Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука
| Похожие вопросы |
чему равны индуктивность и энергия магнитного поля соленоида , если при силе тока, равной 4А, магнитный поток через соленоид и равен 0,4 вб
Какая проблематика в тексте Бунина «снежный бык»?
Найдите массу 10% соляной кислоты, необходимой для нейтрализации 160г 5% раствора гидроксида натрия.
Ружейная пуля при вылете из ствола длиной 60 см имела скорость 300 м/с .С каким ускорением и сколько времени двигалась пуля?
Проводник длиной 40см находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,8Тл, проводник пришёл в движение перпендикулярно силовым линиям, когда по нему пропустили ток 5 А. Определите роботу
Пользуйтесь нашим приложением
Интеграл от Sin x — Формула, доказательство, примеры l Интегрирование Sin x
Прежде чем искать интеграл от sin x, вспомним, что такое интеграл. Интеграл также известен как первообразная. Первообразная, как следует из ее названия, находится с использованием обратного процесса дифференцирования. т. е.
- Нахождение f'(x) по f(x) есть дифференцирование.
- Нахождение f(x) по f'(x) является интегрированием.
Таким образом, интегрирование sin x находится с помощью дифференцирования. Давайте посмотрим больше на интеграл от sin x вместе с его формулой, доказательством и графической интуицией.
| 1. | Чему равен интеграл от Sin x? |
| 2. | Интеграл Sin x Proof по производным |
| 3. | Интеграл Sin x Proof методом подстановки |
| 4. | Определенный интеграл от Sin x |
| 5. | Интеграл Sin x Графическая интуиция |
| 6. | Часто задаваемые вопросы по интегралу Sin x |
Чему равен интеграл от Sin x?
Интеграл от sin x равен -cos x. Математически это записывается как ∫ sin x dx = -cos x + C , где C — постоянная интегрирования. Здесь
- ‘∫’ представляет «интеграл»
- sin x есть подынтегральная функция
- dx всегда ассоциируется с любым интегралом и означает небольшую разницу в угле x.
Но как решить интегрирование sin x? Мы можем сделать это различными методами, такими как использование производных и использование метода подстановки. Мы увидим доказательство интеграла от sin x в каждом из этих методов в следующих разделах.
Интеграл от Sin x Формула
Интеграл от sin x равен cos x. т. е.
- ∫ sin x dx = -cos x + C, где C — постоянная интегрирования.
Интеграл Sin x Proof от производных
Мы знаем, что интеграция — это обратный процесс дифференциации. Таким образом, чтобы найти интеграл от sin x, мы должны увидеть, дифференцируя, какая функция даст нам sin x. т. е. мы должны видеть
d/dx \(\fbox{?}\) = sin x.
Вспомним формулы дифференцирования и найдем какую-нибудь формулу, которая дает нам sin x как производную. Да, мы нашли одну формулу, которая говорит, что d/dx (cos x) = -sin x. Ой! Это дает -sin x, но мы хотели, чтобы это было sin x. Не волнуйтесь! Сделаем то, что хотели, умножив обе части на -1. Тогда мы получим
-d/dx (cos x) = — (-sin x) (или)
d/dx (-cos x ) = sin x
Таким образом, производная от -cos x равна sin x. Таким образом, интегрирование sin x (первообразная) должно быть — cos x. Но мы всегда добавляем константу интегрирования после интегрирования любой функции. Таким образом, имеем
∫ sin x dx = -cos x + C
Отсюда доказано.
Интеграл Sin x Proof методом подстановки
Мы можем доказать, что интеграл от sin x равен -cos x + C, используя метод подстановки. Для этого предположим, что y = sin x. Тогда dy/dx = cos x (или)
dy = cos x dx
По тригонометрическим тождествам cos x = √1 — sin²x. Тогда это уравнение принимает вид / √1 — y² = sin x dx
Снова подставьте sin x = y в левой части.
(y dy) / √1 — y² = sin x dx
Интегрируя с обеих сторон,
∫ (y dy) / √1 — y² = ∫ sin x dx
Пусть 1 — y² = u. Тогда -2y dy = du (или) y dy = -1/2 du.
Тогда приведенный выше левый интеграл принимает вид sin x dx
Используя одну из формул интегрирования, ∫ x n dx = (x n+1 )/(n+1) + C. Таким образом, мы получаем
(-1/2) (u 1/2 / (1/2)) + C = ∫ sin x dx
-u 1/2 + C = ∫ sin x dx
Подставляя сюда u = 1 — y²,
-(1 — y²) 1/2 + C = ∫ sin x dx
Замените y = sin x здесь,
-(1 — sin²x) 1/2 + C = ∫ sin x dx
-(cos²x) 1/2 + C = ∫ sin x dx
3
2 -cos x + C = ∫ sin x dx
Отсюда доказано.
Определенный интеграл от греха x
Мы знаем, что ∫ sin x dx = -cos x + C. Итак, по основной теореме исчисления ∫ₐ ᵇ sin x dx = [-cos b + C] — [-cos a + C] = — cos b + C + cos a — C = -cos b + cos a. Таким образом, константа интегрирования C НЕ играет никакой роли при вычислении детерминанта sin x. Давайте посмотрим на некоторые примеры.
Интеграл Sin x От 0 до π
∫₀ π sin x dx = [-cos x]₀ π
= -cos π — (-cos 0)
= -(-1) + 1
= 2
Таким образом, интеграл от sin x от 0 до π равен 2.
Интеграл от Sin x от 0 до π/2
∫₀ π/2 sin x dx = [-cos x]₀ №/2
= -cos π/2 — (-cos 0)
= -(0) + 1
= 1
Таким образом, интеграл от sin x от 0 до π/2 равен 1.
Интеграл греха x Графическая интуиция
В общем случае интеграл функции в пределах интервала представляет собой площадь, занимаемую графиком функции в пределах этого интервала. Давайте теперь построим график функции f(x) = sin x и вычислим приблизительную площадь под кривой для некоторых интервалов, используя основные геометрические формулы. Кроме того, давайте вычислим точные площади, используя определенное интегрирование sin x в пределах тех же интервалов. Сравним оба результата.
Вычислим площади под кривой в каждом из интервалов [0, π/2] и [0, π]. Чтобы приблизительно рассчитать эти площади, мы нарисовали треугольники. Конечно, это не дает точной площади. Судя по рисунку, площадь, вычисленная таким образом, меньше фактической площади, поскольку треугольник (треугольники) не покрывает всю площадь под кривой.
| Интервал | Ручная область | Площадь по определенному интегралу |
| [0, π/2] | Площадь треугольника = 1/2 × π/2 × 1 = π/4 ≈ 0,8 | ∫₀ π/2 sin x dx |
| [0, π] | Площадь треугольника = 2(1/2 × π/2 × 1) = π/2 ≈ 1,6 | ∫₀ π sin x dx = [-cos х]₀ № = 2 |
Числа во втором столбце и третьем столбце примерно равны (конечно, числа во втором столбце меньше, чем в третьем столбце, так как треугольники НЕ покрывают всю площадь). Таким образом, интеграл от sin x равен -cos x и доказан геометрически.
Темы, относящиеся к интегралу Sin x:
Вот некоторые темы, которые могут вас заинтересовать при интегрировании sin x.
- Исчисление
- Расчетный калькулятор
- Интегральный калькулятор
- Калькулятор производных
Часто задаваемые вопросы по интегралу Sin x
Что такое интеграл от Sin x?
Интеграл от sin x равен -cos x + C. Математически он записывается как ∫ sin x dx = -cos x + C. Здесь C – постоянная интегрирования.
Интеграл от Sin x равен Cos x?
Нет, интеграл sin x НЕ равен cos x, на самом деле, интеграл sin x равен -cos x + C.
Как найти интеграл от Sin x?
Мы знаем, что d/dx (cos x) = — sin x. Умножаем обе части на -1, получаем d/dx(-cos x) = sin x. Таким образом, интеграл от sin x, поскольку он является первообразной от sin x, равен -cos x + C.
Чему равен интеграл от sin x от 0 до 2π?
Мы знаем, что ∫ sin x dx = -cos x. Если мы применим пределы 0 и 2π, мы получим -cos 2π — (-cos 0) = -1 + 1 = 0.
Почему интеграл от Sin x равен -Cos x?
Можно легко доказать, что производная от -cos x равна sin x. Поскольку интеграл есть не что иное, как антипроизводная, интеграл от sin x равен -cos x (конечно, мы добавляем к этому постоянную интегрирования C).
Что такое Антипроизводная Sin x?
Первообразная sin x есть не что иное, как интегрирование sin x и, следовательно, она равна -cos x + C.