Функции пределы примеры: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Предел. Непрерывность функции (Лекция №1)

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной. Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,…, постоянные – a, b, c,…

Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.

Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.

УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина, если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.

Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x₁,x₂,…,x_n,… Для таких величин при i < j, i, j Î N, значение x_i считается предшествующим, а x_j – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы.

Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами.

Например, числовую последовательность образуют следующие величины:

1. ,
2. ,
3. , где а, d – постоянные числа.

ФУНКЦИЯ

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr². Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой.

Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y называется функцией переменной х. Символически будем записывать y=f(x). При этом переменная x называется независимой переменной или аргументом.

Запись y=C, где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C.

Множество значений x, для которых можно определить значения функции y по правилу f(x), называется областью определения функции.

Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел.

К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые в школьном курсе математики:

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана основными элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа – производная, интеграл и др.

Начнем с понятия предела числовой последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {

x_n}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n — a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n стремится к a, и пишут .

Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.

Окрестностью точки x₀ называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x₀, для которой x₀ является серединой, тогда x₀ называется центром окрестности, а величина (b–a)/2 – радиусом окрестности.

Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).

Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {x_n}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

Примеры.

1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

   Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1.

   Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n — 1| < ε. Действительно, т.к.

   ,

   то для выполнения соотношения |x_n — a| < ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например, , то, положив N=6, для всех n>6 будем иметь .

2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что .

   Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим

   .

   Тогда , если или , т.е. . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение x_n = c

, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство |x_n — c| = |c — c| = 0 &lt ε.

Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что x_n → a и одновременно x_n → b. Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса ε (см. рис.). Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения . Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a. Будем обозначать это так x → a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b.Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x → a.

Введем строгое определение предела функции.

Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a

, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x — a| < δ, имеет место неравенство |f(x) — b| < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a, то пишут или f(x) → b при x → a.

Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x — a| < δ должно следовать неравенство |f(x) — b| < ε, т.е. при x Î (a — δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) Î (b — ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x, лежащих в δ – окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми

y = b – ε и y = b + ε.

Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x → a функция имеет предел, то он единственный.

Примеры.

1. Найти предел функции y=2x+1 при x → 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M(x, y) графика стремятся к точке M(1, 3), т. е. можно предположить, что . Докажем это. Зададим произвольное число ε > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2x+1) – 3|<ε или |2x–2| < ε, откуда |x– 1| < ε. Таким образом, если положить δ = ε/2, то при всех x, удовлетворяющих неравенству |x– 1|<δ, будет выполняться неравенство |y – 3| < ε. По определению предела это и означает, что 3 есть предел функции y=2x+1 при x → 1.

   
   

2. Найти предел функции y=e^x+1 при x → 0.

   Используя график заданной функции, несложно заметить, .

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ

До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.

Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х₀, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.

Например, пусть переменная х принимает значения x₁= –1, x₂=2, x₃= –3, …, x_n=(–1)ⁿn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.

Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M.

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство |f(x) — b| < ε.

Обозначают .

Примеры.

1. Используя определение, доказать, что .

   Нужно доказать, что при произвольном ε будет выполняться неравенство , как только |x|>M, причем число М должно определяться выбором ε. Записанное неравенство эквивалентно следующему , которое будет выполняться, если |x|>1/ε=M. Это и значит, что (см. рис.).

2. Несложно заметить, что .
3. не существует.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.

Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х≠a, удовлетворяющих условию |x-a| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→a, то пишут или f(x)→∞ при x→a.

Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x→∞.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .

Примеры.

1. .
2. (см. рис.).

3. .
4. Функция при x→0 не стремится ни к какому пределу (см. рис.).

ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента.

Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D.

Примеры.

1. Функция y=sin x, определенная при -∞<x<+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x|≤1 = M.
2. Функция y=x²+2 ограничена, например, на отрезке [0, 3], так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f(3) = 11.
3. Рассмотрим функцию y=ln x при x Î (0; 1). Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x→0 ln x→-∞.

Функция y=f(x) называется ограниченной при x → a, если существует окрестность с центром в точке а, в которой функция ограничена.

Функция y=f(x) называется ограниченной при x→∞, если найдется такое число N>0, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, функция f(x) ограничена.

Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.

Теорема 1. Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a.

Доказательство. Т.к. , то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при вех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ, выполняется неравенство |f(x) –b|<ε. Воспользовавшись свойством модуля |f(x) – b|≥|f(x)| — |b|, последнее неравенство запишем в виде |f(x)|<|b|+ ε. Таким образом, если положить M=|b|+ ε, то при x→a |f(x)|<M.

Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Приведите пример.

Теорема 2. Если , то функция y=1/f(x) ограничена при x→a.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что при произвольном ε>0 в некоторой окрестности точки a имеем |f(x) – b|<ε. Т.к. |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| — |f(x)|, то |b| — |f(x)|< ε. Следовательно, |f(x)|>|b| — ε >0. Поэтому и

Пределы функции одной переменной

Лекция 4.2

Тема 4 . Пределы и непрерывность функции одной переменной.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятиями числовой последовательности, предела числовой последовательности; пределом функции в точке.

План лекции:

1.       Числовая последовательность.

2.       Предел числовой последовательности.

3.       Предельный переход в неравенствах.

4.       Предел функции в точке.

5.       Односторонние пределы.

6.       Предел функции при .

7.       Бесконечно большая функция.

8.       Бесконечно малые функции.

9.       Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

10.   Основные теоремы о пределах.

11.   Признаки существования пределов.

 

1.     Числовая последовательность.

Под числовой последовательностью х₁, х₂,…,х_п… понимается функция  заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается  Число х₁ называется первым членом (элементом) последовательности,…, х_п ‒ общим или п-ым членом последовательности.

Чаще всего последовательность задаётся формулой её общего члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру п. Например,   ;

  ;

   ;

   .

Последовательность  называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что выполняется неравенство  В противном случае последовательность называется неограниченной. В нашем примере последовательности  и  ограничены, а  и  ‒ неограничены.

Последовательность  называется возрастающей (неубывающей), если  выполняется неравенство . Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными. В нашем примере только  не монотонная последовательность.

Если все элементы последовательности  равны одному и тому же числу с, то её называют постоянной.

2.     Предел числовой последовательности.

Можно заметить, что все члены последовательности  неограниченно приближаются к числу 1.

Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  найдётся такое натуральное число N, что при всех выполняется неравенство:  В этом случае пишут или . Говорят также, что последовательность  сходится к а.

Коротко определение предела можно записать так:

Пример 1: Доказать, что .

Решение: По определению число 1 будет пределом последовательности  если для любого положительного числа  найдётся такое натуральное число N, что при всех  выполняется неравенство:  т. е. . Оно справедливо для всех т.е. для всех . Если  то в качестве N можно взять , где целая часть числа  (целая часть числа х, обозначаемая , есть наибольшее целое число, не превосходящее х, так ). Итак,  указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что .

Выясним геометрический смысл определения предела последовательности. Неравенство  равносильно неравенствам  или , которые показывают, что элемент х_п находится в -окрестности точки а.

                                         х_п

             О                        а                                       х

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки а найдётся натуральное число N, что все значения х_п, для которых , попадут в -окрестность точки а.

Ясно, что чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри -окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне её может быть лишь конечное число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Постоянная последовательность =с имеет предел, равный с.

3.     Предельный переход в неравенствах.

Рассмотрим последовательности , и .

Теорема 1: Если ,  и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то .

r Допустим, что . Из равенств  и  следует, что  и , т.е.

   и    .

Возьмём . Тогда , т.е.

   , т.е. . Отсюда следует, что . Это противоречит условию (). Следовательно .

Теорема 2: Если ,  и справедливо неравенство (начиная с некоторого номера), то .

4.     Предел функции в точке.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, быть может, самой точки х₀.

Определение 1 (на «языке» последовательностей, или по Гейне). Число А называется пределом функции  в точке х₀ (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента х_п, ( ), сходящейся к х₀, (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции  сходится к числу А (т.е. ).

В этом случае пишут  или  при . Геометрически смысл предела функции означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке », или по Коши). Число А называется пределом функции  в точке х₀, если для любого положительного  найдётся такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Или короче:

,

Геометрический смысл предела функции: , если для любой -окрестности точки А найдётся такая -окрестность точки х₀, что для всех  из этой -окрестности соответствующие значения функции  лежат в -окрестности точки А.

Пример 2: Доказать, что

Решение: Возьмём произвольное , найдём такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство  т.е.  Взяв  видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству  выполняется неравенство  Следовательно

5.     Односторонние пределы.

В определении предела функции считается, что х стремится к х₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем х₀ (слева от х₀), большим, чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около точки х₀. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х₀ существенно влияет на значение предела функции.

Число А₁ называется пределом функции  в точке х₀ слева, если

.

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции справа и слева называются односторонними пределами. Очевидно, что если существует , то существуют и оба односторонних предела. Справедливо и обратное: если существую оба односторонних предела и они равны, то существует

.

Если же , то  не существует.

6.     Предел функции при .

Пусть функция  определена на промежутке . Число А называется пределом функции  при , если для любого положительного числа  существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

.

Геометрически смысл этого определения таков: , что при  или  соответствующие значения функции попадают в -окрестность точки А.

                                     у

 

 

 

 

                ‒М                           О                                     М                            х

 

7.      Бесконечно большая функция (ББФ).

Функция  называется бесконечно большой при , если для любого числа , существует число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают  или  при . Коротко:

.

Функция , заданная на всей числовой прямой называется бесконечно большой при  если для любого числа  найдётся такое число , что при всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:

.

Очевидно, всякая ББФ в окрестности точки х₀является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть ББФ (например, ).

Однако, если , где А ‒ конечное число, то функция  ограничена в окрестности точки х₀.

 

8.     Бесконечно малые функции (БМФ).

Функция у= называется бесконечно малой при , если

По определению предела функции, это означает: найдётся число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Аналогично определяются бесконечно малые функции при : во всех этих случаях .

Примерами б.м.ф. служат функции  при ;  при ;  при

Теорема 3: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема 4: Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Следствие 1: Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы 4 вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 2: Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Следствие 3: Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема 5: Если функция ‒ бесконечно малая , то функция  есть бесконечно большая функция и наоборот: если  ‒ бесконечно большая, то  ‒ бесконечно малая.

9.     Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 6: Если функция  имеет предел, равный А, то её можно представить как сумму числа А и б. м.ф. ,

т.е., если , то =А+.

Теорема 7 (обратная): Если функцию  можно представить в виде суммы числа А и б.м.ф. , то число А является пределом функции ,

т.е., если =А+, то .

10. Основные теоремы о пределах.

Теорема 8: предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:          

Теорема 9: Функция может иметь только один предел при .

Теорема 10: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:           

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие 2: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:  . В частности .

Теорема 11: Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если последний не равен нулю:

 ,  .

Пример 3: Вычислить .

Решение: .

Пример 4: Вычислить .

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при , равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на ( т.к. , но ).

Пример 5: Вычислить .

Решение: Здесь мы имеем дело  с неопределённостью вида . Для нахождения предела дроби разделим числитель и знаменатель на х²:

.

Функция  есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому . Аналогично, .

11. Признаки существования пределов.

Теорема 12 (о пределе промежуточной функции): Если функция  заключена между двумя функциями  и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е., если

, , , то .

Теорема 13 (о пределе монотонной функции): Если функция  монотонна и ограничена при  или при , то существует соответственно её левый предел  или её правый предел.

Теорема 14: Ограниченная монотонная последовательность х_п, , имеет предел.

 

Ограничение функции

• Дом

• Узнать

• Исчисление

• Пределы
• Непрерывность и разрыв
• Дифференциация или производные
• Теорема о цепном правиле
• Интеграция
• Применение Интеграла

дифференциальное исчисление Ссылки

в.ч. Ссылки

Предел — это математическое вычисление, которое сообщает нам значение, принимаемое математическим выражением/функцией, когда независимая переменная приближается к определенному значению. определенное значение.

---

Пусть функция `f(x`) определена на открытом интервале в окрестности числа «а».
Если по мере того, как `x` приближается к «a» как с левой, так и с правой стороны от «a», `f(x`) приближается к определенному числу «L», тогда «L» называется пределом `f(x)` как ` x` приближается а.

Символически ,
Лимит выражается следующим образом:

`Lim_(x->a) f(x) = L `

И читается как «Предел `f(x)`, поскольку `x-> `a равно L» .

В соответствии с этим определением предела функции мы можем разделить пределы на следующие три типа:

•  Предел функции, когда X приближается к некоторой фиксированной константе
•  Предел функции при приближении X к +ve/-ve бесконечности
•  Предел функции при приближении X к 0

Есть несколько фундаментальных теорем о пределах функций. Мы приводим их краткие заявления здесь.

---

1. Пусть у нас есть две функции `u` и `v`, для которых

`Lim_(x->a) u(x)= P` и `Lim_(x->a) v(x) = Q`, то
`Lim_(x->a) [u(x) + v(x)] `= `Lim_(x->a) u(x) `+ `Lim_(x->a) v(x) `= P + Q

Пример 1:

---

2. Для двух функций u и v, рассмотренных выше,

`Lim_(x->a) [u(x) – v(x)] `= `Lim_(x-> а) u(x)` – `Lim_(x->a) v(x) `= P – Q

Пример 2:

---

3. Пусть у нас есть действительное число c, тогда

`Lim_(x->a) [Cu(x)]` = C `Lim_(x->a) [u( x)]` = CP

Пример 3:

---

4. Предел Произведения двух функций равен произведению пределов двух функций.

