а (-1;0;4), в (0;-1;3) и с (1;0;4).
Угол АСВ – это угол между векторами и .
(-1-1;0-0;4-4) = (-2;0;0)
(0-1;-1-0;3-4) = (-1;-1;-1)
4. Вычислить интеграл .
БИЛЕТ № 3.
1. Обратная матрица. Формула для нахождения обратной матрицы.
Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Общий подход к нахождению обратной матрицы.
Исходя из определения произведения матриц, можно записать:
AX = E , i=(1,n), j=(1,n),
e
eij=
1, i
= j
.
Таким образом, получаем систему уравнений:
,
Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.
Но такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:
где Мji – дополнительный минор элемента аji матрицы А.
2. Свойства неопределённого интеграла.
Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.
Записывают:
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства:1.
2.
3.
4. где u,
v,
w
– некоторые функции от х.
5.
3. Лежат ли точки А (-1;2;-1), В (0;-1;0) и Д (1;-8;7) на одной прямой? Ответ обосновать. Найти длину отрезка АД.
Составим уравнение прямой АД:
Проверим точку В:
Значит точки А, В и Д не лежат на одной прямой.
Длина отрезка АД:
4. Вычислить интеграл
БИЛЕТ № 4.
1. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:
Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:
(uv) = uv + vu
где
u
и v
– некоторые функции от х.
В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu
Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:
или ;
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.
2. Формулы Крамера.
Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
xi = i/, где
= det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
3.
Записать каноническое уравнение
плоскости, проходящей через точки А
(1;-2;-3), В (0;-1;1) и С (-2;1;4).
Лежит ли точка Д
(0;-1;2) на этой плоскости? Ответ обосновать.
Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки:
Значит, точка Д лежит на плоскости.
4. Функция у от х задана неявно уравнением . Найти .
БИЛЕТ № 5.
1. Метод Гаусса.
Метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a11 0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2)
умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения и т.
д.
Получим:
,
где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.
dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
3
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус (-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | соз(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. |