Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ x: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = sin(x)/sin(|x|)

3 6 Risolvere per ? cos(x)=1/2 7 Risolvere per x sin(x)=-1/2 8 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 225 9 Risolvere per ? cos(x)=( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 2)/2 10 Risolvere per x cos(x)=( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3)/2 11 Risolvere per x sin(x)=( ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3)/2 12 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ
g(x)=3/4* ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ пятой стСпСни x 13 Найти Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΈ радиус x^2+y^2=9 14 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ 120 Π³Ρ€Π°Π΄. 2$

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x, h(x)=\tan x, k(x)=\cot x$ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ тригономСтричСскими функциями. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния $f(x)=\sin x $ ΠΈ $g(x)=\cos x$ это всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа $\mathbb{R}$. А области опрСдСлСния $h(x)=\tan x $ ΠΈ $k(x)=\cot x$ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅: $h(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cos x=0 \rightarrow x=k\pi+\dfrac{\pi}{2} \rightarrow$

$D_h=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \rbrace$

$h(x)=\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, \sin x=0 \rightarrow x=k\pi \rightarrow$

$D_k=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace$

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $-1 \leq \sin x \leq 1 $ ΠΈ $ -1 \leq \cos x \leq 1$. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

$R_f=[-1,1] \,\,\,\,\,\, R_g=[-1,1]$

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ of $h(x)=\tan x $ ΠΈ $k(x)=\cot x$ это всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа $\mathbb{R}$.
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
Найти ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ $f(x)=\sin x+\cos x$.

РСшСниС:
ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния $\sin x $ ΠΈ $\cos x$ это всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния

$f(x)=\sin x+\cos x$

Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. 4 \pi x = 0 \rightarrow \sin \pi x=0 \rightarrow \pi x=k \pi \rightarrow x=k \in \mathbb{Z}$

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚

$D_f=\mathbb{Z}$

Богласно $D_f=\mathbb{Z}$, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ

$f(x)=\cos \pi x=\pm 1$

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

$R_f= \lbrace \pm 1 \rbrace$


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
Найти ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ $f(x)=\sin (\log (\log x))$.

РСшСниС:
Богласно Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ сказано ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

$D_f= \lbrace x| x \in \mathbb{R}; \log x>0,x>0 \rbrace$

$= \lbrace x| x\in \mathbb{R}, x>1,x>0 \rbrace =(1,+\infty)$

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ стоит ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

$|\sin (\log (\log x))| \leq 1 \rightarrow |y| \leq 1 \rightarrow -1 \leq y \leq 1$

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚

$R_f=[-1,1]$

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ $f$ это
ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ $f$ функция, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния это $D_f$. Ѐункция $f$ являСтся ΠΈΠ½ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли для всСх $x_1$ ΠΈ $x_2$ Π² $D_f$, Ссли $f(x_1)=f(x_2)$, Ρ‚ΠΎ $x_1=x_2$. {\log x} \rightarrow y=(f \circ g)_{(x)}\,\,\, x \in (0,1) \rightarrow 0 Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ $g \circ f$, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

$Z=(g\circ f)_{(x)}=x \rightarrow x=Z\in (1,+\infty) \rightarrow Z>1 \rightarrow R_{g \circ f}=(1,+\infty)$

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ $f$ являСтся
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ $g$ являСтся
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ $f \circ g$ это
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ $g \circ f$ это

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
Если $f(x)=x-1$ and $(f \circ g)_{(x)}=\dfrac{1}{x-1}$, Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ $g \circ f$.
РСшСниС:
Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ $ g \circ f$

$f(x)=x-1 \rightarrow f(g(x))=g(x)-1 \rightarrow (f \circ g)_{(x)}=g(x)-1 \rightarrow \\ \dfrac{1}{x-1}=g(x)-1 \rightarrow g(x)=\dfrac{x}{x+1}$

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚

$y=(g \circ f)_{(x)}=g(f(x))=\dfrac{f(x)}{f(x)-1}=\dfrac{x-1}{x+1}$

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ

$D_{g \circ f}=\lbrace x|x \in \mathbb{R}, x \neq 2 \rbrace \rightarrow D_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 2 \rbrace$

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅

$y=\dfrac{x-1}{x-2} \rightarrow x=\dfrac{2y-1}{y-1}$

$R_{g \circ f}=\lbrace y | y \in \mathbb{R}, y \neq 1 \rbrace \rightarrow$

$R_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 1 \rbrace$

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ $f$ это
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ $f \circ g$ это
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ $g$ являСтся
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ $g \circ f$ являСтся

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

УпраТнСния

1) Если $f(x)=2^{\log_2 x}$ and $g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-x}$, Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ $f \circ g$. 2 2kx \,\,\, -1 \leq \sin 2kx \leq 1$

$\rightarrow \sin 2kx= \pm 1 \rightarrow y=\dfrac{1}{4} , \sin 2x=0 \rightarrow y=1$

$\rightarrow \dfrac{1}{4} \leq y \leq 1 \rightarrow R_f=[\dfrac{1}{4},1]$

Part 1

Новосибирский государствСнный Π°Ρ€Ρ…ΠΈΡ‚Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π½ΠΎ-ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ унивСрситСт — Бибстрин

Компания КНАУЀ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π»Π° ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ курсы для студСнтов-пСрвокурсников

Для студСнтов 1 курса Новосибирского государствСнного Π°Ρ€Ρ…ΠΈΡ‚Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π½ΠΎ-ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ унивСрситСта (Бибстрин) ΠΏΠ°Ρ€Ρ‚Π½Π΅Ρ€ Π²ΡƒΠ·Π° – компания КНАУЀ – ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π»Π° ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ курсы. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π»Π΅Ρ‚Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ, с 23 июня ΠΏΠΎ 2 июля, пСрвокурсники ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°ΠΌ Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ КНАУЀ» ΠΈ Β«Π‘ΡƒΡ…ΠΈΠ΅ смСси». Π‘Ρ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ познакомились с сухими смСсями Π½Π° основС гипсового, Ρ†Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ вяТущих ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ для создания ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ‚Π½Ρ‹Ρ… систСм КНАУЀ. ВСорСтичСскиС знания Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ студСнты ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ собрали ΠΌΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ с соблюдСниСм всСх Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄Π°Ρ†ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ со ΡˆΡ‚ΡƒΠΊΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΡˆΠΏΠ°ΠΊΠ»Π΅Π²ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ растворами, послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ всС ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎ сдали тСстированиС.

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Β«ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠΎΠ±ΡƒΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ водопользованиС»: ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡŽΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… мСст

Новосибирский государствСнный Π°Ρ€Ρ…ΠΈΡ‚Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π½ΠΎ-ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ унивСрситСт (Бибстрин) ΠΆΠ΄Π΅Ρ‚ Π°Π±ΠΈΡ‚ΡƒΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Β«ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠΎΠ±ΡƒΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈ водопользованиС», ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒ «КомплСксноС использованиС ΠΈ ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½Π° Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… рСсурсов». Π’ 2021 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ 30 Π±ΡŽΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… мСст. Π”Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ выпускников НГАБУ (Бибстрин) ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŽ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ эффСктивности использования Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π·Π΅ΠΌΠ΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… рСсурсов, устойчивости ΠΈ экологичСской бСзопасности, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ: созданиС водохозяйствСнных систСм комплСксного Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½Π° ΠΈ восстановлСниС Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ²; ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½Π° зСмСль Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ назначСния, Ρ€Π΅ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠ²Π°Ρ†ΠΈΡ зСмСль, Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ загрязнСнных Π² процСссС ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ; ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠΎΡ…Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ обустройство Ρ‚Π΅Ρ€Ρ€ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΉ с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ Π·Π°Ρ‰ΠΈΡ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ воздСйствия ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… стихий; водоснабТСниС ΡΠ΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΡ… посСлСний, ΠΎΡ‚Π²ΠΎΠ΄ ΠΈ очистка сточных Π²ΠΎΠ΄, ΠΎΠ±Π²ΠΎΠ΄Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€Ρ€ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΡ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊ всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ вострСбована! Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ НГАБУ (Бибстрин) Β«ΠΠ²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΈΒ»

Π‘Ρ‚Π°Ρ€Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ Π²ΡƒΠ· Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π° – Новосибирский государствСнный Π°Ρ€Ρ…ΠΈΡ‚Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π½ΠΎ-ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ унивСрситСт (Бибстрин) – Π²ΠΎΡ‚ ΡƒΠΆΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 90 Π»Π΅Ρ‚ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ΄ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ студСнтов ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Β«Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎΒ». Π‘ 2014 Π³ΠΎΠ΄Π° Π² нашСм Π²ΡƒΠ·Π΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°ΡΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° спСциалистов ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŽ Β«ΠΠ²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΈΒ». На сСгодняшний дСнь это ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· самых Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°. ΠΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ «БСзопасныС ΠΈ качСствСнныС Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΈΒ» ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ транспортной инфраструктуры страны Π·Π° счСт срСдств Ρ„Π΅Π΄Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡŽΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ спСциалисты – строитСли Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³ – Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ вострСбованы Π²ΠΎ всСх Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ… страны.

АлгСбра ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° / ΠšΠΎΠ½ΡΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Π½Ρ‚ΠŸΠ»ΡŽΡ

ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с использованиСм свойств чисСл ΠΈ систСм счислСния, дСлимости, Π΄ΠΎΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ частСй, ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ чисСл. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с использованиСм свойств стСпСнСй ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с использованиСм градусной ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π°. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ числа ΠΈ Π΅Π³ΠΎ свойства.

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… систСм. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ числовых нСравСнств ΠΈ систСм нСравСнств с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ изобраТСния числовых ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ².

РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с использованиСм числовых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². ИспользованиС свойств ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств.ВригономСтричСская ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, радианная ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΡƒΠ³Π»Π°. Бинус, косинус, тангСнс, котангСнс ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°. ОсновноС тригономСтричСскоС тоТдСство ΠΈ слСдствия ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ. ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² 0Β°, 30Β°, 45Β°, 60Β°, 90Β°, 180Β°, 270Β°. (0, , , , Ρ€Π°Π΄). Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. .

Нули Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ знакопостоянства, ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. НаибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π§Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = cos x, y = sin x, y = tg x. Ѐункция y = ctg x. Бвойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Арккосинус, арксинус, арктангСнс числа. АрккотангСнс числа. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС уравнСния. РСшСниС тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΡ… свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ. РСшСниС ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских нСравСнств.

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, свойства стСпСни. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния ΠΈ нСравСнства. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция ΠΈ Π΅Π΅ свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа, свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. ДСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Число e. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ логарифмичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ЛогарифмичСскиС уравнСния ΠΈ нСравСнства. ЛогарифмичСская функция ΠΈ Π΅Π΅ свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

БтСпСнная функция ΠΈ Π΅Π΅ свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ нСравСнств.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: сдвиг вдоль ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй, растяТСниС ΠΈ сТатиС, ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй. ГрафичСскиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств. РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств, содСрТащих ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ модуля.

БистСмы ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, логарифмичСских ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. БистСмы ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, логарифмичСских нСравСнств.

Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

УравнСния, систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ГСомСтричСский ΠΈ физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования.

Вторая производная, Π΅Π΅ гСомСтричСский ΠΈ физичСский смысл.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… функциях. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума (максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°). ИсслСдованиС элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума, наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. 2 Β 

uses 
graphABC; //ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ графичСский ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ 
Β 
const 
W = 800; H = 500;//Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ графичСского ΠΎΠΊΠ½Π° 
Β 
function F(x: real): real; 
begin 
F := (sin(x)*sin(x))/ (Power(x,2)); //Ѐункция 
// F:= (cos(2*x) * Power(x,2))/2; 
end; 
Β 
var 
x0, y0, x, y, xLeft, yLeft, xRight, yRight, n: integer; 
a, b, fmin, fmax, x1, y1, mx, my, dx, dy, num: real; 
i: byte; 
s: string; 
Β 
begin 
SetWindowSize(W, H); //УстанавливаСм Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ графичСского ΠΎΠΊΠ½Π° 
//ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚: 
xLeft := 50; 
yLeft := 50; 
//ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚: 
xRight := W - 50; 
yRight := H - 50; 
//ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» ΠΏΠΎ Π₯; a ΠΈ b Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ†Π΅Π»ΠΎ дСлится Π½Π° dx: 
a := -2; b := 6; dx := 0.5; 
//Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» ΠΏΠΎ Y; fmin ΠΈ fmax Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ†Π΅Π»ΠΎ дСлится Π½Π° dy: 
fmin := -10; fmax := 20; dy := 2; 
//УстанавливаСм ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±: 
mx := (xRight - xLeft) / (b - a); //ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π± ΠΏΠΎ Π₯ 
my := (yRight - yLeft) / (fmax - fmin); //ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π± ΠΏΠΎ Y 
//Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚: 
x0 := trunc(abs(a) * mx) + xLeft; 
y0 := yRight - trunc(abs(fmin) * my); 
//РисуСм оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚: 
line(xLeft, y0, xRight + 10, y0); //ось ОΠ₯ 
line(x0, yLeft - 10, x0, yRight); //ось ОY 
SetFontSize(12); //Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚Π° 
SetFontColor(clBlue); //Π¦Π²Π΅Ρ‚ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚Π° 
TextOut(xRight + 20, y0 - 15, 'X'); //ΠŸΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ось OX 
TextOut(x0 - 10, yLeft - 30, 'Y'); //ΠŸΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ось OY 
SetFontSize(8); //Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚Π° 
SetFontColor(clRed); //Π¦Π²Π΅Ρ‚ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚Π° 
{ ЗасСчки ΠΏΠΎ оси OX: } 
n := round((b - a) / dx) + 1; //количСство засСчСк ΠΏΠΎ ОΠ₯ 
for i := 1 to n do 
begin 
num := a + (i - 1) * dx; //ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π½Π° оси ОΠ₯ 
x := xLeft + trunc(mx * (num - a)); //ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° num Π² ΠΎΠΊΠ½Π΅ 
Line(x, y0 - 3, x, y0 + 3); //рисуСм засСчки Π½Π° оси OX 
str(Num:0:1, s); 
if abs(num) > 1E-15 then //Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ 0 Π½Π° оси OX 
TextOut(x - TextWidth(s) div 2, y0 + 10, s) 
end; 
{ ЗасСчки Π½Π° оси OY: } 
n := round((fmax - fmin) / dy) + 1; //количСство засСчСк ΠΏΠΎ ОY 
for i := 1 to n do 
begin 
num := fMin + (i - 1) * dy; //ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π½Π° оси ОY 
y := yRight - trunc(my * (num - fmin)); 
Line(x0 - 3, y, x0 + 3, y); //рисуСм засСчки Π½Π° оси Oy 
str(num:0:0, s); 
if abs(num) > 1E-15 then //Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ 0 Π½Π° оси OY 
TextOut(x0 + 7, y - TextHeight(s) div 2, s) 
end; 
TextOut(x0 - 10, y0 + 10, '0'); //НулСвая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 
{ Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ строим ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ: } 
x1 := a; //ΠΠ°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° 
while x1 <= b do 
begin 
y1 := F(x1); //ВычисляСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 
x := x0 + round(x1 * mx); //ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π₯ Π² графичСском ΠΎΠΊΠ½Π΅ 
y := y0 - round(y1 * my); //ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Y Π² графичСском ΠΎΠΊΠ½Π΅ 
//Если y ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π² Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ [yLeft; yRight], Ρ‚ΠΎ ставим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ: 
if (y >= yLeft) and (y <= yRight) then SetPixel(x, y, clGreen); 
x1 := x1 + 0.
001 //Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ абсциссу end end.

tg x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ

Π’Ρ‹ искали tg x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ? На нашСм сайтС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° любой матСматичСский вопрос здСсь. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с описаниСм ΠΈ пояснСниями ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с самой слоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΈ x sin 2 x ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ домашним Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Π°ΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² Π²ΡƒΠ·. И ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ запрос ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ — Ρƒ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. НапримСр, Β«tg x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΒ».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ распространСно Π² нашСй ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. Они ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… расчСтах, ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ сооруТСний ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ спортС. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ использовал Π΅Ρ‰Π΅ Π² дрСвности ΠΈ с Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ возрастаСт. Однако сСйчас Π½Π°ΡƒΠΊΠ° Π½Π΅ стоит Π½Π° мСстС ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ»Π°ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ tg x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,x sin 2 x ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,y 12 x Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y 2 sin x ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,y tg 2x Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y tg2x Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ,y tgx 2,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ tg 2x,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ tg x 2,Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ tg ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ x,ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y x 3 1.

На этой страницС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой вопрос, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ tg x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π² окошко ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒΒ» здСсь (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, y 12 x Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ).

Π“Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ tg x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Онлайн?

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ tg x 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π° нашСм сайтС https://pocketteacher.ru. БСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ любой слоТности Π·Π° считанныС сСкунды. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ — это просто ввСсти свои Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ввСсти Π²Π°ΡˆΡƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° нашСм сайтС. А Ссли Ρƒ вас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Ρ‡Π°Ρ‚Π΅ снизу слСва Π½Π° страницС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΠ°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρƒ косинус Ρ… 2

Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… свойства» — y = ctg x. 4) ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. 3) НСчётная функция. (Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚). y = tg x. 7) Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π° (?k; ? + ?k). Ѐункция y = tg x Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π°. 4) Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π° (?k; ? + ?k). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tg x называСтся тангСнсоидой.

Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y XΒ» — Π¨Π°Π±Π»ΠΎΠ½ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Ρƒ = Ρ…2. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈ ΠΌΡ‹ΡˆΠΊΠΎΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 + 1, ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=x2 (Ρ‰Π΅Π»Ρ‡ΠΎΠΊ ΠΌΡ‹ΡˆΠΊΠΎΠΉ). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = Ρ…2 + 6Ρ… + 8 являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, ΠΈ построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=(x — m)2 являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (m; 0).

Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈΒ» — Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ? НаиболСС СстСствСнно Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ зависимости ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: рисунки,… Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ? Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π§Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²? РассматриваСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Ρ…: ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅,…

Β«ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΒ» — ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Найти асимптоты Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. ΠΠ°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° учащихся. Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ знания. Π£Ρ€ΠΎΠΊ закрСплСния ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ свои умСния. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌΒ» — ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈ «ниТнюю» Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Алгоритм построСния. Ѐункция y= lΡ…l. Бвойства. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°. Нули Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ…. РСшСниС ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

Β«Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉΒ» — Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ. Если,Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. Условия ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ пСрпСндикулярности Π΄Π²ΡƒΡ… прямых. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ прямыС Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ уравнСниями ΠΈ.

ВсСго Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ 25 ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΉ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ рассмотрим вопрос ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ο‰x , Π³Π΄Π΅ Ο‰ — Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin Ο‰x сравним эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρƒ = sin x . ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = x 0 функция Ρƒ = sin Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Ρƒ 0 . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Ρƒ 0 = sin x 0 .

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ это ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция Ρƒ = sin Ο‰x ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = x 0 / Ο‰ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ 0 , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ функция Ρƒ = sin Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = x 0 . А это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Ρƒ = sin Ο‰x повторяСт свои значСния Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· Ρ‡Π°Ρ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ функция Ρƒ = sin x . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin Ο‰x получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «ΡΠΆΠ°Ρ‚ия» Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· вдоль оси Ρ….

НапримСр, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin 2Ρ… получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «сТатия» синусоиды Ρƒ = sin x Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси абсцисс.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x / 2 получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «растяТСния» синусоиды Ρƒ = sin Ρ… Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° (ΠΈΠ»ΠΈ «сТатия» Π² 1 / 2 Ρ€Π°Π·Π°) вдоль оси Ρ….

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ функция Ρƒ = sin Ο‰x повторяСт свои значСния Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· Ρ‡Π°Ρ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ функция
Ρƒ = sin x , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π΅Π΅ Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· мСньшС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x . НапримСр, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin 2Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ / 2 = Ο€ , Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x / 2 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€ / x / 2 = 4Ο€ .

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎ провСсти исслСдованиС повСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin Π°x Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Maple :

Аналогично строятся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². На рисункС прСдставлСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = cos 2Ρ… , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «сТатия» косинусоиды Ρƒ = cos Ρ… Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° вдоль оси абсцисс.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = cos x / 2 получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «растяТСния» косинусоиды Ρƒ = cos Ρ… Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси Ρ….

На рисункС Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = tg 2x , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ «сТатиСм» тангСнсоиды Ρƒ = tg x Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси абсцисс.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = tg x / 2 , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ «растяТСниСм» тангСнсоиды Ρƒ = tg x Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси Ρ….

И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, анимация, выполнСнная ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ Maple:

УпраТнСния

1. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния этих Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π°). y = sin 4x / 3 Π³). y = tg 5x / 6 ΠΆ). y = cos 2x / 3

Π±). Ρƒ= cos 5x / 3 Π΄). Ρƒ = ctg 5x / 3 Π·). Ρƒ= ctg x / 3

Π²). y = tg 4x / 3 Π΅). Ρƒ = sin 2x / 3

2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρƒ = sin (Ο€Ρ…) ΠΈ Ρƒ = tg ( Ο€Ρ… / 2 ).

3. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС значСния ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ +1 (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ эти Π΄Π²Π° числа) ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 10.

4 *. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС значСния ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1 (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ эти Π΄Π²Π° числа) ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ο€ / 2 .

5. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 1.

6 *. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΡŒ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 5.

Π£Ρ€ΠΎΠΊ ΠΈ прСзСнтация Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ: «Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ y=cos(x). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ»

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
Π£Π²Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ, Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ свои ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π²Ρ‹, поТСлания. ВсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ антивирусной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ.

ΠžΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пособия ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚-ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ «Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»» для 10 класса
АлгСбраичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ, 9–11 классы
ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½Π°Ρ срСда «1Π‘: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ конструктор 6.1»

Π§Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ:
1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
3. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X).
4. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Ρƒ=cos(x)

РСбята, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ познакомились с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Y=sin(X).

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вспомним ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привидСния : sin(X + Ο€/2) = cos(X).

Благодаря этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X + Ο€/2) ΠΈ cos(X) тоТдСствСнны, ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X + Ο€/2) получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ пСрСносом Π½Π° Ο€/2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ синусоидой.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cos(x)

    Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ свойства нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния – мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  • Ѐункция чСтная. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вспомним ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Ѐункция называСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли выполняСтся равСнство y(-x)=y(x). Как ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привидСния: cos(-x)=-cos(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° косинус – чСтная функция.
  • Ѐункция Y=cos(X) ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΈ возрастаСт Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [Ο€; 2Ο€]. Π’ этом ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  • Ѐункция Y=cos(X) ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° снизу ΠΈ свСрху. Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ свойство слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
    -1 ≀ cos(X) ≀ 1
  • НаимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ -1 (ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = Ο€ + 2Ο€k). НаибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 (ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 2Ο€k).
  • Ѐункция Y=cos(X) являСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ убСдимся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠ², это ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [- 1; 1]. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.
  • Ѐункция Y=cos(X) — пСриодичСская функция. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ значСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ cos(x)

1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(X)=(x — 2Ο€) 2 + 1

РСшСниС: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y=cos(x) ΠΈ y=(x — 2Ο€) 2 + 1 (см. рисунок).


y=(x — 2Ο€) 2 + 1 — это ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, смСщСнная Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° 2Ο€ ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° 1. Наши Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ А(2Ο€;1), это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x = 2Ο€.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ≀ 0 ΠΈ Y=sin(X) ΠΏΡ€ΠΈ x β‰₯ 0

РСшСниС: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ построим Π΄Π²Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ «ΠΊΡƒΡΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ». ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ кусочСк: y=cos(x) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ≀ 0. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ кусочСк: y=sin(x)
ΠΏΡ€ΠΈ x β‰₯ 0. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π° «ΠΊΡƒΡΠΎΡ‡ΠΊΠ°» Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.


3. Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [Ο€; 7Ο€/4]

РСшСниС: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ рассмотрим наш ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [Ο€; 7Ο€/4]. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наибольшиС ΠΈ наимСньшиС значСния Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°: Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ο€ ΠΈ 7Ο€/4 соотвСтствСнно.
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: cos(Ο€) = -1 – наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, cos(7Ο€/4) = наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.


4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(Ο€/3 — x) + 1

РСшСниС: cos(-x)= cos(x), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° искомый Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ получится ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ пСрСноса Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° Ο€/3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ….

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

1)Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: cos(x)= x – Ο€/2.
2) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: cos(x)= — (x – Ο€) 2 — 1.
3) ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(Ο€/4 + x) — 2.
4) ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(-2Ο€/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .
6) Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [- Ο€/6; 5Ο€/4].

Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ измСнСния y = sin (x) ΠΈ y = cos (x)

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ значСния Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ x ΠΈ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ выглядят Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости? НачнСм с ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ пСрСчислСны Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ значСния ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

x 0 [латСкс] \ frac {Ο€} {6} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {Ο€} {6} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {Ο€} {3} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {Ο€} {2} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {2Ο€} {3} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {3Ο€} {4} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {5Ο€} {6} \\ [/ латСкс] Ο€
sin (x) 0

[латСкс] \ frac {1} {2} \\ [/ латСкс]

[латСкс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латСкс]

[латСкс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латСкс]

1 [латСкс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {1} {2} \\ [/ латСкс] 0

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎ оси x Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘ΠΌ. Рисунок 2.

Рисунок 2. Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния синуса ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0 ΠΈ Ο€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт значСниям Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… I ΠΈ II Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Π° значСния синуса ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ο€ ΠΈ 2Ο€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ значСниям функция синуса Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… III ΠΈ IV Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Π‘ΠΌ. Рисунок 3.

Рисунок 3. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ посмотрим Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косинуса .ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ пСрСчислСны Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

Ρ… 0 [латСкс] \ frac {Ο€} {6} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {Ο€} {4} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {Ο€} {3} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {Ο€} {2} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {2Ο€} {3} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {3Ο€} {4} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {5Ο€} {6} \\ [/ латСкс] Ο€
cos (x) 1 [латСкс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латСкс] [латСкс] \ frac {1} {2} \\ [/ латСкс]

0

[латСкс] — \ frac {1} {2} \\ [/ latex]

[латСкс] — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латСкс] [латСкс] — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латСкс] -1

Как ΠΈ Π² случаС с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ синуса, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 4.

Рисунок 4. Ѐункция косинуса

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ синус ΠΈ косинус любого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа, ΠΎΠ±Π΅ эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ для всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Если Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ значСния синуса ΠΈ косинуса ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, становится ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ [-1,1].

На ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° повторяСтся послС 2Ο€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο€. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция — это функция, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг , P ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: f ( x + P ) = f ( x ) для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x Π² области f .Когда это происходит, ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ наимСньший Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг с P > 0 ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. На рисункС 5 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ нСсколько ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса.

Рисунок 5

Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· взглянув Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса Π² области с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π½Π° оси y , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ симмСтрии. Как ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° рисункС 6, ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ВспомнитС ΠΈΠ· Β«Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉΒ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ [latex] sin (βˆ’x) = — sinx [/ latex].Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ясно Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ это свойство Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

Рисунок 6. НСчСтная симмСтрия ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

На рисункС 7 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция косинуса симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y . ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция косинуса являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ [латСкс] \ cos (βˆ’x) = \ cos x \\ [/ latex].

Рисунок 7. ЧСтная симмСтрия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Π₯арактСристики Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ нСсколько ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… характСристик:

  • Π­Ρ‚ΠΎ пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο€.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — (βˆ’βˆž, ∞), Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ — [βˆ’1,1].
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin x симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это нСчСтная функция.
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = cos x симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это чСтная функция.

ИсслСдованиС ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Как ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ постоянный ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½. Если ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ окСанскиС Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€ΡΠ±ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса.Однако ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹. НСкоторыС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ…. Ѐункция, которая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ функция синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса , извСстна ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция . ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

y = A sin ( Bx C ) + D

ΠΈ

y = A cos ( Bx C ) + D

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Глядя Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ прСобразованиями Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ прСобразованиях, для опрСдСлСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ B связано с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ [latex] \ text {P =} \ frac {2Ο€} {| B |} [/ latex]. Если | B | > 1, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ мСньшС 2Ο€ ΠΈ функция испытываСт сТатиС ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, Π° Ссли | B | <1, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ большС 2Ο€ ΠΈ функция растягиваСтся ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ. НапримСр, f ( x ) = sin ( x ), B = 1, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π»ΠΈ.Если f ( x ) = sin (2 x ), Ρ‚ΠΎ B = 2, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сТат. Если [латСкс] \ text {f (x) = sin} (\ frac {x} {2}) [/ latex], Ρ‚ΠΎ [latex] B = \ frac {1} {2} [/ latex], поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4Ο€, ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ растянут. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° рис. 8, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ косвСнно связан с | B |.

Рисунок 8

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Если ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ C = 0 ΠΈ D = 0 Π² уравнСниях синуса ΠΈ косинуса Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ [латСкс] \ frac {2Ο€} {| B |} [/ латСкс].

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [latex] f (x) = \ sin (\ frac {Ο€} {6} x) \\ [/ latex].

РСшСниС

НачнСм с сравнСния уравнСния с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ [latex] y = Asin (Bx) [/ latex].

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ [latex] B = \ frac {Ο€} {6} [/ latex], поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚

[латСкс] \ begin {array} P = \ frac {\ frac {2} {\ pi}} {| B |} \ hfill \\ = \ frac {2 \ pi} {\ frac {x} {6} } \ hfill \\ = 2 \ pi \ times \ frac {6} {\ pi} \ hfill \\ = 12 \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 1

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [latex] g (x) = \ cos (\ frac {x} {3}) \\ [/ latex].

РСшСниС

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ пСрСмСнная B связана с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ обратимся ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ A , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π° связана с Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ , ΠΈΠ»ΠΈ наибольшим расстояниСм ΠΎΡ‚ покоя. A прСдставляСт коэффициСнт Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ растяТСния ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ | A | это Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°. Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ максимумы Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ расстояниСм | A | Π½Π°Π΄ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, которая прСдставляСт собой линию x = D ; ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ D = 0 Π² этом случаС, срСдняя линия являСтся осью x .Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ расстоянии Π½ΠΈΠΆΠ΅ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. Если | A | > 1 функция растягиваСтся. НапримСр, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° f ( x ) = 4 sin x Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹

f ( x ) = 2 sin x .

Если | A | <1, функция сТимаСтся. На рисункС 9 сравниваСтся нСсколько синусоид с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°ΠΌΠΈ.

Рисунок 9

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Если ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ C = 0 ΠΈ D = 0 Π² уравнСниях синуса ΠΈ косинуса Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹

[латСкс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex] ΠΈ [латСкс] y = A \ cos (Bx) \\ [/ latex]

Амплитуда Ρ€Π°Π²Π½Π° A, Π° высота ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΎΡ‚ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° | A |. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅

[латСкс] | A | = \ text {Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°} = \ frac {1} {2} | \ text {maximum} — \ text {minimum} | \\ [/ latex]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса

Какова Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [латСкс] f (x) = — 4 \ sin (x) \\ [/ latex]? Ѐункция растягиваСтся ΠΈΠ»ΠΈ сТимаСтся ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ?

РСшСниС

НачнСм с сравнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ y = A sin ( Bx ).

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ A = βˆ’4, поэтому Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° | A | = | βˆ’4 | = 4. Ѐункция растягиваСтся.

Анализ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ A ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ оси x ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 10.

Рисунок 10

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 2

Какова Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ( x ) = 12 sin ( x )? Ѐункция растягиваСтся ΠΈΠ»ΠΈ сТимаСтся ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ?

РСшСниС

Анализ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ

y = sin x ΠΈ y = cos x

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ A ΠΈ B связаны с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса, ΠΌΡ‹ исслСдуСм ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ C ΠΈ D . Напомним ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

[латСкс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] ΠΈ [латСкс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex]

ΠΈΠ»ΠΈ

[латСкс] y = A \ sin (B (xβˆ’ \ frac {C} {B})) + D \\ [/ latex] ΠΈ [латСкс] y = A \ cos (B (xβˆ’ \ frac {C } {B})) + D \\ [/ latex]

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ сдвигом , ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ смСщСниСм основного синуса ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ косинуса . Если C> 0, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сдвигаСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. Если C <0, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сдвигаСтся Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.Π§Π΅ΠΌ большС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ | C |, Ρ‚Π΅ΠΌ большС смСщСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. На рисункС 11 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] f (x) = \ sin (x βˆ’ Ο€) \\ [/ latex] сдвигаСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° Ο€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ [latex] f. (x) = \ sin (xβˆ’ \ frac {Ο€} {4}) \\ [/ latex], ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сдвигаСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ [latex] \ frac {Ο€} {4} \\ [/ latex].

Рисунок 11

Π’ Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ C относится ΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ, D ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС ΠΎΡ‚ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Ѐункция [latex] y = \ cos (x) + D \\ [/ latex] ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию Π² [latex] y = D [/ latex].

Рисунок 12

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ D , ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля, сдвигаСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·. На рисункС 13 [latex] f (x) = \ sin x \\ [/ latex] сравниваСтся с [latex] f (x) = \ sin x + 2 \\ [/ latex], ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сдвинут Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. .

Рисунок 13

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса

Π”Π°Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ [латСкс] f (x) = A \ sin (Bx βˆ’ C) + D \\ [/ latex] ΠΈΠ»ΠΈ [латСкс] f (x) = A \ cos (Bx βˆ’ C) + D \\ [/ latex], [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] — это сдвиг Ρ„Π°Π·Ρ‹ , Π° D — сдвиг ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сдвига Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сдвига для [латСкса] f (x) = \ sin (x + \ frac {Ο€} {6}) — 2 \\ [/ latex].

РСшСниС

НачнСм с сравнСния уравнСния с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ [латСкс] y = A \ sin (Bx βˆ’ C) + D \\ [/ latex].

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ B = 1 ΠΈ [латСкс] C = — \ frac {Ο€} {6} \\ [/ latex]. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг

[латСкс] \ begin {array} \ frac {C} {B} = — \ frac {\ frac {x} {6}} {1} \ hfill \\ = — \ frac {\ pi} {6} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

ΠΈΠ»ΠΈ [latex] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex] Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† слСва.

Анализ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

НСобходимо ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°ΠΊ минус ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ C . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, [latex] f (x) = \ sin (x + \ frac {Ο€} {6}) — 2 \\ [/ latex] ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ [latex] f (x) = \ sin (x — (- \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² {Ο€} {6})) — 2 \\ [/ latex]. Если Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ C ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, сдвиг Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 3

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сдвига для [latex] f (x) = 3 \ cos (xβˆ’ \ frac {\ pi} {2}) \\ [/ latex].

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сдвига Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сдвига для [латСкса] f (x) = \ cos (x) βˆ’3 \\ [/ latex].

РСшСниС

НачнСм с сравнСния уравнСния с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ [латСкс] y = A \ cos (Bx βˆ’ C) + D \\ [/ latex]

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ 4

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сдвига для [латСкса] f (x) = 3 \ sin (x) +2 \\ [/ latex].

РСшСниС

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ руководство. Учитывая ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ [латСкс] f (x) = A \ sin (Bx βˆ’ C) + D [/ latex], ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг.

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΠΊ | A |.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΠΊ [латСкс] P = \ frac {2Ο€} {| B |} \\ [/ latex].
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΊΠ°ΠΊ [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΊΠ°ΠΊ y = D.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· уравнСния

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [латСкс] y = 3 \ sin (2x) +1 \\ [/ latex].

РСшСниС

НачнСм с сравнСния уравнСния с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ [латСкс] y = A \ sin (Bx βˆ’ C) + D \\ [/ latex]. A = 3, поэтому Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° | A | = 3.

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ B = 2, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [latex] \ text {P} = \ frac {2Ο€} {| B |} = \ frac {2Ο€} {2} = Ο€ \\ [/ latex].

Π’ скобках Π½Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ константы, поэтому C = 0, Π° Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {0} {2} = 0 \\ [/ latex].

НаконСц, D = 1, поэтому срСдняя линия составляСт y = 1.

Анализ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°Ρ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€, срСдняя линия Ρ€Π°Π²Π½Π° y = 1, Π° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 3.Π‘ΠΌ. Рисунок 14.

Рисунок 14

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 5

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [латСкс] y = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {x} {3} — \ frac {Ο€} {3}) \ \[/латСкс].

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Π½Π° рисункС 15.

Рисунок 15

РСшСниС

[латСкс] f (x) = \ sin (x) +2 \\ [/ latex]

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 6

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° рисункС 16.

Рисунок 16

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° рисункС 17.

Рисунок 17

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈ максимальном Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ 1 ΠΈ минимальном Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ –5 срСдняя линия Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ посСрСдинС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ –2. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, D = βˆ’2.

РасстояниС ΠΎΡ‚ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π΄ΠΎ самого высокого ΠΈΠ»ΠΈ самого Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ³ΠΎ значСния Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ | А | = 3.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 6, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ x = 1 Π΄ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ x = 7 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ самыми Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, [латСкс] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} = 6 [/ latex]. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для B , Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

[латСкс] B = \ frac {2Ο€} {P} = \ frac {2Ο€} {6} = \ frac {Ο€} {3} \\ [/ latex]

Пока Ρ‡Ρ‚ΠΎ нашС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ: [latex] y = 3 \ sin (\ frac {\ pi} {3} x βˆ’ C) βˆ’2 \\ [/ latex] ΠΈΠ»ΠΈ [latex] y = 3 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x βˆ’ C) βˆ’2 \\ [/ латСкс]. Для Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΈ сдвига Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСсколько Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ². ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ это ΠΊΠ°ΠΊ любоС ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ…:

  • косинус, смСщСнный Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ
  • ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ косинус, сдвинутый Π²Π»Π΅Π²ΠΎ
  • синус, сдвинутый Π²Π»Π΅Π²ΠΎ
  • ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ синус смСщСн Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ

Π₯отя любой ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π±Ρ‹Π» Π±Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π² этом случаС с ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сдвигами Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ с ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сдвигами, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ цСлочислСнныС значСния. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, наша функция становится

[латСкс] y = 3 \ cos (\ frac {Ο€} {3} xβˆ’ \ frac {Ο€} {3}) — 2 \\ [/ latex] ΠΈΠ»ΠΈ [латСкс] y = βˆ’3 \ cos (\ frac {Ο€} {3} x + \ frac {2Ο€} {3}) — 2 \\ [/ латСкс]

ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ эквивалСнтны, поэтому ΠΎΠ±Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 7

ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° рисункС 18.

Рисунок 18

РСшСниС

ГрафичСскиС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

y = sin x ΠΈ y = cos x

Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса ΠΈ использовали эту ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ для написания ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ для создания Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈΠ· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ВмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΠΎΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° уравнСниях ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°

[латСкс] y = A \ sin (Bx-C) + D \\ [/ latex] ΠΈ [латСкс] y = A \ cos (Bx-C) + D \\ [/ latex],

ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ C = 0 ΠΈ D = 0 ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ….

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ руководство. Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [latex] y = Asin (Bx) \\ [/ latex] нарисуйтС Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, | A |.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, [латСкс] P = \ frac {2Ο€} {| B |} \\ [/ latex].
  3. ΠΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, функция увСличиваСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Ссли A ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ссли A ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.
  4. Π’ [latex] x = \ frac {Ο€} {2 | B |} \\ [/ latex] сущСствуСт Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум для A > 0 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ для A <0, с y = А .
  5. ΠšΡ€ΠΈΠ²Π°Ρ возвращаСтся ΠΊ оси x Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ [latex] x = \ frac {Ο€} {| B |} \\ [/ latex].
  6. БущСствуСт Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ для A > 0 (максимум для A <0) ΠΏΡ€ΠΈ [latex] x = \ frac {3Ο€} {2 | B |} \\ [/ latex] ΠΏΡ€ΠΈ y = — А .
  7. ΠšΡ€ΠΈΠ²Π°Ρ снова возвращаСтся ΠΊ оси x Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ [latex] x = \ frac {Ο€} {2 | B |} \\ [/ latex].

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкса] f (x) = — 2 \ sin (\ frac {Ο€x} {2}) \\ [/ latex].

РСшСниС

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с сравнСния уравнСния с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ [латСкс] y = A \ sin (Bx) \\ [/ latex].

Π¨Π°Π³ 1. Из уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ A = βˆ’2, поэтому Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 2.

| A | = 2

Π¨Π°Π³ 2. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ [латСкс] B = \ frac {Ο€} {2} \\ [/ latex], поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½

[латСкс] \ begin {array} \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \\ = 2 \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} \\ = 4 \ end {array} \\ [/ latex]

Π¨Π°Π³ 3. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ A ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ опускаСтся Π²Π½ΠΈΠ· ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ пСрСмСщаСмся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Π¨Π°Π³ 4–7. x -пСрСхватывания находятся Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, x = 0, Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ срСдниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ находятся Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ x = 2 ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΏΡ€ΠΈ x = 4.

ΠšΠ²Π°Ρ€Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ x = 1 ΠΈ максимум x = 3. Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x = 1, Π° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ…. Π½Π°Π΄ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ x = 3. На рисункС 19 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Рисунок 19

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 8

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] g (x) = — 0,8 \ cos (2x) \\ [/ latex]. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг.

РСшСниС

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ руководство. Для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ со сдвигом Ρ„Π°Π·Ρ‹ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ сдвигом нарисуйтС Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ [латСкс] y = A \ sin (Bx βˆ’ C) + D [/ latex] ΠΈΠ»ΠΈ [latex] y = A \ cos (Bx βˆ’ C) + D \\ [/ latex] .
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, | A |.
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, [латСкс] P = 2Ο€ | B | [/ латСкс].
  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг, [latex] \ frac {C} {B} \\ [/ latex].
  5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] f (x) = A \ sin (Bx) \\ [/ latex], сдвинутый Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ Π½Π° [латСкс] \ frac {C} {B} \\ [/ latex] ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· Π½Π° D .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ синусоиды

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ [латСкс] f (x) = 3 \ sin (\ frac {Ο€} {4} xβˆ’ \ frac {Ο€} {4}) \\ [/ latex].

РСшСниС

Π¨Π°Π³ 1. Ѐункция ΡƒΠΆΠ΅ записана Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅: [latex] f (x) = 3 \ sin (\ frac {Ο€} {4} xβˆ’ \ frac {Ο€} {4}) \\ [/ латСкс]. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ ΠΎΡ‚ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.

Π¨Π°Π³ 2. | А | = | 3 | = 3. Амплитуда 3.

Π¨Π°Π³ 3. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ [latex] | B | = | \ frac {Ο€} {4} | = \ frac {Ο€} {4} \\ [/ latex], ΠΌΡ‹ опрСдСляСм ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

[латСкс] \ text {P} = \ frac {2Ο€} {| B |} = \ frac {2Ο€} {\ frac {Ο€} {4}} = 2Ο€ \ times \ frac {4} {Ο€} = 8 \\ [/ латСкс]

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ 8.

Π¨Π°Π³ 4. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ [latex] \ text {C} = \ frac {Ο€} {4} \\ [/ latex], Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг Ρ€Π°Π²Π΅Π½

[латСкс] \ frac {C} {B} = \ frac {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {\ pi} {4}} = 1 \\ [/ latex].

Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг — 1 Π΅Π΄.

Π¨Π°Π³ 5. На рисункС 20 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Рис. 20. БТатая ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, растянутая ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΈ смСщСнная ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ синусоида

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 9

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] g (x) = — 2 \ cos (\ frac {\ pi} {3} x + \ frac {\ pi} {6}) \\ [/ latex]. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг.

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ свойств ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π”Π°Π½ΠΎ [латСкс] y = βˆ’2 \ cos (\ frac {\ pi} {2} x + \ pi) +3 \\ [/ latex], ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

РСшСниС

НачнитС со сравнСния уравнСния с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ шаги, описанныС Π² ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 9.

[латСкс] y = A \ cos (Bx βˆ’ C) + D \\ [/ латСкс]

Π¨Π°Π³ 1. Ѐункция ΡƒΠΆΠ΅ написана Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.

Π¨Π°Π³ 2. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ A = βˆ’2, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° | A | = 2.

Π¨Π°Π³ 3. [latex] | B | = \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [latex] \ text {P} = \ frac {2Ο€} {| B |} = \ frac {2 \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} \ times2 \ pi = 4 \\ [/ latex].ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ 4.

Π³.

Π¨Π°Π³ 4. [latex] C = — \ pi \\ [/ latex], поэтому ΠΌΡ‹ вычисляСм Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΊΠ°ΠΊ [latex] \ frac {C} {B} = \ frac {- \ pi} {\ frac {\ pi} {2}} = — \ pi \ times \ frac {2} {\ pi} = — 2 \\ [/ latex]. Π€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг -2.

Π¨Π°Π³ 5. D = 3, поэтому срСдняя линия составляСт y = 3, Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг увСличиваСтся 3.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ A ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса отраТаСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси x .

На рисункС 21 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ†ΠΈΠΊΠ» Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Рисунок 21

ИспользованиС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ прСобразования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… прилоТСниях. Как ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ Π³Π»Π°Π²Ρ‹, ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ смодСлировано с использованиСм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11: НахоТдСниС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° вращаСтся ΠΏΠΎ окруТности радиуса 3 с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°.

РСшСниС

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности радиуса r ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° [latex] y = r \ sin (x) [/ latex], поэтому Π² этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ [latex] Ρƒ (Ρ…) = 3 \ Π³Ρ€Π΅Ρ… (Ρ…) [/ латСкс]. ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° 3 Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ растяТСниС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ y Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² 3 Ρ€Π°Π·Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° рисункС 22.

Рисунок 22

Анализ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€; ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, ΠΌΡ‹ возвращаСмся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (3,0) для x = 2Ο€, 4Ο€, 6Ο€,….ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ –3 ΠΈ 3, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 3.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 10

Какова Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [латСкс] f (x) = 7 \ cos (x) [/ latex]? НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 12: НахоТдСниС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния

ΠšΡ€ΡƒΠ³ радиусом 3 Ρ„ΡƒΡ‚Π° устанавливаСтся с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² 4 Ρ„ΡƒΡ‚Π°Ρ… ΠΎΡ‚ Π·Π΅ΠΌΠ»ΠΈ. Π‘Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡˆΠ°Ρ ΠΊ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° P , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 23.НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ высоты Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ P ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ окруТности; Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, которая Π΄Π°Π΅Ρ‚ высоту Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°.

Рисунок 23

РСшСниС

Набрасывая высоту, ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° начинаСтся Π½Π° высотС 1 Ρ„ΡƒΡ‚Π° Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ увСличиваСтся Π΄ΠΎ 7 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° 3 Ρ„ΡƒΡ‚Π° Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π² 4 Ρ„ΡƒΡ‚Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° РисункС 24.

Рисунок 24

Π₯отя ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с поиска характСристик, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ использованиС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косинуса, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° начинаСтся с самого высокого ΠΈΠ»ΠΈ самого Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ³ΠΎ значСния, Π° функция синуса начинаСтся со срСднСго значСния. Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ косинус начинаСтся с самого высокого значСния, Π° этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ начинаСтся с самого Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ³ΠΎ значСния, поэтому Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ колСблСтся Π½Π° 3 Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ основной косинус ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ 1, поэтому этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±Ρ‹Π» растянут ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ Π½Π° 3, ΠΊΠ°ΠΊ Π² послСднСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

НаконСц, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Π½Π° высоту 4, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±Ρ‹Π» сдвинут ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ Π½Π° 4.ОбъСдиняя эти прСобразования, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

[латСкс] y = βˆ’3 \ cos (x) +4 [/ латСкс]

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 11

Π“Ρ€ΡƒΠ· прикрСпляСтся ΠΊ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅, которая Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΊ доскС, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 25. Когда ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π° колСблСтся Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ доски измСняСтся ΠΎΡ‚ –1 дюйма (ΠΏΡ€ΠΈ врСмя x = 0) Π΄ΠΎ –7 дюймов. (Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ x = Ο€) ΠΏΠΎΠ΄ доской. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция x .НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косинуса, которая Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… x .

Рисунок 25

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 13: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ роста всадника Π½Π° колСсС обозрСния

Лондонский Π³Π»Π°Π· — это ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ΅ колСсо обозрСния Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ 135 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² (443 Ρ„ΡƒΡ‚Π°). Он ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 30 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚. Всадники садятся Π½Π° ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π½Π° высотС 2 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ высоту всадника Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π² ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Π°Ρ….

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π΅ 135 ΠΌ колСсо ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиус 67,5 ΠΌ. Высота Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ 67,5 ΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°.

ΠŸΠ°ΡΡΠ°ΠΆΠΈΡ€ΡΠΊΠΈΠΉ Π±ΠΎΡ€Ρ‚ Π½Π° высотС 2 ΠΌ Π½Π°Π΄ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ΠΌ Π·Π΅ΠΌΠ»ΠΈ, поэтому Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ колСса Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° высотС 67,5 + 2 = 69,5 ΠΌ Π½Π°Π΄ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ΠΌ Π·Π΅ΠΌΠ»ΠΈ. БрСдняя линия колСбания составит 69,5 ΠΌ.

КолСсо ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 1 ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π·Π° 30 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚, поэтому высота Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 30 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚.

НаконСц, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ райдСрскиС Π±ΠΎΡ€Ρ‚Π° находятся Π² самой Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, высота Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с наимСньшСго значСния ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, слСдуя Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

  • Амплитуда: 67,5, поэтому A = 67,5
  • БрСдняя линия: 69,5, поэтому D = 69,5
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: 30, поэтому [латСкс] B = \ frac {2 \ pi} {30} = \ frac {\ pi} {15} [/ latex]
  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°: βˆ’cos ( t )

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для роста всадника Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚

[латСкс] y = -67,5 \ cos (\ frac {\ pi} {15} t) +69,5 [/ латСкс]

, Π³Π΄Π΅ Ρ‚, — Π² ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Π°Ρ…, Π° y — Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ….

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ уравнСния

Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ [латСкс] f (x) = A \ sin (Bx-C) + D [/ латСкс]
[латСкс] f (x) = A \ cos (Bx-C) + D [/ латСкс]
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ послС Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния. НаимСньшСС ΠΈΠ· Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ — ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ 2Ο€.
  • Ѐункция sin x нСчСтная, поэтому Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Ѐункция cos x чСтная, поэтому Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y .
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ косинусная функция.
  • Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [latex] \ text {P} = \ frac {2 \ pi} {| B |} [/ latex].
  • Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ | A | прСдставляСт Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ. Если | A | > 1 функция растягиваСтся, Π° Ссли | A | <1, функция сТимаСтся.
  • Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ [latex] \ frac {C} {B} [/ latex] Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг.
  • Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ D Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС ΠΎΡ‚ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.
  • ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠ΅Π½Ρ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ уравнСния.
  • Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.
  • Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π² Π΅Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄.
  • Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π² Π΅Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг.
  • Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ.

Глоссарий

Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°
Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ высота Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ; константа A , Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
срСдняя линия
Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия y = D , Π³Π΄Π΅ D появляСтся Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
пСриодичСская функция
функция f ( x ), которая удовлСтворяСт [latex] f (x + P) = f (x) [/ latex] для ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ константы P ΠΈ любого значСния x
сдвиг Ρ„Π°Π·Ρ‹
Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС основной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса; константа [латСкс] \ frac {C} {B} [/ latex]
ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция
любая функция, которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ [латСкс] f (x) = A \ sin (Bx βˆ’ C) + D [/ latex] ΠΈΠ»ΠΈ [latex] f (x) = A \ cos (Bx βˆ’ C) + D [/ латСкс]

УпраТнСния ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°ΠΌ

1. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими функциями?

2. Как Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкса] y = \ sin x [/ latex] соотносится с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ [латСкса] y = \ cos x [/ latex]? ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ пСрСвСсти Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [latex] y = \ sin x [/ latex], Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ [latex] y = \ cos x [/ latex].

3. КакиС константы Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ для уравнСния [латСкс] A \ cos (Bx + C) + D [/ latex]?

4. Как Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ соотносится с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ [латСкс] y = A \ sin (Bx + C) + D [/ latex]?

5.Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° [латСкса] f (t) = \ sin t [/ latex]?

6. [латСкс] f (x) = 2 \ sin x [/ латСкс]

7. [латСкс] f (x) = \ frac {2} {3} \ cos x [/ латСкс]

8. [латСкс] f (x) = — 3 \ sin x [/ латСкс]

9. [латСкс] f (x) = 4 \ sin x [/ латСкс]

10. [латСкс] f (x) = 2 \ cos x [/ латСкс]

11. [латСкс] f (x) = \ cos (2x) [/ латСкс]

12. [латСкс] f (x) = 2 \ sin (\ frac {1} {2} x) [/ latex]

13. [латСкс] f (x) = 4 \ cos (\ pi x) [/ латСкс]

14. [латСкс] f (x) = 3 \ cos (\ frac {6} {5} x) [/ latex]

15.[латСкс] y = 3 \ sin (8 (x + 4)) + 5 [/ латСкс]

16. [латСкс] y = 2 \ sin (3x βˆ’ 21) +4 [/ латСкс]

17. [латСкс] y = 5 \ sin (5x + 20) -2 [/ латСкс]

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ нарисуйтС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, начиная с [latex] x = 0 [/ latex]. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ максимальноС ΠΈ минимальноС значСния y ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌ значСния x Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π΅ для [latex] x> 0 [/ latex]. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг, Ссли ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ.ΠŸΡ€ΠΈ нСобходимости ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ².

18. [латСкс] f (t) = 2 \ sin (tβˆ’ \ frac {5 \ pi} {6}) [/ latex]

19. [латСкс] f (t) = — \ cos (t + \ frac {\ pi} {3}) + 1 [/ latex]

20. [латСкс] f (t) = 4 \ cos (2 (t + \ frac {\ pi} {4})) — 3 [/ латСкс]

21. [латСкс] f (t) = — \ sin (12t + \ frac {5 \ pi} {3}) [/ latex]

22. [латСкс] f (x) = 4 \ sin (\ frac {\ pi} {2} (x βˆ’ 3)) + 7 [/ latex]

23. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° рисункС 26.

Рисунок 26

24. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с косинусом для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° рисункС 27.

Рисунок 27

25. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с косинусом для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° рисункС 28.

Рисунок 28

26. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ синус, для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° рисункС 29.

Рисунок 29

27.ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с косинусом для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° рисункС 30.

Рисунок 30

28. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с синусом для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° рисункС 31.

Рисунок 31

29. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ косинус, для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° рисункС 32.

Рисунок 32

30. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ синус, для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° рисункС 33.

Рисунок 33

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ [latex] f (x) = \ sin x [/ latex].

31. На [0,2Ο€) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ [латСкс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

32. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ [латСкс] f (\ frac {\ pi} {2}) [/ latex].

33. На [0,2Ο€), [латСксС] f (x) = \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. НайдитС всС значСния x .

34. На [0,2Ο€) максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (я) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ встрСчаСтся (Π°), ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ (Π°Ρ…) x ?

35. На [0,2Ο€) встрСчаСтся минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (я) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ (Π°Ρ…) x ?

36.ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ [latex] f (βˆ’x) = — f (x) [/ latex]. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ [latex] f (x) = \ sin x [/ latex] являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ симмСтриСй ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ________________ .

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

37. На [0,2Ο€) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ [латСкс] f (x) = \ cos x = 0 [/ latex].

38. На [0,2Ο€) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ [латСкс] f (x) = \ frac {1} {2} [/ latex].

39. На [0,2Ο€) Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ x -ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹ [latex] f (x) = \ cos x [/ latex].

40. На [0,2Ο€) Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ значСния x , ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимальноС ΠΈΠ»ΠΈ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

41. На [0,2Ο€) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ [latex] f (x) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ latex].

42. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] h (x) = x + \ sin x \ text {on} [0,2 \ pi] [/ latex]. ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ выглядит ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ.

43. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ [латСкс] h (x) = x + \ sin x [/ latex] Π½Π° [βˆ’100,100]. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ выглядСл Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π»ΠΎ прСдсказано Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ?

44. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ [латСкс] f (x) = x \ sin x [/ latex] Π½Π° [0,2Ο€] ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π±Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ отличаСтся ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° [латСкса] f (x) = \ sin x [/ latex ].

45. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ [латСкс] f (x) = x \ sin x [/ latex] Π² ΠΎΠΊΠ½Π΅ [-10,10] ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

46. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ [латСкс] f (x) = \ frac {\ sin x} {x} [/ latex] Π² ΠΎΠΊΠ½Π΅ [βˆ’5Ο€, 5Ο€] ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

47. КолСсо обозрСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ 25 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ поднимаСтся Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ с ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, находящСйся Π½Π° высотС 1 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ. Π¨Π΅ΡΡ‚ΡŒ часов Π½Π° колСсС обозрСния находится Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹. КолСсо ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 1 ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π·Π° 10 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚. Ѐункция h ( t ) Π΄Π°Π΅Ρ‚ высоту Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ t ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚ послС Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° колСса.
Π°. НайдитС Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ‡ ( Ρ‚ ).
Π³. НайдитС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ высоты h ( t ).
Π³. Как высоко Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ окаТСтся Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 5 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚?

Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ sinx | Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin x

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ sin x являСтся пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο€. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ нарисуСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin (x) Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [0,2Ο€]. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ синуса выглядит Ρ‚Π°ΠΊ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin (x), ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги:
1) НарисуйтС ось Y с 0,1, -1.{0} $ ΠΈΠ»ΠΈ 2Ο€.
3) y = a sin (x) Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ‘a’ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1, поэтому кривая Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎ (0,1). Если y = 2 sin (x), Ρ‚ΠΎ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 2, поэтому кривая Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎ (0,2).
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ask-math ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ‚ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….
Π¨Π°Π³ 1: ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ось Y ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 0,1 ΠΈ -1, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° для Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° y = sin (x) Ρ€Π°Π²Π½Π° 1. НарисуйтС ось x ΠΎΡ‚ 0 ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ο€, 2Ο€, 3Ο€. ..etc.Π¨Π°Π³ 2: ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ sin (0) = 0, Ρ‚ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ начинаСтся с Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось X Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (0,0).
И sin (Ο€ / 2) = 1, Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся максимумом для этого ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 1, поэтому ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ кривая достигаСт [Ο€ / 2,1].
Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ sin (3Ο€ / 2) = -1, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ максималСн вдоль ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси Y, поэтому синусоида достигаСт [3Ο€ / 2, -1].
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: для y = 2 sin x Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 2, Π° sin (Ο€ / 2) = 1, поэтому ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ кривая достигаСт [Ο€ / 2,2] Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси Y ΠΈ [3Ο€ / 2, — 2] ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси Y.
ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ sin x являСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin x Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [0, Ο€ / 2].ΠœΡ‹ рисуСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin x, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sin (Ο€- x) = sin x. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, ΠΌΡ‹ рисуСм Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ [Ο€, 2Ο€], ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sin (Ο€ + x) = -sin x, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin x Π² [Ο€, 2Ο€] являСтся Π·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin x Π² [0, Ο€].

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ sinx

1) Каков ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ y = 2 sin (x).
2) Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ y = 3 sin (x).
3) НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = 2 sin (x). ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 11-Π³ΠΎ класса

ΠžΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° sinx ΠΊ Π΄ΠΎΠΌΡƒ

Covid-19 ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π» ΠΌΠΈΡ€ ΠΊ Ρ„Π΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Π½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Ρƒ.

Π­Π»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ — это Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰Π΅Π΅ сСгодня.

ΠžΡΡ‚Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π΄ΠΎΠΌΠ°, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² бСзопасности ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ !!!

Covid-19 повлиял Π½Π° физичСскоС взаимодСйствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ людьми.

НС позволяйтС этому Π²Π»ΠΈΡΡ‚ΡŒ Π½Π° вашС ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

ОбновлСно 30 ноября 2020 Π³.

Автор: Π­Π»ΠΈΠ·Π° Π₯ансСн

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 2Ο€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.

Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, такая ΠΊΠ°ΠΊ косинус, тангСнс, котангСнс ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, являСтся пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° повторяСт свои значСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Β«ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹Β». Π’ случаС ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ этот ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€.

TL; DR (слишком Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ; Π½Π΅ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π»)

TL; DR (слишком Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ; Π½Π΅ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π»)

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€.

НапримСр, sin (Ο€) = 0. Если Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅ 2Ο€ ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ x , Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ sin (Ο€ + 2Ο€), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ sin (3Ο€).Как ΠΈ sin (Ο€), sin (3Ο€) = 0. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ добавляСтС ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ 2Ο€ ΠΈΠ· нашСго значСния x , Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅.

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Β«ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΒ» Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin ( x ) выглядит ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ΠΉ шаблон, ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ снова ΠΈ снова, Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± этом ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ расстоянии ΠΏΠΎ оси x ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ. Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ.

На Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности 2Ο€ — это ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ окруТности.Π›ΡŽΠ±Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ 2Ο€ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ — это ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ способ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 2Ο€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ.

ИзмСнСниС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ основной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса

y = \ sin (x)

Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€, Π½ΠΎ Ссли x ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° константу, это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°.

Если x ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° число большС 1, это «ΡƒΡΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‚» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ мСньшС.Ѐункция Π½Π΅ Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ.

y = \ sin (2x)

ΡƒΠ΄Π²Π°ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ «ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ всСго Ο€ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½.

Но Ссли x ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1, это «Π·Π°ΠΌΠ΅Π΄Π»ΠΈΡ‚» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ для повторСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ трСбуСтся большС Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

y = \ sin \ bigg (\ frac {x} {2} \ bigg)

сниТаСт «ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅; трСбуСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (4Ο€ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ» ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†ΠΈΠΊΠ» ΠΈ снова Π½Π°Ρ‡Π°Π» ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ.

НайдитС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Допустим, Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

y = \ sin (2x) \ text {ΠΈΠ»ΠΈ} y = \ sin \ bigg (\ frac { x} {2} \ bigg)

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ x являСтся ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹ΠΌ; Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ этот коэффициСнт B .

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ y = sin ( Bx ), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°:

\ text {Period} = \ frac {2Ο€} {| B |}

Π‘Π°Ρ€Ρ‹ | | ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅Β», поэтому, Ссли B — ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ просто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ€ΡΠΈΡŽ.Если, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, B Π±Ρ‹Π»ΠΎ βˆ’3, Π²Ρ‹ Π±Ρ‹ просто Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π»ΠΈ 3.

Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ слоТный Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

y = \ frac {1} { 3} Γ— \ sin (4x + 3)

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ x — это всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для расчСта ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹:

\ text {Period} = \ frac {2Ο€} {| 4 |} \\ \, \\ \ text {Period} = \ frac {Ο€} {2}

НайдитС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ любой Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ косинуса, тангСнса ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΉ процСсс.ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ стандартный ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ для ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ расчСтах.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ косинуса Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ синус, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ для синуса. Но для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ тангСнс ΠΈΠ»ΠΈ котангСнс, ΠΌΡ‹ сдСлаСм Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ. НапримСр, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ дСтской ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ( x ) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€, поэтому Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° y = ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° (3 x ) ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ:

\ text {Period} = \ frac {Ο€} {| 3 |}

, Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Ο€ вмСсто 2Ο€.

\ text {Period} = \ frac {Ο€} {3}

ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Β· АлгСбра ΠΈ тригономСтрия

ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β· АлгСбра ΠΈ тригономСтрия

Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π²Ρ‹:

  • ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.
  • Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.

Π”ΠΎ 1920-Ρ… Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΡΠΏΠΈΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ туманности ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой ΠΎΠ±Π»Π°ΠΊΠ° ΠΏΡ‹Π»ΠΈ ΠΈ Π³Π°Π·Π° Π² нашСй Π³Π°Π»Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, находящСйся Π½Π° расстоянии Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… дСсятков тысяч свСтовых Π»Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ нас.Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ астроном Π­Π΄Π²ΠΈΠ½ Π₯Π°Π±Π±Π» Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ сами ΠΏΠΎ сСбС ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π³Π°Π»Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° расстояниях Π² ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Ρ‹ свСтовых Π»Π΅Ρ‚. БСгодня астрономы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Π°Π»Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ нас Π½Π° ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠ°Ρ€Π΄Ρ‹ свСтовых Π»Π΅Ρ‚. Расстояния Π²ΠΎ ВсСлСнной ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎ всСх направлСниях. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ расстояниС ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния. Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠΌ нашС исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния .

ПониманиС Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΅Π³ΠΎ основной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ f (x) = \ | x \ |,

функция Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния — это ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ нашСго инструмСнтария.Ѐункция Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ рассматриваСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ расстояниС, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ число находится ΠΎΡ‚ нуля Π½Π° числовой прямой. АлгСбраичСски, для любого Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ — это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚Π° Π·Π½Π°ΠΊΠ°. Зная это, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ.

Ѐункция Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния

Ѐункция Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ кусочная функция

f (x) = \ | x \ | = {xifxβ‰₯0 βˆ’ xifx <0

ИспользованиС Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния для опрСдСлСния сопротивлСния

ЭлСктричСскиС Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ рСзисторы ΠΈ кондСнсаторы, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²: сопротивлСниС, Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚. Π”.Однако ΠΈΠ·-Π·Π° нСточности изготовлСния фактичСскиС значСния этих ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² нСсколько Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΊ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ. Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, — это ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ отклонСния останутся Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π°, часто Β± 1%, Β± 5%,

ΠΈΠ»ΠΈ Β± 10%.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ рСзистор Π½ΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΠΌ 680 Ом, Β± 5%.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ фактичСского сопротивлСния.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 5% ΠΎΡ‚ 680 Ом составляСт 34 Ом. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ фактичСским ΠΈ Π½ΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ сопротивлСниСм Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΡΠ²Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ, поэтому ΠΏΡ€ΠΈ сопротивлСнии R

Ом,

\ | R βˆ’ 680 \ | ≀34

Π‘Ρ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, Π½Π°Π±Ρ€Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… 20 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² ΠΈΠ· 80, ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄ΡƒΡ‚ тСст. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ это ΠΊΠ°ΠΊ расстояниС ΠΎΡ‚ 80, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.

с использованиСм ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ p

для прохоТдСния, \ | p βˆ’ 80 \ | ≀20

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния

НаиболСС Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ являСтся угловая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ мСняСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.Π­Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π² исходной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π² [ссылка].

[ссылка] ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = 2 \ | x – 3 \ | +4.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = \ | x \ |

Π±Ρ‹Π» смСщСн Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, растянут ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ Π² 2 Ρ€Π°Π·Π° ΠΈ сдвинут Π½Π° 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ угловая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° находится Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (3,4)

.

для этой ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

НаписаниС уравнСния для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π½Π° основС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° [ссылка].

Основная функция Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния измСняСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, поэтому этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сдвинут Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΎΡ‚ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ инструмСнтария. Π‘ΠΌ. [Бсылка].

ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ выглядит растянутым ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π²ΡƒΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»Π° Π΄ΠΎ этой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ для нСрастянутой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.ВмСсто этого ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 1 Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² [ссылка].

Из этой ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

f (x) = 2 \ | x βˆ’ 3 \ | βˆ’2, рассматривая растяТСниС ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ растяТСниС, ΠΈΠ»ΠΈ f (x) = \ | 2 (x βˆ’ 3) \ | βˆ’2, рассматривая растяТСниС ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ сТатиС.

Анализ

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти уравнСния алгСбраичСски эквивалСнтны — растяТСниС для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ взаимозамСняСмо записано ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ растяТСниС ΠΈΠ»ΠΈ сТатиС.

Если Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ растяТСниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌ, ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ алгСбраичСски?

Π”Π°. Если ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ растяТСниС Π½Π° основС ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ коэффициСнт растяТСния, ввСдя ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для

x

ΠΈ

f (x).

Π΅ (Ρ…) = Π° \ | Ρ… βˆ’ 3 \ | βˆ’2

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ подставляСм Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (1, 2)

2 = a \ | 1βˆ’3 \ | βˆ’24 = 2aa = 2

ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, которая сдвигаСтся ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, пСрСворачиваСтся ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΈ смСщаСтся ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ Π½Π° 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹.

Π΅ (Ρ…) = — \ | Ρ… + 2 \ | +3

ВсСгда Π»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось? Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось?

Π”Π°, ΠΎΠ½ΠΈ всСгда ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

НСт, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ всСгда ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось, Π² зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±Ρ‹Π» смСщСн ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½.Ѐункция Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось Π² Π½ΡƒΠ»Π΅, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… (см. [Бсылка]).

РСшСниС уравнСния Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π’ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉΒ» ΠΌΡ‹ Π·Π°Ρ‚Ρ€ΠΎΠ½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ большС разбираСмся Π² ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ…, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° эти Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ 8 = \ | 2x βˆ’ 6 \ |,

ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 8, Ссли количСство Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 8 ΠΈΠ»ΠΈ -8. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π΄Π²ΡƒΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ уравнСниям, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ нСзависимо.

2x βˆ’ 6 = 8 ΠΈΠ»ΠΈ 2x βˆ’ 6 = βˆ’82x = 142x = βˆ’2x = 7x = βˆ’1

ПолСзно Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, связанныС с функциями Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния. . НапримСр, Π½Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ числа ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ расстоянии ΠΎΡ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния — это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ нСизвСстная пСрСмСнная отобраТаСтся Π² столбцах Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния. НапримСр,

\ | x \ | = 4, \ | 2x βˆ’ 1 \ | = 3 ΠΈΠ»ΠΈ \ | 5x + 2 \ | βˆ’4 = 9

РСшСния ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ

Для вСщСствСнных чисСл A

ΠΈ B

, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° \ | A \ | = B,

с Bβ‰₯0,

Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° A = B

ΠΈΠ»ΠΈ A = -B.

Если B <0,

ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ | A \ | = B

Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Учитывая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ пСрСсСчСния Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° .

  1. Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.
  2. ИспользованиС \ | A \ | = B

    для записи

    A = B

    ΠΈΠ»ΠΈ

    βˆ’A = B,

    Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ

    Π’> 0.
  3. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для Икс.

НахоТдСниС Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) = \ | 4x + 1 \ | βˆ’7,

Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния x

Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f (x) = 0.

0 = \ | 4x + 1 \ | βˆ’7 Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ 0 вмСсто f (x). 7 = \ | 4x + 1 \ | Π˜Π·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ сторонС уравнСния. 7 = 4x + 1 ΠΈΠ»ΠΈ βˆ’ 7 = 4x + 1 Π Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… уравнСния ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ 6 = 4x βˆ’ 8 = 4xx = 64 = 1,5x = βˆ’84 = βˆ’2

Ѐункция Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ 0, Ссли x = 32

ΠΈΠ»ΠΈ x = βˆ’2.

Π‘ΠΌ. [Бсылка].

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) = \ | 2x βˆ’ 1 \ | βˆ’3,

Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния x

Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f (x) = 0.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ всСгда ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ

\ | A \ | = B?

β„–ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, Π΄Π²Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ². НапримСр, Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для 2+ \ | 3x βˆ’ 5 \ | = 1.

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ понятия

  • ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Ρ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния. Π‘ΠΌ. [Бсылка].
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ V. Π£ Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ угловая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ мСняСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΌ. [Бсылка].
  • Π’ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния нСизвСстная пСрСмСнная являСтся Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.
  • Если Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния установлСно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ числу, ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для нСизвСстной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π‘ΠΌ. [Бсылка].

УпраТнСния ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°ΠΌ

Устный

Как Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния?

Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ \ | A \ | = B.

Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π°Π΄Π°Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ символа Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, A,

, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ сторонС уравнСния B.

Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π°Π΄Π°Π² A

Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ сторонС уравнСния, βˆ’B.

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

Как ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π΄Π²Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Ρ†Π΅ΠΏΡ‚ΠΎΡ€Π° x , Π½Π΅ отобраТая Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°?

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ числу. Π§Ρ‚ΠΎ это Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния?

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π½Π΅ пСрСсСкаСт x

-ось, поэтому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π½ΠΈΠΆΠ΅ x

— ось.

Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния для опрСдСлСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x , для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹?

