Формулы по алгебре за 9 класс: Справочник по алгебре 9 класс: в таблицах и схемах

Представлены вопросы по алгебре отношений 9 класса с ответами. Включены вопросы по решению линейных и квадратных уравнений, упрощению выражений, в том числе выражений с дробями, нахождению наклонов прямых. Решения и подробные объяснения также включены.

Вопросы Упростите следующие алгебраические выражения. — 6х + 5 + 12х -6 2(х — 9) + 6(-х + 2) + 4х 3x 2 + 12 + 9x — 20 + 6x 2 — x (х + 2) (х + 4) + (х + 5) (-х — 1) 1,2(х — 9) — 2,3(х + 4) (х 2 у)(ху 2 ) (-x 2 y 2 )(xy 2 ) Упростите выражения. (а б 2 )(а 3 б) / (а 2 б 3 ) (21 х 5 ) / (3 х 4 ) (6 x 4 )(4 года 2 ) / [ (3 x 2 )(16 лет) ] (4x — 12) / 4 (-5x — 10) / (x + 2) (х 2 — 4х — 12) / (х 2 2х 24) Решите для x следующие линейные уравнения. 2x = 6 6х — 8 = 4х + 4 4(х — 2) = 2(х + 3) + 7 0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2,3 — х/5 = 2 (х — 4) / (- 6) = 3 (-3x + 1) / (x — 2) = -3 х/5 + (х — 1)/3 = 1/5 Найдите любые действительные решения для следующих квадратных уравнений. 2 х 2 — 8 = 0 х 2 = -5 2x 2 + 5x — 7 = 0 (х — 2) (х + 3) = 0 (х + 7) (х — 1) = 9 х(х — 6) = -9 Найдите любые действительные решения для следующих уравнений. х 3 — 1728 = 0 х 3 = — 64 кв.(х) = -1 квадрат(х) = 5 кв. (х/100) = 4 кв.(200/х) = 2 Вычислите для заданных значений a и b . a 2 + b 2 , для a = 2 и b = 2 |2а — 3б| , для а = -3 и б = 5 3a 3 — 4b 4 , для a = -1 и b = -2 Решите следующие неравенства. х + 3 < 0 х + 1 > -х + 5 2(х — 2) < -(х + 7) При каком значении константы k квадратное уравнение x 2 +2x = — 2k имеет два различных действительных решения? При каком значении константы b имеет ли линейное уравнение 2x + by = 2 наклон, равный 2? Какова точка пересечения у линии -4x + 6y = -12 ? Чему равен x перехват линии -3x + y = 3 ? Какова точка пересечения прямых x — y = 3 и -5x — 2y = -22 ? При каком значении константы k прямая -4x + ky = 2 проходит через точку (2,-3) ? Каков наклон линии с уравнением y — 4 = 10 ? Каков наклон линии с уравнением 2x = -8 ? Найдите точки пересечения x и y линии с уравнением x = — 3 ? Найдите точки пересечения x и y линии с уравнением 3y — 6 = 3 ? Каков наклон прямой, параллельной оси x? Каков наклон прямой, перпендикулярной оси x? Решения и подробные пояснения к вышеуказанным вопросам. Ответы на вышеуказанные вопросы 6x — 1 — 6 9 х 2 + 8 х — 8 3 -1,1х — 20 х 3 у 3 — х 3 у 4 а 2 7x (1/2)x 2 у х — 3 -5 (х + 2)/(х + 4) х = 3 х = 6 х = 21/2 х = -39 х = -10 х = -14 нет решения х = 1 набор растворов {-2,2} нет реальных решений Набор решений {1,-7/2} Набор решений {2,-3} Набор решений {2,-8} Набор растворов {3} х = 12 х = -4 нет решений х = 25 х = 1600 х = 50 Вычислите для заданных значений a и b . 8 21 -67 х < -3 х > 2 х < -1 к < 1/2 б = -1 (0 , -2) (-1, 0) (4 , 1) к = -10/3 наклон = 0 Наклон не определен x — перехват: (-3,0) , нет y — перехват. нет x — перехват, y — перехват: (0, 3) наклон = 0 Наклон не определен.

Дополнительные ссылки

Математика средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Математика средней школы (10, 11 и 12 классы) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и задачами с ответамиДомашняя страница

сообщите об этом объявлении

CBSE Class 9 Math Formulas

GeeksforGeeks представляет математические формулы по главам для 9-го класса. Это сделано для удобства учащихся, чтобы они могли легко и просто понять все важные концепции математики для 9-го класса. Математические формулы для 9 класса предлагаются здесь для учащихся, которым тема математики кажется кошмарной и трудной для понимания. В результате они могут стать нерешительными и потерять интерес к учебе. В результате GeeksforGeeks упомянул все ключевые формулы для 9Стандартный учебный план по математике, который учащиеся могут просто вспомнить, чтобы облегчить им понимание математики. Для всех курсов, таких как алгебра, геометрия, полиномы и т. д., здесь приведены формулы в соответствии с учебным планом NCERT.

Глава 1: Системы счисления

Система счисления или система счисления представляет собой комбинацию натуральных, целых, рациональных, иррациональных и действительных чисел. Этот урок охватывает все понятия системы счисления и ее типов, представления на числовой прямой, законов рациональных показателей и целочисленных степеней. Любое число, которое может быть выражено как p ⁄ q, где p и q – целые числа, а q ≠ 0 – рациональные числа. Форма p ⁄ q не может использоваться для записи иррациональных чисел.

• Любое уникальное действительное число может быть представлено на числовой прямой.
• Если r — одно такое рациональное число, а s — иррациональное число, то (r + s), (r – s), (r × s) и (r ⁄ s) иррациональны.
• Для положительных действительных чисел должны выполняться следующие правила:
  1. √ab = √a × √b
  2. √(a/b)= √a/√b б) = a−b
  3. (a + √b) × (a − √b) = a ² −b
  4. (√a+√b) ² =a ² + 2√ab +b
• Чтобы рационализировать знаменатель 1 ⁄ √ (a + b), нужно умножить его на √(a – b) ⁄ √(a – b), где a и b – целые числа.
• Предположим, что a — действительное число (больше 0), а p и q — рациональные числа.
  1. A ^P × B ^Q = (AB) ^P+Q
  2. (A ^P ) ^Q = A ^PQ
  3. A = A ^PQ
  4. A. ^{47444444. ) p-q}
  5. a ^{p ​​}  / b ^{p ​​}  = (ab) ^{p ​​}

Глава 2. Многочлены

возведение переменных в степень. Многочлен p(x), обозначенный для одной переменной x, представляет собой алгебраическое выражение в виде:

p(x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^N-1 +… .. + A ₂ x ² + A ₁ x + A ₀

, где A ₀ , A ₁ 3, A ₀ , A ₁ 3333, A ₂ . a _n — константы, где a _n ≠ 0

1. Любое действительное число; скажем, ‘a’ считается нулем многочлена ‘p(x)’, если p(a) = 0. В этом случае говорят, что a есть уравнение p(x) = 0.
2. Каждый переменный линейный многочлен будет содержать уникальный нуль, вещественное число, являющееся нулем нулевого многочлена, и ненулевой постоянный многочлен, не имеющий нулей.
3. Теорема об остатках : Если p(x) имеет степень больше или равную 1 и p(x) при делении на линейный полином x – a даст остаток как p(a).
4. Фактор Теорема: x – a будет фактором многочлена p(x), когда p(a) = 0. Обратное также верно каждый раз.

Глава 3. Координатная геометрия

Координатная геометрия — это часть геометрии, в которой положение точек на плоскости описывается с помощью упорядоченной пары чисел, называемых координатами.

Координатная геометрия: квадранты

Всякий раз, когда вам нужно расположить объект на плоскости, вам нужно разделить плоскость на две перпендикулярные линии, тем самым сделав ее декартовой плоскостью.

1. Горизонтальная линия называется осью x, а вертикальная линия называется осью y.
2. Координаты точки имеют вид (+, +) в первом квадранте, (–, +) во втором квадранте, (–, –) в третьем квадранте и (+, –) в четвертый квадрант; где + и — обозначают положительное и отрицательное действительное число соответственно.
3. Координаты начала координат (0, 0), поэтому он может перемещаться в положительных и отрицательных числах.

Глава 4. Линейные уравнения с двумя переменными называется линейным уравнением с двумя переменными. Ниже приведены алгебраические тождества, которые считаются очень важными математическими формулами для 9 класса.

• (a + b) ²  = a ²  + 2ab + b ²
• (a – b) ²  = a ²  – 2ab + b ²
• (a + b ) (a – b) = a ²  -b ²
• (x + a) (x + b) = x ²  + (a + b) x + ab
• (x + a) ( х – б) = х ²  + (а – б) х – аб
• (х – а) (х + б) = х ²  + (б – а) х – аб
• (х – а ) (x – b) = x ²  – (a + b) x + ab
• (a + b) ³ = A ³ + B ³ + 3AB (A+ B)
• (A — B) ³ = A ³ — B ³ — 3AB (A B)
• 1 (A — B)
• 1 (A — B)
• (A — B)
• (A — B)
• (A — B)
(B x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2yz + 2xz
• (x + y — z) ² = x ² + y ² = x ² + y ² = x ² + y ² = x ² + y ² = x ² + y ² = x ² + y ^{2. 2} + z ² + 2xy — 2yz — 2xz
• (x — y+ z) ² = x ² + y ² + z ² — 2xy — 2yz+ 2xzz
9977 ² — 2xy — 2yz+ 2xzz .0461 (x – y – z) ²  = x ²  + y ²  + z ²  – 2xy + 2yz – 2xz
• x ³  + y ³  + z ³  – 3xyz = (x + y + z) (x ²  + y ²  + z ²  – xy – yz -xz)
• x ²  + y ^2 + x 4  = [7 x 4y) 2  + (x – y) ² ]
• (x + a) (x + b) (x + c) = x ³  + (a + b + c)x ²  + (ab + bc + ca)x + abc
• x ³  + y ³  = (x + y) (x ²  – xy + y ² )
• x ³  – y ³  90 474 3 + 4 0 0 (x2 – 0y) y ² )
• x ² + y ² + z ² – xy – yz – zx = 1212 [(x – y) ² + (y – 7z) 2 90 – x) ² ]

Глава 5: Введение в евклидову геометрию

Евклидова геометрия — это раздел геометрии, который занимается изучением геометрических форм и фигур на основе различных аксиом и теорем. Это исследование в основном дает краткое объяснение плоских поверхностей.

• Аксиомы: Основные факты, принимаемые как должное без доказательства, называются аксиомами. Вот некоторые из аксиом Евклида:
  1. Вещи, равные одной и той же вещи, равны друг другу.
  2. Если равные прибавляются к равным, целые становятся равными.
  3. Если равные вычитаются из равных, остатки равны.
  4. Вещи, которые совпадают друг с другом, равны друг другу.
  5. Целое больше, чем часть.
• Постулаты : Аксиомы — это общие утверждения, постулаты — это аксиомы, относящиеся к конкретной области. Пять постулатов Евклида.
  1. Прямая линия может быть проведена из любой точки в любую другую точку.
  2. Конечная линия может создаваться бесконечно.
  3. Круг можно нарисовать с любым центром и любым радиусом.
  4. Все прямые углы равны друг другу.
  5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние углы по одну сторону от нее, вместе взятые, меньше двух прямых, то две прямые, если они составлены бесконечно, пересекаются с той стороны, на которой углы меньше двух прямые углы.

Глава 6: Линии и углы

Здесь представлены важные формулы и некоторые примечания по линиям и углам для примечаний 9 класса. Здесь кратко объясняются различные понятия, такие как параллельные прямые, поперечные, углы, пересекающиеся прямые, внутренние углы.

• Угол : Объединение двух неколлинеарных лучей с общей начальной точкой называется углом.
• Типы уголков : Ниже приведены основные типы углов:
  • Острый угол: Острый угол измеряется между 0° и 90°.
  • Прямой угол: Прямой угол точно равен 90°.
  • Тупой угол: Угол больше 90°, но меньше 180°.
  • Прямой угол: Прямой угол равен 180°. Угол рефлекса: Угол, который больше 180°, но меньше 360°, называется углом рефлекса.
  • Дополнительные углы: Два угла, сумма которых равна 90°, называются дополнительными углами. Пусть один угол равен x, тогда его дополнительный угол равен (90°−x).
  • Дополнительные углы: Два угла, сумма которых равна 180°, называются дополнительными углами. Пусть один угол равен х, тогда его дополнительный угол равен (180°-х).
  • Смежные углы: Два угла являются смежными, если они имеют общую сторону и общую вершину (угловую точку) и не пересекаются.
  • Линейная пара: Линейная пара углов образуется при пересечении двух прямых. Два угла называются прямыми, если они являются смежными углами, образованными двумя пересекающимися прямыми. Размер прямого угла равен 180°, поэтому сумма линейных углов должна составлять 180°.
  • Вертикально противоположные углы : Вертикально противоположные углы образуются, когда две прямые пересекают друг друга в одной точке. Вертикально противоположные углы всегда равны.
  • Поперечный : Прямая, пересекающая две или более данных прямых в различных точках, называется секущей данной прямой. Ниже приведены углы, образованные на пересечении:
    1. Соответствующие углы
    2. Чередующиеся внутренние углы
    3. Чередующиеся внешние углы
    4. Внутренние углы на одной стороне поперечного сечения.

Глава 7. Треугольники

Треугольник — это трехсторонний многоугольник с тремя ребрами и тремя вершинами, как описано в геометрии. Свойство суммы углов треугольника является наиболее важной и широко используемой характеристикой, которая утверждает, что сумма внутренних углов треугольника составляет всего 180 градусов. Три стороны и три угла составляют треугольник, который представляет собой замкнутый геометрический объект.

• Конгруэнтность: Конгруэнтность относится к фигурам, которые идентичны во всех аспектах, таких как их формы и размеры. Например, две окружности с одинаковыми радиусами конгруэнтны. Также конгруэнтны два квадрата с одинаковыми сторонами.
• Конгруэнтные треугольники: Два треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда один из них можно наложить на другой, чтобы полностью покрыть его.
• Правила сравнения : Ниже приведен список некоторых важных правил сравнения треугольников,
  • Сторона, угол, сторона (SAS), конгруэнтность
  • Угол, сторона, угол (ASA), конгруэнтность
  • Угол, угол, сторона (AAS), конгруэнтность
  • Бок, сторона, сторона (SSS), конгруэнтность
  • Прямой угол, гипотенуза, сторона (RHS), конгруэнтность

Глава 8: Четырехугольник

Четырехугольник — это плоская геометрическая фигура, имеющая четыре стороны и четыре угла или вершины. Обычно четырехугольники представляют собой прямоугольник, квадрат, трапецию и воздушный змей или неправильные и нехарактерные фигуры с четырьмя сторонами. Вот некоторые важные свойства и краткие примечания о главе «Четырехугольник»:

• Сумма всех углов четырехугольника равна 360°.
• Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
• В параллелограмме
  • диагоналей делят друг друга пополам.
  • противоположные углы равны.
  • противоположные стороны равны
• Диагонали квадрата делятся пополам под прямым углом и равны, и наоборот.
• Прямая, проходящая через середину стороны треугольника, параллельная другой стороне, делит третью сторону пополам. (Теорема о средней точке)
• Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине третьей стороны.
• В параллелограмме биссектрисы любых двух последовательных углов пересекаются под прямым углом.
• Если диагональ параллелограмма делит пополам один из углов параллелограмма, она также делит пополам и второй угол.
• Биссектрисы параллелограмма образуют прямоугольник.
• Каждый из четырех углов прямоугольника прямой.
• Диагонали ромба перпендикулярны друг другу.

