Методы решения пределов в картинках
Приводятся методы, применяемые при вычислении пределов функций в сжатом виде – в виде изображений. Каждая картинка содержит основные формулы и понятия страницы, к которой она относится. Картинки сопровождаются заголовками, описаниями страниц и ссылками на них.
Здесь приводится содержание раздела «Методы вычисления пределов» в картинках. На изображениях, в кратком виде представлено содержание страниц раздела. На многих из них излагаются методы, применяемые при вычислении пределов. Рядом с каждым изображением имеется заголовок, описание страницы и ссылка на нее. Просматривая их, можно освежить в памяти применяемые методы и некоторые формулы, а также перейти на страницу с подробным изложением материала.
Методы вычисления пределов функций и раскрытия неопределенностей
Изложены приемы и методы решения задач на вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Рассмотрены следующие вопросы: пределы с непрерывными и сложными функциями; известные пределы; сведение неопределенности одного вида к другому; раскрытие неопределенностей с дробями из многочленов и корней; сравнение функций и решение разложением в степенной ряд; правило Лопиталя.
Примеры пределов с решениями
Страница содержит ссылки на 45 примеров решений пределов функций и 24 задачи на смежные темы. К смежным темам относятся задачи на применение определений предела последовательности и предела функции, а также задачи на непрерывность функции.
Замена переменной при решении пределов
Изложены правила, которые необходимо соблюдать, применяя замену переменной при решении пределов. Формальное применение подстановок, в некоторых случаях, может приводить к неверному результату. Приводится пример, в котором существуют промежуточные пределы, но предела исходной сложной функции не существует.
Решение пределов с дробями из многочленов
Изложены приемы и методы решения пределов дробей с отношениями многочленов. Рассмотрены неопределенности вида ∞ / ∞, 0 / 0 и ∞ ± ∞. Разобраны случаи, когда переменная стремится к бесконечности и к конечному числу. Для каждого варианта приводятся примеры с подробными объяснениями и ссылками на применяемые теоремы и свойства.
Решение пределов с корнями
Изложены методы решения задач на вычисление пределов и раскрытие неопределенностей от функций с корнями. Рассмотрены следующие приемы: применение подстановки; применение формул разности квадратов (и других степеней) для линеаризации бесконечно малой части; деление числителя и знаменателя дроби на степенную функцию. Приводятся примеры с подробными решениями.
Доказательство первого замечательного предела и его следствий
Приводится доказательство первого замечательного предела и его следствий. Дается определение длины дуги окружности как верхней грани множества длин ломаных, вписанных в дугу.
Примеры решений задач с помощью первого замечательного предела
Собраны формулы, свойства и теоремы, применяемые при решении задач, допускающих решение с помощью первого замечательного предела. Даны подробные решения примеров с использованием первого замечательного предела и его следствий.
Доказательство второго замечательного предела и его следствий
Приводится доказательство второго замечательного предела и его следствий.
Примеры решений задач с помощью второго замечательного предела
Подробные решения примеров с использованием второго замечательного предела и его следствий. Формулы, свойства и теоремы, применяемые при решении задач, допускающих решение с помощью второго замечательного предела.
О большое и о малое. Сравнение функций
Даны определения о малого, о большого, эквивалентных (асимптотически равных) функций, функций одного порядка, и их свойства. Приводятся доказательства свойств и теорем. Эти свойства и теоремы используются для сравнения функций и вычисления пределов при аргументе, стремящемся к конечной или бесконечно удаленной точке.
Решение пределов, используя ряд Тейлора
Изложен метод решения пределов, используя разложение функций в ряд Тейлора. Приводятся применяемые в этом методе свойства о малого и разложения элементарных функций в ряд Маклорена. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞ – ∞, один в степени бесконечность и 0/0.
Решение пределов функций, используя правило Лопиталя
Изложен метод решения пределов, используя правило Лопиталя. Приводятся формулировки соответствующих теорем. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞/∞, 0/0, 0 в степени 0 и ∞ – ∞, с помощью правила Лопиталя.
Применение эквивалентных функций при решении пределов
Изложен метод, позволяющий упростить вычисление пределов, применяя эквивалентные функции. Этот метод применим при вычислении пределов дробей с множителями в числителе или знаменателе. Дана таблица эквивалентных функций при x→0. Приводятся подробно разобранные примеры применения этого метода.
Замечательные пределы. Примеры решений
Продолжаем
наш разговор на тему Пределы
и способы их решения.
Перед изучением материалов данной
страницы настоятельно рекомендую
ознакомиться со статьей Пределы.
Примеры решений.
Из вышеуказанной статьи Вы сможете
узнать, что же такое предел, и с чем его
едят – это ОЧЕНЬ важно.
Почему? Можно
не понимать, что такое определители и
успешно их решать, можно совершенно не
понимать, что такое производная и
находить их на «пятёрку». Но вот если
Вы не понимаете, что такое предел, то с
решением практических заданий придется
туго. Также не лишним будет ознакомиться
с образцами оформления решений и моими
рекомендациями по оформлению. Вся
информация изложена в простой и доступной
форме.
А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы:Замечательные пределы
Чем же замечательны
замечательные пределы? Замечательность
данных пределов состоит в том, что они
доказаны величайшими умами знаменитых
математиков, и благодарным потомкам не
приходиться мучаться страшными пределами
с нагромождением тригонометрических
функций, логарифмов, степеней.
То есть
при нахождении пределов мы будем
пользоваться готовыми результатами,
которые доказаны теоретически.
Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел, Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.
Начнем.
Первый замечательный предел
Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).
Согласно
нашему правилу нахождения пределов
(см. статью Пределы.
Примеры решений)
пробуем подставить ноль в функцию: в
числителе у нас получается ноль (синус
нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно,
тоже ноль.
Таким образом, мы сталкиваемся
с неопределенностью вида
,
которую, к счастью, раскрывать не нужно.
В курсе математического анализа,
доказывается, что:
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.
Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:
– тот же самый первый замечательный предел.
! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.
Примеры: , , ,
Здесь
,
,
,
,
и всё гуд – первый замечательный предел
применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.
На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).
Переходим к рассмотрению практических примеров:
Пример 1
Если мы замечаем
в пределе синус, то это нас сразу должно
наталкивать на мысль о возможности
применения первого замечательного
предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):
Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ». А делается это очень просто:
То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания. Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:
Что
произошло? По сути, обведенное выражение
у нас превратилось в единицу и исчезло
в произведении: Теперь
только осталось избавиться от трехэтажности
дроби: Готово.
Окончательный ответ:
Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:
“ Используем первый замечательный предел “
Пример 2
Найти предел
Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:
Действительно,
у нас неопределенность
и,
значит, нужно попытаться организовать
первый замечательный предел. На
уроке
Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить :
Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:
Собственно, ответ готов:
В следующих
примерах, я не буду заниматься художествами
в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять
решение в тетради – Вам уже понятно.
Пример 3
Найти предел
Подставляем ноль в выражение под знаком передела:
Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материалГорячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы).
В данном случае:
Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):
Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.
Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:
Здесь все вышло
проще, без всяких домножений и делений.
Первый замечательный предел тоже
превращается в единицу и исчезает в
произведении:
В итоге получена бесконечность, бывает и такое.
Пример 4
Найти предел
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел:
Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Пример 5
Найти предел
Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:
Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный
факт носит название второго
замечательного предела.
Справка: – это иррациональное число.
Пример 6
Найти предел
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений.
Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :
Данная
неопределенность как раз и раскрывается
с помощью второго замечательного
предела. Но, как часто бывает, второй
замечательный предел не лежит на блюдечке
с голубой каемочкой, и его нужно
искусственно организовать.
Рассуждать
можно следующим образом: в данном примере
параметр
,
значит, в показателе нам тоже нужно
организовать
.
Для этого возводим основание в степень
,
и, чтобы выражение не изменилось –
возводим в степень
:
Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :
При этом сам значок предела перемещаем в показатель.
Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.
Пример 7
Найти предел
Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.
Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:
В
результате получена неопределенность
.
Но второй замечательный предел применим
к неопределенности вида
.
Что делать? Нужно преобразовать основание
степени. Рассуждаем так: в знаменателе
у нас
,
значит, в числителе тоже нужно
организовать
:
Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:
Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:
Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел . Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь :
Наконец-то долгожданное устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :
Но на
этом мучения не закончены, в показателе
у нас появилась неопределенность вида
,
раскрывать такую неопределенность мы
научились на уроке Пределы.
Примеры решений.
Делим числитель и знаменатель на
:
Готово.
А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:
Пример 8
Найти предел
Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию :
Выражение со спокойной душой превращаем в букву :
Еще
не всё, в показателе у нас появилась
неопределенность вида
.
Раскладываем тангенс на синус и косинус
(ничего не напоминает?):
Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:
А что такое и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!
Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов.
В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все выкладки, приёмы решения для первого замечательного предела справедливы и для остальных замечательных пределов. Нужно решать их по аналогии.
Да, так чему же равен предел ?
Если
у Вас получился ответ
,
значит в понимании высшей математики
не всё так безнадежно = ).
2+1}-1}[/tex] 93-27}{|x-2|}[/tex]
Сообщите о проблеме на этой странице.
Верно:
Неправильно:
Нерешенные задачи:
Пределы — исчисление 3
- Войти
- Биографии репетитора
- Подготовка к тесту
СРЕДНЯЯ ШКОЛА
- ACT Репетиторство
- SAT Репетиторство
- Репетиторство PSAT
- ASPIRE Репетиторство
- ШСАТ Репетиторство
- Репетиторство STAAR
ВЫСШАЯ ШКОЛА
- Репетиторство MCAT
- Репетиторство GRE
- Репетиторство по LSAT
- Репетиторство по GMAT
К-8
- Репетиторство AIMS
- Репетиторство по HSPT
- Репетиторство ISEE
- Репетиторство по ISAT
- Репетиторство по SSAT
- Репетиторство STAAR
Поиск 50+ тестов
- Академическое обучение
репетиторство по математике
- Алгебра
- Исчисление
- Элементарная математика
- Геометрия
- Предварительное исчисление
- Статистика
- Тригонометрия
репетиторство по естественным наукам
- Анатомия
- Биология
- Химия
- Физика
- Физиология
иностранные языки
- французский
- немецкий
- Латинский
- Китайский диалект
- Испанский
начальное обучение
- Чтение
- Акустика
- Элементарная математика
прочее
- Бухгалтерский учет
- Информатика
- Экономика
- Английский
- Финансы
- История
- Письмо
- Лето
Поиск по 350+ темам
- О
- Обзор видео
- Процесс выбора наставника
- Онлайн-репетиторство
- Мобильное обучение
- Мгновенное обучение
- Как мы работаем
- Наша гарантия
- Влияние репетиторства
- Обзоры и отзывы
- Освещение в СМИ
- О преподавателях университета
(888) 888-0446
Все ресурсы исчисления 3
6 Диагностические тесты 373 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущий 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 35 36 Далее →
Исчисление 3 Справка » Частные производные » Ограничения
Оценка:
Возможные ответы:Не существует
Правильный ответ: Объяснение: Так как у нас не будет задач деления на ноль, мы можем просто оценить в точке.
Сообщить об ошибке
Рассчитайте следующий предел.
Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение:Мы можем рассчитать предел
, просто подставив его, потому что значение определено в этой точке и вокруг нее.
Получаем
.
Сообщить об ошибке
Рассчитайте следующий предел.
Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение:Мы можем рассчитать предел
, просто подставив его, потому что значение определено в и для каждого значения в .
Получаем
.
Сообщить об ошибке
Оценить
Возможные ответы:Ни один из других ответов
Не существует
Правильный ответ:Не существует
Объяснение:Если мы попытаемся оценить предел по двум различным путям, мы получим
И
Поскольку оценка по этим двум путям дала разные значения, предела не существует.
Сообщить об ошибке
Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение:Сообщить об ошибке
Возможные ответы: Правильный ответ: 9015 6 Объяснение:Сообщить об ошибке
Возможные ответы: Правильный ответ: 9015 6 Объяснение:Сообщить об ошибке
Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение:Сообщить об ошибке
Возможные ответы: Правильный ответ: 9015 6 Объяснение:Сообщить об ошибке
Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение:Сообщить об ошибке
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 35 36 Следующая →
Уведомление об авторских правах
Посмотреть исчисление 3 Репетиторы 90 003
Роберт
Сертифицированный преподаватель
Политехнический институт Ренсселера , Бакалавриат, Электротехника.