АлгСбраичСскиС

ΠžΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ всС числа x

, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся Π½Π° расстоянии 4 ΠΎΡ‚ числа 8. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ этот Π½Π°Π±ΠΎΡ€ чисСл, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠžΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ всС числа x

, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся Π½Π° расстоянии 12

ΠΈΠ· числа βˆ’4.Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ этот Π½Π°Π±ΠΎΡ€ чисСл, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

\ | Ρ… + 4 \ | = 12

ΠžΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ расстояниС Π΄ΠΎ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x

ΠΈΠ· 10 — это ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ 15 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ этот Π½Π°Π±ΠΎΡ€ чисСл, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Найти всС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x)

Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ расстояниС ΠΎΡ‚ f (x)

Π΄ΠΎ значСния 8 мСньшС 0,03 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ этот Π½Π°Π±ΠΎΡ€ чисСл, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

\ | f (x) βˆ’8 \ | <0,03

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния x ΠΈ y Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

f (x) = — 3 \ | x βˆ’ 2 \ | βˆ’1

(0, βˆ’7);

Π½Π΅Ρ‚ x

-ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚

Π΅ (Ρ…) = — 5 \ | Ρ… + 2 \ | +15

(0, 5), (1,0), (- 5,0)

f (x) = 2 \ | x βˆ’ 1 \ | βˆ’6

(0, βˆ’4), (4,0), (- 2,0)

f (Ρ…) = \ | βˆ’2x + 1 \ | βˆ’13

(0, βˆ’12), (- 6,0), (7,0)

Π΅ (Ρ…) = — \ | Ρ… βˆ’ 9 \ | +16

(0,7), (25,0), (- 7,0)

ГрафичСский

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ постройтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.НарисуйтС ΠΎΡ‚ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ пяти Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

y = \ | x βˆ’ 1 \ |

! [Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… (-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, 1) ΠΈ (3, 2).] (/ Algebra-trigonometry-book /resources/CNX_Precalc_Figure_01_06_201.jpg)

Ρƒ = \ | Ρ… \ | +1

! [Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… (-2, 3), (-1, 2), (0, 1), (1, 2) ΠΈ (2, 3).] (/ АлгСбра-тригономСтрия- book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_203.jpg)

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ нарисуйтС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ.

Ρƒ = — \ | Ρ… \ |

! [Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_205.jpg)

Ρƒ = — \ | Ρ… βˆ’ 3 \ | βˆ’2

! [Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_207.jpg)

Π΅ (Ρ…) = — \ | Ρ… + 3 \ | +4

! [Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_209.jpg)

f (x) = 3 \ | x βˆ’ 2 \ | +3

! [Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.] (/ algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_211.jpg)

Π΅ (Ρ…) = \ | 3x + 9 \ | +2

! [Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_213.jpg)

Π΅ (Ρ…) = — \ | Ρ… + 4 \ | βˆ’3

! [Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.] (/ Algebra-trigonometry-book / resources / CNX_Precalc_Figure_01_06_215.jpg)

Π’Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡƒΡ‚ΠΈΠ»ΠΈΡ‚Ρƒ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° f (x) = 10 \ | x βˆ’ 2 \ |

Π½Π° смотровом окошкС [0,4].

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½. ПокаТи Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½: [0,20]

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡƒΡ‚ΠΈΠ»ΠΈΡ‚Ρƒ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° f (x) = — 100 \ | x \ | +100

Π² ΠΎΠΊΠ½Π΅ просмотра [βˆ’5,5].

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½. ПокаТи Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ графичСской ΡƒΡ‚ΠΈΠ»ΠΈΡ‚Ρ‹. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠΊΠ½ΠΎ просмотра.

f (Ρ…) = — 0,1 \ | 0,1 (0,2 — Ρ…) \ | +0,3

x-

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚:

f (x) = 4 Γ— 109 \ | xβˆ’ (5 Γ— 109) \ | + 2 Γ— 109

Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡ

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ нСравСнство.

Если Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ всС значСния

Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ Ρ…-

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ΠΎΠ² для f (x) = 2 \ | x + 1 \ | + a.

Если Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ всС значСния

Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‚Ρƒ

-пСрСхватывания для f (x) = 2 \ | x + 1 \ | + a.

НСт Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для

, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ y

-ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚. Ѐункция Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния всСгда пСрСсСкаСт y

-ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = 0.

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прилоТСния

Π“ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π° A ΠΈ B находятся Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ восток-Π·Π°ΠΏΠ°Π΄. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ A располоТСн Π² исходной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Если расстояниС ΠΎΡ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π° A Π΄ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π° B составляСт Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ 100 миль ΠΈ x

прСдставляСт собой расстояниС ΠΎΡ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π° B Π΄ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π° A, Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ это, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π˜ΡΡ‚ΠΈΠ½Π½Π°Ρ пропорция

Ρ€.

Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ ΠšΠΎΠ½Π³Ρ€Π΅ΡΡΡƒ, ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ 8% с ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 1,5%. ΠžΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ это ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.

\ | p βˆ’ 0,08 \ | ≀0,015

УчащиСся, Π½Π°Π±Ρ€Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… 18 Π±Π°Π»Π»ΠΎΠ² ΠΈΠ· числа 82, ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ тСст. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ этот ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ x

для ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ.

ΠœΠ°ΡˆΠΈΠ½ΠΈΡΡ‚ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠ·Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ подшипник, Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 0,01 дюйма (5,0 дюйма). ИспользованиС x

Π² качСствС Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° подшипника, Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ это ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.

\ | Ρ… βˆ’ 5.0 \ | ≀0.01

Допуск для ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ подшипника 0,01. Если истинный Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ подшипника Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ 2,0 дюйма, Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° составляСт x

дюйма, Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ допуск, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния.



Π­Ρ‚Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° находится ΠΏΠΎΠ΄ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠ΅ΠΉ Creative Commons Attribution 4.0.

Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ бСсплатно ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ адрСсу http://cnx.org/contents/[email protected]

Авторство:

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° — тригономСтрия

Если Π²Ρ‹ считаСтС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚, доступный Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π’Π΅Π±-сайт (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π² Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Условиях обслуТивания), Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ваши авторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π°, сообщитС Π½Π°ΠΌ, ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ² письмСнноС ΡƒΠ²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Β«Π£Π²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈΒ»), содСрТащСС Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π½ΠΈΠΆΠ΅, Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π°Π³Π΅Π½Ρ‚Ρƒ.Если Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ унивСрситСта ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΠΌΡƒΡ‚ дСйствия Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° Π°Π½ Π£Π²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ±Ρ€ΠΎΡΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΡƒ ΡΠ²ΡΠ·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ со стороной, которая прСдоставила Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚ срСдствами самого послСднСго адрСса элСктронной ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Ρ‹, Ссли Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ имССтся, прСдоставлСнного Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ стороной Varsity Tutors.

Π’Π°ΡˆΠ΅ Π£Π²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π°Π² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ сторонС, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ²ΡˆΠ΅ΠΉ доступ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚Ρƒ, ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΠΌ Π»ΠΈΡ†Π°ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ChillingEffects.org.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ нСсти ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π° ΡƒΡ‰Π΅Ρ€Π± (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ расходы ΠΈ Π³ΠΎΠ½ΠΎΡ€Π°Ρ€Ρ‹ Π°Π΄Π²ΠΎΠΊΠ°Ρ‚Π°ΠΌ), Ссли Π²Ρ‹ сущСствСнно ΠΈΡΠΊΠ°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ ΠΈΠ»ΠΈ дСйствиС Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ваши авторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π°.Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚ находится Π½Π° Π’Π΅Π±-сайтС ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ссылкС с Π½Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ваши авторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π°, Π²Π°ΠΌ слСдуСт сначала ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΡŽΡ€ΠΈΡΡ‚Ρƒ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ дСйствия:

Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

ЀизичСская ΠΈΠ»ΠΈ элСктронная подпись правообладатСля ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΈΡ†Π°, ΡƒΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΈΡ… ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈ; Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ авторских ΠΏΡ€Π°Π², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ утвСрТдаСтся, Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½Ρ‹; ОписаниС Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ мСстонахоТдСния ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ, ΠΏΠΎ Π²Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ мнСнию, Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ваши авторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π°, Π² \ достаточно подробностСй, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ унивСрситСтских школ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚; Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π°ΠΌ трСбуСтся Π° ссылка Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ вопрос (Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ вопроса), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ содСрТит содСрТаниС ΠΈ описаниС ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ части вопроса — ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ, ссылкС, тСксту ΠΈ Ρ‚. Π΄. — относится ваша ΠΆΠ°Π»ΠΎΠ±Π°; Π’Π°ΡˆΠ΅ имя, адрСс, Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½Π° ΠΈ адрСс элСктронной ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Ρ‹; Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π’Π°ΡˆΠ΅ заявлСниС: (Π°) Π²Ρ‹ добросовСстно считаСтС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ использованиС ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅Π½Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ, ΠΏΠΎ Π²Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ мнСнию, Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ваши авторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Ρ‹ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ, Π²Π»Π°Π΄Π΅Π»ΡŒΡ†Π΅ΠΌ авторских ΠΏΡ€Π°Π² ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π°Π³Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ; (Π±) Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС информация, содСрТащаяся Π² вашСм Π£Π²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ, ΠΈ (c) ΠΏΠΎΠ΄ страхом наказания Π·Π° Π»ΠΆΠ΅ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Π»Π°Π΄Π΅Π»Π΅Ρ† авторских ΠΏΡ€Π°Π², Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π»ΠΈΡ†ΠΎ, ΡƒΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΈΡ… ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

ΠžΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΆΠ°Π»ΠΎΠ±Ρƒ Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΡƒΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π°Π³Π΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΏΠΎ адрСсу:

Π§Π°Ρ€Π»ΡŒΠ· Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅:

6.1 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса — ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ вычислСниС

Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния

Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π²Ρ‹:

  • ГрафичСскиС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ y = sin (x) y = sin (x) ΠΈ y = cos (x) y = cos (x).
  • Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ сдвиги ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ косинусных ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ….

Рис. 1 Π‘Π²Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° ΠΈΠ·-Π·Π° Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… свойств. (ΠΊΡ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚: «wonderferret» / Flickr)

Π‘Π΅Π»Ρ‹ΠΉ свСт, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ свСт ΠΎΡ‚ солнца, Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ совсСм Π½Π΅ Π±Π΅Π»Ρ‹ΠΉ. ВмСсто этого это композиция всСх Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π΄ΡƒΠ³ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²ΠΎΠ»Π½. ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π±Π΅Π»Ρ‹ΠΉ свСт ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡƒ, которая раздСляСт Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ Π² соотвСтствии с ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ»Π½, образуя Ρ€Π°Π΄ΡƒΠ³Ρƒ.

Π‘Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСны графичСски с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΎ тригономСтричСских функциях ΠΌΡ‹ рассмотрСли тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция. Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса.

ГрафичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ значСния Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ x ΠΈ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ выглядят Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости? НачнСм с ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 1 пСрСчислСны Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ значСния ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

xx 00 Ο€6Ο€6 Ο€4Ο€4 Ο€3Ο€3 Ο€2Ο€2 2Ο€32Ο€3 3Ο€43Ο€4 5Ο€65Ο€6 ππ
sin (x) sin (x) 00 1212 2222 3232 11 3232 2222 1212 00

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ оси x Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.Π‘ΠΌ. Рисунок 2.

Рисунок 2 Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния синуса ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0 ΠΈ Ο€, Ο€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ значСниям ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… I ΠΈ II Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Π° значСния синуса ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ππ ΠΈ 2Ο€, 2Ο€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ значСниям ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… III ΠΈ IV Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Π‘ΠΌ. Рисунок 3.

Рисунок 3 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ взглянСм Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косинуса.ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 2 пСрСчислСны Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности.

Ρ…Ρ… 00 Ο€6Ο€6 Ο€4Ο€4 Ο€3Ο€3 Ο€2Ο€2 2Ο€32Ο€3 3Ο€43Ο€4 5Ο€65Ο€6 ππ
cos (x) cos (x) 11 3232 2222 1212 00 βˆ’12βˆ’12 βˆ’22βˆ’22 βˆ’32βˆ’32 βˆ’1βˆ’1

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 2

Как ΠΈ Π² случаС с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ синуса, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 4.

Рисунок 4 Ѐункция косинуса

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ синус ΠΈ косинус любого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа, ΠΎΠ±Π΅ эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ для всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Если Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ значСния синуса ΠΈ косинуса ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, становится ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ [-1,1]. [-1,1].

На ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° повторяСтся послС 2Ο€, 2Ο€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο€.2Ο€. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ функция — это функция, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг, P , ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ исходной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: f (x + P) = f (x) f (x + P) = f (x) для всС значСния xx Π² области f.f. Когда это происходит, ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ наимСньший Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг с P> 0P> 0 ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. На рисункС 5 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ нСсколько ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса.

Рисунок 5

Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· взглянув Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса Π² области с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π½Π° оси y , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ симмСтрии. Как ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° рисункС 6, ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ВспомнитС ΠΈΠ· ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Β«Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ sin (βˆ’x) = — sinx.sin (βˆ’x) = — sinx. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ясно Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ это свойство Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

Рисунок 6 НСчСтная симмСтрия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса

Рисунок 7 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция косинуса симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y . ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция косинуса являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ cos (βˆ’x) = cosx.cos (βˆ’x) = cosx.

Рисунок 7 ЧСтная симмСтрия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса

Π₯арактСристики Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ нСсколько ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… характСристик:

  • Π­Ρ‚ΠΎ пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 2Ο€.2Ο€.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — (βˆ’βˆž, ∞) (- ∞, ∞), Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ — [βˆ’1,1]. [- 1,1].
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sinxy = sinx симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это нСчСтная функция.
  • Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = cosxy = cosx симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси yy, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это чСтная функция.

ИсслСдованиС ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Как ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ постоянный ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½. Если ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ окСанскиС Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€ΡΠ±ΡŒ Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса.Однако ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹. НСкоторыС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ…. Ѐункция, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ функция синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса, извСстна ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция. ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

y = Asin (Bx βˆ’ C) + Dandy = Acos (Bx βˆ’ C) + Dy = Asin (Bx βˆ’ C) + Dandy = Acos (Bx βˆ’ C) + D
ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Глядя Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ прСобразованиями Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ прСобразованиях, для опрСдСлСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ BB связано с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ P = 2Ο€ | B | .P = 2Ο€ | B |. Если | B |> 1, | B |> 1, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ мСньшС 2Ο€2Ο€ ΠΈ функция подвСргаСтся Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡΠΆΠ°Ρ‚ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Ссли | B | <1, | B | <1, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ большС 2Ο€2Ο€ ΠΈ функция растягиваСтся ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ. НапримСр, f (x) = sin (x), f (x) = sin (x), B = 1, B = 1, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€, 2Ο€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π»ΠΈ. Если f (x) = sin (2x), f (x) = sin (2x), Ρ‚ΠΎ B = 2, B = 2, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ππ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сТат. Если f (x) = sin (x2), f (x) = sin (x2), Ρ‚ΠΎ B = 12, B = 12, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4Ο€4Ο€ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ растянут.ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° рис. 8, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ косвСнно связан с | B |. | B |.

Рисунок 8

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Если ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ C = 0C = 0 ΠΈ D = 0D = 0 Π² уравнСниях ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ | B | .2Ο€ | B |.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) = sin (Ο€6x). F (x) = sin (Ο€6x).

РСшСниС

НачнСм с сравнСния уравнСния с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ y = Asin (Bx).Ρƒ = Asin (Bx).

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ B = Ο€6, B = Ο€6, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚

P = 2Ο€ | B | = 2ππ6 = 2Ο€β‹…6Ο€ = 12P = 2Ο€ | B | = 2ππ6 = 2Ο€β‹…6Ο€ = 12

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ # 1

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ g (x) = cos (x3) .g (x) = cos (x3).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ пСрСмСнная BB связана с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ обратимся ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ AA, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π° связана с Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ , ΠΈΠ»ΠΈ наибольшим расстояниСм ΠΎΡ‚ покоя.AA прСдставляСт коэффициСнт Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ растяТСния, Π° Π΅Π³ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ | A || A | это Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°. Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ максимумами Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ расстояниС | A || A | Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, которая прСдставляСт собой линию y = D; y = D; ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² этом случаС D = 0D = 0, срСдняя линия прСдставляСт собой ось x . Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ расстоянии Π½ΠΈΠΆΠ΅ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. Если | A |> 1, | A |> 1, функция растягиваСтся. НапримСр, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° f (x) = 4sinxf (x) = 4sinx Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ f (x) = 2sinx.f (x) = 2sinx. Если | A | <1, | A | <1, функция сТимаСтся.На рисункС 9 сравниваСтся нСсколько синусоид с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°ΠΌΠΈ.

Рисунок 9

Амплитуда ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Если ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ C = 0C = 0 ΠΈ D = 0D = 0 Π² уравнСниях ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹

y = Asin (Bx) и y = Acos (Bx) y = Asin (Bx ) И y = Acos (Bx)

Амплитуда Ρ€Π°Π²Π½Π° | A |, | A |, которая прСдставляСт собой высоту ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΎΡ‚ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

| A | = Амплитуда = 12 | максимум — ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ || A | = Амплитуда = 12 | максимум — ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ |

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса

Какова Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) = — 4sin (x)? F (x) = — 4sin (x)? Ѐункция растягиваСтся ΠΈΠ»ΠΈ сТимаСтся ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ?

РСшСниС

НачнСм с сравнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ y = Asin (Bx).Ρƒ = Asin (Bx).

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ A = βˆ’4, A = βˆ’4, поэтому Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° | A | = | βˆ’4 | = 4. | A | = | βˆ’4 | = 4. Ѐункция растянута.

Анализ

ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ AA ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎ оси x ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 10.

Рисунок 10

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 2

Какова Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) = 12sin (x)? F (x) = 12sin (x)? Ѐункция растягиваСтся ΠΈΠ»ΠΈ сТимаСтся ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ?

Анализ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ

y = sin x ΠΈ y = cos x

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ AA ΠΈ BB соотносятся с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса, ΠΌΡ‹ исслСдуСм ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ CC ΠΈ D.D. Напомним ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ:

y = Asin (Bx βˆ’ C) + D ΠΈ y = Acos (Bx βˆ’ C) + Dory = Asin (B (x βˆ’ CB)) + D ΠΈ y = Acos (B (x βˆ’ CB)) + Dy = Asin ( Bx βˆ’ C) + D ΠΈ y = Acos (Bx βˆ’ C) + Dory = Asin (B (x βˆ’ CB)) + D ΠΈ y = Acos (B (x βˆ’ CB)) + D

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ CBCB для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ сдвигом ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ смСщСниСм основной ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Если C> 0, C> 0, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сдвигаСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ. Если C <0, C <0, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ сдвигаСтся Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. Π§Π΅ΠΌ большС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ | C |, | C |, Ρ‚Π΅ΠΌ большС сдвигаСтся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.Рисунок 11 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ f (x) = sin (x βˆ’ Ο€) f (x) = sin (x βˆ’ Ο€) сдвигаСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° ππ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ f (x ) = sin (x βˆ’ Ο€4), f (x) = sin (x βˆ’ Ο€4), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сдвигаСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° Ο€4Ο€4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.

Рисунок 11

Π’ Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ CC относится ΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ, DD ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС ΠΎΡ‚ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘ΠΌ. Рисунок 12. Ѐункция y = cos (x) + Dy = cos (x) + D ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ y = D.y = D.

Рисунок 12

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ DD, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля, сдвигаСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·.На рисункС 13 сравниваСтся f (x) = sin (x) f (x) = sin (x) с f (x) = sin (x) + 2, f (x) = sin (x) +2, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ сдвинуто Π½Π° 2. Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

Рисунок 13

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса

Π”Π°Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ f (x) = Asin (Bx βˆ’ C) + Df (x) = Asin (Bx βˆ’ C) + D ΠΈΠ»ΠΈ f (x) = Acos (Bx βˆ’ C) + D, f (x ) = Acos (Bx βˆ’ C) + D, CBCB — Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг, DD — Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сдвига Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сдвига для f (x) = sin (x + Ο€6) βˆ’2.Π΅ (Ρ…) = Π³Ρ€Π΅Ρ… (Ρ… + Ο€6) βˆ’2.

РСшСниС

НачнСм с сравнСния уравнСния с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ y = Asin (Bx βˆ’ C) + D.y = Asin (Bx βˆ’ C) + D.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ B = 1B = 1 ΠΈ C = βˆ’Ο€6.C = βˆ’Ο€6. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг

CB = βˆ’Ο€61 = βˆ’Ο€6CB = βˆ’Ο€61 = βˆ’Ο€6

ΠΈΠ»ΠΈ Ο€6Ο€6 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† слСва.

Анализ

НСобходимо ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°ΠΊ минус ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ C.C. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, f (x) = sin (x + Ο€6) βˆ’2f (x) = sin (x + Ο€6) βˆ’2 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ f (x) = sin (x — (- Ο€6)) — 2.Π΅ (Ρ…) = Π³Ρ€Π΅Ρ… (Ρ… — (- Ο€6)) — 2. Если Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ CC ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, сдвиг Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 3

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ сдвига для f (x) = 3cos (x βˆ’ Ο€2). F (x) = 3cos (x βˆ’ Ο€2).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сдвига Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сдвига для f (x) = cos (x) βˆ’3.f (x) = cos (x) βˆ’3.

РСшСниС

НачнСм с сравнСния уравнСния с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ y = Acos (Bx βˆ’ C) + D.Ρƒ = Acos (Bx βˆ’ C) + D.

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ D = βˆ’3D = βˆ’3, поэтому сдвиг составляСт 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π½ΠΈΠ·.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 4

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сдвига для f (x) = 3sin (x) + 2. f (x) = 3sin (x) +2.

Как к

Для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ f (x) = Asin (Bx βˆ’ C) + D, f (x) = Asin (Bx βˆ’ C) + D, ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг. .

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΠΊ | A |. | A |.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΠΊ P = 2Ο€ | B |.P = 2Ο€ | B |.
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΊΠ°ΠΊ CB.CB.
  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию ΠΊΠ°ΠΊ y = D.y = D.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· уравнСния

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 3sin (2x) + 1.y = 3sin (2x) +1.

РСшСниС

НачнСм с сравнСния уравнСния с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ y = Asin (Bx βˆ’ C) + D.y = Asin (Bx βˆ’ C) + D.

A = 3, A = 3, поэтому Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° | A | = 3.| А | = 3.

Π”Π°Π»Π΅Π΅, B = 2, B = 2, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ P = 2Ο€ | B | = 2Ο€2 = Ο€.P = 2Ο€ | B | = 2Ο€2 = Ο€.

Π’ скобках Π½Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ константы, поэтому C = 0C = 0, Π° Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг CB = 02 = 0. CB = 02 = 0.

НаконСц, D = 1, D = 1, поэтому срСдняя линия y = 1.y = 1.

Анализ

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°Ρ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€, Ο€, срСдняя линия Ρ€Π°Π²Π½Π° y = 1, y = 1, Π° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 3. Π‘ΠΌ. Рисунок 14.

Рисунок 14

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 5

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 12cos (x3 βˆ’ Ο€3).Ρƒ = 12cos (Ρ…3 — Ο€3).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Π½Π° рисункС 15.

Рисунок 15

РСшСниС

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

y = Asin (Bx βˆ’ C) + Dy = Acos (Bx βˆ’ C) + Dy = Asin (Bx βˆ’ C) + Dy = Acos (Bx βˆ’ C) + D

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ синуса, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косинуса, которая сдвигаСтся ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ отраТаСтся.Когда x = 0, x = 0, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΡŽΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (0,0). (0,0). ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ функция косинуса ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΡŽΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ x = 0, x = 0, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ запишСм нашС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса.

НачнСм со срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ поднимаСтся ΠΈ опускаСтся Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ расстояниС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ y = 0,5.y = 0,5. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, являСтся DD Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ, поэтому D = 0,5, D = 0,5.

НаибольшСС расстояниС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ — это Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°. ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Π½Π° 0,5 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ — Π½Π° 0.На 5 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π½ΠΈΠΆΠ΅ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, | A | = 0,5. | A | = 0,5. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ — это ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ высотой Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… максимумов ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° 1, поэтому | A | = 12 = 0,5. | A | = 12 = 0,5. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ отобраТаСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси x , Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ A = -0,5.A = -0,5.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ растягиваСтся ΠΈ Π½Π΅ сТимаСтся ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, поэтому B = 1; B = 1; ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ смСщСн ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, поэтому C = 0.C = 0.

Бобирая всС вмСстС,

g (x) = — 0,5cos (x) + 0,5g (x) = — 0.5cos (x) +0,5

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 6

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° рисункС 16.

Рисунок 16

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° рисункС 17.

Рисунок 17

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈ максимальном Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ 1 ΠΈ минимальном Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ βˆ’5, βˆ’5 срСдняя линия Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ βˆ’2. βˆ’ 2. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, D = βˆ’2.D = βˆ’2.

РасстояниС ΠΎΡ‚ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π΄ΠΎ самого высокого ΠΈΠ»ΠΈ самого Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ³ΠΎ значСния Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ | A | = 3. | A | = 3.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 6, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ x = 1x = 1 Π΄ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ x = 7, x = 7 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ самыми Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, P = 2Ο€ | B | = 6. P = 2Ο€ | B | = 6. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для B, B, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

B = 2Ο€P = 2Ο€6 = Ο€3B = 2Ο€P = 2Ο€6 = Ο€3

Пока Ρ‡Ρ‚ΠΎ нашС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ выглядит Ρ‚Π°ΠΊ: y = 3sin (Ο€3x βˆ’ C) βˆ’2y = 3sin (Ο€3x βˆ’ C) βˆ’2 ΠΈΠ»ΠΈ y = 3cos (Ο€3x βˆ’ C) — 2. Ρƒ = 3cos (Ο€3x βˆ’ C) βˆ’2. Для Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΈ сдвига Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСсколько Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ².ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ это ΠΊΠ°ΠΊ любоС ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ…:

  • косинус, смСщСнный Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ
  • ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ косинус, сдвинутый Π²Π»Π΅Π²ΠΎ
  • синус, сдвинутый Π²Π»Π΅Π²ΠΎ
  • ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ синус смСщСн Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ

Π₯отя любой ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π±Ρ‹Π» Π±Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π² этом случаС с ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сдвигами Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ с ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сдвигами, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ цСлочислСнныС значСния. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, наша функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

y = 3cos (Ο€3x βˆ’ Ο€3) βˆ’2 ΠΈΠ»ΠΈ y = βˆ’3cos (Ο€3x + 2Ο€3) βˆ’2y = 3cos (Ο€3x βˆ’ Ο€3) βˆ’2 ΠΈΠ»ΠΈ y = βˆ’3cos (Ο€3x + 2Ο€3) βˆ’2

Π‘Π½ΠΎΠ²Π° , эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ эквивалСнтны, поэтому ΠΎΠ±Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 7

ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° рисункС 18.

Рисунок 18

ГрафичСскиС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ

y = sin x ΠΈ y = cos x

Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°Ρ… Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса ΠΈ использовали эту ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ для написания ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ для создания Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈΠ· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ВмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΠΎΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° уравнСниях ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°

y = Asin (Bx βˆ’ C) + D ΠΈ y = Acos (Bx βˆ’ C) + D, y = Asin (Bx βˆ’ C) + D ΠΈ y = Acos (Bx βˆ’ C) + D,

ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ C = 0C = 0 ΠΈ D = 0D = 0 ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ….

Как Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ

Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = Asin (Bx), y = Asin (Bx) нарисуйтС Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, | A |. | A |.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, P = 2Ο€ | B | .P = 2Ο€ | B |.
  3. НачнитС с Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, функция увСличиваСтся Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Ссли AA ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ссли AA ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°.
  4. ΠŸΡ€ΠΈ x = Ο€2 | B | x = Ο€2 | B | сущСствуСт Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум для A> 0A> 0 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ для A <0, A <0, ΠΏΡ€ΠΈ y = A.y = A.
  5. ΠšΡ€ΠΈΠ²Π°Ρ возвращаСтся ΠΊ оси x ΠΏΡ€ΠΈ x = Ο€ | B |.Ρ… = Ο€ | B |.
  6. БущСствуСт Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ для A> 0A> 0 (максимум для A <0A <0) ΠΏΡ€ΠΈ x = 3Ο€2 | B | x = 3Ο€2 | B | с y = –A.y = –A.
  7. ΠšΡ€ΠΈΠ²Π°Ρ снова возвращаСтся ΠΊ оси x ΠΏΡ€ΠΈ x = 2Ο€ | B | .x = 2Ο€ | B |.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) = — 2sin (Ο€x2) .f (x) = — 2sin (Ο€x2).

РСшСниС

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с сравнСния уравнСния с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ y = Asin (Bx) .y = Asin (Bx).

  • Π¨Π°Π³ 1. Из уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ A = βˆ’2, A = βˆ’2, поэтому Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 2.
  • Π¨Π°Π³ 2. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ B = Ο€2, B = Ο€2, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ P = 2ππ2 = 2Ο€β‹…2Ο€ = 4P = 2ππ2 = 2Ο€β‹…2Ο€ = 4
  • Π¨Π°Π³ 3. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ AA ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ опускаСтся ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ продвиТСния Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
  • Π¨Π°Π³ 4–7. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹ x находятся Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, x = 0, x = 0, Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ срСдниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ находятся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = 2x = 2 ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = 4.Ρ… = 4.

Π§Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ x = 1x = 1 ΠΈ максимум ΠΏΡ€ΠΈ x = 3.x = 3. Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π½ΠΈΠΆΠ΅ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x = 1, x = 1, Π° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ срСднСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x = 3.x = 3. На рисункС 19 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Рисунок 19

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 8

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ g (x) = — 0.8cos (2x) .g (x) = — 0.8cos (2x). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг.

Как к

Для ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ со сдвигом Ρ„Π°Π·Ρ‹ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ сдвигом нарисуйтС Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

  1. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ y = Asin (Bx βˆ’ C) + D ΠΈΠ»ΠΈ y = Acos (Bx βˆ’ C) + Dy = Asin (Bx βˆ’ C) + D ΠΈΠ»ΠΈ y = Acos (Bx βˆ’ C) + D .
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, | A |. | A |.
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, P = 2Ο€ | B | .P = 2Ο€ | B |.
  4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг, CB.CB.
  5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ f (x) = Asin (Bx) f (x) = Asin (Bx), сдвинутый Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ Π½Π° CBCB ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· Π½Π° D.D.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9

ГрафичСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ синусоиды

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) = 3sin (Ο€4x βˆ’ Ο€4).f (x) = 3sin (Ο€4x βˆ’ Ο€4).

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 9

НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ g (x) = — 2cos (Ο€3x + Ο€6) .g (x) = — 2cos (Ο€3x + Ο€6). ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ свойств ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ y = βˆ’2cos (Ο€2x + Ο€) + 3, y = βˆ’2cos (Ο€2x + Ο€) +3 ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

РСшСниС

НачнитС со сравнСния уравнСния с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ шаги, описанныС Π² ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 9.

y = Acos (Bx βˆ’ C) + Dy = Acos (Bx βˆ’ C) + D
  • Π¨Π°Π³ 1. Ѐункция ΡƒΠΆΠ΅ написана Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.
  • Π¨Π°Π³ 2. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ A = βˆ’2, A = βˆ’2, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° | A | = 2. | A | = 2.
  • Π¨Π°Π³ 3. | B | = Ο€2, | B | = Ο€2, поэтому ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ P = 2Ο€ | B | = 2ππ2 = 2Ο€β‹…2Ο€ = 4. P = 2Ο€ | B | = 2ππ2 = 2Ο€β‹…2Ο€ = 4. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ 4.
  • Π¨Π°Π³ 4. C = βˆ’Ο€, C = βˆ’Ο€, поэтому ΠΌΡ‹ вычисляСм Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΊΠ°ΠΊ CB = βˆ’Ο€, Ο€2 = βˆ’Ο€β‹…2Ο€ = βˆ’2.CB = βˆ’Ο€, Ο€2 = βˆ’Ο€β‹…2Ο€ = βˆ’2. Π‘Π΄Π²ΠΈΠ³ Ρ„Π°Π·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ -2-2.
  • Π¨Π°Π³ 5. D = 3, D = 3, поэтому срСдняя линия y = 3, y = 3, Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг увСличиваСтся Π½Π° 3.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ AA ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса отраТаСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси x .

На рисункС 21 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ†ΠΈΠΊΠ» Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Рисунок 21

ИспользованиС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ прСобразования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса ΠΈ косинуса Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… прилоТСниях. Как ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ Π³Π»Π°Π²Ρ‹, ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11

НахоТдСниС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° вращаСтся ΠΏΠΎ окруТности радиуса 3 с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°.

РСшСниС

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности радиусом r ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ y Ρ€Π°Π²Π½Π° y = rsin (x), y = rsin (x), Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y (x) = 3sin (x).Ρƒ (Ρ…) = 3sin (Ρ…). ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Π°Π½Ρ‚Π° 3 Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ растяТСниС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ Π² 3 Ρ€Π°Π·Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° рисункС 22.

Рисунок 22

Анализ

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€; 2Ο€; ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, ΠΌΡ‹ возвращаСмся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (3,0) (3,0) для x = 2Ο€, 4Ο€, 6Ο€, … x = 2Ο€, 4Ο€, 6Ο€, … ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ –3–3 ΠΈ 3,3, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ»Π½Ρ‹ составит 3,3.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 10

Какова Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) = 7cos (x)? F (x) = 7cos (x)? НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 12

НахоТдСниС Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния

ΠšΡ€ΡƒΠ³ радиусом 3 Ρ„ΡƒΡ‚Π° устанавливаСтся с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² 4 Ρ„ΡƒΡ‚Π°Ρ… ΠΎΡ‚ Π·Π΅ΠΌΠ»ΠΈ. Π‘Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡˆΠ°Ρ ΠΊ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° P , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 23. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ высоты Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ PP Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°; Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, которая Π΄Π°Π΅Ρ‚ высоту Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°.

Рисунок 23

РСшСниС

Набрасывая высоту, ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° начинаСтся Π½Π° высотС 1 Ρ„ΡƒΡ‚Π° Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ увСличиваСтся Π΄ΠΎ 7 Ρ„ΡƒΡ‚ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° 3 Ρ„ΡƒΡ‚Π° Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π² 4 Ρ„ΡƒΡ‚Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 24.

Рисунок 24

Π₯отя ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с поиска характСристик, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ использованиС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косинуса, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° начинаСтся с самого высокого ΠΈΠ»ΠΈ самого Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ³ΠΎ значСния, Π° функция синуса начинаСтся со срСднСго значСния. Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ косинус начинаСтся с самого высокого значСния, Π° этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ начинаСтся с самого Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ³ΠΎ значСния, поэтому Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ колСблСтся Π½Π° 3 Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ основной косинус ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ 1, поэтому этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±Ρ‹Π» растянут ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ Π½Π° 3, ΠΊΠ°ΠΊ Π² послСднСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

НаконСц, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Π½Π° высоту 4, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±Ρ‹Π» сдвинут ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ Π½Π° 4. Бобирая эти прСобразования вмСстС, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

y = βˆ’3cos (x) + 4y = βˆ’3cos (x) +4

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ # 11

К ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅ прикрСпляСтся Π³Ρ€ΡƒΠ·, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡˆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΊ доскС, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 25. Когда ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π° колСблСтся Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ yy Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ доски измСняСтся Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ –1 Π΄ΠΎ 1 дюйма (ΠΏΡ€ΠΈ врСмя x = 0) x = 0) Π΄ΠΎ –7–7 дюймов (Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ x = Ο€) x = Ο€) ΠΏΠΎΠ΄ доской.ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ yy Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция ΠΎΡ‚ x.x. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ косинуса, которая Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ yy Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x.x.

Рисунок 25

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 13

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ роста всадника Π½Π° колСсС обозрСния

Лондонский Π³Π»Π°Π· — это ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ΅ колСсо обозрСния Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ 135 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² (443 Ρ„ΡƒΡ‚Π°). Он ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 30 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚. Всадники садятся Π½Π° ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π½Π° высотС 2 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ. Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ высоту всадника Π½Π°Π΄ Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π² ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Π°Ρ….

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π΅ 135 ΠΌ колСсо ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ радиус 67,5 ΠΌ. Высота Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄ΠΎΠΉ 67,5 ΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°.

ΠŸΠ°ΡΡΠ°ΠΆΠΈΡ€ΡΠΊΠΈΠΉ Π±ΠΎΡ€Ρ‚ Π½Π° высотС 2 ΠΌ Π½Π°Π΄ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ΠΌ Π·Π΅ΠΌΠ»ΠΈ, поэтому Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ колСса Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° высотС 67,5 + 2 = 69,567,5 + 2 = 69,5 ΠΌ Π½Π°Π΄ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ΠΌ Π·Π΅ΠΌΠ»ΠΈ. БрСдняя линия колСбания составит 69,5 ΠΌ.

КолСсо ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 1 ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π·Π° 30 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚, поэтому высота Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 30 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚.

НаконСц, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ райдСрскиС Π±ΠΎΡ€Ρ‚Π° находятся Π² самой Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, высота Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с наимСньшСго значСния ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² соотвСтствии с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

  • Амплитуда: 67,5,67,5, поэтому A = 67,5A = 67,5
  • БрСдняя линия: 69,5,69,5, поэтому D = 69,5D = 69,5
  • ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄: 30,30, поэтому B = 2Ο€30 = Ο€15B = 2Ο€30 = Ο€15
  • Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°: βˆ’cos (t) βˆ’cos (t)

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для роста всадника Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚

y = -67,5cos (Ο€15t) + 69,5y = -67,5cos (Ο€15t) +69,5

, Π³Π΄Π΅ tt выраТаСтся Π² ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Π°Ρ…, Π° yy — Π² ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ….

6.1 УпраТнСния ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°ΠΌ

УстныС
1.

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса ΠΈ косинуса Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими функциями?

2.

Как Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sinxy = sinx сравнитС с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ y = cosx? y = cosx? ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ пСрСвСсти Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sinxy = sinx Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ y = cosx.y = cosx.

3.

КакиС константы Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ для уравнСния Acos (Bx + C) + D, Acos (Bx + C) + D?

4.

Как Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ соотносится с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ y = Asin (Bx + C) + D? Y = Asin (Bx + C) + D?

5.

Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° f (t) = sint? F (t) = sint?

ГрафичСский

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ нарисуйтС Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ максимальноС ΠΈ минимальноС значСния y ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌ значСния x Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π΅ для x> 0.x> 0. ΠŸΡ€ΠΈ нСобходимости ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ².

8.

f (x) = — 3sinxf (x) = — 3sinx

12.

f (x) = 2sin (12x) f (x) = 2sin (12x)

13.

f (x) = 4cos (Ο€x) f (x) = 4cos (Ο€x).

14.

f (x) = 3cos (65x) f (x) = 3cos (65x)

15.

y = 3sin (8 (x + 4)) + 5y = 3sin (8 (x + 4)) + 5

16.

y = 2sin (3x βˆ’ 21) + 4y = 2sin (3x βˆ’ 21) +4

17.

y = 5sin (5x + 20) βˆ’2y = 5sin (5x + 20) βˆ’2

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ нарисуйтС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, начиная с x = 0.x = 0. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ линию. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ максимальноС ΠΈ минимальноС значСния y ΠΈ ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния x Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π΅ для x> 0.Ρ…> 0. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ сдвиг ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг, Ссли ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ. ΠŸΡ€ΠΈ нСобходимости ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ… дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ².

18.

f (t) = 2sin (t βˆ’ 5Ο€6) f (t) = 2sin (t βˆ’ 5Ο€6)

19.

f (t) = — cos (t + Ο€3) + 1f (t) = — cos (t + Ο€3) +1

20.

f (t) = 4cos (2 (t + Ο€4)) — 3f (t) = 4cos (2 (t + Ο€4)) — 3

21.

f (t) = — sin (12t + 5Ο€3) f (t) = — sin (12t + 5Ο€3)

22.

f (x) = 4sin (Ο€2 (x βˆ’ 3)) + 7f (x) = 4sin (Ο€2 (x βˆ’ 3)) + 7

АлгСбраичСскиС

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ f (x) = sinx.f (x) = sinx.

31.

На [0,2Ο€), [0,2Ο€) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ f (x) = 0. f (x) = 0.

32.

На [0,2Ο€), [0,2Ο€) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ f (x) = 12. f (x) = 12.

34.

На [0,2Ο€), f (x) = 22. [0,2Ο€), f (x) = 22. НайдитС всС значСния x.x.

35.

На [0,2Ο€), [0,2Ο€), максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (я) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ встрСчаСтся (я) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ (Π°Ρ…) x ?

36.

На [0,2Ο€), [0,2Ο€), минимальноС (Ρ‹Π΅) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (я) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ встрСчаСтся (Π°) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ (Ρ‹Ρ…) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ (Π°Ρ…) x ?

37.

ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f (βˆ’x) = — f (x) .f (βˆ’x) = — f (x). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f (x) = sinxf (x) = sinx — нСчСтная функция ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ симмСтриСй ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ________________.

Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ f (x) = cosx.f (x) = cosx.

38.

На [0,2Ο€), [0,2Ο€) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ f (x) = cosx = 0. f (x) = cosx = 0.

39.

На [0,2Ο€), [0,2Ο€) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ f (x) = 12. f (x) = 12.

40.

На [0,2Ο€), [0,2Ο€) Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ x -пСрСхватывания f (x) = cosx.f (x) = cosx.

41.

На [0,2Ο€), [0,2Ο€) Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ значСния x , ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимальноС ΠΈΠ»ΠΈ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

42.

На [0,2Ο€), [0,2Ο€) Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ f (x) = 32.f (x) = 32.

Π’Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ
43.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ h (x) = x + sinxh (x) = x + sinx Π½Π° [0,2Ο€]. [0,2Ο€]. ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ выглядит ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ.

44.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ h (x) = x + sinxh (x) = x + sinx Π½Π° [βˆ’100,100]. [- 100,100]. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ выглядСл Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹Π»ΠΎ прСдсказано Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ?

45.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ f (x) = xsinxf (x) = xsinx Π½Π° [0,2Ο€] [0,2Ο€] ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π±Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ отличаСтся ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° f (x) = sinx.f (x) = sinx.

46. ​​

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ f (x) = xsinxf (x) = xsinx Π² ΠΎΠΊΠ½Π΅ [βˆ’10,10] [- 10,10] ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

47.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ f (x) = sinxxf (x) = sinxx Π² ΠΎΠΊΠ½Π΅ [βˆ’5Ο€, 5Ο€] [- 5Ο€, 5Ο€] ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прилоТСния

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ — Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈ стСнограмма ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

Π¨Π°Π³ΠΈ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Ѐункция называСтся пСриодичСской , Ссли ΠΎΠ½Π° постоянно повторяСтся Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… направлСниях. Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция , подобная ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅, извСстна ΠΊΠ°ΠΊ пСриодичСская тригономСтричСская функция.

Π‘ΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция пСриодичСская

Когда функция являСтся пСриодичСской, ΠΊΠ°ΠΊ функция синуса, Ρƒ Π½Π΅Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ — это ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x , Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½Π° копия ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ шаблона. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f ( x ) = sin ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ 2Ο€, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΡ‚ x = 0 Π΄ΠΎ x = 2Ο€ повторяСтся навсСгда Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… случаях. направлСния.

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, ΠΏΠΎΠΊΠ° всС Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°? ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основная ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ 2Ο€. Однако ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, функция синуса ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , Π³Π΄Π΅ A , B , C , ΠΈ D ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ числом. Из-Π·Π° этого функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ мноТСство Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ, ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° опрСдСляСт ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ‡Π°ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ, Ρƒ мСня Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠ΅ новости! Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ простой способ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Если Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция Π²ΠΈΠ΄Π° f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ / | B |.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D , ΠΌΡ‹ выполняСм ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги:

  1. Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ B Π² функция f ( x ) = A sin ( Bx + C ) + D .

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *