Формула вероятность отказа: 1. Вероятность отказа. Вероятность безотказной работы.

1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора

Рассмотрим примеры, в которых требуется вычислить вероятностьь безотказной работы и вероятность отказа работы прибора, в состав которого входят несколько элементов и используются различные способы их соединения между собой.

Пример 1.14. Прибор состоит из двух независимо работающих элементов. Вероятность отказа первого элемента равна P1= 0,1, а второго – P2 = 0,2.

Рассмотрим событие A = {прибор откажет работать}.

1) Вычислим вероятность события A, если элементы соединены Последовательно,

Решение: Обозначим через A1 Событие, которое заключается в том, что откажет элемент А1 = {откажет первый элемент}, и через A2 —

A2 = {откажет второй элемент}.

Тогда данный прибор не будет работать (событие А), если выйдет из строя Хотя бы Один из элементов (или первый, или второй, или оба не будут работать).

Такое состояние прибора можно описать, используя Определение суммы событий, т. е. A=A1+A2 . Из теоремы о вероятности суммы двух независимых событий [ формула (***)] получаем

P (A) = p (A1+A2) = p (A1) + p (A2) – p (A1 A2) = p (A1) + p (A2) – p (A1) p (A2) =

= p1+p2 — p1 p2 = 0,1 +0,2 – 0,1*0,2 = 0,28.

Итак, вероятность того, что данный прибор Откажет Р (А) = 0,28.

Состояние прибора, когда он работает правильно, есть событие А — противоположное событию А, когда прибор откажет.

Тогда, используя свойства вероятности, можно найти Вероятность правильной работы А Данного прибора по формуле:

р ( ) = 1 – р (

А) = 1 – 0,28 = 0,72.

2) Вычислим вероятность отказа прибора (событие А ), если элементы соединены параллельно:

Решение. Данный прибор откажет в том случае, если Откажут оба элемента Одновременно. Следовательно, отказ прибора в этом случае может быть представлен как Произведение Событий А1 и А2 , т. е. A=A1A2 . Так как элементы перестают работать Независимо друг от друга, то из независимости событий A1 и A2 получаем P(A) = P(A1) P(A2) = P1 P2 = 0,1 * 0,2 = 0,02.

Определение. События A1 A2 ¼ AN называют Взаимно независимыми, если для любой их части выполняется равенство

P() = p() p()¼P(), (1.5)

1<=i1<i2 ¼<im<=n , m=2, ¼,n.

Пример 1.15. Прибор состоит из трех последовательно соединенных и независимо работающих друг от друга элементов. Каждый из элементов может быть признан бракованным или стандартным:

Обозначим вероятность того, что первый элемент оказался бракованным,

Равной P1, второй элемент бракованный — P2, третий элемент бракованный — P3.

Прибор будем считать Бракованным, если хотя бы один из его элементов бракованный. Найти вероятность того, что прибор Стандартный.

Решение: Обозначим события

A1 = {первый элемент — стандартный},

A2 = {второй элемент — стандартный },

A3 = {третий элемент — стандартный }

A = {прибор стандартный }.

В данном случае прибор нормально работает в том случае, если все три элемента одновременно работают, т. е. все три элемента, входящие в прибор, стандартные. Тогда работу прибора можно описать как событие А, состоящее из Произведения трех Независимых Событий A=A1*A2*A3 , вероятность которого можно вычислить по формуле вероятности произведения независимых событий

P(A) = P(A1)P(A2)P(A3) =(1 – P1) (1- P2) (1 – P3).

Вероятность отказа прибора (событие А ) в данном случае есть величина, равная вероятности события, противоположного событию

А.

Р ( А) = 1 – Р (А).

Примечание. Рассмотренные примеры 1.13, 1.14 и 1.15 являются аналогом решения контрольной задачи №3 (первого пункта задания) из методических указаний для выполнения контрольных работ.

Рассмотрим некоторые свойства независимых событий.

Свойство7. Если A и B независимы, то и B Независимы.

