График тангенса как построить: График тригонометрических функций. Тангенс. Котангенс

alexxlab / / Разное

Как вычислить и построить график функции тангенса в python?

Python / Статьи

Автор: admin

Примеры вычисления и построения графика функции тангенса в python

Содержание

  • 1 Вычисление тангенса для заданного угла
  • 2 Постром функцию касательной

Вычисление тангенса для заданного угла

Для получения тангенса заданного угла можно воспользоваться библиотекой math.

import math
angle = 0
result = math.tan(angle)
print(result)
Code language: JavaScript (javascript)

Результат:

0. 0
Code language: CSS (css)

Примечание: функция tan предполагает, что угол задан в радианах. Чтобы преобразовать градусы в радианы в python, одним из решений является использование math.radians():

import math
angle = 45 # угол в градусах
angle = math.radians(angle) # угол в радианах
result = math.tan(angle)
print(result)
Code language: PHP (php)

Другой пример.

import math
angle = math.pi / 6
result = math.tan(angle)
print(result)

Code language: JavaScript (javascript)

Результат вычисления:

 0. 5773502691896256
Code language: CSS (css)

Примечание: чтобы округлить число float в python, одним из решений является использование round():

import math
angle = math.pi / 6
result = round(math.tan(angle), 2)
print(result)
Code language: JavaScript (javascript)

В результате вы получаете:

0.58
Code language: CSS (css)

Постром функцию касательной

 
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
angle_min = - 2.0 * math.pi
angle_max = 2. 0 * math.pi
res = 0.01
angle_list = [a for a in np.arange(angle_min,angle_max,res)]
angle_tan_list = [math.tan(a) for a in angle_list]
plt.plot(angle_list, angle_tan_list)
plt.title("Вычислление тангенса для заданного угла",fontsize=12)
plt.ylim(-10,10)
plt.savefig("tangent_function.png", bbox_inches='tight', dpi=100)
plt.show()
Code language: JavaScript (javascript)

После запуска кода получим:

Меткиmatplotlibnumpypython

что это, формула, свойства, график, примеры

Содержание:

  • Что такое тангенс
  • Что такое функция тангенса: формула
  • Свойства функции
  • Как построить график
  • Примеры решения задач

Содержание

  • Что такое тангенс
  • Что такое функция тангенса: формула
  • Свойства функции
  • Как построить график
  • Примеры решения задач

Что такое тангенс

Тангенсом какого-либо острого угла \(\alpha (tg \alpha)\) называют величину, выражающую отношение противоположного катета (а) к прилегающему катету (b) в треугольнике с углом 90°, то есть: \(tg \alpha = \frac{a}{b}\) 

Понятие тангенса угла можно проиллюстрировать таким образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Источник: microexcel.ru

Пример 1

Рассмотрим наглядный пример. Предположим, что катеты в треугольнике из определения тангенса имеют следующие значения: a = 3 b = 4 В таком случае справедливо записать выражение для расчета тангенса угла: \(tg \alpha = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} = 0,75\) 

Что такое функция тангенса: формула

При решении задач можно нередко встретить примеры с тригонометрическими функциями, в том числе, функцией тангенса. Эта функция обладает специфическими свойствами, которые значительно упрощают вычисления. Запись имеет следующий вид:

\(у = tg х\)

Здесь х обозначает аргумент тригонометрической функции и играет роль независимой переменной, а у определяет непосредственно функцию, то есть зависимую переменную.

Свойства функции

С помощью знаний свойств функций в тригонометрии достаточно просто решать самые сложные и громоздкие примеры. Перечислим закономерности, характерные для функции тангенса:

  1. Функция тангенса определяется в области \((x\ne\frac\pi2+\pi k)\), то есть на множестве, в состав которого включены действительные числа, за исключением точек, характеризующихся нулевым значением для косинуса.
  2. Функция на графике не имеет ограничений в верхней и нижней части, поэтому ее область значений можно записать как \(y\in\mathbb{R}\).
  3. Функция тангенса является нечетной, что целесообразно записать в виде соотношения \(tg(-x)=-tgx\).
  4. Тригонометрическая функция тангенса является периодической, а ее период составляет pi. Таким образом:\(tg(x+\pi k)=tgx\) .
  5. Стремление функции \(к +\infty\) можно наблюдать при сближении с левой стороны с точками \(x=\frac\pi2+\pi k\). Приближение к точке, обозначенной за a, слева формулируют таким образом: \(x\rightarrow\) \(a-0 \lim_{x\rightarrow\frac\pi2+\pi k-0} tgx=+\infty\) .
  6. Стремление функции \(к -\infty\) можно наблюдать при сближении с правой стороны с точками \(x=\frac\pi2+\pi k\).
    Приближение к точке, обозначенной за а, справа следует зафиксировать как \(x\rightarrow\) \(a+0 \lim_{x\rightarrow\frac\pi2+\pi k+0} tgx=-\infty\).
  7. Нули рассматриваемой функции \(y_{0}=0\) определены точками \(x_0=\pi k\).
  8. Возрастание функции можно наблюдать на всей области, где она определена.
  9. Функция разрывается в точках \(x=\frac\pi2+\pi k\), которые пересечены вертикальными асимптотами. На отрезках между ними функция не прерывается, то есть \(\left(-\frac\pi2+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right).\)
  10. Функция не обладает максимальными и минимальными значениями.

Как построить график

Как и любую другую тригонометрическую функцию, тангенс достаточно просто изобразить в системе координат. Графическое изображение функции тангенса в обобщенном виде представлено на рисунке ниже:

Источник: microexcel.ru

Построить график функции тангенса несложно. Нужно лишь последовательно выполнять действия согласно стандартному алгоритму:

  • определить контрольные точки для построения;
  • начертить плавную кривую линию на плоскости координат;
  • для выбранного промежутка построить значения, которые расположены симметрично по отношению к началу координат;
  • так как для значений функции характерны повторы с некоторым периодом, то целесообразно скопировать график для каждого из промежутков области определения;
  • в результате получен график под названием тангенсоида.

Примеры решения задач

Задача 1

Требуется путем применения свойств тригонометрической функции, изученных в теоретическом разделе, записать область определения для следующей функции: \(y=\text{tg}\left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)\) 

Решение

Зная, что функция тангенса не может быть определена в точках при нулевом значении косинуса, запишем справедливое соотношение и выполним необходимые преобразования:

\(\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=0\)

\(2x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\)

\(x\ne \frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2},n\in Z\)

В результате получена область, в которой определена функция из условия задания:

\(D(y)=\left( -\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2},\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2} \right),n\in Z\)

Ответ: \(D(y):x\in \left( -\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2},\frac{\pi }{12}+\frac{\pi n}{2} \right),n\in Z\) 

Задача 2

Дано уравнение, решение которого требуется найти: \(\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=0\) 

Решение

Выполним преобразования исходного соотношения.

В результате получим:

\(\sin 2x=\sqrt{3}\cos 2x\)

После деления всех частей записи на выражение \(\cos 2x\) соотношение изменится таким образом:

\(\text{tg}2x=\sqrt{3}\)

При этом ОДЗ для полученного выражения примет следующий вид:

\(\left( -\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2} \right),n\in Z.\)

Далее целесообразно приступить к решению уравнения:

\(2=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in Z\)

\(x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{2},n\in Z\)

Заметим, что корни, которые получились по итогам расчетов, соответствуют ОДЗ. Можно записать ответ.

Ответ: \(x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{2},n\in Z\)

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

COCALC — Tangent Lines Примечания. SAGEWS

20. 04

18.04

Проект: Математика 241

Путь: 04 — Тангентные линии.
Лицензия: ДРУГОЕ
Изображение:

ubuntu2004

| Встроить | Скачать | Raw

Этот материал был разработан Аароном Трешамом из Гавайского университета в Хило и
под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Предварительные требования:

На этой неделе мы увеличим графики функций, чтобы изучить свойство «локальной линейности». Затем найдем и начертим касательные линии.

Пример 1

Рассмотрим функцию f(x)=2ln⁡(x)f(x)=2\ln(x)f(x)=2ln(x). Вот типичный график:

 
 f(x)=2*ln(x)
plot(f,xmin=0,xmax=10)

Что происходит, когда мы увеличиваем конкретную точку? Как выглядит график? Например, давайте увеличим масштаб точки (1,0)(1,0)(1,0).

 
 plot(f,xmin=0,9,xmax=1,1)

На первом графике выше легко увидеть, что график непрямой, но когда мы увеличиваем кривизну, увидеть ее гораздо труднее. Давайте еще раз увеличим масштаб:

 
 plot(f,xmin=0,99,xmax=1,01)

Когда мы приближаемся к графику fff, кажется, что график представляет собой прямую линию. Мы знаем, что это не так, но очень близко к точке (1,0)(1,0)(1,0) график представляет собой почти прямую. Это называется свойством локальной линейности. Не каждая функция обладает этим свойством, но есть много важных функций, обладающих этим свойством.

Пример 2

Рассмотрим график g(x)=cos⁡(x)g(x)=\cos(x)g(x)=cos(x) вблизи точки (0,1)(0, 1)(0,1).

В анимации ниже мы увеличим этот график вблизи этой точки. Обратите внимание, что обе оси x и y изменятся для сохранения масштаба.

Оказывается, график cos⁡(x)\cos(x)cos(x) обладает свойством локальной линейности в точке (0,1)(0,1)(0,1).

Пример 3

Теперь рассмотрим график h(x)=∣x∣h(x)=|x|h(x)=∣x∣ вблизи точки (0,0)(0,0)( 0,0).

 
 plot(abs(x),xmin=-.01,xmax=.01,ymin=0,ymax=.02) #Я снова скорректировал ymin и ymax, чтобы сохранить одинаковые масштабы

Для этого функция, не имеет значения, насколько вы увеличиваете масштаб. Вы всегда получите острый угол, а не прямую линию. Это пример функции, не обладающей свойством локальной линейности в точке. [Примечание: эта функция обладает свойством локальной линейности в любой другой точке графика — везде она уже прямая.]

Из того, что мы видели выше, можно с уверенностью заключить, что одних графиков недостаточно для определения локальной линейности (в зависимости от окна просмотра изображение может выглядеть очень по-разному). Нам нужен алгебраический способ определения локальной линейности.

Касательные линии

Если функция fff обладает свойством локальной линейности в определенной точке (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​)), то график fff выглядит как линия рядом с этой точкой. Но на какую линию это похоже?

Линия, к которой fff «близка» в точке (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​)) называется «касательной» в этой точке, и точка (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​)) называется «точкой касания». Чтобы найти уравнение линии, нам нужны две части информации: либо две точки на линии, либо одна точка на линии и наклон линии. Мы знаем одну точку на касательной: (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​)). Мы не знаем вторую точку на касательной, но можем найти наклон касательной.


Во-первых, мы аппроксимируем наклон касательной, выбрав вторую точку, близкую к (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​)). Предположим, что расстояние от x0x_0x0​ равно hhh, тогда вторая точка равна (x0+h,f(x0+h))(x_0+h,f(x_0+h))(x0​+h,f(x0​+ час)). Мы найдем наклон линии, проходящей через эти две точки (называемой «секущей линией»).

Вот пример графика.

Теперь мы улучшим нашу аппроксимацию, делая hhh все ближе и ближе к 000, перемещая (x0+h,f(x0+h))(x_0+h,f(x_0+h))(x0​+h,f( x0​+h)) ближе к (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​)).

Этот процесс звучит как ограничение, поэтому мы найдем ответ. Наклон секущей через (x0+h,f(x0+h))(x_0+h,f(x_0+h))(x0​+h,f(x0​+h)) и (x0,f (x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​)) равно f(x0+h)−f(x0)x0+h−x0=f(x0+h)−f(x0 )h\displaystyle\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}x0​+h− x0​f(x0​+h)−f(x0​)​=hf(x0​+h)−f(x0​)​ (нарастание над пробегом).

Мы хотим знать, что происходит с этим наклоном, когда hhh приближается к 000. В предельных обозначениях мы хотим найти lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​.

Если функция fff обладает свойством локальной линейности при (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​)), то этот предел будет существовать (и наоборот). Значение этого предела представляет собой наклон касательной.

Теперь, когда у нас есть точка на линии и наклон линии, мы можем найти уравнение линии. Помните форму точка-наклон?

Точечно-наклонная форма линии: y−y0=m⋅(x−x0)y-y_0=m\cdot(x-x_0)y−y0​=m⋅(x−x0​), где mmm – это наклон, а (x0,y0)(x_0,y_0)(x0​,y0​) – точка на линии.

В этом случае (x0,y0)=(x0,f(x0))(x_0,y_0)=(x_0,f(x_0))(x0​,y0​)=(x0​,f(x0​) )) и m = lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hm=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} m=h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​.


Следовательно, уравнение для касательной имеет вид y−f(x0)=m⋅(x−x0)y-f(x_0)=m\cdot(x-x_0)y−f(x0​)=m⋅( х-х0​). Добавление f(x0)f(x_0)f(x0​) к обеим сторонам дает:

Уравнение для касательной в точке x=x0x=x_0x=x0​:

y=f(x0)+m⋅(x− x0),y=f(x_0)+m\cdot(x-x_0),y=f(x0​)+m⋅(x−x0​),

, где m = lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hm=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} m=h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​.

Это общая формула для нахождения уравнения для прямой, касательной к графику fff в точке (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0​,f(x0​)).

Пример 4

Чтобы увидеть, как секущие линии приближаются к касательной графически, давайте посмотрим на анимацию ниже.

Вы увидите секущие линии f(x)=2ln⁡(x)f(x)=2\ln(x)f(x)=2ln(x) через точку (x0,f(x0) )=(1,0)(x_0,f(x_0))=(1,0)(x0​,f(x0​))=(1,0) и (x0+h,f(x0+h)) (x_0+h,f(x_0+h))(x0​+h,f(x0​+h)), где hhh начинается с 111 и приближается к 000.

Вы можете видеть, что секущие линии (зеленые) приближаются к касательной (красные) по мере того, как hhh приближается к 000.

Теперь hhh также может быть отрицательным, поэтому мы также рассмотрим секущие, когда hhh начинается с −34. -\frac{3}{4}−43​ и приближается к 000.

Примечание. Мы не можем начать с h=−1h=-1h=−1, так как это дает нам x0+h=0x_0+h=0x0 ​+h=0, которого нет в домене.

Снова секущие приближаются к касательной, когда hhh приближается к 000.

Пример 5

Теперь рассмотрим f(x)=cos⁡(x)f(x)=\cos(x)f(x)= cos(x) и (x0,f(x0))=(0,1)(x_0,f(x_0))=(0,1)(x0​,f(x0​))=(0,1). Мы начнем с h=1h=1h=1 и пусть hhh приблизится к 000.

Теперь начнем с h=−1h=-1h=−1 и пусть hhh приближается к 000.

Независимо от того, приближается ли hhh к 000 слева или справа, секущие приближаются к касательной.

Теперь найдем уравнение касательной к графику f(x)=2ln⁡(x)f(x)=2\ln(x)f(x)=2ln(x) в точке (1 ,0)(1,0)(1,0).

Во-первых, нам нужен уклон. Как мы видели выше, наклон равен lim⁡h→0f(1+h)−f(1)h\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h }h→0lim​hf(1+h)−f(1)​.

 
 %вар ч
е (х) = 2 * пер (х)
limit((f(1+h)-f(1))/h,h=0) # Не забывайте скобки вокруг числителя

Значит, наклон равен 2.

Теперь используем уравнение касательной: y=f(x0)+m⋅(x−x0)y=f(x_0)+m\cdot(x-x_0)y =f(x0​)+m⋅(x−x0​).

 
 TL(x)=f(1)+2*(x-1) # Я буду использовать TL для "касательной линии"
show(TL(x))

2 x−2\displaystyle 2 \, x — 22x−2

Теперь я нарисую функцию и касательную.

 
 plot(f(x),xmin=0,xmax=2)+plot(TL(x),xmin=0,xmax=2,color='red')+point((1,f(1) ),color='black',pointsize=20)

Пример 7

Теперь попробуем найти касательную к g(x)=∣x∣g(x)=|x|g(x)=∣x∣ в точке (0,0)(0,0)(0,0 ). Выше мы видели, что эта функция не обладает здесь свойством локальной линейности, так что что-то должно пойти не так.

Попробуем вычислить наклон: m=lim⁡h→0∣0+h∣−∣0∣h\displaystyle m=\lim_{h\to 0}\frac{|0+h|-|0| }{h}m=h→0lim​h∣0+h∣−∣0∣​.

Мы обнаруживаем, что предела не существует (Sage возвращает «und»).

 
 %вар ч
г (х) = абс (х)
limit((g(0+h)-g(0))/h,h=0)

Обратите внимание, что односторонние пределы существуют, но не равны: 9-}\frac{-h}{h}=-1h→0−lim​h∣0+h∣−∣0∣​=h→0−lim​h∣h∣​=h→0−lim​h −h​=−1

Значит, двустороннего предела не существует.

Если мы попытаемся найти наклон в любой точке, отличной от x=0x=0x=0, все будет хорошо. Давайте использовать (-5,5)(-5,5)(-5,5).

m=lim⁡h→0∣−5+h∣−∣−5∣h\displaystyle m=\lim_{h\to 0}\frac{|-5+h|-|-5|}{h }m=h→0lim​h∣−5+h∣−∣−5∣​

 
 %var h
limit((g(-5+h)-g(-5))/h,h=0)

Теперь мы видим, что наклон касательной равен −1-1−1, поэтому касательная имеет уравнение y=g(-5)+(-1)(x-(-5))=5-(x+5)y=g(-5)+(-1)(x-(-5))=5 -(x+5)y=g(-5)+(-1)(x-(-5))=5-(x+5), или y=-xy=-xy=-x.

 
 TL(x)=g(-5)+(-1)*(x-(-5))
show(TL(x))

−x\displaystyle -x−x

Теперь я нарисую функцию и касательную.

 
 plot(g(x),xmin=-10,xmax=10)+plot(TL(x),xmin=-10,xmax=10,color='red',linestyle='--')+ point((-5,g(-5)),color='black',pointsize=20)

python — Как построить наклон (касательную) параболы в любой точке?

спросил

Изменено 3 года, 10 месяцев назад

Просмотрено 12 тысяч раз

Я хочу нарисовать простую иллюстрацию использования производной для определения наклона функции в любой точке. Это будет выглядеть примерно так:

Я уже построил простую параболу, используя этот код:

 import numpy as np
из matplotlib импортировать pyplot как plt
входы = 0,2
веса = np.arange(-6,14)
целевое_предсказание = 0,7
прогноз = входные данные * веса
ошибки = (предсказание - целевое_предсказание) ** 2
plt.xlabel("Вес")
plt.ylabel("Ошибка")
plt.plot(веса, ошибка)

Теперь я хочу добавить что-то вроде этого:

 current_weight = 5
# нарисуйте короткую часть линии для обозначения наклона
x = np.arange (оптимальный_вес - 3, оптимальный_вес + 3)
# производная
наклон = 2 * (входные данные * текущий_вес - целевой_прогноз)
y = наклон*x # Как должно выглядеть это уравнение?
plt.plot(x, y)

Чтобы нарисовать касательную, проходящую через current_weight .

Но я не могу понять это, вы можете помочь?

  • питон
  • matplotlib
  • plot

Получив наклон в нужной точке, вам нужно написать уравнение для касательной, используя форму точка-наклон:

 # Определить параболу
защита f(x):
 вернуть х**2
# Определить производную параболы
угол уклона (х):
 вернуть 2*х
# Определить x диапазон данных для параболы
х = np.
No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *