Функции уравнения: Функциональные уравнения | Математика, которая мне нравится

Функциональные уравнения | Математика, которая мне нравится

Функциональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

   

Решить функциональное уравнение — значит, найти неизвестную функцию, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно обращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все).

Соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют потому, что неизвестные функции — искомые.

Многие функциональные уравнения содержат несколько переменных. Все эти переменные, если на них не наложены какие-то ограничения, являются независимыми.

Всегда четко должно быть оговорено, на каком множестве функциональное уравнение задается, т.е. какова область определения каждой неизвестной функции. Общее решение функционального уравнения может зависеть от этого множества.

Кроме области определения функций, важно знать, в каком классе функций ищется решение. Количество и поведение решений очень строго зависит от этого класса.

Вообще для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно очень мало общих методов решения. Рассмотрим основные приемы, помогающие найти решения таких уравнений.

Идея непрерывности

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются следующие два условия:

1) точка принадлежит области определения функции ;

2) , разумеется, в предположении, что этот предел существует.

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, функция не является непрерывной в точке , она будет разрывной в этой точке.

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках этого отрезка.

Справедлива следующая теорема:

Теорема Больцано — Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает неравные значения и , то она принимает все промежуточные между и значения на отрезке .

Пример 1. Функция непрерывна на всей вещественной прямой и удовлетворяет равенству для всех . Доказать, что уравнение имеет хотя бы одно решение.

Решение. Рассмотрим функцию . Предположим, что для всех . Тогда в силу непрерывности либо для всех , либо для всех . (Если бы существовали такие и , что , то по теореме Больцано — Коши, внутри отрезка была бы точка, в которой обращалась бы в нуль, что противоречит предположению.

Пусть для определенности , то есть для всех . Обозначим . Тогда, так как , то , что противоречит тому, что . Значит, при некотором имеем .

Пример 2. Функция задана на всей вещественной оси, причем выполняется равенство

   

Доказать, что f не может быть непрерывной.

Решение. Функция не может принимать значение . Действительно, при имеем . Значит, для всех или . Выразим из нашего равенства :

   

Значит, неравенство невозможно, иначе .

Если же , то должно выполняться неравенство , откуда и

   

следовательно, получаем, что . Противоречие.

Пример 3. Найти все непрерывные функции , удовлетворяющие соотношению для любого .

Решение. В данное уравнение подставим вместо (это можно сделать, так как функция определена для всех ), и еще несколько раз проделаем то же самое, получим

   

По непрерывности функции в нуле имеем

   

Получили, что , то есть функция — постоянная.

Уравнения Коши

1. Уравнение

   

в классе непрерывных функций имеет решение >.

Такое же решение оно имеет и в классе монотонных функций.

2. Уравнение

   

в классе непрерывных функций имеет решение (если не считать .

3. Уравнение

   

в классе непрерывных функций имеет решение (если не считать ).

4. Уравнение

   

в классе непрерывных функций имеет решение (если не считать ).

Метод сведения функционального уравнения к известному с помощью замены переменной и функции

Пример 4. Найти все непрерывные функции, удовлетворяющие уравнению

   

Решение. В качестве вспомогательной функции возьмем функцию

   

Подставляя в исходное уравнение , получаем

   

то есть функция удовлетворяет первому уравнению Коши, откуда .
Пример 5. Найти все непрерывные функции , удовлетворяющие уравнению

   

Решение. Поделим уравнение на , получим

   

Введем вспомогательную функцию , тогда получим уравнение

   

то есть функция удовлетворяет третьему уравнению Коши, откуда .

Метод подстановок

Пример 6. Найти все решения функционального уравнения

   

Решение. Положим , имеем . Поскольку произвольно, то .

Пусть теперь . Подставив в уравнение , получим

   

откуда , где .

Нетрудно убедиться, что эта функция действительно удовлетворяет исходному функциональному уравнению.

Пример 7. Пусть — некоторое вещественное число. Найти функцию , определенную при всех и удовлетворяющую уравнению

   

где — заданная функция, определенная при всех .

Решение. При замене выражение переходит в . Получаем систему уравнений

   

решением которой при является функция

   

Предельный переход

Пример 8. Функция непрерывна в точке и выполняется равенство

   

Найти все такие .

Решение. Пусть функция удовлетворяет условию задачи. Тогда

   

Проверка показывает, что действительно является решением.

Пример 9. Найти функцию , ограниченную на любом конечном интервале и удовлетворяющую уравнению

   

Решение. .

   

Сложим все эти равенства:

   

   

Перейдем к пределу при . Учитывая ограниченность в нуле и то, что , получаем

   

Производная и функциональные уравнения

Пример 10. Найти все вещественные дифференцируемые функции , удовлетворяющие уравнению

   

Решение. Пусть . Имеем , откуда .

После преобразований имеем

   

Переходим к пределу при , учитывая, что , получаем

   

где . Интегрируем:

   

откуда и . Так как , то , и .

Проверкой убеждаемся, что все эти функции — решения исходного уравнения.

Пример 11. Найти все функции , являющиеся решениями уравнения

   

Решение. : .

Введем новые функции:

   

Функция — четная, а — нечетная, >, и для этих функций имеем

   

Поскольку , то и .

Проверкой убеждаемся, что все такие — действительно решение.

Решение функциональных уравнений на множестве натуральных чисел

Пример 12. Каждому натуральному числу поставлено в соответствие целое неотрицательное число так, что выполняются следующие условия:

1) для любых двух натуральных чисел и ;

2) , если последняя цифра в десятичной записи числа равна ;

3) .

Доказать, что для любого натурального .

Решение. Поскольку , , , , то .

Любое натуральное число можно представить в виде , где Н.О.Д., иначе или . Отсюда или . , откуда .

Задачи

1.

   

Найдите , если .

2. Найти все непрерывные функции такие, что

   

3. Пусть . Найти все вещественнозначные функции на :

   

4. Найдите все функции такие, что

   

5. Найти все непрерывные функции , удовлетворяющие уравнению

   

6. Решите уравнение

   

7. Найдите решение уравнения

, если

— постоянная, в классе функций натурального аргумента.

8. Найти все полиномы : и

   

9. Существует ли непрерывная функция , определенная на всей вещественной оси , такая, что для всех ?

10. Пусть функция при всех удовлетворяет соотношению

   

Докажите, что — постоянная функция.

11. Найдите непрерывно-дифференцируемое решение функционального уравнения

   

удовлетворяющее условию .

12. В предположении, что существует единственная функция , такая, что

   

надите ее.{2}}+2{x} -8=0\).

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.

Что у тебя получилось? То же самое?

Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Функции и графики — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это

х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

 

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону — слева направо):

 

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x₁; 0) и (x₂; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x₀; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

• если коэффициент a > 0, в функции y = ax² + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
• если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

 

Графики других функций

К оглавлению…

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

 

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T₁, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Понятие равности функций и равносильности уравнений

Учащиеся редко задумываются над формальным вопросом: «Что именно означают выражения: «Эти две функции равны» и «Эти две функции различны»? Это и понятно, потому что на практике равенство функций достаточно очевидно, а для утверждения о различии функций учащиеся чаще всего опираются на внешний вид этих функций, а это не только неверно логически, но может привести и к фактическим ошибкам. Похожая ситуация и с понятием равносильности уравнений.

Функции равные и различные.

Определение равных функций вполне естественно и очевидно:

две функции называются равными, если они имеют одинаковые области определения и при каждом значении аргумента из этой области определения принимают равные значения.

Поэтому две функции не равны, т.е. различны, если они либо имеют различные области определения, либо при некотором значении аргумента принимают разные значения. Здесь сразу же видно главное: чтобы убедиться, что две функции f и g различны, нужно привести пример такого значения аргумента, т.е. число a, для которого $f(a)\neq g(a)$.

Теперь перейдём к понятию равносильности уравнений.

Два уравнения или неравенства называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений, т.е. истинны при одних и тех же значениях переменной (или переменных). Для краткости вместо слова «равносильно» употребляют знак $\Leftrightarrow$ и таким образом, например, $xy=0 \Leftrightarrow x=0$ или $y=0, \frac xy=0 \Leftrightarrow x=0$ и $y\neq0, a>b \Leftrightarrow b<a, a \geq b \Leftrightarrow a<b$ или a=b.

В действительности, понятие равносильности относится к произвольным предложениям с переменными — высказывателъным формам. Например, равносильны утверждения «Точка С — середина отрезка АВ» и «С принадлежит отрезку АВ и делит его пополам», утверждения «Выпуклый четырехугольник ABCD — параллелограмм» и «Противолежащие стороны четырехугольника ABCD попарно параллельны» — заметим, что в первой паре равносильных утверждений три переменных: А, В, С, а во второй паре их четыре: С — середина отрезка $AB \Leftrightarrow C \in AB$ и АС=СВ, четырехугольник ABCD — параллелограмм $\Leftrightarrow AB \parallel CD, AD \parallel BC$.

В такого рода предложениях вместо «равносильно» в математике чаще говорят в том и только в том случае, необходимо и достаточно, тогда и только тогда — эти словесные обороты означают одно и то же.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Одна функция убывает, другая — возрастает. Метод решения уравнений

Какие уравнения решаются через возрастание/убывание?

Для начала следует разобраться, какие уравнения могут быть решены посредством использования возрастания/убывания функций, отвечающих частям уравнения.

Во-первых, это уравнения f(x)=C, где f(x) – некоторое выражение с переменной x, а C – некоторое число, причем эти уравнения должны удовлетворять следующим критериям:

• Не видно альтернативных более простых методов решения уравнения.
• ОДЗ для уравнения есть некоторый числовой промежуток (позже в этом пункте мы скажем и про уравнения, ОДЗ для которых есть не отдельный числовой промежуток, а объединение нескольких промежутков).
• Есть возможность определить корень уравнения каким-либо способом, часто путем подбора.
• Есть возможность доказать возрастание или убывание функции f.

В качестве примера приведем уравнение . Это уравнение вида f(x)=C, где , C=4. Сразу видно, что для решения этого уравнения может подойти разве что функционально-графический метод, так как переменная находится под знаками «разнородных» функций: функции извлечения корня и функции арктангенс. Причем строить график функции, отвечающей левой части уравнения, довольно сложно. Более простых привычных способов решения не видно. ОДЗ для этого уравнения определяется условием , откуда находим, что ОДЗ есть числовой промежуток . Учитывая рекомендации по определению корней уравнения, которые мы дадим в одном из следующих пунктов текущей статьи, несложно подобрать корень уравнения, им является число 1. Рекомендации по обоснованию возрастания/убывания, которые мы также дадим чуть позже, позволяют показать возрастание функции, отвечающей левой части уравнения. То есть, выполняются все критерии, которым должно удовлетворять уравнение для его решения посредством использования возрастания/убывания.

Во-вторых, через возрастание/убывание решаются уравнения f(x)=g(x), где f(x) и g(x) – это некоторые выражения с переменной x, удовлетворяющие следующим критериям:

• Не видно других более простых методов решения.
• ОДЗ для уравнения есть отдельный числовой промежуток (про уравнения, ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков, скажем чуть позже).
• Есть возможность определить корень уравнения.
• Есть возможность доказать возрастание одной из функций f или g и убывание другой.

Поясним на примере. Для этого подойдет уравнение . Это уравнение вида f(x)=g(x), где и . Здесь переменная есть в показателе степени и под знаком натурального логарифма. Это сразу существенно ограничивает набор методов, подходящих для его решения, оставляя только функционально-графический или какие-либо специфические методы. Графики здесь мало что дают в плане нахождения корней. Остается опираться лишь на свойства функций. При этом легко определить область допустимых значений переменной x для уравнения, она представляет собой числовой промежуток . Также легко подбирается корень уравнения, им является число 3, и легко обосновывается убывание функции, отвечающей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Значит, это уравнение может быть решено посредством использования возрастания/убывания.

Теперь про уравнения f(x)=C и f(x)=g(x), ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков. Если они на отдельно взятом промежутке области допустимых значений удовлетворяют записанным выше критериям, то на этом промежутке можно получить их решение посредством использования возрастания/убывания. Если это сделать на каждом промежутке области допустимых значений, то будет получено решение уравнения в целом.

И вновь обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим уравнение . Для него не просматривается простое решения привычными методами, отличными от направления функционально-графического метода, подразумевающего использование возрастания/убывания. ОДЗ для этого уравнения представляет собой не отдельно взятый числовой промежуток, а объединение двух числовых промежутков (−∞, 0) и (0, +∞). На каждом из этих промежутков несложно подобрать корни уравнения. Корнем на первом промежутке является число −8, а на втором – число 27. Также на каждом промежутке легко обосновать убывание функции, отвечающей левой части уравнения, и возрастание функции, отвечающей правой части уравнения. Значит, это уравнение может быть решено через возрастание/убывание.

То есть, решение уравнений f(x)=C и f(x)=g(x), ОДЗ для которых есть объединение нескольких числовых промежутков, сводится к решению этих уравнений на отдельно взятых промежутках. По этой причине метод решения можно постигать на уравнениях f(x)=C и f(x)=g(x), ОДЗ для которых представляет отдельный числовой промежуток.

К началу страницы

SOLIDWORKS. Уравнения. Основные понятия и функции.

В программе SOLIDWORKS использование уравнений полностью интегрировано в систему. То есть, когда вы проставляете какие-либо размеры, у вас появляются окошки с запросом ввести величину. Это окно является многофункциональным. Непосредственно в нем можно ввести сразу уравнение.
Уравнением будет считаться даже выражение «=20/2».
Знак «=» является неким «триггером» для системы, что сейчас будет вводиться уравнение.
Также в этом окне можно сразу задать зависимость с другими параметрами редактируемой модели.
Ниже представлены следующие зависимости, ввод которых доступен по умолчанию.

Зависимости
‍

Для того, чтобы просмотреть и отредактировать все зависимости, которые присутствуют в модели, необходимо зайти непосредственно в окно
уравнений.
‍

Уравнения
‍

Далее открывается следующее окно.
‍

Уравнения, глобальные переменные и размеры
‍

Здесь мы видим три категории, на которые разделена таблица: «Глобальные переменные», «Элементы», «Размеры».

В группе «Глобальные переменные» можно создавать переменные и в столбце «Значения/ Уравнения» проводить какие-либо расчеты. Также эти значения можно привязать к какому-либо размеру из группы «Размеры», затем указанные значения дальше транслировать в расчетах не как полное имя размера или значения, а просто буквой.

В группе «Элементы» можно только задавать итоговое значение — «Погашен»/ «Не погашен», исходя из условий или ограничений, которые необходимы при расчете.

В группе «Размеры» приведены все параметры, которые дают модели статус «Определен». Это могут быть линейные или угловые размеры, значения определяющие массивы или какие-либо параметры других операций элементов: расстояние вытягивания, угол поворота вокруг оси, количество элементов в различных видах массивов.

SOLIDWORKS дает широкий ассортимент инструментов, которыми можно пользоваться при задании зависимостей. Они могут быть как математическими, так и логическими.
Ниже приведена таблица операторов, функций и констант:
‍

Таблица операторов, функций и констант
‍

Функция «Уравнения» имеет четыре типа уравнений:
1 тип. Позволяет просмотреть все глобальные переменные и уравнения для размеров и элементов.
2 тип. Дает возможность просмотреть глобальные переменные и уравнения, использованные в эскизах.
3 тип. Для просмотра всех глобальных переменных, уравнений и размеров, использованных в активной детали или сборке, не зависимо от того, связаны они с уравнением или нет.
4 тип. «Упорядоченный вид» , чтобы просмотреть глобальные переменные и уравнения в порядке их решения.

Таким образом, сегодня мы познакомились более детально с инструментарием, предложенным нам при работе с уравнениями; узнали про виды операций, которые возможно производить при помощи уравнений; узнали про виды уравнений.
‍
В следующей статье мы рассмотрим, как на практике пользоваться всеми функциями уравнений.

‍

Дифференциальные уравнения, общие понятия — Доктор Лом

В общем случае определение дифференциального уравнения может выглядеть так:

Дифференциальным уравнением называется равенство между функцией и ее производной или дифференциалом.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного аргумента. Например:

у’ = f(x) (539.1)

Напомню, функциональное уравнение может иметь следующий вид:

у = f(x) (538.1)

Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если искомая функция зависит от нескольких аргументов. Например:

у’ = f(x₁,x₂) или у’ = f(x,u) (539.2)

где х₁, х₂ или х, u — возможные обозначения для различных аргументов функции.

Порядком дифференциального уравнения считается порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например уравнение (539.1) является уравнением первого порядка. Уравнение второго порядка может иметь вид:

y» = f(x) (539.3)

Решением дифференциального уравнения является функция, подставление которой вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. Другими словами уравнение становится равенством.

А теперь эти общие математические понятия (кстати тут приведены далеко не все основные понятия) попробуем описать простым человеческим языком, но начать придется издалека.

Производная функции

Мы живем в несовершенном, постоянно изменяющемся мире. Все течет, все изменяется, как подметил еще Гераклит. Однако в древности были и другие мыслители, которые в отличие от Гераклита пытались этот мир как-то понять и оценить. Так далеко в историю мы заглядывать не будем, хотя предпосылки к дифференциальному исчислению следует искать именно там, а ограничимся простыми и наглядными примерами:

Пример 1

Мы вышли из пункта А в пункт Б и находились в пути 4 часа, каждый час мы проходили по 2 километра. Вопрос: какое расстояние между пунктами А и Б?

Вообще это задачка для 3-4 класса начальной школы и решить ее вроде бы не сложно (потому я ее и выбрал): достаточно сложить все расстояния, пройденные за каждый час, а так как эти расстояния одинаковые, то можно еще больше упростить задачу, умножив на 4 расстояние, пройденное за один промежуток времени. Таким образом расстояние между пунктами А и Б составляет:

2 км · 4 = 8 км (539.4)

А между тем условия задачи можно рассматривать и по другому, т.е. как зависимость пройденного расстояния от времени. В этом случае у нас время -независимая переменная t или аргумент функции, а пройденное расстояние — значение функции в тот или иной момент времени или переменная s. Тогда условия задачи соответствуют следующему функциональному уравнению:

s = f(t) = 2t (539.5)

а также графику этой функции:

Рисунок 539.1. График функции f(t) = 2t.

 

Так если по оси t откладывать промежутки времени Δt (ч), которое мы были в пути, а по оси s — преодоленное за эти промежутки времени расстояние Δs (км), то график указанной функции будет иметь такой вид, как показано на рисунке 539.1. В общем случае используются более привычные оси х и у, соответственно рассматриваются функции вида y = f(x), но сути дела это никак не меняет.

Решая уравнение (539.5) мы можем определить не только общее расстояние, преодоленное за 4 часа пути, но и в любой интересующий нас момент времени. Например, нас интересует, какое расстояние мы прошли за 1.5 часа. Согласно уравнению (539.5) это расстояние составит 2·1.5 = 3 километра.

А если нас интересует не расстояние, преодоленное к тому или иному моменту времени, а скорость движения? Можем ли мы определить эту скорость на основе имеющихся данных?

Оказывается можем, потому что скорость — это тоже функция, которая в свою очередь также зависит от времени.

Так как каждый час мы преодолевали по 2 км, то отсюда можно сделать вывод, что скорость нашего движения была постоянной, тогда по давно известному нам уравнению, описывающему движение с постоянной скоростью:

v = s/t = 8/4 = 2 км/ч (539.6)

В данном случае, так как скорость постоянная, не имеет значения, на каком временном промежутке мы эту скорость определяем. Тем не менее рассмотрим данную ситуацию с точки зрения математики.

Временные промежутки, когда засекалось пройденное расстояние, мы обозначим как Δt = 1, соответственно t = ΣΔt = 1 + 1 + 1 + 1 = 4. Расстояния, пройденные за эти промежутки времени обозначим как Δs = 2. На графике функции это будет выглядеть так:

Рисунок 539.2

С точки зрения математики временные промежутки Δt — это приращение аргумента функции:

Δt = t — t₀ (539.7)

Соответственно расстояния, пройденные за рассматриваемый промежуток времени — это приращение функции:

Δs = Δf(t) = f(t) — f(t₀) (539.8)

А так как использовать греческую литеру Δ не всегда удобно (в частности мне для этого приходится заходить в отдельный редактор текста, а наборщикам в типографиях вставить эту литеру было еще сложнее), то часто приращение значения искомой функции и приращение аргумента функции обозначают как ds и dt.

Тогда формулу определения скорости можно записать так:

v = ds/dt (539.9)

Таким образом мы с одной стороны вроде бы просто разделили расстояние на время — задача для 3-4 класса, а с другой стороны мы определили производную функции s = f(t), соответствующим образом ее продифференцировав, а это уже задача курса алгебры, а то и высшей математики.

Возможно и не стоило это так подробно расписывать, но на мой взгляд это очень важно, чтобы показать, что в дифференциальном исчислении нет ничего трудного, если рассматривать его на соответствующих примерах.

Итак скорость v является производной функции s = f(t) = 2t. Дифференциальное уравнение в этом случае будет выглядеть так:

v = s’ = f'(t) (539.10.1)

v = (2t)’ = 2 (539.10.2)

Но и это еще не все, на основании имеющихся данных: времени в пути и расстояний, преодоленных за 1 час, мы можем определить ускорение нашего движения.

Так как скорость нашего движения оставалась постоянной, соответственно dv = 0, то само собой и ускорения никакого не было, ни положительного ни отрицательного. Другими словами ускорение нашего движения составляло а = 0 км/ч².

На языке математики это будет выглядеть так:

а = v’ = dv/dt = s» = d²s/dt² (539.11.1)

a = 0/1 = (2t)» = (2)’ = 0 (539.11.2)

Т.е. в данном случае для определения ускорения нужно определить первую производную функции скорости (уравнения, выражающего зависимость скорости от времени) или вторую производную функции расстояния (уравнения, выражающего зависимость пройденного расстояния от времени).

На основании вышеизложенного мы можем дать следующее предварительное определение производной:

Производная — это скорость изменения функции

В рассмотренном выше примере скорость движения — это скорость изменения функции расстояния, а ускорение — это скорость изменения функции скорости. Если бы мы все 4 часа сидели на месте, то и расстояние, пройденное нами, было бы равно нулю, и скорость и ускорение, но даже для такого случая можно записать соответствующие дифференциальные уравнения:

s = f(t) = 0

v = s’ = 0

a = v’ = s» = 0

Однако в жизни гораздо чаще встречаются функции, даже третьи производные которых не равны нулю.

Рассмотрим другой пример все с тем же движением, на этот раз чуть более сложный.

Пример 2

По ровной наклонной поверхности скатывается шар. Начальная скорость движения равна v_o = 0. Определить пройденное шаром за 4 секунды расстояние, скорость после 1, 2, 3 и 4 секунд движения и постоянное ускорение движения, если за первую секунду шар преодолел расстояние 3 м, за вторую — 9 м, за третью — 15 м, за четвертую — 21 м.

С определением пройденного расстояния по прежнему проблем нет: достаточно сложить расстояния, которые преодолел шар за каждую секунду s = ΣΔs = 3 + 9 + 15 + 21 = 48 метров. А вот скорость и ускорение в данном случае определить не так просто. Тем не менее попробуем.

Если воспользоваться полученными раннее знаниями, то вроде бы в первый промежуток времени скорость должна быть равна:

v₁ = ds₁/dt₁ = 3/1 = 3 м/с (539.12)

Вот только в данном случае у нас скорость — изменяющаяся величина, зависящая от времени, поэтому результат полученный при решении уравнения (539.12) можно рассматривать лишь как среднюю скорость движения на первом участке. Тогда более правильно уравнение скорости на первом участке записать так:

v_1ср = ds₁/dt₁ = 3/1 = 3 м/с (539.12.2)

Подобным образом мы достаточно легко можем определить среднюю скорость на всех участках пути, и она составит v_2ср = 9 м/с, v_3ср = 15 м/с, v_4ср = 21 м/с, но в данном случае нас интересует не среднее значение функции скорости на рассматриваемом участке, а значение функции скорости во вполне определенной точке, т.е. после 1, 2, 3 и 4 секунд движения. Как это сделать?

По условиям задачи ускорение — производная от скорости — является постоянной величиной, т.е. скорость изменения скорости будет постоянной. В этом случае значение средней скорости является средним арифметическим от начальной и конечной скорости на рассматриваемом участке:

v_1ср = (v_o + v₁)/2 = 3 м/с (539.13.1)

тогда при v_o = 0

v₁ = 3·2 = 6 м/с (539.13.2)

Соответствующим образом мы можем определить значения скорости и в остальных точках, например (6 + v₂)/2 = 9, v₂ = 9·2 — 6 = 12 м/с; (12 + v₃)/2 = 15, v₃ = 15·2 — 12 = 18 и так далее, а теперь переведем полученные данные на язык высшей математики. Мы видим, что v₁ = 6·1, v₂ = 6·2 = 12, v₃ = 6·3 = 18, т.е. значение скорости явно зависит от времени, соответственно уравнение скорости мы можем записать следующим образом:

v = s’ = 6t (539.14)

Соответственно ускорение движения шара составит:

a = v’ = (6t)’ = 6 м/с² (539.15)

Между тем, если бы нам были заданы меньшие значения временных промежутков и соответственно меньшие значения пройденных расстояний за эти промежутки времени, например при dt₁ = 1 секунда, ds₁ = 3 м, dt₂ = 0.1 секунды и ds₂ = 0.63 м, то средняя скорость на рассматриваемом втором участке составила бы v_2ср = ds/dt = 0.63/0.1 = 6.3 м/с, а скорость в  в точке t₂: v_2сp = (6 + v₂)/2 = 6.3, v₂ = 12.6 — 6 = 6.6 м/с. Т.е. закономерность изменения значения скорости никуда не девается, тем не менее, чем меньше рассматриваемый временной промежуток dt, тем меньше разница между значением средней скорости изменения функции и скоростью изменения функции в рассматриваемой точке. Из этого можно сделать еще один очень важный вывод:

Скорость изменения функции может быть разная. Чем меньше приращение аргумента функции dt, тем ближе значение среднего изменения скорости к изменению скорости функции в рассматриваемой точке.

На основании этого можно сформулировать более полное определение производной функции:

Производная функции в точке — это скорость изменения функции в рассматриваемой точке при стремлении приращения аргумента функции к нулю (Δt → 0)

Поэтому иногда производную называют мгновенной скоростью изменения функции. В нашем случае уравнение производной будет выглядеть так:

 (539.16)

На данном этапе вид формулы (539.16) нас уже не пугает (во всяком случае мне так кажется). Совсем другое дело, когда подобная формула приводится в начале темы, посвященной рассмотрению производных функции.

Дифференциал (первообразная) функции

С задачей определения скорости и ускорения в примере 2 мы вроде бы справились и даже составили соответствующие уравнения (539.14) и (539.15). Но иногда требуется решить и обратную задачу — например определить исходное уравнение, описывающее зависимость перемещения от времени.

Если скорость является производной функции расстояния v = s’, то расстояние при этом является первообразной (дифференциалом) функции скорости s = ∫v. Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием. Так, чтобы получить уравнение зависимости пройденного расстояния от времени, нам нужно проинтегрировать уравнение скорости. При этом уравнение расстояния более правильно записывать так

s = ∫vdt (539.17)

В общем случае интегрирование может быть более сложной задачей, чем дифференцирование, потому что функции бывают не только степенными, как в данном примере, но и тригонометрическими, обратными тригонометрическими  и т.п., но пока нас интересует, как проинтегрировать простую степенную функцию вида f(t) = 6t.

Вообще-то мы могли сразу построить график, отражающий зависимость пройденного расстояния от времени по данным примера 2, тем не менее сделаем это сейчас, а заодно построим график для уравнений скорости и ускорения и расположим их в такой последовательности:

Рисунок 539.3. Графики степенных функции а) а= 6, б) v = at, в) s = at²/2.

Как видим, график, отражающий зависимость ускорения от времени, у нас самый простой. Ускорение постоянное, а = 6 м/с² и от времени никак не зависит. Тем не менее, зная ускорение, мы можем определить скорость движения в любой точке времени. Так из уравнений (539.14) и (539.15) следует, что:

v = 6t = at (539.14.2)

Соответственно решая это уравнение, мы можем определить скорость в любой момент времени.

Но если рассматривать это действие с точки зрения геометрии, то мы, умножая ускорение на время, определяем площадь прямоугольника со сторонами а = 6 и t. При t = 4 площадь прямоугольника составит 6·4 = 24, точнее 24 м/с так как мы все-таки определяем скорость.

Если мы построим график, отражающий зависимость изменения скорости от времени, то увидим, что на этом графике значения скорости в той или иной момент времени соответствуют площадям прямоугольника со сторонами а = 6 и t.

Получается, что если определить площадь треугольника со сторонами v и t, то это и будет расстояние, преодоленное к тому или иному промежутку времени:

s = vt/2 = at²/2 = 6t²/2 = 3t² (539.18)

Уравнение (539.18) можно записать как дифференциальное:

s = ∫6tdt = 3t² (539.18.2)

Если график, показанный на рисунке 539.3.в) также является графиком для производной некоторой функции, то для определения первообразной этой функции нам также следовало бы найти площадь фигуры, ограниченной квадратной параболой.

Сделать это в принципе не сложно, так как площадь фигуры, очерченной квадратной параболой таким образом, как показано на рисунке 539.3.в) в 3 раза меньше площади прямоугольника со сторонами s и t, соответственно S = st/3 = 3t²t/3 = t³ и эту процедуру можно повторять до бесконечности.

Почему площадь фигуры, ограниченной квадратной параболой именно в 3 раза меньше, чем площадь прямоугольника, а площадь фигуры ограниченной кубической параболой в 4 раза меньше площади прямоугольника, я здесь объяснять не буду, тем не менее такая закономерность существует и в математическом выражении выглядит так:

∫aхⁿdx = axⁿ⁺¹/n + C (539.19)

В данном случае С — это некоторая постоянная величина. Как мы выяснили, при дифференцировании постоянные величины обращаются в нуль, как пример — уравнение (539.11.2), соответственно решая обратную задачу, т.е. интегрируя функцию, мы допускаем, что некая постоянная величина в первообразной функции была.

Например в общем случае уравнение скорости (539.14.2) должно выглядеть так:

v = v_o + at (539.14.3)

где v_o — это и есть некая постоянная величина. В нашем случае по условиям задачи v_o = 0, поэтому мы использовали сокращенную форму записи.

Определенный интеграл

В общем случае график функции может выглядеть как угодно, например так:

Рисунок 539.4

В этом случае сразу определить площадь фигуры, ограниченной графиком функции, не получится. Но мы можем разбить эту фигуру на участки шириной Δх и определить среднее значение у для каждого участка. Теперь определить площади трех прямоугольников большого труда не составит, вот только суммарная площадь прямоугольников не будет равна площади фигуры, ограниченной графиком функции:

S ≈ ∑y_iΔx (539.20)

Но чем больше будет у нас прямоугольников с шириной Δх, т.е, чем меньше будет значение Δх, тем точнее будет значение у, а значит и суммарная площадь прямоугольников будет ближе к площади фигуры, ограниченной графиком функции.

При интегрировании, как и при дифференцировании для получения более точного результата приращение аргумента функции должно стремиться к нулю (maxΔx → 0).

Из этого можно сделать следующий вывод:

Если существует предел суммы, определяемой по формуле (539.20) вне зависимости от количества прямоугольников и при стремлении ширины прямоугольников к нулю, то такой предел называется определенным интегралом, а суммы, определяемые по формуле (539.20) — интегральными суммами.

Так как на рисунке 539.4 показан график непрерывной функции, то такая функция является интегрируемой и для определения дифференциала функции используется определенный интеграл. При этом 0 и 3 — это пределы интегрирования.

Функции и линейные уравнения (Алгебра 2, Как построить график функций и линейных уравнений) — Mathplanet

Если мы в следующем уравнении y = x + 7 присвоим значение x, уравнение даст нам значение для y.

---

Пример

$$ y = x + 7 $$

$$ если \; х = 2 \; затем

долл. США

$$ y = 2 + 7 = 9 $$

Если бы мы присвоили другое значение x, уравнение дало бы нам другое значение y. Вместо этого мы могли бы присвоить значение y и решить уравнение, чтобы найти совпадающее значение x.

В нашем уравнении y = x + 7 у нас есть две переменные, x и y. Переменная, которой мы присваиваем значение, мы называем независимой переменной, а другая переменная является зависимой переменной, поскольку ее значение зависит от независимой переменной. В нашем примере выше x — независимая переменная, а y — зависимая переменная.

Функция — это уравнение, которое имеет только один ответ для y для каждого x. Функция назначает ровно один выход каждому входу указанного типа.

Обычно функцию называют f (x) или g (x) вместо y.f (2) означает, что мы должны найти значение нашей функции, когда x равно 2.

---

Пример

$$ f (x) = x + 7 $$

$$ если \; х = 2 \; затем

долл. США

$$ f (2) = 2 + 7 = 9 $$

Функция линейна, если ее можно определить с помощью

.

$$ f (x) = mx + b $$

f (x) — значение функции.
м — уклон линии.
b — значение функции, когда x равно нулю, или координата y точки, в которой линия пересекает ось y в координатной плоскости.
x — значение координаты x.

Эта форма называется формой пересечения наклона. Если наклон m отрицательный, значение функции уменьшается с увеличением x и наоборот, если наклон положительный.

Уравнение, например y = x + 7 , является линейным, и существует бесконечное количество упорядоченных пар x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.

Наклон m здесь равен 1, а наш b (точка пересечения с y) равен 7.
Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), равен

$$ m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $$

$$ x_ {2} \ neq x_ {1} $$

Если двум линейным уравнениям задан один и тот же наклон, это означает, что они параллельны, а если произведение двух наклонов m1 * m2 = -1, два линейных уравнения называются перпендикулярными.

---

Видеоурок

Если x равен -1, какое значение имеет f (x), когда f (x) = 3x + 5?