Свойство 8. Если событие A не зависит от событий B1 и B2, а события B1 и B2 несовместны, тогда события A и B1+ B2 независимы.

Свойство 9. Если события A, A1 и A2 взаимно независимы, тогда события A и A1+ A2 независимы.

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается геометрический подход к вычислению вероятности?

2. Чему равна вероятность суммы двух противоположных событий?

3. Перечислите основные свойства вероятности события.

4. Что такое независимые события?

< Предыдущая   Следующая >

1.2. Вероятность безотказной работы. Вероятность отказа

Безопасность жизнедеятельности в техносфере / Надежность технических систем и техногенный риск / 1.2.      Вероятность безотказной работы. Вероятность отказа

Вероятностью безотказной работы аппаратуры называется вероятность того, что она будет сохранять свои характеристики (параметры) в заданных пределах в течение определенного промежутка времени при определенных условиях эксплуатации, или, короче, – вероятностью безотказной работы аппаратуры называется вероятность того, что в определенных условиях эксплуатации в пределах заданной продолжительности работы отказ не возникает.

В дальнейшем эта характеристика обозначается P(t).

Пусть t – время, в течение которого необходимо определить вероятность безотказной работы, а Т1 – время работы аппаратуры от ее включения до первого отказа. Тогда, согласно определению вероятности безотказной работы, справедливо выражение:

,                                                     (1.1)

т.е. вероятность безотказной работы – это вероятность того, что время Т1 от момента включения аппаратуры до ее отказа будет больше или равно времени t, в течение которого определяется вероятность безотказной работы.

Из определения вероятности безотказной работы видно, что эта характеристика является функцией времени. Она имеет следующие очевидные свойства:

1) P(t) является убывающей функцией времени;

2) ;

3) Р(0) = 1,      .

На практике для определения P(t) из статистических данных об отказах аппаратуры обычно используются методы непосредственного подсчета вероятностей. Вероятность безотказной работы определяется следующей статистической оценкой:

,                                            (1.2)

где N0 число образцов аппаратуры в начале испытания, n(t) – число отказавших образцов за время t.

При увеличении числа образцов N0 статистическая оценка вероятности обнаруживает устойчивость, т.е. слабо отличается от вероятности безотказной работы:

.                                  (1.3)

На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность неисправной работы, или вероятность отказов. Эта характеристика может быть полезна, например, при сравнение надежности резервированной и не резервированной систем. Исправная работа и отказ являются событиями несовместными и противоположными. Поэтому вероятность безотказной работы и вероятность отказа Q(t) связаны зависимостью:

Q (t) = 1 – P (t),                                         (1.4)

или с учетом выражения (1. 1)

Q (t) = P (T1  t)                                         (1.5)

Из выражения (1.5) видно, что вероятность отказа является интегральной функцией распределения времени работы (Т1) до отказа, т.е.

Q (t) = F (t)                                            (1.6)

Производная от интегральной функции распределения есть дифференциальный закон (плотность) распределения:

.                                                  1.7)

Тогда на основании выражений (1.6) и (1.7) получим:

,                                                (1.8)

т.е.


производная от вероятности отказа подчиняется дифференциальному закону распределения времени работы (Т1) аппаратуры до ее отказа.

Для статистического определения вероятности отказа воспользуемся выражениями (1.4)и (1.3). Подставляя в выражение (1.4) вместо P(t) его выражение из формулы (1.3), получим:

.                                                        (1.9)

Вероятность безотказной работы P(t), как количественная характеристика надежности, обладает следующими достоинствами:

1) характеризует изменение надежности во времени;

2) входит во многие другие характеристики аппаратуры, а поэтому может быть полезна широкому кругу лиц, занимающихся вопросами проектирования, эксплуатации, ремонта и т.п. Например, вероятность безотказной работы наряду с точностью и живучестью определяет боевую эффективность оружия, а поэтому является необходимой для исследователя военных операций и полководца. Она определяет также стоимость изготовления и эксплуатации аппаратуры, а поэтому может быть полезной инженеру-экономисту;

3) охватывает большинство факторов, существенно влияющих на надежность аппаратуры, и поэтому достаточно полно характеризует надежность;

4) может быть сравнительно просто получена расчетным путем до изготовления системы. Это позволяет выбрать оптимальную в смысле надежности структуру системы и ее принципиальную схему;

5) является удобной характеристикой надежности, как простейших элементов, так и сложных систем и даже комплексов.

