Интеграл от 1 x: Калькулятор Интегралов • По шагам!

Содержание

Несобственный интеграл онлайн

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется хотя бы одно из двух условий:

Один (или оба) из пределов интегрирования равен или . В этом случае, интеграл называется несобственным интегралом первого рода, например: .

В любой точке на отрезке интегрирования, подинтегральная функция терпит бесконечный разрыв. В этом случае, интеграл называется несобственным интегралом второго рода, например: в точке .

Рассмотрим в качестве примера несобственный интеграл первого рода . График подинтегральной функции на отрезке интегрирования имеет вид:

Геометрически, данный несобственный интеграл равен площади под графиком функции на отрезке . Рассматриваемый интеграл является сходящимся, потому что указанная площадь равна 12 - конечному числу. Однако, несобственные интегралы бывают и расходящимися, например:

Алгоритм вычисления несобственного интеграла первого рода выглядит следующим образом:

Сначала мы заменяем бесконечный предел на некоторый параметр, например и получаем определенный интеграл. Этот интеграл мы вычисляем обычным образом: берем неопределенный интеграл и далее используем формулу Ньютона-Лейбница. На завершающем этапе, мы вычисляем предел при и, если, данный предел существует и конечен, тогда исходный несобственный интеграл является сходящимся, а в противном случае - расходящимся.

Алгоритм вычисления несобственного интеграла второго рода заключается в разбивке интервала интегрирования на отрезки в каждом из которых подинтегральная функция является непрерывной (разрывы допускаются только на концах отрезка). Далее, вычисляются полученные определенные интегралы, а при подстановке значений в формулу Ньютона-Лейбница вычисляются соответствующие пределы. И если все эти пределы существуют и конечны, тогда, как и раньше, интеграл является сходящимся, а в противном случае - расходящимся. Приведем пример:

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен вычислить очень многие типы несобственных интегралов. При этом, если интеграл расходится, калькулятор выдает сообщение: integral does not converge.

Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

Интегралы и их решение многих пугает. Давайте избавимся от страхов и узнаем, что это такое и как решать интегралы!
Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.

Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная дифференцированию.
Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.
В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .



Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.
Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:

Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3.
Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:

Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.
Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.

F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразную, мы получим исходное подынтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференцируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением.
Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Таблица первообразных для решения интегралов


Основные приемы решения интегралов:
Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.
Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим

основные приемы решения интегралов. Данные приемы охватывают большую часть заданий по теме нахождения интегралов.
Также мы рассмотрим несколько базовых примеров решения интегралов на базе этих приемов. Важно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

1. Замена переменной.

Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.

Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
- разложить дробь на простейшие
- выделить полный квадрат.
- создать в числителе дифференциал знаменателя.

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.
- выделить под корнем полный квадрат
- создать в числителе дифференциал подкоренного выражения.

5. Интегрирование тригонометрических функций.
При интегрировании выражений вида
применяет формулы разложения для произведения.
Для выражений
m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin2+cos2=1
m,n – четные, sin2x=(1-cos2x)/2 и cos2x=(1+cos2x)/2
Для выражений вида:
- Применяем свойство tg2x=1/cos2x - 1

С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:
Алгоритм обучения решению интегралов:
1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первообразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию.
2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов

. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен.
3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.
Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференцируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом.
Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

Примеры решения интегралов

Пример 1:
Решить интеграл:

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.

Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.

Решение интеграла:

Проверим решение(найдем производную):

Пример 2. Решаем интеграл

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Сравниваем с таблицей. В таблице нет.
Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.
Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.
Заменяем х+5 на t5. t5 = x+5 . Получаем.

Но dx нужно тоже заменить на t. x= t5 - 5, dx = (t5 - 5)’ = 5t4. Подставляем:

Интеграл из таблицы. Считаем:

Подставляем в ответ вместо t ,

Решение интеграла:

Пример 3. Решение интеграла:

Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:

В данном случае коэффициент 1/2 перед интегралом получился в результате замены dx на 1/2*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и 1/2*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.
В результате мы привели интеграл к табличному виду.
Находим первообразную.

В итоге получаем:

Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.

В нем мы на примере физики показываем практическое применение интегрирования, а также решаем еще несколько задач.

Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию. Программирование одна из дочек математики!


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Интегрирование

Аннотация: Рассматриваются основные математические понятия и теоремы, связанные с первообразной функции, неопределенным и определенным интегралом.

Интегрирование

Выше мы рассмотрели основную задачу дифференциального исчисления - нахождение производной для любой заданной дифференцируемой функции. Обратной к этой задаче является основная задача интегрального исчисления - задача восстановления функции по ее заданной производной. Такие задачи называются обратными друг к другу или взаимообратными.

Функция F(x) называется первообразной (или примитивной) для некоторой функции f(x) на некотором заданном промежутке, если в каждой точке этого промежутка справедливо равенство F'(x)=f(x), или эквивалентно, в дифференциальной форме: dF(x)=f(x)dx .

Задача отыскания первообразной для функции f(x) решается неоднозначно: если F(x) - первообразная для f(x), то функция F(x)+C, C - const - также ее первообразная. Действительно, это следует из конструктивных правил нахождения производной суммы и постоянной, согласно которым (F(x)+C)' = F'(x) = f (x).

Теорема. Если F(x) - первообразная f(x) на промежутке X, то любая другая ее первообразная на этом промежутке может быть записана в виде F(x)+C то есть она отличается от F(x) на постоянное слагаемое; их графики параллельны.

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных f(x) . Обозначается неопределенный интеграл в виде .

Здесь функция f(x) называется подынтегральной функцией; переменная x - интегральная переменная (переменная интегрирования), f(x),dx - подынтегральное выражение, f(x) - подынтегральная функция.

Пользуясь знанием производной функции F(x), можно находить ряд несложных интегралов.

Пример. По таблице производных можно восстановить интегралы следующего вида: .

Задача нахождения неопределенного интеграла (первообразной) называется интегрированием функции f(x) . Интегрирование - это операция, обратная дифференцированию, и результат интегрирования может быть проверен дифференцированием. Результат дифференцирования также может быть проверен интегрированием.

Все первообразные предыдущего примера легко, по таблице производных, проверяются на правильность. Но если производная не табличного вида, результат также может быть проверен дифференцированием.

Пример.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла.

  1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .
  2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: .
  3. Неопределенный интеграл от производной функции отличается от самой функции только на постоянную величину: .
  4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла. .
  5. Неопределенный интеграл от суммы функции равен сумме интегралов от этих функций: .
  6. Неопределенный интеграл от разности функции равен разности интегралов от этих функций: .

Используя таблицу производных, можно записать (и нужно запомнить) следующую таблицу неопределенных интегралов:

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .
  6. .
  7. .
  8. .
  9. .
  10. .

Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов, можно интегрировать некоторые функции.

Пример. Нетрудно проверить справедливость следующих равенств:

  1. .
  2. .
  3. .

Правил для интегрирования произведения, частного, сложной, обратной функции в общем случае нет. Имеются лишь отдельные приемы интегрирования некоторых классов функции.

Рассмотрим наиболее часто используемый прием (метод) интегрирования - метод замены переменной, суть которого в следующем.

Если интеграл трудно вычислить, то вместо этого интеграла можно вычислить равный ему (см. свойства интеграла) интеграл который получается при замене в исходном интеграле переменной x по формуле . При удачном выборе этой замены последний интеграл может вычисляться легко или быть даже табличным. После того, как этот интеграл с помощью замены будет вычислен, необходимо вернуться к "старой" переменной x, то есть подставить обратную замену .

Пример. . Замена x-1=t, откуда легко находим обратную замену x=t+1, (то есть функцию , а также необходимое для подстановки в формулу выражение для dx через новую переменную t или . В результате замены можно записать следующую цепочку равенств: .

Другим часто используемым методом вычисления интегралов является метод интегрирования по частям. Суть этого метода состоит в следующем.

Пусть функции u=f(x), v=g(x) непрерывны вместе со своими производными первого порядка на некотором промежутке . Тогда имеет место формула, называемая формулой интегрирования по частям: , или . Эта формула позволяет свести вычисление некоторого более сложного интеграла к вычислению более простого интеграла вида , который может быть даже табличным либо сводиться к таковому.

Основные рекомендации по интегрированию можно свести к следующим основным правилам.

В качестве функции u следует выбирать ту из функций f, g которая имеет более простую производную, а за dv принимать дифференциал той функции из них, который будет легко интегрироваться.

Пример. Вычислим интеграл . Пусть x=u, тогда , du=dx, , . Второй вариант выбора функции лишь усложнит вычисление, сведя вычисляемый интеграл к еще более сложному: если ex=u, , , , тогда .

Для получения окончательного результата приходится часто несколько раз последовательно применять формулу интегрирования по частям.

Пример. .

Здесь в двойные вертикальные линии заключены все вычисления, которые являются подготовительными для применения формулы интегрирования по частям.

Калькулятор интегралов

: интеграция с Wolfram | Alpha

Что такое интегралы?

Интеграция - важный инструмент в исчислении, который может дать первообразную или представить площадь под кривой.

Неопределенный интеграл от, обозначенный, определяется как первообразная от. Другими словами, производная от is. Поскольку производная константы равна 0, неопределенные интегралы определяются только с точностью до произвольной константы. Например, так как производная от. Определенный интеграл от до, обозначенный, определяется как область со знаком между и осью, от до.

Оба типа интегралов связаны основной теоремой исчисления. Это означает, что если непрерывен на и является его непрерывным неопределенным интегралом, то. Это означает . Иногда требуется приближение к определенному интегралу. Обычный способ сделать это - разместить под кривой тонкие прямоугольники и сложить области со знаком. Wolfram | Alpha может решать широкий спектр интегралов

Как Wolfram | Alpha вычисляет интегралы

Wolfram | Alpha вычисляет интегралы иначе, чем люди.Он вызывает функцию Integrate системы Mathematica, которая представляет собой огромное количество математических и вычислительных исследований. Интеграция не делает интегралов так, как это делают люди. Вместо этого он использует мощные общие алгоритмы, которые часто включают очень сложную математику. Есть несколько подходов, которые используются чаще всего. Один из них включает разработку общей формы интеграла, затем дифференцирование этой формы и решение уравнений для сопоставления неопределенных символьных параметров. Даже для довольно простых подынтегральных выражений сгенерированные таким образом уравнения могут быть очень сложными и для их решения требуются сильные алгебраические вычислительные возможности Mathematica.Другой подход, который Mathematica использует при вычислении интегралов, состоит в том, чтобы преобразовать их в обобщенные гипергеометрические функции, а затем использовать наборы отношений об этих очень общих математических функциях.

Хотя эти мощные алгоритмы дают Wolfram | Alpha возможность очень быстро вычислять интегралы и обрабатывать широкий спектр специальных функций, понимание того, как будет интегрироваться человек, также важно. В результате в Wolfram | Alpha также есть алгоритмы для пошаговой интеграции.В них используются совершенно разные методы интеграции, имитирующие подход человека к интегралу. Это включает интегрирование путем подстановки, интегрирование по частям, тригонометрическую замену и интегрирование по частичным дробям.

Правила интеграции

Интеграция

Integration можно использовать для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Он часто используется для поиска области под графиком функции и осью x .

Первое правило, которое необходимо знать, - интегралы и производные противоположны!


Иногда мы можем вычислить интеграл
, потому что мы знаем соответствующую производную.

Правила интеграции

Вот наиболее полезные правила с примерами ниже:

Общие функции Функция Интеграл
Константа ∫a dx топор + С
Переменная ∫x dx х 2 /2 + С
Квадрат ∫x 2 dx х 3 /3 + С
Взаимное ∫ (1 / x) dx ln | x | + C
Экспоненциальная ∫e x dx e x + С
∫a x dx a x / ln (a) + C
∫ln (x) dx x ln (x) - x + C
Тригонометрия (x в радианах) ∫cos (x) dx sin (x) + С
∫sin (x) dx -cos (x) + С
мкс 2 (x) dx загар (x) + C
Правила Функция
Интегральный
Умножение на константу мкф (x) dx c∫f (x) dx
Правило мощности (n ≠ −1) ∫x n dx x n + 1 n + 1 + C
Правило суммы ∫ (ж + г) dx ∫f dx + ∫g dx
Правило разницы ∫ (ж - ж) dx ∫f dx - ∫g dx
Интеграция по частям См. Интеграцию по частям
Правило замены См. Интеграцию заменой

Примеры

Пример: какой интеграл от sin (x)?

Из приведенной выше таблицы он указан как −cos (x) + C

Записывается как:

∫sin (x) dx = −cos (x) + C

Пример: каков интеграл от 1 / x?

Из приведенной выше таблицы это указано как ln | x | + C

Записывается как:

∫ (1 / x) dx = ln | x | + C

Вертикальные стержни || по обе стороны от x означает абсолютное значение, потому что мы не хотим давать отрицательные значения функции натурального логарифма ln .

Правило мощности

Пример: Что такое ∫x

3 dx?

Возникает вопрос: "Что такое интеграл x 3 ?"

Мы можем использовать правило мощности, где n = 3:

∫x n dx = x n + 1 n + 1 + C

∫x 3 dx = x 4 4 + C

Пример: Что такое ∫√x dx?

√x - это также x 0.5

Мы можем использовать правило мощности, где n = 0,5:

∫x n dx = x n + 1 n + 1 + C

∫x 0,5 dx = x 1,5 1,5 + C

Умножение на константу

Пример: Что такое ∫6x

2 dx?

Мы можем вынести 6 за пределы интеграла:

∫6x 2 dx = 6∫x 2 dx

А теперь используйте правило мощности на x 2 :

= 6 x 3 3 + C

Упростить:

= 2x 3 + C

Правило суммы

Пример: Что такое ∫ (cos x + x) dx?

Используйте правило суммы:

∫ (cos x + x) dx = ∫cos x dx + ∫x dx

Найдите интеграл каждого (используя таблицу выше):

= грех x + x 2 /2 + C

Правило разницы

Пример: Что такое ∫ (e

w - 3) dw?

Используйте правило разницы:

∫ (e w - 3) dw = ∫e w dw - ∫3 dw

Затем вычислите интеграл каждого (используя таблицу выше):

= e Вт - 3 Вт + C

Правила суммы, разности, постоянного умножения и мощности

Пример: Что такое ∫ (8z + 4z

3 - 6z 2 ) dz?

Используйте правило суммы и разности:

∫ (8z + 4z 3 - 6z 2 ) dz = ∫8z dz + ∫4z 3 dz - ∫6z 2 dz

Постоянное умножение:

= 8∫z dz + 4∫z 3 dz - 6∫z 2 dz

Правило мощности:

= 8z 2 /2 + 4z 4 /4 - 6z 3 /3 + C

Упростить:

= 4z 2 + z 4 - 2z 3 + C

Интеграция по частям

См. 2

Почему интеграл 1 / x равен натуральному логарифму x?

Заголовок этого поста задает вопрос, который многих студентов-математиков сбивает с толку.Здесь я объясню геометрическую интуицию, лежащую в основе этого. Я оставляю небольшие логические пробелы, чтобы не обмануть читателя радостью своего открытия.

Одной из важных особенностей логарифмов является то, что они делают задачу умножения эквивалентной задаче сложения, под которой я подразумеваю

.

Между тем, обычно геометрически рассматривается как площадь под кривой. Таким образом, проблема состоит в том, чтобы попытаться визуально увидеть, какое отношение имеет площадь под кривой к превращению умножения в сложение.

Вот график, и мы находим, например, площадь под ним от 1 до 2.

Допустим, теперь мы умножаем пределы интегрирования на два, так что теперь мы находим площадь от 2 до 4. Вот как это выглядит.

Две части на самом деле очень похожи друг на друга по своей общей форме. Оранжевый вдвое шире зеленого, но вдвое меньше. Вот они наложены.

Если вы возьмете зеленую фигуру и сначала раздавите ее по вертикали в два раза, а затем растяните по горизонтали в два раза, вы получите точно оранжевую форму.(Если вы в это не верите, убедитесь, что это работает!) Это означает, что области этих фигур точно такие же, даже если мы не знаем, что это за область.

Покажи себе, что это общий результат. Область под от до такая же, как от от до.

Что же такое площадь от 1 до 6? Мы можем разбить его на две части - область от 1 до 2 и область от 2 до 6. Но область от 2 до 6 такая же, как и область от 1 до 3, согласно приведенным выше рассуждениям.

Таким образом, площадь от 1 до 6 совпадает с суммой площадей от 1 до 2 и от 1 до 3.Обратите внимание, что 6 = 3 * 2. Опять же, это общее. Площадь под от до равна сумме площадей от до и от до.

Это неплохая мотивация для определения

Обратите внимание: это определение натурального логарифма, а не доказательство связи. Наш аргумент об интеграле от Now переводится в утверждение

.

Теперь, шаг за шагом, мы покажем, что все остальные свойства, которые вы ожидаете от натурального логарифма, следуют из этого определения.

Видно, что

Наше определение подразумевает, что логарифм неограниченно растет, потому что, если мы постоянно умножаем аргумент логарифма на два, мы постоянно прибавляем к значению. (т.е.). Поскольку мы можем многократно умножать любое число на два, мы можем прибавлять к логарифму столько раз, сколько захотим. Это означает, что мы можем сделать логарифм сколь угодно большим.

Это также означает, что начинать интеграл с нуля, а не с нуля, было хорошей идеей. Если начать с нуля, интеграл бесконечен.Мы можем видеть это, потому что симметрично относительно линии.

