Формулы размещения и сочетания: Размещения и сочетания — урок. Алгебра, 11 класс.

Сочетания и размещения

Урок 25. Алгебра 11 класc

На этом уроке выводятся формулы числа сочетаний и размещений из n элементов по k. На этом уроке происходит знакомство с треугольником Паскаля и с закономерностью получения его чисел.

Конспект урока «Сочетания и размещения»

Вопросы занятия:

• вывести формулу числа сочетаний из n элементов по k;

• вывести формулу числа размещений из n элементов по k;

• познакомить с треугольником Паскаля и с закономерностью получения его чисел.

Материал урока

На прошлых занятиях мы работали с определением вероятности случайного события и с его помощью вычисляли вероятности.

Так же мы активно применяли правило умножения.

Из курса алгебры 9 класса вам известны понятие факториал и теорема о перестановках.

Вспомним их.

Определение.

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел называют n факториал.

Теорема 1.

Решим задачу.

Школьники смастерили 4 скворечника.

Сколькими способами в них могут разместиться 4 скворца?

Решение заключается в том, чтобы найти число перестановок из четырёх элементов.

Сколькими же способами в них могут разместиться 4 скворца, если один прилетела раньше всех и уже занял себе домик?

Понятно, что остаётся разместить оставшиеся 3 птицы в 3 домика.

А теперь представим себе такую ситуацию. Каждые 2 из 7 городов соединены мостами. Определим их количество.

Представим города в виде точек. Каждый мост соединяет только 2 города.

И пользуясь комбинаторным правилом умножения, число мостов можно найти так. Первый город можно выбрать семью способами, а второй — шестью.

Но ведь тогда каждый мост будет посчитан два раза, а нам не важен порядок выбора городов. Значит, нужно всё разделить на два.

Запишем теорему о выборе двух элементов.

Теорема 2.

Определение.

Тогда теорему 2 кратко можно записать в виде формулы.

Решим задачу.

Рассмотрим другую ситуацию.

Пример.

Теорема 3.

Определение.

Тогда теорему можно записать так:

Решим задачу.

Запишем определения.

Число всех выборов k элементов из n данных без учёта порядка называют числом сочетаний из n элементов по k.

Число всех выборов k элементов из n данных с учётом их порядка называют числом размещений из n

элементов по k.

Как же находить число сочетаний и размещений из n элементов по k?

Запишем теорему.

Теорема 4.

Для любых натуральных чисел n и k, таких, что k < n, справедливы следующие соотношения.

Этими формулами мы и будем пользоваться при вычислении числа сочетаний и размещений.

Решим уравнение.

Так мы с помощью изученных формул решили уравнение, а теперь решим задачу.

Пример.

Для чисел сочетаний из эн элементов по ка существует красивый и удобный способ их записи с помощью треугольной таблицы, её называют треугольник Паскаля.

Он выглядит так.

Закономерность образования строк заключается в следующем: каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. 5=1+4, 10=4+6, 6=3+3 и так далее.

Кратко эту закономерность можно записать в виде такой формулы.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы рассмотрели такие инструменты комбинаторики как сочетание и размещение.

Познакомились с формулами отыскания числа сочетаний и размещений из эн элементов по ка. Выяснили, в чём их отличие друг от друга.

А также рассмотрели примеры решения задач с помощью этих инструментов.

Предыдущий урок 24 Простейшие вероятностные задачи

Следующий урок 26 Формула бинома Ньютона

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Алгебра 11 класc

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Основные формулы комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания.

Комбинации из n элементов по m элементам, которые отличаются или самими элементами, или порядком их следования, называются размещениями.  

Формула размещения:

 

Пусть имеются три буквы А, В и С. Составим всевозможные комбинации только из двух букв: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ. Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв или самими буквами. 

Пример 1

На третьем курсе изучается 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на один день, если в учебный день разрешается проводить занятия только по четырем разным предметам? 

Решение  Различных способов составления расписания столько, сколько существует четырехэлементных комбинаций из девяти элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или их порядком, т.е. 

 Ответ: 3024

  Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.    Перестановки обозначаются Р_n, где n — число элементов, входящих в перестановку.   

Формула перестановки:      Р_n=n!

Пусть имеются три буквы А, В и С. Составим всевозможные комбинации из этих букв: ABC, АСВ, ВСА, ВАС, CAB, CBA. Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв. 

Пример 1

 В турнире участвуют семь команд. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? 

Решение: В итоговой таблице турнира команды будут отличаться занятыми местами, поэтому для подсчета вариантов распределения мест между ними воспользуемся формулой перестановки: 

Р₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040

Ответ: 5040

  Комбинации из n элементов по m элементам, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями.

Формула сочетания:

 

Пусть имеются три буквы А, В и С. Составим всевозможные комбинации только из двух букв, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом: АВ, АС, ВС. Нетрудно увидеть, что их в два раза меньше, чем размещений из этих элементов.  Пример 1

  Сколькими способами можно распределить три путевки в один санаторий между пятью желающими? 

Решение:  Так как путевки предоставлены в один санаторий, то варианты распределения отличаются друг от друга хотя бы одним желающим. Поэтому число способов распределения    Ответ: 10.

2. Виды случайных событий.

Случайным событием называется результат (исход) наблюдения какого-нибудь явления при выполнении некоторого комплекса условий (опыта).

Виды событий:

• Элементарные события — возможно исключающие друг друга события опыта.

• Невозможное событие — не может произойти в результате опыта.

• Достоверное событие – в результате опыта обязательно произойдет.

• Случайное событие – при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

• Несовместные события – появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

• Совместные события – в результате опыта могут появиться одновременно.

• Равновозможные события – одинакова возможность появления в результате опыта.

• Равносильные события – событие А влечет за собой событие В, а событие В влечет за собой событие А.

3. Алгебра событий.

• Суммой (объединением) событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А или событие В или одновременно событий А и В. С=А+В

• Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В. С=А*В

• Разностью событий А и В называется событие С, состоящее в появлении событии А и не появлении события В.

  С=А-В

4. Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности.

Вероятностью р события А называется отношение числа m-благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев n, образующих полную группу равновозможных несовместимых событий:

P (A)=

Свойства вероятности:

1. Число появления m-любого события входит в интервал 0<P<1.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

5. Теоремы сложения вероятностей несовместных событий.

Теорема 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство: Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m

1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Теорема 2. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ , …, А_n , образующих полную группу, равна единице:

Р (A₁) + Р (А₂) + … + Р (А_n) = 1.

Доказательство: Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то

Р (A₁ + A₂ + … + A_n) = 1.     (*)

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:

Р (А₁ + А₂ + . .. + А_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + … + Р (А_n).    (**)

Сравнивая (*) и (**), получим

Р (А₁) + Р (А₂) + … + Р (А_n) = 1.

Пример: Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В — 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Р е ш е н и е. События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

0,7 + 0,2 + p =1.

Отсюда искомая вероятность

р = 1 — 0,9 = 0,1.

Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Доказательство: Пусть дано А и . Тогда А+ будет достоверным. Сумма достоверного события равно 1. Тогда

.

З а м е ч а н и е 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы

p + q = l

З а м е ч а н и е 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность противоположного события, а затем найти искомую вероятность по формуле

.

Определение, формула, примеры решений, часто задаваемые вопросы

Комбинация — это способ выбора элементов из набора, например (в отличие от перестановок) порядок выбора не имеет значения. В более мелких случаях можно подсчитать количество комбинаций. Комбинация относится к смеси n вещей, взятых k одновременно без повторения. Чтобы знать комбинации в случае, когда повторение разрешено, часто используются такие термины, как k-выбор или k-комбинация вместе с повторением. Например, если у нас есть два элемента A и B, то есть только один способ выбрать два элемента — мы выбираем их оба. В этой статье мы подробно узнаем о комбинировании.

Основные принципы счета

Счет различных предметов определенным образом является основной задачей математиков. Для решения этой проблемы даны два основных принципа подсчета, которые включают:

• Фундаментальный принцип подсчета: Для любого события X, которое происходит n различными способами, и другого события Y, которое происходит m различными способами. Тогда общее количество повторений двух событий равно m x n.
• Принцип сложения: Для любого события X, которое происходит m различными способами, и события Y, которое происходит n различными способами, когда оба события неявны, т. е. оба события не могут произойти вместе, тогда возникновение событий X или Y равно m + н.

Что такое комбинации?

Комбинация — выбор выбора r вещей из группы n вещей без замены и где порядок выбора не имеет значения.

Количество комбинаций при выборе «r» элементов из полного набора «n» элементов обозначается как ⁿ C _r

ⁿ C _r = n! / [(r !) × (n – r)!]

Пример: Пусть n = 4 (E, F, G, H) и r = 2 (состоит из всех комбинаций размера 2).

ⁿ C _r = ⁴ C ₂ = 4!/((4-2)!×2!) 

      ×            = 4×3×21×1 / 2
               = 6

Шесть комбинаций: EF, EG, EH, FG, FH и GH.

Формула комбинирования

Формула комбинирования используется для подбора r вещей из n различных вещей, где порядок подбора не важен и замена не допускается.

 

Взаимосвязь между перестановками и комбинациями

Перестановки и комбинации имеют много общего, но они также имеют некоторые разительные различия. Для n различных объектов мы должны сделать r уникальных выборок из этой группы из n объектов.

Количество перестановок размера r из n объектов равно ⁿ P _r здесь порядок выбора не важен, поэтому каждый выбор считается r! раз. Таким образом, количество уникальных вариантов равно 9.0027 н Р _р /р! Мы знаем, что уникальный выбор r вещей из n вещей называется комбинацией ( ⁿ C _r ). Таким образом,

ⁿ C _r = ⁿ P _r /r!

Как рассчитать вероятность комбинаций?

Вероятность комбинаций легко понять с помощью приведенных ниже примеров:

Пример:

1. Сколькими способами можно раздать 7 разных конфет трем людям так, чтобы каждый получил только по 1 конфете?
2. Сколькими способами можно расположить буквы в слове «СИЛА»?
3. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 6, 7 и 9 и с различными цифрами?

Решение:

1. Для первых людей мы можем выбрать любую конфету из 7 доступных конфет. Точно так же для второго человека у нас остается 6 вариантов, а для третьего у нас будет 5 вариантов. Итак, количество способов раздачи конфет = 7 × 6 × 5 = 210 способов
2. Буквы слова «СИЛА» можно составить 5! способов, т. е. 5 × 4 × 3 × 2 × 1 способов = 120 способов.
3. Количество различных способов составления шестизначных чисел с разными цифрами равно 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 способов = 720 способов.

Что такое проблема установления связи?

Задача о рукопожатии — одна из самых интересных задач в математике. Он используется для определения того, сколько рукопожатий требуется в комнате, полной людей, чтобы каждый пожал всем руку ровно один раз?

Пример: В приведенной ниже таблице указано минимальное количество рукопожатий, необходимое для различных групп людей.

В основном, когда есть 2 человека, будет два рукопожатия, а если есть три человека, будет 3 рукопожатия и так далее. Это количество людей мы можем сосчитать, но давайте предположим, что в зале тысячи человек, тогда мы не можем сосчитать каждое рукопожатие, здесь возникает необходимость в комбинации.

Количество человек	Possible Combinations	Minimum Handshake required
Two People	A-B	1 handshake
Three People	A-B A-C  B-C	3 рукопожатия
Четыре человека	A-B 0003 A-C A-D B-C B-D C-D	6 handshake

Handshaking Combination

It means the total number of people in a комната делает рукопожатие друг с другом. С помощью комбинационных формул его можно легко рассчитать. Формула для расчета рукопожатий, когда доступно n человек, дается выражением 9.0003

• Общее количество руководителей. и комбинация
• Различия между перестановкой и комбинацией
• Биномиальная теорема

Решенные примеры комбинаций

Пример 1. Сколькими способами 6 мальчиков можно расставить в очереди так, чтобы

а) Двое из них всегда вместе

б) Двое из них никогда не вместе

Решение:

1 они будут рассматриваться как одно целое. Следовательно, мы можем устроить 5 мальчиков в 5! способы. Кроме того, два мальчика могут устроиться двумя разными способами.

Следовательно, необходимая конфигурация = 5! × 2 = 120 × 2 = 240 способов.

б) Общее количество перестановок среди 6 чисел равно 6! = 720.

В 240 случаях 2 мальчика всегда вместе.

Таким образом, для двух мальчиков, которые никогда не были вместе, ни одного из способов будет = 720 – 240 = 480 способов.

Пример 2: Сколько рукопожатий возможно в комнате с n людьми?

Решение:

Чтобы увидеть присутствующих людей и рассмотреть по одному человеку за раз. Первый человек поздоровается за руку с n – 1 другим человеком. Следующий человек поздоровается с n-2 другими людьми, не считая снова первого человека. После этого это даст нам общее число

(n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1  

= n(n – 1)/ 2 рукопожатия.

Пример 3: Другая популярная проблема рукопожатия начинается аналогичным образом, когда на вечеринке n>1 человек. Не имея возможности пожать руку самому себе и не считая нескольких рукопожатий с одним и тем же человеком, задача состоит в том, чтобы показать, что на вечеринке всегда будут присутствовать два человека, которые пожали друг другу руки одинаковое количество раз на вечеринке.

Решение:

Решение этой задачи начинается с использования принципа ящика Дирихле. Если на вечеринке есть человек, который пожал руку ноль раз, то каждый человек, присутствующий на вечеринке, пожал руку не более чем n-2 другим людям на вечеринке.

Возможных рукопожатий n-1 ( от 0 до n-2 ), среди n человек должно быть двое, пожимавших руки одинаковое количество раз. Если нет ни одного человека, пожимавшего руку ноль раз, это означает, что все гости вечеринки пожали друг другу руки хотя бы один раз.

Это также означает n-1 возможных рукопожатий (от 1 до n-1).

Пример 4: В функции, если каждый человек обменивается рукопожатием со всеми на вечеринке, а всего на вечеринке существует 28 рукопожатий, найдите количество человек, которые присутствовали на мероприятии.

Решение:

Предположим, что на вечеринке присутствует n человек, и каждый человек пожимает руку каждому другому человеку.

Тогда общее количество рукопожатий = ⁿ C ₂ = n(n – 1)/2

n(n – 1)/2 = 28

n(n – 1) = 28 × 2

n(n – 1) = 56

n = 8

Часто задаваемые вопросы о комбинации

Вопрос 1: Что такое комбинация?

Ответ:

Комбинация — это способ упорядочивания r разных вещей из n вещей, для которых порядок выбора не важен.

Вопрос 2: Как решать комбинации?

Ответ:

Комбинации помогают нам рассчитать общее количество исходов события, когда порядок исходов не имеет значения. Комбинации можно рассчитать по формуле

ⁿ C _r = n! / р! × (п – г)!

Вопрос 3: Каково значение ⁿ C _n ?

Ответ:

Значение  ⁿ C _n вычисляется как

ⁿ C _n = n! / (n-n)!×n! (0! = 1)

      = n! / п! = 1

Вопрос 4: Когда мы используем комбинацию и перестановку?

Ответ:

Формулы перестановки используются, когда порядок выбора имеет значение, а формулы комбинации используются, когда порядок перестановки не имеет значения.

Вопрос 5: Приведите формулу комбинации.

Ответ:

Комбинированная формула выглядит так:

Вопрос 6: Что вы подразумеваете под Психозом?

Ответ:

Когда мы перемешиваем элементы набора таким образом, что ни один элемент не появляется в исходном положении, это называется беспорядком данных.

Навигация по сетке с использованием комбинаций и перестановок – BetterExplained

Головоломки могут помочь развить вашу интуицию — понимание того, как перемещаться по сетке, помогло мне понять комбинации и перестановки.

Предположим, вы находитесь в сетке 4 × 6 и хотите перейти из левого нижнего угла в правый верхний. Сколько различных путей вы можете выбрать? Избегайте возврата назад — вы можете двигаться только вправо или вверх.

Потратьте несколько секунд на размышления о том, как бы вы это поняли.

Insight: Преобразование изображений в текст

Рассматривая возможные пути (обводя их пальцем), вы можете прошептать: «Вверх, вправо, вверх, вправо. ..».

Почему бы не записать эти мысли? Используя «u» и «r», мы можем написать путь:

 r r r r r r u u u u
 

То есть идите до упора вправо (6 р), затем до упора вверх (4 ед). Путь на диаграмме будет таким:

 r r r u u u u r r
 

Используя интерпретацию текста, возникает вопрос: «Сколькими способами мы можем переставить буквы ррррруууу ?»

Ах, вездесущая проблема комбинирования/перестановки — никогда не думал, что это может быть полезно, а?

Понимание комбинаций и перестановок

Есть несколько способов увидеть проблемы с комбинациями и перестановками. Как только первое объяснение сработает, мы сможем вернуться и увидеть его по-другому. Пытаясь построить математическую интуицию для решения проблемы, я представляю себе несколько ментальных моделей, окружающих основную идею. Начиная с одного понимания, я работаю над другими.

Подход 1: Начните с того же

Вместо того, чтобы иметь 6 прав на 4 повторения, представьте, что мы начинаем с 10 прав ( р р р р р р р р р р р ).

Ясно, что так не пойдет: нужно поменять 4 из этих прав на ups. Сколькими способами мы можем выбрать 4 права на изменение?

Что ж, у нас есть 10 вариантов первого «правильного» конвертирования (см. статью о комбинациях). И 9 вариантов для второго, 8 для третьего и 7 вариантов для окончательного преобразования справа наверх. Есть 10 * 9 * 8 * 7 = 10!/6! = 5040 возможностей.

Но, подождите! Нам нужно убрать избыточность: ведь преобразование ходов №1, №2, №3 и №4 (именно в таком порядке) — это то же самое, что преобразование №4, №3, №2, №1. У нас 4! (4 * 3 * 2 * 1 = 24) способов переставить выбранные нами вершины, так что в итоге мы получим:

Мы просто выбираем элементы для конвертации (10!/6!) и делим лишнее (4!).

Подход 2: Просто используйте формулу комбинации

На полпути к этому объяснению вы, возможно, поняли, что мы воссоздаем формулу комбинации:

Это самый короткий путь, когда вы знаете, что порядок не имеет значения. Однако иногда я не уверен, нужна ли мне перестановка или комбинация с самого начала. Хотя высказывание «Просто используйте C(10,4)» может быть точным, оно бесполезно в качестве учебного пособия. Иногда помогает воссоздать ситуацию самостоятельно.

Подход 3: Начните с другого

Вот еще один подход: вместо того, чтобы позволить r и u быть взаимозаменяемыми, пометьте «право» перемещает r1 к r6, а «вверх» перемещает u1 к u4. Сколькими способами мы можем переставить эти 10 предметов?

Этот вопрос прост: 10! = 3 628 800 (вау, большое число). У нас есть 10 вариантов на 1-й ход, 9 на второй и так далее, пока не останется 2 варианта на 9-й и только 1 на последний. Прохладный.

Конечно, мы знаем, что «r1 r2 u1 u2» — это тот же путь, что и «r2 r1 u2 u1». Мы можем перетасовать r и u в их собственных подгруппах, и путь останется прежним.

• Сколькими способами мы можем перетасовать все 10? 10! = 3 628 800
• Сколькими способами можно перетасовать 6 r? 6! = 720
• Сколькими способами мы можем перетасовать 4 буквы «u»? 4! = 24

Итак, начнем с общего числа возможностей (10! = 3 628 800) и разделим случаи, когда мы перемешиваем r (6! = 720) и u (4! = 24):

Аккуратно! Круто видеть один и тот же набор операций умножения и деления по-разному, просто перегруппировав их.

Почему это полезно?

Одна из целей — узнать, как можно преобразовать проблемы. Помните ту картину пожилой дамы и молодой женщины?

Вы оба видите? Вы можете переключаться между ними? Разве это не круто?

Часть удовольствия от головоломки с траекторией сетки состоит в том, чтобы увидеть, как смотреть на проблему, используя визуальную или текстовую метафору. Чем больше вы изучаете математику, тем больше моделей у вас есть, и вы можете превращать проблемы друг в друга.

Это не обязательно должно быть «практичным» — интересно посмотреть, как можно составить список путей, просто используя буквы на бумаге.

На математическом жаргоне задачи, которые можно преобразовать друг в друга, называются «изоморфными». Математически они могут быть одинаковыми, но с человеческой точки зрения одно может быть проще, чем другое (например, сначала увидеть старую женщину или молодую женщину).

Для головоломки с сеткой мы использовали каждую перспективу там, где это удобно:

• Визуализация сетки , чтобы понять общую проблему и увидеть единственный путь.
• Напишите пути в виде текста , чтобы увидеть общий формат всех путей и простой способ их перечисления

И это главный урок: Совершенно нормально использовать одну модель для понимания идеи, а другую — для проработки деталей. Математика становится сложной, когда мы думаем, что есть только один способ приблизиться к ней.

Вариации и расширения

Теперь, когда мы построили наши ментальные модели, давайте решим более сложные задачи.

Представьте, что ваша «сетка» на самом деле трехмерна. Это сложнее рисовать, но текстовое представление продолжает работать. Допустим, у нас есть куб (размеры x, y и z), длина каждой стороны которого составляет 5 единиц. Сколько путей из одного угла в противоположный?

Хрм. В этом случае я мог бы попробовать второй подход, где мы перечислили все возможности. Предположим, что мы помечаем каждый ход по-разному: у нас есть 5 ходов с уникальными пометками каждого типа (x1-x5, y1-y5, z1-z5). Мы можем организовать их в 15! способов (оно огромное: 1,3 трлн). Но нам нужно не забыть разделить избыточность для каждого измерения.

Есть 5! способов переставить 5 одинаковых движений в каждом направлении, и делим их на:

Ух ты, сколько путей на маленьком кубике! Ранее сегодня у вас возникли бы проблемы с вопросом — я знаю, что у меня были бы проблемы. Но, начав с примера сетки и преобразовав его в текст, мы улучшили нашу модель, чтобы она могла обрабатывать 3 измерения. Пути в четыре, пять или 10 дней не должны быть проблемой.

Переопределение проблемы

Вот самое интересное: вместо того, чтобы изменить то, как мы видим решение, почему бы не изменить проблему ? Что еще может представлять собой «Найти пути в сетке»?

• Платформа-ловушка : Допустим, вы делаете набор люков 4 × 6, через которые проходит только один реальный проход (остальные сбрасывают вас в вулкан). Каковы шансы, что кто-то случайно пройдет? С 4×6 это 210, как и раньше.

  No related posts.