Формулы решения квадратных уравнений: Квадратные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Формула корней квадратного уравнения

Квадратные уравнения не только математическая абстракция, но и вполне реальный инструмент решения прикладных вопросов. Форму стандартной записи уравнения имеет зависимость перемещения от скорости и времени, описание движение тела по дуге. Нельзя построить здание, если не использовать это выражение при архитектурных расчетах. Всюду, где имеет место квадратическая зависимость одной величины от другой, легко использовать алгоритм для расчета процессов.

Это заметили еще в древние времена. Неполные квадратные уравнения и примеры с решением были записаны в древнеиндийских и арабских трактатах. Оригинальные способы решения полных квадратных уравнений описаны в арабских книгах и вавилонских табличках. Арабский математик Аль Хорезми описывает целых шесть уравнений с неизвестным во второй степени. Современная запись и формула корней квадратного уравнения оформилась в середине 17 столетия и остается практически неизменной до наших дней.

Содержание

Что такое квадратное уравнение
Корни уравнения
Решение неполных уравнений
Решение полных (стандартных) уравнений

Формула квадратного уравнения в общем виде выглядит так:

ах²+bх+с=0.

Необходимо уточнить, что в уравнении только одна переменная, это Х. Уточнение нужно по той причине, что многие ученики (и даже студенты) на вопрос, сколько переменных в квадратном уравнении, без малейшего сомнения отвечают, что две. На самом деле переменная одна, но только один раз записана в квадрате, второй раз, — в первой степени. Такая формула называется приведенным, или стандартным видом.

Если в первой степени не представлен (b= нулю) то уравнение принимает вид:

ах²+с=0.

Это тоже квадратное уравнение, но называется неполным. Еще одна запись:

ах²+bх =0.

В этом случае нулю равен коэффициент С.

Если уравнение приняло вид:

bх+с=0,

это не квадратное, а линейное уравнение.

Правильный ответ на вопрос, что такое квадратное уравнение может быть таким:

Любое уравнение, где переменная х находится во второй степени (квадрате).

Анализируем уравнение дальше. Коэффициенты а, b и с — целые числа. Они имеют свое название:

коэффициент а – главный;
b – второй, или коэффициент при х;
с – свободный член.

На значение главного коэффициента налагается ограничение а≠ 0.

Корнем называется значение переменной, которое превращает уравнение в равенство 0=0. Корнем уравнения может быть любое число, от минус до плюс бесконечности, включая дробные. Есть уравнения, у которых в принципе нет решений. Если доказать, что корней нет, то это тоже представляется, как решение задачи.

Исторически сложилось так, что математики сначала нашли способы решения неполных уравнений. Рассмотрим выражение, записанное в форме ах²+с=0. То есть, второй коэффициент равен 0.

Перепишем уравнение в виде ах² = — с.

Отсюда следует:

Очевидно, что а/-с ≥ 0. Это возможно в двух случаях:

если в первоначальной записи а- положительное, с -отрицательное числа:
если а- отрицательное, а с – положительное.

Для уравнения ах²+bх=0 схема решения тоже несложная:

ах²+bх=0,

х(ах+b)=0,

<=>

х=0,

ах+b=0;

х=0,

х=-b/а.

Самое простое уравнение ах²=0, если b=0, с=0. Решение выглядит так:

ах²=0,

х²=0,

х=0, при любом значении а.

Для начала необходимо привести уравнение в стандартный вид иногда для этого нужно выполнить ряд алгебраических преобразований. Допустим, что они сделаны и у нас есть уравнение вида ax² + bx +c= 0, а≠ 0.

Для решения используем готовые формулы:

Обратим внимание на букву D под знаком радикала. Это выражение называют дискриминант. Он вычисляется по формуле:

D = b² − 4ac.

Дискриминант для решения квадратных уравнений величина очень важная. Просчитав его, можно определить, сколько решений у уравнения, и есть ли они вообще. Вариантов всего три:

D < 0, корней нет;
D = 0, есть один корень;
D > 0, корней два.

Формула дискриминанта и его корней универсальна и подходит для любого квадратного уравнения. Если решать задание последовательно, по определенному алгоритму, то найти корни несложно, даже в случае дробных коэффициентов.

Как пример использования формулы решим несколько простых уравнений:

x² − 2x − 3 = 0.

Находим дискриминант:

D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16; (a = 1; b = −2; c = −3).

Дискриминант положительный, значит, корней должно быть два. Записываем формулы и подставляем значения коэффициентов:

Уравнение 2:

15 − 2x − x² = 0;

D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64;

Уравнение 3:

4x²+21x+5=0.

Решение. a=4; b=21; c=5.

D=b²— 4ac=21²— 4∙4∙5=441-80=361=19²>0; 2 действительных корня.

Чатов в заданиях ЕГЭ встречается вопрос: когда квадратное уравнение имеет бесконечное множество решений? В школьной программе эта тема проходит по касательной и многие ученики не успевают ее усвоить. Тем не менее, она очень важна. Потому что ответ такой: если это уравнение с параметрами. Это уравнения типа Уравнение вида Ах²+Вх+с = 0 где — переменная, А, В и С не фиксированные коэффициенты, а параметры. То есть величины, которые могут принимать значения в определенном диапазоне числовой прямой.

Рассмотрим задачу: При каких значениях параметра a уравнение a(a+3)x²+(2a+6)x−3a−9 = 0 имеет более 1 корня?

Если a(a+3)=0, то уравнение превращается в линейное 6x−9=0 и имеет 1 корень, х=1,5.

При a≠0;a≠−3 получаем квадратное уравнение. Если

D>0D>0D/4= (a+3)²+3a(a+3)²>0

D/4= (a+3)²+3a(a+3)²>0

(a+3)²(3a+1)>0

a>−1/3.

Уравнение имеет два корня, если параметр находится в промежутке: a∈(−1/3;0)∪(0;+∞)

При a=−3 уравнение принимает вид 0=0, то есть корнями являются любые рациональные числа.

Полное решение уравнения выглядит так:

a∈−3∪(−13;0)∪(0;+∞).

Решение квадратных уравнений при помощи формулы корней – задача не сложная. Но есть и другие способы, например, графический. Но это предмет рассмотрения в другой статье.

Формулы корней квадратных уравнений 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Метод выделения полного квадрата на примере решения квадратного уравнения

Напомним, что квадратным уравнением называется уравнение вида:

, причем .

На прошлом уроке мы рассмотрели неполные квадратные уравнения и методы их решения. Сейчас мы поговорим о полных квадратных уравнениях, то есть уравнениях, в которых ни один из коэффициентов не равен 0 ().

Основной метод, который используется для выведения формул корней квадратных уравнений, – метод выделения полного квадрата. Мы уже изучали его в 7 классе, однако необходимо вспомнить его более подробно.

Рассмотрим несколько конкретных примеров квадратных уравнений, которые мы решим с помощью использования этого метода.

Пример 1

Решить квадратное уравнение: .

Решение:

Коэффициенты данного квадратного уравнения: .

Для применения метода выделения полного квадрата воспользуемся следующей формулой: .

Метод выделения полного квадрата для данного примера состоит в том, чтобы подобрать число так, чтобы . Значит, .

Получаем:

Данное уравнение можно решать двумя способами.

Способ 1

. Отсюда или: , или: .

Ответ:.

Способ 2

. Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен 0. Поэтому данное уравнение эквивалентно двум: и: .

Ответ:.

Более сложный случай использования метода выделения полного квадрата

Мы рассмотрели метод выделения полного квадрата на частном примере. Давайте рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, в котором старший коэффициент не будет равняться 1.

Пример 2

Решить квадратное уравнение: .

Решение:

Коэффициенты данного квадратного уравнения: .

Прежде чем выделять полный квадрат, вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых: .

Теперь в скобках выделим полный квадрат. Опять же, необходимо подобрать так, чтобы: .

Получаем следующее уравнение:

Отсюда:

Отсюда: или .

Ответ: .

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Разобрав конкретные примеры, можем перейти к получению общей формулы корней квадратного уравнения.

Итак, рассмотрим уравнение . Вынесем старший коэффициент за скобки в первых двух слагаемых: . Теперь выделим в скобочках полный квадрат: .

Далее: .

Теперь поделим обе части уравнения на , так как знаем, что в квадратном уравнении : .

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой .

Пока мы будем считать, что в нашем уравнении , то есть из него можно извлечь корень.

Тогда получаем: . Или:

Это и есть формула для корней квадратного уравнения в общем виде.

Если расписать ее, то можно получить две формулы для каждого из корней:

Если теперь мы вернемся к нашим примерам, то в уравнении дискриминант равен: . Тогда:

Применение полученных формул, выводы

На этом уроке мы вспомнили метод выделения полного квадрата, разобрали решение конкретных квадратных уравнений с помощью этого метода. Кроме того, мы вывели формулу корней квадратного уравнения и узнали, что такое дискриминант.

На следующем уроке мы рассмотрим применение формул корней квадратных уравнений.

Список литературы

Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
Прикладная математика (Источник).
Bymath.net (Источник).

Домашнее задание

№ 427-429, Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение. 2010 г.
Решите уравнения: а) , б) , в), г) .
Решите уравнения: а) , б) , в) .

Биоматематика: квадратичные функции

Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать в виде

ах ² + бх + с = 0.

Обратите внимание, что мы решаем это же уравнение, чтобы найти корни квадратичной функции. Решить квадратное уравнение означает найти такие значения x , что приведенное выше уравнение верно. Вы можете решать квадратные уравнения, дополняя квадрат, используя квадратную формулу или, в редких случаях, факторизуя. Мы обсудим факторинг в конце этого раздела.

В большинстве случаев решение квадратных уравнений проще всего выполнить с помощью квадратной формулы. Сейчас мы рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решение квадратных уравнений

Предположим, вас попросили решить уравнение,

−4 х ² + х + 9 = 6.

Чтобы использовать квадратную формулу, мы должны получить это уравнение в виде x ² + bx + c = 0 as,

−4 х ² + х + 3 = 0,

Теперь мы находим решения, используя квадратичную формулу как,

, что дает два решения,

Таким образом, мы заключаем, что уравнение -4 х ² + х + 9 = 6 имеет два решения, х

= -3/4 и х = 1,

Пример 2. Решение квадратных уравнений

В некоторых случаях использование квадратной формулы не обязательно для решения квадратного уравнения. Рассмотрим следующие уравнения:

18 х − 3 х ² = 0,

4 х ² − 9 = 0,

Обратите внимание, что в первом уравнении нет постоянного члена в левой части, а во втором уравнении нет члена размером x в левой части. Таким образом, мы можем решить эти уравнения без квадратной формулы. Чтобы решить первое уравнение, 18 x − 3 x ² = 0, мы выносим 3 x как

18 х — 3 х ² = 3 х (6 — х ) = 0,

Теперь мы можем использовать тот факт, что если 3

x (6 − x ) = 0, то либо 3 x = 0, либо 6 − x = 0. Из уравнения 3 x = 0 следует x = 0. Из уравнения 6 − x = 0 следует, что x = 6. Таким образом, у нас есть два решения: x = 0 и x = 6. Не допускайте следующей ошибки при решении это уравнение,

Обратите внимание, что, отменив x с обеих сторон уравнения, мы потеряли решение x = 0. Имейте в виду, что отмена x — это то же самое, что деление на x с обеих сторон. Помните, что деление на x допустимо только для x ≠ 0, потому что деление на ноль не определено.

Чтобы решить второе уравнение, 4 x ² − 9 = 0, мы имеем,

Извлекая квадратный корень из обеих частей вышеприведенного уравнения, не забудьте включить как положительные, так и отрицательные корни.

Решение квадратных уравнений методом факторинга

В некоторых случаях квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации. Например, рассмотрим следующее уравнение:

х ² − 6 х + 8 = 0,

Это уравнение можно решить с помощью факторизации. В частности, -4 и -2 добавляются к -6 (коэффициент при x ) и умножить на 8 (постоянный член). Таким образом, мы можем факторизовать уравнение x ² − 6 x + 8 = 0 as,

( х — 4)( х — 2) = 0,

Теперь воспользуемся тем, что если ( х — 4)( х — 2) = 0, то либо х — 4 = 0, либо х — 2 = 0. Таким образом, мы имеем решения

x = 4 и x = 2. Факторинг следует использовать только тогда, когда вы можете быстро определить факторизованную форму. Факторинг намного сложнее, когда старший коэффициент не равен 1. В этом случае
(т. е. a ≠ 1), вероятно, проще всего использовать квадратичную формулу.

Помните, что вы всегда можете использовать квадратную формулу для поиска решения.

*****

Теперь попробуйте решить некоторые задачи на квадратичные функции.

Проблемы

Видео-урок: Решение квадратных уравнений: квадратичная формула

Стенограмма видео

В этом видео мы научимся решать квадратные уравнения по квадратной формуле. Квадратичная формула в своем нынешняя форма была впервые зафиксирована в 17 веке французским математиком Рене Декарт.

Это эффективный способ решения квадратное уравнение, особенно такое, которое не может быть решено факторингом. Для любого квадратного уравнения в форма 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — константы и 𝑎 не равно нулю, то квадратичная формула утверждает, что 𝑥 равно отрицательному 𝑏 плюс-минус квадратный корень из 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 все разделить на два 𝑎. Давайте теперь рассмотрим, как мы можем использовать эта формула для решения любой задачи, связанной с квадратным уравнением.

Наш первый шаг — написать наш уравнение в форме 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю. Для этого нам может понадобиться распределять скобки или скобки, а также собирать подобные термины. Хотя это не принципиально, это полезно записать наше уравнение в том же порядке. Тогда легко перечислить значения из 𝑎, 𝑏 и 𝑐. Далее подставляем наши значения 𝑎, 𝑏 и 𝑐 в квадратную формулу.

С этого момента мы упрощаем правой части, получив два решения квадратного уравнения. Рассмотрим квадратичный уравнение три 𝑥 в квадрате плюс четыре 𝑥 минус один равно нулю. Наши значения 𝑎, 𝑏 и 𝑐 равны три, четыре и отрицательная единица соответственно, так как коэффициент при квадрате 𝑥 равен три, коэффициент при 𝑥 равен четырем, а член, не зависящий от 𝑥, отрицателен один.

Подстановка этих значений в квадратичная формула дает нам 𝑥 равно минус четыре плюс или минус квадрат корень из четырех в квадрате минус четыре умножить на три умножить на минус один все разделить на два умножить на три. Под квадратным корнем наш выражение упрощается до 16 плюс 12. Это дает нам минус четыре плюс или минус квадратный корень из 28, все разделить на шесть. Квадратный корень из 28 равен два корня семь. Затем мы можем разделить каждый член в нашем выражение на двоих.

𝑥, следовательно, равно отрицательному два плюс-минус корень семь все разделить на три. Мы можем разделить это, чтобы получить два решений квадратного уравнения три 𝑥 в квадрате плюс четыре 𝑥 минус один равно нуль. Либо 𝑥 равно минус двум плюс корень семь разделить на три или 𝑥 равно минус два минус корень семь разделить на три.

Теперь мы рассмотрим более сложный пример.

Найдите набор решений уравнение три 𝑥 в квадрате плюс четыре, умноженное на 𝑥 плюс один равно нулю, что дает значения в наборе действительных чисел до одного десятичного знака.

Чтобы ответить на этот вопрос, сначала нам нужно изменить наше уравнение, чтобы оно имело форму 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю. Это позволит нам использовать квадратная формула для ее решения. Распределение скобок по умножение четырех на 𝑥 и четырех на единицу дает три 𝑥 в квадрате плюс четыре 𝑥 плюс четыре равно нулю. Наши значения 𝑎, 𝑏 и 𝑐 равны три, четыре и четыре соответственно. Квадратичная формула утверждает, что 𝑥 равно отрицательному 𝑏 плюс или минус квадратный корень из 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 все разделить на два 𝑎.

Подставляя наши значения, имеем 𝑥 равно минус четыре плюс или минус квадратный корень из четырех в квадрате минус четыре умножить на три умножить на четыре все разделить на два умножить на три. Четыре в квадрате 16, четыре умножить три умножить на четыре — 48, а два умножить на три — шесть. Поскольку 16 минус 48 минус 32, мы остаются с 𝑥 равно отрицательным четырем плюс или минус квадратный корень отрицательного 32 все разделить на шесть.

На данном этапе мы хотим решения до одного десятичного знака, мы обычно вводили наши вычисления в наш калькулятор. Однако этот расчет включает извлечения квадратного корня из отрицательного числа, отрицательного 32. И мы знаем, что извлечение квадратного корня из отрицательное число не имеет действительных решений. И когда мы вводим его в калькулятор, мы получаем математическую ошибку. Это означает, что нет реальных решения нашего уравнения. И множество решений уравнение является пустым множеством. Это приводит нас к ключевому факту о квадратичная формула. Если выражение под квадратный корень 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐, известный как дискриминант, меньше, чем ноль, то у нашего квадратного уравнения нет реальных решений.

Также стоит учитывать, что это будет выглядеть графически. Квадратное уравнение 𝑦 равно на три 𝑥 в квадрате плюс четыре, умноженные на 𝑥 плюс один, показано на рисунке. Заметим, что график не пересекают 𝑥-ось. Это подтверждает отсутствие действительные решения уравнения. Любое квадратное уравнение, где дискриминант 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 меньше нуля, не будет пересекать 𝑥-ось.

Теперь мы рассмотрим еще два примеры, где нам нужно использовать квадратичную формулу в контексте.

Размеры прямоугольника пять метров и 12 метров. Когда оба измерения увеличены на заданную величину площадь прямоугольника удвоится. Какова сумма?

Нам известно, что размеры прямоугольника пять метров и 12 метров. Вспоминая, что мы можем вычислить площадь прямоугольника путем умножения его длины на ширину, площадь этого прямоугольник 60 квадратных метров. Далее нам говорят, что оба размеры увеличиваются на заданную величину. Пусть эта сумма будет 𝑥 метров, так что длина нового прямоугольника равна 12 плюс 𝑥 метров, а ширина равна пять плюс 𝑥 метров.

Чтобы вычислить площадь этого прямоугольник, нам нужно умножить 12 плюс 𝑥 и пять плюс 𝑥. Нам также сообщают, что площадь г. прямоугольник увеличился вдвое. Следовательно, площадь этого прямоугольник 120 квадратных метров. Распределение наших скобок с помощью метод ФОЛЬГИ, у нас есть 60 плюс 12 𝑥 плюс пять 𝑥 плюс 𝑥 в квадрате. А это равно 120. Вычитая по 120 с обеих сторон это уравнение, а затем собирая подобные члены, мы имеем 𝑥 в квадрате плюс 17𝑥 минус 60 равен нулю. Это квадратное уравнение записанный в виде 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю. И мы знаем, что можем решить квадратное уравнение этого типа по квадратной формуле. Это утверждает, что 𝑥 равно минус 𝑏 плюс или минус квадратный корень из 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 все делится на два 𝑎.

В этом вопросе наши значения 𝑎, 𝑏 и 𝑐 равны единице, 17 и минус 60 соответственно. Подставляя эти значения в формула, у нас есть 𝑥 равно минус 17 плюс или минус квадратный корень из 17 в квадрате минус четыре умножить на один умножить на минус 60 все разделить на два умножить на единицу. Выражение под квадратом корень равен 529. И так как квадратный корень из 529 равен 23, у нас есть 𝑥 равно минус 17 плюс-минус 23 все разделить на два. Это дает нам два возможных решения, либо 𝑥 равно отрицательному числу 17 плюс 23, деленное на два, либо 𝑥 равно на минус 17 минус 23 все разделить на два. Они равны трем и минус 20 соответственно.

Так как мы решаем найти размер 𝑥 прямоугольника, мы знаем, что 𝑥 должно быть положительным. Это означает, что правильный решение 𝑥 равно трем. Чтобы площадь прямоугольника двойной, оба размера нужно увеличить на 3 метра. Это дало бы нам прямоугольник с Размеры восемь метров на 15 метров. И умножение их дает нам Правильная площадь 120 кв. Важно отметить, что это квадратное уравнение можно было разложить на множители. Использование этого метода также имело бы данное нам решение 𝑥 равно минус 20, а 𝑥 равно трем.

Сейчас мы рассмотрим один последний пример.

Камень брошен вверх из вершине скалы и через некоторое время приземляется в море. Высота ℎ над уровнем моря в любой время 𝑡 секунд определяется формулой ℎ равно трем 𝑡 минус пять 𝑡 в квадрате плюс 40. Через сколько секунд камень достигает моря? Дайте ответ ближайшему десятая доля секунды.

В этом вопросе нам дается квадратное уравнение для ℎ относительно 𝑡. Переписав правую часть в форма 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐, мы имеем ℎ равно минус пять 𝑡 в квадрате плюс три 𝑡 плюс 40. Пытаемся посчитать время на которой камень достигнет моря, и нам говорят, что ℎ — это высота над уровень моря. Это означает, что когда камень достигает моря, ℎ будет равно нулю. И нам нужно решить квадратное уравнение минус пять 𝑡 в квадрате плюс три 𝑡 плюс 40 равно нулю. Мы знаем, что любое квадратное уравнение 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю можно решить с помощью квадратного уравнения формула. Это утверждает, что 𝑥 равно минус 𝑏 плюс или минус квадратный корень из 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 все делится на два 𝑎.

В этом вопросе наши значения 𝑎, 𝑏 и 𝑐 отрицательные пять, три и 40, а переменная вместо 𝑥 равна время 𝑡. Подставляя в наши значения, мы имеем 𝑡 равно минус три плюс или минус квадратный корень из трех в квадрате минус четыре умножить на минус пять умножить на 40 все разделить на два умножить на минус пять. Это упрощает до отрицательных трех плюс-минус квадратный корень из 809все разделить на минус 10. Разделив наши два решения, мы 𝑡 равно минус три плюс квадратный корень из 809, деленный на минус 10 или 𝑡 равно минус трем минус квадратный корень из 809, деленный на минус 10.

Введите их в калькулятор, у нас есть 𝑡 равно минус 2,544 и так далее и 𝑡 равно 3,144 и так далее на. Поскольку время в секундах должно быть положительное значение, мы можем исключить первый ответ. Нас также просят дать время с точностью до десятых долей секунды. Таким образом, мы можем сделать вывод, что это камень достигает моря за 3,1 секунды.

Теперь мы суммируем ключ очки из этого видео. Для любого квадратного уравнения в форма 𝑎𝑥 в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — константы и 𝑎 не равно нулю, мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы найти 𝑥. Это утверждает, что 𝑥 равно минус 𝑏 плюс или минус квадратный корень из 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 все делится на два 𝑎. Решения уравнения точки пересечения графика уравнения с осью 𝑥. Если дискриминант 𝑏 в квадрате минус четыре 𝑎𝑐 меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет вещественных решения.