`Lim_(x->a) [u(x) v(x)] `= `[Lim_(x->a) u(x)] [ Lim_(x->a) v(x)]` = P Q

Пример 4:

---

5. Предел частного двух функций равен частному пределов двух функций (при условии, что предел знаменатель не равен нулю).

9n `

Пример 6:

---

В исчислении много раз возникает ситуация, когда ввод значения `x` дает нам выражение формы `( 0 )/( 0 )` . Когда возникает такая ситуация, мы используем метод упрощения, чтобы разложить на множители выражения числителя и знаменателя, чтобы увидеть, есть ли общий множитель для обоих. Если такой общий множитель все-таки встречается, мы их сокращаем и обычно получаем выражение, в котором введение предела не дает нам вида `( 0 )/( 0 ) `. Мы представили некоторые из примеров такого сценария здесь:

Пример 7:

---

При оценке пределов в бесконечности мы делим члены числителя и знаменателя на наибольшую степень переменной, которая появляется в знаменателе, и затем поместите предел в новое сформированное выражение.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

---

• Пределы
• Непрерывность и разрыв
• Дифференциация или производные
• Теорема о цепном правиле
• Интеграция
• Применение Интеграла

Спираль

Станьте участником сегодня!

 Зарегистрируйтесь (бесплатно)

Вы член? Войти!

 Войдите в свою учетную запись

Свойства пределов

Обозначение предела

Предел функции обозначается как f ( x ) → L как x → a или с использованием обозначения предела:

\[\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L. \]

Ниже предполагается, что пределы функций \(\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right),\) \(\lim\limits_{x \to a} g\left( x \ справа),\) \(\lim\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right),\) \(\ldots,\) \(\lim\limits_{x \to a} { f_n}\left( x \right)\) существуют.

Правило суммы

Это правило гласит, что предел суммы двух функций равен сумме их пределов:

\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f \left( x \right) + \lim\limits_{x \to a} g\left( x \right).\]

Правило расширенной суммы

\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right) + \ldots + {f_n}\left( x \right)} \right] = \lim\limits_ {x \to a} {f_1}\left( x \right) + \ldots + \lim\limits_{x \to a} {f_n}\left( x \right).\]

Правило постоянной функции

Пределом постоянной функции является константа:

\[\lim\limits_{x \to a} C = C.\]

Постоянное множественное правило

Предел константы, умноженной на функцию, равен произведению константы на предел функции:

\[\lim\limits_{x \to a} kf\left( x \right) = k\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right). \]

Продукт Правило

Это правило гласит, что предел произведения двух функций есть произведение их пределов (если они существуют):

\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} f\ влево( x \вправо) \cdot \lim\limits_{x \to a} g\влево( x \вправо).\]

Расширенное правило продукта

\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {{f_1}\left( x \right){f_2}\left( x \right) \cdots {f_n}\left( x \right)} \right] = \lim\limits_{x \to a} {f_1}\left( x \right) \cdot \lim\limits_{x \to a} {f_2}\left( x \right) \cdots \lim \limits_{x \to a} {f_n}\left( x \right).\]

Частное правило

Предел частного двух функций есть частное их пределов при условии, что предел в знаменателе функции не равен нулю:

\[\lim\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}{{\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right)}},\;\;\; \text{if}\;\;\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right) \ne 0. \]

Сила Правило 9{\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)}},\]

, где основание \(b \gt 0.\)

Предел логарифма функции

\[\lim\limits_{x \to a} \left[ {\log _b f\left( x \right)} \right] = \log_b \left[ {\lim\limits_{x \to a} f \влево( х \вправо)} \вправо],\]

, где основание \(b \gt 0.\)

Теорема сжатия

Предположим, что \(g\left( x \right) \le f\left( x \right) \le h\left( x \right)\) для всех \(x\), близких к \(a,\) за исключением, быть может, \(х = а\). Если

\[\lim\limits_{x \to a} g\left( x \right) = \lim\limits_{x \to a} h\left( x \right) = L,\]

, затем

\[\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L.\]

Идея здесь в том, что функция \(f\left( x \right)\) зажата между двумя другими функциями, имеющими тот же предел \(L.\)

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

Найти предел \[\lim\limits_{x \to 10} \left( {2x\lg {x^3}} \right).