Функция у 2 x 2: Mathway | Популярные задачи

Графики смещения, отражения и растяжения

Определения

Абсцисса

Координата x

Ординат

Координата Y

Смена

Перевод, при котором размер и форма графика функции не изменяются, но расположение графика.

Весы

Перевод, в котором изменены размер и форма графика функции.

Отражение

Перевод, при котором график функции зеркально отражается относительно оси.

Общие функции

Частью красоты математики является то, что почти все строится на чем-то еще, и если вы можете понять основы, тогда вы можете применять новые элементы к старым. Именно эта способность что делает возможным понимание математики. Если бы вы запоминали каждую часть представленная вам математика без установления связи с другими частями, вы 1) станете разочарован в математике и 2) не очень понимаю математику.

Есть несколько простых графиков, которые мы уже видели. Применяя переводы к этим основным графы, мы можем получить новые графы, которые сохраняют все свойства старых. По понимание основных графиков и того, как к ним применяется перевод, мы узнаем каждый новый график как небольшая вариация старого, а не как совершенно другой график, который у нас есть никогда не видел раньше. Понимание этих переводов позволит нам быстро распознавать и нарисуйте новую функцию, не прибегая к построению точек.

Вот общие функции, графики которых вы должны знать в настоящее время:

• Постоянная Функция: y = c
• Линейная функция: у = х
• Квадратичная функция: у = х ²
• Кубическая функция: у = х ³
• Функция абсолютного значения: y = |x|
• Функция извлечения квадратного корня: y = sqrt(x)
• Функция наибольшего целого числа: y = int(x) обсуждалась в предыдущем разделе.

В вашем тексте линейная функция называется функцией тождества, а квадратичная функция — возведением в квадрат. функция.

переводов

Есть два вида переводов, которые мы можем сделать с графиком функции. Они смещаются и масштабирование. Если считать отражения, их три, но отражения — это всего лишь частный случай второй перевод.

Смены

Сдвиг является жестким переносом в том смысле, что он не изменяет форму или размер графика функция. Все, что сделает сдвиг, — это изменит расположение графика. Вертикальный сдвиг добавляет/вычитает константу к/из каждой координаты y, оставляя координату x неизменной. Горизонтальный сдвиг добавляет/вычитает константу к/от каждой координаты x, оставляя координату y неизменной. Вертикальные и горизонтальные сдвиги могут быть объединены в одно выражение.

Сдвиги добавляются/вычитаются из компонентов x или f(x). Если константа сгруппирована с x, то это сдвиг по горизонтали, иначе сдвиг по вертикали.

Весы (растяжение/сжатие)

Масштаб представляет собой нежесткое преобразование в том смысле, что он изменяет форму и размер графика функция. Масштаб будет умножать/разделять координаты, и это изменит внешний вид, а также Местоположение. Вертикальное масштабирование умножает/делит каждую координату y на константу, оставляя координата x не изменилась. Горизонтальное масштабирование умножает/делит каждую координату x на постоянным, оставляя координату y неизменной. Вертикальное и горизонтальное масштабирование может быть объединены в одно выражение.

Коэффициенты масштабирования умножаются/делятся на компоненты x или f(x). Если константа сгруппирована с x, то это горизонтальное масштабирование, иначе это вертикальное масштабирование.

Отражения

Функция может быть отражена относительно оси путем умножения на отрицательную единицу. Чтобы отразить ось Y, умножьте каждый x на -1, чтобы получить -x. Чтобы отразить ось x, умножьте f(x) на -1, чтобы получить -f(x).

Собираем все вместе

Рассмотрим основной график функции: y = f(x)

Все переводы могут быть выражены в виде:

у = а * е [b (х-с)] + d

Отступление

Понимание представленных здесь концепций имеет основополагающее значение для понимания полиномиальных и рациональных функций (гл. 3) и особенно конических сечений (гл. 8). Это также сыграет очень большую роль в Тригонометрия (математика 117) и исчисление (математика 121, 122, 221 или 19).0).

Ранее в тексте (раздел 1.2, задачи 61-64) был ряд задач, которые написали уравнение линии как:

х/а + у/б = 1

Где a — точка пересечения по оси x, а b — точка пересечения с линией y. «а» может действительно быть думал о том, как далеко идти в направлении х (масштабирование по оси х) и «b» может думать о том, как далеко идти в направлении «у» (у-масштабирование). Итак, «а» и «б» есть на самом деле множители (хотя они и появляются внизу). Что они умножение это 1 который находится с правой стороны. x+y=1 будет иметь точку пересечения x и y 1.

Хорошо. Рассмотрим уравнение: y = f(x)

Это самый простой график функции. Но преобразования могут применяться и к нему. Его можно записать в формате, показанном ниже.

В этом формате «а» — это множитель по вертикали, а «b» — по горизонтали. множитель. Мы знаем, что «а» влияет на у, потому что она сгруппирована с y и «b» влияет на x, потому что он сгруппирован с x.

«d» и «c» вертикальные и горизонтальные смены соответственно. Мы знаем, что это сдвиги, потому что они вычитаются от переменной скорее чем разделить на переменную, что сделало бы их весами.

В этом формате все изменения кажутся противоположными ожидаемым. Если у вас есть выражение (y-2)/3, это сдвиг по вертикали на 2 вправо (хотя там написано y минус 2) и это вертикальное растяжение на 3 (хотя там написано y разделить на 3). Важно понимать, что в этом формат, когда константы сгруппированы с переменной, на которую они влияют, перевод противоположное (обратное) тому, что большинство людей думает, что это должно быть.

Однако этот формат не подходит для рисования с помощью технологии, потому что нам нравится, когда функции записываются как y =, а не (y-c)/d =. Итак, если вы возьмете обозначение выше и решите его для y, вы получите обозначение ниже, которое похожее, но не совсем наше базовое состояние формы выше.

у = а * е ((х-с) / б) + д

Обратите внимание, что для определения y вам пришлось инвертировать обе константы «a» и «d». Вместо деления на «а» вы теперь умножаете на «а». Ну, раньше быть, что ты все равно пришлось применить обратную константу. Когда было сказано «разделить на а», ты знал это Это имел в виду «умножить каждый y на a». Когда он сказал «вычесть d», вы знали, что вам действительно нужно «добавить д». У вас есть уже применил обратное, так что не делайте этого снова! С константами, влияющими у, так как они были перемещены на другую сторону, примите их за чистую монету. Если написано умножить на 2, делай, не надо разделить на 2.

Однако константы, влияющие на x, не изменились. Они по-прежнему противоположны какими, по вашему мнению, они должны быть. И, что еще хуже, «x разделить b», что на самом деле означает умножение каждой координаты x на «b» было перевернуто и записано как «b умножить на x», так что это действительно означает разделить каждый x на «b». «x минус c» на самом деле означает добавление c к каждой координате x.

Итак, окончательная форма (для технологии) такая, как указано выше:

у = а * е [b (х-с)] + d

Хорошо, конец отступления.

Нормальное и обратное поведение

Вы заметите, что на диаграмме указано, что вертикальное перемещение является нормальным, а горизонтальное переводы обратные. Чтобы понять, почему, читайте отступление выше. концепции в действительно имеют фундаментальное значение для понимания многих графиков.

Примеры

у=f(х)

Без перевода

у=е(х+2)

+2 сгруппировано с x, поэтому это горизонтальный перевод. Так как он добавлен к х, а не умножается на х, это сдвиг, а не масштаб. Так как там написано плюс а горизонтальные изменения обратные, фактическое перемещение заключается в перемещении всего график на две единицы влево или «вычесть два из каждой координаты x», оставив только y-координаты.

у=f(х)+2

+2 не сгруппирован с x, поэтому это вертикальный перевод. Поскольку он добавлен, а не умножение, это сдвиг, а не масштаб. Так как он говорит плюс и вертикальный изменения действуют так, как они выглядят, фактический перевод состоит в том, чтобы переместить весь график на два единицы вверх или «добавьте два к каждой координате y», оставив только координаты x.

г.

у=f(x-3)+5

На этот раз сдвиг по горизонтали на три вправо и сдвиг по вертикали на пять вверх. Так перевод будет состоять в том, чтобы переместить весь график вправо на три и вверх на пять или «добавить три на каждую координату x и пять на каждую координату y»

у=3f(х)

3 умножается, так что это масштабирование, а не смещение. 3 не сгруппирован с x, так что это вертикальное масштабирование. Вертикальные изменения влияют так, как вы думаете должно быть, поэтому результатом будет «умножить каждую координату y на три», оставив только координаты x.

