Формулы кубических уравнений: Электронная библиотека БГУ: Invalid Identifier

Примеры решений кубических уравнений

Обзор методов решения кубических уравнений приведен на странице “Решение кубических уравнений”. Здесь мы приводим два примера, используя формулы Кардано и Виета.

Пример решения кубического уравнения с комплексными корнями

Решить кубическое уравнение:
(1.1)   .

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (1.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, не содержит ли это уравнение целых корней. Член без – это 1. У числа 1 есть два делителя: 1 и – 1. Подставим в уравнение (1.1) и . Ни для одного из этих чисел уравнение не выполняется. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

Пусть обозначают коэффициенты при , и свободный член. Делаем подстановку
(1.2)   .
В результате получаем уравнение приведенного вида:
(1.3)   ,
где
;
.

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Для этого находим дискриминант:
.
Дискриминант положителен. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных.

Нахождение корней по формуле Кардано

Поскольку дискриминант положителен, то находим корни по формуле Кардано:
,   ,
где
;   ;   .
При , для величин и , можно взять действительные значения корней. Тогда соотношение     выполняется автоматически.

В нашем случае:
;
;
;
;
;
;
;

;
.

Итак, мы нашли корни неполного кубического уравнения. По формуле (1.2) находим корни исходного уравнения:
.

Ответ

;

;

.

Пример с действительными корнями

Решить кубическое уравнение:
(2.1)   .

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (2.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, нет ли у этого уравнения целых корней. Свободный член – это 1. У него есть два делителя: 1 и – 1. Подставим в уравнение (2.1) и . Уравнение не выполняется ни для одного из этих чисел. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

В исходном уравнении (2.1),
.
Делаем подстановку
(2.2)  
и приводим уравнение (2.1) к приведенному (неполному) виду:
(2.3)   ,
где
;
.

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен. Следовательно, уравнение имеет три действительных корня.

Нахождение корней по формуле Виета

Поскольку дискриминант отрицателен, то находим корни по формуле Виета:
;
;
;

;

.

Итак, мы нашли корни приведенного кубического уравнения. По формуле (2.2) находим корни исходного уравнения:
.

Ответ

;
;
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Новосибирска  «Лицей № 185»

                                                       Октябрьский район

                                                       Секция математики

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

Работу выполнили:

ученицы   специализированного 10 класса

Стрижкова Елизавета Евгеньевна,

Блинкова Анастасия Андреевна

                                                                                   Руководитель:

Жуковец Наталия Валерьевна

учитель математики

высшая квалификационная категория

Новосибирск 2016

Содержание.

1.   Введение
2.   Историческая справка
3.   Определение кубического уравнения
4.   Методы решения кубических уравнений

4.1. Разложение на множители

4.2. Способ понижения степени уравнения

     4. 3. Использование монотонности

     4.4. Графический способ

     4.5. Формула Виета

     4.6. Метод Кардано

     5.    Применение  дискриминанта кубического трехчлена

6.   Заключение

1.Введение

   «Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду» писал Л.Н.Толстой. И, действительно, решение кубических уравнений часто сводится к решению линейных и квадратных уравнений. Во многих задачах «торчат уши квадратного трехчлена» дает подсказку Черкасов О.Ю., обращаясь к  своим ученикам.

  Вот и мы, в школе на занятиях,  решая уравнения  третьей степени, то и дело в результате алгебраических преобразований получали линейные и квадратные уравнения. Линейные уравнения первой степени,  нас учили решать еще в первом классе. Есть формула  для  решения квадратных уравнений. А вот интересно, существует ли формула корней кубического уравнения. Нам стало интересно  узнать, не попытались ли известные  математики отыскать общую формулу, пригодную для решения  кубических  уравнений?  А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

 Тогда мы решили проанализировать, какие способы решения кубических уравнений мы знаем, а также познакомиться с другими способами решения уравнений третьей степени. Ведь должен быть способ или способы, которым можно было бы решить любое кубическое уравнений. Знакомство с данными решениями не только дополняет и углубляет знания, но и развивает интерес к предмету, любознательность и логическое мышление. В этом заключается актуальность темы исследования. А начнем мы, пожалуй с исторической справки.

Цель работы:

Выявить и проанализировать способы решения уравнений третьей степени.

Задачи работы:

1. Познакомиться с историческими фактами, связанными с кубическими уравнениями.
2. Описать различные способы решения кубических уравнений.
3. Привести примеры различных способов решения таких уравнений.

2.  Определение кубического уравнения

Кубическое уравнение – это алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения:

ax3  + bx2 + cx + d = 0, a  ≠ 0

Это кубическое уравнение называется неприведённым, существуют также

приведённые кубические уравнения:

x3+px+q=0

3. История кубических уравнений

      Термин «кубическое уравнение» ввели Р. Декарт (1619 г.) и У. Оутред (1631г.). Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

    Математики средневекового Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате доказательств задач алгебры и алмукабалы «Омара Хайя» (около 1070 года).

    В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1953 г.). Открытие независимо повторил Тарталья (1535 г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.

    В конце 1534 года ученик Ферро Антонио Марио Фиоре вызвал на поединок математика из Венеции Никколо Тарталью. Тарталья был «опытным» бойцом в математических поединках и надеялся одержать над Фиоре легкую победу. Он не испугался и тогда, когда обнаружил, что все 30 задач Фиоре содержат кубические уравнения при различных а и b . Тарталья думал, что Фиоре сам не умеет решать предложенные задачи и надеялся разоблачить его. Когда уже почти истекли 50 дней, после которых надлежало сдать решения нотариусу, до Тартальи дошли слухи, что Фиоре обладает таинственным способом решения уравнения третьей степени. Тарталья приложил титанические  усилия, и за восемь дней до назначенного срока (срок истекал 12 февраля 1535 года) желанный способ был найден. За два часа Тарталья решил все задачи. Его противник не решил ни одной.

   В конце XV в. Профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод был найден.

4. Методы решения кубических уравнений
5. Применение  дискриминанта кубического трехчлена
6. Заключение

4. 1. Разложение на множители

Способ группировки

Пример 1.

     или    

                       

                                         

Ответ:

Пример 2.

Ответ:

4.2. Понижения степени уравнения.

Способ основан на теореме Безу и делении многочленов.

Теорема Безу:

 Если число a является корнем многочлена P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an-1x + an , где a0  ≠ 0, то этот многочлен можно представить в виде произведения (x – a)×P1(x), где P1(x)  – многочлен (n – 1) –й степени.

 

 (Этьенн Безу – французский математик XVIIIв., основные труды которого связаны с высшей алгеброй)

Для подбора одного из корней кубического уравнения может быть полезно следующее утверждение: 

Теорема:  Если уравнение имеет целые коэффициенты, причем свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

Пример:

Решить уравнение: y3 – y2 – 8y + 12 = 0.

Ищем первый корень перебором чисел, являющимися делителями свободного члена:  ±12, ±6, ±4, ±3, ±2, ±1 и подстановкой в уравнение. В результате находим, что при y = 2 – корень уравнения.

Тогда, для понижения степени уравнения и сведения кубического уравнения к квадратному, делим левую часть этого уравнения на двучлен y – 2, и получаем:

y3 – y2 – 8y + 12        y – 2

y3 – 2y2

        y2 + y — 6

y2 – 8y +12

y2 – 2y

-6y + 12

-6y + 12

               0

Теперь, решая квадратное уравнение: y2 + y – 6 = 0, находим оставшиеся два корня: y1 = -3, y2 = 2. Итак, два корня совпадающих y = 2.

Ответ: 2; -3.

4.3. Использование монотонности.

     Решим уравнение .

     Рассмотрим функцию у = х3 + 3 х — 4 в виде суммы двух функций

у = х3 и у = 3 х – 4.

Обе функции определены на множестве R  и являются возрастающими. Следовательно, их сумма – возрастающая функция. А так как всякая монотонная функция каждое своё значение может принимать лишь при одном значении аргумента, то и значение, равное нулю, она может принимать лишь при одном значении х.

     Значит, такое уравнение если имеет  действительный корень, то только один. Испытывая делители свободного члена, находим, что х = 1.

Ответ.  х = 1.

4.5. Графический.

 

Решить уравнение

Для решения уравнения запишем его в виде . Построим в одной системе координат графики функций  и . Графики пересекаются в точке, абсцисса которой приближенно равна 1,5

     С помощью графического метода можно приближенно находить корни уравнения или решать вопрос о количестве рациональных корней уравнения.

Ответ:

Этот способ не дает точного ответа. С его помощью можно определить лишь количество корней и их приближенное значение.

4.5.Формулы Виета

Если кубическое уравнение  имеет корни , , , то

Пример:

,

,

1 – 2 – 5 + 6 = 0 ,  корень уравнения

          .

Ответ. , .

4.6.Формула Кардано.

     Кубическое уравнение общего вида: 

ах3+вх2+сх+d=0,  а≠0  (1)

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

     I. Начнем с упрощения. Если кубическое уравнение общего вида 

ах3+bх2+сх+d=0, где а≠0,

разделить на х2, то коэффициент при х3 станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения

х3+Pх2+Qх+R=0  (2).

