Интеграл логарифма: Интеграл натурального логарифма, lnx

2

Примеры интегрирования по частям логарифма и обратных тригонометрических функций

Формула интегрирования по частям

Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
,   ,   ,   ,   ,   ,   .

При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u, остальное – через dv.

Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.

Простой пример с логарифмом

Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:

Решение

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x, dv = x² dx. Тогда
,
.

Интегрируем по частям.
.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений добавим постоянную C.

Ответ

Пример логарифма в степени 2

Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.

Решение

Делаем подстановки
u = (ln x)², dv = x dx. Тогда
,
.

.

Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
.
Подставляем
.

Ответ

Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом

По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
.

Решение

Делаем подстановки
u = ln( x² – 1), dv = x dx.
Тогда
,
.

.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Мы здесь не пишем знак модуля ln |x² – 1|, поскольку подынтегральное выражение определено при x² – 1 > 0. Подставляем
.

Ответ

Пример с арксинусом

Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
.

Решение

Делаем подстановки
u = arcsin x,
.
Тогда
,
.

.

Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| < 1. Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 – x > 0 и 1 + x > 0.

Ответ

Пример с арктангенсом

Решим пример с арктангенсом:
.

Решение

Интегрируем по частям.
.
Выделим целую часть дроби:
x⁸ = x⁸ + x⁶ – x⁶ – x⁴ + x⁴ + x² – x² – 1 + 1 = (x² + 1)(x⁶ – x⁴ + x² – 1) + 1;
.
Интегрируем:
.
Окончательно имеем:
.

Ответ

Еще один пример с арксинусом

Решить интеграл:
.

Решение

Интегрируем по частям.
.

Вычисляем оставшийся интеграл. При x > 0 имеем:
.
.
.

При x < 0 сделаем подстановку x = – t,   t > 0:
.

Окончательно имеем:

Ответ

.

Интегральная логарифмическая функция: определение — Статистика Как сделать

Типы функций >

Интегральная логарифмическая функция Li(x) (или просто «логарифмический интеграл») представляет собой локально суммируемую функцию на вещественной прямой.

Эта специальная функция используется в физике и теории чисел, особенно в теореме о простых числах. Одно из первых упоминаний этой функции относится к 1986 году, когда Жак Адамар и де ла Валле Пуссен независимо доказали теорему о простых числах, показав, что если π(x) — это число простых чисел до x , то для любой положительной константы �� c , π(x) = Li(x) + O(xe ^{-c√(ln x)} ).

График интегральной логарифмической функции. Изображение: RicHard-59| Викисклад.

Формула логарифмической интегральной функции для положительных значений x: ). Два интеграла связаны формулой (x) = Li(x) – Li(2) = Li(x) – 1,045163780 [1]. Европейская версия позволяет избежать проблемы сингулярности при t = 1; Другой способ избежать этой проблемы — использовать набор интегралов (где PV — главное значение интеграла по Коши) [2]:

Интегралы функций (log t) ⁻¹ и e ^{−t 2} определяют логарифмический интеграл. Они не могут быть проинтегрированы в терминах элементарных функций [3].

Применение логарифмической интегральной функции

Логарифмическая интегральная функция используется в основном в физике и теории чисел.

В теории чисел функция появляется в теореме о простых числах. Теорема утверждает, что при стремлении x к бесконечности число простых чисел, меньших x, можно приблизить к 9.0020

Где li(x) — логарифмический интеграл [4].

Ссылки

[1] Pardo, J. (2012). Криптография и криптоанализ: простота, факторинг и дискретные логарифмы. Спрингер.
[2] Фишер, Б. и Аль-Сихери, Ф. (2016). Логарифмический интеграл и свертка. Математика Моравица.
[3] Хильдебранд, А. (2015). Краткий курс асимптотики. Летние программы РЭУ по математике. Университет штата Иллинойс. Получено 5 апреля 2021 г. с: https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/lecture-notes/asymptotics.pdf
[4] Tunstrom, K. Теорема о простых числах из: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.766.4288&rep=rep1&type=pdf
График логарифмической интегральной функции: RicHard-59, CC BY-SA 3.0 , через Wikimedia Commons

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Логарифмическая интегральная функция: определение» Из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/логарифмическая-интегральная-функция/

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .

Интеграция логарифмических функций | Великолепная математика и естественные науки Wiki

Адитья Вирани, Бывший блестящий член, Сатьяджит Моханти, и

способствовал

Содержимое

• Интегрирование ln⁡x \ln x lnx
• Интегрирующие функции ln⁡x \ln x lnx
• Доказательство ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\int\ln x\, dx=x\ln x-x+C ∫lnxdx=xlnx−x+C с использованием ряда Тейлора

∫ln⁡(x) dx=xln⁡(x)−x+C\int \ln(x)\ dx = x\ln (x) — x + C∫ln(x) dx=xln(x)−x +С

В приведенном выше уравнении CCC является константой интегрирования, и это обозначение CCC будет использоваться во всей вики.

Для этого решения мы будем использовать интегрирование по частям:

∫f(x)g′(x) dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x) dx.\int f(x) g'(x)\ dx = f( x) g(x) — \int f'(x) g(x)\ dx.∫f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)−∫f'(x)g( х) дх.

Мы используем f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln(x)f(x)=ln(x) и g′(x)=1g'(x)=1g′(x) =1, что означает, что g(x)=xg(x)=xg(x)=x. Подставив их в нашу формулу интегрирования по частям, мы получим

.

∫1⋅ln⁡(x) dx=xln⁡(x)−∫(ln⁡(x))′x dx=xln⁡(x)−∫xx dx=xln⁡(x)−x+C. \begin{выровнено} \int 1 \cdot \ln(x)\ dx&=x \ln(x) — \int \big(\ln(x)\big)’ x\ dx\\&=x \ln(x) — \int \frac{x}{x}\ dx\\&=x \ln(x) — x + C. \end{выровнено} ∫1⋅ln(x) dx​=xln(x)−∫(ln(x))′x dx=xln(x)−∫xx​ dx=xln(x)−x+C.​

Мы можем немного разложить на множители и получить нужную формулу

∫ln⁡(x) dx=x(ln⁡(x)−1)+C. □\int \ln(x)\ dx = x\big(\ln(x) — 1\big) + C.\ _\square∫ln(x) dx=x(ln(x)−1)+C . □​

Это показывает, что маловероятное применение метода интеграции на самом деле может быть правильным путем!

Теперь, когда мы знаем, как это интегрировать, давайте применим свойства логарифмов, чтобы посмотреть, как работать с подобными задачами.

Вычислите ∫ln⁡2x dx \displaystyle{\int \ln 2x \, dx} ∫ln2xdx.

---

По свойствам логарифмов мы знаем, что

ln⁡2x=ln⁡x+ln⁡2,\ln 2x=\ln x+\ln2,ln2x=lnx+ln2,

и, следовательно,

∫ln⁡2x dx=∫(ln⁡x+ln⁡2) dx=∫ln⁡x dx+∫ln⁡2 dx=xln⁡x−x+xln⁡2+C. □\begin{выровнено} \int\ln2x~dx&=\int\left(\ln x+\ln2\right)~dx\\ &=\int\ln x~dx+\int\ln2~dx\\ &=x\ln x-x+x\ln2+C.\ _\квадрат \end{выровнено}∫ln2x dx​= ∫(lnx+ln2) dx=∫lnx dx+∫ln2 dx=xlnx−x+xln2+C. □​​

Вычислите ∫log⁡x dx.\displaystyle{\int\log x~dx}.∫logx dx.

---

По свойствам логарифмов имеем

log⁡x=ln⁡xln⁡10.\log x=\frac{\ln x}{\ln10}.logx=ln10lnx​.

Следовательно, данный интеграл можно переписать как

∫log⁡x dx=∫ln⁡xln⁡10 dx=1ln⁡10x(ln⁡x−1)+C. □\int\log x~dx=\int\frac{\ln x}{\ln10}~dx=\frac{1}{\ln10}x(\ln x-1)+C.\ _\square∫ logx dx=∫ln10lnx dx=ln101 x(lnx-1)+C. □​

При интегрировании логарифма полинома, содержащего не менее двух членов, требуется техника ууу-подстановки.

Ниже приведены некоторые примеры интегрирования логарифмов с помощью U-подстановки:

Вычислите ∫ln⁡(2x+3) dx\displaystyle{ \int \ln (2x+3) \, dx} ∫ln(2x+3)dx.

---

Для этой задачи мы используем uuu-подстановку. Пусть u=2x+3.u=2x+3.u=2x+3. Тогда мы имеем du=2dx,du=2dx,du=2dx или dx=12du,dx=\frac{1}{2}du,dx=21​du, и данный интеграл можно переписать следующим образом:

∫ln⁡(2x+3) dx=12∫ln⁡u du=12u(ln⁡u−1)+C=2x+32(ln⁡(2x+3)−1)+C. □\begin{выровнено} \int\ln(2x+3)~dx&=\frac{1}{2}\int\ln u~du\\ &=\frac{1}{2}u(\ln u-1)+C\\ &=\frac{2x+3}{2}\big(\ln(2x+3)-1\big)+C.\ _\square \end{align}∫ln(2x+3) dx​=21​∫lnu du=21​u(lnu-1)+C=22x+3​(ln(2x+3)−1)+C. □​​ 93 \, dx&=3\int\ln(x-2)~dx\\ &=3\int\ln u~du\\ &=3u(\ln u-1)+C\\ &=3(x-2)\big(\ln(x-2)-1\big)+C.\ _\квадрат \end{выровнено}∫ln(x−2)3dx​=3∫ln(x−2) dx=3∫lnu du=3u(lnu−1)+C=3(x−2)(ln(x− 2)−1)+С. □​​

Теперь рассмотрим примеры, в которых мы интегрируем функции от ln⁡x \ln x lnx. Эти задачи часто требуют знакомства с интегрированием по частям, uuu-подстановкой и формой ln⁡∣f∣\ln |f|ln∣f∣. 2+C.\ _\square∫xlnx​dx=∫xu​ dx=∫u du=21​u2+C=21​(lnx)2+C . □​ 9{ n + 1 } } { n+1} , \quad n \neq -1. ∫x(lnx)n​dx=n+1(lnx)n+1​,n​=−1.

Доказательство аналогично приведенному выше.

Покажите, что ∫1xln⁡x dx=ln⁡∣ln⁡x∣+C \displaystyle{\int \frac{ 1} { x \ln x } \, dx = \ln \lvert \ln x \rvert+C} ∫ xlnx1​dx=ln∣lnx∣+C.

---

Воспринимать 1xln⁡x\frac{1}{x\ln x}xlnx1​ как 1xln⁡x.\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}.lnxx1​​. Тогда, поскольку (ln⁡x)′=1x,(\ln x)’=\frac{1}{x},(lnx)′=x1​, данный интеграл даст ln⁡∣f∣\ln\lvert f\rvertln∣f∣ формируются следующим образом:

∫1xln⁡x dx=ln⁡∣ln⁡x∣+C. □\int \frac{ 1} { x \ln x } \, dx=\ln\lvert\ln x\rvert+C.\ _\square∫xlnx1​dx=ln∣lnx∣+C. □​

Альтернативное решение: Мы также можем использовать замену u=ln⁡x.u=\ln x.u=lnx. Поскольку du=1xdx,du=\frac{1}{x}dx,du=x1​dx, мы знаем, что

∫1xln⁡x dx=∫1ln⁡x⋅1x dx=∫1u du=ln⁡∣u∣+C=ln⁡∣ln⁡x∣+C. □\int \frac{ 1} { x \ln x } \, dx=\int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}~dx=\int\frac{1} {u}~du=\ln\lvert u\rvert+C=\ln\lvert\ln x\rvert+C.

No related posts.