно осуществлять.

На рисунке показана функция MATLAB, которая соответствует движению подвешенного на пружине шара, однако можно заметить, что эта функция теперь имеет на 5 аргументов больше.

Параметры задаются в скрипте, а при вызове функции мы обращаемся к уже известному оператору-собаке, которая превращает функцию семи переменных pendulum_n в функцию двух переменных t и X. Вот и всё.

Я вам очень рекомендую разобраться с тем, как работает оператор-собака. В хелпе он называется function-handle. Разобравшись с ним Вам будет работать в среде MATLAB ещё проще и ещё приятнее.

Вывод: не так страшно решать диффуры

Под конец стоит сказать какие вообще системы дифференциальных уравнений матлаб может решать, а может он решать системы практически любых типов. 

Их можно, с одной стороны, разделить по степени жёсткости, а с другой стороны, по структуре самой системы.

Когда уравнения представляют поведение системы, которая содержит ряд быстрых и медленных реакций, то такую систему уравнения можно назвать жесткой.   Для жестких задач явные численные методы работают плохо, или не работают вовсе. Примером жесткой задачи может являться протекание тока через клеточную мембрану. На самом деле, чёткого разделения между жесткими и нежёсткими системами не существует. Степень жесткости системы формально определяется через собственные значения матрицы Якоби, но давайте не будем закапываться. 

Видеообзор по теме решения систем Д/У доступен по ссылке.  

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где p и q

— вещественные числа (постоянные величины), f(x) — непрерывная функция.

Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. такого, у которого правая часть равна нулю. Записывается это так: .

Общее решение может найти каждый, кто ознакомился с соответствующим уроком. Остаётся рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Существуют методы решения для случаев, когда функция f(x) в правой части уравнения представляет собой многочлен, показательную функцию и тригонометрическую функцию.

Правая часть — многочлен некоторой степени

Пусть правая часть — многочлен второй степени: . Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать также в виде многочлена второй степени: . Задача состоит в определении коэффициентов

A, B, C.. Для этого находим первую и вторую производные функции Y, а затем выражения Y, и подставляем в уравнение вместо маленькой буквы y с соответствующим количеством штрихов. В результате получаем

или после группировки членов левой части

Последнее тождество возможно лишь при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x:

Т. е. получили систему трёх уравнений относительно трёх неизвестных A, B, C. При система даёт единственное решение для A, B, C.

Если же в линейном неоднородном дифференциальном уравнении коэффициент , то его частное решение следует искать в виде

.

Далее — также ищем и , а затем подставляем выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, не забывая, что .

Если же и , то исходное уравнение имеет вид . Оно решается непосредственным двукратным интегрированием.

Аналогично поступают в случаях, когда в линейном неоднородном дифференциальном уравнении функция f(x) является многочленом n-й степени. Если , то частное решение ищут в виде многочлена той же степени. Если же , то частное решение ищут в виде произведения многочлена n-й степени на x. Если и предшествующий ему коэффициент равен нулю, то частное решение ищут в виде и т. д.

Пример 1. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Сначала решаем однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному. Характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и (как искать корни квадратного уравнения). Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид

.

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде , поскольку в правой его части — многочлен второй степени, а . Подстановка функции Y и её производных в данное уравнение приводит к тождеству

или

.

Отсюда для определения коэффициентов A, B, C получаем систему уравнений

Её решения , , .

Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения

,

а его общее решение

.

Пример 2. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид . Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид

.

Так как в данном уравнении (отсутствует член с y), а в правой его части — многочлен первой степени, то частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде . Найдя первую и вторую производные функции Y и подставив их в данное уравнение, получим

или

.

Таким образом, для определения коэффициентов A, B получаем систему уравнений

Её решения , .

Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения

,

а его общее решение

.

Правая часть уравнения — показательная функция

То есть, . Тогда и его частное решение также будем искать в виде показательной функции: . Для определения коэффициента A найдём первую и вторую производные этой функции: , , а затем подставим выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Это даёт

или

так как . Отсюда найдём A, если , т. е. если коэффициент b не является корнем характеристического уравнения.

Если же b — однократный корень характеристического уравнения, т. е. , то частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в виде . В этом случае коэффициент A определяется однозначно. Для этого находим и , а затем подставив выражения для Y, и в исходное уравнение, получим

или после тождественных преобразований

.

Так как, по условию , то после сокращения на множитель получим , откуда определяется A, если , т. е. если .

Если же является корнем характеристического уравнения, то это означает, что b является двукратным корнем этого уравнения. Тогда частное решение линейного однородного дифференциального уравнения следует искать в виде . Для определения коэффициента A находим и , а затем подставляем выражения для Y, и в исходное уравнение и получим

или после приведения подобных членов и сокращения на

.

Но как дискриминант характеристического уравнения, имеющего равные корни. Следовательно, последнее равенство упрощается и принимает вид , откуда и определяется A.

Пример 3. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Сначала решим однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному. Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид

.

Правая часть исходного уравнения представляет собой показательную функцию, а коэффициент b = 4 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде. Находим его первую и вторую производные, а затем выражения для Y, и подставляем в исходное уравнение и получим

или , т. е. .

Следовательно, частным решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения служит функция , а его общее решение имеет вид

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Данному уравнению соответствует такое же однородное уравнение, как и в примере 3, а значит, такое же решение однородного уравнения. Однако частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , так как коэффициент b = 2 является корнем характеристического уравнения. Для определения коэффициента A находим и , а затем выражения для Y, и подставляем в исходное уравнение и получим

откуда находим , т. е. .

Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а общее решение

.

Правая часть уравнения — тригонометрическая функция вида ,

причём . Тогда и частное решение следует искать в таком же виде, а именно . Для определения коэффициентов A и B находим первую и вторую производные этой функции и подставляем выражения для Y, и в исходное линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Тогда после группировки членов в левой части получаем

.

Это тождество возможно, если коэффициенты при и совпадают. Приравнивая их, получим систему уравнений

откуда находим

,

.

Эти формулы показывают, что коэффициенты A и B можно найти всегда, за исключением случая . Так как , то это равенство возможно, если и , т. е. если линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид

.

В этом случае частное решение следует искать в виде . Найдя вторую производную и подставив выражения для Y и в уравнение, получим

или после упрощений

откуда , .

Из этих уравнений всегда можно определить коэффициенты A и B, поскольку

Пример 5. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид . Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид

.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Для определения коэффциентов A и B находим и и подставляем выражения для Y, и в исходное уравнение и получим

или после приведения подобных членов

откуда для определения A и B получаем систему уравнений

Решая её, найдём .

Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а его общее решение

.

Пример 6. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Данному неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение . Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Таким образом, общее решение однородного уравения

.

В данном уравнении отсутствует член с первой производной, а . Поэтому его частное решение ищем в виде . Подстановка выражений и Y даёт

или

откуда , .

Следовательно, частное решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения , а его общее решение

.

Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму рассмотренных типов функций, т. е. , то частное решение этого уравнения равно сумме частных решений, полученных отдельно для каждого слагаемого.

Назад

Листать

Вперёд>>>

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения Бернулли

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Поделиться с друзьями

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т. к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Заказать решение дифференциальных уравнений, качество и скорость в решении ДУ любой сложности

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ / ПЛОХИЕ советы

           Предлагаем быстрое и качественное решение дифференциальных уравнений для Вас.

          Данная услуга предоставляется нами уже длительное время, поэтому мы можем выполнять большие объемы работы быстро и по доступным ценам. Если Вам нужно получить качественное дифференциальных уравнений, с доступными пояснениями и по привлекательной цене –  очевидно, что лучший выбор для Вас заказать решение производных на нашем сайте! Мы предоставляем гарантию на все свои решения. Все решаемые задания подвергаются проверке с использованием математических пакетов. В случае обнаружения ошибок или неточностей – исправления вносятся в минимальные сроки абсолютно бесплатно!

Для заказа просто перейдите в соответствующий раздел.  Если у Вас есть какие-то уточняющие вопросы – задавайте их нам в по контакатам в шапке сайта. 

                     Давайте поговорим о решение дифференциальных уравнений и краевых задач.

Этот тип студенческих работ стоит немножко отдельно от остального массива математических задач. Решение дифференциальных уравнений на заказ требует большого опыта, а большой опыт приходит с годами, когда появляются большие объемы задач. Следует заметить, что много задач прорешивают в основном те, кто занимается решением задач за деньги. Даже преподаватели в ВУЗах не решают такого объема заданий как наши специалисты, которые решают сотнями дифференциальные уравнения, в том числе и в частных производных, в течении дня. Кроме того, мы решаем дифференциальные уравнения прямо в режиме онлайн на самом экзамене или тесте. Это значит, что решать надо очень-очень быстро, иначе просто можно не успеть и подвести студента.

Быстрое решение подразумевает отличное знание темы, это значит, что исполнитель владеет массой приемов решения данного вида задач. Дифференциальные уравнения в частных производных – это отдельный тип уравнений, и он требует особых навыков, особого внимания. Не всем по силам эти задания.

Какие бывают виды дифференциальных уравнений? Давайте перечислим основные:

1.    Простейшие диф. уравнения первого порядка.

2.    Диф. уравнения с разделяющимися переменными.

3.    Линейные неоднородные диф уравнения.

4.     Дифференциальные уравнения Бернулли.

5.    Уравнения в полных дифференциалах.

 Существует даже теория дифференциальных уравнений – это теория построена на том, как найти верный ответ при решении ДУ. Если вы заказываете решение дифференциального уравнения вам не обязательно знать, как это делается. Но лучше всё-таки прочитать потому, что есть нюансы, которые может спросить преподаватель при защите работы.

При решении дифференциальных уравнений часто используются методы интегрирования и метод подстановки. Некоторые диф. уравнения можно немножко преобразовать, чтобы потом произвести замену и постановку, после чего решение становится значительно проще.

 Для решения линейных дифференциальных уравнений применяют так называемый метод вариации. Что можно сказать о решение дифференциальных уравнений Бернулли? Тут довольно просто, оно сводится к линейному диф. уравнению первого порядка, а дальше решается подстановкой. Уравнение в полных дифференциалах после ряда преобразований также сводятся к восстановлению функции по ее полному дифференциалу, потом уже дело техники. Кроме этого существует уравнения высших порядков. Такие уравнения студентам очень часто совсем сложно решить самостоятельно. Чаще всего именно эти ДУ заказывают у нас. Редко, но они попадаются нам во время оказания онлайн помощи по математике. Онлайн помощь всегда требует полной отдачи потому, что количество уравнений в полных дифференциалах очень большое и подход к их решению очень-очень разный и для того чтобы за короткое время их решить нужно обладать огромными наработками, нужно знать множество алгоритмов решений и уметь их применять. Только тогда решение будет быстрым и качественным, только тогда смогут оценить заказчики весь наш профессионализм.

Иногда, студенты у нас заказывать помощь только потому, что при сдаче наших решений не возникает никаких проблем. Им кажется, что это всё делается легко. Но на самом деле всё это достигается благодаря тому, что мы решаем очень внимательно и проверяем свои решения. Заказывая решение дифференциальных уравнений, вы можете быть уверенными, что мы решение обязательно проверим. Проверим путем подстановки ответа в первоначальное уравнение и, если уравнение превратиться в тождество – значит решение верно, значит задача решена правильно, значит вам поставят высокую оценку.

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом

Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами

Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $,

где $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ — искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ — заданные действительные числа представим в матричной записи:

1. матрица искомых функций $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} \left(x\right)} \\ {y_{2} \left(x\right)} \\ {\ldots } \\ {y_{n} \left(x\right)} \end{array}\right)$;
2. матрица производных решений $\frac{dY}{dx} =\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} } \end{array}\right)$;
3. матрица коэффициентов СОДУ $A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right)$.

Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac{dY}{dx} =A\cdot Y$. {k\cdot x} \cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.

Отсюда получаем:

Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:

Полученное уравнение можно представить так:

Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.

Число $k$ можно определить из уравнения$\left|\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right|=0$.

Это уравнение называется характеристическим.

Пусть все корни $k_{1} ,k_{2} ,\ldots ,k_{n} $ характеристического уравнения различны. {9\cdot x} } \end{array}\right. $.

Решить уравнение методом вариации постоянных онлайн. ОДУ. Метод вариации произвольной постоянной. Примеры на метод вариации произвольной постоянной

Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.

В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?

1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка . Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.

2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка . Здесь варьируются две постоянные (константы).

Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф.

Метод вариации произвольной постоянной
для линейного неоднородного уравнения первого порядка

Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли !!!)

Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока . Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.

Пример 1

(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )

Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:

На первом этапе необходимо решить более простое уравнение:
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль.
Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением .

В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными , решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:

Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения .

На втором шаге заменим константу некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:

Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.

В исходном неоднородном уравнении проведём замену:

Подставим и в уравнение :

Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются . Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.

В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.

Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:

К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :

На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:

Функция только что найдена!

Таким образом, общее решение:

Ответ: общее решение:

Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.

Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения
(Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )

Решение: Приведем уравнение к виду :

Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:

Общее решение вспомогательного уравнения:

В неоднородном уравнении проведём замену:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставим и в исходное неоднородное уравнение :

Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути:

Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:

Теперь вспоминаем проведённую замену:

Ответ: общее решение:

И один пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.

,
(Диффур из Примера №4 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение:
Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

Общее решение:
В неоднородном уравнении проведем замену:

Выполним подстановку:

Таким образом, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания.

Метод вариации произвольных постоянных
для линейного неоднородного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.

Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка . Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.

Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.

Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем.

Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Где – пока ещё неизвестные функции.

Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.

В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.

Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем:

Найдем производные:

С левыми частями разобрались. Что справа?

– это правая часть исходного уравнения, в данном случае:

Коэффициент – это коэффициент при второй производной:

На практике почти всегда , и наш пример не исключение.

Всё прояснилось, теперь можно составить систему:

Систему обычно решают по формулам Крамера , используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.

Найдем главный определитель системы:

Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =)

Итак: , значит, система имеет единственное решение.

Находим производную:

Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.
Сама функция восстанавливается интегрированием:

Разбираемся со второй функцией:

Здесь добавляем «нормальную» константу

На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:

Нужные функции только что найдены!

Осталось выполнить подстановку и записать ответ:

Ответ: общее решение:

В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.

Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка . Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных

Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.

Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части . Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка , значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.

Рассмотрим два примера с задачей Коши .

Пример 6

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям

,

Решение: Опять дробь и экспонента в интересном месте.
Используем метод вариации произвольных постоянных.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: , где – пока ещё неизвестные функции.

Составим систему:

В данном случае:
,
Находим производные:
,

Таким образом:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Восстанавливаем функцию интегрированием:

Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала .

Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:

Такой интеграл решается методом замены переменной :

Из самой замены выражаем:

Таким образом:

Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата , но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов :

Обе функции найдены:

В результате, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка .

Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:

Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями :

Подставим найденные значения констант в общее решение:

В ответе логарифмы можно немного запаковать.

Ответ: частное решение:

Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!

Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Решить задачу Коши

,

Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать;-),




В результате общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям .



Подставим найденные значения констант в общее решение:

Ответ: частное решение:

Теоретический минимум

В теории дифференциальных уравнений существует метод, претендующий на достаточно высокую для этой теории степень универсальности.
Речь идёт о методе вариации произвольной постоянной, применимом к решению различных классов дифференциальных уравнений и их
систем. Это именно тот случай, когда теория — если вывести за скобки доказательства утверждений — минимальна, но позволяет добиваться
значительных результатов, поэтому основной акцент будет сделан на примерах.

Общую идею метода сформулировать довольно просто. Пусть заданное уравнение (систему уравнений) решить сложно или вообще непонятно,
как его решать. Однако видно, что при исключении из уравнения некоторых слагаемых оно решается. Тогда решают именно такое упрощённое
уравнение (систему), получают решение, содержащее некоторое количество произвольных констант — в зависимости от порядка уравнения (количества
уравнений в системе). Затем полагают, что константы в найденном решении в действительности константами не являются, найденное решение
подставляется в исходное уравнение (систему), получается дифференциальное уравнение (или система уравнений) для определения «констант».
Существует определённая специфика в применении метода вариации произвольной постоянной к разным задачам, но это уже частности, которые будут
продемонстрированы на примерах.

Отдельно рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений высших порядков, т.е. уравнений вида
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
данного уравнения. Предположим, что общее решение однородного уравнения уже найдено, а именно построена фундаментальная система решений (ФСР)
. Тогда общее решение однородного уравнения равно .
Нужно найти любое частное решение неоднородного уравнения. Для этого константы считаются зависящими от переменной .
Далее нужно решить систему уравнений
.
Теория гарантирует, что у этой системы алгебраических уравнений относительно производных от функций есть единственное решение.
При нахождении самих функций константы интегрирования не появляются: ищется ведь любое одно решение.

В случае решения систем линейных неоднородных уравнений первого порядка вида

алгоритм почти не меняется. Сначала нужно найти ФСР соответствующей однородной системы уравнений, составить фундаментальную матрицу
системы , столбцы которой представляют собой элементы ФСР. Далее составляется уравнение
.
Решая систему, определяем функции , находя таким образом, частное решение исходной системы
(фундаментальная матрица умножается на столбец найденных функций ).
Прибавляем его к общему решению соответствующей системы однородных уравнений, которое строится на основе уже найденной ФСР.
Получается общее решение исходной системы.

Примеры.

Пример 1. Линейные неоднородные уравнения первого порядка .

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение (искомую функцию обозначим ):
.
Это уравнение легко решается методом разделения переменных:

.
А теперь представим решение исходного уравнения в виде , где функцию ещё предстоит найти.
Подставляем такой вид решения в исходное уравнение:
.
Как видно, второе и третье слагаемое в левой части взаимно уничтожаются — это характерная черта метода вариации произвольной постоянной.

Вот здесь уже — действительно, произвольная постоянная. Таким образом,
.

Пример 2. Уравнение Бернулли .

Действуем аналогично первому примеру — решаем уравнение

методом разделения переменных. Получится , поэтому решение исходного уравнения ищем в виде
.
Подставляем эту функцию в исходное уравнение:
.
И снова происходят сокращения:
.
Здесь нужно не забыть удостовериться, что при делении на не теряется решение. А случаю отвечает решение исходного
уравнения . Запомним его. Итак,
.
Запишем .
Это и есть решение. При записи ответа следует также указать найденное ранее решение , так как ему не соответствует никакое конечное значение
константы .

Пример 3. Линейные неоднородные уравнения высших порядков .

Сразу заметим, что это уравнение можно решить и проще, но на нём удобно показать метод. Хотя некоторые преимущества
у метода вариации произвольной постоянной и в этом примере есть.
Итак, начинать нужно с ФСР соответствующего однородного уравнения. Напомним, что для нахождения ФСР составляется характеристическое
уравнение
.
Таким образом, общее решение однородного уравнения
.
Входящие сюда константы и предстоит варьировать. Составляем сист

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь — произвольные постоянные; — n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных — замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения :
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем — члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Находим n -ю производную:
(6.n)
.

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь — уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y 1 ,y 2 ,.., y n — фундаментальная система решений, а — общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0 . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной — восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции y j , j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C» j (x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y 1 ,y 2 ,. .,y n соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C» j (x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и C j (x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

Максимальная степень производной 2 3 4 5 6

Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y»» + 4y» + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y»» + 4y» + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y 1 = e — x и y 2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C 1 (x)e — x + C 2 (x)e -3 x . Для нахождения производных C» 1 , C» 2 составляем систему уравнений (8)

решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим

Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4 1 8 = 4

Корни характеристического уравнения: r 1 = 4, r 2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y 1 = e 4x , y 2 = e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C» i составляем систему уравнений:

C» 1 (4e 4x) + C» 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Выразим C» 1 из первого уравнения:
C» 1 = -c 2 e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C» 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C» 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Интегрируем полученные функции C» i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Поскольку , то записываем полученные выражения в виде:
C 1 = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Откуда:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Обратимся к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида

где — искомая функция аргумента, а функции



заданы и непрерывны на некотором интервале
.

Введем в рассмотрение линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения (2.31),

Уравнение вида (2.32) называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2.31).

Имеет место следующая теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (2.31).

Теорема 2.6. Общее решение линейного неоднородного уравнения (2.31) в области

есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (2.32) в области (2.33), т.е.

где — частное решение уравнения (2.31),
— фундаментальная система решений однородного уравнения (2.32), а
— произвольные постоянные.

Доказательство этой теоремы Вы найдете в .

На примере дифференциального уравнения второго порядка изложим метод, при помощи которого можно найти частное решение линейного неоднородного уравнения. Этот метод называют методом Лагранжа вариации произвольных постоянных .

Итак, пусть дано неоднородное линейное уравнение

(2.35)

где коэффициенты
и правая часть
непрерывны в некотором интервале
.

Обозначим через
и
фундаментальную систему решений однородного уравнения

(2.36)

Тогда его общее решение имеет вид

(2.37)

где и- произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (2.35) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения, заменяя произвольные постоянные некоторыми дифференцируемыми функциями от (варьируем произвольные постоянные), т.е.

где
и
— некоторые дифференцируемые функции от, которые пока неизвестны и которые попытаемся определить так, чтобы функция (2.38) была бы решением неоднородного уравнения (2.35). Дифференцируя обе части равенства (2.38), получим

Чтобы при вычислении не появились производные второго порядка от
и
, потребуем, чтобы всюду в
выполнялось условие

Тогда для будем иметь

Вычислим вторую производную

Подставляя выражения для,,из (2. 38), (2.40), (2.41) в уравнение (2.35), получим

Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю всюду в
, так каки- частные решения уравнения (2.36). При этом (2.42) примет видОбъединяя это условие с условием (2.39), получим систему уравнений для определения
и

(2.43)

Последняя система представляет собой систему двух алгебраических линейных неоднородных уравнений относительно
и
. Определителем этой системы является определитель Вронского для фундаментальной системы решений,и, следовательно, отличен от нуля всюду в
. Это означает, что система (2.43) имеет единственное решение. Решив ее любым способом относительно
,
найдем

где
и
— известные функции.

Выполняя интегрирование и учитывая, что в качестве
,
следует брать одну какую-нибудь пару функций, положим постоянные интегрирования равными нулю. Получим

Подставив выражения (2.44) в соотношения (2.38), сможем записать искомое решение неоднородного уравнения (2. 35) в виде

Этот метод можно обобщить для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения -го порядка.

Пример 2.6 . Решить уравнение
при
если функции

образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.

Найдем частное решение данного уравнения. Для этого в согласии с методом Лагранжа следует сначала решить систему (2.43), которая в нашем случае имеет вид
Сократив обе части каждого из уравнений наполучим

Вычитая почленно из второго уравнения первое, найдем
а тогда из первого уравнения следует
Выполняя интегрирование и полагая постоянные интегрирования равными нулю, будем иметь

Частное решение данного уравнения можно представить в виде

Общее решение данного уравнения имеет при этом вид

где и- произвольные постоянные.

Отметим, наконец, одно замечательное свойство, которое часто называют принципом наложения решений и описывают следующей теоремой.

Теорема 2. 7. Если на промежутке
функция
— частное решение уравненияа функция
частное решение уравнениято на этом же промежутке функция
есть частное решение уравнения

Dell EMC SolVe Online | Dell Deutschland

Artikelnummer: 000124395

---

SolVe ist ein Kundenportal für Services, Atmos, Avamar, Celerra, Centera, CLARiiON, Cloud Disaster Recovery, Cloud für Microsoft Azure Stack-Serie, CloudBoost, SPSD konvergent, Data Domain Виртуальный, Data Domain, Data Domain, Data Domain Virtual Edition, Защита данных, Советник по защите данных, Dell EMC Unity, ECS Appliance, EMC Secure Remote Services, Greenplum, Интегрированное устройство защиты данных, NetWorker, PowerMax, powerOne, PowerPath, PowerProtect Data Manager , SolVe, SourceOne, SRM, SupportAssist Enterprise, VNx, VNx/VNXe, VPLEX Series, VxFlex Appliance Series, VxFlex Ready Node, VxRail Appliance Series, XtremIO

Zusammenfassung: SolVe ist ein Kundenportal for Services, Atmos, Avamar, Celerra, Centera, CLARiiON, Cloud Disaster Recovery, Cloud for Microsoft Azure Stack-Serie, CloudBoost, конвергент SPSD, Data Domain Virtual, Data Domain, Data Domain, Data Domain Virtual Edition, Data Protection, Data Protection Advisor, Dell EMC Unity, ECS Appliance, EMC Secure Remote Services, Greenplum, Integrated Data Protection Appliance, NetWorker, PowerMax, powerOne, PowerPath, PowerProtect Data Manager, SolVe, SourceOne, SRM, SupportAssist Enterprise, VNx, VNx/ VNXe, серия VPLEX, серия устройств VxFlex, узел с поддержкой VxFlex, серия устройств VxRail, XtremIO SolVe ist ein Kundenportal for Services, Atmos, Avamar, Celerra, Centera, CLARiiON, Cloud Disaster Recovery, Cloud for Microsoft Azure Stack-Serie, CloudBoost, SPSDWeitere Informationen

Artikelinhalt

---

Симптом

Dell Technologies SolVe Online является основным веб-браузером с информацией о продуктах. SolVe beetet SSO-Authentifizierung (Single Sign on) для Dell Sicherheits- und technischen Informationen zu Ihrem Produkt. Es gibt Verfahrensgeneratoren, die schrittweise Anleitungen (текст/видео) для обновления программного и аппаратного обеспечения, установки и Austausch von Teilen bereitstellen. SolVe Online ист zu diesem Zeitpunkt nur auf Englisch verfügbar.

---

Все отчеты | Alle ausblenden

Registrierung for SolVe Online

Dell Technologies Kunden, die Zugriff on Solve Online wünschen, müssen sich für die Verwendung registrieren, indem Sie ein Konto erstellen. SolVe Online ist für die Verwendung durch Enterprise-Kunden nur den Zugriff auf Artikel, Videos und technische Daten zu den Geräten vorgesehen. Die erstmalige Registrierung für ein Online-Konto kann durch alle Personen mit einer gültigen E-Mail-Adresse vorgenommen werden. Позолоченные штампы для потребителей, партнеров и предприятий Nutzer. Für die folgende Bereitstellung durch Dell EMC wird eine geschäftliche E-Mail-Adresse von Ihrem Unternehmen verlangt.

Gmail, Yahoo и другие все домены электронной почты, которые являются наиболее важными Geschäftskonten.

---

Die Registrierung Find Sie im Bereich „Подпишите« Unter »Создать учетную запись»:

---

Geben Sie auf dem bildschirm „Создайте учетную запись« Ihre konto-registrieringEnformationen ein:

---

est-nicht-zwindermerationen ein:

---

esit zwindermationen ein:

---

est-zwinderformationen ein:

---

dass Benutzer das Konto validieren, um den grundlegenden Zugang (Nicht Partner und nicht-Enterprise-Kunden) zu erhalten. Für den Zugriff auf Partneroder Enterprise-Inhalte ist eine Validierung erforderlich.

---

Bestätigen von Geschäftskonten

Geschäftskonten müssen validiert werden, bevor auf Funktionen und Inhalte auf Enterprise-Ebene zugegriffen werden kann. Sobald geschäftliche Nutzer validiert wurden, werden diese zur Domain ihrer Registrierunghinzugefügt.

Um zu verhindern, dass sich Mitarbeiter von Partnern individuell registrieren, hat Dell die Validierung der Registrierung eingeführt. Die einzelnen Personen werden aufgefordert, ihre Kontozuordnung zu überprüfen. Wenn der Nutzer die Optionen für «Partner», «PC», «Personal Device» или «None» wählt, wird er auf die entsprechende Seite mit den Ressourcen geleitet. Validierte Benutzer, die die die erste Option nutzen (Geschäftskunde), werden durch den completen Registrierungsprozess geführt.

---

Kontovalidierung

Wenn der Benutzer das Konto nicht zuvor validiert hat, wird nun eine Verifizierung in zwei Schritten durchgeführt. Es wird ein Einmalpasswort (OTP) и адрес электронной почты Nutzers gesendet, damit dieser fortfahren kann.

Bevor ein Enterprise-Konto erstellt werden kann, muss der Nutzer diesen Schritt abschließen, bevor er fortfahren kann.

---

Erfassung von Geschäftskonto-Informationen

Zur Bereitstellung von Services für geschäftliche Benutzer sind grundlegende Contactinformationen erforderlich:

Wenn die E-Mail-Domain zuvor für den Online-Zugriff bestätigt wurde, wird das Benutzerkonto sofort für den Online-Zugriff configuriert. Erstmalige Benutzer, die sich mit einer neuen E-Mail-Domain registrieren, haben nur eingeschränkten Zugang, um das neue Konto zu überprüfen und einzurichten. Für alle anderen Benutzer ist die Kontoeinrichtung abgeschlossen, wenn der Benutzer die Zielseite umgeleitet wird, auf die er zugreifen möchten.

Anleitung zur Verwendung der SolVe Online Produktseite

Überprüfen Sie die SolVe Seite für Ihr spezifisches Produkt.

Платформа Dell Technologies SolVe Online-Service содержит информацию о продуктах Dell EMC Enterprise-Speicher.

SolVe Online является Wissens Lösung, умирает от неизвестного глобального Kunden, Dell EMC Partnern und Dell Technologies Mitarbeitern verwendet wird, um auf vertrauenswürdige Best-Practice-Anweisungen for allgemeine Serviceaufgaben zuzugreifen. Dazu gehören u. а. Informationen zu Produktinstallationen, Upgrades und einfaches bis complexes Troubleshooting.

Die SolVe-Anwendung bietet Navigationsoptionen nach Produkt, Modell, Version usw. , um Nutzer durch direkte Methoden zu leiten, damit diese Anweisungen zum Abschließen einer Service-basierten Aktivität erhalten.

Dazu Gehören Verfahren, Videos, Cru-Anweisungen , ENTSPRECHENDE WISSENSDATENBANK-ARTIKEL UND WARNUNGEN Für BEKANNTE SORGENE AUS DEME TECHNISHEN 2 DENLENTE DENLEMEMPEMEMPEMEMPEMEMP DENLEMEMPEMEMPEMEMPEMEMP DENLEMEMPEMEMP DENLEMEMPEMEMP.

---

Verwendung von SolVe Online:

• Navigieren Sie zu https://SolVeonline.emc.com
• Klicken Sie auf die Registerkarte «All Products».
• Klicken Sie auf eine Kachel für den SolVe Product Generator – Источник: Avamar. Авамар
• Wählen Sie einen Pfad aus.

 

---

Nächster Schritt Wählen Sie einen Pfad aus.

 

Beispiel: Beispiel: Klicken Sie auf den Pfad „CRU-Verfahren“ под FRU/CRU

 

 

Ursache

---

Nächster Schritt Navigieren Sie durch die Optionen

Mithilfe der Optionsschaltflächen können Sie eine Auswahl treffen, bevor Sie zum Fortfahren auf „Weiter“ klicken. Am Ende wird eine Option zum «Erstellen» des Schritt-für-Schritt-Verfahrens angezeigt.

---

Лёсунг

  SolVe Online enthält außerdem:

• Так: Geben Sie den gesuchten Begriff in dassuchfeld ein
• Wissensdatenbank-Artikel (регистровая карта «Top-Servicethemen»)
• CRU-Videos in 16 Sprachen (Siehe Registerkarte „Tools und Formulare“)
• Technischer Ratgeber und Sicherheitsempfehlungen von Dell (siehe Registerkarte «Ratgeber»)
• Поддержка и обратная связь – (зарегистрированная карта «Поддержка»)

---

Benötigen Sie Hilfe? Контакты Sie uns. Wir helfen Ihnen gerne weiter. [email protected]
Видео видео Zu Kunden Austauschbaren Einheiten (CRU)

Weitere Informationen

Видео

Artikeleigenschaften

---

BERFEFNESPERONESTONENSINESINESINESINESINESINESINESINESINESINESINESINESINESINESINESTERONENSINEM, PELASTONENSINE, PELASTONENSINE, PELASTONENSINE, PELASTONENSINE.

Greenplum, EMC Secure Remote Services, PowerFlex Appliance, Atmos, PowerMax, XtremIO, Dell EMC Unity, VNX/VNXe, SRM, Avamar, Celerra, Centera, CLARiiONPowerOne, Защита данных, SourceOne, Data Domain, PowerProtect Appliance, CloudBoost, Greenplum, EMC Защищенные удаленные службы, устройство PowerFlex, Atmos, PowerMax, XtremIO, Dell EMC Unity, VNX/VNXe, SRM, Avamar, Celerra, Centera, CLARiiON, интегрированная система для Microsoft Azure Stack Hub, CloudLink, Data Protection Advisor, Data Domain Virtual Edition, Устройство ECS, PowerProtect Data Manager, Greenplum, NetWorker, PowerPath, VxFlex Ready Node, SolVe, VNX/VNXe, серия VPLEX, серия устройств VxRailWeitere Inf оформление

Letztes Veröffentlichungsdatum

14 апреля 2022 г.

Версия

18

Artikeltyp

Решение

Vielen Dank für Ihr Feedback.

Derzeit ist kein Zugriff auf das Feedbacksystem möglich. Bitte versuchen Sie es später erneut.

Die folgenden Sonderzeichen dürfen in Kommentaren nicht verwendet werden: ()\

Mastermind Puzzle Solver — Cheat

Поиск инструмента

Найдите инструмент в dCode по ключевым словам:

Просмотрите полный список инструментов dCode

Mastermind Solver

Инструмент/Решатель для автоматического решения Mastermind путем поиска комбинации цветов за минимальное количество попыток.

Результаты

Mastermind Solver — dCode

Метки : Настольные игры

Поделиться

dCode и многое другое

dCode бесплатен, и его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и решении задач ежедневно!
Предложение ? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Решатель игр Mastermind

Количество штифтов/пазов (Размер кода ответа) C=
Количество возможных цветов N=
Текущие предложения (минимум 2 – соблюдайте правильный синтаксис)
ABCD 20 CDEF 00 BABA 22
Запрещено использовать один и тот же цвет несколько раз

См. также: Комбинация N Выберите K

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое Mastermind? (Определение)

Вдохновитель — настольная игра, основанная на дедукции, в которой игрок должен найти комбинацию цветов с минимумом догадок. В игре обычно участвуют 2 игрока с асимметричными функциями: один — кодер, другой — декодер. Кодер записывает секретную комбинацию цветов, которую его оппонент должен расшифровать, сам предложив комбинации. Кодер должен ответить, указав, правильно или неправильно размещены один или несколько цветов. Если декодер находит комбинацию кодировщика, игра заканчивается.

Как использовать решатель Mastermind (синтаксис для использования)?

Решающая программа Mastermind настраивается по размеру (количество цветных фишек в коде решения) и выбору (количество возможных цветов/элементов) в зависимости от типа игры Mastermind , которую должен решить игрок.

В оригинальной версии вдохновитель обычно имеет 4 колышка/слота среди 6 цветов за каждую попытку, игрок получает 2 подсказки/числа: количество позиций правильных цветов и количество позиций неправильных цветов.

Решатель dCode использует простой синтаксис для описания предложений комбинаций и вывода возможных решений. Чтобы можно было угадать комбинацию размером N ( N = количество предметов, которые нужно найти), каждое предложение должно содержать N букв, за которыми следуют 2 цифры, обозначающие полученные подсказки (количество цветов, правильно и неправильно расположенных). Разделите каждое предложение переносом строки.

Каждая буква представляет цвет по вашему выбору, желательно использовать начальную букву цвета (но остерегайтесь дубликатов: не ставьте B для Черный и Синий ! Синий лучше заменить на C (для Cyan ).

Пример: Комбинация RGBY 2 0 соответствует предложению с в позиции 1: R для красного, в позиции 2: G для зеленого, в позиции 3: B для черного и в позиции 4 : Y для желтого
Цифры 2 и 0 соответствуют соответственно 2 штифтам в правильном положении и 0 в неправильном положении.

Также возможно указать джокеров (пустые клетки или неизвестные обозначаются ? , * , — или _ ) как для комбинации, так и для правильных и неправильных позиций.

Пример: Черный, Черный, Желтый, Красный (1 в правильном положении, 2 в неправильном положении) записывается: BBYR12

Пример: Желтый, Пустой, Пустой 90, Пустой(0 правильно расположен, 1 плохо расположен) записывается: Y— 01 (с — = джокер)

Пример: Красный, Зеленый, Синий (1 в правильном положении и игнорировать неправильное размещен) написано: «RGB 1?» (с ? = джокер)

Какова оптимальная стратегия игры в Mastermind?

Согласно Дональду Кнуту и ​​согласно первоначальным правилам (сочетание 4 цветов среди 6) можно найти код за 5 шагов (или меньше). Алгоритм использования:

1 — Создать набор E из 1296 возможных кодов (от 1111 до 6666 ).

2 — Предложить как первое предположение 1122

3 — Если ответ правильный, головоломка окончена. В противном случае удалите из множества E все коды, дающие один и тот же ответ.

4 — Для каждого возможного кода, который не был использован, подсчитайте, сколько вариантов набора E будет исключено для каждого возможного ответа (комбинация правильно размещена-неуместна). Присвойте этому коду оценку, равную минимальному количеству исключенных возможностей в E. Предложите в качестве предположения один из кодов с наилучшей оценкой (предпочтительно код, присутствующий в S). Возобновите шаг 3.

Этот алгоритм может найти код за 5 шагов (или меньше).

Какую комбинацию сложнее всего угадать в Mastermind?

Математически, если известна стратегия взломщика (угадывающего игрока), то действительно существуют более или менее сложные комбинации, но, как указано выше, при использовании оптимальной стратегии Дональда Кнута ни одна комбинация не является действительно сложной и все решения можно найти за 5 шагов или меньше. Всегда математически, если стратегия игрока не известна, то нет комбинации сложнее другой.

Для информации, используя этот тип алгоритма, лучшие комбинации (самые сложные комбинации для решения) 1221 , 2354 , 3311 , 4524 , 6938, , 6944 , 6944 , 6938

Однако не все игроки рассуждают с помощью математических алгоритмов, можно придумать сложнее найти комбинации, заманивая в ловушку человеческий мозг.

— Начинающие игроки часто забывают, что комбинация может иметь один и тот же цвет несколько раз, использование 2 или 3 раз одного и того же элемента в комбинации может усложнить игру.

— Если комбинации состоят из цифр или букв, используйте в приоритете большие цифры или буквы в конце алфавита, потому что алгоритмы и игроки часто начинают с попытки 1122 , а не 5566 (и если это делает, используйте цифры среднего диапазона).

— Если игроки договорились, вариант разрешает одно или несколько пустых мест в комбинации.

Что такое варианты Mastermind?

Самый известный вариант — угадывать по словам. Игра, иногда называемая Masterword, становится намного сложнее, потому что количество возможных комбинаций увеличивается в геометрической прогрессии.

Вариант (для которого требуется согласие игроков перед настройкой игры) состоит в том, чтобы разрешить пустое (пробел без привязки / цвета).

Mastermind часто используется в качестве головоломки в видеоиграх, например, в Old School RuneScape (OSRS), где Mastermind заставляет игроков потеть (Fremennik Exiles).

Кто придумал игру Mastermind?

Настольная игра Mastermind Мордехай Мейровиц является автором в 1971 году.

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Mastermind Solver». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Mastermind Solver», апплета или фрагмента (конвертер, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Mastermind Solver» функции (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, скрипт, или доступ к API для «Mastermind Solver» не является общедоступным, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Cite dCode

Копирование и вставка страницы «Mastermind Solver» или любых его результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Ссылка на источник (библиография):
Mastermind Solver на dCode.fr [онлайн-сайт], получено 19 сентября 2022 г., https://www.dcode.fr/mastermind-solver

Сводка

• Решатель игр Mastermind
• Что такое Mastermind? (Определение)
• Как использовать решатель Mastermind (используемый синтаксис)?
• Какова оптимальная стратегия игры в Mastermind?
• Какую комбинацию сложнее всего угадать в Mastermind?
• Что такое варианты Mastermind?
• Кто придумал игру Mastermind?

Similar pages

• Combination N Choose K
• Wordle Solver
• Super Big Boggle Solver 6×6
• Boggle Solver (Any Size)
• Forsyth-Edwards Notation
• UCI Chess Notation
• Big Boggle Solver 5×5
• Список инструментов Dcode

Поддержка

• PayPal
• Patreon
• Подробнее

Форум/Справка

Ключевые слова,

, Mastermind, master, moder, Meviret, Meovt комбинация,мастерворд

Ссылки

▲

Sudoku Solver — Мгновенное решение любой головоломки судоку онлайн

Мгновенное решение судоку онлайн

Заполните сетку 9X9 цифрами от 1 до 9.

Об игре-головоломке Судоку и о том, как в нее играть?

Судоку — одна из самых популярных логических игр-головоломок с размещением чисел. Буквальное значение «Су-доку» на японском языке — «одиночное число».

Цель состоит в том, чтобы заполнить сетку девять на девять (9×9) цифрами так, чтобы каждая строка, столбец и секция 3×3 содержали числа от 1 до 9, причем каждое число использовалось один и только один раз в каждой секции. Игрокам в судоку предоставляется частично заполненная сетка, предназначенная для решения.

Для решения судоку не нужны знания математики, но нужны логика и рассуждения. Ежедневное решение судоку помогает вашему мозгу. Улучшает концентрацию и логическое мышление. Можно поискать головоломки судоку в газетах или играть в них онлайн на многих веб-сайтах.

Узнайте больше о судоку

О программе решения судоку

Этот веб-сайт anysudokusolver.com представляет собой бесплатный онлайн-автоматический решатель судоку, который решает практически любую головоломку судоку за считанные секунды. Он применяет Javascript, метод грубой силы и алгоритм танцевальных ссылок для быстрого решения. Вы когда-нибудь пробовали, но застряли на головоломках судоку, опубликованных в газетах, журналах и в Интернете. Вы можете использовать Anysudosolver, чтобы мгновенно получить решение и двигаться дальше. Не используйте этот инструмент для решения судоку, не прилагая все усилия при решении головоломки.

Как работает решатель судоку 9×9

Цель состоит в том, чтобы просто заполнить пустые ячейки уже известными числами в соответствии с правилами судоку или точно так, как указано в вашей головоломке, которую вы хотите решить. Вы должны ввести правильный ввод, то есть только числа от 1 до 9, и использовать число один и только один раз в каждой строке, столбце и секции сетки 3×3. См. *Рис-1.

Затем нажмите кнопку «Решить» , чтобы мгновенно получить ответ. Обратите внимание, что может быть возможно больше, чем решение. См. *Рис-2.

Рис-1: Введите в ячейку известные числа.

Рис. 2: нажмите кнопку «решить», чтобы решить проблему

© 2020 Anysudokusolver. com Контакт Политика конфиденциальности

Искусство решения проблем

Онлайн-курсы по математике

Присоединяйтесь к нашим живым интерактивным математическим занятиям с опытными преподавателями и талантливыми сверстниками.

Зарегистрироваться сейчас

Книги по математике

Получите важные стратегии решения проблем, необходимые для успеха в колледже и карьере.

Купить

Как видно в

Добро пожаловать в мир AoPS Online: мир, наполненный сложными проблемами, для решения которых требуются творческий подход и настойчивость. Мир, в котором студенты учатся у впечатляющих наставников и образцовых инструкторов. Мир, наполненный вдохновляющими сверстниками, разделяющими их любовь к учебе.

Наша программа углубленного изучения математики позволяет учащимся максимально раскрыть свой потенциал. А связи, которые учащиеся устанавливают в классе AoPS и онлайн-сообществе, сохраняются на всю жизнь.

• Каждый урок, который я проходил с AoPS, был фантастическим. Все делают большую работу, помогая учащимся добиться успеха, получая удовольствие от процесса изучения математики. Мне нравится, что сами студенты всегда готовы помочь друг другу.

  – Мэтью

• Я стал намного увереннее в математике после прохождения курса AoPS Introduction to Geometry. В процессе решения более сложных задач, чем я когда-либо мог себе представить, я также начал рассматривать геометрию как искусство. Я получаю удовольствие от математики все больше и больше!

  — онлайн-студент AoPS

• Курсы

  AoPS представляют собой прекрасный баланс задач и рекомендаций, постоянно напрягающих студентов и предлагающих им бороться с проблемами в своем собственном темпе, пока они не достигнут прозрения. Браво! Я бы хотел, чтобы AoPS существовал, когда я учился в старшей школе.

  – Онлайн-родитель AoPS

• Мой инструктор был великолепен. Она всегда была готова дать совет и знала, сколько советов нужно дать, чтобы проблемы оставались выполнимыми, но при этом приносили удовлетворение.

  — онлайн-студент AoPS

• Мой сын поглощает ваши уроки. Он всегда любил математику, но сейчас не может ею насытиться. Его прокачивают каждую среду. Способ предоставить лучший образовательный продукт, который этот папа нашел где угодно!

  – Джон С.

• Сочетание видео, учебников, онлайн-задач и книжных задач было фантастическим для наших мальчиков. Мне нравится, что они могут делать это в своем собственном темпе, и насколько они мотивированы теперь, когда сами несут ответственность за свое обучение.

  — Онлайн-родитель AoPS

Все члены команд Международной математической олимпиады США 2015–2022 гг. являются выпускниками AoPS.

Категории онлайн-курсов по математике

Онлайн-курсы AoPS проводятся еженедельно в нашем интерактивном онлайн-классе. Опытные инструкторы проводят группы через увлекательные и сложные задачи, а студенты работают со сверстниками, творчески решая проблемы вместе.

5–10 классы и старше
От алгебры до геометрии

Узнать больше 

8–12 классы и старше
Алгебра от среднего до предварительного исчисления

Узнать больше 

9–12 классы и старше
Исчисление к олимпиадной геометрии

Подробнее 

9–12 классы
Всемирная онлайн-олимпиада Обучение по математике, Физика и химия

Подробнее 

6–12 классы
Подготовка к математическим олимпиадам

Узнать больше 

Классы 6–12+
Курсы программирования

Узнать больше 

Книги по математике

AoPS предлагает учебники по математике для продвинутых пользователей как в онлайн-формате, так и в мягкой обложке. Наша комплексная учебная программа по математике охватывает как предалгебру, так и подготовку к соревнованиям по математике.

Просмотреть все 

Введение в математику

Полная вводная учебная программа по математике для учащихся 5–10 классов, которая подробно охватывает стандартную серию преалгебры/алгебры/геометрии, а также важные отдельные математические темы.

Просмотреть 

Математика для среднего и продвинутого уровня

Учебники по математике для сложных задач, которые готовят учащихся 8–12 классов к продвинутым математическим предметам в средней школе, колледже и карьере в областях STEM.

Просмотр 

Подготовка к соревнованиям по математике

Более 25 лет победители математических соревнований полагались на руководства по решению задач AoPS для подготовки к соревнованиям. Подходит для 6–12 классов и написана обладателями медалей в MATHCOUNTS, AMC, AIME и USAMO.

Просмотр 

Другие программы AoPS

Art of Problem Solving предлагает еще две многогранные программы. Beast Academy — это онлайн-учебная программа по математике, основанная на комиксах, для учащихся в возрасте от 6 до 13 лет. А Академия AoPS предлагает нашу методологию учащимся 2–12 классов на небольших очных занятиях в местных кампусах.

Благодаря нашим трем программам AoPS предлагает самый полный курс математики с отличием в мире. Посмотрите полное сравнение наших программных предложений.

Бесплатные ресурсы для учащихся

Art of Problem Solving предлагает широкий выбор бесплатных ресурсов для заядлых специалистов по решению проблем, в том числе сотни видеороликов и интерактивных инструментов, таких как Alcumus, наша популярная система адаптивного обучения.

Alcumus — наша бесплатная адаптивная обучающая система. Он предлагает учащимся индивидуальный подход к обучению, приспосабливаясь к их успеваемости, чтобы решать задачи, которые бросят им вызов. Alcumus соответствует нашим онлайн-курсам и учебникам по вводной математике, средней алгебре и предварительному исчислению.

НАЧАТЬ ОБУЧЕНИЕ 

Наша видеотека содержит сотни видеороликов с участием основателя AoPS Ричарда Ручика. Многие из видеороликов связаны с нашими книгами и классами «Преалгебра», «Введение в алгебру» и «Введение в счет и вероятность».

ПОСМОТРЕТЬ СЕЙЧАС 

Тренер по MATHCOUNTS содержит тысячи задач из предыдущих школьных, государственных и национальных соревнований по MATHCOUNTS. Полные решения предоставляются для каждой проблемы, поэтому начинающие математики MATHCOUNTS могут научиться подходить даже к самым сложным вопросам.

НАЧАТЬ ОБУЧЕНИЕ 

Соревнуйтесь с учащимися средних школ со всего мира с помощью For the Win! (FTW), вдохновленный раундом обратного отсчета MATHCOUNTS.

НАЧАТЬ ИГРУ 

Просмотреть все ресурсы 

© 2022 AoPS Incorporated

Лучшие онлайн-калькуляторы для решения любых задач

Простой калькулятор для решения математических задач. Вы можете положиться на онлайн-калькуляторы, чтобы вычислить научные программы, определить суммы кредита и многое другое. Ключ в том, чтобы найти правильный калькулятор для правильной задачи.

Хороший калькулятор может стоить сотни долларов, но многие из этих онлайн-калькуляторов можно использовать совершенно бесплатно. В этом списке собраны лучшие онлайн-калькуляторы для различных приложений, которые помогут вам сделать правильный выбор.

Содержание

Лучшие научные онлайн-калькуляторы

Эти калькуляторы можно использовать для самых разных задач, от продвинутой математики до научных уравнений.

Десмос Сайентифик


Desmos — это бесплатный калькулятор, обеспечивающий легкий доступ к основным функциям, переменным и тригонометрическим вычислениям. Управлять им можно как с помощью клавиатуры, так и с помощью мыши.

Мета-калькулятор

Мета-калькулятор содержит все основные функции, но включает несколько функций, которые выделяют его из толпы. Одним из них является возможность вычисления наименьшего общего кратного, а также средство решения уравнений, позволяющее вводить до шести уравнений. Вы также можете сохранить расчеты для использования в будущем.

GeoGebra

GeoGebra предлагает множество математических калькуляторов для решения графических, геометрических и других задач. Он отображает график на экране, чтобы помочь вам увидеть, как именно работает уравнение. Вы также можете выбирать между вводом функции, переменными и многим другим.

Лучшие онлайн-калькуляторы для кредитов

Если вы планируете получить кредит на дом или автомобиль, используйте один из этих онлайн-калькуляторов, чтобы определить, какова будет ваша общая процентная ставка.

Bankrate

Bankrate является одной из передовых компаний в этой области. Просто введите сумму кредита, срок и процентную ставку в год, чтобы получить оценку того, сколько вы будете платить в виде процентов.

Nerdwallet

Nerdwallet является основным местом для людей, которые ищут финансовую информацию, поэтому неудивительно, что у него есть один из лучших кредитных калькуляторов. Просто введите сумму, срок в годах или месяцах, процентную ставку и тип кредита, чтобы получить оценку суммы, которую вы будете платить.

CreditKarma

CreditKarma подходит не только для запоминающихся телевизионных джинглов. На веб-сайте есть кредитный калькулятор, который учитывает обычные переменные, а также ваш кредитный рейтинг. Это дает вам более точную оценку того, сколько вы будете платить в виде процентов и основного долга в течение многих лет.

Лучшие пенсионные онлайн-калькуляторы

Если вы планируете выйти на пенсию, вам нужно знать, какой ежемесячный денежный поток ожидать.

Пенсионный калькулятор Fidelity

Fidelity предлагает один из самых эффективных пенсионных калькуляторов. Он задает вам шесть основных вопросов, чтобы помочь определить текущее состояние вашей пенсионной политики, и сообщает вам, сколько вам нужно в месяц для поддержания вашего нынешнего образа жизни, а также то, что вы должны инвестировать каждый месяц.

Окончательный калькулятор пенсии

Окончательный калькулятор пенсии запрашивает огромное количество информации, например, ваш возраст, когда вы планируете выйти на пенсию и даже ожидаемую продолжительность жизни. Затем он спрашивает о ваших текущих сбережениях, желаемом годовом пенсионном доходе и прогнозирует сумму, которую вам нужно будет инвестировать каждый месяц, чтобы достичь такого уровня жизни.

Лучшие онлайн-калькуляторы для статистики

Если вам нужно рассчитать статистику выборки или набора данных, попробуйте один из этих онлайн-калькуляторов.

Калькулятор Калькулятор статистики супа

Этот калькулятор прост и понятен. Выберите, является ли набор данных выборкой или совокупностью, и введите информацию. Он также содержит уравнения, касающиеся того, как найти минимум, максимум и многое другое.

Хорошие калькуляторы Калькулятор статистики

Калькулятор статистики Good Calculators — гораздо более глубокий и сложный калькулятор, но он предоставляет круговую диаграмму, которая демонстрирует верхние значения после обработки данных. Если у вас сложная проблема со статистикой, это лучший вариант.

Лучший онлайн-калькулятор калорий

Пытаетесь похудеть или набрать массу? Воспользуйтесь одним из этих калькуляторов, чтобы определить, сколько калорий вам нужно (или не нужно!)

FreeDieting Caloric Калькулятор

Этот калькулятор позволяет легко определить, сколько калорий вам нужно в день, чтобы похудеть, набрать вес или поддерживать его. Просто введите свой возраст, пол, текущий вес, рост и уровень физической активности. Вы также можете выбрать, какую формулу вы хотите использовать для выполнения расчетов, а также хотите ли вы получить результаты в калориях или килоджоулях.

MyFitnessPal

MyFitnessPal — это больше, чем просто калькулятор. Это целая платформа, где вы можете отслеживать свои калории, упражнения и многое другое. Инструмент отслеживания калорий помогает автоматически определить, сколько калорий вы съели, и даже макронутриенты, которые вы приняли. 

Лучшие онлайн-калькуляторы по алгебре

Алгебра и математика иногда кажутся двумя разными областями. Исчисление затруднено из-за большого количества алгебры. Если вам нужна помощь, попробуйте один из этих онлайн-калькуляторов.

Калькулятор алгебры Symbolab

Калькулятор алгебры Symbolab упрощает выполнение многих сложных алгебраических задач. Калькулятор имеет вкладку быстрого доступа для наиболее часто используемых действий, таких как упрощение, решение и другие распространенные термины словесных задач, а также построитель уравнений.

Калькулятор алгебры Math Papa

Калькулятор алгебры Math Papa — лучший выбор для всех, кто хочет описать алгебру в максимально упрощенных терминах. Вместо того, чтобы использовать сложные уравнения и символы, просто введите уравнение и получите пошаговое объяснение того, как его решить.

Лучшие онлайн-калькуляторы для тригонометрии

Тригонометрия может быть сложной, особенно если вы не уверены в своих навыках геометрии. Эти тригонометрические калькуляторы помогут вам найти синус каждый раз.

Пошаговый калькулятор тригонометрии

Одним из ключевых компонентов тригонометрии является многоступенчатое уравнение. Если у вас нет правильного ответа на одном шаге, вы испортите все остальное. Этот калькулятор поможет вам решить практически любую тригонометрическую задачу и объяснит, как это сделать. Это как онлайн-репетитор.

Microsoft Math Solver

Этот калькулятор не только решает задачи тригонометрии, но также объясняет концепции и предоставляет видеоролики, которые помогут вам лучше понять математику. Это также простой в использовании калькулятор — просто щелкайте по операциям и вводите числа.

Когда вы сталкиваетесь с математикой, было бы неплохо знать, как сделать это без калькулятора, но вы, безусловно, можете использовать компьютер, чтобы перепроверить свои ответы.

Jumble Solver — Распутать слова и буквы

Jumble Solver — это инструмент для расшифровки слов, который помогает пользователям играть в словесные игры или решать анаграммы. Бесплатный и простой в использовании, Jumble Solver составляет все возможные слова из заданных букв. Используйте его, чтобы выиграть Scrabble, WWF или кроссворды.

Что такое Jumble Solver?

Вы знакомы с решателем беспорядка? Это определенно не то, о чем вы слышите каждый день! Однако, если вы увлекаетесь словесными играми и особенно любите головоломки с мешаниной, вы узнаете беспорядочный решатель как незаменимое изобретение, помогающее расшифровывать буквы, слова и предложения.

Jumble Solver Definition

Проще говоря, Jumble Solver — это инструмент, который принимает беспорядочный язык и быстро проясняет скрытый смысл.

Два примера решателя перепутанных букв

Разбираем слово ПЯТЬ

Человек А работает над головоломкой и должен расшифровать эти четыре слова, а затем составить новое слово, используя полужирный шрифт букв:

LOP F , P E HO, I PTR, O V LE

С помощью решателя мешанины они быстро определяют следующие слова:

F LOP, HOP E , TRIP, LO V E

,9000 выделил жирным шрифтом буквы в решателе беспорядка, появилось слово ПЯТЬ.

Распутывание слова КОФЕ

Человек Б поглощен решением словесной головоломки, где он должен понять смысл этого перепутанного предложения:

ORF _ MECO FEEFOC

Когда буквы для каждого слова помещаются в решатель беспорядка, эта фраза появляется up:

FOR _ COME COFFEE

Затем игрок может понять, что такое подстановочный знак, и легко составить следующую фразу:

COME FOR A COFFEE

Грамматика

• Части речи
• Примеры персонификации для детей
• Переходные слова
• Примеры аллитерации для детей
• Активный и пассивный голос

Количество слов по длине

• Слова из трех букв
• Слова из пяти букв
• Слова из семи букв
• Слова из восьми букв
• Слова из девяти букв

Решатель случайных слов

В дополнение к этим примерам, расшифровщик перепутанных слов может быть действительно полезным инструментом во многих различных играх со словами. Его можно использовать в качестве ежедневного решателя кроссвордов, генератора слов в игре Scrabble или Words with Friends (WWF) и даже может быть активом в игре с палачом.

Если вас смущает необычное расположение букв перед вами, вы можете использовать программу для поиска пропущенного слова или предложения. В зависимости от букв и подстановочных знаков, которые у вас есть для ввода, этот инструмент расшифровки может предложить несколько вариантов слов. В этом случае вы все еще бросаете вызов своему мозгу, чтобы найти слово или предложение, которое лучше всего подходит.

Будь то поиск смысла в перепутанных буквах, чтобы раскрыть слово, или сортировка фраз и предложений, решатель беспорядочных слов, безусловно, может быть очень интересным в использовании!

Словари

• Словарь Эрудит
• Словарь слов с друзьями

Поиск слов

• Расшифровать слово Finder
• Решатель анаграмм
• Искатель слов Эрудит
• Генератор слов
• Слова с друзьями Поиск слов

Как распутать слова

Хотите узнать больше? Чтобы разобрать слова, начните с ввода гласных и согласных по мере их появления в решателе беспорядка. Независимо от того, работаете ли вы с 7 буквами, 6 буквами, 5 буквами или другим числом, печатайте их так, как вы их видите. Затем наблюдайте, как происходит волшебство! Я извлек пользу из использования этого невероятного инструмента, когда мне нужно было разобрать свое слово.

Примеры Jumble Solver

• MYONRAH становится HARMONY
• SHIINF становится FINISH
• OUNOP становится POUND
• MOAWEES становится AWESOME
0
Блог

У каких певцов самый большой словарный запас?

Латынь — ее происхождение, влияние и дальнейшее использование

Удобные занятия, чтобы научить ваших детей экологическим проблемам

Когда вам нужна помощь со словами

Да, решатель беспорядка может быть бесценным! Этот онлайн-помощник поможет вам быстро разложить беспорядочные буквы в слова. Не только это, но вы обнаружите, что это потрясающе для многих различных типов языковых игр. Например, он будет работать как решатель беспорядочных кроссвордов, а также даст вам преимущество при решении головоломок с неразборчивыми словами или даже при разгадывании анаграмм.

Если вы играете с друзьями в незнакомую настольную игру и некоторые головоломки со словами застопорились, решатель беспорядка действительно может помочь вам быстрее составлять слова и зарабатывать очки. Может быть, вы очень цените возможность побыть наедине с ежедневным бесплатным кроссвордом. Если вам попался кроссворд с буквами, представляющий собой настоящую загадку, решатель беспорядка легко поможет вам ее решить. Кроме того, решатели мешанины могут принести пользу юным игрокам, улучшая их языковые навыки, одновременно учась играть и выигрывать в некоторых действительно крутых словесных играх!

Инструменты

• Счетчик слов
• Генератор случайных слов
• Генератор случайных имен пользователей
• Генератор случайных паролей

Списки слов

• Слова по длине
• Слова с буквами
• Слова заканчиваются на
• Гласные слова
• Согласные слова

Jumble Solver Multiple Words

Вы пытаетесь понять перепутанный язык, когда задействовано несколько слов? Возможно, вам нравится загруженная игра Jumble Phrases Idioms Sentence. Возможно, вы помогаете школьнику с домашним заданием, которое учит навыкам составления предложений, предлагая ему расшифровать беспорядочные предложения или фразы. Вероятно, есть больше ситуаций, чем вы когда-либо могли себе представить, когда решатель беспорядка может быть полезен!

Решатель беспорядка 2 слова

Попробуйте начать с использования инструмента, чтобы распутать 2 слова. Вот несколько основных примеров:

• aeihmpss abelllsy становится слогом.
  • EHT EVLOS EZZUPL становится SOLVE THE PUZZEL
  • ATLS EON ADLCWIRD становится ONE LAST WILDCARD
  • edirnfs dorws hitw становится словами с друзьями

  Jumble Solver 4 слова

  Следующие иллюстрации, которые Unjumble 4 слова:

  • Itsh Cdoowssrr esu vsrleo становится использованием этого Crossword
  • otakm nwi vsrleo.
  • EBLMUJ AEBUMRCNSSL VREOLS AEHPSSR становится JUMBLE SOLVER UNSCRAMBLES PHRASES

  7 советов по решению головоломок

  Безусловно, существует множество различных советов по решению головоломок. Когда вы ищете помощь по мешанине слов, вы, скорее всего, уже использовали один или два приема. С учетом сказанного всегда полезно расширить свой репертуар, чтобы повысить свой опыт в решении беспорядочных слов. Прочтите советы, которые у нас есть ниже, чтобы поддержать вашу ежедневную страсть к решателю беспорядка и помочь вам стать лучшим читером мешанины слов.

  Совет 1: Ищите префиксы или суффиксы, такие как «RE» или «ING». Это может помочь вам расширить другие слова.

  Совет 2: Попробуйте найти буквы, которые часто встречаются вместе в таких словах, как «BR» или «TH».

  Совет 3: Расставьте гласные и согласные.

  Совет 4: Посмотрите, сможете ли вы соединить определенные согласные с гласными, чтобы получилось даже короткое слово. Затем попробуйте удлинить его, добавив другие буквы. Вот простой пример: «A» в паре с «S» образует слово «AS», а когда добавляется «H», слово удлиняется до «ASH».

  No related posts.