вычисляющих и решающих функций | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Оценивать и решать функции в алгебраической форме. {2} + 2p [/ latex], решите относительно [латекс] h \ left (p \ right) = 3 [/ latex].{2} + 2p — 3 = 0 && \ text {Вычтите по 3 с каждой стороны}. \\ & \ left (p + 3 \ text {) (} p — 1 \ right) = 0 && \ text {Factor}. \ end {align} [/ latex]

  Если [латекс] \ left (p + 3 \ right) \ left (p — 1 \ right) = 0 [/ latex], либо [latex] \ left (p + 3 \ right) = 0 [/ latex] или [латекс] \ left (p — 1 \ right) = 0 [/ latex] (или оба они равны 0). Мы установим каждый коэффициент равным 0 и решим для каждого случая [латекс] p [/ латекс].

  [латекс] \ begin {align} & p + 3 = 0, && p = -3 \\ & p — 1 = 0, && p = 1 \ hfill \ end {align} [/ latex]

  Это дает нам два решения.Выход [латекс] h \ left (p \ right) = 3 [/ latex], когда вход либо [latex] p = 1 [/ latex], либо [latex] p = -3 [/ latex].

  Мы также можем проверить, построив график, как на рисунке 5. График проверяет, что [latex] h \ left (1 \ right) = h \ left (-3 \ right) = 3 [/ latex] и [latex] h \ left (4 \ справа) = 24 [/ латекс].

  Попробуйте

  Учитывая функцию [латекс] g \ left (m \ right) = \ sqrt {m — 4} [/ latex], решите [латекс] g \ left (m \ right) = 2 [/ latex].

  Вычисление функций, выраженных в формулах

  Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения .Если можно выразить выход функции с помощью формулы , включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме. Например, уравнение [латекс] 2n + 6p = 12 [/ латекс] выражает функциональную взаимосвязь между [латексом] n [/ латексом] и [латексом] p [/ латексом]. Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли [latex] p [/ latex] функцией [latex] n [/ latex].

  Практическое руководство. Для данной функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.

  1. Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства, а с другой стороны как выражение, которое включает только входную переменную.
  2. Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или с обеих сторон, или умножение или деление обеих сторон уравнения на одну и ту же величину.

  Пример: поиск уравнения функции

  Выразите отношение [латекс] 2n + 6p = 12 [/ latex] как функцию [latex] p = f \ left (n \ right) [/ latex], если это возможно.

  Показать решение

  Чтобы выразить отношение в этой форме, нам нужно иметь возможность записать отношение, где [latex] p [/ latex] является функцией [latex] n [/ latex], что означает запись его как [latex] p = [/ latex] выражение, включающее [latex] n [/ latex].

  [латекс] \ begin {align} & 2n + 6p = 12 \\ [1 мм] & 6p = 12 — 2n && \ text {Subtract} 2n \ text {с обеих сторон}. \\ [1mm] & p = \ frac {12 — 2n} {6} && \ text {Разделите обе стороны на 6 и упростите}. \\ [1 мм] & p = \ frac {12} {6} — \ frac {2n} {6} \\ [1 мм] & p = 2- \ frac {1} {3} n \ end {align} [/ latex ]

  Следовательно, [латекс] p [/ latex] как функция [latex] n [/ latex] записывается как

  [латекс] p = f \ left (n \ right) = 2- \ frac {1} {3} n [/ latex]

  Анализ решения

  Важно отметить, что не все отношения, выраженные уравнением, также можно выразить как функцию с формулой.{y} [/ latex], если мы хотим выразить [latex] y [/ latex] как функцию [latex] x [/ latex], не существует простой алгебраической формулы, включающей только [latex] x [/ latex] что равно [латекс] y [/ латекс]. Однако каждый [latex] x [/ latex] определяет уникальное значение для [latex] y [/ latex], и существуют математические процедуры, с помощью которых [latex] y [/ latex] может быть найден с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для [latex] y [/ latex] как функции [latex] x [/ latex], даже если формулу нельзя записать явно.

  Оценка функции, заданной в табличной форме

  Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц. И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев.И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.

  Функция, которая связывает тип питомца с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы. См. Таблицу ниже.

  Домашнее животное	Объем памяти в часах
  Щенок	0,008
  Взрослая собака	0.083
  Кот	16
  Золотая рыбка	2160
  Бета-рыба	3600

  Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений. Здесь вызовем функцию [латекс] П [/ латекс].

  Область функции — это тип домашнего животного, а диапазон — это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память питомца.Мы можем оценить функцию [latex] P [/ latex] при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали [латекс] P \ left (\ text {goldfish} \ right) = 2160 [/ latex]. Обратите внимание, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции [latex] P [/ latex] кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.

  Практическое руководство. Для функции, представленной в виде таблицы, определите конкретные выходные и входные значения.

  
  
  1. Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
  2. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
  3. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
  4. Определите входное значение (я), соответствующее заданному выходному значению.

  Пример: Вычисление и решение табличной функции

  Используя приведенную ниже таблицу,

  1. Вычислить [латекс] g \ left (3 \ right) [/ latex].
  2. Решите [латекс] g \ left (n \ right) = 6 [/ latex].

  [латекс] n [/ латекс]	1	2	3	4	5
  [латекс] g (n) [/ латекс]	8	6	7	6	8

  Показать решение
  • Вычисление [latex] g \ left (3 \ right) [/ latex] означает определение выходного значения функции [latex] g [/ latex] для входного значения [latex] n = 3 [/ latex].Выходное значение таблицы, соответствующее [latex] n = 3 [/ latex], равно 7, поэтому [latex] g \ left (3 \ right) = 7 [/ latex].
  • Решение [latex] g \ left (n \ right) = 6 [/ latex] означает определение входных значений, [latex] n [/ latex], которые дают выходное значение 6. В таблице ниже показаны два решения: [ латекс] n = 2 [/ латекс] и [латекс] n = 4 [/ латекс].

  [латекс] n [/ латекс]	1	2	3	4	5
  [латекс] g (n) [/ латекс]	8	6	7	6	8

  Когда мы вводим 2 в функцию [latex] g [/ latex], на выходе получаем 6.Когда мы вводим 4 в функцию [latex] g [/ latex], наш результат также равен 6.

  Попробуйте

  Используя таблицу из предыдущего примера, оцените [латекс] g \ left (1 \ right) [/ latex].

  Показать решение

  [латекс] г \ слева (1 \ справа) = 8 [/ латекс]

  Поиск значений функции из графика

  Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график.Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.

  Пример: чтение значений функций из графика

  Учитывая график ниже,

  1. Вычислить [латекс] f \ left (2 \ right) [/ latex].
  2. Решите [латекс] f \ left (x \ right) = 4 [/ latex].
  Показать решение
  1. Чтобы оценить [латекс] f \ left (2 \ right) [/ latex], найдите точку на кривой, где [latex] x = 2 [/ latex], затем прочтите [latex] y [/ latex] — координата этой точки.Точка имеет координаты [latex] \ left (2,1 \ right) [/ latex], поэтому [latex] f \ left (2 \ right) = 1 [/ latex].
  2. Чтобы решить [latex] f \ left (x \ right) = 4 [/ latex], мы находим выходное значение [latex] 4 [/ latex] по вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по линии [latex] y = 4 [/ latex], мы обнаруживаем две точки кривой с выходным значением [latex] 4: [/ latex] [latex] \ left (-1,4 \ right) [/ латекс] и [латекс] \ влево (3,4 \ вправо) [/ латекс]. Эти точки представляют два решения [латекс] f \ left (x \ right) = 4: [/ latex] [latex] x = -1 [/ latex] или [latex] x = 3 [/ latex].Это означает [латекс] f \ left (-1 \ right) = 4 [/ latex] и [latex] f \ left (3 \ right) = 4 [/ latex], или когда ввод [латекс] -1 [ / latex] или [latex] \ text {3,} [/ latex] вывод будет [latex] \ text {4} \ text {.} [/ latex] См. график ниже.

  Попробуйте

  Используя график, решите [латекс] f \ left (x \ right) = 1 [/ latex].

  Показать решение

  [латекс] x = 0 [/ латекс] или [латекс] x = 2 [/ латекс]

  Попробуйте

  Вы можете использовать онлайн-инструмент построения графиков для построения графиков функций, поиска значений функций и оценки функций.2 + x + 4 [/ latex] с использованием обозначения функций.

• Вычислить функцию при [latex] x = 1 [/ latex]
• Составьте таблицу значений, которая ссылается на функцию. Включите хотя бы интервал [latex] [- 5,5] [/ latex] для значений [latex] x [/ latex].
• Решите функцию для [латекс] f (0) [/ латекс]

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Написание уравнений линейных функций

Результаты обучения

• Напишите уравнение линейной функции по ее графику
• Сопоставьте линейные функции с их графиками
• Найдите точку пересечения с координатой x функции по ее уравнению
• Найдите уравнения вертикальных и горизонтальных линий

Ранее мы писали уравнение для линейной функции из графика.Теперь мы можем расширить наши знания о построении графиков линейных функций для более тщательного анализа графиков. Начните с просмотра графика ниже. Сразу видно, что график пересекает ось y в точке (0, 4), так что это пересечение y .

Затем мы можем рассчитать наклон, найдя подъем и пробег. Мы можем выбрать любые две точки, но давайте посмотрим на точку (–2, 0). Чтобы добраться из этой точки до точки пересечения y- , мы должны переместиться на 4 единицы вверх (подъем) и вправо на 2 единицы (бег).Итак, уклон должен быть:

[латекс] m = \ frac {\ text {rise}} {\ text {run}} = \ frac {4} {2} = 2 [/ latex]

Подстановка угла наклона и точки пересечения y- в форму линии пересечения откоса дает:

[латекс] y = 2x + 4 [/ латекс]

Как: по графику линейной функции найдите уравнение для описания функции.

1. Найдите точку пересечения y- на графике.
2. Выберите две точки для определения наклона.
3. Замените точку пересечения y- и уклон в форму линии с пересечением уклона.

Пример: сопоставление линейных функций с их графиками

Сопоставьте каждое уравнение линейной функции с одной из линий на графике ниже.

1. [латекс] f \ left (x \ right) = 2x + 3 [/ латекс]
2. [латекс] g \ left (x \ right) = 2x — 3 [/ латекс]
3. [латекс] h \ left (x \ right) = — 2x + 3 [/ латекс]
4. [латекс] j \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x + 3 [/ latex]
Показать решение

Проанализируйте информацию по каждой функции.

1. Эта функция имеет наклон 2 и точку пересечения y 3.Он должен проходить через точку (0, 3) и наклоняться вверх слева направо. Мы можем использовать две точки, чтобы найти наклон, или мы можем сравнить его с другими перечисленными функциями. Функция g имеет тот же наклон, но другую точку пересечения y- . Линии I и III имеют одинаковый уклон, потому что они имеют одинаковый уклон. Линия III не проходит через (0, 3), поэтому f должно быть представлено строкой I.
2. Эта функция также имеет наклон 2, но угол пересечения y равен –3.Он должен проходить через точку (0, –3) и наклоняться вверх слева направо. Он должен быть представлен линией III.
3. Эта функция имеет наклон –2 и точку пересечения y- , равную 3. Это единственная функция в списке с отрицательным наклоном, поэтому она должна быть представлена ​​линией IV, поскольку она наклонена вниз слева направо.
4. Эта функция имеет наклон [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] и точку пересечения y- , равную 3. Она должна проходить через точку (0, 3) и наклоняться вверх слева направо. .Линии I и II проходят через (0, 3), но наклон j меньше, чем наклон f , поэтому линия j должна быть более пологой. Эта функция представлена ​​линией II.

Теперь мы можем перемаркировать линии.

Нахождение перехвата

x линии

До сих пор мы находили точки пересечения функций y- : точку, в которой график функции пересекает ось y . Функция также может иметь точку пересечения x , , которая является координатой x точки, в которой график функции пересекает ось x .Другими словами, это входное значение, когда выходное значение равно нулю.

Чтобы найти точку пересечения x , установите функцию f ( x ) равной нулю и найдите значение x . Например, рассмотрим показанную функцию:

[латекс] f \ left (x \ right) = 3x — 6 [/ латекс]

Установите функцию равной 0 и решите для x .

[латекс] \ begin {array} {l} 0 = 3x — 6 \ hfill \\ 6 = 3x \ hfill \\ 2 = x \ hfill \\ x = 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

График функции пересекает ось x в точке (2, 0).

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют точки пересечения x ?

Нет. Однако линейные функции вида y = c , где c — ненулевое действительное число, являются единственными примерами линейных функций без перехвата x . Например, y = 5 — это горизонтальная линия на 5 единиц выше оси x . У этой функции нет x — перехватывает .

A Общее примечание:

x — интервал

Перехват x функции — это значение x , где f ( x ) = 0.Его можно найти, решив уравнение 0 = mx + b .

Пример: поиск точки перехвата

x

Найдите точку пересечения x [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex].

Показать решение

Установите функцию равной нулю, чтобы найти x .

[латекс] \ begin {array} {l} 0 = \ frac {1} {2} x — 3 \\ 3 = \ frac {1} {2} x \\ 6 = x \\ x = 6 \ end {array} [/ latex]

График пересекает ось x в точке (6, 0).

Анализ решения

График функции показан ниже. Мы видим, что перехват x равен (6, 0), как и ожидалось.

График линейной функции [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x — 3 [/ latex].

Попробуйте

Найдите точку пересечения x [latex] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {4} x — 4 [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ left (16, \ text {0} \ right) [/ latex]

Описание горизонтальных и вертикальных линий

Есть два особых случая линий на графике — горизонтальные и вертикальные линии.Горизонтальная линия указывает на постоянный выход или значение y . На графике ниже мы видим, что выход имеет значение 2 для каждого входного значения. Изменение выходных сигналов между любыми двумя точками равно 0. В формуле наклона числитель равен 0, поэтому наклон равен 0. Если мы используем м = 0 в уравнении [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex], уравнение упрощается до [latex] f \ left (x \ right) = b [/ latex]. Другими словами, значение функции постоянно. Этот график представляет функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2 [/ latex].

Горизонтальная линия, представляющая функцию [латекс] f \ left (x \ right) = 2 [/ latex].

Вертикальная линия обозначает постоянный ввод или значение x . Мы видим, что входное значение для каждой точки на линии равно 2, но выходное значение варьируется. Поскольку это входное значение отображается более чем на одно выходное значение, вертикальная линия не представляет функцию. Обратите внимание, что между любыми двумя точками изменение входных значений равно нулю. В формуле наклона знаменатель будет равен нулю, поэтому наклон вертикальной линии не определен.

Обратите внимание, что вертикальная линия имеет точку пересечения x , но не имеет точки пересечения y- , если только это не линия x = 0. Этот график представляет линию x = 2.

Вертикальная линия [латекс] x = 2 [/ latex], которая не представляет функции.

A Общее примечание: горизонтальные и вертикальные линии

Линии могут быть горизонтальными или вертикальными.

Горизонтальная линия — это линия, определяемая уравнением вида [латекс] f \ left (x \ right) = b [/ latex], где [latex] b [/ latex] — константа.

Вертикальная линия — это линия, определяемая уравнением вида [латекс] x = a [/ latex], где [latex] a [/ latex] — постоянная величина.

Пример: запись уравнения горизонтальной линии

Напишите уравнение линии, изображенной ниже.

Показать решение

Для любого значения x значение y равно [latex] –4 [/ latex], поэтому уравнение имеет вид [latex] y = –4 [/ latex].

Пример: запись уравнения вертикальной прямой

Напишите уравнение линии, изображенной ниже.

Показать решение

Константа x — значение 7, поэтому уравнение [латекс] x = 7 [/ латекс].

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Определение функции

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-4: Определение функции

Теперь нам нужно перейти ко второй теме этой главы.Однако, прежде чем мы это сделаем, нам нужно сделать быстрое определение.

Определение отношения

Отношение — это набор упорядоченных пар.

Это кажется странным определением, но оно нам понадобится для определения функции (что является основной темой этого раздела). Однако, прежде чем мы фактически дадим определение функции, давайте посмотрим, сможем ли мы понять, что такое отношение.

Вернитесь к примеру 1 в разделе «Графики» этой главы.2} — 4 \). Вот упорядоченные пары, которые мы использовали.

\ [\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3 } \ right) \, \, \, \, \ left ({1, — 4} \ right) \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right) \]

Любые из следующих отношений являются отношениями, потому что они состоят из набора упорядоченных пар.

\ [\ begin {align *} & \ left \ {{\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({3,0} \ right) \, \, \, \ , \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({1, — 4} \ right) \, \ , \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4, 5} \ right)} \ right \} \ end {align *} \]

Конечно, есть еще много отношений, которые мы могли бы сформировать из списка упорядоченных пар, приведенного выше, но мы просто хотели перечислить несколько возможных отношений, чтобы привести некоторые примеры.Также обратите внимание, что мы также можем получить другие упорядоченные пары из уравнения и добавить их в любое из приведенных выше отношений, если захотим.

Теперь вы, вероятно, спрашиваете, почему мы заботимся об отношениях, и это хороший вопрос. Некоторые отношения очень специфичны и используются почти на всех уровнях математики. Следующее определение говорит нам, какие отношения являются этими особыми отношениями.

Определение функции

Функция — это отношение, для которого каждое значение из набора первых компонентов упорядоченных пар связано ровно с одним значением из набора вторых компонентов упорядоченной пары.

Ладно, это полный рот. Посмотрим, сможем ли мы понять, что это значит. Давайте посмотрим на следующий пример, который, надеюсь, поможет нам во всем этом разобраться.

Пример 1 Следующее отношение является функцией. \ [\ left \ {{\ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ( {2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \] Показать решение

Из этих заказанных пар мы получаем следующие наборы первых компонентов ( i.{{\ mbox {nd}}}} {\ mbox {компоненты:}} \ left \ {{0, — 3,0,5} \ right \} \]

Для набора вторых компонентов обратите внимание, что «-3» встречается в двух упорядоченных парах, но мы указали его только один раз.

Чтобы понять, почему это отношение является функцией, просто выберите любое значение из набора первых компонентов. Теперь вернитесь к отношению и найдите каждую упорядоченную пару, в которой это число является первым компонентом, и перечислите все вторые компоненты из этих упорядоченных пар.Список вторых компонентов будет состоять ровно из одного значения.

Например, давайте выберем 2 из набора первых компонентов. Из отношения мы видим, что существует ровно одна упорядоченная пара с 2 в качестве первого компонента, \ (\ left ({2, — 3} \ right) \). Следовательно, список вторых компонентов (, т.е. список значений из набора вторых компонентов), связанный с 2, представляет собой ровно одно число -3.

Обратите внимание, что нас не волнует, что -3 является вторым компонентом второго упорядоченного номинала в отношении.Это вполне приемлемо. Мы просто не хотим, чтобы было больше одной упорядоченной пары с 2 в качестве первого компонента.

Мы рассмотрели одно значение из набора первых компонентов для нашего быстрого примера, но результат будет таким же для всех остальных вариантов. Независимо от выбора первых компонентов с ним будет связан ровно один второй компонент.

Следовательно, это отношение является функцией.

Чтобы действительно почувствовать, что нам говорит определение функции, мы, вероятно, должны также проверить пример отношения, которое не является функцией.

Пример 2 Следующее отношение не является функцией. \ [\ left \ {{\ left ({6,10} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 7,3} \ right) \, \, \, \, \ left ({ 0,4} \ right) \, \, \, \, \ left ({6, — 4} \ right)} \ right \} \] Показать решение

Не беспокойтесь о том, откуда взялось это отношение. {{\ mbox {st}}}} {\ mbox {components:}} \ left \ {{6, — 7,0} \ right \} \ hspace {0.{{\ mbox {nd}}}} {\ mbox {компоненты:}} \ left \ {{10,3,4, — 4} \ right \} \]

Из набора первых компонентов выберем 6. Теперь, если мы перейдем к соотношению, мы увидим, что есть две упорядоченные пары с 6 в качестве первого компонента: \ (\ left ({6,10} \ right) \ ) и \ (\ left ({6, — 4} \ right) \). Список вторых компонентов, связанных с 6, будет: 10, -4.

Список вторых компонентов, связанных с 6, имеет два значения, поэтому это отношение не является функцией.

Обратите внимание на тот факт, что если мы выбрали -7 или 0 из набора первых компонентов, то в списке вторых компонентов, связанных с каждым из них, будет только одно число. Это не имеет значения. Тот факт, что мы нашли даже одно значение в наборе первых компонентов с более чем одним вторым компонентом, связанным с ним, достаточно, чтобы сказать, что это отношение не является функцией.

В качестве последнего комментария к этому примеру отметим, что если мы удалим первую и / или четвертую упорядоченную пару из отношения, у нас будет функция!

Итак, надеюсь, у вас есть хоть какое-то представление о том, что нам говорит определение функции.

Теперь, когда мы заставили вас пройти собственно определение функции, давайте дадим еще одно «рабочее» определение функции, которое будет гораздо более полезным для того, что мы здесь делаем.

Фактическое определение работает с отношением. Однако, как мы видели с четырьмя отношениями, которые мы привели до определения функции, и с отношением, которое мы использовали в примере 1, мы часто получаем отношения из какого-либо уравнения.

Важно отметить, что не все отношения основаны на уравнениях! Отношение из второго примера, например, было просто набором упорядоченных пар, которые мы записали для этого примера, и не было получено из какого-либо уравнения.Это также может быть верно для отношений, которые являются функциями. Их не обязательно выводить из уравнений.

Однако, как уже было сказано, все функции, которые мы собираемся использовать в этом курсе, основаны на уравнениях. Поэтому давайте напишем определение функции, которая признает этот факт.

Прежде чем мы дадим «рабочее» определение функции, мы должны указать, что это НЕ фактическое определение функции, данное выше. Это просто хорошее «рабочее определение» функции, которое связывает вещи с видами функций, с которыми мы будем работать в этом курсе.

«Рабочее определение» функции

Функция — это уравнение, для которого любой \ (x \), который можно вставить в уравнение, даст ровно один \ (y \) из уравнения.

Вот оно. Это определение функций, которые мы собираемся использовать, и, вероятно, будет легче понять, что оно означает.

Прежде чем мы исследуем это, обратите внимание, что мы использовали фразу «\ (x \), который может быть подключен» в определении.Это обычно означает, что не все \ (x \) могут быть включены в уравнение, и это на самом деле правильно. Мы вернемся и обсудим это более подробно в конце этого раздела, однако на данном этапе просто помните, что мы не можем делить на ноль, и если мы хотим, чтобы действительные числа были исключены из уравнения, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательное число. Итак, с этими двумя примерами ясно, что мы не всегда сможем подставить каждое \ (x \) в какое-либо уравнение.

Далее, имея дело с функциями, мы всегда будем предполагать, что и \ (x \), и \ (y \) будут действительными числами.Другими словами, мы на некоторое время забудем о том, что знаем что-либо о комплексных числах, пока будем заниматься этим разделом.

Хорошо, теперь давайте вернемся к определению функции и рассмотрим несколько примеров уравнений, которые являются функциями, и уравнений, которые не являются функциями.

Пример 3 Определите, какие из следующих уравнений являются функциями, а какие нет. 2} = 4 \) Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

«Рабочее» определение функции гласит, что если мы возьмем все возможные значения \ (x \), подставим их в уравнение и решим для \ (y \), мы получим ровно одно значение для каждого значения \ ( Икс\).На этом этапе игры может быть довольно сложно на самом деле показать, что уравнение является функцией, поэтому в основном мы будем обсуждать его. С другой стороны, часто довольно легко показать, что уравнение не является функцией.


a \ (y = 5x + 1 \) Показать решение

Итак, нам нужно показать, что независимо от того, какое \ (x \) мы подставляем в уравнение и решаем для \ (y \), мы получим только одно значение \ (y \). Также обратите внимание, что значение \ (y \), вероятно, будет различным для каждого значения \ (x \), хотя это не обязательно.

Давайте начнем с того, что подставим некоторые значения \ (x \) и посмотрим, что произойдет.

\ [\ begin {align *} x & = — 4: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left ({- 4} \ right) + 1 = — 20 + 1 = — 19 \\ x & = 0: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left (0 \ right) + 1 = 0 + 1 = 1 \\ x & = 10: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left ({ 10} \ right) + 1 = 50 + 1 = 51 \ end {align *} \]

Итак, для каждого из этих значений \ (x \) мы получили единственное значение \ (y \) из уравнения.Теперь этого недостаточно, чтобы утверждать, что это функция. Чтобы официально доказать, что это функция, нам нужно показать, что она будет работать независимо от того, какое значение \ (x \) мы подставляем в уравнение.

Конечно, мы не можем подставить в уравнение все возможные значения \ (x \). Это просто невозможно физически. Однако давайте вернемся и посмотрим на те, которые мы подключили. Для каждого \ (x \) после подключения мы сначала умножили \ (x \) на 5, а затем прибавили к нему 1.2} + 1 = 9 + 1 = 10 \ end {align *} \]

А теперь давайте немного подумаем о том, что мы делали с оценками. Сначала мы возводили в квадрат значение \ (x \), которое мы подключили. Когда мы возводим в квадрат число, будет только одно возможное значение. Затем мы добавляем к этому 1, но опять же, это даст одно значение.

Итак, похоже, что это уравнение также является функцией.

Обратите внимание, что получить одинаковое значение \ (y \) для разных \ (x \) — это нормально.2} & = 10 + 1 = 11 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \ sqrt {11} \ end {align *} \]

Теперь помните, что мы решаем для \ (y \), и это означает, что в первом и последнем случаях выше мы фактически получим два разных значения \ (y \) из \ (x \), и поэтому это уравнение НЕ является функцией.

Обратите внимание, что у нас могут быть значения \ (x \), которые приведут к единственному \ (y \), как мы видели выше, но это не имеет значения. Если даже одно значение \ (x \) дает более одного значения \ (y \), при решении уравнения не будет функцией. 2} = 4 \ hspace {0.2} = 4 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \, 2 \]

Итак, это уравнение не является функцией. Напомним, что из предыдущего раздела это уравнение круга. Круги никогда не бывают функциями.

Надеюсь, эти примеры позволили вам лучше понять, что такое функция.

Теперь нам нужно перейти к так называемой нотации функции . Обозначения функций будут широко использоваться в большинстве оставшихся глав этого курса, поэтому важно понимать их.2} — 5x + 3 \]

Буква, которую мы используем, не имеет значения. Важна часть «\ (\ left (x \ right) \)». Буква в скобках должна соответствовать переменной, используемой справа от знака равенства.

Очень важно отметить, что \ (f \ left (x \ right) \) на самом деле не более чем действительно причудливый способ записи \ (y \). Если вы запомните это, вы можете обнаружить, что работать с обозначениями функций становится немного проще.

Кроме того, это НЕ , умножение \ (f \) на \ (x \)! Это одна из наиболее распространенных ошибок, которые люди допускают, когда впервые сталкиваются с функциями.2} — 5x + 3 \]

и спросите, каково его значение для \ (x = 4 \). В терминах обозначений функций мы будем «спрашивать» об этом, используя обозначение \ (f \ left (4 \ right) \). Итак, когда в скобках есть что-то, кроме переменной, мы действительно спрашиваем, каково значение функции для этой конкретной величины.

Теперь, когда мы говорим значение функции, мы действительно спрашиваем, каково значение уравнения для этого конкретного значения \ (x \). Вот \ (f \ left (4 \ right) \).2} — 5} \ right) \) Показать все решения Скрыть все решения a \ (f \ left (3 \ right) \) и \ (g \ left (3 \ right) \) Показать решение

Итак, у нас есть две оценки функций, которые нужно выполнить, и у нас также есть две функции, поэтому нам нужно будет решить, какую функцию использовать для оценок. Главное здесь — обратить внимание на букву перед круглой скобкой. Для \ (f \ left (3 \ right) \) мы будем использовать функцию \ (f \ left (x \ right) \), а для \ (g \ left (3 \ right) \) мы будем использовать \ (g \ влево (х \ вправо) \).2} — 2 \ влево ({- 10} \ вправо) + 8 = 100 + 20 + 8 = 128 \]

Убедитесь, что здесь вы правильно разбираетесь с негативными знаками. Теперь второй.

\ [g \ left ({- 10} \ right) = \ sqrt {- 10 + 6} = \ sqrt {- 4} \]

Мы достигли разницы. Напомним, когда мы впервые начали говорить об определении функций, мы заявили, что будем иметь дело только с действительными числами. Другими словами, мы подставляем только действительные числа и хотим, чтобы в качестве ответов возвращались только действительные числа.2} — 2 \ влево (0 \ вправо) + 8 = 8 \]

Опять же, не забывайте, что это не умножение! По какой-то причине ученикам нравится думать об этом как об умножении и получать нулевой ответ. Будь осторожен.


d \ (f \ left (t \ right) \) Показать решение

Остальные оценки теперь будут немного другими. Как видно из этого, нам не нужно просто указывать числа в скобках. Однако оценка работает точно так же. Мы вставляем \ (x \) справа от знака равенства в скобки.2} — 2t + 8 \]

Обратите внимание, что в этом случае это почти то же самое, что и наша исходная функция, за исключением того, что на этот раз мы используем \ (t \) в качестве переменной.


e \ (f \ left ({t + 1} \ right) \) и \ (f \ left ({x + 1} \ right) \) Показать решение

А теперь давайте немного посложнее, или, по крайней мере, они кажутся более сложными. Однако все не так плохо, как может показаться. Сначала мы оценим \ (f \ left ({t + 1} \ right) \). Этот работает точно так же, как и предыдущая часть.2} + 1} \ end {выровнять *} \]

Оценка функций — это то, чем мы будем много заниматься в следующих разделах и главах, поэтому убедитесь, что вы можете это сделать. Вы обнаружите, что несколько последующих разделов будет очень трудным для понимания и / или выполнения работы, если вы не имеете хорошего представления о том, как работает оценка функций.

Пока мы говорим об оценке функций, мы должны теперь поговорить о кусочных функциях . На самом деле мы уже видели пример кусочной функции, даже если в то время мы не называли его функцией (или кусочной функцией).Вспомните математическое определение абсолютной величины.

\ [\ left | х \ право | = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} x & {{\ mbox {if}} x \ ge 0} \\ {- x} & {{\ mbox {if}} x

Это функция, и если мы используем обозначение функции, мы можем записать ее следующим образом:

\ [f \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} x & {{\ mbox {if}} x \ ge 0} \\ {- x} & {{\ mbox {if}} x

Это также пример кусочной функции. Кусочная функция — это не что иное, как функция, которая разбита на части, и какой фрагмент вы используете, зависит от значения \ (x \).2} + 4} & {{\ mbox {if}} t \ le — 4} \\ {10} & {{\ mbox {if}} — 4 15} \ end {array}} \ right. \]

оценивают каждое из следующих действий.

1. \ (g \ left ({- 6} \ right) \)
2. \ (g \ left ({- 4} \ right) \)
3. \ (г \ влево (1 \ вправо) \)
4. \ (g \ left ({15} \ right) \)
5. \ (g \ left ({21} \ right) \)
Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Прежде чем приступить к оценкам, обратите внимание, что мы используем разные буквы для функции и переменной, чем те, которые мы использовали до этого момента.Это не повлияет на работу оценки. Не зацикливайтесь на том, чтобы видеть \ (f \) для функции и \ (x \) для переменной, что вы не сможете решить любую проблему, в которой нет этих букв.

Теперь, чтобы выполнить каждую из этих оценок, первое, что нам нужно сделать, это определить, какому неравенству удовлетворяет число, и оно будет удовлетворять только одному неравенству. Когда мы определяем, какому неравенству удовлетворяет число, мы используем уравнение, связанное с этим неравенством.2} + 4 = 52 \]
c \ (g \ left (1 \ right) \) Показать решение

В этом случае число 1 удовлетворяет среднему неравенству, поэтому мы будем использовать среднее уравнение для оценки. Эта оценка часто вызывает проблемы у студентов, несмотря на то, что на самом деле это одна из самых простых оценок, которые мы когда-либо проводим. Мы знаем, что оцениваем функции / уравнения, подставляя номер переменной. В этом случае нет переменных. Это не проблема. Поскольку никаких переменных нет, это просто означает, что мы на самом деле ничего не подключаем, и получаем следующее:

\ [g \ left (1 \ right) = 10 \]
d \ (g \ left ({15} \ right) \) Показать решение

Опять же, как и со второй частью, нам нужно быть немного осторожнее с этой.В этом случае число удовлетворяет среднему неравенству, так как это число со знаком равенства в нем. Затем, как и в предыдущей части, мы получаем

\ [g \ left ({15} \ right) = 10 \]

Не радуйтесь тому факту, что предыдущие две оценки имели одинаковое значение. Иногда это будет происходить.


e \ (g \ left ({21} \ right) \) Показать решение

Для окончательной оценки в этом примере число удовлетворяет нижнему неравенству, поэтому мы будем использовать нижнее уравнение для оценки.

\ [g \ left ({21} \ right) = 1 — 6 \ left ({21} \ right) = — 125 \]

Кусочные функции не так часто возникают в классе алгебры, однако они возникают в нескольких местах в более поздних классах, поэтому вам важно понимать их, если вы собираетесь перейти к большему количеству математических классов.

В качестве последней темы нам нужно вернуться и коснуться того факта, что мы не всегда можем подключить каждый \ (x \) к каждой функции. Мы кратко говорили об этом, когда давали определение функции, и мы видели пример этого, когда оценивали функции.Теперь нам нужно взглянуть на это немного подробнее.

Во-первых, нам нужно избавиться от пары определений.

Домен и диапазон

Область уравнения — это набор всех \ (x \), которые мы можем вставить в уравнение и получить действительное число для \ (y \). Диапазон уравнения — это набор всех \ (y \), которые мы когда-либо можем получить из уравнения.

Обратите внимание, что мы действительно имели в виду использовать уравнение в определениях выше вместо функций.Это действительно определения уравнений. Однако, поскольку функции также являются уравнениями, мы можем также использовать определения функций.

