Формулы решения уравнений: Решение уравнений — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Базовые методы решения уравнений и неравенств — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Главная —
Формулы и прочее —
Математика: Методы решения

Знание базовых методов решения уравнений и неравенств является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по математике. Базовые методы решения уравнений и неравенств, которые надежно усвоены и отработаны учеником — это один из основных инструментов, которым он должен оперировать при решении математических задач. На этой странице сайта представлены примеры применения базовых методов решения уравнений и неравенств из школьной математики.

Изучать базовые методы решения уравнений и неравенств из школьной математики онлайн:

Вперёд

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.

Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 1

Математика, ее содержание, методы и значение. Под ред. Александрова А.Д., Колмогорова А.Н., Лаврентьева М.А. М.: Изд. Академии наук СССР, 1956; т.1 – 296с.

Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему разветвленных дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит могучим орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.

Коллектив авторов при составления этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материальными основами и путями развития.

АРИФМЕТИКА
§ 3. ГЕОМЕТРИЯ
§ 4. АРИФМЕТИКА И ГЕОМЕТРИЯ
§ 5. ЭПОХА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 6. МАТЕМАТИКА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
§ 7. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
§ 8. СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ
§ 9. ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава II. АНАЛИЗ
§ 2. ФУНКЦИЯ
Графики функций.
§ 3. ПРЕДЕЛ
§ 4 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ
Примеры вычисления производных.
§ 6. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Производная суммы.
Производная произведения.
Производная частного.
Производная обратной функции.
Таблица производных.
Нахождение производной функции от функции.

§ 7. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Отыскание наибольших и наименьших значений функции.
Производные высших порядков.
Смысл второй производной. Выпуклость и вогнутость.
Признаки максимумов и минимумов. Исследование графиков функций.
§ 8. ПРИРАЩЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Теорема о среднем и примеры ее применения.
§ 9. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Формула Тейлора.

Ряд Тейлора.
§ 10. ИНТЕГРАЛ
Определенный интеграл.
Связь дифференциального и интегрального исчисления.
§ 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Неявное задание функции.
Геометрическое изображение.
Частные производные и дифференциал.
Дифференцирование неявных функций.
Задачи на максимум и минимум.
Формула Тейлора.
Относительный максимум и минимум.
§ 13. ОБОБЩЕНИЯ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА
Контурные и поверхностные интегралы.

Формула Остроградского.
§ 16. РЯДЫ
Сходимость ряда.
Ряды функций. Равномерно сходящиеся ряды.
Степенные ряды.
Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 2. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ДЕКАРТА
Идея сопоставления уравнениям с двумя неизвестными линий на плоскости.
Основные задачи, решаемые аналитической геометрией, и определение аналитической геометрии.
§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
Площадь треугольника.
Отыскание точек пересечения двух линий.
§ 4.

2.
§ 6. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИАМЕТРОВ НЬЮТОНА
§ 7. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА
Уравнение эллипса и его фокальное свойство.
Законы движения планет.
Эллипс инерции.
Гипербола и ее фокальное свойство.
Парабола и ее директрисса.
Свойство касательной к параболе.
Директриссы эллипса и гиперболы.
Конические сечения.
Парабола как график пропорциональности квадрату и гипербола как график обратной пропорциональности.

§ 8. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ 2-Й СТЕПЕНИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Формулы преобразования координат.
Приведение любого уравнения 2-й степени к одному из 9 канонических видов.
§ 9. ЗАДАНИЕ СИЛ, СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТРОЙКАМИ ЧИСЕЛ. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
Арифметизация сил, скоростей и ускорений, введенная Лагранжей.
Алгебра векторов.
Скалярное произведение и его свойства.
§ 10. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
Уравнение плоскости и уравнения прямой.
Общее уравнение 2-й степени с тремя переменными и 17 его канонических видов.

Эллипсоид.
Гиперболоиды и конус 2-го порядка.
Параболоиды.
§ 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННЫЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
Эллипс как результат «сжатия» окружности.
Пример решения более сложной задачи.
Важнейшие применения аффинных преобразований
Формулы аффинных преобразований.
Ортогональные преобразования.
§ 12. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
§ 13. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Применение основной теоремы плоской перспективы в аэрофотосъемке.
Проективная плоскость.
Проективные отображения; основная теорема.
Проективная геометрия.
Запись проективных преобразований формулами.
§ 14. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Проективные преобразования круга в себя.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Глава IV. АЛГЕБРА (ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ)
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
Разложение многочлена на множители и формулы Виета.
Теорема о симметрических многочленах.
Работы Лагранжа.
Открытие Абеля.
Теория Галуа.
Приложение теории Галуа к вопросу о разрешимости геометрической задачи циркулем и линейкой.

Две основные нерешенные задачи, связанные с теорией Галуа.
§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
Теория комплексных чисел.
Поверхность модуля многочлена.
О возрастании модуля многочлена при удалении от начала.
Существование минимумов поверхности M.
Лемма Даламбера.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Простые и кратные корни многочлена.
Теорема Ролля и некоторые ее следствия.
Правило знаков Декарта.
Теорема Штурма.
Задача Гурвица.
§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ

Решение формул для конкретных переменных (видео с практическими вопросами)

TranscriptPractice

Здравствуйте! Добро пожаловать в это видео о решении уравнений для конкретных переменных . Это алгебраическая тема, которая имеет множество практических применений в научных областях.

Например, предположим, что у нас есть второй закон движения Ньютона:

$F=ma$

и вместо массы и ускорения для нахождения силы нам дана сила и ускорение и просят найти массу. Все, что нам нужно сделать, это изменить эту формулу для решения переменной $m$. Итак, поскольку $m$ умножается на $a$, нам нужно разделить обе части на $a$, чтобы отменить это умножение. 9{2}}\), оно отменяется, чего мы и добивались. И у нас осталось $c$.

$\sqrt{\frac{e}{m}}=c$

Итак, это наш ответ!

Давайте попробуем еще один пример. У этого нет научного приложения, как у других, но это то, что вы можете увидеть на уроке алгебры.

$3xy-4=2z$

И я хочу, чтобы вы нашли переменную $y$.

Итак, помните, нам нужно выполнить операции в обратном порядке, и нам нужно избавиться от всего на этой стороне, кроме $y$, потому что это то, что мы ищем. Итак, мы собираемся начать с добавления 4 к обеим сторонам.

$3xy-4+4=2z+4$

Эти члены сокращаются слева, и у нас остается:

$3xy=2z+4$

Теперь, поскольку и 3, и $x$ умножаются на $y$, мы можем просто разделить обе частей нашего уравнения на $3x$. Мы можем выполнить деление 3 и деление $х$ одновременно, и вот как это будет выглядеть. Когда мы это сделаем, убедитесь, что вы разделили целиком справа на $3x$. Если вы сделаете только часть $2z$ или только часть 4, вы получите неправильный ответ, поэтому убедитесь, что вы делаете все целиком, используя $3x$.

$\frac{3xy}{3x}=\frac{2z+4}{3x}$

Итак, здесь наши условия $3x$ сокращаются, и мы остаемся с $у$.

$y=\frac{2z+4}{3x}$

И это наш ответ!

Надеюсь, это было полезно. Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Вопрос № 1:

Уравнение прямой в форме «наклон-отрезок»: $b$ — это $y$-пересечение прямой, а $x$ и $y$ — координаты точки $(x,y)$ на прямой. Решите уравнение для $m$.

$m=\frac{y}{b}-x$

$m=\frac{y-x}{b}$

$m=\frac{y-b}{x}$

$m=\frac{y}{x}-b$

Показать ответ

Ответ:

Мы можем изменить уравнение, используя алгебраические методы, такие как добавление, вычитание, умножение или деление членов обеих частей уравнения, чтобы найти указанную переменную.

Чтобы изолировать переменную $m$, начните с вычитания $b$ с обеих сторон.

$y-b=mx+b-b$
$y-b=mx$

Затем разделите на $x$ с обеих сторон.

$\frac{y-b}{x}=\frac{mx}{x}$

$\frac{y-b}{x}=m$

Следовательно, $m=\frac{ у-б}{х}$.

Скрыть ответ

Вопрос № 2:

Уравнение площади $A$ трапеции дано ниже через ее высоту $h$ и два основания \ (b_1\) и $b_2$.

$A=\frac{1}{2}(b_1+b_2)h$

Решите уравнение для $b_1$.

$b_1=\frac{2A}{h}-b_2$

$b_1=\frac{2A-b_2}{h}$

$b_1=\frac{Ah}{2} -b_2$

$b_1=\frac{A}{2b_2}-h$

Показать ответ

Ответ:

Мы можем изменить уравнение, используя алгебраические методы, такие как добавление, вычитание, умножение или деление членов в обеих частях уравнения, чтобы найти указанную переменную.

Чтобы решить уравнение для $b_1$, начните с умножения обеих сторон на 2.

$\mathbf{2}\cdot A=\mathbf{2 \cdot}\frac{1}{2}\ left(b_1+b_2\right)h$

$2A=(b_1+b_2)h$

Затем разделите обе части на $h$.

$\frac{2A}{\mathbf{h}}=\frac{(b_1+b_2)h}{\mathbf{h}}$ 92}\)

$\sqrt{\frac{3V}{\pi h}}=r$

Следовательно, $r=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}}$ .

Скрыть ответ

Вопрос №4:

Температура уличного термометра показывает $–4°$ (минус 4 градуса Цельсия). Уравнение для определения температуры в градусах Цельсия, $C$, при заданной температуре в градусах Фаренгейта, $F$:

$C=\frac{5}{9}(F-32) $

Вы хотите узнать температуру на улице в градусах Фаренгейта. Какое из следующих уравнений можно использовать для непосредственного определения температуры в градусах по Фаренгейту?

$F=\frac{9}{5}(C+32)$

$F=\frac{9}{5}C+32$

$F=\frac{5 {9}(\frac{C}{F-2})$

$F=\frac{5}{9}C+32$

Показать ответ

Ответ:

Кому найти температуру в градусах по Фаренгейту через температуру в градусах Цельсия, нам нужно решить для $F$. Начните с умножения обеих сторон на $\frac{9}{5}$.

$\mathbf{\frac{9}{5}\cdot} C=\mathbf{\frac{9}{5}\cdot}\frac{5}{9}(F-32)$

$\ гидроразрыва{9{5}C=F-32$

Отсюда прибавьте 32 к обеим сторонам.

$\frac{9}{5}C\mathbf{+32}=F-32\mathbf{+32}$

$\frac{9}{5}C+32=F$

Таким образом, формула для определения температуры в градусах Фаренгейта при заданной температуре в градусах Цельсия выглядит следующим образом: $F=\frac{9}{5}C+32$.

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

Стоимость, $C$, в долларах, для компании, производящей x учебников, определяется уравнением:

$C=3(x+ 10)-12$

Какое из следующих уравнений можно использовать для непосредственного определения количества учебников, произведенных при заданных затратах?

$x=\frac{C}{x+10}+12$

$x=\frac{C}{3}+4$

$x=\frac{C+12 {3}-10$

$x=\frac{C}{3}+2$

Показать ответ

Ответ:

Найти количество учебников по их стоимости для произвести, нам нужно найти $x$. Начните с добавления 12 к обеим частям уравнения.

$С\mathbf{+12}=3(x+10)-12\mathbf{+12}$
$C+12=3(x+10)$

Отсюда разделите обе части на 3.

$\frac{C+12}{\mathbf{3}}=\frac{3( x+10)}{\mathbf{3}}$

$\frac{C+12}{3}=x+10$

Затем вычтите 10 с обеих сторон.

$\frac{C+12}{3}-10=x+10-10$

$\frac{C+12}{3}-10=x$

Следовательно, число учебников по себестоимости составляет $x=\frac{C+12}{3}-10$.

Скрыть ответ

Вернуться к алгебре I Видео

130695

Решение формул для определенной переменной

Результат обучения

Решение любой заданной формулы для определенной переменной

Хотя формулы и являются математическими, они являются основой для понимания содержания во многих областях обучения. Они полезны в естественных и социальных науках, таких как химия, физика, биология, психология, социология и уголовное правосудие.

Медицинские работники тоже используют формулы, даже для таких рутинных задач, как выдача лекарств. Широко используемая программа для работы с электронными таблицами Microsoft Excel ^TM полагается на формулы для своих расчетов. Многие учителя используют электронные таблицы для применения формул для вычисления оценок учащихся. Важно знать формулы и уметь легко ими манипулировать.
Общепринятая формула [latex]d=rt[/latex] для расчета расстояния на основе скорости и времени. Эта формула дает значение [latex]d[/latex], когда вы подставляете значения [latex]r[/latex] и [latex]t[/latex]. Но что, если вам нужно найти значение [latex]t[/latex]. Нам нужно будет подставить значения [latex]d[/latex] и [latex]r[/latex], а затем использовать алгебру для решения [latex]t[/latex]. Если вам приходилось делать это часто, вы можете задаться вопросом, почему нет формулы, которая дает значение [latex]t[/latex] при подстановке значений [latex]d[/latex] и [latex] р[/латекс]. Мы можем получить такую формулу, решив формулу [латекс]d=rt[/латекс] для [латекс]t[/латекс].
Решить формулу для конкретной переменной означает получить эту переменную саму по себе с коэффициентом [latex]1[/latex] с одной стороны уравнения и всеми остальными переменными и константами с другой стороны. Назовем это решением уравнения для конкретной переменной вообще. Этот процесс также называется решением буквального уравнения . В результате получается другая формула, состоящая только из переменных. Формула содержит буквы, или литералов .
Давайте попробуем несколько примеров, начиная с формулы расстояния, скорости и времени, которую мы использовали выше.
пример
Решите формулу [латекс]d=rt[/латекс] для [латекс]t\текст{:}[/латекс]
Когда [латекс]d=520[/латекс] и [латекс] г=65[/латекс]
Алгебраически
Решение:
Мы запишем решения рядом, чтобы вы могли видеть, что для решения формулы обычно используются те же шаги, что и для замены чисел.
«>
1. Когда [латекс]d = 520[/латекс] и [латекс]r = 65[/латекс] 2. Алгебраически
Напишите формулу. [латекс]d=rt[/латекс] [латекс]d=rt[/латекс]
Замените любые заданные значения. [латекс]520=65т[/латекс]
Разделить, чтобы изолировать t . [латекс] {\ большой \ гидроразрыва {520} {65}} = {\ большой \ гидроразрыва {65t} {65}} [/латекс] [латекс] {\ большой \ гидроразрыв {d} {r}} = {\ большой \ гидроразрыва {rt} {r}} [/латекс] 904:00
Упрощение. [латекс]8=т[/латекс]
[латекс]t=8[/латекс]
[латекс] {\ большой \ гидроразрыв {d} {r}} = т [/латекс]
[латекс] t = {\ Large \ frac {d} {r}} [/ латекс]
Мы говорим, что формула [латекс]t={\Large\frac{d}{r}}[/латекс] решена для [латекс]t[/латекс]. Мы можем использовать эту версию формулы в любое время, когда нам заданы расстояние и скорость, и нам нужно найти время.
Попробуйте
Мы можем использовать формулу [latex]A=\Large\frac{1}{2}\normalsize bh[/latex], чтобы найти площадь треугольника, зная основание и высоту. В следующем примере мы решим эту формулу для высоты.
пример
Формула площади треугольника [латекс]A=\Large\frac{1}{2}\normalsize bh[/latex]. Решите эту формулу для [латекс]h\текст{:}[/латекс]
Когда [латекс]А=90[/латекс] и [латекс]b=15[/латекс]
Алгебраически
Показать ответ
попробуйте
Ранее мы использовали формулу [latex]I=Prt[/latex] для расчета простых процентов, где [latex]I[/latex] — проценты, [latex]P[/latex] — основная сумма, [latex]r[/latex] — десятичная скорость, а [latex]t[/latex] — время в годах.
пример
Решите формулу [латекс]I=Prt[/латекс], чтобы найти главного, [латекс]P\текст{:}[/латекс]
Когда [латекс]I=\text{\$5,600 },r=\text{4%},t=7\text{лет}[/latex]
Алгебраически
Показать ответ
попробуйте
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть еще один пример решения уравнения для определенной переменной.

Позже в этом классе и на следующих уроках алгебры вы встретите уравнения, связывающие две переменные, обычно [латекс]х[/латекс] и [латекс]у[/латекс]. Вам может быть дано уравнение, которое решается относительно [латекс]у[/латекс], и вам нужно решить его относительно [латекс]х[/латекс] или наоборот. В следующем примере нам дано уравнение с [латекс]x[/латекс] и [латекс]у[/латекс] на одной стороне, и мы решим его для [латекс]у[/латекс]. Для этого мы будем следовать тем же шагам, которые мы использовали для решения формулы для конкретной переменной.
пример
Решите формулу [латекс]3x+2y=18[/латекс] для [латекс]у\текст{:}[/латекс]
Когда [латекс]х=4[/латекс]
Алгебраически
Показать ответ
В предыдущих примерах мы использовали числа в части (а) как руководство к алгебраическому решению в части (б). Как вы думаете, вы готовы решить формулу в целом, не используя числа в качестве ориентира?
пример
Решите формулу [латекс]P=a+b+c[/латекс] для [латекс]а[/латекс].
Показать ответ
попробуйте

пример
Решите уравнение [латекс]3x+y=10[/латекс] для [латекс]у[/латекс].
Показать ответ
попробуйте
пример
Решите уравнение [латекс]6x+5y=13[/латекс] для [латекс]у[/латекс].
Показать ответ
попробуйте
В следующем видео мы покажем еще один пример решения уравнения для определенной переменной.

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.
No related posts.