г.

у=-f(х)

Y нужно умножить на -1. Это делает перевод «отражающим по оси x», оставляя координаты x в покое.

у=е(2х)

2 умножается, а не добавляется, так что это масштабирование, а не смещение. 2 это сгруппированы с x, так что это горизонтальное масштабирование. Горизонтальные изменения обратны то, чем они кажутся, вместо того, чтобы умножать каждую координату x на два, перевод состоит в том, чтобы «делить каждую координату x на два», оставляя координаты y без изменений.

г.

у=е(-х)

x нужно умножить на -1. Это делает перевод «отражающим ось Y», оставляя координаты Y в покое.

у=1/2 е(х/3)

Перевод здесь будет «умножить каждую координату y на 1/2 и умножить каждую координату x на 3».

у=2f(х)+5

Здесь может быть некоторая двусмысленность. Вы «добавляете пять к каждой координате y, а затем умножить на два» или вы «умножаете каждую координату y на два, а затем добавляете пять»? Вот здесь-то и вступает в силу мой предыдущий комментарий о том, что математика строится на самой себе. играть в. Существует порядок действий, в котором говорится, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием. Если вы помните это, то решение легкий. Правильное преобразование состоит в том, чтобы «умножить каждую координату y на два, а затем добавьте пять дюймов, оставив координаты x в покое.

г.

у=е(2х-3)

Теперь, когда порядок операций четко определен, двусмысленность здесь, о которой должно быть сделано в первую очередь удаляется. Ответ не в том, чтобы «делить каждую координату x на два». и прибавьте три», как и следовало ожидать. Причина в том, что проблема , а не , написанная на стандартная форма. Стандартная форма: y=f[b(x-c)]. При записи в стандартной форме это проблема становится y=f[2(x-3/2)]. Это означает, что правильный перевод должен быть «разделить каждую координату x на два и добавить три половины», оставив координаты y без изменений.

г.

у=3f(х-2)

Перевод здесь «умножить каждую координату y на три и добавить два к каждой координате x». Кроме того, вы можете изменить порядок. Изменения в x или y можно сделать независимо друг от друга, но если есть масштабы и сдвиги к одному и тому же переменная, важно сначала выполнить масштабирование, а затем смещение.

Переводы и влияние на домен и диапазон

Любое горизонтальное перемещение повлияет на домен и оставит диапазон без изменений. Любая вертикаль перевод повлияет на диапазон и оставит домен без изменений.

Примените к домену или диапазону то же преобразование, что и к координатам x или y. Это работает, потому что область может быть записана в виде интервала как интервал между двумя координатами x. Аналогично для диапазона как интервала между двумя координатами y.

Помните, что в следующей таблице домен и диапазон указаны в виде интервалов. Если ты не знакомы с записью интервалов, пожалуйста, ознакомьтесь с главой о предварительных требованиях. Первая строка это оператор определения и должен использоваться для определения остальных ответов.

Обратите внимание на последние два, что порядок в диапазоне изменился. Это потому, что в интервале обозначение, меньшее число всегда идет первым.

Действительно хорошие вещи

Понимание переводов также может помочь при поиске домена и диапазона функции. Допустим, ваша проблема состоит в том, чтобы найти домен и диапазон функции y=2-sqrt(x-3).

Начните с того, что вы знаете. Вы знаете, что основная функция — это sqrt(x), и вы знаете домен и диапазон sqrt (x) оба [0, + бесконечность). Ты знаешь это, потому что знаешь этих шестерых общие функции на обложке вашего текста, которые будут использоваться в качестве строительных блоков для других функций.

	Функция	Перевод	Домен	Диапазон
Начните с чего ты знаешь	у=кв(х)	Нет	[0,+бесконечность)	[0,+бесконечность)
Применить переводы	г=-кв. (х)	Отражение вокруг оси x	[0,+бесконечность)	(-бесконечность,0]
	y=2-sqrt(x)	Прибавить 2 к каждой ординате	[0,+бесконечность)	(-бесконечность,2]
	у=2-кв.(х-3)	Прибавить 3 к каждой оси абсцисс	[3,+бесконечность)	(-бесконечность,2]

Итак, для функции y=2-sqrt(x-3) область определения равна x≥3, а диапазон равен y≤2.

И лучшая часть в том, что вы это поняли! Вы не только поняли это, но и Это можно сделать без построения графика на калькуляторе.

Нет ничего плохого в том, чтобы построить график, чтобы увидеть, что происходит, но вы должны быть в состоянии понять, что происходит без графика, потому что мы узнали, что график калькулятор не всегда точно показывает, что происходит. Это инструмент, помогающий вашему пониманию и понимание, а не инструмент, чтобы заменить его.

Именно эту связность математики я хочу, чтобы вы все «усвоили». Все подходит вместе так красиво.

Графики квадратных уравнений с использованием оси симметрии

Квадратное уравнение это многочлен уравнение степень 2 . Стандартная форма квадратного уравнения:

0 знак равно а Икс 2 + б Икс + с

куда а , б а также с все действительные числа и а ≠ 0 .

Если мы заменим 0 с у , то мы получаем квадратичная функция

у знак равно а Икс 2 + б Икс + с

график которого будет парабола .

Осью симметрии этой параболы будет линия Икс знак равно − б 2 а . Ось симметрии проходит через вершину, поэтому Икс -координата вершины − б 2 а . Заменять Икс знак равно − б 2 а в уравнении найти у -координата вершины. Замените еще несколько Икс -значения в уравнении, чтобы получить соответствующие у -значения и построить точки. Соедините их и удлините параболу.

Пример 1:

График параболы у знак равно Икс 2 − 7 Икс + 2 .

Сравните уравнение с у знак равно а Икс 2 + б Икс + с чтобы найти значения а , б , а также с .

г. Здесь, а знак равно 1 , б знак равно − 7 а также с знак равно 2 .

Используя значения коэффициентов, напишите уравнение ось симметрии .

График квадратного уравнения в виде у знак равно а Икс 2 + б Икс + с имеет своей осью симметрии линию Икс знак равно − б 2 а . Итак, уравнение оси симметрии данной параболы имеет вид Икс знак равно − ( − 7 ) 2 ( 1 ) или же Икс знак равно 7 2 .

Заменять Икс знак равно 7 2 в уравнении найти у -координата вершины.

у знак равно ( 7 2 ) 2 − 7 ( 7 2 ) + 2 знак равно 494 − 49 2 + 2 знак равно 49 − 98 + 8 4 знак равно − 41 4

Следовательно, координаты вершины равны ( 7 2 , − 41 4 ) .

Теперь замените еще несколько Икс -значения в уравнении, чтобы получить соответствующие у -ценности.

Нанесите точки и соедините их, чтобы получить параболу.

Пример 2:

График параболы у знак равно − 2 Икс 2 + 5 Икс − 1 .

Сравните уравнение с у знак равно а Икс 2 + б Икс + с чтобы найти значения а , б , а также с .

Здесь, а знак равно − 2 , б знак равно 5 а также с знак равно − 1 .

Используя значения коэффициентов, напишите уравнение оси симметрии.

График квадратного уравнения в виде у знак равно а Икс 2 + б Икс + с имеет своей осью симметрии линию Икс знак равно − б 2 а . Итак, уравнение оси симметрии данной параболы имеет вид Икс знак равно − ( 5 ) 2 ( − 2 ) или же Икс знак равно 5 4 .

Заменять Икс знак равно 5 4 в уравнении найти у -координата вершины.

у знак равно − 2 ( 5 4 ) 2 + 5 ( 5 4 ) − 1 знак равно − 50 16 + 25 4 − 1 знак равно − 50 + 100 − 16 16 знак равно 34 16 знак равно 17 8

Следовательно, координаты вершины равны ( 5 4 , 17 8 ) .

Теперь замените еще несколько Икс -значения в уравнении, чтобы получить соответствующие у -ценности.

Нанесите точки и соедините их, чтобы получить параболу.

Пример 3:

График параболы Икс знак равно у 2 + 4 у + 2 .

Здесь, Икс является функцией у . Парабола открывается «вбок» и ось симметрии параболы горизонтальна. Стандартная форма уравнения горизонтальной параболы: Икс знак равно а у 2 + б у + с куда а , б , а также с все действительные числа и а ≠ 0 а уравнение оси симметрии имеет вид у знак равно − б 2 а .

Сравните уравнение с Икс знак равно а у 2 + б у + с чтобы найти значения а , б , а также с .

Здесь, а знак равно 1 , б знак равно 4 а также с знак равно 2 .

Используя значения коэффициентов, напишите уравнение оси симметрии.

График квадратного уравнения в виде Икс знак равно а у 2 + б у + с имеет своей осью симметрии линию у знак равно − б 2 а . Итак, уравнение оси симметрии данной параболы имеет вид у знак равно − 4 2 ( 1 ) или же у знак равно − 2 .

Заменять у знак равно − 2 в уравнении найти Икс -координата вершины.

Икс знак равно ( − 2 ) 2 + 4 ( − 2 ) + 2 знак равно 4 − 8 + 2 знак равно − 2

Следовательно, координаты вершины равны ( − 2 , − 2 ) .

Теперь замените еще несколько у -значения в уравнении, чтобы получить соответствующие Икс -ценности.

Нанесите точки и соедините их, чтобы получить параболу.

ППЛАТО | Базовая математика | Квадратичные функции и их графики

Общий квадратичный имеет вид:

где a , b и c — константы, а a ≠ 0. Простейшее из них:

— когда a = 1, b = c = 0.

По поводу этого простейшего случая можно сделать следующие замечания:

1. Поскольку возведение любого числа в квадрат дает положительное число, все значения y положительны, за исключением случая, когда x = 0, и в этом случае y = 0.
2. По мере увеличения размера x увеличивается и x ² , но увеличение значения «быстрее», чем увеличение x.
3. График y = x ² симметричен относительно оси y. ( х = 0). Например, если x = 3, соответствующее значение y равно 3 ² = 9. Если x = −3, то значение y равно (−3) ² = 9. Два значения x равны равноудаленный от оси y, одно влево и одно вправо, но два значения y имеют одинаковую высоту над осью x.

Этого достаточно, чтобы набросать функцию.

На графике y = x ² :

1. Линия x = 0 (, т.е. по оси Y) будет называться линией симметрии для этого квадратичного уравнения.
2. Линия y = 0 (, т.е. — ось x) будет называться ортогональной осью для этого квадратичного уравнения.

Если уравнение, скажем, y = 2 x ² , то график будет похож на график y = x ² , но будет лежать над ним. Например, когда x = 1, значение x ² равно 1, значение 2 x ² равно 2. Значение y для y = 2 x ² выше, чем для y = x ² . Аналогично, для уравнения y = x ² ⁄ 2 график выглядит аналогично y = x ² , но теперь лежит под ним. Это показано на рисунке ниже.

Следующий возможный выбор: a = −1, с уравнением y = − x ² . В этом случае график уравнения будет иметь ту же форму, но теперь вместо того, чтобы быть над осью x, это ниже. Когда x = 1, соответствующее значение y равно −1. Аналогичным образом, для различных отрицательных значений и графики расположены ниже оси x.

Тест 1: На рисунке ниже показан эскиз трех квадратичных уравнений. Что можно определить относительно a , b и c ?

(a) a > c и c > 0 Неверно — попробуйте еще раз!

(b) b > c и a > 0 Неверно — попробуйте еще раз!

(c) c > b > a Неверно — попробуйте еще раз!

(г) б > в > а Правильно — молодец!

Объяснение: Кривые для y = bx ² и y = cx ² обе расположены над осью x и первая из них выше последнего, поэтому b > c . Кривая для y = x ² находится ниже оси x, поэтому a < 0. Поскольку каждое положительное число больше любого отрицательного число, то следует, что б > с > а .

Этот тип квадратичного подобен основным в разделе «Введение», но с добавленной константой, , т.е. , с общей формой:

у = ах ² + с

В качестве простого примера возьмем случай y = x ² + 2. Сравнивая это с функцией y = x ² , разница только в добавлении 2 шт. Как таковой:

1. Когда х = 1, х ² = 1, но х ² + 2 = 1 + 2 = 3.
2. Когда х = 2, х ² = 4, но х ² + 2 = 4 + 2 = 6.
3. Эти пункты были подняты на 2 единицы.
4. Это происходит для всех x , поэтому форма графика не изменилась, но поднялась вверх на 2 единицы.

Точно так же график y = x ² − 2 опустится на 2 единицы.

В примерах, рассмотренных до сих пор, осью симметрии является ось y, , т. е. , линия x = 0. Следующая возможность — квадратичная, ось симметрии которой находится не на оси y. Примером этого является:

у = ( х — 3) ²

который имеет ту же форму и ту же ортогональную ось, что и y = x ² , но с осью линии симметрии х = 3.

1. Точки х = 0 и х = 6 равноудалены от 3.
2. Когда x = 0, значение y равно (0 − 3) ² = 9
3. г. Когда x = 6, значение y равно (6 − 3) ² = 9.
4. Обе точки на кривой при этих значениях находятся на 9 единиц выше оси x.
5. Это верно для всех чисел, равноудаленных от 3.

График y = ( x − 3) показан ниже:

До сих пор обсуждались два отдельных случая: во-первых, у стандартного квадратичного уравнения его ортогональная ось смещена вверх или вниз; и во-вторых, стандартная квадратичная имеет ось симметрии, смещенную влево или вправо. Следующим шагом является рассмотрение квадратичных уравнений, включающих оба сдвига.

Пример 1: Квадратичная y = x ² сдвинута так, что ее ось симметрии равна x = 3, а ее ортогональная ось находится в точке y = 2.

(a) Запишите уравнение новой кривой.

Решение: Новая кривая симметрична относительно x = 3 и смещена вверх на 2 единицы, поэтому ее уравнение имеет вид y = ( x − 3) ² + 2.

(b) Найдите координаты точки пересечения оси Y.

Решение: Кривая пересекает ось Y, когда x = 0 . Внесение этого в уравнение y = x ² + 2, соответствующее значение y равно y = (0 − 3) ² + 2 = 11, поэтому кривая пересекает ось y в точке y = 11.

(c) Нарисуйте кривую.

Решение:

Упражнение 1: Кривая y = −2 x ² сдвинута так, что ее ось симметрии совпадает с линия x = -2, а ее ортогональная ось равна x = 8.

(a) Запишите уравнение новой кривой.

Решение: Уравнение:

у = -2( х + 2) ² + 8

(b) Найдите координаты точек, где эта новая кривая пересекает оси x и y.

Решение: Кривая пересекает ось Y, когда x = 0. Подставляя x = 0 в уравнение y = −2 ( x + 2) ² + 8, соответствующее значение y равно:

−2 (0 + 2) ² + 8 = −2 (2) ² + 8 = − 8 + 8 = 0, , т. е. y = 0.

Кривая пересекает ось x, когда y = 0. В этом случае подстановка значения y = 0 в уравнение y = −2( x + 2) ² + 8 приводит к:

поэтому есть два решения, x = -4 и х = 0.

Подводя итог: график пересекает координатные оси в двух точках с координатами (−4, 0) и (0, 0).

(c) Нарисуйте кривую.

Решение: Кривая изображена ниже:

Нажмите на вопросы, чтобы узнать их решения

Упражнение 2: Для следующих кривых запишите уравнение каждой кривой, найдите координаты точек, где кривая пересекает x — и y — оси и нарисуйте кривую.

(a) Кривая y = x ² сместилась так, что ее осью симметрии является линия x = 7, а ее ортогональная ось y = 6.

Решение: Уравнение сдвинутой кривой имеет вид

г. Это пересечет ось Y, когда x = 0, т.е. когда:

y = (0 − 7) ² + 6 = (−7) ² + 6 = 55

Он не пересекает ось x, так как его нижняя точка находится на ортогональной оси, то есть y = 6. Эскиз графика показан ниже:

(b) Кривая y = x ² , сдвинутая так, что ее осью симметрии является линия x = 7, а его ортогональная ось равна y = -9.

Решение: Эта кривая будет иметь ту же форму, что и кривая в части (а), но теперь она сдвинута вниз, а не вверх. Уравнение кривой:

у = ( х — 7) ² — 9

Это пересечет ось y, когда x = 0 и y = (0 − 7) ² − 9 = 49 − 9 = 40. Он пересечет ось x, когда y = 0. Подстановка этого в уравнение дает:

т. е. . кривая пересекает ось x в точках 4 и 10.

Подводя итог, самая нижняя точка находится на ортогональной оси в точке x = 7, y = -9, она пересекает ось y в точке y = 40 и пересекает ось x в точке x = 4. , x = 10. Кривая изображена ниже:

(в) Кривая y = − x ² сдвинут так, что его ось симметрии совпадает с линией x = 7, а его ортогональная ось равна y = 9,

Решение: Уравнение для этой кривой:

у = -( х — 7) ² + 9

Это пересечет ось Y, когда x = 0, , то есть при y = -(0 — 7) ² + 9 = -49 + 9 = -40. Он пересекает ось x, когда г = 0, т.е.

что дает х = 4 и х = 10.

Подводя итог, кривая имеет самую высокую точку, когда x = 7 и y = 9, которая является ортогональной осью, она пересекает ось y в точке y = -40 и пересекает ось x в точке x = 4 и x = 10. Эскиз кривой показан ниже:

Нажмите на вопросы, чтобы узнать их решения

Этот раздел посвящен рисованию общих квадратичных функций, то есть функций вида

Алгебраическое выражение необходимо изменить так, чтобы можно было определить линию симметрии и ортогональную ось. Требуемая процедура — заполнить квадрат (см. модуль «Квадратика»).

Пример 2: Квадратичная функция задается как −2 92 477 x 92 478 91 848 2 91 849 + 4 92 477 x 92 478 + 16.

(a) Заполните квадрат этой функции.

Решение: Завершение квадрата:

(b) Используйте это, чтобы определить ось симметрии и ортогональную ось кривой.

Решение: Это функция y = −2 x ² переместился так, что его ось симметрии равна x = 1, а его ортогональная ось равна y = 18

(c) Найдите точки на осях x и y, где кривая их пересекает.

Решение: Функция имеет вид y = −2( x − 1) ² + 18. Это пересечет ось x, когда y = 0, , т. е. , когда:

Подставляя x = 0 в исходную форму функции y = −2 x ² + 4 x + 16, получаем y = 16, , т. е. пересекает ось . в х = 16.

(d) Нарисуйте кривую.

Решение:

Вот несколько упражнений для практики:

Упражнение 3: Используя метод, показанный в примере 2, нарисуйте каждое из следующих квадратных уравнений:

(а) у = х ² + 2 х + 1

Решение: Уравнение можно переписать как y = ( х + 1) ² . Набросок функции показан ниже:

(б) у = 6 − х ²

Решение: Функция y = 6 − x ² уже является полным квадратом и показана ниже:

(в) у = х ² − 6 х + 5

Решение: При построении квадрата исходная функция y = x ² — 6 x + 5 становится y = ( x — 3) ² — 4.

(г) у = 4 х − х ²

Решение: После завершения квадрата функция принимает вид y = −( x − 2) ² + 4. График показан ниже:

(д) г = х ² + 2 х + 5

Решение: После завершения квадрата функция становится равной y = ( x + 1) ² + 4. График показан ниже:

(е) y = 3 − 2 x − x ²

Решение: После завершения квадрата эта функция становится равной y = −( x + 1) ² + 4. Это набросано ниже:

Нажмите на вопросы, чтобы узнать их решения

Этот раздел заканчивается небольшой викториной:

Тест 2: Какая из следующих пар прямых является соответственно осью симметрии и ортогональной осью квадратичной функции y = − 2 x ² − 8 x ?

(a) x = 2, y = 8 Неверно — попробуйте еще раз!

(b) x = 2, y = −8 Неверно — попробуйте еще раз!

(c) x = −2, y = 8 Правильно — молодец!

(d) x = −2, y = −8 Неверно — попробуйте еще раз!

Объяснение: Завершение квадрата на y = −2 x ² − 8 x дает функцию

, т. е. , ортогональная ось равна y = 8, а ось симметрии равна x = −2. Это именно та функция, которая рассматривалась в упражнении 1, где можно найти все детали и схему.

Каждый из следующих вопросов относится к квадратичной функции y = − x ² + 6 x + 7.

1. В какой из следующих двух точек он пересекает ось x?

(а) х = -1, 7

(б) х = 1, -7

(в) х = 1, 7

(г) — х 192, −7

2. В каком из следующих случаев он пересекает ось y?

(A) Y = 7

(B) Y = 8

(C) Y = 5

(D) Y = 6

(D) Y = 6

(D) Y = 6

(D) Y = 6

(D) Y = 6

(D) Y = 6

(D) Y = 6

(D) . ось симметрии?

(а) х = 2

(б) х = −2

(c) x = −3

(d) x = 3

4. Какая из следующих осей является ортогональной?

(a) y = 14

(b) y = 15

(c) y = 16

(d) y = 13