Определение диапазона уравнения / функции для многих функций может быть довольно сложным, поэтому мы не будем вдаваться в подробности. Здесь нас гораздо больше интересует определение областей функций. Согласно определению, домен — это набор всех \ (x \), которые мы можем подключить к функции и получить действительное число. На данный момент это означает, что нам нужно избегать деления на ноль и извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.2} + 3x — 10 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 2} \ right) = 0 \ hspace {0,25in} x = — 5, \, \, x = 2 \ ]

Итак, мы получим деление на ноль, если подставим \ (x = — 5 \) или \ (x = 2 \). Это означает, что нам нужно избегать этих двух чисел. Однако все остальные значения \ (x \) будут работать, поскольку они не дают деления на ноль. Тогда домен

\ [{\ mbox {Домен: все действительные числа, кроме}} x = — 5 {\ mbox {и}} x = 2 \]
b \ (f \ left (x \ right) = \ sqrt {5 — 3x} \) Показать решение

В этом случае у нас не будет задач деления на ноль, так как у нас нет дробей.У нас действительно есть квадратный корень в задаче, поэтому нам нужно позаботиться о том, чтобы извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Эта часть будет работать немного иначе, чем предыдущая. В этой части мы определили значения \ (x \), которых следует избегать. В этом случае напрямую получить домен будет так же просто. Чтобы избежать получения квадратных корней из отрицательных чисел, все, что нам нужно сделать, это потребовать, чтобы

\ [5 — 3x \ ge 0 \]

Это довольно простое линейное неравенство, которое мы должны решить на данный момент.2} + 4}} \) Показать решение

В этом случае у нас есть дробь, но обратите внимание, что знаменатель никогда не будет равен нулю для любого действительного числа, поскольку x ² гарантированно будет положительным или нулевым, и добавление 4 будет означать, что знаменатель всегда будет минимум 4. Другими словами, знаменатель никогда не будет равен нулю. Итак, все, что нам нужно сделать, это позаботиться о квадратном корне в числителе.

Для этого нам потребуется:

\ [\ begin {align *} 7x + 8 & \ ge 0 \\ 7x & \ ge — 8 \\ x & \ ge — \ frac {8} {7} \ end {align *} \]

Теперь мы можем фактически подставить любое значение \ (x \) в знаменатель, однако, поскольку у нас есть квадратный корень в числителе, мы должны убедиться, что все \ (x \) удовлетворяют неравенство выше, чтобы избежать проблем.2} — 16}} \) Показать решение

В этой заключительной части нам нужно беспокоиться как о квадратном корне, так и о делении на ноль. Давайте сначала позаботимся о квадратном корне, поскольку это, вероятно, наложит наибольшее ограничение на значения \ (x \). Итак, чтобы квадратный корень оставался счастливым (, т. Е. не было квадратного корня из отрицательных чисел), нам потребуется это,

\ [\ begin {align *} 10x — 5 & \ ge 0 \\ 10x & \ ge 5 \\ x & \ ge \ frac {1} {2} \ end {align *} \]

Итак, по крайней мере, нам нужно потребовать, чтобы \ (x \ ge \ frac {1} {2} \), чтобы избежать проблем с квадратным корнем.2} — 16 = \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 4} \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = — 4, \, \, х = 4 \]

Теперь обратите внимание, что \ (x = — 4 \) не удовлетворяет неравенству, которое нам нужно для квадратного корня, и поэтому значение \ (x \) уже исключено квадратным корнем. С другой стороны, \ (x = 4 \) удовлетворяет неравенству. Это означает, что можно подставить \ (x = 4 \) в квадратный корень, однако, поскольку это даст деление на ноль, нам нужно будет избегать этого.

Тогда домен для этой функции —

\ [{\ mbox {Домен:}} x \ ge \ frac {1} {2} {\ mbox {except}} x = 4 \] Функция

| Определение, типы, примеры и факты

функция , в математике выражение, правило или закон, определяющий связь между одной переменной (независимой переменной) и другой переменной (зависимой переменной). Функции повсеместно используются в математике и необходимы для формулирования физических соотношений в естественных науках.Современное определение функции было впервые дано в 1837 году немецким математиком Петером Дирихле:

Британская викторина

Определить: математические термины

Вот ваша миссия, если вы решите принять ее: Определите следующие математические термины до того, как истечет время.

Если переменная y так связана с переменной x , что всякий раз, когда числовое значение присваивается x , существует правило, согласно которому определяется уникальное значение y , тогда y считается функцией независимой переменной x .

Это соотношение обычно обозначается как y = f ( x ). Помимо f ( x ), для представления функций независимой переменной x часто используются другие сокращенные символы, такие как g ( x ) и P ( x ), особенно когда природа функции неизвестна или не указана.

Общие функции

Многие широко используемые математические формулы являются выражениями известных функций.Например, формула для площади круга A = π r ² дает зависимую переменную A (площадь) как функцию независимой переменной r (радиус). Функции, включающие более двух переменных, также распространены в математике, что можно увидеть в формуле для площади треугольника: A = b h /2, которая определяет A как функцию от обоих b (основание) и h (высота).В этих примерах физические ограничения вынуждают независимые переменные быть положительными числами. Когда независимым переменным также разрешено принимать отрицательные значения — таким образом, любое действительное число — функции известны как функции с действительными значениями.

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Формула площади круга является примером полиномиальной функции. Общий вид таких функций: P ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ⋯ + a _n x ⁿ , где коэффициенты ( a ₀ , a ₁ , a ₂ ,…, a _n ) даны, x может быть любым действительным числом, а все степени x являются подсчетными числами (1, 2, 3,…).(Когда степень x может быть любым действительным числом, результат известен как алгебраическая функция.) Полиномиальные функции изучались с давних времен из-за их универсальности — практически любые отношения, включающие действительные числа, можно точно аппроксимировать с помощью полиномиальная функция. Полиномиальные функции характеризуются наивысшей степенью независимой переменной. Для степеней от одного до пяти обычно используются специальные названия: линейная, квадратичная, кубическая, квартичная и квинтическая.

Полиномиальным функциям можно дать геометрическое представление с помощью аналитической геометрии. Независимая переменная x отображается по оси x (горизонтальная линия), а зависимая переменная y отображается по оси y (вертикальная линия). График функции состоит из точек с координатами ( x , y ), где y = f ( x ). Например, на рисунке показан график кубического уравнения f ( x ) = x ³ — 3 x + 2.

кубическое уравнение

График кубического уравнения f ( x ) = x ³ — 3 x + 2. Точки на графике показывают изменения кривизны.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Другой распространенный тип функции, который изучается с древних времен, — это тригонометрические функции, такие как sin x и cos x , где x — это мера угла ( см. Рисунок ). Из-за своей периодической природы тригонометрические функции часто используются для моделирования повторяющегося поведения или «циклов».«Негебраические функции, такие как экспоненциальные и тригонометрические функции, также известны как трансцендентные функции.

графики некоторых тригонометрических функций

Обратите внимание, что каждая из этих функций периодическая. Таким образом, функции синуса и косинуса повторяются каждые 2π, а функции тангенса и котангенса повторяются через каждые π.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Сложные функции

Практическое применение функций, переменные которых являются комплексными числами, не так легко проиллюстрировать, но, тем не менее, они очень обширны.Они встречаются, например, в электротехнике и аэродинамике. Если комплексная переменная представлена ​​в виде z = x + i y , где i — мнимая единица (квадратный корень из -1), а x и y — действительные переменных ( см. рисунок ), можно разделить сложную функцию на действительную и мнимую части: f ( z ) = P ( x , y ) + i Q ( x , y ).

точка на комплексной плоскости

Точка на комплексной плоскости. В отличие от действительных чисел, которые могут быть расположены одним знаком (положительным или отрицательным) числом вдоль числовой прямой, для комплексных чисел требуется плоскость с двумя осями, одна ось для компонента действительного числа и одна ось для мнимого компонента. Хотя комплексная плоскость выглядит как обычная двумерная плоскость, где каждая точка определяется упорядоченной парой действительных чисел ( x , y ), точка x + i y является единственной номер.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Меняя ролями независимых и зависимых переменных в заданной функции, можно получить обратную функцию. Обратные функции делают то, что подразумевает их название: они отменяют действие функции, чтобы вернуть переменную в ее исходное состояние. Таким образом, если для данной функции f ( x ) существует функция g ( y ) такая, что g ( f ( x )) = x и f ( g ( y )) = y , тогда g называется обратной функцией для f и обозначается как f ^-1 , где по соглашению переменные меняются местами.Например, функция f ( x ) = 2 x имеет обратную функцию: f ⁻¹ ( x ) = x /2.

Другие функциональные выражения

Функция может быть определена с помощью степенного ряда. Например, бесконечный ряд может использоваться для определения этих функций для всех комплексных значений x . При необходимости можно использовать другие типы серий, а также бесконечное количество продуктов. Важным случаем является ряд Фурье, выражающий функцию через синусы и косинусы:

Такие представления имеют большое значение в физике, особенно при изучении волнового движения и других колебательных явлений.

Иногда функции удобнее всего определять с помощью дифференциальных уравнений. Например, y = sin x является решением дифференциального уравнения d ² y / d x ² + y = 0 с y = 0, d y / d x = 1, когда x = 0; y = cos x является решением того же уравнения, имеющего y = 1, d y / d x = 0, когда x = 0.

The Editors of Encyclopaedia Britannica Эта статья была недавно отредактирована и обновлена ​​Адамом Августином, управляющим редактором, Справочное содержание.

Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:

Линейные уравнения

Линейное уравнение — это уравнение прямой линии

Это все линейные уравнения:

		y = 2x + 1
		5x = 6 + 3y
		y / 2 = 3 — x

Давайте внимательнее рассмотрим один пример:

Пример:

y = 2x + 1 — линейное уравнение:

График y = 2x + 1 представляет собой прямую линию

• Когда x увеличивается, y увеличивается в два раза быстрее , поэтому нам нужно 2x
• Когда x равен 0, y уже равен 1.Так что +1 тоже нужен
• Итак: y = 2x + 1

Вот несколько примеров значений:

х	y = 2x + 1
-1	y = 2 × (-1) + 1 = -1
0	y = 2 × 0 + 1 = 1
1	y = 2 × 1 + 1 = 3
2	y = 2 × 2 + 1 = 5

Убедитесь сами, что эти точки являются частью линии выше!

Различные формы

Есть много способов написания линейных уравнений, но они обычно имеют констант (например, «2» или «c») и должны иметь простых переменных (например, «x» или «y»).

Примеры: Это линейные уравнения:

Но переменные (например, «x» или «y») в линейных уравнениях не имеют НЕ :

Примеры: Это

НЕ линейных уравнений:

		y 2 — 2 = 0
		3√x — y = 6
		x 3 /2 = 16

Форма пересечения склонов

Самая распространенная форма — уравнение угла наклона прямой:

Пример: y = 2x + 1

• Уклон: м = 2
• Перехват: b = 1

Форма остроконечного откоса

Еще одна распространенная форма — это форма угла наклона уравнения прямой линии:

y — y 1 = m (x — x 1 )

Пример: y — 3 = (¼) (x — 2)

Он имеет вид y — y ₁ = m (x — x ₁ ) где:

Общая форма

А есть еще Общая форма уравнения прямой:

Ax + By + C = 0

(A и B не могут быть одновременно 0)

Пример: 3x + 2y — 4 = 0

Он имеет вид Ax + By + C = 0 где:

Есть и другие, менее распространенные формы.

Как функция

Иногда линейное уравнение записывается как функция с f (x) вместо y:

y = 2x — 3

f (x) = 2x — 3

Это такие же!

И функции не всегда записываются с использованием f (x):

y = 2x — 3

w (u) = 2u — 3

h (z) = 2z — 3

Это тоже такие же!

Функция идентификации

Существует специальная линейная функция, называемая «Функция идентичности»:

f (x) = x

А вот его график:


Получается под углом 45 ° (уклон 1)

Это называется «Идентификацией», потому что то, что выходит , идентично тому, что входит:

В	Из
0	0
5	5
−2	−2
…etc	… и т. Д.

Постоянные функции

Другой особый тип линейной функции — это постоянная функция … это горизонтальная линия:

f (x) = C

Независимо от того, какое значение «x», f (x) всегда равно некоторому постоянному значению.

Использование линейных уравнений

Вы можете прочитать о том, что можно делать с помощью строк:

Функциональные уравнения | Блестящая вики по математике и науке

При использовании подстановки в функциональном уравнении с несколькими переменными следует обратить внимание на одну важную вещь.Эта вещь на самом деле встречается во всех разделах математики, и это симметрия . Иногда можно использовать следующую стандартную идею, касающуюся симметрии:

В функциональном уравнении, состоящем из двух переменных, если выражение с одной стороны симметрично относительно переменных, а выражение с другой стороны — нет, то выполняется замена (m, n) → (n, m) (m , n) \ rightarrow (n, m) (m, n) → (n, m) — хорошая идея.

Вышеупомянутое в основном говорит нам поменять местами переменные.Поясним это на примере.

Найдите все инъективные функции f: N → Nf: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N} f: N → N, удовлетворяющие

f (f (m) + f (n)) = f (f (m)) + f (n), f (1) = 2, f (2) = 4. \ Begin {array} {c} & f \ big (f (m) + f (n) \ big) = f \ big (f (m) \ big) + f (n), & f (1) = 2, & f (2) = 4. \ end { массив} f (f (m) + f (n)) = f (f (m)) + f (n), f (1) = 2, f (2) = 4.

---

Нам дано

f (f (m) + f (n)) = f (f (m)) + f (n). (1) f \ big (f (m) + f (n) \ big) = f \ big (е (м) \ большой) + е (п). \ qquad (1) f (f (m) + f (n)) = f (f (m)) + f (n).(1)

Решение развивается в соответствии с идеей, которую мы только что усвоили. Просто обратите внимание, что левая часть симметрична относительно переменных, а правая — нет.

Сделаем замену (m, n) → (1, n) (m, n) \ rightarrow (1, n) (m, n) → (1, n), чтобы получить

f (f (1) + f (n)) = f (f (1)) + f (n). F \ big (f (1) + f (n) \ big) = f \ big (f ( 1) \ big) + f (n) .f (f (1) + f (n)) = f (f (1)) + f (n).

Теперь, как сказано выше, сделайте замену (m, n) → (n, 1) (m, n) \ rightarrow (n, 1) (m, n) → (n, 1).Мы просто поменяли местами mmm и n: n: n:

f (f (n) + f (1)) = f (f (n)) + f (1). F \ big (f (n) + f (1) \ big) = f \ big (f ( п) \ большой) + е (1). f (f (n) + f (1)) = f (f (n)) + f (1).

Вы можете спросить, откуда мы знаем о подключении 111 вместо одной из переменных. Мы этого не делаем, но в реальной жизни вы бы сначала сделали замену (m, n) = (n, m) (m, n) = (n, m) (m, n) = (n, m) , а затем вы заметите, что подключение 111 может помочь. В любом случае, используя два уравнения, мы получаем

f (f (1)) + f (n) = f (f (n)) + f (1) f (f (n)) = f (n) +2 \ begin {выровнено} е \ большой (е (1) \ большой) + е (п) & = е \ большой (е (п) \ большой) + е (1) \\ е \ большой (е (п) \ большой) & = е (п) +2 \ end {выровнен} f (f (1)) + f (n) f (f (n)) = f (f (n)) + f (1) = f (n) +2

, поскольку в вопросе указаны значения f (1) f (1) f (1) и f (2) f (2) f (2).Теперь мы видим, что из f (n) = mf (n) = mf (n) = m следует, что f (m) = m + 2f (m) = m + 2f (m) = m + 2. Используя индукцию, можно доказать, что f (m + 2k) = m + 2k + 2, f (m + 2k) = m + 2k + 2, f (m + 2k) = m + 2k + 2, где k≥0 .k \ ge 0.k≥0. [\ big [[Подсказка: используйте f (f (n)) = f (n) + 2f \ big (f (n) \ big) = f (n) + 2f (f (n)) = f (n)] +2 в доказательстве.] \ Big]] Теперь подставим m = 2nm = 2nm = 2n, чтобы получить f (2n) = 2n + 2f (2n) = 2n + 2f (2n) = 2n + 2 для всех натуральных чисел nnn .

Теперь, инъективность fff позволяет нам заключить, что fff принимает нечетные значения при нечетных входных значениях ((((кроме 111, которое принимается равным 2).2) .2). Если f (t) = 1f (t) = 1f (t) = 1 для некоторого ttt, то сделаем замену m = tm = tm = t и n = tn = tn = t в (1). (1). ( 1). Вы получите легкое противоречие.

Снова предположим, что для некоторых t, t, t, f (t) = 3f (t) = 3f (t) = 3, тогда f (3 + 2k) = f (f (t) + 2k) = f (t ) + 2k + 2 = 5 + 2kf (3 + 2k) = f \ big (f (t) + 2k \ big) = f (t) + 2k + 2 = 5 + 2kf (3 + 2k) = f (f (t) + 2k) = f (t) + 2k + 2 = 5 + 2k, что является противоречием, поскольку при k≥0k \ ge 0k≥0 никакой вход не может принимать выход 333.

Пусть ppp будет наименьшим положительным целым числом такое, что для некоторого k, f (k) = 2p + 1k, f (k) = 2p + 1k, f (k) = 2p + 1.Тогда f (2p + 2s + 1) = 2p + 2s + 3f (2p + 2s + 1) = 2p + 2s + 3f (2p + 2s + 1) = 2p + 2s + 3 для s≥0.s \ ge 0 .s≥0. Отсюда следует, что 3,5,7, …, 2p − 13,5,7, …, 2p-13,5,7, …, 2p − 1 отображаются в 5,7, … , 2п + 15,7, …, 2п + 15,7, …, 2п + 1. Следовательно, f (3 + 2k) = 5 + 2kf (3 + 2k) = 5 + 2kf (3 + 2k) = 5 + 2k.

Наконец, можно сделать вывод, что требуемая функция —

f (1) = 2, f (n) = n + 2, n≥2. □ \ begin {array} {c} & f (1) = 2, & f (n) = n + 2, & n \ ge 2. \ _ \ square \ end {array} f (1) = 2, f ( п) = п + 2, п≥2. □

Найдите все функции f: R → Rf: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} f: R → R такие, что

f (x + y) −f (x − y) = f (x) f (y).f (x + y) -f (x-y) = f (x) f (y). f (x + y) −f (x − y) = f (x) f (y).

---

Обратите внимание, что правая часть функционального уравнения симметрична относительно переменных, а левая часть — нет. Поэтому рекомендуется сделать замену x = yx = yx = y и y = xy = xy = x:

f (y + x) −f (y − x) = f (y) f (x) .f (y + x) -f (yx) = f (y) f (x) .f (y + x). ) −f (y − x) = f (y) f (x).

Это говорит нам, что f (x − y) = f (y − x), f (xy) = f (yx), f (x − y) = f (y − x), что эквивалентно утверждению, что f (a) = f (−a) f (a) = f (-a) f (a) = f (−a). Теперь сделайте замену y → −yy \ rightarrow -yy → −y, чтобы получить

f (x − y) −f (x + y) = f (x) f (−y).f (x-y) -f (x + y) = f (x) f (-y). f (x − y) −f (x + y) = f (x) f (−y).

Теперь посмотрим на левую часть приведенного выше уравнения. Это просто −1-1−1 умноженное на левую часть исходного уравнения. Таким образом, LHS равно −f (x) f (y) -f (x) f (y) −f (x) f (y). Правая часть приведенного выше уравнения: f (x) f (−y) = f (x) f (y) f (x) f (-y) = f (x) f (y) f (x) f ( −y) = f (x) f (y), поскольку f (y) = f (−y) f (y) = f (-y) f (y) = f (−y). Теперь, поскольку LHS = RHS \ text {LHS = RHS} LHS = RHS, имеем

−f (x) f (y) = f (x) f (y) -f (x) f (y) = f (x) f (y) −f (x) f (y) = f (x). ) f (у)

для всех пар действительных чисел.2 — \ {(1,1) \} \ longrightarrow \ mathbb {R} f: R2 — {(1,1)} ⟶R определяется следующим образом:

f (x, y) = x + yf (y, x). F (x, y) = x + yf (y, x). F (x, y) = x + yf (y, x).

Найдите fff.

---

Нам дано

f (x, y) = x + yf (y, x). F (x, y) = x + yf (y, x). F (x, y) = x + yf (y, x).

Прежде всего, следует признать, что первым шагом, сделанным многими людьми, будет замена более простых ценностей. Но в итоге хорошей заменой оказывается (x, y) → (y, x) (x, y) \ rightarrow (y, x) (x, y) → (y, x). Это дает нам

е (у, х) = у + хf (х, у).f (y, x) = y + xf (x, y). f (y, x) = y + xf (x, y).

Теперь, считая f (x, y) f (x, y) f (x, y) и f (y, x) f (y, x) f (y, x) переменными, мы можем решить для них. Остальное — дело вычислений. □ _ \ квадрат □

Найдите все функции fff такие, что f: Q⟶Q, f (1) = 2, f (xy) = f (x) f (y) −f (x + y) + 1.f: \ mathbb {Q} \ longrightarrow \ mathbb {Q}, \ f (1) = 2, \ f (xy) = f (x) f (y) -f (x + y) + 1.f: Q⟶Q, f (1) = 2, f (xy) = f (x) f (y) −f (x + y) +1.

---

Положим y = 1y = 1y = 1 в данном уравнении, чтобы получить f (x) = 2f (x) −f (x + 1) + 1f (x) = 2f (x) -f (x + 1) + 1f (x) = 2f (x) −f (x + 1) +1 или f (x + 1) −f (x) = 1f (x + 1) -f (x) = 1f (x + 1) — f (x) = 1 для всех рациональных xxx.Поскольку f (1) = 2f (1) = 2f (1) = 2, это, безусловно, означает, что f (n) = n + 1f (n) = n + 1f (n) = n + 1 для всех целых чисел nnn. Положив y = ny = ny = n в данном уравнении, где nnn — положительное целое число, получаем

f (nx) = f (x) f (n) −f (x + n) +1 = (n + 1) f (x) — (f (x) + n) +1 = nf (x) — п + 1 е (пх) \; знак равно е (х) е (п) — е (х + п) + 1 \; знак равно (п + 1) е (х) — \ большой (е (х) + п \ большой) + 1 \; знак равно nf (x) — n + 1 f (nx) = f (x) f (n) −f (x + n) + 1 = (n + 1) f (x) — (f (x) + n) + 1 = nf (x) −n + 1

для всех рациональных xxx и, следовательно,

m + 1 = f (m) = f (nmn) = nf (mn) −n + 1 m + 1 \; знак равно f (m) \; знак равно е \ большой (п \ tfrac {м} {п} \ большой) \; знак равно nf \ big (\ tfrac {m} {n} \ big) — n + 1 m + 1 = f (m) = f (nnm) = nf (nm) −n + 1

для всех целых чисел m, nm, nm, n, где n> 0n> 0n> 0, из чего мы заключаем, что f (mn) = mn + 1f \ big (\ tfrac {m} {n} \ big) = \ tfrac {m} {n} + 1f (nm) = nm +1 и, следовательно, f (x) = x + 1f (x) = x + 1f (x) = x + 1 для всех рациональных xxx.

No related posts.