Указанные достоинства вероятности безотказной работы явились причиной наибольшего распространения этой характеристики.

Однако вероятность безотказной работы имеет также существенные недостатки:

1) характеризует надежность восстанавливаемых систем только до первого отказа, а поэтому является достаточно полной характеристикой надежности только систем разового использования;

2) не позволяет охарактеризовать зависимость между временными составляющими цикла эксплуатации; это не дает возможности установить, даже в вероятностном смысле, будет ли система готова к действию в данный момент времени или нет;

3) не всегда удобна для оценки надежности простых элементов, в особенности таких, у которых отсутствует старение;

4) по известной вероятности безотказной работы бывает трудно вычислить другие количественные характеристики надежности.

Эти недостатки позволяют сделать вывод, что вероятность безотказной работы, как, впрочем, и любая другая характеристика, не полностью характеризует такое свойство как надежность, и поэтому не может быть с ним отождествлена.

выживания — Как определить вероятность отказа, если отказов не было?

На этот вопрос было дано несколько хороших ответов, но недавно у меня была возможность просмотреть несколько ресурсов по этой теме, и я решил поделиться результатами.

Существует несколько возможных оценок для данных без сбоев. Обозначим $k=0$ как количество отказов и $n$ как объем выборки. Оценка максимального правдоподобия для вероятности отказа с учетом этих данных:

$$ P(K = k) = \frac{k}{n} = 0 \tag{1} $$

Такая оценка весьма неудовлетворительна, так как тот факт, что мы не наблюдали отказов в нашей выборке, едва ли доказывает, что они вообще невозможны. Знание об отсутствии данных предполагает, что существует или вероятность отказа, даже если этого не наблюдалось (пока). Наличие априорных знаний приводит нас к использованию байесовских методов, рассмотренных Бейли (1997), Раззаги (2002), Басу и др. (1996) и Ладбруком и Лью (2009).

Среди простых оценщиков оценщик с «верхней границей», который предполагает (Бейли, 1997)

, что было бы нелогично использовать оценку P в случай нулевого отказа, чтобы получить вероятность, превышающую предсказанную оценкой максимального правдоподобия в случае одного отказа разумная верхняя граница

определяется как

$$ \frac{1}{n} \tag{2} $$

. Согласно обзору Ладбрука и Лью (2009 г.), другими возможными вариантами являются «правило трех» (см. здесь, Википедия или Эйпаш и др., 1995 г.)

$$ \frac{3}{n} \tag{3} $ $

или другие варианты:

$$ \frac{3}{n+1} \tag{4} $$

«правило 3.7» Ньюкомба и Альтмана (или 3.6):

$$ \frac {3.7}{n} \tag{5} $$

«новое правило четырех»:

$$ \frac{4}{n+4} \tag{6} $$

но согласно заключению Ладбрука и Лью (2009) «правило трех» «практически бесполезно», а «правило 3.6» (и 3.7) «имеют серьезные ограничения — они крайне неточны, если первоначальный размер выборки меньше 50», и они не действуют. рекомендую 9\frac{1}{n+1} \tag{8} $$

или для оценки среднего по таким предыдущим

$$ \frac{1}{n+2} \tag{9} $$

еще другой подход, предполагающий экспоненциальную картину отказов с постоянной интенсивностью отказов (распределения Пуассона), дает

$$ \frac{1/3}{n} \tag{10} $$

, если мы используем бета-приор с параметрами $a$ и $ b$ можно использовать формулу (см. Razzaghi, 2002):

$$ \frac{a}{a+b+n} \tag{11} $$

, что при $a = b = 1$ приводит к равномерному до (9). Предполагая, что априор Джеффриса с $a = b = 0,5$, это приводит к

$$ \frac{1}{2(n+1)} \tag{12} $$

Обычно рекомендуются формулы Байеса (7)-(12). Basu et al (1996) рекомендует (11) с информативным априорным анализом, когда доступны некоторые априорные знания. Поскольку не существует единого наилучшего метода, я бы посоветовал изучить литературу перед тем, как приступить к анализу, особенно когда $n$ невелико.


Бейли, Р.Т. (1997). Оценка по данным нулевого отказа. Анализ рисков, 17 , 375-380.

Раззаги, М. (2002). Об оценке биномиальной вероятности успеха при нулевом появлении в выборке. Журнал современных прикладных статистических методов, 1 (2), 41.

Ладбрук, Дж., и Лью, М.Дж. (2009). Оценка риска редких осложнений: достаточно ли «правила трех»? ANZ журнал хирургии, 79 (7-8), 565-570.

Eypasch, E. , Lefering, R., Kum, C.K., and Troidl, H. (1995). Вероятность нежелательных явлений, которые еще не произошли: статистическое напоминание. BMJ 311 (7005): 619–620.

Басу, А.П., Гейлор, Д.В., и Чен, Дж.Дж. (1996). Оценка вероятности возникновения опухоли для редкого рака с нулевым появлением в образце. Регуляторная токсикология и фармакология, 23 (2), 139-144.

байесовский расчет вероятности (отказа)

спросил

Изменено 5 лет назад

Просмотрено 187 раз

$\begingroup$

Я работаю над смертностью в 12 больницах, где проводят кардиохирургические операции у младенцев. Набор данных доступен здесь: набор данных Surg. Набор данных структурирован таким образом:

 н р больница
 47 0 А
148 18 Б
119 8 С
. .. ... ...
 

где $n$ — количество операций, а $r$ — количество смертей. Моя цель — рассчитать вероятность отказа для каждой больницы $p_i$. Учебник, которому я следую (WinBUGS), сообщает, что

$r_i \sim Биномиальный(p_i, n_i)$

но мой вопрос: почему $p_i$ нельзя просто вычислить как $p_i = r_i/n_i$?

  • вероятность
  • байесовское
  • биномиальное распределение
  • winbugs

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Вы можете использовать цитируемую вами формулу, но, похоже, вы предпочитаете использовать байесовский метод оценки, который включает в статистическую модель априорную информацию. Это два разных способа ведения статистики. Проверьте этот вопрос, чтобы узнать больше о том, что такое байесовская модель.

На самом деле, если вы вычислите вероятности различных значений $p_i$, вы обнаружите, что они имеют наибольшие пики в точках $r_i/n_i$. На графике ниже вы видите профили правдоподобия для отдельных больниц, а вертикальные линии — точечные оценки $r_i/n_i$.

Обратите внимание, что при использовании неинформативного априорного $\pi(\theta) = 1$ (или $Beta(1,1)$) байесовские оценки $\pi(\theta|x) \propto f(x | \theta) \pi(\theta)$ такие же, как и при использовании подхода, основанного на правдоподобии, поэтому все три подхода приведут к одним и тем же точечным оценкам.

Таким образом, использование «чего-то большего», чем $r_i/n_i$, полезно для обработки неопределенности параметров, как заметил @jaradniemi в комментарии. С другой стороны, можно использовать более сложный подход, если (а) вы хотите построить иерархическую модель, в которой существует некоторая общая вероятность сбоя и специфические для сайта эффекты, или (б) вы можете использовать байесовский подход, чтобы включить некоторые нестандартные ситуации. -информация данных в вашей модели в качестве информативного априора.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Как отметил @jaradniemi, $r_i/n_i$ — это всего лишь оценка $p_i$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *