Самые сложные уравнения: Почему самые сложные уравнения физики такие трудные

Содержание

Сложные квадратные уравнения примеры с решением. Квадратные уравнения

Уравнение вида

Выражение D = b 2 — 4 ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
В случае, когда D = 0 , иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
Используя обозначение D = b 2 — 4 ac , можно переписать формулу (2) в виде

Если b = 2 k , то формула (2) принимает вид:

где k = b / 2 .
Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 — целое число, т.е. коэффициент b — четное число.
Пример 1: Решить уравнение 2 x 2 — 5 x + 2 = 0 . Здесь a = 2, b = -5, c = 2

. Имеем D = b 2 — 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Так как D > 0 , то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

Итак x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 — 3) / 4 = 1 / 2 ,
то есть x 1 = 2 и x 2 = 1 / 2 — корни заданного уравнения.
Пример 2: Решить уравнение 2 x 2 — 3 x + 5 = 0 . Здесь a = 2, b = -3, c = 5 . Находим дискриминант D = b 2 — 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Так как D 0 , то уравнение не имеет действительных корней.

Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c =0 второй коэффициент b

или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным . Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
Пример 1: решить уравнение 2 x 2 — 5 x = 0 .
Имеем x (2 x — 5) = 0 . Значит либо x = 0 , либо 2 x — 5 = 0 , то есть x = 2.5 . Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5
Пример 2: решить уравнение 3 x 2 — 27 = 0 .
Имеем 3 x 2 = 27 . Следовательно корни данного уравнения — 3 и -3 .

Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q =0 имеет действительные корни, то их сумма равна

— p , а произведение равно q , то есть

x 1 + x 2 = -p ,
x 1 x 2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x + = 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A x 2 + b x + c = 0

«a », «b » и «c » — заданные числа.

«a » — первый или старший коэффициент;
«b » — второй коэффициент;

«c » — свободный член.

Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x + = 0 x 2 + 0,25x = 0

Уравнение	Коэффициенты

a = −7 b = −13 с = 8


x 2 − 8 = 0

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .

Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 = » часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac » на букву «D » и называют дискриминантом . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0

а=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0

а=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + с = b , то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0

Выполняется равенство a + с = b , значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны

аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

15+ 9x 2 — 45x = 0 или 15х+42+9x 2 — 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является «квадратное». Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения .

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1 — то, что меньше, а х 2 — то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х 1 = -3 , х 2 = 3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D . Формула дискриминанта:

D = b 2 — 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 — 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 = 2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3
х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Эта тема поначалу может показаться сложной из-за множества не самых простых формул. Мало того что сами квадратные уравнения имеют длинные записи, еще и корни находятся через дискриминант. Всего получается три новые формулы. Не очень просто запомнить. Это удается только после частого решения таких уравнений. Тогда все формулы будут вспоминаться сами собой.

Общий вид квадратного уравнения

Здесь предложена их явная запись, когда самая большая степень записана первой, и дальше — по убыванию. Часто бывают ситуации, когда слагаемые стоят вразнобой. Тогда лучше переписать уравнение в порядке убывания степени у переменной.

Введем обозначения. Они представлены в таблице ниже.

Если принять эти обозначения, все квадратные уравнения сводятся к следующей записи.

Причем коэффициент а ≠ 0. Пусть эта формула будет обозначена номером один.

Когда уравнение задано, то непонятно, сколько корней будет в ответе. Потому что всегда возможен один из трех вариантов:

в решении будет два корня;
ответом будет одно число;
корней у уравнения не будет совсем.

И пока решение не доведено до конца, сложно понять, какой из вариантов выпадет в конкретном случае.

Виды записей квадратных уравнений

В задачах могут встречаться их разные записи. Не всегда они будут выглядеть как общая формула квадратного уравнения. Иногда в ней будет не хватать некоторых слагаемых. То что было записано выше — это полное уравнение. Если в нем убрать второе или третье слагаемое, то получится нечто другое. Эти записи тоже называются квадратными уравнениями, только неполными.

Причем исчезнуть могут только слагаемые у которых коэффициенты «в» и «с». Число «а» не может быть равно нулю ни при каких условиях. Потому что в этом случае формула превращается в линейное уравнение. Формулы для неполного вида уравнений будут такими:

Итак, видов всего два, кроме полных, есть еще и неполные квадратные уравнения. Пусть первая формула будет иметь номер два, а вторая — три.

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Это число нужно знать для того, чтобы вычислить корни уравнения. Оно может быть посчитано всегда, какой бы ни была формула квадратного уравнения. Для того чтобы вычислить дискриминант, нужно воспользоваться равенством, записанным ниже, которое будет иметь номер четыре.

После подстановки в эту формулу значений коэффициентов, можно получить числа с разными знаками. Если ответ положительный, то ответом уравнения будут два различных корня. При отрицательном числе корни квадратного уравнения будут отсутствовать. В случае его равенства нулю ответ будет один.

Как решается квадратное уравнение полного вида?

По сути, рассмотрение этого вопроса уже началось. Потому что сначала нужно найти дискриминант. После того как выяснено, что имеются корни квадратного уравнения, и известно их число, нужно воспользоваться формулами для переменных. Если корней два, то нужно применить такую формулу.

Поскольку в ней стоит знак «±», то значений будет два. Выражение под знаком квадратного корня — это дискриминант. Поэтому формулу можно переписать по-другому.

Формула номер пять. Из этой же записи видно, что если дискриминант равен нулю, то оба корня примут одинаковые значения.

Если решение квадратных уравнений еще не отработано, то лучше до того, как применять формулы дискриминанта и переменной, записать значения всех коэффициентов. Позже этот момент не будет вызывать трудностей. Но в самом начале бывает путаница.

Как решается квадратное уравнение неполного вида?

Здесь все гораздо проще. Даже нет необходимости в дополнительных формулах. И не понадобятся те, что уже были записаны для дискриминанта и неизвестной.

Сначала рассмотрим неполное уравнение под номером два. В этом равенстве полагается вынести неизвестную величину за скобку и решить линейное уравнение, которое останется в скобках. В ответе будет два корня. Первый — обязательно равен нулю, потому что имеется множитель, состоящий из самой переменной. Второй получится при решении линейного уравнения.

Неполное уравнение под номером три решается переносом числа из левой части равенства в правую. Потом нужно разделить на коэффициент, стоящий перед неизвестной. Останется только извлечь квадратный корень и не забыть записать его два раза с противоположными знаками.

Далее записаны некоторые действия, помогащие научиться решать всевозможные виды равенств, которые превращаются в квадратные уравнения. Они будут способствовать тому, что ученик сможет избежать ошибок по невнимательности. Эти недочеты бывают причиной плохих оценок при изучении обширной темы «Квадратные уравнения (8 класс)». Впоследствии эти действия не нужно будет постоянно выполнять. Потому что появится устойчивый навык.

Сначала нужно записать уравнение в стандартном виде. То есть сначала слагаемое с самой большой степенью переменной, а потом — без степени и последним — просто число.

Если перед коэффициентом «а» появляется минус, то он может усложнить работу для начинающего изучать квадратные уравнения. От него лучше избавиться. Для этой цели все равенство нужно умножить на «-1». Это значит, что у всех слагаемых изменится знак на противоположный.

Таким же образом рекомендуется избавляться от дробей. Просто умножить уравнение на соответствующий множитель, чтобы знаменатели сократились.

Примеры

Требуется решить следующие квадратные уравнения:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2).

Первое уравнение: х 2 − 7х = 0. Оно неполное, поэтому решается так, как было описано для формулы под номером два.

После вынесения за скобки получается: х (х — 7) = 0.

Первый корень принимает значение: х 1 = 0. Второй будет найден из линейного уравнения: х — 7 = 0. Легко заметить, что х 2 = 7.

Второе уравнение: 5х 2 + 30 = 0. Снова неполное. Только решается оно так, как описано для третьей формулы.

После перенесения 30 в правую часть равенства: 5х 2 = 30. Теперь нужно выполнить деление на 5. Получается: х 2 = 6. Ответами будут числа: х 1 = √6, х 2 = — √6.

Третье уравнение: 15 − 2х − х 2 = 0. Здесь и далее решение квадратных уравнений будет начинаться с их переписывания в стандартный вид: − х 2 − 2х + 15 = 0. Теперь пришло время воспользоваться вторым полезным советом и умножить все на минус единицу. Получается х 2 + 2х — 15 = 0. По четвертой формуле нужно вычислить дискриминант: Д = 2 2 — 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Он представляет собой положительное число. Из того, что сказано выше, получается, что уравнение имеет два корня. Их нужно вычислить по пятой формуле. По ней получается, что х = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогда х 1 = 3, х 2 = — 5.

Четвертое уравнение х 2 + 8 + 3х = 0 преобразуется в такое: х 2 + 3х + 8 = 0. Его дискриминант равен такому значению: -23. Поскольку это число отрицательное, то ответом к этому заданию будет следующая запись: «Корней нет».

Пятое уравнение 12х + х 2 + 36 = 0 следует переписать так: х 2 + 12х + 36 = 0. После применения формулы для дискриминанта получается число ноль. Это означает, что у него будет один корень, а именно: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестое уравнение (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) требует провести преобразования, которые заключаются в том, что нужно привести подобные слагаемые, до того раскрыв скобки. На месте первой окажется такое выражение: х 2 + 2х + 1. После равенства появится эта запись: х 2 + 3х + 2. После того как подобные слагаемые будут сосчитаны, уравнение примет вид: х 2 — х = 0. Оно превратилось в неполное. Подобное ему уже рассматривалось чуть выше. Корнями этого будут числа 0 и 1.

Показательные уравнения (уровень С) — Колпаков Александр Николаевич

Банк заданий на показательные уравнения для подготовки к ЕГЭ по математике и внутреннего экзамена в МГУ. Коллекция моих любимых уравнений. Обычно сильные репетиторы по математике ведут работу со способными выпускниками, поступающими на серьезные факультеты главного ВУза страны, за границами традиционных ЕГЭ задач. Хороший репетитор предложит Вам подборку классических показательно — логарифмических уравнений на разные виды и способы решений. Учебные планы репетитора по математике, занятого исключительно подготовкой к ЕГЭ, обычно не затрагивают подобные головоломки. Они предлагаются в случае занятий для поступления МГУ или разбираются на уроках с любознательным учеником, заинтересованном в дополнительных знаниях.

Показательный вид — наиболее простой из всех конкурсных уравнений, поэтому собрать номера с высоким уровнем сложности оказалось делом нелегким. Здесь опубликована только часть материалов моей базы. Она постоянно пополняется новыми заданиями. Появится время — размещу остальное.

Уважаемые репетиторы по математике и школьные преподаватели, присылайте понравившиеся Вам сложные показательные уравнения мне на почту (принимается сканер или фото условия). С удовольствием включу их в комплект.

Коллекция показательных уравнений репетитора по математике

Приведите к простейшему показательному уравнению:

=====================================================
Однородные уравнения:

=====================================================
На преобразования и замену:

Отв: x=2,5

Отв: x=4

Отв:

======================================================
Уравнения с квадратным трехчленом:

Отв:

======================================================
На метод оценки значений:

======================================================
На монотонность

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — составитель комплекта. Москва, Строгино

Формулы и уравнения, которые изменили мир

Математик Ян Стюарт (Ian Stewart) в своей новой книге «В поисках неизвестного: 17 уравнений, которые изменили мир» рассматривает несколько наиболее важных уравнений всех времен и приводит примеры их практического применения.

Теорема Пифагора

Согласно Теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Важность: Теорема Пифагора — важнейшее уравнение в геометрии, которое связывает ее с алгеброй и является основой тригонометрии. Без него было бы невозможно создать точную картографию и навигацию.

Современное использование: Триангуляция используется и по сей день, чтобы точно определить относительное расположение для GPS навигации.

Логарифм и его тождество

Логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент.

Важность: Логарифмы стали настоящей революцией, позволив астрономам и инженерам делать расчеты более быстро и точно. С появлением компьютеров они не потеряли своего значения, поскольку все еще существенны для ученых.

Современное использование: Логарифмы важная составляющая для понимания радиоактивного распада.

Основная теорема анализа

Основная теорема анализа или формула Ньютона — Лейбница дает соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Важность: Теорема анализа фактически создала современный мир. Исчисление имеет важное значение в нашем понимание того, как измерять тела, кривые и площади. Она является основой многих природных законов и источником дифференциальных уравнений.

Современное использование: Любая математическая проблема, где требуется оптимальное решение. Существенное значение для медицины, экономики и информатики.

Классическая теория тяготения Ньютона

Классическая теория тяготения Ньютона описывает гравитационное взаимодействие.

Важность: Теория позволяет рассчитать силу гравитации между двумя объектами. Хотя позднее она была вытеснена теорией относительности Эйнштейна, теория все равно необходима для практического описания того, как объекты взаимодействуют друг с другом. Мы используем ее и по сей день для проектирования орбит спутников и космических аппаратов.

Современное использование: Позволяет найти наиболее энергоэффективные пути для вывода спутников и космических зондов. Также делает возможным спутниковое телевидение.

Комплексные числа

Комплексное число

Комплексные числа — расширение поля вещественных чисел.

Важность: Многие современные технологии, в том числе цифровые фотокамеры, не могли быть изобретены без комплексных чисел. Кроме того, они позволяют проводить анализ, который нужен инженерам для решения практических задач в авиации.

Современное использование: Широко используется в электротехнике и сложных математических теориях.

Эйлерова характеристика полиэдров

Важность: Внесла вклад в понимание топологического пространства, в котором рассматриваются только свойства непрерывности. Необходимый инструмент для инженеров и биологов.

Современное использование: Топология используется, чтобы понять поведение и функции ДНК.

Нормальное распределение

Важность: Уравнение является основой современной статистики. Естественные и социальные науки не могли бы существовать в своей нынешней форме без него.

Современное использование: Используется в клинических испытаниях для определения эффективности лекарств по сравнению с отрицательными побочными эффектами.

Волновое уравнение

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение волн.

Важность: Волны исследуются с целью определения времени и места землетрясений, а также для прогнозирования поведения океана.

Современное использование: Нефтяные компании используют взрывчатку, а затем считывают данные от последующих звуковых волн для определения геологических формаций.

Преобразование Фурье

Важность: Уравнение позволяет разбивать, очищать и анализировать сложные шаблоны.

Современное использование: Используется при сжатии информации изображений в формате JPEG, а так же для обнаружения структуры молекул.

Уравнения Навье—Стокса

В левой части уравнения — ускорение небольшого количества жидкости, в правой — силы, которые воздействуют на него.

Важность: Как только компьютеры стали достаточно мощными, чтобы решить это уравнение, они открыли сложную и очень полезную области физики. Она особенно полезна для создания более качественной аэродинамики у транспортных средств.

Современное использование: Среди прочего, уравнение помогло в усовершенствовании современных пассажирских самолетов.

Уравнения Максвелла

Описывают электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

Важность: Помогли в понимании электромагнитных волн, что способствовало созданию многих технологий, которые мы используем сегодня.

Современное использование: Радар, телевидение и современные средства связи.

Второй закон термодинамики

Вся энергия и тепло со временем исчезнет.

Важность: Имеет существенное значение для нашего понимания энергии и Вселенной через понятие энтропии. Открытие закона помогло улучшить паровой двигатель.

Современное использование: Помог доказать, что материя состоит из атомов, физики до сих пор пользуются этим знанием.

Теория относительности Эйнштейна

Энергия равна массе, умноженной на квадрат скорости света.

Важность: Наверное, самое известное уравнение в истории. Оно полностью изменило нашу точку зрения на материю и реальность.

Современное использование: Помогло создать ядерное оружие. Используется в GPS навигации.

Уравнение Шрёдингера

Нелинейное уравнение Шрёдингера

Описывает материю как волну, а не как частицу.

Важность: Перевернула представления физиков — частицы могут существовать в диапазоне возможных состояний.

Современное использование: Существенный вклад в использование полупроводников и транзисторов, и, таким образом, в большинство современных компьютерных технологий.

Информационная энтропия Шаннона

Оценивает количество данных в куске кода путем расчета вероятности его символов.

Важность: Это уравнение, которое открыло дверь в Информационную Эпоху.

Современное использование: В значительной степени все, что связано с обнаружением ошибок в кодировании (программировании).

Логистическая модель роста популяций

Оценка изменений в популяции живых существ из поколения в поколение с ограниченными ресурсами.

Важность: Помогла в развитии теории хаоса, которая полностью изменила наше понимание того, как работают природные системы.

Современное использование: Используется для моделирования землетрясений и прогноза погоды.

Модель Блэка-Скоулза

Модель Блэка Скоулза

Одна из моделей ценообразования опционов.

Важность: Помогла создать несколько триллионов долларов. Согласно некоторым экспертам, неправильное использование формулы (и ее производных) способствовало финансовому кризису. В частности, уравнение имеет несколько предположений, которые не справедливы на реальных финансовых рынках.

Современное использование: Даже после кризиса используются для определения цен.

Вместо заключения

В мире существует множество других важных уравнений и формул, которые изменили судьбу человечества в целом и нашу личную жизнь в частности. Среди них, модель Ходжкина—Хаксли, Фильтр Калмана и, конечно, уравнение поисковой системы Google. Мы надеемся, что нам удалось показать насколько важна математика, и насколько бесценен ее вклад для всех людей.

Искусственный интеллект научился решать сложные уравнения, которые описывают устройство Вселенной

Дифференциальные уравнения в частных производных встречаются в самых разных аспектах физико-математического моделирования. Они позволяют рассчитывать состояния весьма сложных систем, но их решение всегда было ресурсоемкой задачей. Благодаря специально созданной нейросети этот процесс значительно ускорился и мощности суперкомпьютеров можно будет перенаправить на другие важные задачи.

Большинство студентов технических специальностей встречают уравнения математической физики (УМФ), или дифференциальные уравнения в частных производных, лишь однажды. Пройдя их во время обучения, об этом сложном, но мощном инструменте почти всегда забывают. И лишь некоторые инженеры используют их регулярно. Речь идёт, например, о моделировании воздушных потоков в аэродинамике, описании движения тектонических плит, расчёте положения планет или метеорологии.

Как правило, для решения подобных уравнений применяют мощные вычислительные комплексы — суперкомпьютеры или сети распределённых вычислений. Для многих учёных, работающих в не самых богатых на финансирование отраслях, такие расчёты всегда были головной болью. Понимая важность появления нового инструмента для выполнения подобных задач, американские математики и программисты обратились к технологиям искусственного интеллекта.

Коллектив учёных из Калифорнийского технологического института (Caltech) и Университета Пердью разработал высокоэффективный нейросетевой алгоритм для работы с УМФ. При его использовании удалось достичь огромного прироста скорости решения уравнений — в некоторых случаях на несколько порядков. Например, на матрице 256х256 их Нейронный оператор Фурье (Fourier neural operator, FNO) выдал результат за 0,005 секунды при решении уравнений Навье — Стокса. Наиболее распространенный алгоритм, используемый ранее, рассчитывал те же условия за 2,2 секунды.

Эти дифференциальные уравнения встречаются повсеместно — точнее, с их помощью можно описать практически любую динамическую систему. Появление доступного и эффективного метода их решения может существенно продвинуть вперёд самые разные области науки. А уж применимость такого «искусственного интеллекта» в инженерных разработках точно не заставит себя ждать. Полное описание своей работы американские учёные опубликовали на портале arXiv.

Нельзя сказать, что создатели FNO первыми догадались решать дифференциальные уравнения в частных производных с помощью нейросетей и машинного обучения. Нет, так делали и раньше. Однако существующие алгоритмы приходилось обучать заново на каждый новый набор вычислений — даже при изменении свойств похожих жидкостей. Разработка учёных из Калтеха и Пердью позволяет выполнить «тренировку» лишь однажды и обсчитывать самые разные модели. Секрет эффективности FNO гениален и одновременно прост.

Основа работы любой нейросети — аппроксимация функции, её приближение. Искусственный интеллект оперирует в своих вычислениях не точными значениями, а диапазоном величин, который позволяет принять решение или выдать результат, не прибегая к ресурсоемким и сложным уточнениям. Иными словами, нейросети во время обучения вырабатывают упрощённые формулы, результаты которых достаточно точны, чтобы применяться на практике.

Обычно работающие с графиками функций нейросети оперируют значениями в евклидовом пространстве. Для того чтобы упростить задачу, авторы FNO решили не переводить волновые функции в привычные графики, а «научить» алгоритм работать напрямую с преобразованиями Фурье. Это позволило не только прибавить скорость вычислений, но и снизить количество ошибок: их теперь на 30% меньше, чем в прежних алгоритмах.

Вспоминаем самые сложные темы по математике в начале учебного года. 2-4 класс

Занятия в школе начались. Самое время вспомнить темы из курса математики за 2-4 класс, с которыми у большинства ребят возникают сложности. Разумеется, в рамках одной публикации невозможно уместить материал трёх лет обучения. Давайте пройдёмся по самым «проблемным».

Сложение и вычитание с переходом через десяток

Здесь важно помнить, что второе число можно разбить на 2 числа поменьше и выполнять действия по частям. Допустим, нужно решить пример 8+5. Пишу наши действия по шагам.

1. Вспоминаем состав числа 10 и думаем, что сначала нужно прибавить к 8, чтобы получить 10:
8+?=10
8+2=10
2. Затем вычитаем эту двойку из второго слагаемого:
5-2=3
3. И прибавляем полученное значение к 10:
10+3=13

Схематично это выглядит так:

С вычитанием ещё проще. Разберём на примере 15-8.
1. Вычитаем из первого числа его «последнюю цифру», чтобы получить ровно 10:
15-5=10
2. Вычитаем из второго числа то же самое:
8-5=3
3. И полученное значение вычитаем из 10:
10-3=7

Наглядно на схеме:

Решение уравнений

Здесь важно запомнить правила, как получить ту или иную неизвестную компоненту.

Например, у нас уравнение х + 19 = 54. Здесь х («икс») – это неизвестное слагаемое. А чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (54) вычесть известное слагаемое (19).
х = 54-19
х = 35

Для решения уравнения 72 – х = 38 думаем, какая компонента неизвестна. Это вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, мы из уменьшаемого вычитаем разность:
х = 72-38
х = 34

А в уравнении х – 17 = 47 «икс» – уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, складываем вычитаемое и разность:
х = 47+17
х = 64

С уравнениями на умножения и деления проводим те же рассуждения. И помним, что при оформлении уравнений каждый раз пишем с новой строки (на одну строку только один знак «=»).

Периметр и площадь

Чтобы их не путать, важно помнить не только формулы, но и сам смысл этих понятий. Периметр – это сумма длин всех сторон любой замкнутой фигуры. А площадь – это вся «внутренняя» часть фигуры. Если по-умному, «площадь фигуры – это часть плоскости, ограниченная этой фигурой».

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: Р=(a+b)*2, где а – длина, b – ширина, * – знак умножения. Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, нужно из периметра вычесть удвоенную известную сторону и разделить пополам:
а=(Р-2*b):2

Периметр квадрата Р=а*4 (потому что у квадрата 4 одинаковых стороны).
Чтобы найти сторону квадрата, нужно его периметр разделить на 4.

Формулы для нахождения площади ещё легче. Для прямоугольника S=a*b, для квадрата S=a*a. Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, мы его площадь делим на известную сторону. А вот если мы знаем площадь квадрата, то сторону нужно подбирать. Например, площадь квадрата 9 кв. см. Значит, думаем, какие 2 одинаковых числа нужно перемножить, чтобы получилось 9. Это 3 и 3. Значит, сторона квадрата равна 3 см.

В комментариях пишите, с какими другими темами у ваших детей возникают трудности. Разберём их в следующий раз.

Другие статьи блога «Настольная математика» на Уфамаме:

Занятия математикой с малышом до двух лет. Личный опыт мамы
Математические фокусы для младших школьников
Как заинтересовать ребенка математикой
Геометрия для малышей 1-3 лет

§ 22. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем.

Иногда приходится решать тригонометрические уравнения, в которые входят только сумма или разность синуса и косинуса одного и того же аргумента и их произведение. В таком случае целесообразно эту сумму (или разность) обозначить новой переменной.

Задача 1. Решите уравнение 3 (sin x + cos x) = 2 sin 2х.

Комментарий

Если в заданном уравнении привести все тригонометрические функции к одному аргументу х, то получим уравнение (1) (см. решение), в которое входят только сумма синуса и косинуса одного и того же аргумента х и их произведение. Для решения этого уравнения введем новую переменную sin x + cos x = y. Чтобы получить произведение sin x cos x, достаточно возвести в квадрат обе части равенства замены и учесть, что sin2 x + cos2 x = 1. Выполняя обратную замену, удобно также учесть, что

Решение

Данное уравнение равносильно уравнению

3 (sin x + cos x) = 4 sin х cos x. (1)

Если обозначить sin x + cos x = у, то

Тогда Подставляя эти значения в уравнение (1), получаем

Таким образом, sin x + cos x = 2 или sin x+cos x =

Тогда или Получаем (корней нет, поскольку ) или Отсюда Тогда

Ответ:

З а м е ч а н и е. При возведении обеих частей уравнения в квадрат можно получить посторонние корни (см. таблицу 7). Но возведение обеих частей равенства замены в квадрат является равносильным преобразованием. Действительно, в этом случае левая и правая части равенства имеют одинаковые знаки, и тогда a = b Если обе части равенства a = b положительны, то для положительных значений t функция y =возрастает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Таким образом, при a > 0, b > 0 из равенства a = b следует равенство и, наоборот, из равенства следует равенство a = b, что и гарантирует равносильность выполненного преобразования для положительных a и b. Аналогично для используем то, что для не положительных значений t функция y =убывает и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

Для решения некоторых тригонометрических уравнений могут применяться свойства функций (соответствующие общие подходы к решению были рассмотрены в § 3, пункт 3.2), в частности, оценка левой и правой частей уравнения.

Задача 2. Решите уравнение

Оценим область значений функции

Поскольку то есть

Выясним, существуют ли такие значения х, при которых функция f (x) может принимать наибольшее значение 2. Если cos 6x будет меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение было больше 1, что невозможно. Аналогично, если допустить, что меньше 1, то для того чтобы сумма равнялась 2, необходимо, чтобы значение cos 6x было больше 1, что невозможно. Таким образом, равенство в данном уравнении возможно тогда и только тогда, когда cos 6x и равны 1. Поэтому данное уравнение равносильно системе

Приравнивая правые части этих равенств, получаем

Поскольку k и n — целые числа, то для получения всех решений последнего уравнения в целых числах (см. § 9) достаточно подставить в правую часть последнего равенства вместо п все остатки при делении на 5 и найти, для каких значений п по этой формуле k также будет целым числом. Только при n = 1 получаем целое k = 3. В случае, когда коэффициент 12 при переменной n в числителе дроби и знаменатель 5 — взаимно простые числа, повторение делимости нацело будет только через знаменатель, то есть через 5. Поэтому последнее уравнение имеет решения в целых числах только вида n = 1 + 5m,. Подставляя значение п в одно из решений системы, получаем х = π + 4πm. Эти значения и являются решениями последней системы, а следовательно, и решениями данного уравнения.

Ответ: х = π + 4πm,.

Задача 3. Решите уравнение

Комментарий

Преобразуем левую часть по формуле и оценим область значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Решая полученную систему двух уравнений с одним неизвестным, можно несколько упростить выкладки и решить только одно уравнение системы, а для другого проверить, удовлетворяют ли ему полученные решения.

Решение

Данное уравнение равносильно уравнению

(1)

Обозначим: . Поскольку

Левая часть уравнения (1) меньше или равна 2, а правая часть больше или равна 2. Равенство между ними возможно тогда и только тогда, когда левая и правая части уравнения равны 2, то есть данное уравнение равносильно системе

Из первого уравнения системы имеем , откуда

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения второму уравнению системы. Если , тогда sin 8x=0 и поэтому

Ответ:

Иногда для решения тригонометрических уравнений приходится применять тригонометрические формулы, которые приводят к сужению ОДЗ данного уравнения. Такие преобразования могут приводить к потере корней уравнения. Чтобы этого не случилось, можно пользоваться таким о р и е н т и р о м:

если для решения уравнений (или неравенств) приходится выполнять преобразования, сужающие ОДЗ исходного уравнения (или неравенства), то те значения, на которые сужается ОДЗ, необходимо рассматривать отдельно.

В таблице 42 указаны тригонометрические формулы, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и соответствующие значения переменной, которые приходится проверять при использовании этих формул.

Чтобы убедиться, что приведенные формулы приводят к сужению ОДЗ, достаточно сравнить области допустимых значений их левых и правых частей.

Например, рассмотрим формулу

ОДЗ левой части: . Для нахождения ОДЗ правой части формулы учитываем, что знаменатель дроби не равен нулю:, таким образом, . То есть ОДЗ правой части задается системой ограничений Сравнивая ОДЗ левой и правой частей рассмотренной формулы, видим, что ОДЗ правой части содержит дополнительное ограничение. Таким образом, при переходе по этой формуле от ее левой части к правой происходит сужение ОДЗ (отбрасываются именно те значения, которые указаны в таблице: Чтобы не потерять корни данного уравнения, при использовании формулы, значение , необходимо рассмотреть отдельно (конечно, только в том случае, когда оно входит в ОДЗ данного уравнения).

Приведем пример использования указанного о р и е н т и р а.

Задача 4. Решите уравнение

Комментарий

Если воспользоваться первыми двумя формулами таблицы 42, то мы приведем все тригонометрические выражения в этом уравнении и к одному аргументу, и к одной функции — tg x. Но при использовании указанных формул происходит сужение ОДЗ на значение , и вследствие этого можно потерять корни уравнения, если числа такого вида входят в ОДЗ исходного уравнения и являются его корнями. Чтобы этого не случилось, разобьем решение на две части.

Подставляем те значения переменной, на которые сужается ОДЗ, в уравнение (1). При вычислениях учитываем периодичность функций и формулы приведения.
При (на ОДЗ уравнения (1)) использование формул и приводит к уравнению (2) (см. решение), которое равносильно заданному (на той части ОДЗ, где ), потому что эти формулы сохраняют верное равенство как при переходе от равенства (1) к равенству (2), так и при обратном переходе от равенства (2) к равенству (1). Замена переменной (и обратная замена) также приводит к уравнению, равносильному заданному (на указанной части ОДЗ исходного уравнения).

Заметим, что ОДЗ уравнения (2) отличается от ОДЗ уравнения (1) только тем, что в нее не входят значения , которые входят в ОДЗ уравнения (1). Поскольку эти «плохие» значения мы учли в процессе решения, то ОДЗ уравнения (1) можно в явном виде не фиксировать (как в приведенном решении). В ответе записываем все корни, которые были получены в первой и второй частях решения.

Решение

Если , то из данного уравнения получаем:

– верное равенство.

Таким образом, – корни уравнения (1).

Если , получаем:

(2)

Замена tg x = t приводит к уравнению которое при и равносильно уравнению . Тогда

Обратная замена даёт: tg x= -1 или , то есть:

Некоторые тригонометрические уравнения удается решить, используя такой ориентир, который условно можно назвать «ищи квадратный трехчлен», то есть:

попробуйте рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или относительно некоторой функции).

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Разность квадратов:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:

Игрек вершины параболы:

Свойства степеней и корней

К оглавлению…

Основные свойства степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Основные свойства математических корней:

Для арифметических корней:

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

Формулы с логарифмами

К оглавлению…

Определение логарифма:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Другие полезные свойства логарифмов:

Арифметическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

Тригонометрия

К оглавлению…

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

К оглавлению…

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Геометрия на плоскости (планиметрия)

К оглавлению…

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

Геометрия в пространстве (стереометрия)

К оглавлению…

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

Координаты

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси:

Длина отрезка на координатной плоскости:

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

Таблица умножения

К оглавлению…

Таблица квадратов двухзначных чисел

К оглавлению…

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

К оглавлению…

2, завоевавшие большую часть общественной славы, многие менее известные формулы имеют своих чемпионов среди ученых. LiveScience попросил физиков, астрономов и математиков рассказать об их любимых уравнениях; вот что мы обнаружили:

Общая теория относительности

(Изображение предоставлено Shutterstock / RT Wohlstadter)

Уравнение, приведенное выше, было сформулировано Эйнштейном в 1915 году в рамках его новаторской общей теории относительности. сила как искривление ткани пространства и времени.

«Мне до сих пор удивительно, что одно такое математическое уравнение может описать, что такое пространство-время», — сказал астрофизик Института космического телескопа Марио Ливио, который назвал это уравнение своим любимым. «В этом уравнении воплощен весь истинный гений Эйнштейна». [Викторина Эйнштейна: проверьте свои знания о гении]

«Правая часть этого уравнения описывает энергетический состав нашей Вселенной (включая« темную энергию », которая движет текущим космическим ускорением)», — объяснил Ливио.«Левая часть описывает геометрию пространства-времени. Равенство отражает тот факт, что в общей теории относительности Эйнштейна масса и энергия определяют геометрию и, соответственно, кривизну, которая является проявлением того, что мы называем гравитацией». [6 странных фактов о гравитации]

«Это очень элегантное уравнение», — сказал Кайл Кранмер, физик из Нью-Йоркского университета, добавив, что уравнение раскрывает взаимосвязь между пространством-временем, материей и энергией. «Это уравнение говорит вам, как они связаны — как присутствие Солнца искажает пространство-время, так что Земля движется вокруг него по орбите и т. Д.В нем также рассказывается, как эволюционировала Вселенная после Большого взрыва, и предсказывается, что там должны быть черные дыры ».

Стандартная модель

(Изображение предоставлено Shutterstock / RT Wohlstadter)

Еще одна господствующая теория физики, стандартная модель описывает совокупность элементарных частиц, из которых в настоящее время состоит наша Вселенная.

Теория может быть заключена в основное уравнение, называемое стандартным модельным лагранжианом (названное в честь французского математика и астронома 18-го века Жозефа Луи Лагранжа), которое было выбрано физик-теоретик Лэнс Диксон из Национальной ускорительной лаборатории SLAC в Калифорнии в качестве своей любимой формулы.

«Он успешно описал все элементарные частицы и силы, которые мы наблюдали в лаборатории на сегодняшний день, за исключением гравитации», — сказал Диксон LiveScience. «Сюда входит, конечно, недавно открытый (подобный) бозон Хиггса, фи в формуле. Это полностью самосогласовано с квантовой механикой и специальной теорией относительности».

Однако стандартная теория моделей еще не объединена с общей теорией относительности, поэтому она не может описывать гравитацию. [Инфографика: объяснение стандартной модели]

Calculus

(Изображение предоставлено Shutterstock / agsandrew)

Хотя первые два уравнения описывают определенные аспекты нашей Вселенной, другое любимое уравнение можно применить ко всем ситуациям.Фундаментальная теорема исчисления составляет основу математического метода, известного как исчисление, и связывает две его основные идеи: понятие интеграла и понятие производной.

«Простыми словами, [он] говорит, что чистое изменение плавной и непрерывной величины, такой как пройденное расстояние, за данный интервал времени (т. Е. Разница в значениях величины в конечные моменты времени интервал) равен интегралу скорости изменения этой величины, т.е.е. интеграл скорости «, — сказала Мелкана Бракалова-Тревитик, заведующая математическим факультетом Фордхэмского университета, которая выбрала это уравнение в качестве своего любимого.» Фундаментальная теорема исчисления (FTC) позволяет нам определить чистое изменение за интервал на основе от скорости изменения в течение всего интервала ».

Зародыши исчисления зародились в древние времена, но большая часть их была собрана в 17 веке Исааком Ньютоном, который использовал расчеты для описания движения планет вокруг Солнца. .

Теорема Пифагора

(Изображение предоставлено Shutterstock / igor.stevanovic)

Уравнение «старое, но хорошее» — это знаменитая теорема Пифагора, которую изучает каждый начинающий изучающий геометрию.

Эта формула описывает, как для любого прямоугольного треугольника квадрат длины гипотенузы c (самая длинная сторона прямоугольного треугольника) равен сумме квадратов длин двух других сторон. ( a и b ). 2

«Самым первым математическим фактом, который меня поразил, была теорема Пифагора, — сказала математик Дайна Таймина из Корнельского университета.«Я тогда был ребенком, и мне казалось таким удивительным, что это работает с геометрией и с числами!» [5 серьезных математических фактов]

1 = 0,999999999….

(Изображение предоставлено: Shutterstock / Турсунбаев Руслан)

Это простое уравнение, которое утверждает, что величина 0,999, за которой следует бесконечная строка девяток, эквивалентна единице, является любимым математиком Стивена Строгаца из Корнельского университета.

«Мне нравится, насколько это просто — все понимают, что в нем говорится, — но насколько это провокационно», — сказал Строгац.«Многие люди не верят, что это может быть правдой. Это также прекрасно сбалансировано. Левая сторона представляет собой начало математики; правая часть представляет тайны бесконечности».

Специальная теория относительности

(Изображение предоставлено: Shutterstock / optimarc)

Эйнштейн снова попадает в список со своими формулами специальной теории относительности, которые описывают, что время и пространство не являются абсолютными понятиями, а скорее являются относительными в зависимости от скорости движения. наблюдатель. Приведенное выше уравнение показывает, как время расширяется или замедляется по мере того, как человек движется в любом направлении.

«Дело в том, что это действительно очень просто», — сказал Билл Мюррей, физик элементарных частиц из лаборатории CERN в Женеве. «В нем нет ничего, что не мог бы сделать ученик A-level, никаких сложных производных и алгебр следов. Но то, что он воплощает, — это совершенно новый взгляд на мир, целостное отношение к реальности и наше отношение к ней. неизменный космос сметается и заменяется личным миром, связанным с тем, что вы наблюдаете.Вы переходите от того, чтобы быть вне вселенной, глядя вниз, к одному из компонентов внутри нее.Но концепции и математику может усвоить любой, кто захочет ».

Мюррей сказал, что предпочитает специальные уравнения относительности более сложным формулам более поздней теории Эйнштейна.« Я никогда не смогу следовать математике общей теории относительности », — сказал он. .

Уравнение Эйлера

(Изображение предоставлено: Shutterstock / Jezper)

Эта простая формула инкапсулирует нечто чистое о природе сфер:

«Это говорит о том, что если вы разрежете поверхность сферы на грани, края и вершины и пусть F будет числом граней, E числом ребер и V числом вершин, вы всегда получите V — E + F = 2 «, — сказал Колин Адамс, математик из колледжа Уильямс в Массачусетсе.

«Возьмем, к примеру, тетраэдр, состоящий из четырех треугольников, шести ребер и четырех вершин», — пояснил Адамс. «Если вы сильно дунете в тетраэдр с гибкими гранями, вы можете округлить его до сферы, так что в этом смысле сферу можно разрезать на четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. И мы видим, что V — E + F = 2. То же самое верно для пирамиды с пятью гранями — четырьмя треугольными и одним квадратом — восемью гранями и пятью вершинами »и любой другой комбинацией граней, ребер и вершин.

«Очень крутой факт! Комбинаторика вершин, ребер и граней улавливает кое-что очень фундаментальное о форме сферы», — сказал Адамс.

Уравнения Эйлера-Лагранжа и теорема Нётер

(Изображение предоставлено Shutterstock / Марк Пинтер)

«Это довольно абстрактные, но удивительно мощные», — сказал Кранмер из Нью-Йоркского университета. «Круто то, что этот способ мышления о физике пережил несколько крупных революций в физике, таких как квантовая механика, теория относительности и т. Д.«

Здесь L обозначает лагранжиан, который является мерой энергии в физической системе, такой как пружины, рычаги или фундаментальные частицы.« Решение этого уравнения показывает, как система будет развиваться со временем », — сказал Кранмер.

Побочный результат уравнения Лагранжа называется теоремой Нётер в честь немецкого математика 20 века Эмми Нётер. «Эта теорема действительно фундаментальна для физики и роли симметрии», — сказал Кранмер. обладает симметрией, то существует соответствующий закон сохранения.Например, идея о том, что фундаментальные законы физики сегодня такие же, как и завтра (временная симметрия), подразумевает сохранение энергии. Идея о том, что законы физики здесь такие же, как и в космическом пространстве, подразумевает, что импульс сохраняется. Симметрия, возможно, является движущей концепцией фундаментальной физики, в первую очередь благодаря вкладу [Нётер] ».

Уравнение Каллана-Симанзика

(Изображение предоставлено: Shutterstock / RT Wohlstadter)

« Уравнение Каллана-Симанзика является жизненно важным первым. «Уравнение принципов 1970 года, необходимое для описания того, как наивные ожидания терпят неудачу в квантовом мире», — сказал физик-теоретик Мэтт Страсслер из Университета Рутгерса.

Уравнение имеет множество приложений, в том числе позволяет физикам оценивать массу и размер протона и нейтрона, составляющих ядра атомов.

Основы физики говорят нам, что гравитационная и электрическая сила между двумя объектами пропорциональна величине, обратной квадрату расстояния между ними. На простом уровне то же самое верно и для сильного ядерного взаимодействия, которое связывает протоны и нейтроны вместе, чтобы сформировать ядра атомов, и которое связывает кварки вместе, чтобы сформировать протоны и нейтроны.Однако крошечные квантовые флуктуации могут немного изменить зависимость силы от расстояния, что имеет драматические последствия для сильного ядерного взаимодействия.

«Это предотвращает уменьшение этой силы на больших расстояниях, заставляет ее захватывать кварки и объединять их, чтобы сформировать протоны и нейтроны нашего мира», — сказал Штрасслер. «Уравнение Каллана-Симанзика связывает этот драматический и трудно поддающийся расчету эффект, важный, когда [расстояние] примерно равно размеру протона, с более тонкими, но более простыми для расчета эффектами, которые можно измерить, когда [ расстояние] намного меньше протона.«

Уравнение минимальной поверхности

(Изображение предоставлено Shutterstock / MarcelClemens)

« Уравнение минимальной поверхности каким-то образом кодирует красивые мыльные пленки, которые образуются на границах проводов, когда вы погружаете их в мыльную воду », — сказал математик Фрэнк Морган из Williams. Колледж. «Тот факт, что уравнение является» нелинейным «, включая степени и произведения производных, является закодированным математическим намеком на удивительное поведение мыльных пленок. Это контрастирует с более знакомыми линейными уравнениями в частных производных, такими как уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Шредингера квантовой физики.«

Самая сложная математическая задача в мире — верь в глаза

Нравится? Поделиться!

У вас начинает кружиться голова от одного вида уравнений и калькуляторов? Представьте, что вы пытаетесь решить сложнейшую в мире математическую задачу. Есть некоторые проблемы, которые ставили в тупик лучших математиков мира.

В детстве большинство моих друзей (и я) страдали от нелогичного страха перед числами, уравнениями, прямыми углами и всей загадкой математики.К сожалению, тех из нас, кто этого не делал, называли вундеркиндами, вероятно, из-за многовековой человеческой реакции на кислый виноград.

Конечно, нам нужно было научиться складывать или вычитать, на случай, если мы захотим проверить, что мы получили правильное изменение от кассира, но какой смысл изучать теорему Пифагора или алгебру с x и y или со всеми? эти другие математические термины? Что ж, это была логика, которую многие из нас применяли, чтобы отказаться от изучения этого ужасного предмета.Но среди нас были некоторые, кто хотел изучить эти странные теоремы с греческими алфавитами и мнимыми числами. А иногда эти члены математического клуба говорили о решении самой сложной математической задачи в мире. Так большинство из нас узнало, что есть некоторые математические задачи, которые на самом деле никогда не решались даже математиками, которые посвятили им свою жизнь. Сегодня меня интересует сложнейшая математическая задача. Не потому, что я хочу ее решить (на самом деле, это далеко не так), а потому, что тот факт, что на самом деле в мире существует гипотеза, которая не была доказана в течение почти 150 лет, очень интригует.

Какая самая сложная математическая задача в мире?

В мире есть две математические задачи, получившие большое признание и внимание, потому что они оставались нерешенными в течение нескольких лет. Хотя гипотеза Римана все еще остается нерешенной, теорема Ферма, которая является одной из сложнейших математических задач в мире, была решена только в 1995 году. Хотя ее трудно понять, мы попытаемся объяснить эти две проблемы в следующем разделе.

Гипотеза Римана

Гипотеза Римана, выдвинутая Бернхардом Риманом в 1859 году, считается самой сложной математической задачей в мире.Риман применил дзета-функцию Эйлера ко всем комплексным числам, за исключением s = 1. При дальнейшем изучении этого вопроса он понял, что дзета-функция имеет тривиальные нули в точках -2, -4, -6 и т.д., и все нетривиальные нули симметричны там, где прямая Re (s) = ½. Это привело его к выдвижению гипотезы о том, что все нетривиальные нули находятся на прямой Re (s) = ½. Он указан как:

Теорема Ферма

Теорема Ферма, или Великая теорема Ферма, как ее называют, была выдвинута Пьером де Ферма в 1637 году.Спустя несколько лет, когда многие математики пытались доказать теорему, она была решена более чем через триста лет в 1995 году. Теорема Ферма сформулирована следующим образом.

Хотя эта теорема была доказана для целочисленного случая n = 4 до того, как была предложена теорема Ферма, за следующие двести лет теорема была доказана для простых чисел 3, 5 и 7. За эти годы теорема была доказана для всех простые числа меньше 100 и для обычных простых чисел.В 1984 году Герхард Фрей предложил доказать теорему с помощью гипотезы модульности. Эндрю Уайлс успешно доказал Великую теорему Ферма в 1995 году с помощью Ричарда Тейлора.

Великая теорема Ферма была опубликована только после его смерти, так как при его жизни Ферма, математик-любитель, отказался публиковать какие-либо свои работы. Фактически, теорема была нацарапана на полях одной из его книг и позже найдена его сыном. Наряду с еще не доказанной гипотезой Римана последняя теорема Ферма, без сомнения, является самой сложной математической проблемой в мире.

Обе эти теоремы приобрели культовую популярность в математических кругах, просачиваясь в массовую культуру благодаря упоминаниям в таких бестселлерах, как «Трилогия тысячелетия» Стейг Ларрсон и в таких сериалах, как «Симпсоны», «Numb3rs» и «Закон и порядок». Так что, если простые смертные, подобные нам, не могут питать никаких надежд на решение самой сложной математической задачи в мире, мы можем хотя бы выглядеть умными, пока будут упоминания. Как однажды сказал Бертран Рассел: «Математику можно определить как предмет, в котором мы никогда не узнаем, о чем говорим, и правильно ли то, что мы говорим.”

сложнейших математических задач.Шесть сложных способов стать… | Франческо Ди Лалло

Можно ли быстро решить любую проблему, решение которой можно быстро проверить?

Проблемы можно разделить на разные классы сложности. Здесь нас интересуют классы P и NP. Они обозначают олиномиальное время P и N при детерминированном олиномиальном времени P , соответственно.

По сути, проблема P может быть решена «быстро» и проверена «быстро». В то время как проблема NP (в настоящее время) не имеет «быстрого» решения.Более конкретно, учитывая задачу с размером входных данных n, , время, необходимое для ее решения, если бы она находилась в классе P, растет в соответствии с некоторым полиномом. А если это NP, то он будет расти быстрее.

Пример проблемы, которая считается NP (я говорю, что мысль , поскольку она зависит от истинности гипотезы) — это задача коммивояжера (версия задачи решения):

Учитывая список городов и расстояние между ними, можете ли вы построить маршрут, проходящий через каждый город, общая длина которого меньше заданного расстояния?

Решение этой проблемы сложно и требует больших затрат, но решение легко проверить — решение представляет собой список городов для посещения по порядку, и можно проверить, что это действительное решение, просто сложив расстояния и сравнивая его с заданной границей.Важно отметить, что при увеличении длины списка городов время на решение будет намного быстрее, чем при использовании любого полинома.

С другой стороны, пример проблемы P — это проверка того, находится ли номер в данном списке. Его легко решить и легко проверить, и если вы увеличите размер списка вдвое, затраченное время также удвоится (так что затраченное время не будет расти слишком быстро).

Проблема P vs NP заключается в том, действительно ли проблемы NP отличаются от проблем P. Иначе говоря, существует ли какой-то секретный или скрытый алгоритм, который может быстро решить ранее рассмотренные сложные проблемы?

В трех измерениях пространства и времени, при заданной начальной скорости, существуют ли векторная скорость и скалярное поле давления, которые являются гладкими и глобально определенными, которые решают уравнения Навье – Стокса?

Уравнения Навье-Стокса — это два нелинейных дифференциальных уравнения в частных производных , которые описывают движение жидкости в трехмерном пространстве.Это система из двух уравнений, которые связывают векторное поле скорости и скорость его изменения с полем давления, внешними силами, приложенными к жидкости. Уравнения записываются следующим образом:

Мы не будем углубляться в то, что означает каждый термин, но, по сути, первое уравнение представляет собой (вязкую) версию жидкости Ньютона F = ma — силы, участвующие в сумме давления, вязкие стресс и внешние силы. Второе уравнение — это очень просто сохранение массы и требует, чтобы жидкость была несжимаемой.

Для того, чтобы решение было «действительным», у нас есть два условия:

Векторное поле v и скалярное поле p глобально определены и непрерывны во всем пространстве.
Полная кинетическая энергия ограничена. (Интеграл квадрата нормы v по всему пространству ограничен.)

Таким образом, проблема Навье-Стокса сводится к доказательству одного из двух случаев:

Утвердительный : при f = 0 и начальное поле скорости (которое должно удовлетворять определенным условиям) существует поле скорости и давления, которое удовлетворяет (1) и (2).

Пробой: Существует начальное векторное поле и внешнее силовое поле, где нет решения, удовлетворяющего (1) и (2). Уравнения

N-S управляют диффузией молока в чае — Фото Alex Boyd на Unsplash

Имеют ли все нетривиальные нули дзета-функции Римана действительную часть, равную 1/2?

Снова разберемся с этим. Во-первых, дзета-функция Римана определяется следующим уравнением

, которое справедливо для с> 1. Обратите внимание, что для s = 1, функция сводится к гармоническому ряду, который увеличивается. Мы можем проделать некоторые причудливые математические вычисления, чтобы аналитически продолжить (существенно расширить) функцию на комплексную плоскость (кроме s = 0 и 1 ) со следующей функциональной зависимостью:

Теперь мы хотим найти, для которой s , ζ (s) = 0. Теперь, поскольку косинус равен 0 для нечетных отрицательных целых чисел, ζ (-2n) для положительного целого n равен 0. Они называются тривиальными нулями, поскольку они равны нулю из-за природы косинуса.Вместо этого нас интересует, когда ζ само по себе равно нулю.

Известно, что все нетривиальные нули имеют действительную часть от 0 до 1, известную как критическая полоса. Как оказалось, кажется, что если s является нетривиальным нулем (т.е. если ζ (s) = 0 и s не является отрицательным четным числом), то s = 1/2 + iy для некоторого значения y . то есть действительная часть s равна 1/2 , это называется критической линией.

Для эллиптической кривой E над всегда ли совпадает алгебраический ранг с аналитическим рангом?

Эллиптическая кривая E — это набор решений уравнения вида y² = x³ + Ax + B с ограничением, что дискриминант ∆ = -16 (4A³ + 27B²) ≠ 0. Ограничение просто гарантирует, что кривая будет достаточно хорошей.

Две эллиптические кривые. Слева: y² = x³-1.5x + 1, справа: y² = x³-4x + 1

Теперь мы ограничиваем решения эллиптической кривой, требуя, чтобы x и y были рациональными.Вот что мы подразумеваем под кривой над over. Теперь мы можем использовать эту кривую E, чтобы сформировать группу, обозначенную E (ℚ). Мы проделали довольно аккуратную бинарную операцию: по двум точкам мы проводим через них линию, находим третье пересечение с E и отражаем его через ось x.

Как сложить две точки A и B, чтобы найти C

Чтобы полностью превратить ее в группу, нам нужно добавить бесконечно удаленную точку, которая действует как идентичность группы (для читателя, знакомого с проективной геометрией, E — неособая проективная кривая, поэтому мы получаем тождество бесплатно из амбиантного пространства).

Первый естественный вопрос, который задают, — что мы можем сделать вывод о структуре E (ℚ)?

Результат Морделла и Вейля говорит нам, что E (ℚ) конечно порождено и может быть записано как

где E (ℚ) _tors — это все точки в E (ℚ), которые имеют конечный порядок. r известен как алгебраический ранг кривой E.

Отлично, теперь у нас есть первая половина. Теперь нам нужно понять аналитический ранг.

Давайте теперь еще больше ограничим решения, рассмотрев E в конечном поле размером p , где p — простое число

Мы определяем следующие значения

и, наконец, L-серию E при с как таковой

напомним, что ∆ — дискриминант эллиптической кривой.Затем мы можем разложить L в ряд Тейлора около s = 1:

Здесь r_an — аналитический ранг кривой. Те, кто знаком с комплексным анализом, узнают, что r_an — это порядок исчезновения нуля.

Наконец-то! Мы можем записать гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера очень просто как

Хорошо, что все это означает? Как оказалось, вычислить алгебраический ранг довольно сложно, тогда как аналитический ранг несколько проще. Эта гипотеза обеспечивает мост между страной анализа и страной алгебры.

Для любой компактной простой калибровочной группы G существует ли нетривиальная квантовая теория Янга – Миллса на, которая имеет щель масс Δ> 0?

Небольшое заявление об отказе от ответственности: я вряд ли специалист в области физики элементарных частиц, поэтому я изложу здесь свое лучшее поверхностное понимание.

Задача состоит в том, чтобы сделать современную физику математически строгой.

Мы начинаем с идеи калибровочных симметрий: это, по сути, свободы в том, как мы описываем физическую систему.Например, не имеет значения, как и где мы ориентируем нашу систему координат.

Изящная теорема Эмми Нётер гласит, что для каждой симметрии существует соответствующий закон сохранения. Например:

Временная инвариантность (т.е. не имеет значения, начинаете ли вы свой эксперимент сейчас или через 5 минут после того, как выпили чашку чая) непосредственно ведет к сохранению энергии
Трансляционная инвариантность дает начало сохранение импульса

Далее переходим к теории Янга-Миллса.

Лучшее объяснение, которое я смог найти, дано Лоуренсом Крауссом. Представьте себе шахматную доску: если вы поменяете каждый белый квадрат на черный квадрат и каждый черный квадрат на белый, то игра будет практически идентичной. Немногое произошло, но произошли изменения, так что это довольно простая симметрия.

А теперь представьте, что я локально переключаю цвет определенного квадрата и делаю это столько, сколько хочу, по всей доске. Доска будет выглядеть очень странно, но я могу написать книгу правил, в которой будут учтены все сделанные мною свопы.Затем эта книга правил определяет, как играть в игру.

Теперь свод правил — это фактически поле, а игра — теория Янга-Миллса, и локальная перестановка цветов является калибровочной симметрией.

Фото Хассана Паши на Unsplash

Итак, давайте пройдемся по нему:

Калибровочная группа — это группа (возможно, очень причудливых) симметрий системы, это дает начало закону сохранения, и мы можем написать «свод правил» это поле, которое определяет, как взаимодействуют частицы, что является теорией Янга-Миллса.

Это уже было сделано в случае электромагнитного взаимодействия и сильного ядерного взаимодействия, которые полностью описаны с помощью квантовой электродинамики и квантовой хромодинамики.

Что спрашивает существование Янга-Миллса (мы перейдем к разнице масс через секунду): существует ли это описание для всех четырех фундаментальных сил? И что еще интереснее, можно ли их объединить?

Фотография israel palacio на Unsplash

Касательно разрыва масс: возбуждение в одном из этих полей на самом деле является частицей. Массовый зазор — это, по сути, условие, что масса этих частиц должна быть ограничена снизу, чтобы вы не могли найти частицу, которая была бы сколь угодно легкой. Это то, что мы наблюдаем в природе.Это называется зазором массы, поскольку существует зазор между 0 и самой легкой частицей.

Итак, чтобы теория Янга-Миллса «хорошо» описывала реальность, должна также иметь этот разрыв в массах.

Пусть X — неособое комплексное проективное многообразие. Тогда может ли каждый класс Ходжа на X быть записан как линейная комбинация с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X?

Этот дурацкий. Я собираюсь вдаваться в гораздо меньшие подробности здесь, потому что, черт возьми, это трудно понять.

Существует естественный обмен между алгебраическими уравнениями и геометрическими фигурами. Решение x² + y²-1 = 0 образует круг, а x + y-1 = 0 образует линию.

Итак, мы можем придумать несколько сумасшедших уравнений, и решение будет иметь форму (иногда очень сложную), это называется алгебраическими циклами. Если эти алгебраические циклы достаточно гладкие, то их можно назвать многообразиями (напомним, это из гипотезы Пуанкаре).

Итак, алгебраические циклы (читай решения уравнений) могут образовывать многообразия, если мы добавим больше уравнений, то мы получим алгебраические циклы на многообразии.

Добавляя z = 0 к уравнению x² + y² + z² = 1, мы получаем круг.

Теперь с топологической точки зрения мы можем рисовать сумасшедшие формы на многообразии, а затем группировать эти формы вместе, если их можно деформировать друг в друга. Они сгруппированы в классы гомологии.

Два разных класса гомологии на торе

Теперь это выглядит точно так же, как обмен, который мы рассмотрели выше: мы переходим от алгебраического описания формы к геометрическому описанию. Проблема в том, для данного многообразия, когда класс гомологии содержит одну фигуру, которую можно описать как алгебраический цикл на этом многообразии?

К сожалению, мы имели дело с многообразиями, живущими в регулярном евклидовом пространстве.Гипотеза Ходжа имеет дело с многообразиями, живущими в проективном комплексном n-мерном пространстве (имеющем вещественную размерность 2n). Так что здесь все поражает. Многообразие неособое, если нет «заостренных битов».

Ходжу пришла в голову изящная и элегантная идея сказать, эквивалентен ли класс гомологии алгебраическому циклу, и это, по сути, гипотеза Ходжа. Я предоставляю заинтересованным читателям возможность получить степень магистра по алгебраической геометрии, если они хотят понять больше.

Топ-5 самых сложных задач исчисления в мире

Вы когда-нибудь задумывались, какие самые сложные задачи по исчислению в мире?

Я сейчас на полпути к курсу «Исчисление 2» и уже на грани умственного истощения. Тем не менее, я отчаянно хочу знать, какие самые сложные проблемы исчисления и что может потребоваться для их решения. Кроме того, я хочу знать, какие реальные приложения у них могли бы быть, если бы они были решены.

Я провел небольшое исследование, и то, что я обнаружил, было действительно захватывающим.На самом деле существует несколько нерешенных задач исчисления, которые, если они будут решены, могут иметь революционные реальные приложения в нескольких областях.

Кроме того, две задачи, попавшие в этот список, могут принести человеку 1 000 000 долларов, присуждаемых Институтом математики Клэя, если решение будет найдено. Эти 5 нерешенных проблем относятся к числу самых сложных в мире, которые относятся к сфере математического анализа.

5 самых сложных задач исчисления

1.Уравнение существования и гладкости Навье-Стокса

2. Гипотеза Римана

3. Уравнения Эйлера (гидродинамика)

4. Уравнения Власова

5. Формула инверсии для преобразования прерванного полярного луча

Это 5 самых сложных нерешенных задач исчисления. Возможно, некоторые из этих проблем выходят за рамки исчисления, поскольку они являются уравнениями с частными производными (PDE). Однако я включаю их, потому что это замечательные проблемы, и они, по крайней мере, уходят корнями в математический анализ.

5. Формула инверсии для преобразования полярного сломанного луча

Преобразование «Полярный сломанный луч» было введено в 2015 году Брайаном Шерсоном в его 140-страничной докторской диссертации по этому вопросу, которую можно найти здесь:

Брайан Шерсон: Некоторые результаты томографии однократного рассеяния

Работа Брайана Шерсона основана на работе Лючии Флореску, Джона С. Шотланда и Вадима А. Маркеля в их исследовании преобразования сломанного луча в 2009 году.

Формула инверсии была найдена в 2014 году для исследования преобразования Broken Ray в 2009 году.Однако формулы инверсии для преобразования Брайана Шерсона в Полярный луч 2015 года не найдено.

Рейтинг сложности

8,5 / 10

Несмотря на то, что эту нерешенную в настоящее время задачу исчисления чрезвычайно трудно решить, она отнюдь не невозможна. Если исследования продолжатся, мы найдем решение в течение следующего десятилетия. Хотя это решение не принесет первооткрывателю премии в размере 1 000 000 долларов, оно, скорее всего, принесет им почетную степень доктора математики.

Реальные приложения

Эти уравнения описывают рассеяние фотонов при их прохождении через объект. Таким образом, они находят широкое применение в продвинутых рентгеновских снимках , также известных как компьютерная томография (компьютерная томография).

4. Уравнение Власова

Уравнение Власова впервые было рассмотрено в 1938 году для описания плазмы .

Уравнение разработал Анатолий Власов.Однако в дальнейшем оно использовалось вместе с уравнением Джеймса Клерка Максвелла и уравнением Симеона Дени Пуассона. В результате появилась система уравнений Власова-Максвелла, а также уравнение Власова-Пуассона.

Рейтинг сложности

9/10

Эта проблема не решалась более 80 лет и, вероятно, останется нерешенной еще какое-то время.

Для решения этой проблемы необходимо глубокое понимание физики и математики, включая функции распределения.

Реальные приложения

Система уравнений Власова-Максвелла описывает взаимодействия частиц плазмы.

Уравнения Власова-Пуассона оценивают уравнения Власова-Максвелла.

3. Уравнения Эйлера (гидродинамика)

Уравнения Эйлера, названные в честь Леонарда Эйлера, были первоначально представлены в 1755 году и позже опубликованы в 1757 году. Эти уравнения тесно связаны с другой из наиболее сложных задач математического анализа, уравнениями Навье-Стокса, которые занимают в этом отношении позицию # 1. список .

Уравнения Эйлера, связанные с гидродинамикой, представляют собой набор квазилинейных гиперболических уравнений, которые управляют адиабатическим и невязким потоком. Из этих уравнений есть общая форма уравнения неразрывности, уравнения количества движения и уравнения баланса энергии.

Леонард Эйлер также создал одно из самых известных в математическом сообществе уравнений, называемое просто тождеством Эйлера, которое связывает 5 важных математических констант: 0, 1, i, e, и pi .

Рейтинг сложности

9,5 / 10

Несмотря на то, что этим уравнениям более 250 лет, они по большей части остаются нерешенными. Например, в трех измерениях пространства до сих пор неясно, определены ли решения на все времена или являются сингулярностями.

Реальные приложения

Уравнения Эйлера применяются в термодинамике , гидродинамике и аэродинамике .

2. Гипотеза Римана

Гипотеза Римана была первоначально выдвинута в 1859 году Бернхардом Риманом. Это одна из семи задач Millenial Prize , которые принесут ей декодер 1 000 000 долларов , оплаченный Институтом математики Клэя. Это одна из двух задач Премии Миллениума, попавших в этот список.

Гипотеза Римана предполагает, что дзета-функция Римана пересекает ось x (нули функций) только при отрицательных четных целых числах и комплексных числах с действительной частью 1/2.

Эта гипотеза считается наиболее важной нерешенной проблемой математики, не говоря уже о математическом анализе.

Рейтинг сложности

9,5 / 10

Это не только одна из самых важных проблем математического анализа, но и одна из самых трудных, если не самая сложная на сегодняшний день. За прошедшие годы был достигнут некоторый прогресс в подтверждении гипотезы Римана, но формального доказательства еще не было.

Реальные приложения

Гипотеза Римана находит широкое применение в теории чисел, области математики, имеющей дело с целыми числами, особенно с простыми числами.

1. Уравнение существования и гладкости Навье-Стокса

Подобно уравнениям Эйлера, которые занимают третье место в этом списке, уравнение существования и гладкости Навье-Стокса лежит в основе гидродинамики. Это означает, что они описывают, как жидкости, наряду с подобными жидкостям субстанциями, такими как воздух, перемещаются в пространстве.

Уравнение существования и гладкости Навье-Стокса было разработано в 1822 году Клодом-Луи Навье и Джорджем Габриэлем Стоксом. Это уравнение фигурирует в списке задач Millenial Prize Института математики Клея, который выплатит 1 000 000 долларов тому, кто его решит.

Официальное заявление, которое они могли бы доказать или опровергнуть, выглядит следующим образом:

В трех измерениях пространства и времени, при заданном поле начальной скорости, существует вектор скорости и поле скалярного давления, которые являются как гладкими, так и глобально определенными, которые решают уравнения Навье – Стокса.
Математический институт Клэя

Рейтинг сложности

10/10

Это одна из самых важных проблем в физике, которая беспокоит математиков и научное сообщество с момента ее появления.Чтобы решить эту проблему, потребуется глубокое понимание сложного исчисления, а точнее — дифференциальных уравнений. Однако некоторые предполагают, что решение будет физически невозможным.

Реальные приложения

Уравнение существования и гладкости Навье-Стокса находит применения в механике жидкости, аэродинамике, и в инженерии самолетов . Правильное решение было бы революционным в аэрокосмической отрасли.

Если вы хотите узнать о других задачах Millenial Prize, вы можете ознакомиться с ними здесь:

Википедия: Задачи Millenial Prize

Другие нерешенные математические задачи

Если вам интересно узнать больше о самых сложных нерешенных математических задачах в мире, в Википедии есть список из более чем 100 задач. Список организован по различным разделам математики, таким как алгебра и теория чисел. Вы можете ознакомиться со списком здесь:

Википедия: Список нерешенных задач математики

Статьи по теме

Самые популярные нерешенные вопросы в математике остаются в основном загадочными

Двадцать один год назад на этой неделе математики опубликовали список из семи основных нерешенных проблем в этой области.Ответ на них предложит важные новые идеи в фундаментальной математике и может даже иметь реальные последствия для таких технологий, как криптография.

Но большие вопросы в математике не всегда вызывали такой же уровень интереса со стороны, как загадки в других областях науки. Когда доходит до понимания того, как выглядят математические исследования и в чем их смысл, многие люди до сих пор в тупике, — говорит Вэй Хо, математик из Мичиганского университета. Хотя люди часто неправильно понимают природу ее работы, Хо говорит, что это нетрудно объяснить.«Моя тусовка на коктейльной вечеринке всегда связана с эллиптическими кривыми», — добавляет она. Хо часто спрашивает участников вечеринок: «Вы знаете параболы и круги в средней школе? Как только вы начнете составлять кубическое уравнение, все становится очень сложно … По ним возникает так много открытых вопросов ».

Одна известная открытая проблема, называемая гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера, касается природы решений уравнений эллиптических кривых, и это одна из семи задач, отмеченных премией тысячелетия, которые были выбраны учредительным научным консультативным советом Института математики Клея (CMI ) как то, что институт описывает как «одни из самых сложных проблем, с которыми математики боролись на рубеже второго тысячелетия.«На специальном мероприятии, состоявшемся в Париже 24 мая 2000 года, институт объявил приз в размере 1 миллиона долларов за каждое решение или контрпример, которое впервые эффективно решит одну из этих проблем. Правила, пересмотренные в 2018 году, гласят, что результат должен получить «всеобщее признание в мировом математическом сообществе».

Провозглашение 2000 года дало людям 7 миллионов долларов причин для работы над семью проблемами: гипотезой Римана, гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера, проблемой P и NP, проблемой существования Янга-Миллса и проблемой разрыва массы, гипотезой Пуанкаре. , проблема существования и гладкости Навье-Стокса и гипотеза Ходжа.Тем не менее, несмотря на фанфары и денежные стимулы, через 21 год была решена только гипотеза Пуанкаре.

Неожиданное решение

В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман, российский математик, тогда работавший в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН, поделился работой, связанной с его решением гипотезы Пуанкаре, в Интернете. В 2010 году CMI объявила, что Перельман доказал эту гипотезу, а также решил связанную с ней гипотезу геометризации покойного математика Уильяма Терстона.(Известно, что Перельман, который редко общается с публикой, отказался от призовых).

Согласно CMI, гипотеза Пуанкаре фокусируется на топологическом вопросе о том, «по существу характеризуются» ли сферы с трехмерными поверхностями свойством, называемым «простая связность». Это свойство означает, что если вы закроете поверхность сферы резиновой лентой, вы можете сжать эту ленту — не разрывая ее и не снимая с поверхности — до тех пор, пока она не станет единственной точкой.Двумерная сфера или отверстие для бублика просто соединены, а бублик (или другая форма с отверстием) — нет.

Мартин Бридсон, математик из Оксфордского университета и президент CMI, описывает доказательство Перельмана как «одно из величайших событий, безусловно, последних 20 лет» и «венец достижения многих направлений мысли и нашего понимания того, что трехмерные пространства похожи на. » И это открытие может привести к еще большим открытиям в будущем. «Для доказательства потребовались новые инструменты, которые сами по себе находят далеко идущие применения в математике и физике», — говорит Кен Оно, математик из Университета Вирджинии.

Оно было сосредоточено на другой проблеме тысячелетия: гипотезе Римана, которая включает простые числа и их распределение. В 2019 году он и его коллеги опубликовали статью в Proceedings of the National Academy of Sciences USA , в которой пересмотрели старый, ранее заброшенный подход к поиску решения. В сопроводительном комментарии Энрико Бомбьери, математик из Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси, лауреат высшей награды математики 1974 года — медали Филдса, назвал это исследование «крупным прорывом».Однако Оно говорит, что было бы необоснованным описывать его работу как «что-либо, что предполагает, что мы собираемся доказать гипотезу Римана». Другие также отказались от этой проблемы на протяжении многих лет. Например, математик: «Пару лет назад Терри Тао написал прекрасную статью о программе [математика Чарльза] Ньюмана для гипотезы Римана», — говорит Оно.

Прогресс в том, что не сработает

Тот факт, что до сих пор решена только одна из перечисленных проблем, не удивляет экспертов — в конце концов, головоломки существуют давно и ошеломляюще сложны.«Количество решенных задач на одну больше, чем я ожидал», — говорит Манджул Бхаргава, математик из Принстонского университета и медалист Филдса 2014 года. Сам Бхаргава сообщил о нескольких недавних результатах, связанных с гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера, в том числе тот, в котором, по его словам, он и его коллеги «доказали, что более 66 процентов эллиптических кривых удовлетворяют гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера».

Ни одну из проблем решить непросто, но некоторые из них могут оказаться особенно трудноразрешимыми.Проблема P и NP кажется настолько сложной для решения, что Скотт Ааронсон, ученый-теоретик из Техасского университета в Остине, называет ее «признаком нашего невежества». Эта проблема касается вопроса о том, есть ли у вопросов, которые легко проверить (класс запросов NP), решения, которые легко найти (класс P). * Ааронсон много писал о проблеме P и NP. В статье, опубликованной в 2009 году, он и Ави Вигдерсон, математик и компьютерный ученый из Института перспективных исследований и один из лауреатов премии Абеля 2021 года, показали новый барьер на пути к доказательству того, что класс P — это не то же самое, что NP. класс.Барьер, обнаруженный Ааронсоном и Вигдерсоном, является третьим из обнаруженных на сегодняшний день.

«Есть большой прогресс в том, чтобы показать, какие подходы не работают», — говорит Вирджиния Василевска Уильямс, ученый-теоретик и математик из Массачусетского технологического института. «Доказательство того, что P [не] равно NP, было бы важной ступенькой к тому, чтобы показать, что криптография хорошо обоснована», — добавляет она. «Прямо сейчас криптография основана на недоказанных предположениях», одним из которых является идея о том, что P не равно NP.«Чтобы показать, что вы не можете взломать криптографические протоколы, которые нужны людям в современных компьютерах», в том числе те, которые обеспечивают безопасность нашей финансовой и другой личной информации в Интернете, «вам нужно хотя бы доказать, что P не равно NP», — говорит Василевска. Примечания Уильямса. «Когда люди пытались привязать меня к числу, — говорит Ааронсон, — я даю 97 или 98 процентов вероятности, что P не равно NP».

Восхождение на Эверест

По словам Оно, поиск решений призовых задач похож на попытку подняться на Эверест в первый раз.«На этом пути есть различные шаги, которые олицетворяют прогресс», — добавляет он. «Настоящий вопрос: сможете ли вы добраться до базового лагеря? И если можешь, ты все равно знаешь, что очень далеко ».

В отношении таких проблем, как гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера и гипотеза Римана, Оно говорит: «Конечно, мы в Непале» — одной из стран отправления восхождения на гору, — «но добрались ли мы до базового лагеря? ” Математикам может понадобиться дополнительное «снаряжение», чтобы подняться на вершину. «Сейчас мы пытаемся выяснить, каковы математические аналоги высокотехнологичных инструментов, баллонов с кислородом, которые потребуются, чтобы помочь нам добраться до вершины», — говорит Оно.Кто знает, сколько препятствий может стоять между текущими исследованиями и возможными решениями этих проблем? «Может быть, их 20. Может быть, мы ближе, чем думаем», — говорит Оно.

Несмотря на сложность задач, математики с оптимизмом смотрят на долгую перспективу. «Я очень надеюсь, что пока я являюсь президентом института Клея, одна из них будет решена», — говорит Бридсон, отмечая, что CMI разрабатывает стратегию, как лучше всего продолжать повышать осведомленность о проблемах.«Но нужно признать, что это очень сложные проблемы, которые могут продолжать формировать математику на всю оставшуюся жизнь, но без решения».

* Примечание редактора (02.06.21): это предложение было изменено после публикации, чтобы исправить описание проблемы P по сравнению с NP.

Сможете ли вы решить сложнейшие математические задачи? — Новости канала 4

13 августа 2014 г.

Как доказывает награда Fields Awards в этом году, математика очень сложна для понимания.Это проблемы, которые на протяжении веков ставили математиков в тупик.

Медаль Филдса за выдающиеся достижения в математике часто называют Нобелевской премией в мире математики. Но в отличие от Нобелевской премии по физике, которая была присуждена в прошлом году создателям большого адронного коллайдера ЦЕРНа, даже попытка приоткрыть завесу понимания и понять, почему победители медали Филдса достойны, почти невозможна.

Хорошая новость заключается в том, что Марк Ронан, почетный профессор математики в UCL, говорит, что мы не одиноки. «Даже когда люди объясняют эти вещи, объяснения носят довольно технический характер, поэтому вы не всегда понимаете, что произошло», — сказал он Channel 4 News. «Пока вы на самом деле не прочитали их статью или не услышали их выступление, вы мало что знаете об этом».

Но Терри Лайон, президент Лондонского математического общества (LMS), считает, что не потворствовать широкой публике есть заслуга. «Медаль Филдса — самая престижная», — сказал он Channel 4 News.«Они оба (Нобель и Филдс) чрезвычайно осторожно относятся к делу… Здесь математика на первом месте, новости на втором месте.

Знаменитая Великая теорема Ферма

Математика — древняя дисциплина, которой около 4000 лет, и некоторые теории остаются нерешенными в течение сотен лет.

Самой давней нерешенной проблемой в мире была Великая теорема Ферма, которая оставалась недоказанной в течение 365 лет. «Гипотеза» (или предположение) была высказана Пьером де Ферма в 1937 году, который, как известно, написал на полях своей книги, что у него есть доказательства, но просто не было места для подробностей.

В 1995 году Эндрю Уайлс опубликовал свое собственное доказательство, в котором он, как известно, сказал, что ему понадобится больше, чем запас, чтобы доказать свою точку зрения.

53 + 47 = 100: простые?

Но для тех, кто жаждет удачной охоты, Книга рекордов Гиннеса помещает гипотезу Гольдбаха как самую давнюю математическую задачу, которая существует уже 257 лет.

В нем говорится, что каждое четное число является суммой двух простых чисел: например, 53 + 47 = 100. Пока все просто.Но из-за бесконечного характера последовательности чисел доказать однозначно пока невозможно.

Эта гипотеза породила роман Апостола Доксиадиса, дяди Петрова и гипотезы Гольдбаха, и ее ломали веками. Но, как говорит профессор Ронан: «Никто не скажет вам, что они годами пытались это доказать».

Числа «в телескоп»

Но когда дело доходит до наиболее важной, недоказанной теоремы, большинство согласны с тем, что это гипотеза Римана, выдвинутая немецким математиком Берхардом Риманом в 1859 году.В нем говорится, что нетривиальные корни дзета-функции имеют вид (1/2 + b I). Или, как объясняет профессор Лайон, это включает в себя рассмотрение точек, в которых определенная функция принимает значение 0, как если бы «через телескоп», и была проверена на наличие множества, многих чисел.

«Предполагается, что эти точки всегда находятся на одной линии в плоскости… кажется, что все они выстроены в линию, насколько может видеть глаз. Вы думаете: «Это должно быть правдой». К сожалению, это не доказательство ».

Более того, чем гипотеза Гольдбаха, это считается чрезвычайно важным из-за целого ряда следствий, которые могут возникнуть, если она будет доказана, а не просто гипотезой.«Люди, не имеющие отношения к своему времени, делают это на компьютерах», — добавил профессор Лайон.

«Меня не интересуют деньги или слава»

Много внимания было уделено тому факту, что женщина была удостоена одной из четырех наград этого года впервые в истории этой премии. Марьям Мирзахани работает в области геометрии, и описание ее работы гласит: «Из-за своей сложности и неоднородности пространство модулей часто казалось невозможным для непосредственной работы. Но не Мирзахани.У нее сильная геометрическая интуиция ».

Но британское математическое сообщество также было в восторге от награды Мартина Хайрера — только восьмой британец, получивший эту премию. Он работает в области, известной как «стохастический анализ». Пока что понять невозможно. Но профессор Лайон сказал, что его область построена на области, которая оказала огромное влияние на все, от мобильных телефонов до фондового рынка.

И эксперты даже предположили, что его работа может пролить свет на другую из этих до сих пор неразрешимых проблем — проблему Навье Стокса, которая является одной из шести нерешенных проблем, связанных с Премией тысячелетия, которые включают гипотезу Римана.

Но опять же, не все математики занимаются этим ради славы. Русский гений Григорий Перельман, как известно, отказался от медали Филдса и еще одного миллиона долларов в 2010 году за доказательство гипотезы Пуанкаре, которая на тот момент была одной из самых сложных проблем в мире.

«Меня не интересуют деньги или слава», — сказал он тогда. «Я не хочу выставляться напоказ, как животное в зоопарке. Я не герой математики. Я даже не настолько успешен; вот почему я не хочу, чтобы все смотрели на меня.”

Использование компьютеров для решения многовековых математических головоломок

В математике ни один исследователь не работает изолированно. Даже те, кто работает в одиночку, используют теоремы и методы своих коллег и предшественников для развития новых идей.

Но когда известную технику слишком сложно использовать на практике, математики могут пренебречь важными — и иначе решаемыми — проблемами.

Недавно я присоединился к нескольким математикам в проекте, чтобы упростить использование одной такой техники.Мы создали компьютерный пакет для решения проблемы, называемой «уравнение S-единицы», в надежде, что теоретики чисел всех мастей смогут легче решать широкий круг нерешенных задач математики.

Диофантовы уравнения

В своем тексте «Арифметика» математик Диофант рассмотрел алгебраические уравнения, решениями которых должны быть целые числа. Как оказалось, эти проблемы имеют прямое отношение как к теории чисел, так и к геометрии, и с тех пор математики изучают их.

Зачем добавлять это ограничение только целочисленных решений? Иногда причины практические; нет смысла выращивать 13,7 овец или покупать -1,66 машин. Кроме того, математиков привлекают эти проблемы, которые теперь называются диофантовыми уравнениями. Очарование проистекает из их удивительной сложности и их способности раскрывать фундаментальные истины о природе математики.

На самом деле математики часто не интересуются конкретными решениями какой-либо конкретной диофантовой проблемы.Но когда математики разрабатывают новые методы, их силу можно продемонстрировать, решив ранее нерешенные диофантовы уравнения.

Эндрю Уайлс (справа) получает награду Вольфльскеля за решение Великой теоремы Ферма. Питер Мюллер / REUTERS

Доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом — известный пример. Пьер де Ферма утверждал в 1637 году — на полях экземпляра «Арифметики», не меньше, — что он решил диофантово уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, но не представил никакого оправдания.Когда Уайлс доказал это более 300 лет спустя, математики сразу обратили на это внимание. Если Уайлс разработал новую идею, которая могла бы разрешить Ферма, то что еще могла бы эта идея сделать? Теоретики чисел поспешили понять методы Уайлса, обобщить их и найти новые следствия.

Не существует единого метода, который мог бы решить все диофантовы уравнения. Вместо этого математики развивают различные техники, каждая из которых подходит для определенных типов диофантовых задач, но не подходит для других. Итак, математики классифицируют эти проблемы по их особенностям или сложности, как биологи могут классифицировать виды по таксономии.

Более тонкая классификация

Эта классификация производит специалистов, поскольку разные теоретики чисел специализируются на методах, связанных с различными семействами диофантовых проблем, такими как эллиптические кривые, бинарные формы или уравнения Туэ-Малера.

Внутри каждой семьи настраивается более тонкая классификация. Математики разрабатывают инварианты — определенные комбинации коэффициентов, фигурирующих в уравнении, — которые позволяют различать разные уравнения в одном и том же семействе.Вычислить эти инварианты для конкретного уравнения несложно. Однако более глубокая связь с другими областями математики порождает более амбициозные вопросы, например: «Существуют ли эллиптические кривые с инвариантом 13?» или «Сколько бинарных форм имеют инвариант 27?»

Уравнение S-единицы можно использовать для решения многих из этих более серьезных вопросов. S относится к списку простых чисел, например {2, 3, 7}, связанных с конкретным вопросом. S-единица — это дробь, числитель и знаменатель которой образуются путем умножения только чисел из списка.Итак, в этом случае 3/7 и 14/9 — это S-единицы, а 6/5 — нет.

Уравнение S-единицы обманчиво просто сформулировать: найдите все пары S-единиц, которые складываются с 1. Найти некоторые решения, такие как (3/7, 4/7), можно с помощью ручки и бумаги. Но ключевое слово — «все», и это делает проблему трудной как с теоретической, так и с вычислительной точки зрения. Как можно быть уверенным, что каждое решение найдено?

В принципе, математики знали, как решить уравнение S-единицы за несколько лет.Однако процесс настолько запутан, что никто никогда не мог решить уравнение вручную, и лишь несколько случаев были решены. Это расстраивает, потому что многие интересные задачи уже свелись к «простому» решению некоторого конкретного уравнения S-единицы.

Процесс решения уравнения S-единицы настолько запутан, что немногие пытались сделать это вручную. Jat306 / shutterstock.com

Как работает решатель

Однако обстоятельства меняются.С 2017 года шесть теоретиков чисел в Северной Америке, включая меня, создают программу для решения уравнений S-единиц для математической программы с открытым исходным кодом SageMath. 3 марта мы объявили о завершении проекта. Чтобы проиллюстрировать его применение, мы использовали программное обеспечение для решения нескольких открытых диофантовых задач.

Основная трудность уравнения S-единицы состоит в том, что, хотя будет существовать лишь несколько решений, существует бесконечно много S-единиц, которые могут быть частью решения.Объединив знаменитую теорему Алана Бейкера и тонкую алгоритмическую технику Бенна де Вегера, решатель исключает из рассмотрения большинство S-единиц. Даже в этот момент могут остаться миллиарды S-единиц — или больше — для проверки; теперь программа пытается сделать окончательный поиск максимально эффективным.

Этот подход к уравнению S-единицы известен уже более 20 лет, но использовался редко, поскольку требуемые вычисления сложны и требуют много времени.Раньше, если математик сталкивался с уравнением S-единицы, которое он хотел решить, не было автоматизированного способа его решения. Ей нужно будет тщательно пройти через работу Бейкера, де Вегера и других, а затем написать свою собственную компьютерную программу для выполнения вычислений. Выполнение программы может занять часы, дни или даже недели для завершения вычислений.

Сложные квадратные уравнения примеры с решением. Квадратные уравнения

Что называют квадратным уравнением

Примеры квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения

Виды квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Решение неполных квадратных уравнений.

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Общий вид квадратного уравнения

Виды записей квадратных уравнений

Дискриминант и зависимость количества корней от его значения

Как решается квадратное уравнение полного вида?

Как решается квадратное уравнение неполного вида?

Примеры

Показательные уравнения (уровень С) — Колпаков Александр Николаевич

Коллекция показательных уравнений репетитора по математике

Формулы и уравнения, которые изменили мир

Теорема Пифагора

Логарифм и его тождество

Основная теорема анализа

Классическая теория тяготения Ньютона

Комплексные числа

Эйлерова характеристика полиэдров

Нормальное распределение

Волновое уравнение

Преобразование Фурье

Уравнения Навье—Стокса

Уравнения Максвелла

Второй закон термодинамики

Теория относительности Эйнштейна

Уравнение Шрёдингера

Информационная энтропия Шаннона

Логистическая модель роста популяций

Модель Блэка-Скоулза

Вместо заключения

Искусственный интеллект научился решать сложные уравнения, которые описывают устройство Вселенной

Вспоминаем самые сложные темы по математике в начале учебного года. 2-4 класс

Сложение и вычитание с переходом через десяток

Решение уравнений

Периметр и площадь

Другие статьи блога «Настольная математика» на Уфамаме:

§ 22. Примеры решения более сложных тригонометрических уравнений и их систем.

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Формулы сокращенного умножения

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

Парабола

Свойства степеней и корней

Основные свойства степеней:

Основные свойства математических корней:

Формулы с логарифмами

Определение логарифма:

Свойства логарифмов:

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Тригонометрия

Формулы двойного угла

Тригонометрические формулы сложения

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Формулы понижения степени

Формулы половинного угла

Тригонометрические формулы приведения

Тригонометрическая окружность

Тригонометрические уравнения

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Координаты

Таблица умножения

Таблица квадратов двухзначных чисел

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

Общая теория относительности

Стандартная модель

Calculus

Теорема Пифагора

1 = 0,999999999….

Специальная теория относительности

Уравнение Эйлера

Уравнения Эйлера-Лагранжа и теорема Нётер