Глава 9: Площади параллелограммов и треугольников

Площадь плоской фигуры определяется как площадь плоской поверхности, покрытой замкнутой геометрической фигурой, такой как прямоугольник, квадрат и т. д. Параллелограмм — это тип четырехугольника, который содержит параллельные противоположные стороны. Ниже приведен список формул, используемых в областях параллелограммов и треугольников, как,

1. Площадь параллелограмма = основание × высота
2. Площадь треугольника = 1/2 × основание × высота или 1/2 × площадь параллелограмма
3. Площадь трапеции = 1/2 × (сумма параллельных сторон) × расстояние между две параллельные стороны
4. Площадь ромба = 1/2 × Произведение двух его диагоналей

Глава 10. Окружности

Геометрическое место точек, проведенных на равном расстоянии от центра, называется окружностью. Радиус круга — это расстояние между его центром и внешней линией. Диаметр окружности – это линия, которая делит ее на две равные части и равна удвоенному радиусу. Поэтому в 9 классеВ программе обсуждаются следующие важные свойства и формулы, относящиеся к окружностям:

• Концентрические окружности — это окружности с одним центром, но разными радиусами.
• Дуга: Дуга окружности представляет собой непрерывную часть окружности.
• Хорда : Хорда окружности — это отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Некоторые важные свойства Хорды ​​круга:
  • Диаметр круга определяется как хорда, которая проходит через его центр.
  • Диаметр окружности делит ее на две равные части, называемые дугами. Полуокружность состоит из этих двух дуг.
  • Если две дуги окружности имеют одинаковую степень измерения, то говорят, что они конгруэнтны.
  • Если две дуги имеют одинаковую длину, связанные с ними хорды также имеют одинаковую длину.
  • Хорда делится пополам перпендикуляром, проведенным из центра к хорде окружности, и наоборот.
  • Три не лежащие на одной прямой точки пересекаются одной и только одной окружностью.
  • Хорды ​​равных окружностей равноудалены от центра.
  • Прямая, проходящая через центры двух окружностей, пересекающихся в двух точках, перпендикулярна общей хорде.
  • Угол дуги в центре круга в два раза больше угла, который он имеет на остальной части окружности.
  • Любые два угла в одном сегменте окружности равны.
  • Равные хорды окружности образуют равный угол в центре.
  • Большая хорда окружности ближе к центру, чем меньшая хорда.
  • Полукруг имеет прямой угол. В центре круга равные хорды образуют равный угол.
• Вписанный четырехугольник : Четырехугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на периметре окружности.
  • Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180°, и наоборот.
  • Внешний угол вписанного четырехугольника равен внутреннему противоположному углу.

Глава 11: Конструкции

В главе 11 Конструкций класса 9 показано, как проектировать различные формы с помощью циркуля и линейки. В этой главе объясняется, как построить биссектрису заданного угла, а также как построить биссектрису заданного отрезка, используя этапы построения и наглядную картинку. Чтобы получить высокие оценки, вы также должны быть в состоянии выучить все соответствующие вопросы в учебнике по математике для 9-го класса, глава 11, задачи на построение. Ниже приведены различные правила построения важных геометрических фигур:

• Построение биссектрисы отрезка
• Построение биссектрисы заданного угла
• Построение равностороннего треугольника
• Построение треугольника, когда известны его основание, сумма двух других сторон и один угол при основании
• Построение треугольника по основанию, разности двух других сторон и одному углу при основании
• Построение треугольника по заданному периметру и двум углам при основании

Глава 12: Формула Герона

Треугольник — это замкнутая трехмерная фигура в геометрии. Здесь учащийся может найти формулу Герона и ее важные приложения, которые изучаются в программе 9 класса. Формула Герона используется для вычисления площади треугольников. Ниже приводится список формулы Герона и ее некоторых важных применений:

• Полупериметр треугольника, s = (a+b+c)/2
• Площадь треугольника = √{s(s−a )(s−b)(s−c)} кв.ед.
• Для равностороннего треугольника со стороной a:
  • Его периметр = 3a единиц
  • Его высота = √3/2 a единиц
  • Его площадь = √3/4 a ² единиц

904: Площади поверхности и объемы

Площадь поверхности — одна из наиболее важных подтем класса 9 «Площади поверхности и объемы». Когда мы вычисляем пространство, занимаемое двухмерным объектом, мы называем его площадью и измеряем в квадратных единицах; однако, когда мы вычисляем пространство, занимаемое трехмерным объектом, мы называем его площадью поверхности и также измеряем в квадратных единицах. Есть два вида площади поверхности:

1. Общая площадь поверхности (TSA): Вся площадь, покрытая поверхностью объекта, называется общей площадью поверхности. Ниже приведен список общих площадей некоторых важных геометрических фигур:
   1. TSA кубоида = 2 (l x b) +2 (b x h) +2 (h x l)
   2. TSA куба = 6a ²
   3. TSA правильного кругового цилиндра = 2πr(h+r)
   4. TSA прямого кругового конуса = πr(l+r)
   5. TSA шара = 4πr ²
2. Площадь боковой/криволинейной поверхности: Площадь криволинейной поверхности — это площадь только криволинейного компонента или, в случае параллелепипедов или кубов, это площадь только четырех сторон, исключая основание и вершину. Это называется площадью боковой поверхности для таких форм, как цилиндры и конусы.
   1. ППС кубоида = 2h(l+b)
   2. ППС куба = 4a ²
   3. ППС прямого кругового цилиндра = 2πrh
   4. ППС прямого кругового конуса = πrl
   0044
   5. Объем: Объем объекта или материала — это объем занимаемого им пространства, измеряемый в кубических единицах. В двумерном объекте нет объема, есть только площадь. Объем круга нельзя рассчитать, поскольку это двухмерная фигура, а объем сферы можно рассчитать, поскольку это трехмерная фигура.
      1. Объем прямоугольного параллелепипеда = l x b x h
      2. Объем куба = a ³
      3. Объем прямоугольного цилиндра = πr ² h
      4. Объем прямого кругового конуса = 1/3πr ² h
      5. Объем шара = 4/3πr ³

   Здесь l – длина, b – ширина, h – высота, r — радиус, a — сторона соответствующей геометрической фигуры.

Глава 14: Статистика

Статистика — это изучение представления, сбора, интерпретации, анализа, представления и организации данных. Другими словами, это математический способ сбора, обобщения данных. Представление данных по-разному вместе с частотным распределением. Определенные факты или цифры, которые могут быть собраны или преобразованы для какой-либо полезной цели, известны как данные. Эти данные могут быть представлены графически, чтобы повысить удобочитаемость для людей. Ниже приводится краткое содержание этой главы:

• Оценка класса = (нижний предел + верхний предел)/2
• Три центральные тенденции измеряются как: ) / Общее количество наблюдений (N)
• Медиана = Медиана для четного числа наблюдений равна самому среднему целому наблюдения, для нечетного числа наблюдений она равна значению ((n+1)/ 2) наблюдение.
• Режим = Равен наблюдению, которое происходит чаще всего или имеет максимальную частоту в данных данных.

Глава 15. Вероятность

Вероятность в этом классе включает базовую теорию вероятности, которая также используется в распределении вероятностей, чтобы узнать возможность исхода случайного эксперимента и найти вероятность отдельного события произойти, когда общее количество возможных исходов. Вероятность – это вероятность того, что какое-либо событие может произойти.

No related posts.