Функция x это: Что такое Функция в Алгебре?

Содержание

Что такое Функция в Алгебре?

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:


В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

 

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида


область определения выглядит так:

  • х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

х

-3

-2

-1

0

1

2

у = 3х +2

-7

-4

-1

2

5

8

Рассмотрим другие типы соответствий между множествами.

Например, фрукты и цвет каждого:


У каждого фрукта есть свой цвет. Но такое соответствие нельзя назвать взаимно-однозначным. Например, яблоко может быть и красным, и желтым и даже зеленым.

Пример такого соответствия в математике — функция у = х2. Один и тот же элемент второго множества у = 4 соответствует двум разным элементам первого множества: х = 2 и х = -2.


Так на примере с фруктами можно показать соответствие, которое нельзя назвать функцией:


Видно, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества. Описать такое соответствие математически было бы сложнее.

Способы задания функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ — самый наглядный. На графике сразу видно возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума.
  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

Задать функцию формулой

Через аналитический способ задания функции можно сразу по конкретному значению аргумента «x» найти значение функции «y».

Пример. Дана функция: y(x) = 32x + 5.

Найти: значения функции «y» при x = 0.

Как рассуждаем:

Подставим в формулу вместо «x» число «0». Запишем расчет.

y(0) = 32 * 0 + 5 = 5

Ответ: y = 5.

Задать функцию таблицей

Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений «y» для произвольно выбранных значений «x».

Пример. Дана функция: y(x) = −x + 4.

Найти: значения «y» при x = -1, x = 0 и x = 1.

Как рассуждаем:


1. Подставим в функцию y(x) = −x + 4 вместо «x» первое число -1.


2. Продолжим подставлять в функцию y(x) = −x + 4 данные значения x (0 и 1).

y(0) = −0 + 4 = 4
y(1) = −1 + 4 = 3

Не путаем знаки!

Когда в функцию нужно подставить отрицательное число — включаем внимательность на максимум. Возьмите нужное число в скобки, чтобы точно не потерять знак минус.

3. Запишем полученные результаты в таблицу:

Так мы получили табличный способ задания функции y(x) = −x + 4.

Задать функцию графиком

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

График функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числовые значения вместо «x».

Пример. Дана функция: y(x) = −2x + 1.

Найти: значения «y» для произвольных «x», а именно −1, 0, 1.

Как рассуждаем:

1. Подставим данные значения х в функцию и запишем результаты:

x

Рассчет

−1

y(−1) = −2 * (−1) + 1 = 2 + 1 = 3

0

y(0) = −2 * 0 + 1 = 0 + 1 = 1

1

y(1) = −2 * 1 + 1 = −2 + 1 = −1

2. Каждая пара значений «x» и «y» — это координаты точек по оси Ox (абсцисса точки) и Oy (ордината точки).

Дадим названия каждой точке и запишем их координаты:

Имя точки

x

y

(·) A

−1

3

(·) B

0

1

(·) C

1

−1

3. Отметим точки А (-1; 3), B (0; 1) и С (1; -1) на прямоугольной системе координат.


4. Соединим отмеченные точки прямой.

Проведенная прямая будет графиком функции y(x) = −2x + 1.


Что такое функция - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

 

Понятие функции – одно из основных в математике.

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула – это зависимость давления жидкости от глубины .

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

Знакомое вам обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины по определенному закону, или правилу, обозначаемому .

Другими словами: меняем (независимую переменную, или аргумент) – и по определенному правилу меняется .

Совсем необязательно обозначать переменные и . Например, – зависимость длины от температуры , то есть закон теплового расширения. Сама запись означает, что величина зависит от .

2. Можно дать и другое определение.

Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину .

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается – а на выходе получается .

Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция каждому действительному числу ставит в соответствие число в два раза большее, чем .

 

Повторим еще раз: каждому элементу множества по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества . Множество называется областью определения функции. Множество – областью значений.

Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.

Рассмотрим в качестве примера соответствие между двумя множествами – гражданами России, у которых есть паспорта, и номерами их паспортов. Ясно, что это соответствие взаимно-однозначное – у каждого гражданина только один российский паспорт. И наоборот – по номеру паспорта можно найти человека.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция . Каждому значению соответствует одно и только одно значение . И наоборот – зная , можно однозначно найти .

Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:

Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.

Пример такого соответствия в математике – функция . Один и тот же элемент второго множества соответствует двум разным элементам первого множества: и .

А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:

Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.

Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?

Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?

Ответ очевиден. Первая кривая – это график некоторой функции, а вторая – нет. Ведь на ней есть точки, где каждому значению соответствует не одно, а целых три значения .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Перечислим способы задания функции.

1. С помощью формулы. Это удобный и привычный для нас способ. Например:

,

,

,

.

Это примеры функций, заданных формулами.

2. Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика.

К тому же не всегда легко вывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.

3. С помощью таблицы. С этого способа вы когда-то начинали изучение темы «Функция» - строили таблицу и только после этого – график. А при экспериментальном исследовании какой-либо новой закономерности, когда еще неизвестны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.

4. С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция задается описанием:

Читайте также: Чтение графика функции

Функция sign(x) - это... Что такое Функция sign(x)?

  • функция mod_osso — Новое функциональное средство, введенное в Oracle9iAS Release 2. Оно является расширением Oracle HTTP Server, которое позволяет HTTP серверу стать партнерским приложением (см. Partner Applications) для SSO (см. Single Sign On, SSO). Приложения,… …   Справочник технического переводчика

  • Функция ошибок — График функции ошибок В математике функция ошибок (функция Лапласа)  это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных ур …   Википедия

  • Функция Лапласа — График функции ошибок В математике функция ошибок  это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как . Дополнительная функция ошибок,… …   Википедия

  • Функция Ляпунова — Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функция Ляпунова является скалярной функцией, которая… …   Википедия

  • Функция sgn(x) — График функции y = sgn x Функция (другое обозначение: ), читается «сигнум» (от лат. signum  знак)  кусочно постоянная функция, определённа …   Википедия

  • Sign функция — График функции y = sgn(x) Функция (другое обозначение: , читается: «сигнум», от лат. signum знак) определяется следующим образом …   Википедия

  • Функция Радемахера — Графики функций Радемахера с Функция Радемахера  кусочно постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей обл …   Википедия

  • Функция знака — График функции y = sgn(x) Функция (другое обозначение: , читается: «сигнум», от лат. signum знак) определяется следующим образом …   Википедия

  • R-функция — (функция В. Л. Рвачёва)  числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками ее аргументов при соответствующем разбиении числовой оси на интервалы и . Впервые R функции были введены в работах… …   Википедия

  • Однородная функция — степени   числовая функция такая, что для любого и выполняется равенство: причём называют порядком однородности. Различают также положительно однородные функции, для которых равенство …   Википедия

  • Линейная функция

    Функция называется

    линейной, если ее можно записать в виде \(y=kx+b\), где \(k\) и \(b\) -некоторые числа.

    Примеры:

    \(y=\frac{1}{3}x-5\)

      

    \(k=\frac{1}{3}\), \(b=-5\)

    \(y=2x\)

    \(k=2\), \(b=0\)

    \(y=8\)

    \(k=0\), \(b=8\)

    Функция не всегда сразу задана в виде \(y=kx+b\), иногда такой вид получится только после преобразований. Например, \(y=6(x-1)+10x\) - это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим \(y=16x-6\).

    График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

    Чтобы в этом убедиться построим графики функций \(y=2x\),     \(y=\frac{1}{3}x-5\),     \(y=8\).
            

    Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.

    Как меняется график при разных \(k\)?


    Чтобы определить, как влияет на график коэффициент  \(k\), построим несколько функций разными \(k\):  \(\frac{1}{3}\),\(-\frac{1}{3}\),\(2\),\(-2\) и \(0\). При этом во всех функциях сделаем \(b\) одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.
    То есть, построим графики для функций: \(y=\frac{1}{3}x\),    \(y=-\frac{1}{3}x\),     \(y=2x\),      \(y=-2x\),      \(y=0\).

    Заметьте, что при \(k=2\) и \(\frac{1}{3}\) - функция возрастает, а при \(k=-2\) и \(-\frac{1}{3}\) - убывает. На самом деле:

    При любом \(k>0\) функция возрастает и при любом \(k<0\) - убывает. Когда же \(k=0\) - она не возрастает и не убывает, а идет параллельна оси \(x\) (или совпадает с ней).

    Так же можно заметить, чем больше модуль \(k\), тем «круче» график.

    Как по графику определить коэффициент k?

    1. Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус.
    2. Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:


    Чтобы определить значение \(k\) по модулю (то есть, без учета знака), надо вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную. Можно использовать правило для запоминания: «стоячий бьет лежачего». В данных случаях \(|k|=\frac{AC}{BC}\). То есть на первом графике \(k=2\),а на втором \(k=-\frac{1}{4}\).


    Как меняется график при разных значениях \(b\)?

    Чтобы определить, как \(b\) влияет на график, построим несколько функций с разными \(b\): \(6\), \(2\), \(0\), \(-3\) и \(-8\). При этом \(k\) пусть во всех функциях будет равен \(2\).

    Не сложно заметить, что прямая либо поднимается на \(b\) (если \(b>0\)) либо опускается на \(|b|\) если
    (\(b<0\)).

    Как по графику функции определить значение \(b\)?

    Очень просто - прямая пересекает ось \(y\) всегда в точке \(b\). Вы можете это увидеть на предыдущем графике.

    Пример (ОГЭ): На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида  \(y=kx+b\). Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов \(k\) и \(b\).

    A. B.C.

    Коэффициенты

    1) \(k>0\),\(b>0\) 2) \(k<0\), \(b>0\) 3) \(k<0\), \(b<0\) 4) \(k>0\), \(b<0\)

    Решение:
    А. – функция убывает, поэтому \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 2).

    B. - функция возрастает - \(k>0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 1).

    C. – функция убывает - \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится ниже нуля, значит \(b<0\). Подходит вариант под цифрой 3).
    Ответ: 213.

    «Читерский» способ строить график линейной функции

    Можно конечно строить график линейной функции по точкам, как описано здесь, но можно и быстрее, буквально в три шага:
    1. Отмечаем точку \(b\) на оси игреков.

    2. От неё идем вправо на количество клеточек равное знаменателю \(k\), и вверх на количество клеточек равное числителю \(k\) (если \(k>0\)) или вниз на тоже количество (если \(k<0\)).

    3. Проводим через эти две точки прямую.

    Пример: Построить график функции \(y=3x+1\).

     

    Шаг 1.

    \(b=1\), поэтому отмечаем точку с этим значением на оси \(y\)

     

    Шаг 2.

    \(k=3\), а тройка это тоже самое, что \(\frac{3}{1}\). При этом \(k>0\). Поэтому идем вправо на единицу и вверх на \(3\). Ставим точку.

    Шаг 3.

    Проводим через эти две точки прямую.

                        

    Пример: Построить график функции \(y=-\frac{1}{4} x-3\).

    Шаг 1.

    \(b=-3\) отмечаем точку с этим значением на оси \(y\).

     

    Шаг 2.

    \(k=-\frac{1}{4}\), \(k<0\),  числитель \(1\), знаменатель \(4\). Значит, идем вправо на \(4\) и вниз на единицу.

    Шаг 3.

    Проводим через эти две точки прямую.

                               

    Немного потренируйтесь и вы сами поймете, какой это классный способ строить линейную функцию.

    Скачать статью

    область определения, нули функции, четность функции и все остальные.

    Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

    Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

    Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

    Основные свойства функций.

    1) Область определения функции и область значений функции.

    Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
    Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

    В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

    2) Нули функции.

    Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

    3) Промежутки знакопостоянства функции.

    Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

    4) Монотонность функции.

    Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

    Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

    5) Четность (нечетность) функции.

    Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

    Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

    6) Ограниченная и неограниченная функции.

    Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

    7) Периодическость функции.

    Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

    Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции. Также посмотрите материал про таблицу истинности, таблицу умножения, таблицу Менделеева, таблицу производных и таблицу интегралов.

    Слишком сложно?

    Свойства функции не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

    Как построить график функции в Excel

    Чтобы правильно построить линейный график функций в Excel необходимо выбрать точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами. Естественно это не единственный, но весьма быстрый и удобный способ.

    Для разного рода данных нужно использовать разные типы графиков. Убедимся в этом, разобрав практический пример с построением математического графика функций в Excel.

    Построение графиков функций в Excel

    Начнем из анализа и создания графика функций в Excel. Мы убедимся в том, что линейный график в Excel существенно отличается от графика линейной функции, который преподают в школе.

    Линейная функция x=y имеет следующие значения: x1=0, x2=1, x3=7. Заполните таблицу этими значениями как показано на рисунке:

    Выделите диапазон A1:B4 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«График»-«График с маркерами».

    В результате у нас созданы 2 линии на графике, которые наложены одна сверх другой. Так же мы видим, что линии сломаны, а значит, они не соответствуют презентации школьному графику линейной функции. Излом линий, получается, по причине того, что на оси X у нас после значений: 0, 1 сразу идет значение 7 (упущены 2,3,4,5,6).

    Вывод один: данный способ графического построения данных нам не подходит. А значит щелкните по нему левой кнопкой мышки (чтобы сделать его активным) и нажмите клавишу DELETE на клавиатуре, чтобы удалить его.

    

    Как построить график линейной функции в Excel

    Чтобы создать правильный график функций в Excel выберите подходящий график.

    Выделите диапазон A1:B4 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«Точечная»-«Точечная с прямыми отрезками и маркерами».

    Как видно на рисунке данный график содержит одинаковое количество значений на осях X и Y. По умолчанию в шаблоне данного графика цена делений оси X равна 2. При необходимости ее можно изменить. Для этого:

    • наведите курсор мышки на любое значение оси X чтобы появилась всплывающая подсказка «Горизонтальная ось (значений)» и сделайте двойной щёлочек левой кнопкой мышки;
    • в появившемся окне «Формат оси» выберите пункт опции: «Параметры оси»-«цена основных делений»-«фиксированное» и установите значение 1 вместо 2.
    • нажмите на кнопку «Закрыть».

    Теперь у нас отображается одинаковое количество значений по всем осям.

    Очень важно понимать разницу в предназначениях графиков Excel. В данном примере мы видим, что далеко не все графики подходят для презентации математических функций.

    Примечание. В принципе первый способ можно было-бы оптимизировать под отображение линейной функции, если таблицу заполнить всеми значениями 0-7. Но это не всегда работающее решение, особенно в том случае если вместо значений будут формулы изменяющие данные. Одним словом если нужно забить гвоздь лучше взять молоток, чем микроскоп. Несмотря на то, что теоретически гвозди можно забивать и микроскопом.

    Не существует универсальных графиков и диаграмм, которыми можно отобразить любой отчет. Для каждого типа отчета наиболее подходящее то или иное графическое представление данных. Выбор зависит от того что и как мы хотим презентовать. На следующих примерах вы убедитесь, что выбор имеет большое значение.2

    Найдём связь между графиками функций  и .

    Для этого изобразим в одной координатной плоскости графики функций , , .

    Составим таблицы значений для функций:

    Видно, что график функции  можно получить из графика  в квадрате параллельным переносом относительно оси х вправо на 6 единиц, m=6. А график функции  параллельным переносом влево на 6 единиц, m=-6.

    Определение:

    График функции  является параболой, которую можно получить из графика функции  с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо, если m>0, и на -m единиц влево, если m<0.

    Пример.

    Изобразить графики функций вида , пользуясь уже известными определениями.

    Используя шаблон , изобразим графики функции .

    Сначала рассмотрим шаблон. Не трудно составить таблицу значений этой функции:

    Получаем параболу.

    Взглянем на формулу, которой задана функция . Это функция вида , в данном случае m=-4. Получить график этой функции можно с помощью параллельного переноса параболы  относительно оси х на 4 единицы влево.

    Получили график функции . Вершина данной параболы имеет координаты (-4,0).

    Заметим, что вершина параболы  будет иметь координаты (m,0).

    Определение:

    Функция вида  – это парабола, которую можно получить из графика функции  в квадрате с помощью двух параллельных переносов:

    1.     вдоль оси y на n единиц вверх, если n>0, и на -n единиц вниз, если n<0;

    2.     вдоль оси x на m единиц вправо, если m>0, и на -m единиц влево, если m<0.

    Параллельные переносы можно производить в любом порядке.

    Вершина этой параболы будет иметь координаты (m,n).

    Пример.

    С помощью шаблона параболы  изобразить график функции .

    На рисунке видно, что m=-4, сдвигаем точки шаблона на 4 единицы влево и n=-3, сдвигаем полученный график на 3 единицы вниз. Получили график функции . Вершина имеет координаты (-4,-3).

    Функции

    - Алгебра - Математика A-Level Revision

    В этом разделе рассматриваются функции в рамках более широкой темы алгебры.

    Функцию можно рассматривать как правило, которое берет каждый элемент x набора и присваивает ему то же самое значение y , известное на его изображении.

    x → Функция → y

    Буква, такая как f, g или h , часто используется для обозначения функции. Функция, которая возводит число в квадрат и добавляет 3, может быть записана как f (x) = x 2 + 5 .Это же понятие можно использовать, чтобы показать, как функция влияет на определенные значения.

    Пример

    f (4) = 4 2 + 5 = 21, f (-10) = (-10) 2 +5 = 105 или, альтернативно, f : x → x 2 + 5 .

    Фраза «y является функцией x» означает, что значение y зависит от значения x, поэтому:

    • y можно записать через x (например, y = 3x).
    • Если f (x) = 3x и y является функцией x (т.е. y = f (x)), тогда значение y, когда x равно 4, равно f (4), которое находится заменой x "s на 4" s.

    Пример

    Если f (x) = 3x + 4, найти f (5) и f (x + 1).

    f (5) = 3 (5) + 4 = 19
    f (x + 1) = 3 (x + 1) + 4 = 3x + 7

    Домен и диапазон

    Область функции - это набор значений, которые вам разрешено вводить в функцию (то есть все значения, которые может принимать x).Диапазон функции - это набор всех значений, которые функция может принимать, другими словами, все возможные значения y, когда y = f (x). Итак, если y = x 2 , мы можем выбрать в качестве домена все действительные числа. Диапазон - это все действительные числа, большие (или равные) нулю, поскольку, если y = x 2 , y не может быть отрицательным.

    Индивидуальные переговоры

    Мы говорим, что функция взаимно однозначная , если для каждой точки y в диапазоне функции существует только одно значение x такое, что y = f (x).f (x) = x 2 не один к одному, потому что, например, есть два значения x, такие что f (x) = 4 (а именно –2 и 2). На графике функция взаимно однозначна, если любая горизонтальная линия разрезает график только один раз.

    Функции составления

    fg означает выполнение функции g, затем функции f. Иногда fg записывается как fog

    .

    Пример

    Если f (x) = x 2 и g (x) = x - 1, то
    gf (x) = g (x 2 ) = x 2 - 1
    fg (x) = f (x - 1) = (х - 1) 2

    Как видите, fg не обязательно равно gf

    Обратная функция

    Обратной функцией является функция, которая обращает эффект исходной функции.Например, y = 2x, обратный y = ½ x.
    Чтобы найти обратную функцию, поменяйте местами x "s и y" s и сделайте y предметом формулы.

    Пример

    Найдите обратное к f (x) = 2x + 1
    Пусть y = f (x), поэтому y = 2x + 1
    поменяет местами x "s и y" s:
    x = 2y + 1
    Сделайте y объектом формулы:
    2y = x - 1, поэтому y = ½ (x - 1)
    Следовательно, f -1 (x) = ½ (x - 1)

    f -1 (x) - стандартное обозначение, обратное f (x).Говорят, что обратное существует тогда и только тогда, когда существует функция f -1 с ff -1 (x) = f -1 f (x) = x

    .

    Обратите внимание, что график f -1 будет отражением f в линии y = x.

    Это видео объясняет больше об обратной функции

    Графики

    Функции можно изобразить. Функция непрерывная , если на ее графике нет разрывов. Пример прерывистого графа - y = 1 / x, поскольку граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги:

    Функция периодическая , если ее график повторяется через равные промежутки времени, этот интервал известен как период.

    Функция равна , даже если она не изменяется при замене x на -x. График такой функции будет симметричным по оси ординат. Даже функции, которые являются полиномами, имеют четные степени (например, y = x²).
    Функция нечетная , если знак функции изменяется при замене x на -x. График функции будет иметь симметрию вращения относительно начала координат (например, y = x³).

    Функция модуля

    Модуль числа - это величина этого числа.Например, модуль -1 (| -1 |) равен 1. Модуль x, | x |, равен x для значений x, которые положительны, и -x для значений x, которые отрицательны. Итак, график y = | x | y = x для всех положительных значений x и y = -x для всех отрицательных значений x:

    Преобразование графиков

    Если y = f (x), график y = f (x) + c (где c - константа) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вверх (в направлении y- ось).
    Если y = f (x), график y = f (x + c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц влево.
    Если y = f (x), график y = f (x - c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вправо.
    Если y = f (x), график y = af (x) представляет собой отрезок графика y = f (x), масштабный коэффициент (1 / a), параллельный оси x. [Масштабный коэффициент 1 / a означает, что "растяжение" фактически приводит к сжатию графика, если a - число больше 1]

    Пример

    График y = | x - 1 | будет таким же, как на приведенном выше графике, но со смещением на одну единицу вправо (так что точка V попадет на ось x в 1, а не в 0).

    Функции и линейные уравнения (Алгебра 2, Как построить график функций и линейных уравнений) - Mathplanet

    Если мы в следующем уравнении y = x + 7 присвоим значение x, уравнение даст нам значение для y.


    Пример

    $$ y = x + 7 $$

    $$ если \; х = 2 \; затем

    $

    $$ y = 2 + 7 = 9 $$

    Если бы мы присвоили другое значение x, уравнение дало бы нам другое значение y. Вместо этого мы могли бы присвоить значение y и решить уравнение, чтобы найти совпадающее значение x.

    В нашем уравнении y = x + 7 у нас есть две переменные, x и y. Переменная, которой мы присваиваем значение, мы называем независимой переменной, а другая переменная является зависимой переменной, поскольку ее значение зависит от независимой переменной. В нашем примере выше x - независимая переменная, а y - зависимая переменная.

    Функция - это уравнение, которое имеет только один ответ для y для каждого x. Функция назначает ровно один выход каждому входу указанного типа.

    Обычно функцию называют f (x) или g (x) вместо y.f (2) означает, что мы должны найти значение нашей функции, когда x равно 2.


    Пример

    $$ f (x) = x + 7 $$

    $$ если \; х = 2 \; затем

    $

    $$ f (2) = 2 + 7 = 9 $$

    Функция линейна, если ее можно определить с помощью

    .

    $$ f (x) = mx + b $$

    f (x) - значение функции.
    м - уклон линии.
    b - значение функции, когда x равно нулю, или координата y точки, где линия пересекает ось y в координатной плоскости.
    x - значение координаты x.

    Эта форма называется формой пересечения наклона. Если наклон m отрицательный, значение функции уменьшается с увеличением x и наоборот, если наклон положительный.

    Уравнение, такое как y = x + 7 , является линейным, и существует бесконечное количество упорядоченных пар x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.

    Наклон m здесь равен 1, а наш b (точка пересечения с y) равен 7.
    Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), равен

    $$ m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} $$

    $$ x_ {2} \ neq x_ {1} $$

    Если двум линейным уравнениям задан один и тот же наклон, это означает, что они параллельны, а если произведение двух наклонов m1 * m2 = -1, два линейных уравнения называются перпендикулярными.


    Видеоурок

    Если x равен -1, какое значение имеет f (x), когда f (x) = 3x + 5?

    Определение функций с помощью графиков | Колледж алгебры

    Результаты обучения

    • Проверить работу с помощью теста вертикальной линии
    • Проверить однозначное соответствие с помощью теста горизонтальной линии
    • Определить графики функций инструментария

    Как мы видели в примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика.Графики отображают множество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений. Обычно мы строим графики с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.

    Наиболее распространенные графики называют входное значение [latex] x [/ latex] и выходное значение [latex] y [/ latex], и мы говорим, что [latex] y [/ latex] является функцией [latex] x [ / latex] или [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], если функция называется [latex] f [/ latex].График функции - это набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которая удовлетворяет уравнению [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex ]. Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции состоит только из нескольких точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующее выходное значение. Например, черные точки на графике на графике ниже говорят нам, что [латекс] f \ left (0 \ right) = 2 [/ latex] и [latex] f \ left (6 \ right) = 1 [/ latex ].Однако набор всех точек [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], удовлетворяющих [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], является кривой. Показанная кривая включает [латекс] \ left (0,2 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (6,1 \ right) [/ latex], потому что кривая проходит через эти точки.

    Тест с вертикальной линией может использоваться для определения того, представляет ли график функцию. Вертикальная линия включает все точки с определенным значением [latex] x [/ latex]. Значение [latex] y [/ latex] точки, где вертикальная линия пересекает график, представляет собой выход для этого входного значения [latex] x [/ latex].Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не определяет функцию, потому что это значение [latex] x [/ latex] имеет более одного вывода. Функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.

    Практическое руководство. Имея график, используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию.

    1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная вертикальная линия кривую более одного раза.
    2. Если такая линия есть, график не представляет функцию.
    3. Если ни одна вертикальная линия не может пересекать кривую более одного раза, график действительно представляет функцию.

    Пример: применение теста вертикальной линии

    Какой из графиков представляет функцию [латекс] y = f \ left (x \ right)? [/ Latex]

    Показать решение

    Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией. Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) графика выше.Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что при максимальном значении x вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке.

    Попробуй

    Представляет ли приведенный ниже график функцию?

    Тест горизонтальной линии

    После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли он взаимно однозначной функцией, - это использовать тест горизонтальной линии .Проведите через график горизонтальные линии. Горизонтальная линия включает все точки с определенным значением [latex] y [/ latex]. Значение [latex] x [/ latex] точки, где вертикальная линия пересекает функцию, представляет вход для этого выходного значения [latex] y [/ latex]. Если мы можем нарисовать любую горизонтальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не представляет функцию, потому что это значение [latex] y [/ latex] имеет более одного входа.

    Практическое руководство. Имея график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график однозначную функцию.

    1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
    2. Если такая строка есть, функция не взаимно однозначная.
    3. Если ни одна горизонтальная линия не может пересекать кривую более одного раза, функция взаимно однозначна.

    Пример: применение теста горизонтальной линии

    Рассмотрим функции (a) и (b), показанные на графиках ниже.

    Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?

    Показать решение

    Функция в (а) не взаимно однозначна.Горизонтальная линия, показанная ниже, пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках).

    Функция в (b) взаимно однозначна. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.

    Определение основных функций набора инструментов

    В этом тексте мы исследуем функции - формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Когда мы учимся арифметике, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор базовых именованных функций, для которых мы знаем график, формулу и специальные свойства. Некоторые из этих функций запрограммированы на отдельные кнопки на многих калькуляторах. Для этих определений мы будем использовать [latex] x [/ latex] в качестве входной переменной и [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex] в качестве выходной переменной.

    Мы будем часто видеть эти функции набора инструментов, комбинации функций набора инструментов, их графики и их преобразования на протяжении всей этой книги. Будет очень полезно, если мы сможем быстро распознать эти функции набора инструментов и их возможности по имени, формуле, графику и основным свойствам таблицы. Графики и примерные значения таблицы включены в каждую функцию, показанную ниже.

    Попробуй

    В этом упражнении вы построите график функций инструментария с помощью онлайн-инструмента построения графиков.

    1. Изобразите каждую функцию набора инструментов, используя обозначение функций.
    2. Составьте таблицу значений, которая ссылается на функцию и включает как минимум интервал [-5,5].

    Внесите свой вклад!

    У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

    Улучшить эту страницуПодробнее

    функций и уравнений: f (x) равно y и более

    Я хотел поговорить о функциональной алгебре, которая, естественно, будет включать ссылку на обозначение функций.

    Итак, вот что разочаровывает в написании этого блога. Я стараюсь включать ссылки на другие сайты, которые объясняют концепцию, чтобы мне не пришлось изобретать велосипед для моей читающей аудитории. Но гугл дает мне следующие результаты: бесполезные ссылки, которые не более чем говорят: «f (x) то же самое, что и y». Это не математика. Это подготовка к тесту. И в подготовке к тестам нет ничего плохого, но каждый из этих сайтов якобы предназначен для обучения математике, и эй, я не математик, но разве мы не должны объяснять, что f (x) означает ?

    Кто-то где-то говорит: «Вот почему нам нужны учителя со специальностями по математике, а не по английскому языку, которые набирают 800 баллов в секции квантов GRE.Вы не можете заменить математику пониманием , которое приходит с изучением этих важных принципов ». Кто-то где-то не прав. Раньше я думал, что в ранние годы, пока у меня не было слишком много разговоров вроде этого:

    Я обращаюсь к учителю математического анализа AP, КТО ВЫПУСКАЕТ МАТЕМАТИЮ: Что вы скажете своим детям о нотации функций?

    AP Учитель математики, ОСОБОЙ В МАТЕМАТИКЕ: f (x) совпадает с y.

    Я, озадаченный: Ну. Ага. Но я имею в виду, почему мы разработали нотацию функций, для чего она служит тому, чему не может служить….

    А.П. Учитель математики, ОСОБЕННЫЙ МАТЕМАТИЕЙ: Это просто обозначения. Не путайте.

    Я: Я не запутался. Но они служат разным целям, и я просто стараюсь точно запечатлеть…

    А.П. Учитель математики, ОСОБО ИЗУЧЕННЫЙ МАТЕМАТИЕЙ: Они не служат другим целям. Это просто обозначение f (x) то же самое, что и y.

    Я: Хорошо.

    По моему опыту, очень немногие учителя математики, ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ОСНОВНЫЕ ПО МАТЕМАТИКЕ, тоже заботятся об этих вещах. Мой приятель по пиву - исключение (а теперь он заведующий отделом), и он единственный учитель математики, которого я нашел до сих пор, который интересовался моей работой по этому предмету.

    Учебники? Макдугалл Лителл, у CPM много таких функциональных машин. Но никаких объяснений. У Холта получается немного лучше, но я не понимал этого, пока не понял, что искал.

    Так что трачу больше времени на поиск хорошей ссылки. В противном случае мне придется потратить много времени на то, чтобы выяснить, как правильно или хотя бы безобидно объяснить обозначение функций, чтобы люди, читающие этот блог, не заставляли меня напоминать им, что, черт возьми, я специализируюсь на английском, а не на математик! На это нужно время. Еще не время тратить . Я не хочу рассказывать вам, что такое нотация функций, так, чтобы это прошло проверку экспертов. Я хочу рассказать, как я использую нотацию функций для обучения алгебре функций. Но я не могу обойтись без объяснения обозначений функций, чего я не собирался делать. Это приводит к тому, что многие записи в блогах занимают гораздо больше времени, чем следовало бы. Первоначальная цель моего поста по функциональной алгебре заключалась в том, чтобы сделать небольшой бросок.

    Я начал писать этот пост почти месяц назад и зашел в тупик, пытаясь охарактеризовать объяснение.Вам может быть интересно, почему я объясняю то, чего не понимаю, но на самом деле это не так. Я просто не знаю, как это назвать. И это хорошо для преподавания, а не для письма, поэтому я часами пытаюсь найти правильный запрос. Который занимал меня буквально до сегодняшнего дня.

    Всего пятнадцать минут назад (когда я писал это предложение) я наконец нашел ядро ​​в этом обсуждении нотации функций до Эйлера, в котором кто-то пишет:

    но [Ньютон] называет их уравнениями, а не функциями, и по общему признанию (написанные так, как они есть), это именно то, чем они являются.Кажется, все, что мы сегодня написали бы как функцию, Ньютон описал словами, например:

    HA. Я узнал кое-что, чего раньше не понимал полностью: функция и уравнение - это не одно и то же. Поиск в Google «в чем разница между уравнением и функцией» привел меня к нужным веб-сайтам. Теперь я понимаю, что искал не просто объяснение обозначений функций, а скорее, почему и когда мы используем функции вместо уравнений.

    Вот объяснение того, что я пытался сказать.

    Итак, мои исследования окупились. На практике то, что я делал на этом уроке, - это знакомство с операциями функций и нотацией функций как способом преодоления ограничений при использовании уравнений.

    *********************************************** *****************

    Сами нужно еще 15 долларов, чтобы купить новую толстовку с капюшоном, которую он хочет. Но если Сами пропускает толстовку, ему нужно всего три доллара, чтобы купить билет на раздачу пиццы в пятницу. Если у Сами есть x долларов, сколько денег в пересчете на x понадобится Сэми, если он хочет и толстовку с капюшоном, и билет на пиццу?

    Первое, что думают дети, это то, что Сами нужно на 18 долларов больше.

    Хорошо, у Сами есть 20 долларов. Сколько стоит худи? 35 долларов. Сколько стоит корм для пиццы? 23 доллара. Насколько ... ох. Ха, говорят дети. Ему нужно намного больше, чем 18 долларов.

    В зависимости от того, насколько я себя чувствую, я могу получить фальшивые деньги. Отсчитываю 20 долларов, отдаю тихому ученику. Сколько еще за толстовку? Отсчитайте еще 15 долларов. А теперь как насчет ... Примерно тогда студент получает это: вам нужно 20 долларов дважды по .

    Итак, мы переходим к доске и моделируем два разных уравнения для каждой покупки.

    у = х + 15
    у = х + 3

    Итак, если мы получаем и то, и другое, что мы делаем? Добавим, класс припев.

    А, вот и новая морщина. Дети уже некоторое время добавляют уравнения в системах. Итак, я говорю: давайте попробуем сложить эти уравнения.

    2у = 2х + 18.

    Это правда? Мы тестируем его с 20 долларами, и дети понимают, что правая сторона «работает» (то есть мы получаем 68 долларов), но левая сторона говорит, что нам все еще нужно разделить на 2, что было бы… неправильно.

    «Итак, мы находимся в пределах одного уравнения. Уравнение говорит нам, что два выражения занимают одну и ту же точку на числовой прямой - то есть, в конце концов, что означает «равно» ».

    «Но когда мы используем несколько переменных в уравнениях, тогда уравнение становится связью между двумя переменными, условием« если-то ». Если y = x + 15, , то точка (3, 18) является решением, потому что установка x = 3 и y = 18 создает уравнение, в котором обе стороны занимают одну и ту же точку на числовой прямой. Если 3x + 2y = 12, , тогда (2,3) является решением, потому что установка x = 2, y = 3 и т. Д. »

    Но в уравнении переменные - это значения. Таким образом, в случае саамов мы не можем рассматривать y как точку сбора. Мы не можем отследить зависимую переменную, потому что она, очевидно, меняется на . Значение y в первом уравнении отличается от значения y во втором уравнении. Если бы мы хотели разделить их, мы могли бы использовать две разные переменные, например z = x + 15 и y = x + 3.Или мы могли бы пронумеровать ys: y 1 = x + 15, y 2 = x + 3.

    «Использование языка функций устраняет многие из этих ограничений».

    «Во-первых, по логике. Функции существенно отличаются от уравнений: функция - это , вывод . Уравнение - это связь между переменными. Да, y = x + 3 и f (x) = x + 3 дают одинаковые результаты, поэтому мы, учителя, всегда говорим вам помнить, что «y и f (x) - одно и то же». Однако f (x) - это не переменная, а выход.Итак, когда мы добавляем две функции, мы добавляем выходы. Помните также, что функция даже не обязательно должна быть уравнением, как в примере кода мобильного телефона.

    Тогда есть обозначение функций, изобретенное Эйлером. Обозначение функций позволяет использовать уникальные имена, обычно состоящие из одной буквы. Но этого не должно быть. Вы можете проявить изобретательность с названиями букв и вводимыми значениями ».

    «Обозначение функций также стало более элегантным и эффективным. Вместо того, чтобы говорить «если x = 7», вы можете просто сказать f (3).После определения функции с именем «f» можно вводить все, что угодно, даже другое выражение, например f (a + 7). А затем вместо того, чтобы говорить «y =» и решать относительно x, напишите f (x) = 3 ».

    «Итак, давайте назовем кассу Сэмми c , а затем создадим функцию h для толстовки и p для корма для пиццы.

    h (c) = c + 15
    p (c) = c + 3

    В обоих случаях c представляет количество денег, которые есть у Сами, поэтому входная стоимость одинакова. Но выходное значение зависит от используемой функции.”

    «Это небольшая разница. Но скольким вам говорили, что f (x) совпадает с y? » Связка поднятых рук.

    «Ага. И во многом это так. Но вам должно быть интересно, почему, если это одно и то же, мы учим вас нотации функций ». Множество кивков.

    «Итак, по мере того, как вы перейдете к продвинутой математике, вы начнете узнавать другие причины, по которым мы иногда используем функции, а иногда - уравнения. На данный момент достаточно знать, что обозначение функций позволяет нам отслеживать различные результаты.

    «Как только мы сможем это сделать, мы сможем создать целую математику с функциями. Их можно складывать, вычитать, умножать. У них есть обратные операции ».

    «Но тогда почему мы используем уравнения?»

    «Ну, во-первых, функции плохо справляются с системами . Помните, что когда мы решаем системы, мы - это , ожидая, что и x, и y (и любые другие переменные) будут равны. Функции не справляются с этим. Таким образом, вы увидите, что мы переключаемся между уравнениями и функциями по мере необходимости.”

    Когда вам нужно добавить выражения, отлично подойдут функции. Итак, теперь мы можем сложить h (c) и g (c).

    h (c) + p (c) = (x + 15) + (x + 3) = 2x + 18

    «Поскольку мы добавляем результата и имеем уникальный способ отслеживания каждого результата, мы можем добавить их должным образом. Помните также, что, поскольку функция не обязательно должна быть уравнением, я могу складывать или вычитать результаты, даже не имея уравнения. Если a (x) = 9 и b (y) = 17, тогда b (y) - a (x) равно 8, и мне не нужно заботиться о том, генерируются ли a (x) и b (y) выражение, или правило, или код, или случайная случайность - конечно, при условии, что эта случайная случайность - только одна для каждого входа.”

    *********************************************** *****************************

    Я знаю. Вам интересно, почему я просто не следую словам учителя математического анализа AP «f (x) то же самое, что и y». Что ж, оказывается, что операции с функциями - большая часть предварительного вычисления, поэтому они будут использовать это позже.

    А пока я практикуюсь с обозначением функций (я украл это наугад). Недостаточно. Дети не узнают этого позже. Но, по крайней мере, они этому подвержены.

    Затем я перехожу к сложению и вычитанию линейных функций.Обычно я просто кладу проблемы на доску.

    Пример теста:

    Вот тестовый вопрос:

    И отсюда я перехожу к линейному умножению функций (также известному как квадратичное) и, в конечном итоге, к рациональным выражениям (линейное деление функций).

    Как и обучение конгруэнтности с изометриями, я не могу утверждать, что лучше использовать функции для дальнейшей работы с линейными и квадратными уравнениями. Мне он кажется более… элегантным, может быть?

    Но казни не совсем там.Это первый год, когда я по-настоящему учил всю эту последовательность: введение функций, сложение / вычитание / запись функций, умножение функций, обратные функции, рациональные выражения. Написание этого показало очевидное улучшение. До сих пор моя функциональная иллюстрация была отдельным уроком. Позже я ввожу понятие сложения функций и при этом обращаюсь к нотации функций.

    Это глупо, теперь, когда я смотрю на это. В будущем я представлю функции, а затем перейду к их обозначениям.Я могу потратить на это день или два, так рано пройти викторину. Затем я могу вернуться к линейным уравнениям или неравенствам (размещение гибкое), а затем вызвать сложение и вычитание функций с уже охваченными обозначениями функций.

    Знаете, что вас раздражает? Огромные усилия, описанные в начале этого поста, чтобы выяснить, как описать то, чему я учил, привели меня к этому. Огромные усилия были потрачены исключительно на то, чтобы написать этот пост. О чем я беспокоился. Изучая, как описывать нотацию функций для моих читателей, я узнал, что правильный способ охарактеризовать мою работу - это различие между функциями и уравнениями, и это привело к идее улучшения последовательности.

    Это что-то вроде сообщения-заполнителя. Очевидно, я сейчас в курсе. Мой модуль линейных уравнений уже некоторое время находится в хорошей форме. Это дает мне много возможностей, чтобы добавить изюминки, познакомить с более сложными темами по предмету, который хорошо знают ученики. Между тем, линейное умножение функций оказалось отличным введением в квадратику. Так что теперь я собираю все это воедино.

    Далее в этой последовательности: пост, который я действительно хотел написать, о моем введении в квадратику.

    Извините за медленное количество постов в последнее время. Я сделал пять в апреле, потом поленился.

    Нравится:

    Нравится Загрузка ...

    Связанные

    Краткий обзор AMA перед запуском основной сети Function X | от Function X Foundation | FunctionX | Июнь, 2021 г.

    Изображение предоставлено Робом, опубликовано на https://forum.functionx.io/

    Уважаемые участники Function X,

    Спасибо, что присоединились к AMA 11 июня 2021 г. Организаторами AMA были президент Function X Foundation Дэвид Кей, член совета Фонда Function X Йос Адигуна Гинтинг, генеральный директор и соучредитель Зак Чеа.

    Йос Адигуна Гинтинг также является председателем Постоянного комитета по международной торговле Торгово-промышленной палаты Индонезии и имеет докторскую степень в области вычислительной и теоретической химии.

    Если вы пропустите AMA, вы можете посмотреть видео здесь:

    Идея Function X была представлена ​​миру в августе 2018 года. После почти трех лет непрерывного строительства мы сейчас на пороге запуска Function X Mainnet.

    Мы подчеркивали, что хотим, чтобы сообщество участвовало в запуске.Следовательно, держатели токенов FX должны делать ставки на токены FX, чтобы достичь 20% порогового значения от общего текущего предложения для разблокировки основной сети FX - FX Core.

    Почему нам нужно участие сообщества, а не запускать самостоятельно?

    В основе модели консенсуса функции X лежит доказательство ставки. Это означает, что информация о каждом блоке должна быть индивидуально проверена двумя третями валидаторов. Валидаторы проверяют подлинность, голосуя за одобрение блока.Если злоумышленник захватит 33,3% сети, это может нанести вред сети.

    По сути, мы хотим, чтобы все члены сообщества и держатели токенов владели частью сети для защиты сети. Имея по крайней мере 20% текущего предложения токенов, мы в значительной степени обеспечили безопасность сети.

    Мы рекомендуем держателям токенов FX продолжать размещать свои FX в кошельке f (x) по крайней мере до 21 июня, чтобы сеть заработала успешно.

    После запуска основной сети у нас будет 20–25 валидаторов для проверки сети. Во-первых, валидаторы будут состоять из валидаторов, размещенных в компании. Эти валидаторы могут начать с минимальной суммы сборов, что означает, что держатели токенов, которые делегируют этим валидаторам, могут получить максимально возможное вознаграждение. Кроме того, из соображений безопасности мы хотим защитить сеть вместе с сообществом, чтобы ваши токены не подвергались риску со стороны общедоступных валидаторов.

    Конечная цель - обеспечить участие общественности и сообщества.Фактически это было сделано в Testnet 2.0 и 3.0, где мы показали сообществу, как создать валидатор в FX Cloud, не требуя знаний в области программирования.

    Yos: Подход Function X устраняет сложности, с которыми сталкиваются многие обычные пользователи. Ключевым аспектом блокчейна является децентрализация, чем больше участников, тем более защищенной станет сеть. Проблема в том, что даже самый простой кошелек с блокчейном довольно сложен для обычных пользователей, особенно для тех, кто не имеет опыта работы с блокчейном. Подход Function X заключается в том, чтобы позволить пользователям не только делать ставки, но также иметь возможность участвовать в запуске узла с помощью нескольких нажатий. Это сильно отличается от других блокчейнов, в которых для работы узла требуются существенные знания.

    Дэвид: Пользовательский интерфейс Function X делает ее настолько простой в использовании для пользователей. В нем есть кривая обучения, и я думаю, что мы подошли к нему поэтапно и сделали его увлекательным, а также образовательным опытом для тех, кто участвует.

    Наша цель - не только создавать узлы в сети Function X, но и позволить людям создавать собственные цепочки без программирования. Итак, корпорации, банки могут запускать свои сети с помощью технологии Function X. Все эти пользовательские цепочки связаны с нашей основной сетью FX Core.

    Мы делаем создание валидатора, а также создание пользовательской цепочки без кода.

    После запуска основной сети все транзакции будут записаны в Function X Explorer.

    Еще вы увидите новую версию кошелька f (x).

    Это очень интересно. Пользователи смогут связать свои токены Function X в ERC-20 с блокчейном Function X через кошелек f (X), что означает, что токены FX смогут быть ликвидными как на Ethereum, так и на FX Core.

    Мы хотели бы использовать существующую инфраструктуру на базе Ethereum и в то же время предоставить среду с более высокой скоростью и более низкой комиссией на FX Core. Ваши токены FX будут передаваться между FX Core и Ethereum .

    Это не повлияет на поставку токенов и может быть легко выполнено через кошелек f (x) и наш веб-сайт.

    Кроме того, наша функция CryptoBank (в кошельке f (x)) - это простой способ для пользователей децентрализованно делать ставки и зарабатывать с привлекательными APY.

    Короче говоря, кошелек f (x) будет обновлен, когда мы запустим основную сеть. Держателям токенов FX будет разрешено подключаться к FX Core из сети Ethereum и делегировать их валидаторам. Список валидаторов будет показан в кошельке f (x), чтобы пользователи могли делегировать ваши токены.

    Когда вы делегируете свои токены валидатору, какой доход вы получите?

    За последние 2 месяца мы доказали, что без активного участия Фонда мы можем сплотить сообщество, чтобы поставить 20% от общего предложения, и мы считаем возможным достичь целевого коэффициента ставок.

    При создании каждого нового блока новые наборы токенов FX будут вознаграждаться валидатору и делегатору. Целевой коэффициент ставок 51% предполагает, что, если коэффициент ставок будет ниже, уровень инфляции будет увеличиваться, и токены, созданные в каждом новом блоке, также увеличиваются, чтобы достичь коэффициента 51%.Если коэффициент доли выше 51%, уровень инфляции снижается. Уровень инфляции составляет от 17% до 41%.

    Начнем с инфляции 35%. Вначале, когда мы еще не достигли 51% ставки, уровень инфляции может приблизиться к 41%, когда мы достигнем нашей цели, уровень инфляции вернется к минимуму 17%.

    Если вы делегируете свои токены для защиты сети, вы имеете право на получение части начальной ставки в размере 35%. Однако, поскольку не все обеспечивают безопасность сети, предполагая, что только 50% участников, начальные 35% распределяются между половиной людей.Это означает, что количество токенов, которые вы получите, превышает 35%.

    Конечно, это 35%, из которых 40% выделяется на экосистему, ликвидность и пул сообщества.

    Мы настоятельно рекомендуем вам прочитать Function X: April Hash Out и использовать наш калькулятор, чтобы узнать, что вы получите, потому что число всегда меняется в зависимости от количества людей, сделавших ставки, комиссии валидатора (которая составляет 1 % сейчас).

    Этапы запуска основной сети Function X

    Первым этапом является запуск основной сети.Все, что вы ожидаете от сети, будет полностью запущено с низкими комиссиями, высокой скоростью транзакций и активным участием сообщества.

    Второй этап - это выполнение XPOS и других наших финансовых транзакций в Function X. На втором этапе основное внимание уделяется созданию пользовательской цепочки для XPOS. Название проекта временно называется XPOS-цепочкой; он будет подключен к FX Core. Идеальная ситуация, например, когда финансовое учреждение, построившее настраиваемую цепочку на Function X, может перейти к цепочке XPOS через FX Core.Это очень интересно, поскольку мы планируем использовать цепочку XPOS для поддержки множества финансовых инструментов и сервисов в сети Function X.

    Держатели токенов Pundi X также могут подключаться и выходить из сетей Etheruem и Function X.

    Примеры использования Function X

    Индонезия - это место, где Pundi X впервые появился.

    По словам министра торговли Индонезии Мухаммада Лутфи, объем рынка продуктов питания и напитков составил 3,669 трлн рупий. (около 257 миллиардов долларов США) обслуживается новой цифровой экономикой всего на 18 триллионов рупий., что составляет всего 0,5%. В настоящее время общее количество зарегистрированных малых и средних предприятий в Индонезии составляет не менее 13 миллионов, поэтому потенциал огромен.

    Технология блокчейн получила в стране большое внимание. Pundi X и Function X с указанной технологией и рабочими продуктами подходят и потенциально могут поддержать Индонезию в достижении их цели.

    Подробнее: Цифровая экономика Индонезии может вырасти до восьми раз в 2030 году

    Кстати, XPOS сейчас развернута в более чем 30 странах, и наша команда разговаривает с высокопоставленными чиновниками в Сальвадоре, чтобы найти потенциальное сотрудничество.

    Рынок синтетических и производных активов

    Поскольку Function X - это сеть, которая позволяет создавать пользовательские цепочки на лету и подключаться к FX Core, на третьем этапе Function X, хотя это произойдет не очень скоро, мы решили делятся на рынок синтетических и производных активов.

    Это означает, что токены из разных цепочек могут перемещаться в Функцию X и иметь возможность создавать синтетические и производные активы в сети и торговать в сети. Мы сможем получать цену от оракулов в сети, чтобы торги были полностью прозрачными.

    Это на стадии планирования. Наша цель сейчас - запустить первый этап и двигаться дальше.

    Форум Function X

    Члены нашего сообщества спрашивали, где они могут публиковать вопросы. Вот он, форум Function X, где члены нашего сообщества могут обсуждать более серьезные темы и делиться творческими идеями. Недавняя идея жетона вознаграждения на самом деле представлена ​​нам сообществом на форуме.

    Мы приглашаем всех, кто заинтересован в обсуждении функции X, присоединиться к нам на https: // форуме.functionx.io/

    Pundi X Chain на Function X и токенах вознаграждения

    Механизм токенов вознаграждения позволяет пользователям участвовать в аукционах NFT, раздаче и т.д. -в списках) уменьшится на 20%. Это делается для того, чтобы вы оставили его себе, а не обменивали его, как это делается для вознаграждения.

    NPXSXEM, изначально созданный для NEM, а затем перенесенный на BEP2, будет объединен с системой токенов вознаграждения и будет доступен в Function X и BSC как токен BEP20.

    Держатели PUNDIX смогут делать ставки и получать хорошее вознаграждение от токенов сначала на BSC, а затем на PUNDIX Chain. Распределение между командой Pundi X производиться не будет. Все награды будут для держателей токенов PUNDIX и держателей токенов NPXSXEM.

    Функция X будет играть роль активатора. В сети Function X будет настраиваемая цепочка для PUNDIX, в которой держатели токенов PUNDIX будут постоянно вознаграждаться.

    От Testnet 1.0 до почти полного запуска основной сети, мы хотели бы поблагодарить сообщество за вашу постоянную поддержку, и мы более чем рады видеть, что Function X оживает.

    Основная сеть будет запущена в ближайшее время. Давайте вместе с нетерпением ждем этого.

    Область и диапазон функции

    Определения домена и диапазона

    Домен

    Домен а функция - это полный набор возможных значений независимой переменной.

    На простом английском языке это определение означает:

    Домен - это совокупность всех возможных x - значения, которые сделают функцию "работа" и выдаст реальные значения и .

    При нахождении домена запомните:

    • Знаменатель (внизу) дроби не может быть ноль
    • Число под знаком квадратного корня должно быть положительный в этом разделе

    Пример 1а

    Вот график y = sqrt (x + 4):

    12345-1-2-3-4123xy

    Домен: `x> = - 4`

    Область определения этой функции - `x ≥ −4`, так как x не может быть меньше, чем` −4`.Чтобы понять, почему, попробуйте использовать в калькуляторе некоторые числа меньше, чем «−4» (например, «−5» или «−10»), и некоторые числа, превышающие «−4» (например, «−2» или «8»). Единственные, которые «работают» и дают нам ответ, - это те, которые больше или равны «−4». Это сделает число под квадратным корнем положительным.

    Примечания:

    1. Закрашенный кружок в точке `(-4, 0)`. Это указывает на то, что домен «запускается» в этот момент.
    2. Мы видели, как рисовать подобные графики в разделе 4, График функции.2 = х - 2.

    Как найти домен

    В общем, мы определяем область каждой функции, ища те значения независимой переменной (обычно x ), которые разрешено использовать для . (Обычно нам нужно избегать 0 в нижней части дроби или отрицательных значений под знаком квадратного корня).

    Диапазон

    Диапазон из функция - это полный набор всех возможных результирующих значений зависимой переменной ( y, обычно ) после того, как мы подставили домен.

    На простом английском языке это определение означает:

    Диапазон - это результат y - значения , которые мы получаем после подстановки всех возможных значений x .

    Как найти диапазон

    • Диапазон функции - это разброс возможных значений y (от минимального y -значения до максимального y -значения)
    • Подставьте различные значения x в выражение для y на посмотреть, что происходит.(Спросите себя: всегда ли и положительны? Всегда отрицательны? Или, может быть, не равны определенным значениям?)
    • Убедитесь, что вы ищете минимум и максимум значений y .
    • Нарисуйте эскиз ! В математике картина стоит тысячи слов.

    Пример 1б

    Вернемся к примеру выше, `y = sqrt (x + 4)`.

    Мы замечаем, что кривая находится либо на горизонтальной оси, либо над ней.Независимо от того, какое значение x мы попробуем, мы всегда получим нулевое или положительное значение y . Мы говорим, что диапазон в этом случае равен y ≥ 0.

    12345-1-2-3-4123xy

    Диапазон: `y> = 0`

    Кривая продолжается всегда вертикально, за пределы того, что показано на графике, поэтому диапазон - это все неотрицательные значения `y`.

    Пример 2

    График кривой y = sin x показывает диапазон между -1 и 1.

    12345-1-2-3-4-5-6-71-1xy

    Диапазон: `-1

    Область y = sin x - это «все значения x », поскольку нет никаких ограничений на значения для x . (Введите любое число в функцию "sin" в вашем калькуляторе. Любое число должно работать и даст вам окончательный ответ от -1 до 1.)

    Эксперимент с калькулятором и наблюдение кривой показывают, что диапазон составляет y между -1 и 1.Мы могли бы записать это как −1 ≤ y ≤ 1.

    Откуда взялся этот график? Мы узнаем о графиках sin и cos позже в Графах греха x и cos x

    Примечание 1: Поскольку мы предполагаем, что для значений x должны использоваться только действительные числа, числа, которые приводят к делению на ноль или к мнимым числам (которые возникают при нахождении квадратного корня из отрицательное число) не включаются.В главе «Комплексные числа» более подробно рассказывается о мнимых числах, но мы не включаем такие числа в эту главу.

    Примечание 2: При выполнении примеров квадратного корня многие люди спрашивают: «Разве мы не получаем 2 ответа, один положительный и один отрицательный, когда мы находим квадратный корень?» Квадратный корень имеет не более одного значения, а не два. См. Это обсуждение: Квадратный корень 16 - сколько ответов?

    Примечание 3: Мы говорим о области и диапазоне функций , которые имеют не более , одно значение y для каждого значения x , а не отношений (которые могут иметь более одного .).

    Поиск домена и диапазона без использования графика

    Всегда намного легче определить домен и диапазон, считывая его с графика (но мы должны убедиться, что мы увеличиваем и уменьшаем масштаб графика, чтобы убедиться, что мы видим все, что нам нужно увидеть). 2-9),` без использования графика.2-9`, которое, как мы понимаем, можно записать как `(x + 3) (x-3)`. Таким образом, наши значения для `x` не могут включать` -3` (из первой скобки) или `3` (из второй).

    В любом случае нам не нужно беспокоиться о `-3`, потому что на первом шаге мы решили, что` x> = -2`.

    Таким образом, домен для этого случая равен `x> = -2, x! = 3`, который мы можем записать как` [-2,3) uu (3, oo) `.

    Для определения диапазона мы рассматриваем верхнюю и нижнюю части дроби отдельно.

    Числитель: Если `x = -2`, верхняя часть имеет значение` sqrt (2 + 2) = sqrt (0) = 0`.2-9) `приближается к` 0`, поэтому `f (x)` переходит в `-oo`, когда приближается к` x = 3`.

    Для `x> 3`, когда` x` просто больше, чем `3`, значение дна чуть больше` 0`, поэтому `f (x)` будет очень большим положительным числом.

    Для очень большого `x` верхний край большой, но нижний будет намного больше, поэтому в целом значение функции будет очень маленьким.

    Таким образом, мы можем заключить, что диапазон равен `(-oo, 0] uu (oo, 0)`.

    Посмотрите на график (который мы все равно рисуем, чтобы убедиться, что мы на правильном пути):

    Показать график

    Мы можем видеть на следующем графике, что действительно домен равен «[-2,3) uu (3, oo)» (который включает «-2», но не «3»), а диапазон - «все значения из `f (x)`, кроме `F (x) = 0`.2-9) `.

    Сводка

    В общем, мы определяем домен по ищем те значения независимой переменной (обычно x ), которые у нас разрешено использовать . (Мы должны избегать 0 в нижней части дроби или отрицательных значений под знаком квадратного корня).

    Диапазон находится путем нахождения результирующих значений y после замены возможных значений x .

    Упражнение 1

    Найдите домен и диапазон для каждого из следующих.2+ 2`.

    Ответ

    Домен: Функция

    f ( x ) = x 2 + 2

    определен для всех реальных значений x (потому что нет ограничений на значение x ).

    Следовательно, область `f (x)` равна

    "все реальные значения x ".

    Диапазон: Поскольку x 2 никогда не бывает отрицательным, x 2 + 2 никогда не меньше 2

    Следовательно, диапазон `f (x)` равен

    "все действительные числа` f (x) ≥ 2` ".

    Мы видим, что x может принимать любое значение на графике, но результирующие значения y = f ( x ) больше или равны 2.

    123-1-2-312345678910-1xf (x)

    Диапазон: `y> = 2`

    Домен: Все `x`

    Примечание

    1. При построении графиков важно обозначить оси как . Это помогает понять, что представляет собой график.
    2. Мы видели, как рисовать такие графики в Графике функции.

    (б) `f (t) = 1 / (t + 2)`

    Ответ

    Домен: Функция

    `f (t) = 1 / (t + 2)`

    не определено для т = -2, так как это значение приведет к делению на ноль. (Внизу дроби будет 0.)

    Следовательно, домен из f ( t ) равен

    "все вещественные числа кроме -2 "

    Диапазон: Независимо от того, насколько большим или малым становится т , f ( t ) никогда не будет равно нулю.

    [ Почему? Если мы попытаемся решить уравнение относительно 0, произойдет следующее:

    `0 = 1 / (t + 2)`

    Умножаем обе стороны на ( t + 2) и получаем

    `0 = 1`

    Это невозможно.]

    Таким образом, диапазон для f ( t ) равен

    "все вещественные числа кроме нуля ».

    Мы можем видеть на графике, что функция не определена для «t = -2» и что функция (значения y ) принимает все значения, кроме «0». 2 + 4` для `x> 2`

    Ответ

    Функция `f (x)` имеет область из "все действительные числа,` x> 2` ", как определено в вопросе.(Здесь не используются квадратные корни из отрицательных чисел или деления на ноль.)

    Чтобы найти диапазон :

    • Когда `x = 2`,` f (2) = 8`
    • Когда x увеличивается с `2`,` f (x) `становится больше, чем `8` (попробуйте подставить некоторые числа, чтобы понять почему.)

    Следовательно, диапазон - "все действительные числа,` f (x)> 8` "

    Вот график функции с белым кружком в «(2, 8)», что указывает на то, что домен не включает «x = 2», а диапазон не включает «f (2) = 8».

    123456510152025xf (x) (2, 8)

    Домен: Все `x> 2`

    Диапазон:
    Все `f (x)> 8`

    Функция является частью параболы. [Подробнее о параболе.]

    Упражнение 2

    Мы запускаем шар в воздух и находим высота h , в метрах, как функция времени т , в секундах, равно

    ч = 20 т - 4,9 т 2

    Найдите домен и диапазон для функции ч ( т ).

    Ответ

    Как правило, отрицательные значения времени не имеют имея в виду. Кроме того, нам нужно предположить, что снаряд попадает в землю, а затем останавливается - он не уходит под землю.

    Итак, нам нужно рассчитать, когда он упадет на землю. Это будет, когда h = 0. Итак, решаем:

    20 т - 4,9 т 2 = 0

    Факторинг дает:

    (20 - 4.9 т ) т = 0

    Это верно, когда

    `t = 0 \" s "`,

    или

    `t = 20/4.9 = 4.082 текст (ы) `

    Следовательно, область функции h равна

    "все реально значения t такие, что `0 ≤ t ≤ 4.082`"

    Из выражения функции видно, что это парабола с вершиной вверх. (Это имеет смысл, если вы думаете о подбрасывании мяча вверх. Он поднимается на определенную высоту, а затем падает обратно.)

    Какое максимальное значение ч ? Воспользуемся формулой максимума (или минимума) квадратичной функции.

    Значение т. дает максимум

    .

    `t = -b / (2a) = -20 / (2 xx (-4.9)) = 2.041 с`

    Таким образом, максимальное значение равно

    .

    20 (2,041) - 4,9 (2,041) 2 = 20,408 м

    Наблюдая за функцией h , мы видим, что по мере увеличения t , h сначала увеличивается до максимума. 20,408 м, затем ч снова уменьшается до нуля, как и ожидалось.

    Следовательно, диапазон из h равен

    "все реально числа, `0 ≤ h ≤ 20,408`"

    Вот график функции h :

    1234565101520-5-й (t)

    Домен: `0

    Диапазон:
    `0

    Функции, определяемые координатами

    Иногда у нас нет непрерывных функций. Что нам делать в этом случае? Давайте посмотрим на пример.

    Упражнение 3

    Найдите область и диапазон функции, заданной координатами:

    `{(−4, 1), (−2, 2.5), (2, −1), (3, 2)} `

    Ответ

    Область - это просто следующие значения x : `x = {−4, −2, 2, 3}`

    Диапазон состоит из следующих значений `f (x)`: `f (x) = {−1, 1, 2, 2.5}`

    Вот график нашей разрывной функции.

    1234-1-2-3-41234-1-2-3-е (т) (3, 2) (2, -1) (- 4, 1)

    (-2, 2,5)

    Что это за математическая функция?

    Функции подобны математическим машинам, которые выполняют операции с входными данными для получения выходных данных.Знание того, с какой функцией вы имеете дело, так же важно, как и решение самой проблемы. Приведенные ниже уравнения сгруппированы в соответствии с их функциями. Для каждого уравнения перечислены четыре возможные функции, правильный ответ выделен жирным шрифтом. Чтобы представить эти уравнения в виде викторины или экзамена, просто скопируйте их в текстовый редактор и удалите пояснения и жирный шрифт. Или используйте их в качестве руководства, чтобы помочь студентам просмотреть функции.

    Линейные функции

    Линейная функция - это любая функция, которая образует прямую линию, отмечает Study.ком:

    «С математической точки зрения это означает, что функция имеет одну или две переменные без показателей или степеней».

    г - 12x = 5x + 8

    А) Линейная
    B) Квадратичный
    C) Тригонометрический
    D) Не функция

    г = 5

    А) Абсолютное значение
    B) Линейный
    C) Тригонометрический
    D) Не функция

    Абсолютное значение относится к тому, насколько далеко число от нуля, поэтому оно всегда положительно, независимо от направления.

    y = | x - 7 |

    А) Линейный
    B) Тригонометрический
    C) Абсолютное значение
    D) Не функция

    Экспоненциальный спад описывает процесс уменьшения суммы на постоянную процентную ставку в течение определенного периода времени и может быть выражен формулой y = a (1-b) x , где y - окончательная сумма, a - это исходное количество, b - коэффициент затухания, а x - это количество прошедшего времени.

    y = 0,25 x

    А) Экспоненциальный рост
    B) Экспоненциальный спад
    C) линейный
    D) Не функция

    Тригонометрический

    Тригонометрические функции обычно включают в себя термины, описывающие измерение углов и треугольников, такие как синус, косинус и тангенс, которые обычно сокращаются как sin, cos и tan соответственно.

    y = 15 sinx

    А) Экспоненциальный рост
    B) Тригонометрический
    C) Экспоненциальный спад
    D) Не функция

    y = tanx

    A) Тригонометрический
    B) линейный
    C) Абсолютное значение
    D) Не функция

    Квадратичные функции - это алгебраические уравнения, которые имеют вид: y = ax 2 + bx + c , где a не равно нулю.Квадратные уравнения используются для решения сложных математических уравнений, которые пытаются оценить недостающие факторы, нанося их на U-образную фигуру, называемую параболой, которая является визуальным представлением квадратной формулы.

    y = -4 x 2 + 8 x + 5

    A) Квадратичный
    B) Экспоненциальный рост
    C) линейный
    D) Не функция

    y = ( x + 3) 2

    А) Экспоненциальный рост
    B) Квадратичный
    C) Абсолютное значение
    D) Не функция

    Экспоненциальный рост

    Экспоненциальный рост - это изменение, которое происходит, когда исходная сумма увеличивается с постоянной скоростью в течение определенного периода времени.Некоторые примеры включают стоимость жилья или инвестиций, а также увеличение числа участников популярной социальной сети.

    y = 7 x

    A) Экспоненциальный рост
    B) Экспоненциальный спад
    C) линейный
    D) Не функция

    Не функция

    Чтобы уравнение было функцией, одно значение на входе должно соответствовать только одному значению на выходе.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *