Формулы правила сокращенного умножения: Формулы сокращённого умножения — урок. Алгебра, 7 класс.

{2}} = \frac{x}{x — y}\)

Содержание

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения применяются в математике, а точнее в алгебре, для быстрого получения результата некоторых алгебраических выражений. Получаются формулы сокращенного умножения из алгебраических правил умножения многочленов. Применение формул сокращенного умножения позволяет более быстро решать математические задачи, производить сокращение громоздких алгебраических выражений. Правила алгебры разрешают произвольно выполнять преобразования выражений по формулам сокращенного умножения: можно левую часть равенства представить в виде правой части или правую часть равенства преобразовать в виде левой части равенства. Формулы сокращенного умножения рекомендуется знать наизусть, поскольку они часто применяются при решении задач и уравнений по алгебре, математике. Наиболее часто встречаются первые три формулы сокращенного умножения.

Рекомендуется сохранить приведенный рисунок на свой компьютер в качестве шпаргалки по математике, алгебре. Представленные на рисунке формулы не являются полным перечнем формул сокращенного умножения. В алгебре существуют и другие формулы сокращенного умножения и деления. Все эти формулы имеют свои собственные названия. Рассмотрим более подробно названия приведенных формул сокращенного умножения.

Первым [1] на картинке представлен квадрат суммы. Квадрат суммы равняется квадрату первого члена двучлена плюс удвоенное произведение первого члена на второй член двучлена плюс квадрат второго члена двучлена:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Вторая [2] формула сокращенного умножения называется квадрат разности. Квадрат разности равняется квадрату первого члена двучлена минус удвоенное произведение первого члена на второй член двучлена плюс квадрат второго члена двучлена. Эта формула очень похожа на формулу квадрата суммы и отличается только знаком перед удвоенным произведением:

(a — b)² = a² — 2ab + b²

В общем виде квадрат суммы и квадрат разности можно записать так:

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Формула номер три [3] называется разность квадратов. Разность квадратов равняется сумме двух первых членов двучлена умноженной на разность первого и второго членов двучлена:

a² — b² = (a + b)·(a – b)

Четвертая [4] формула называется куб суммы. Куб суммы равняется сумме кубов первого и второго членов двучлена, утроенных произведений квадрата первого члена двучлена на второй и квадрата второго члена двучлена на первый:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3b²a + b³

Пятая [5] формула похожа на куб суммы и называется куб разности. Куб разности равен кубу первого члена двучлена минус утроенное произведение квадрата первого члена двучлена на второй плюс утроенное произведение первого члена двучлена на квадрат второго минус куб второго члена двучлена:

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3b²a — b³

Одной формулой куб суммы и куб разности можно записать, используя знаки плюс-минус:

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3b²a ± b³

Шестая [6] формула называется сумма кубов. Сумма кубов равняется сумме первого и второго членов двучлена умноженной на квадрат первого члена двучлена минус произведение первого и второго членов двучлена плюс квадрат второго члена двучлена:

a³ + b³ = (a + b)·( a² — 2ab + b²)

Седьмая [7] формула похожа на предыдущую и называется разность кубов. Разность кубов равняется разности первого и второго членов двучлена умноженной на квадрат первого члена двучлена плюс произведение первого и второго членов двучлена плюс квадрат второго члена двучлена:

a³ — b³ = (a — b)·( a² + 2ab + b²)

Одной формулой куб суммы и куб разности можно записать, используя знаки плюс-минус и минус-плюс.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

9 августа 2010 года — 22 сентября 2019 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Комплексные числа: умножение

Алгебраическое умножение.

Комплексное умножение — более сложная операция для понимания как с алгебраической, так и с геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически и возьмем определенные комплексные числа для умножения, скажем, 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом из них по два слагаемых, поэтому, умножив их, мы получим четыре слагаемых: (3 + 2 i )(1 + 4 i ) = 3 + 12 и + 2 и + 8 и ² .

Теперь 12 i + 2 i упрощаются до 14 i, , конечно. А как насчет 8 i ²? Помните, мы ввели i как сокращение от √1, квадратного корня из 1. Другими словами, i — это число, квадрат которого равен 1. Таким образом, 8 i ² равняется 8. Следовательно, произведение (3 + 2 i )(1 + 4 i ) равно 5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu yv ), действительная часть произведения, есть произведение действительных частей минус произведение мнимых частей, но (

xv + yu ), мнимая часть произведения произведение, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте рассмотрим некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

В приведенной выше формуле для умножения, если v равно нулю, вы получаете формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x + yi ) u = сюй + юй и .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число. Например, 2 умножить на 3 + i — это всего лишь 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваивайте расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число

z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C в 2 раза от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C до 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы рассмотрели только один случай умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (т. е. расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ж. Это было, когда w было реальным числом u чуть выше. На самом деле, это верно в целом:

Проверка этого тождества является упражнением в алгебре. Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не нужно иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | ЗВ

| ² = | г | ² | с | ² . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда по формуле умножения zw равно ( xu yv ) + ( xv + yu ) i. Напомним из раздела об абсолютных значениях, что

| г | ² = х ² + у ²

Точно так же у нас есть

| с | ² = u ² + v ²

и, поскольку zw = ( xu yv ) + ( xv + yu ) i,

| wz | ² = ( xu yv ) ² + ( xv + ю ) ²

Итак, чтобы показать | ZW | ² = | г | ² | с | ² , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( xu yv ) ² + ( xv + yu ) ² = ( x ² + у ² ) ( у ² + v ² )

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия

i. Для нашего следующего частного случая умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i ² = 1. Как насчет i ³ ? Это просто i ² умножить на i , и это 1 умножить на i. Следовательно, i ³ = i. Вот интересно: куб и есть собственное отрицание. Далее рассмотрим i ⁴ . Это квадрат i ², то есть квадрат 1. Таким образом,
i ⁴ = 1. Другими словами, i является корнем четвертой степени из 1. Вы можете показать, что i является еще одним корнем четвертой степени из 1. А так как 1 и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, 1 и i. Это наблюдение связано с Фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z ⁴ = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.

Более высокие степени i легко найти теперь, когда мы знаем i ⁴ = 1. Например, i ⁵ равно i , умноженному на i . ⁴ , и это всего лишь я . Вы можете уменьшить силу i на 4 и не изменить результат. Другой пример: i ¹¹ =

i ⁷ = i ³ = i.

Как насчет отрицательных сил и ? Чему равно число i, ? то есть i ¹ ? По той же причине, по которой вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i ¹ = i ³ = i. Таким образом, обратное число i равно i. Представьте себе число, обратное значение которого является его собственным отрицанием! Конечно, легко проверить, что i раз i равно 1, так что, конечно, i и i обратны.

Корни единства.

Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по основной теореме алгебры число n -й корней из единицы равен n, так как имеется n корней уравнения n -й степени z ^u 1 = 0. Квадратные корни из единицы равны 1 и 1. Корни четвертой степени равны ±1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе об абсолютном значении. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ±√2/2 ± i √2/2 были квадратными корнями из i и i, , а теперь с помощью формулы умножения это легко проверить. Следовательно, восемь восьмикореней из единицы равны ±1, ± i, и ±√2/2 ± i √2/2. Обратите внимание, как эти восемь корней единства равномерно распределены по единичному кругу.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте немного подождем их.

Умножение комплексного числа на

i. В нашей цели найти геометрическую интерпретацию комплексного умножения, давайте рассмотрим следующее умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i. z i = ( x + yi ) i = y + xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на х единиц правее мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z и расположены на и единиц левее и на x единиц выше. Произошло то, что умножение на i привело к повороту к точке z 90° против часовой стрелки вокруг начала координат к точке z i. Говоря короче, умножение на дает поворот на 90° против часовой стрелки около 0.

Таким же образом можно проанализировать, что делает умножение на i . Вы найдете это умножение на i дает поворот на 90° по часовой стрелке относительно 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, что предполагается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на i дает поворот на 90° относительно 0 или, если хотите, поворот на 270° относительно 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока мы увидим результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения, один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на 9.0004 i , что приводит к вращению. Общий случай представляет собой комбинацию масштабирования и поворота.

Пусть z и w — точки комплексной плоскости C . Нарисуйте линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих линий являются абсолютными значениями | г | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | ZW | что равно | г | | с |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Что мы не делаем знать направление линии от 0 до zw.

Ответ: «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z по определенному углу, называемому аргументом от z , иногда обозначаемым arg( з ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — линия от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg( w ). Тогда произведение zw будет иметь угол, являющийся суммой углов arg( z ) + arg( w ). (На диаграмме arg( z ) составляет около 20°, а arg( w ) составляет около 45°, поэтому arg( zw ) должно быть около 65°. )

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где zw находится в C :

Stats: Условная вероятность

Условная вероятность

Напомним, что вероятность события при условии, что другое событие уже произошло, равна называется условной вероятностью.

Вероятность того, что событие B произойдет при условии, что событие A уже произошло, равна

 Р(В|А) = Р(А и В) / Р(А)

Эта формула исходит из общего принципа умножения и небольшого количества алгебры.

Так как нам известно, что произошло событие A, мы имеем уменьшенное пространство выборки. Вместо всего выборочного пространства S, теперь у нас есть выборочное пространство A, так как мы знаем, что A произошло. Итак старое правило о том, что число в событии должно быть разделено на число в пространстве выборки, все еще применяется. Это число в A и B (должно быть в A, поскольку произошло A), деленное на число в А. Если затем разделить числитель и знаменатель правой части на число в выборочное пространство S, то у вас есть вероятность A и B, деленная на вероятность A.

Примеры

Пример 1:

На вопрос «Вы курите?» спросили у 100 человек. Результаты представлены в таблице.

.	Да	№	Итого
Мужской	19	41	60
Женщина	12	28	40
Итого	31	69	100

Какова вероятность того, что случайно выбранный человек окажется курящим мужчиной? Это просто совместная вероятность. Количество «мужских и дымных» деленное на общее = 19/100 = 0,19
Какова вероятность того, что случайно выбранный человек окажется мужчиной? Это общая сумма за мужское, деленное на общее = 60/100 = 0,60. Так как не упоминается о курении или нет курение, оно включает все случаи.
Какова вероятность курения случайно выбранного человека? Опять же, поскольку нет упоминания состоит из пола, это предельная вероятность, общее количество курящих, деленное на общее количество = 31/100 = 0,31.
Какова вероятность курения случайно выбранного мужчины? На этот раз вам сказали, что вы есть мужчина — подумайте о стратифицированной выборке. Какова вероятность того, что мужчина курит? Хорошо, Из 60 мужчин курят 19 мужчин, поэтому 19/60 = 0,31666…
Какова вероятность того, что случайно выбранный курильщик мужчина? На этот раз вам сказали, что у вас есть курильщик и попросили найти вероятность того, что курильщик тоже мужчина. Есть 19курильщики-мужчины из 31 общего числа курильщиков, поэтому 19/31 = 0,6129 (приблизительно)

После последней части вы только что решили задачу по теореме Байеса. Я знаю, что ты этого не понял — в этом вся прелесть. Задачу Байеса можно поставить так, чтобы она выглядела как очередная условная возможность. В этом классе мы будем рассматривать проблемы Байеса как еще одну условную задачу. вероятности и не включать в себя большую запутанную формулу, приведенную в тексте (и любом другом тексте).

Пример 2:

Есть три основных производственных компании, которые производят продукт: Aberations, Brochmailians, и шомпилянцы. У Aberations 50% рынка, а у Brochmailians 30%. делиться. 5% продукции Aberations бракованы, 7% продукции Brochmailians бракованы, и 10% продукции Chompieliens бракованы.

Эта информация может быть помещена в совместное распределение вероятностей

Компания	Хороший	Дефектный	Итого
Абберации	0,50-0,025 = 0,475	0,05(0,50) = 0,025	0,50
Брохмайцы	0,30-0,021 = 0,279	0,07(0,30) = 0,021	0,30
Шомпиленс	0,20-0,020 = 0,180	0,10(0,20) = 0,020	0,20
Итого	0,934	0,066	1,00

Процент доли рынка Chompieliens не указан, но поскольку маргиналы должны добавить чтобы быть 1,00, они имеют 20% доли рынка.

Обратите внимание, что коэффициенты брака 5 %, 7 % и 10 % не входят в таблицу напрямую. Это потому что они являются условными вероятностями, а таблица представляет собой совместную таблицу вероятностей. Эти дефектные вероятности зависят от того, какая компания была дана. То есть 7% не являются P (дефектными), но P (дефектные | брохмайцы). Совместная вероятность P(Дефектные и Брохмайцы) = P(дефектные|брохмайцы) * P(брохмайцы).

«Хорошие» вероятности можно найти путем вычитания, как показано выше, или путем умножения, используя условные вероятности. Если 7% продукции брохмайцев бракованное, то 93% это хорошо. 0,93(0,30)=0,279.

Какова вероятность того, что случайно выбранный товар окажется бракованным? P(дефектный) = 0,066
Какова вероятность того, что от брохмайцев поступил бракованный товар? P(брохмейловский |дефектный) = P(брохмайльский и дефектный) / P(дефектный) = 0,021/0,066 = 7/22 = 0,318 (приблизительно).
Являются ли эти события независимыми? Нет.
No related posts.