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

(а+b)3 =а3 +3а2 b + 3аb2 +b3

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь а

на х  и перегруппируем слагаемые:

(х+b)3 =х3 +3х2 b + 3хb2 +b3 (3) .

Сравнивая коэффициенты при х2 в равенствах (2) и (3), получим .  

Сложим уравнения  (2) и (3) и приведем подобные:

(х+b)3 +(P-3b)х2 + (Q-3b2 )x +Rr-b3 =0.

Если учесть  и сделать замену у = х + b, получим кубическое уравнение относительно у без члена с у2 :

у3 + py+q=0.

      Итак, мы показали, что в кубическом уравнении с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида

у3 + py+q=0

 II. Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

(а+b)3 =а3 +b3 + 3аb(а+b).

Пусть х=а+b тогда :

                  х3 = а3 +b3 + 3аbх, или   х3 — 3аbх — ( а3 +b3 ) = 0.

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (1), достаточно решить систему уравнений :.

             или            .

 

  Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Выразим: a3 = -q – b3 . Подставив в первое уравнение системы, получим

                                      

Отсюда, 

                                        .

Далее, выразив а3 , а и b через соответствующие кубические корни, получим искомое решение кубического уравнения:

,

где    — дискриминант кубического уравнения.

 

 Эта формула известная как формула Кардано.

  Кажется,  проблема решена.  Есть формула для  решения кубических уравнений. Формула есть, а вопросы остались: почему ее не используют в школе и как из нее получить три корня.

Рассмотрим примеры кубических уравнений, число корней которого нам заранее известно.

Пример 1.

х3-х-6=0 ( корень уравнения х=2)

p=-1

q=-6

Нашли дискриминант:

 

Это не тот корень, который мы ожидали: каждое из слагаемых представляет собой кубический корень. Кроме того, появилась новая задача: доказать, что выражение  — рациональное выражение.

Пример 2.

х3-3х+2=0

или (х-1)2(х+2)=0  (корни уравнения х1=-2; х2/3=1)

p=-3

q= 2

Нашли дискриминант:

Получили один корень, а ведь уравнение имеет еще два совпадающих корня.

 

Пример 3.

х3 – 7х +6=0

или (х-1)(х-2)(х+3)=0 (корни уравнения х1=1; х2=2; х3=-3)

p= -7

q = 6

Нашли дискриминант:

Под знаком квадратного корня оказалось отрицательное число. В чем же дело, ведь уравнение имеет три действительных корня?

 Обратившись к справочной литературе, мы узнали, что для полного решения кубического уравнения  необходимо применение формулы Кордано для комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ. Однако, есть и полезные для нас выводы.

Число корней   кубического уравнения вида  х3+рх+q=0                                                                                                                        зависит от знака дискриминанта следующим образом:

если ∆>0, то уравнение имеет 1 решение;

если ∆

если ∆=0, то уравнение имеет 2 решение.

 

5. Применение  дискриминанта кубического трехчлена

Эти выводы помогли нам при решении некоторых задач с параметром.

1. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение

х3-3х+4=а  имеет 1 решение?                                                                                                             Уравнение переписали  в виде  х3-3х+4-а=0;                                                                                 р= -3;  q=4-а.                                                                                                                           По условию оно должно иметь 1 решение, т.е. ∆>0.                                                          Найдем ∆.                                                                                                                                      ∆ = ()2 +(-)3= +(-1)3= ==

=                                а2 -8а+12>0

_+_    -___+___                       а  (-∞;2) (6; ∞)

     2        6        

Наименьшее натуральное значение а из этого промежутка – это 1.

Ответ. 1

2.  В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения   х3 – 3х – а=0

Решение. В уравнении р =-3; q = -а.                                                                                          ∆ = ()2  + ()3 =(-)2+(-1)3= -1=.

___+_______-_________+_

             -2                2

При а  (-∞;-2)  (2;∞)  уравнение имеет 1 решение;

При а  (-2;2) уравнение имеет 3 корня;

При а = -2; 2 уравнение имеет 2 решения.

6. Заключение

•     В процессе работы мы познакомились с историей изучения решения кубических уравнений.
•     Систематизировали известные   способы решения кубических уравнений и познакомились с новыми методами.
•    Мы увидели, насколько сложен вывод формулы для решения кубических уравнений и как долго к этому шли математики древности, математики эпохи Возрождения. Для них такие уравнения поначалу являлись новшеством.
•     Мы убедились в том, что формула решения уравнений третьей степени существует, но для полного решения кубического уравнения  необходимо применение формулы Кордано для комплексных чисел, о существовании которых мы узнали в ходе выполнения этой работы.

Мы уверены, что проделали полезную для себя работу, так как решение задач с помощью уравнений различных степеней всегда было и будет актуально.

7. Литература. 

1. Рыбников К.А. История математики. – М.: Изд-во МГУ, 1960.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Доп. гл. к шк. учеб. 9 кл.- М.: Просвещение,1997

Интернет-ресурсы

1. http://www.referat-web.ru/
2. http://100formul.ru/
3. http://ru.convdocs.org/

Предварительное исчисление алгебры

— Есть ли что-нибудь похожее на «кубическую формулу»?

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 10 месяцев назад

Изменено 5 месяцев назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Точно так же, как если бы у нас было квадратное уравнение с комплексными корнями, мы не смогли бы легко его разложить на множители. 2+cx+d=0$, но это не помогло.

Пожалуйста, помогите мне найти кубическую формулу или решить уравнения, подобные приведенным в примере, альтернативным методом.

• алгебра-предварительное исчисление
• многочлены
• корни
• кубики

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Да, у нас у есть кубическая формула! Методом Кардана…

---

9{3/2}}\right)\right)-\frac a3$$

Если $d<0$, используйте $\cos(3\theta)$ или $\cosh(3\theta)$ и соответствующую тройку формулы углов.

$\endgroup$

3

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Кубическое уравнение — Citizendium

	Основной артикул	Обсуждение	Статьи по теме     [?]	Библиография   [?]	Внешние ссылки   [?]	Версия для цитирования   [?]
	Эта редактируемая основная статья находится в разработке и подлежит отказу от ответственности . [изменить введение]

В математике, а точнее в алгебре, кубическое уравнение — это уравнение, включающее только полиномы третьей степени. Хотя кубические уравнения встречаются в реальных задачах реже, чем квадратные или линейные уравнения, они все же встречаются.

Каждое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет не более трех действительных корней, как это диктуется основной теоремой алгебры. Решение кубических уравнений сложнее, чем решение квадратных уравнений, где можно применить квадратную формулу, или линейных уравнений, которые можно решить с помощью арифметических операций. Как и в случае с квадратными уравнениями, для решения кубических уравнений существует замкнутая формула

, кубическая формула .

Кубическая формула намного сложнее, чем квадратичная. Кроме того, есть примеры кубических уравнений с действительными коэффициентами и тремя различными действительными решениями, для которых кубическая формула требует вычисления корня комплексного числа. Это сложнее, чем найти корень действительного числа, а это все, что требуется для квадратичной формулы. Именно эта трудность впервые продемонстрировала математикам полезность комплексных чисел.

Поскольку кубическая формула громоздка, большинство студентов учат решать только небольшой класс кубических уравнений, а именно те, которые имеют хотя бы один рациональный корень. Для таких уравнений все корни можно найти с помощью факторизации и возможного применения квадратичной формулы. Когда коэффициенты рациональны, начальный множитель можно легко найти с помощью теоремы о рациональном корне.

Кубические уравнения в приложениях

Решения кубических уравнений

Решение кубического уравнения начинается, если необходимо, с упрощения многочленов. Используя элементарные арифметические операции и комбинируя одинаковые члены, каждое кубическое уравнение с одной переменной можно представить в виде 9{2}+bx+c=0}.

У уравнения есть хотя бы один действительный корень. Это следствие теоремы о промежуточном значении и наблюдения, что по мере того, как x {\ displaystyle x} перемещается вправо или влево на действительной прямой, изменяется и значение многочлена слева в приведенном выше уравнении.

Дискриминант

Как и квадратичные многочлены, каждый кубический многочлен имеет дискриминант, связанный с корнями многочлена. Дискриминант приведенного выше полинома равен 9{2}+18abc}.

Как и в случае с квадратными уравнениями, знак дискриминанта кубического уравнения с вещественными коэффициентами определяет три возможных качественных описания корней:

• Если Δ>0{\displaystyle \Delta >0}, то уравнение имеет три различных действительных корня.
• Если Δ<0{\displaystyle \Delta<0}, то уравнение имеет два комплексно-сопряженных невещественных корня и один действительный корень.
• Если Δ=0{\displaystyle \Delta=0}, то уравнение имеет повторяющийся корень. Он может иметь либо вещественный корень кратности три, либо действительный корень кратности два и еще один вещественный корень.

  No related posts.