Формулы косинусов синусов тангенсов: тригонометрические формулы синус косинус суммы углов разности углов синус косинус двойного тройного углов синус косинус тангенс через тангенс половинного угла

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы и их вывод. Мы знаем, что их много и что их нужно учить, что эту информацию очень сложно запомнить и её периодически требуется повторять. Так, верно! Ниже представлен вывод этих формул, думаю, пригодится. Если запомнить принципы вывода, то когда будет необходимо — вы всегда «вспомните» нужную формулу. В любом случае информация будет полезна — кому-то проще выучить, кому-то вывести.

Сначала сами формулы, это ещё не все, будет продолжение.

Основное тригонометрическое тождество, его запомнить нетрудно – формула «красивая»: 

Откуда взялась? Посмотрите,  здесь всё подробно описано.

Из неё следуют:

*Простые алгебраические преобразования.

Так же из неё получаем две другие необходимые формулы путём деления на квадрат синуса и квадрат косинуса:

Формулы тангенса и котангенса. Их проще выучить:

Что дальше? Разберём некоторые группы формул! Рассмотрим эскиз:

Теорема! Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов сложенному с произведением синусов:

Доказательство:

Рассмотрим единичную окружность с углами α и β, которые образованы векторами

И положительным направлением оси ох. Угол между векторами равен:

Выразим  скалярное произведение векторов по формуле:

Следовательно

Так как векторы имеют длину равную единице, а именно:

Теперь вычислим это же скалярное произведение по формуле:

Так как

Мы получили, что

Следовательно

Что и требовалось доказать!

Косинус суммы >>

Сумму α + β представляем как разность  α–(–β) и подставляем a формулу для косинуса разности:

Так функция косинуса чётная а функция синуса нечётная

Значит

Синус суммы >>

Воспользуемся одной из формул приведения:

Теперь по формуле косинуса разности (1):

Получили

Синус разности >>

*Функция косинуса чётная, функция синуса нечётная

Следовательно

Получили группу формул:

 

Тангенс суммы >>

Используя формулу тангенса делим формулу (3) на (2):

Далее разделим числитель и знаменатель на cosα∙cosβ, получим:

Получили

Тангенс разности >>

Используя формулу тангенса делим формулу (4) на (1):

Также разделим числитель и знаменатель на cosα∙cosβ, получим:

Получили

Котангенс суммы >>

Используя формулу котангенса делим формулу (2) на (3):

Далее разделим числитель и знаменатель на sinα∙sinβ, получим:

Получили

Котангенс разности >>

Используя формулу котангенса делим формулу (1) на (4):

Далее разделим числитель и знаменатель на sinα∙sinβ, получим:

Получили

Пожалуйста, ещё группа:

 

Синус двойного угла >>

Используем формулу (3) — синуса суммы:

Косинус двойного угла >>

Используем формулу (2) — косинуса суммы:

Если из основного тригонометрического тождества выразим:

И подставим в (10), то получим:

Если выразим:

И подставим в (10), то получим:

Тангенс двойного угла >>

Используем формулу (5):

Котангенс двойного угла >>

Используем формулу (7):

Можем выделить группу формул:

 

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность.

Возьмём формулы синуса суммы и синуса разности:

Сложим их почленно, то есть правую и левую части:

Возьмём формулы косинуса суммы и косинуса разности:

Сложим их почленно, то есть правую и левую части:

Теперь из cos (α–β) вычтем  cos (α+β):

Получим:

Вот и ещё одна группа формул готова:

К этой статье будет дополнение-продолжение, разобрали ещё не всё, не пропустите! Успеха вам!

Скачать материал в формате PDF

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

10. Тригонометрия — MAPHY.COM

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к выполнению тригонометрических преобразований

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
4. Верьте, что всё будет хорошо.

 

Основные тригонометрические формулы

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

 

Дополнительные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы сложения. 

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени. Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла. Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

 

Тригонометрические формулы приведения

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

• Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
• Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
• При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

 

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

 

Тригонометрические уравнения

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

• Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
• Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения, привести дроби к общему знаменателю и так далее.
• При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки. При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали.
• Применяя метод замены переменной, как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
• Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
• Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
• Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С:

Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус угла, который равен , обозначается символом , читается: «синус альфа».

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла, который равен , обозначается символом , читается: «косинус альфа».

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Тангенс угла, который равен , обозначается символом , читается: «тангенс альфа».

На рисунке

                             (1)

                            (2)

                               (3)

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим:

                              (4)

Получили, что тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Дано: АВС, А₁В₁С₁, С = С₁ = 90⁰, А = А₁

.

Доказать: sin A = sin A₁, cos A = cos A₁, tg A = tg A₁.

Доказательство:

АВС А₁В₁С₁ по первому признаку подобия треугольников (т.к. С = С₁ = 90⁰, А = А₁). Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, поэтому мы можем записать:

Из этих равенств следует, что т.е. sin A = sin A₁. Аналогично , т.е. cos A = cos A₁, и , т.е. tg

A = tg A₁, что и требовалось доказать.

Мы получили, что синус, косинус и тангенс острого угла зависит только от величины этого угла.

Докажем основное тригонометрическое тождество:

Из формул (1) и (2) получаем

По теореме Пифагора , поэтому .

Синус, косинус и тангенс суммы и разности формулы – тригонометрия

Формулы косинус суммы и разности (cos), синус суммы и разности (sin) и тангенс суммы и разности (tg) часто применяются при решении различных задач по тригонометрии. В первую очередь эти формулы используются при преобразовании тригонометрических числовых и буквенных выражений. Достаточно знать одну из этих формул, остальные можно получить по аналогии.

Запомнить формулы синуса и косинуса суммы и разности просто: в формулах синуса в произведениях находятся разные тригонометрические функции, в формулах косинуса в произведениях находятся одинаковые тригонометрические функции. Главное: запомнить где нужно использовать плюс, а где минус между произведениями.

Формула синус суммы

Синус суммы углов α и β равен сумме произведения синуса угла α на косинус угла β и произведения косинуса угла α на синус угла β.

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ

Формула синус разности

Синус разности углов α и β равен разности произведения синуса угла α на косинус угла β и произведения косинуса угла α на синус угла β.

sin(α – β) = sinα ⋅ cosβ – cosα ⋅ sinβ

Формула косинус суммы

Косинус суммы углов α и β равен разности произведения косинуса угла α на косинус угла β и произведения синуса угла α на синус угла β.

cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ – sinα ⋅ sinβ

Формула косинус разности

Косинус разности углов α и β равен сумме произведения косинуса угла α на косинус угла β и произведения синуса угла α на синус угла β.

cos(α – β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ

Формула тангенс суммы

Тангенс суммы углов α и β равен отношению суммы тангенсов углов к разности единицы и произведения тангенсов углов.

tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 – tgα ⋅ tgβ)

Формула тангенс разности

Тангенс разности углов α и β равен отношению разности тангенсов углов к сумме единицы и произведения тангенсов углов.

tg(α – β) = (tgα – tgβ) / (1 + tgα ⋅ tgβ)

Формулы двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла дают возможность выразить тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) угла ` 2\alpha` через эти самые функции угла `\alpha`.

Содержание статьи:

Перечень всех формул двойного угла

Записанный ниже список — это основные формулы двойного угла, которые наиболее часто используются в тригонометрии.2 \alpha-1}=` `\frac 2{ \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}`
`ctg \ 2\alpha=\frac { \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}2`

Формулы для косинуса и синуса двойного угла выполняются для любого угла `\alpha`. Формулы для тангенса двойного угла справедливы для тех `\alpha`, при которых определен `tg \ 2\alpha`, то  есть при ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \in Z`. Аналогично, для котангенса они имеют место для тех `\alpha`, при которых определен `ctg \ 2\alpha`, то  есть при ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.

Доказательство формул двойного угла

Все формулы двойного угла выводятся из формул сумы и разности углов тригонометрических функций.

Возьмем две формулы, для сумы углов синуса и косинуса:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` и `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Возьмем `\beta=\alpha`, тогда `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, аналогично `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, что и доказывает формулы двойного угла для синуса и косинуса.2 \alpha-1}`.

Для доказательства формул угла ` 4\alpha` можно представить его как ` 2 \cdot 2\alpha` и примерить два раза формулы двойного угла.

Для вывода аналогичных равенств для угла ` 5\alpha` можно записать его, как ` 3\alpha + 2\alpha` и применить тождества суммы и разности углов и двойного и тройного угла.

Аналогично выводятся все формулы для других кратных углов, то нужны они на практике крайне редко.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом, понятиями, которые связывают острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника.

Прежде всего, давайте повторим основные сведения о прямоугольном треугольнике. Пусть нам дан прямоугольный треугольник ABC. Вершина C, угол С= 90º – прямой, гипотенуза с. Вершина А, угол α — острый, катет a. Вершина B, угол β — острый, катет b.

Напомним, что сумма углов треугольника равна 180º, значит, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Мы знаем, что стороны прямоугольного треугольника связаны между собой теоремой Пифагора.

Катет, BC является противолежащим для угла А, катет AC является прилежащим для угла А. Аналогично, катет AC является противолежащим для угла B, катет BC является прилежащим для угла B.

А теперь давайте подумаем, а можно ли связать между собой стороны и углы прямоугольного треугольника?

Давайте, посмотрим на два прямоугольных треугольника с острыми углами 30º и 60º.

И давайте, попробуем найти отношение катета, противолежащего углу в тридцать градусов к гипотенузе одного и второго треугольника.

Мы видим, что это отношение одинаково в обоих треугольниках.

Теперь давайте найдем отношение катета, прилежащего к углу в тридцать градусов. И опять получили одинаковые отношения.

;

Теперь давайте найдем отношение противолежащего катета к прилежащему. И снова у нас получились одинаковые отношения.

;

Теперь давайте, рассмотрим два прямоугольных равнобедренных треугольника. Острые углы этих треугольников равны по 45º. Находя для них такие же отношения, получим, что и в этом случае эти отношения для обоих треугольников равны.

 

= ;

 = ;

;

Учеными было сделано предположение, что эти отношения не зависят от величины сторон прямоугольного треугольника, а зависят от величины острых углов прямоугольного треугольника. Для этих отношений были введены специальные названия и обозначения.

Определение: синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение: косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение: тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Теперь давайте попробуем найти отношение синуса угла α к косинусу того же угла.

; ;

Сравним полученную формулу с формулой тангенса угла α и увидим, что можно записать, что тангенс угла альфа равен отношению синуса угла альфа к косинусу угла альфа.;

Задача. Найти  треугольника  с прямым углом , если  см,  см.

Решение.

 

 (см)       

  

 

Ответ:      .

Из определения синуса,  

Из определения тангенса угла А можно получить формулу, которая связывает два катета прямоугольного треугольника. Получим, что катет a равен произведению катета b на тангенс противолежащего угла.

Задача. Пусть в прямоугольном треугольнике, один из катетов равен  см, а противолежащий угол равен . Выразить второй катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через известный катет и угол, и найти их значение.

Решение.

Ответ: .

Теперь давайте докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Пусть нам даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁ с прямыми углами C и C₁ и равными острыми углами А и A₁. Очевидно, что углы B и B₁ также будут равны. То есть наши треугольники подобны по первому признаку подобия (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны).

Значит, справедливы равенства

Из этих равенств несложно вывести равенство отношения  а эти отношения есть ничто иное как синус угла А и синус угла A₁. То есть можно записать, что .

Аналогично, можно вывести равенство отношения  то есть равенство . А раз равны синусы и косинусы, то из формулы , получим, что . Таким образом, наше утверждение доказано.

Теперь, давайте попробуем доказать справедливость равенства:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Таким образом, справедливость равенства доказана.

Это равенство называют основным тригонометрическим тождеством. Синус, косинус, тангенс – тригонометрические функции.

Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов «треугольники» и «измеряю». «Тригонометрия» — раздел математики, в котором изучают тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Задача. Найти  если .

Решение

 или

Ответ: .

Повторим главное:

синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе;

косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе;

тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему;

Синус и косинус одного и того же угла связаны между собой основным тригонометрическим тождеством.

9 класс. Геометрия. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Синус, косинус и тангенс угла. — Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество.

Комментарии преподавателя

Как из­ме­рить вы­со­ту де­ре­ва ? Как найти рас­сто­я­ние  до недо­ступ­ной точки , вер­ши­ны де­ре­ва (рис. 1)?

Рис. 1. На­гляд­ный при­мер из 8 клас­са о вве­де­нии три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций остро­го угла

Рис. 2. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС

Пусть задан тре­уголь­ник  (рис. 2), a;  – ка­те­ты,  – ги­по­те­ну­за,  – угол.

По­ме­стим еди­нич­ную по­лу­окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ную плос­кость (рис. 3).

1. Рас­смот­рим , в нем , где , т. е. это пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, угол  – ост­рый.

Рис. 3. Еди­нич­ная окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

Си­ну­сом угла  на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го катета  ги­по­те­ну­зе :

Но ги­по­те­ну­за , по­это­му:

 – ор­ди­на­та точки :

но , зна­чит:

 – абс­цис­са точки  еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти.

Синус остро­го угла – это ор­ди­на­та, а ко­си­нус – это абс­цис­са точки  пер­вой чет­вер­ти.

Точка  имеет един­ствен­ную пару ко­ор­ди­нат , – это ко­си­нус ,  – синус .

Но абс­цис­су и ор­ди­на­ту имеют все точки по­лу­окруж­но­сти.

2. Рас­смот­рим любой  (ри­су­нок 4), из от­рез­ка .

Рис. 4.  еди­нич­ной окруж­но­сти в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

Его луч  опре­де­ля­ет един­ствен­ную точку  на по­лу­окруж­но­сти, ор­ди­на­ту  на­зо­вем си­ну­сом , а абс­цис­су  – его ко­си­ну­сом.

при­мем, что  – это от­но­ше­ние  к :

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

Рис. 5. Еди­нич­ная окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

(рис. 5)

По опре­де­ле­нию, точка  с ко­ор­ди­на­та­ми (0;1) есть точка  с ко­ор­ди­на­та­ми :

При­ме­ча­ние: т. к.  есть 0, то  не су­ще­ству­ет:

Ответ:.

За­да­ча ре­ше­на.

Дано: 

Найти: 

Ре­ше­ние

Рис. 6. Еди­нич­ная окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

(рис. 6)

Ответ: ; ; .

За­да­ча ре­ше­на.

Рас­смот­рим неко­то­рые свой­ства еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти (рис. 7).

Она про­еци­ру­ет­ся на ось  в от­ре­зок , а на ось  в от­ре­зок , от­сю­да вывод:

Рис. 7. Еди­нич­ная по­лу­окруж­ность в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

В част­но­сти, ко­си­нус ту­по­го угла от­ри­ца­те­лен.

Урав­не­ние еди­нич­ной окруж­но­сти с цен­тром в точке  и :

Для 

Имен­но это со­от­но­ше­ние на­зы­ва­ют ос­нов­ным три­го­но­мет­ри­че­ским тож­де­ством.

Рас­смот­рим связь тан­ген­са и ко­си­ну­са.

Если , то из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства имеем:

Та­ко­ва связь между ко­си­ну­сом и тан­ген­сом.

Пусть .

Тогда из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства най­дем связь между ко­тан­ген­сом и си­ну­сом:

Про­верь­те са­мо­сто­я­тель­но их спра­вед­ли­вость с по­мо­щью еди­нич­ной по­лу­окруж­но­сти.

Вывод

Мы вспом­ни­ли, что такое синус, ко­си­нус и тан­генс для ост­рых углов, узна­ли, что такое  для углов от  до , рас­смот­ре­ли про­стей­шие свой­ства вве­дён­ных функ­ций и ос­нов­ные фор­му­лы, ко­то­рые свя­зы­ва­ют между собой синус, ко­си­нус, тан­генс и ко­тан­генс, при­чем для всех углов от  до .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/sinus-kosinus-i-tangens-ugla/sinus-kosinus-i-tangens-ugla-osnovnoe-trigonometricheskoe-tozhdestvo

http://nsportal.ru/sites/default/files/2015/01/06/sinus_kosinus_i_tangens.pptx

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/16/15413/img2.jpg

http://5klass.net/datas/algebra/Trigonometricheskie-funktsii/0007-007-Svojstva-sinusa-kosinusa-tangensa-i-kotangensa.jpg

http://math-box.net/wp-content/plugins/download-form/force_download.php?id=186&token=0b3565eedfb35781a1d4c4e15805a63f

http://www.azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/N109/images/geom_9_5.jpg

http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/basic_trigonometric_identities.html

http://onlinegdz.net/test-sinus-kosinus-tangens-kotangens-ugla-geometriya-9-klass-atanasyan/

Сводка тригонометрических формул

Сводка тригонометрических формул

Эти формулы относятся к длине и площади определенных кругов или треугольников. На следующей странице вы найдете личности. Идентичности не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но верны для всех углов.

Формулы дуг и секторов окружностей

Вы можете легко найти как длину дуги, так и площадь сектора для угла θ в окружности радиуса r .

Длина дуги. Длина дуги равна радиусу r, в умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах. Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте количество градусов на π /180.
Площадь сектора. Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженного на угол, где, опять же, угол измеряется в радианах.

Формулы для прямоугольных треугольников

Наиболее важные формулы тригонометрии — формулы прямоугольного треугольника.Если θ — один из острых углов в треугольнике, то синус тэты — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, косинус — это отношение соседней стороны к гипотенузе, а тангенс — это отношение сторона, противоположная соседней стороне.

Эти три формулы известны мнемоническим языком SohCahToa. Помимо этого, существует очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть они складываются в 90 °, вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

• Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.
• Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.

Формулы наклонных треугольников

Эти формулы работают для любого треугольника, будь то острый, тупой или прямой.Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначаются прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначаются строчными буквами a , . b и c .

Есть две важные формулы для наклонных треугольников. Их называют законом косинусов и законом синусов.

Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники.В нем говорится, что c ² , квадрат одной стороны треугольника, равен a ² + b ² , сумме квадратов двух других сторон минус 2. ab cos & nbsp C , удвоить их произведение, умноженное на косинус противоположного угла. Когда угол C правильный, он становится формулой Пифагора.

Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне является одинаковым отношением для всех трех углов.

С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник:

• Если вы знаете два угла и сторону, вы можете найти третий угол и две другие стороны.
• Если вы знаете две стороны и включенный угол, вы можете найти третью сторону и оба других угла.
• Если вы знаете две стороны и угол, противоположный одной из них, есть две возможности для угла, противоположного другой (острый и тупой), и для обеих возможностей вы можете определить оставшийся угол и оставшуюся сторону.

Формулы площади для треугольников

Есть три разные полезные формулы для вычисления площади треугольника, и какая из них вы используете, зависит от того, какая информация у вас есть.

Половина основания, умноженная на высоту. Это обычный вариант, поскольку он самый простой и обычно у вас есть такая информация. Выбирайте любую сторону, чтобы позвонить по базе b . Тогда, если h — это расстояние от противоположной вершины до b , то площадь равна половине bh .
Формула Герона. Это полезно, когда вы знаете три стороны треугольника: a , b и c , и все, что вам нужно знать, — это площадь. Пусть с будет половиной их суммы, называемой полупериметром . Тогда площадь является квадратным корнем из произведения s , s — a , s — b и s — c .
Формула стороны-угла-стороны. Используйте это, если вам известны две стороны, a и b , и включенный угол C . Площадь равна половине произведения двух сторон, умноженного на синус включенного угла.

Формулы суммы и разности | Блестящая вики по математике и науке

Пусть на схеме точка AAA вращается к точкам BBB и C, C, C, а углы α \ alphaα и β \ betaβ определены следующим образом:

∠AOB = α, ∠BOC = β.\ angle AOB = \ alpha, \ quad \ angle BOC = \ beta. ∠AOB = α, ∠BOC = β.

Также пусть CD \ overline {CD} CD и FG‾ \ overline {FG} FG перпендикулярны OA O, \ overline {OA}, OA, и пусть EEE будет точкой на CD‾ \ overline {CD} CD такой, что ED‾∣ = ∣FG‾∣. \ Lvert \ overline {ED} \ rvert = \ lvert \ overline {FG} \ rvert.∣ED∣ = ∣FG∣.

Тогда формула для суммы косинусов cos⁡ (α + β), \ cos (\ alpha + \ beta), cos (α + β), которая является ∣OD‾∣∣OC‾∣, \ frac {\ lvert \ overline {OD} \ rvert} {\ lvert \ overline {OC} \ rvert}, ∣OC∣∣OD∣, можно получить следующим образом:

cos⁡ (α + β) = OD‾∣∣OC‾∣ = ∣OG‾∣∣OC‾∣ − ∣EF‾∣∣OC‾∣ = ∣OG‾∣∣OF‾∣⋅∣OF‾∣∣ OC‾∣ − ∣EF‾∣∣CF‾∣⋅∣CF‾∣∣OC‾∣ (поскольку ∣OD‾∣ = ∣OG‾∣ − ∣EF‾∣) = cos⁡α⋅cos⁡β − sin⁡α ⋅sin⁡β.\ begin {выровнено} \ cos (\ alpha + \ beta) & = \ frac {\ lvert \ overline {OD} \ rvert} {\ lvert \ overline {OC} \ rvert} \\ & = \ frac {\ lvert \ overline {OG} \ rvert} {\ lvert \ overline {OC} \ rvert} — \ frac {\ lvert \ overline {EF} \ rvert} {\ lvert \ overline {OC} \ rvert } \\ & = \ frac {\ lvert \ overline {OG} \ rvert} {\ lvert \ overline {OF} \ rvert} \ cdot \ frac {\ lvert \ overline {OF} \ rvert} {\ lvert \ overline {OC} \ rvert} — \ frac {\ lvert \ overline {EF} \ rvert} {\ lvert \ overline {CF} \ rvert} \ cdot \ frac {\ lvert \ overline {CF} \ rvert} {\ lvert \ overline {OC} \ rvert} \ qquad \ left (\ text {Since} \ lvert \ overline {OD} \ rvert = \ lvert \ overline {OG} \ rvert- \ lvert \ overline {EF} \ rvert \ right) \\ & = \ cos \ alpha \ cdot \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ cdot \ sin \ beta.\ end {выровнен} cos (α + β) = ∣OC∣∣OD∣ = ∣OC∣∣OG∣ −∣OC∣∣EF∣ = ∣OF∣∣OG∣ ⋅∣OC∣∣OF ∣ −∣CF∣∣EF∣ ⋅∣OC∣∣CF∣ (поскольку ∣OD∣ = ∣OG∣ − ∣EF∣) = cosα⋅cosβ − sinα⋅sinβ.

Формула разности косинусов может быть получена из формулы суммы косинусов заменой β \ betaβ на −β, — \ beta, −β и использованием cos⁡ (−β) = cos⁡β \ cos (- \ beta) = \ cos \ betacos (−β) = cosβ и sin⁡ (−β) = — sin⁡β: \ sin (- \ beta) = — \ sin \ beta: sin (−β) = — sinβ:

cos⁡ (α + β) = cos⁡α⋅cos⁡β − sin⁡α⋅sin⁡β⇒cos⁡ (α − β) = cos⁡α⋅cos⁡ (−β) −sin⁡α⋅sin⁡ (-Β) = cos⁡α⋅cos⁡β + sin⁡α⋅sin⁡β.\ begin {выровнено} \ cos (\ alpha + \ beta) & = \ cos \ alpha \ cdot \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ cdot \ sin \ beta \\ \ Rightarrow \ cos (\ alpha — \ beta) & = \ cos \ alpha \ cdot \ cos (- \ beta) — \ sin \ alpha \ cdot \ sin (- \ beta) \\ & = \ cos \ alpha \ cdot \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ cdot \ sin \ beta. \ end {выровнен} cos (α + β) ⇒cos (α − β) = cosα⋅cosβ − sinα⋅sinβ = cosα⋅cos (−β) −sinα⋅sin (−β) = cosα⋅cosβ + sinα⋅ sinβ.

Таким образом, у нас есть следующие две формулы косинус-суммы и косинус-разности:

Формула косинус-суммы : cos⁡ (α + β) = cos⁡α⋅cos⁡β − sin⁡α⋅sin⁡β, \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos \ alpha \ cdot \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ cdot \ sin \ beta, cos (α + β) = cosα⋅cosβ − sinα⋅sinβ,

Формула разности косинусов : cos⁡ (α − β) = cos⁡α⋅cos⁡β + sin⁡α⋅sin⁡β.2}} = \ frac {5 \ sqrt {3}} {14}. \ end {выровнен} cosαcosβ = 1 − sin2α = 1−142132 = 1433, = 1 − sin2β = 1−142112 = 1453.

Таким образом, из формулы суммы косинусов имеем

cos⁡ (α + β) = cos⁡α⋅cos⁡β − sin⁡α⋅sin⁡β = 3314 × 5314−1314 × 1114 = −12. \ begin {выровнено} \ cos (\ alpha + \ beta) & = \ cos \ alpha \ cdot \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ cdot \ sin \ beta \\ & = \ frac {3 \ sqrt {3}} {14} \ times \ frac {5 \ sqrt {3}} {14} — \ frac {13} {14} \ times \ frac {11} {14} \ \ & = — \ frac {1} {2}. \ end {выровнен} cos (α + β) = cosα⋅cosβ − sinα⋅sinβ = 1433 × 1453 −1413 × 1411 = −21.

Следовательно, поскольку 0 <α + β <π, 0 <\ alpha + \ beta <\ pi, 0 <α + β <π, мы можем получить α + β \ alpha + \ beta α + β следующим образом:

cos⁡ (α + β) = — 12⇒α + β = 23π. □ \ begin {align} \ cos (\ alpha + \ beta) & = — \ frac {1} {2} \\ \ Rightarrow \ alpha + \ beta & = \ frac {2} {3} \ pi. \ _\квадрат \ end {align} cos (α + β) ⇒α + β = −21 = 32 π. □

Как использовать двойные угловые идентификаторы

Использование двойных угловых идентификаторов в тригонометрии

Тождества в математике показывают нам уравнения, которые всегда верны.Существует много тригонометрических тождеств (Загрузите здесь таблицу тригонометрических тождеств), но сегодня мы сосредоточимся на тождествах с двойным углом, названных из-за того, что они включают тригонометрические функции двойных углов, такие как sinθ \ thetaθ, cos2θ \ thetaθ, и tan2θ \ thetaθ. Без этих формул сложно упростить сложные тригонометрические функции.

Как использовать тождества с двойным углом Во-первых, что такое тождество с двойным углом? Давайте посмотрим на таблицу идентичности тригонометрии здесь:

3 основных тригонометрических тождества В некотором смысле, двойные углы синуса и тангенса очень просты, потому что для них есть только одна формула.Косинус 2θ \ thetaθ на самом деле сложный, потому что, когда вы видите вопрос, вы не знаете, использовать ли первое, второе или третье выражение. Но не беспокойтесь слишком сильно, потому что, поскольку у вас есть три версии косинуса на выбор, вы действительно сможете сделать свой выбор в зависимости от того, какую информацию вам предоставляет проблема и какую из них проще всего применить.

А пока давайте взглянем на некоторые примеры тождеств с двойным углом. Используя приведенную выше шпаргалку по тригонометрическим идентификаторам, мы можем пройти через это руководство по тригонометрическим идентификаторам:

Вопрос

Если вы посмотрите на диаграмму тригонометрических тождеств, вы не найдете числа, за которым следует синус, а затем косинус — ни в частных тождествах, ни во взаимных тождествах, ни в тождествах Пифагора, ни в суммах и различиях тождеств.

двойная угловая идентичность Однако вы можете найти этот образец в двойных углах для синуса. Идентичность двойного угла синуса имеет номер, за которым следует синус, а затем косинус. Теперь мы знаем, что хотим использовать эту формулу для ответа на этот конкретный вопрос. Мы должны изменить формулу, которую нам дают, на то, что мы хотим.

Для обеих формул у нас есть синус, косинус, что хорошо. Но число впереди наших проблем — 14, тогда как в тождестве с двойным углом число впереди — 2. Каким должен быть наш следующий шаг? Умножьте все выражение на 7.Это даст нам 7 (sin2θ \ thetaθ). Умножив это на правую часть уравнения, мы получим:

двойной угол идентичности шаг 2 Теперь мы на шаг ближе к решению проблемы. Следующее, что нам нужно сделать, это заменить тэту на 6х.

Позволять ? = 6x, что дает нам:

двойной угол идентичности шаг 2 Разве это не именно то, что был задан в первоначальном вопросе? Оказывается, что Вопрос фактически равно 7sin (2 * 6x). Вы только что завершили проверку идентификаторов триггеров с помощью идентификаторов с двойным углом.Это один из примеров доказательств множества тригонометрических тождеств, которые можно решить с помощью тригонометрических тождеств с двойным углом.

Формулы сложения и вычитания для тангенса и котангенса

Формула сложения касательной

На предыдущей странице мы вывели тождества сложения для синуса и косинуса:

\ [{\ sin \ left ({\ alpha + \ beta} \ right)} = {\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta,} \]

\ [{\ cos \ left ({\ alpha + \ beta} \ right)} = {\ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta.} \]

Предположим теперь, что \ (\ cos \ left ({\ alpha + \ beta} \ right) \ ne 0, \) или \ (\ alpha + \ beta \ ne \ frac {\ pi} {2} + \ pi n , \) \ (n \ in \ mathbb {Z}. \) Кроме того, пусть также \ (\ cos \ alpha \ ne 0 \) и \ (\ cos \ beta \ ne 0, \), то есть \ (\ alpha, \ beta \ ne \ frac {\ pi} {2} + \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z}, \), чтобы мы могли разделить на \ (\ cos \ alpha \ cos \ бета. \)

Тогда формула сложения касательной дается как

\ [\ require {cancel} {\ tan \ left ({\ alpha + \ beta} \ right)} = {\ frac {{\ sin \ left ({\ alpha + \ beta} \ right)}} {{ \ cos \ left ({\ alpha + \ beta} \ right)}} = {\ frac {{\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta}} {{\ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta}}} = {\ frac {{\ frac {{\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta}} {{\ cos \ alpha}) \ cos \ beta}}}} {{\ frac {{\ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta}} {{\ cos \ alpha \ cos \ beta}}}} = { \ frac {{\ frac {{\ sin \ alpha \ cancel {\ cos \ beta}}} {{\ cos \ alpha \ cancel {\ cos \ beta}}} + \ frac {{\ cancel {\ cos \ alpha } \ sin \ beta}} {{\ cancel {\ cos \ alpha} \ cos \ beta}}}} {{\ frac {\ cancel {\ cos \ alpha \ cos \ beta}} {\ cancel {\ cos \ alpha \ cos \ beta}} — \ frac {{\ sin \ alpha \ sin \ beta}} {{\ cos \ alpha \ cos \ beta}}}} = {\ frac {{\ tan \ alpha + \ tan \ beta}} {{1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta}}.} \]

Следовательно,

Формула вычитания касательной

Функция тангенса нечетная:

\ [{\ tan \ left ({- \ beta} \ right)} = {\ frac {{\ sin \ left ({- \ beta} \ right)}} {{\ cos \ left ({- \ beta } \ right)}}} = {\ frac {{- \ sin \ beta}} {{\ cos \ beta}}} = {- \ tan \ beta.} \]

Заменяя \ (\ beta \ на — \ beta \) в формуле сложения касательной, мы получаем формулу вычитания касательной:

\ [{\ tan \ left ({\ alpha — \ beta} \ right)} = {\ frac {{\ tan \ alpha + \ tan \ left ({- \ beta} \ right)}} {{1 — \ tan \ alpha \ tan \ left ({- \ beta} \ right)}}} = {\ frac {{\ tan \ alpha — \ tan \ beta}} {{1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta} }.} \]

Таким образом,

Формула сложения котангенса

Аналогичным образом мы можем установить тождество сложения для котангенса.

Пусть \ (\ sin \ left ({\ alpha + \ beta} \ right) \ ne 0, \) то есть \ (\ alpha + \ beta \ ne \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z}. \) Мы также предполагаем, что \ (\ sin \ alpha \ ne 0 \) и \ (\ sin \ beta \ ne 0, \) или \ (\ alpha, \ beta \ ne \ pi n, \) \ (n \ in \ mathbb {Z}, \), чтобы можно было разделить на \ (\ sin \ alpha \ sin \ beta. \)

Тогда у нас

\ [{\ cot \ left ({\ alpha + \ beta} \ right)} = {\ frac {{\ cos \ left ({\ alpha + \ beta} \ right)}} {{\ sin \ left ( {\ alpha + \ beta} \ right)}}} = {\ frac {{\ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta}} {{\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta}} = {\ frac {{\ frac {{\ cos \ alpha \ cos \ beta — \ sin \ alpha \ sin \ beta}} {{\ sin \ alpha \ sin \ beta} }}} {{\ frac {{\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta}} {{\ sin \ alpha \ sin \ beta}}}}} = {\ frac {{\ frac {{\ cos \ alpha \ cos \ beta}} {{\ sin \ alpha \ sin \ beta}} — \ frac {\ cancel {\ sin \ alpha \ sin \ beta}} {\ cancel {\ sin \ alpha} \ sin \ beta}}}} {{\ frac {{\ cancel {\ sin \ alpha} \ cos \ beta}} {{\ cancel {\ sin \ alpha} \ sin \ beta}} + \ frac {{\ cos \ alpha \ cancel {\ sin \ beta}}} {{\ sin \ alpha \ cancel {\ sin \ beta}}}}}} = {\ frac {{\ cot \ alpha \ cot \ beta — 1}} {{\ cot \ beta + \ cot \ alpha}}.} \]

Мы получили следующий результат:

Котангенс суммы двух углов можно также выразить через тангенсы:

Формула вычитания котангенса

Прежде всего отметим, что функция котангенса нечетная:

\ [{\ cot \ left ({- \ alpha} \ right)} = {\ frac {{\ cos \ left ({- \ alpha} \ right)}} {{\ sin \ left ({- \ alpha } \ right)}}} = {\ frac {{\ cos \ alpha}} {{- \ sin \ alpha}}} = {- \ cot \ alpha.} \]

Теперь мы можем легко вывести формулу вычитания котангенса.Он получается заменой \ (\ beta \ на — \ beta \) в формуле сложения котангенса:

\ [{\ cot \ left ({\ alpha — \ beta} \ right)} = {\ frac {{\ cot \ alpha \ cot \ left ({- \ beta} \ right) — 1}} {{\ кроватка \ alpha + \ cot \ left ({- \ beta} \ right)}}} = {\ frac {{- \ cot \ alpha \ cot \ beta — 1}} {{\ cot \ alpha — \ cot \ beta }}} = {\ frac {{\ cot \ alpha \ cot \ beta + 1}} {{\ cot \ beta — \ cot \ alpha}}.} \]

Итак, имеем

В терминах касательных формула вычитания котангенса равна

.

---

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.\ circ. \)

Пример 3

Найдите значение \ (\ tan \ left ({\ large {\ frac {\ pi} {3}} \ normalsize + \ alpha} \ right) \), если \ (\ cos \ alpha = 0.6 \) и угол \ (\ alpha \) лежит в квадранте \ (4 \ text {th} \).

Пример 4

Найдите значение \ (\ cot \ left ({\ large {\ frac {\ pi} {4}} \ normalsize — \ beta} \ right) \), если \ (\ sin \ beta = -0. 2}}} {{\ left ({\ sqrt 3 — 1} \ right) \ left ({\ sqrt 3 + 1} \ right)}}} = {\ frac {{3 + 2 \ sqrt 3 + 1 }} {{3 — 1}}} = {\ frac {{4 + 2 \ sqrt 3}} {2}} = {2 + \ sqrt 3.2}}} {{\ left ({\ sqrt 3 — 1} \ right) \ left ({\ sqrt 3 + 1} \ right)}}} = {\ frac {{3 + 2 \ sqrt 3 + 1} } {{3 — 1}}} = {\ frac {{4 + 2 \ sqrt 3}} {2}} = {2 + \ sqrt 3.} \]

Пример 3.

Найдите значение \ (\ tan \ left ({\ large {\ frac {\ pi} {3}} \ normalsize + \ alpha} \ right) \), если \ (\ cos \ alpha = 0.6 \) и угол \ (\ alpha \) лежит в квадранте \ (4 \ text {th} \).

Решение.

Сначала мы определяем \ (\ sin \ alpha \), используя тригонометрическое тождество Пифагора. Синус имеет отрицательное значение, потому что \ (\ alpha \) находится в квадранте \ (4 \ text {th} \).2}}} = {- \ sqrt {1 — 0,36}} = {- \ sqrt {0,64}} = {- 0,8} \]

Следовательно, тангенс равен

\ [{\ tan \ alpha = \ frac {{\ sin \ alpha}} {{\ cos \ alpha}}} = {\ frac {{- 0.8}} {{0.6}}} = {- \ frac { 4} {3}.} \]

Теперь мы можем вычислить \ (\ tan \ left ({\ large {\ frac {\ pi} {3}} \ normalsize + \ alpha} \ right): \)

\ [{\ tan \ left ({\ frac {\ pi} {3} + \ alpha} \ right)} = {\ frac {{\ tan \ frac {\ pi} {3} + \ tan \ alpha} } {{1 — \ tan \ frac {\ pi} {3} \ tan \ alpha}}} = {\ frac {{\ sqrt 3 — \ frac {4} {3}}} {{1 — \ sqrt 3 \ cdot \ left ({- \ frac {4} {3}} \ right)}}} = {\ frac {{3 \ sqrt 3–4}} {{4 \ sqrt 3 + 3}}} = {\ frac {{\ left ({3 \ sqrt 3 — 4} \ right) \ left ({4 \ sqrt 3 — 3} \ right)}} {{\ left ({4 \ sqrt 3 + 3} \ right) \ left ({4 \ sqrt 3 — 3} \ right)}}} = {\ frac {{36 — 16 \ sqrt 3 — 9 \ sqrt 3 + 12}} {{48 — 9}}} = {\ frac { {48–25 \ sqrt 3}} {{39}}.2}}} = {- \ sqrt {1 — 0,64}} = {- \ sqrt {0,36}} = {- 0,6} \]

Следовательно,

\ [{\ cot \ beta = \ frac {{\ cos \ beta}} {{\ sin \ beta}}} = {\ frac {{- 0.6}} {{- 0.8}}} = {\ frac { 3} {4}.} \]

По формуле вычитания котангенса,

\ [{\ cot \ left ({\ frac {\ pi} {4} — \ beta} \ right)} = {\ frac {{\ cot \ frac {\ pi} {4} \ cot \ beta + 1 }} {{\ cot \ beta — \ cot \ frac {\ pi} {4}}}} = {\ frac {{1 \ cdot \ frac {3} {4} + 1}} {{\ frac {3 } {4} — 1}}} = {\ frac {{\ frac {7} {4}}} {{- \ frac {1} {4}}}} = {- 7.2} \ alpha}} \ cos 2 \ alpha — \ sin 2 \ alpha} = {\ tan 2 \ alpha \ cos 2 \ alpha — \ sin 2 \ alpha} = {\ frac {{\ sin 2 \ alpha \ cancel) {\ cos 2 \ alpha}}} {\ cancel {\ cos 2 \ alpha}} — \ sin 2 \ alpha} = {\ sin 2 \ alpha — \ sin 2 \ alpha} = {0.} \]

При делении на \ (\ cos2 \ alpha \) предполагается, что

\ [{\ cos 2 \ alpha \ ne 0,} \; \; \ Rightarrow {2 \ alpha \ ne \ frac {\ pi} {2} + \ pi n,} \; \; \ Rightarrow {\ alpha \ ne \ frac {\ pi} {4} + \ frac {{\ pi n}} {2}, \;} \ kern0pt {n \ in \ mathbb {Z}.} \]

Пример 6.

Упростите выражение \ [\ frac {{\ tan \ frac {{31 \ pi}} {{36}} — \ tan \ frac {\ pi} {9}}} {{1 — \ tan \ frac {{5 \ pi}] } {{36}} \ tan \ frac {\ pi} {9}}}.\]

Решение.

Перепишем первый член в числителе в виде

\ [{\ tan \ frac {{31 \ pi}} {{36}} = \ tan \ frac {{36 \ pi — 5 \ pi}} {{36}}} = {\ tan \ left ({ \ pi — \ frac {{5 \ pi}} {{36}}} \ right).} \]

Касательная — нечетная функция с периодом \ (\ pi. \), Поэтому

\ [{\ tan \ frac {{31 \ pi}} {{36}} = \ tan \ left ({\ pi — \ frac {{5 \ pi}} {{36}}} \ right)} = {\ tan \ left ({- \ frac {{5 \ pi}} {{36}}} \ right)} = {- \ tan \ frac {{5 \ pi}} {{36}}.} \]

Подставьте этот результат в исходное выражение и упростите, используя формулу сложения касательных:

\ [{\ frac {{\ tan \ frac {{31 \ pi}} {{36}} — \ tan \ frac {\ pi} {9}}} {{1 — \ tan \ frac {{5 \ pi}} {{36}} \ tan \ frac {\ pi} {9}}}} = {\ frac {{- \ tan \ frac {{5 \ pi}} {{36}} — \ tan \ frac {\ pi} {9}}} {{1 — \ tan \ frac {{5 \ pi}} {{36}} \ tan \ frac {\ pi} {9}}}} = {- \ frac {{ \ tan \ frac {{5 \ pi}} {{36}} + \ tan \ frac {\ pi} {9}}} {{1 — \ tan \ frac {{5 \ pi}} {{36}} \ tan \ frac {\ pi} {9}}}} = {- \ tan \ left ({\ frac {{5 \ pi}} {{36}} + \ frac {\ pi} {9}} \ right )} = {- \ tan \ frac {{5 \ pi + 4 \ pi}} {{36}}} = {- \ tan \ frac {{9 \ pi}} {{36}}} = {- \ загар \ frac {\ pi} {4}} = {- 1.2} \ frac {\ pi} {{24}}}} \ text {=}} \ kern0pt {\ frac {{\ left ({\ tan \ frac {{7 \ pi}} {{24}} — \ tan \ frac {\ pi} {{24}}} \ right) \ left ({\ tan \ frac {{7 \ pi}} {{24}} + \ tan \ frac {\ pi} {{24}}) } \ right)}} {{\ left ({1 — \ tan \ frac {{7 \ pi}} {{24}} \ tan \ frac {\ pi} {{24}}} \ right) \ left ( {1 + \ tan \ frac {{7 \ pi}} {{24}} \ tan \ frac {\ pi} {{24}}} \ right)}}} = {\ frac {{\ tan \ frac { {7 \ pi}} {{24}} — \ tan \ frac {\ pi} {{24}}}} {{1 + \ tan \ frac {{7 \ pi}} {{24}} \ tan \ frac {\ pi} {{24}}}} \ cdot \ frac {{\ tan \ frac {{7 \ pi}} {{24}} + \ tan \ frac {\ pi} {{24}}}} {{1 — \ tan \ frac {{7 \ pi}} {{24}} \ tan \ frac {\ pi} {{24}}}}} = {\ tan \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {{24}} — \ frac {\ pi} {{24}}} \ right) \ tan \ left ({\ frac {{7 \ pi}} {{24}} + \ frac {\ pi } {{24}}} \ right)} = {\ tan \ frac {{6 \ pi}} {{24}} \ tan \ frac {{8 \ pi}} {{24}}} = {\ tan \ frac {\ pi} {4} \ tan \ frac {\ pi} {3}} = {1 \ cdot \ sqrt 3} = {\ sqrt 3.} \]

Пример 8.

Докажи это \ [\ tan \ left ({\ alpha + \ beta} \ right) \ gt \ tan \ alpha + \ tan \ beta \] если \ (0 \ lt \ alpha \ lt \ large {\ frac {\ pi} {4}} \ normalsize \) и \ (0 \ lt \ beta \ lt \ large {\ frac {\ pi} {4}} \нормальный размер.\)

Решение.

По формуле сложения по касательной,

\ [{\ tan \ left ({\ alpha + \ beta} \ right)} = {\ frac {{\ tan \ alpha + \ tan \ beta}} {{1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta} }.} \]

Касательная функция увеличивается в своей области определения.Итак, если \ (0 \ lt \ alpha \ lt \ large {\ frac {\ pi} {4}} \ normalsize, \), то \ (0 \ lt \ tan \ alpha \ lt 1. \) Аналогично, если \ (0 \ lt \ beta \ lt \ large {\ frac {\ pi} {4}} \ normalsize, \), затем \ (0 \ lt \ tan \ beta \ lt 1. \)

Это означает, что произведение \ (\ tan \ alpha \ tan \ beta \) меньше \ (1. \) Следовательно, у нас есть

\ [0 \ lt \ tan \ alpha \ tan \ beta \ lt 1, \]

\ [\ Rightarrow — 1 \ lt — \ tan \ alpha \ tan \ beta \ lt 0, \]

\ [\ Rightarrow 0 \ lt 1 — \ tan \ alpha \ tan \ beta \ lt 1. \ prime \ left ({{x_0}} \ right),} \]

где \ (x_0 \) — точка пересечения.3}}} = — 2.} \]

Чтобы определить угол между кривыми, мы используем тождество вычитания касательной:

\ [{\ tan \ gamma = \ tan \ left ({\ alpha — \ beta} \ right)} = {\ frac {{\ tan \ alpha — \ tan \ beta}} {{1 + \ tan \ alpha} \ tan \ beta}}} = {\ frac {{- 2 — 1}} {{1 + \ left ({- 2} \ right) \ cdot 1}}} = {\ frac {{- 3}} { {- 1}}} = {3.} \]

4. Формулы полуугловых

М. Борна

Мы разработаем формулы для синуса, косинуса и тангенса половинного угла.

Формула полуугла — синус

Начнем с формулы косинуса двойного угла, с которой мы познакомились в предыдущем разделе.

cos 2 θ = 1− 2sin2 θ

Сводка формул

На этой странице мы выводим следующие формулы:

`sin (альфа / 2) = + — sqrt ((1-cos alpha) / 2`

`cos (альфа / 2) = + — sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

`tan (alpha / 2) = (1-cos alpha) / (sin alpha`

Теперь, если мы допустим

`тета = альфа / 2`

, затем 2 θ = α , и наша формула принимает следующий вид:

`cos α = 1-2 \ sin ^ 2 (α / 2)`

Теперь решаем

`sin (альфа / 2)`

(То есть мы получаем sin (alpha / 2) слева от уравнения, а все остальное справа):

`2 \ sin ^ 2 (α / 2) = 1 — cos α`

`sin ^ 2 (α / 2) = (1 — cos α) / 2`

Решение дает нам следующий синус для тождества полуугла :

`sin (альфа / 2) = + — sqrt ((1-cos alpha) / 2`

Знак (положительный или отрицательный) sin (alpha / 2) зависит от квадранта. 2 (альфа / 2) = (1 + cos alpha) / 2`

Решая относительно cos (α / 2), получаем:

`cos (альфа / 2) = + — sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

Как и раньше, нужный нам знак зависит от квадранта.

Если α / 2 находится в первом или четвертом квадранте , формула использует положительный случай:

`cos (альфа / 2) = sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

Если α / 2 находится во втором или третьем квадранте , в формуле используется отрицательный регистр:

`cos (альфа / 2) = — sqrt ((1 + cos alpha) / 2`

Формула полуугла — касательная

Тангенс половины угла определяется по формуле:

`tan (alpha / 2) = (1-cos alpha) / (sin alpha)`

Проба

Сначала напомним «tan x = (sin x) / (cos x)».2а)) `

Затем находим квадратный корень:

`= (1-cos a) / (sin a)`

Конечно, нам нужно будет делать поправку на положительные и отрицательные знаки, в зависимости от рассматриваемого квадранта. @`, используя приведенное выше соотношение половинного угла синуса.(текст (o))) / 2) `

`= + — sqrt (((1 + 0.866)) / 2)`

`= 0,9659`

Первый квадрант, значит положительный.

2. Найдите значение sin (alpha / 2), если cos alpha = 12/13, где 0 ° < α <90 °.

Ответ

`sin (альфа / 2) = + — sqrt ((1-cos alpha) / 2)`

`= sqrt ((1-12 / 13) / 2)`

`= sqrt ((1/13) / 2)`

`= sqrt (1/26)`

`= 0,1961`

Мы выбираем позитив, потому что находимся в первом квадранте.2сек \ theta`

`= (1 + cos theta) sec \ theta`

`= (1 + cos theta) 1 / (cos theta)`

`= сек \ theta + 1`

`=» RHS «`

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan \ left ({\ frac {\ eta \ pm \ theta} {2}} \ right) & = {\ frac {\ sin \ eta \ pm \ sin \ theta} {\ cos \ eta + \ cos \ theta}} = — {\ frac {\ cos \ eta — \ cos \ theta} {\ sin \ eta \ mp \ sin \ theta}}, \\ [10pt] \ tan \ left (\ pm {\ frac {\ theta} {2}} \ right) & = {\ frac {\ pm \ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}} = {\ frac {\ pm \ tan \ theta} {\ sec \ theta +1}} = {\ frac {\ pm 1} {\ csc \ theta + \ cot \ theta}}, && (\ eta = 0) \\ [10pt] \ tan \ left ( \ pm {\ frac {\ theta} {2}} \ right) & = {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ pm \ sin \ theta}} = {\ frac {\ sec \ theta -1} {\ pm \ tan \ theta}} = \ pm (\ csc \ theta — \ cot \ theta), && (\ eta = 0) \\ [10pt] \ tan \ left ({\ frac {1} {2} } (\ theta \ pm {\ frac {\ pi} {2}}) \ right) & = {\ frac {1 \ pm \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} = \ sec \ theta \ pm \ tan \ theta = {\ frac {\ csc \ theta \ pm 1} {\ cot \ theta}}, && (\ eta = {\ frac {\ pi} {2}}) \\ [10pt] \ tan \ left ({\ frac {1} {2}} (\ theta \ pm {\ frac {\ pi} {2}}) \ right) & = {\ frac {\ cos \ theta} {1 \ mp \ sin \ theta }} = {\ frac {1} {\ sec \ theta \ mp \ tan \ theta}} = {\ frac {\ cot \ theta} {\ csc \ theta \ mp 1}}, && (\ et a = {\ frac {\ pi} {2}}) \\ [10pt] {\ frac {1- \ tan (\ theta / 2)} {1+ \ tan (\ theta / 2)}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ sin \ theta} {1+ \ sin \ theta}}} \\ [10pt] \ tan {\ frac {\ theta} {2}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {1+ \ cos \ theta}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan \ left ({\ frac {\ eta \ pm \ theta} {2}} \ right) & = {\ frac {\ sin \ eta \ pm \ sin \ theta} {\ cos \ eta + \ cos \ theta}} = — {\ frac {\ cos \ eta — \ cos \ theta} {\ sin \ eta \ mp \ sin \ theta}}, \\ [10pt] \ tan \ left (\ pm {\ frac {\ theta} {2}} \ right) & = {\ гидроразрыв {\ pm \ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}} = {\ frac {\ pm \ tan \ theta} {\ sec \ theta +1}} = {\ frac {\ pm 1} {\ csc \ theta + \ cot \ theta}}, && (\ eta = 0) \\ [10pt] \ tan \ left (\ pm {\ frac {\ theta} {2}} \ right) & = {\ frac { 1- \ cos \ theta} {\ pm \ sin \ theta}} = {\ frac {\ sec \ theta -1} {\ pm \ tan \ theta}} = \ pm (\ csc \ theta — \ cot \ theta ), && (\ eta = 0) \\ [10pt] \ tan \ left ({\ frac {1} {2}} (\ theta \ pm {\ frac {\ pi} {2}}) \ right) & = {\ frac {1 \ pm \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} = \ sec \ theta \ pm \ tan \ theta = {\ frac {\ csc \ theta \ pm 1} {\ cot \ theta} } , && (\ eta = {\ frac {\ pi} {2}}) \\ [10pt] \ tan \ left ({\ frac {1} {2}} (\ theta \ pm {\ frac {\ pi} {2}}) \ right) & = {\ frac {\ cos \ theta} {1 \ mp \ sin \ theta}} = {\ frac {1} {\ sec \ theta \ mp \ tan \ theta}} = {\ frac {\ cot \ theta} {\ csc \ theta \ mp 1}}, && (\ eta = {\ frac {\ pi} {2}}) \\ [10pt] {\ frac {1- \ tan (\ theta / 2)} {1+ \ tan (\ theta / 2)}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ sin \ theta} {1+ \ sin \ theta}}} \\ [10pt] \ tan {\ frac {\ theta} {2}} & = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {1+ \ cos \ theta}}} \ end {выровнено}} }

Иллюстративная математика

Задача

В этом задании вы покажете, как все формулы углов суммы и разности могут быть получены из одной формулы в сочетании с уже изученными отношениями.

Для следующей задачи предположим, что формула суммы углов для синуса верна. А именно, $$ \ sin (\ theta + \ phi) = \ sin \ theta \ cos \ phi + \ cos \ theta \ sin \ phi.

$

1. Чтобы вывести формулу разностного угла для синуса, запишите $ \ sin (\ theta- \ phi) $ как $ \ sin (\ theta + (- \ phi)) $ и примените формулу суммы углов для синуса к углам $ \ theta $ и $ — \ phi $. Используйте тот факт, что синус — это нечетная функция, а косинус — четная функция, чтобы упростить свой ответ. Сделайте вывод, что $$ \ sin (\ theta- \ phi) = \ sin (\ theta) \ cos (\ phi) — \ cos (\ theta) \ sin (\ phi).$$
2. Чтобы вывести формулу суммы углов для косинуса, используйте то, что вы узнали в (a), чтобы показать, что $$ \ cos (\ theta + \ phi) = \ cos \ theta \ cos \ phi — \ sin \ theta \ sin \ phi. $$ Вы можете начать с исследования $ \ sin \ left (\ frac {\ pi} {2} — (\ theta + \ phi) \ right) $.
3. Вывести формулу разностного угла для косинуса, $$ \ cos (\ theta- \ phi) = \ cos \ theta \ cos \ phi + \ sin \ theta \ sin \ phi. $$
4. Вывести формулу суммы углов для тангенса, $$ \ tan (\ theta + \ phi) = \ frac {\ tan \ theta + \ tan \ phi} {1- \ tan \ theta \ tan \ phi}.$$
5. Вывести формулу разностного угла для тангенса, $$ \ tan (\ theta- \ phi) = \ frac {\ tan \ theta- \ tan \ phi} {1+ \ tan \ theta \ tan \ phi}. $$

IM Комментарий

Цель этого задания — научить учащихся вывести формулы сложения и вычитания для косинуса и тангенса, а также формулу вычитания для косинуса из формулы суммы для синуса. Задача предоставляет различные уровни строительных лесов, указывая на возможные взаимосвязи, которые можно использовать на ранней стадии, но оставляя больше творческой работы для ученика позже.Кроме того, в задаче используется формула суммы углов для синуса и показано, как должны следовать другие формулы суммы и разности.

Этот текст этой задачи и ее решение предполагает знакомство с греческими буквами theta $ (\ theta) $ и phi $ (\ phi) $. Однако некоторые учителя или книги будут использовать альфа $ (\ alpha) $ и бета $ (\ beta) $. Третьи используют латинские буквы, такие как $ u $ и $ v $ или $ A $ и $ B $. Преподаватели могут свободно менять буквы, чтобы они соответствовали буквам их источника, поскольку выбор букв не важен; полезны именно отношения, которые представляют буквы.

Прежде чем приступить к этой задаче, ученики должны знать, что синус нечетный (следовательно, $ \ sin (- \ theta) = — \ sin (\ theta)) $, а косинус четный (следовательно, $ \ cos (- \ theta) = \ cos (\ theta)) $, как в стандартном F-TF.4. Студенты должны знать отношения между синусом, косинусом и тангенсом, указанные в стандарте G-SRT.6. Кроме того, учащиеся должны знать соотношение между тригонометрическими значениями «дополнительных» углов, найденными в стандарте G-SRT.7, ($ \ sin (\ theta) = \ cos (\ pi / 2- \ theta) $ и т. Д.) .

Основная задача этой задачи — показать, как один результат может быть расширен до семейства результатов с использованием известных отношений.Это центральная стратегия математического мышления, иллюстрирующая Стандарты математической практики 7 и 8, поиск структуры и использование повторяющихся рассуждений.