Это означает, что область слева от кривой такая же, как и область под кривой, как это.

Мы только что показали, что область под кривой расходится, когда мы перемещаем правую часть интеграла на бесконечность, поэтому область слева от кривой также расходится. Если бы мы начали интеграл с нуля, он был бы бесконечным.

А как насчет логарифмирования чисел меньше единицы? Хорошая проверка того, все ли до сих пор имеет смысл, - это выяснить.

Поскольку область под начинается с нуля, когда и увеличивается бесконечно, ясно, что должно быть какое-то число, такое что. Давайте позвоним по этому номеру. Мы еще не знаем, что это такое, но, безусловно, существует. Таким образом,

Опять же, это определение, а не доказательство.

Сразу видно, что, например,. Это довольно удобный номер. Это показывает нам, что логарифм числа - это то, сколько раз вам нужно умножить на себя, чтобы получить.

Как насчет? Это .Итак, чтобы понять логарифмы рациональных чисел, нам нужно понять корни.

Но это не так уж и сложно.

.

С другой стороны,

Из этого делаем вывод. Возвращаясь к незаконченному примеру,. Не будет большим скачком сказать, что для любого рационального числа мы имеем

.

Это важный результат; вероятно, это определение того, к чему вы привыкли. Кусочки становятся на свои места. Главное остающееся препятствие - найти ценность и показать, что она соответствует нашим ожиданиям.

Перед этим следует упомянуть, как указанное выше соотношение работает для иррациональных чисел. Иррациональные числа втиснуты между рациональными, и поскольку определение логарифма как площади под кривой очевидно гладкое, логарифм иррационального числа также сжат. В конечном итоге указанное выше соотношение справедливо для всех положительных чисел. Однако мелкие детали реальных чисел более сложны, чем я хотел бы здесь затронуть. (Логарифм отрицательного числа или нуля не определен, по крайней мере, не в действительных числах.Что с этим сложно?)

Наконец, мы хотели бы каким-то образом определить, что есть. Вот один из способов сделать это. При малых значениях мы видим, что

Это следует из чрезвычайно простого приближения, приведенного ниже.

Красный квадрат - это аппроксимация площади зеленого интеграла. В красном квадрате явно есть площадь, а в зеленом интеграле есть. Таким образом,

Он грубый, но работает все лучше и лучше, когда становится крошечным. Умножая обе части аппроксимации на, получаем

Мы знаем, как переписать левую часть.Это дает

Поскольку мы определили, мы наконец видим

Это общее определение. Наконец, мы видим, что причина, по которой интеграл состоит в том, что все свойства двух функций в точности совпадают, и поэтому они должны быть одной и той же функцией.

Нравится:

Нравится Загрузка ...

Связанные

Теги: математическая интуиция, логарифмы, геометрическая интуиция

Эта запись была опубликована 17 декабря 2011 г. в 9:29 и подана по математике.Вы можете следить за любыми ответами на эту запись через канал RSS 2.0. Вы можете оставить отзыв или откликнуться со своего сайта.

Почему интеграл от 1 / x имеет абсолютное значение?

Проблема в том, что такое неопределенный интеграл. Он представляет собой площадь под кривой, нарисованной путем построения графика подынтегральной функции, но вы просто не знаете «границ» вашего домена, другими словами, какую часть области вы на самом деле собираетесь выбрать.

Например, вы можете выбрать $ \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {x} $ как область под $ y = 1 / x $ для $ x <0 $.В этом случае в результате интеграции вы получите $ \ log (-x) $. Итак, $ \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {x} $ действительно определяется кусочно как $ \ log (x) $, если $ x> 0 $, и $ \ log (-x) $, если $ x <0 $. При $ x = 0 $ подынтегральное выражение $ y (x) = 1 / x $ взрывается, так что нас это не касается.

Обратите внимание, что $ | x | $ всегда "позиционирует" любое действительное число, т. Е. Для $ x> 0 $, $ | x | = x $, но если $ x <0 $, $ | x | $ умножается на знак минус, чтобы сделать число положительным, т.е. $ | x | = -x $. Но именно это и происходит с аргументом $ \ log $!

Итак, лучший способ заставить кусочную функцию работать в единственном эквиваленте - сказать

$$ \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {x} = \ log | x | + C $$

РЕДАКТИРОВАТЬ Чтобы сделать это более убедительным, рассмотрим $ (\ log | x |) '$.Это НЕ $ 1 / | x | $. Обратите внимание, что $ y = | x | $ также является функцией, а $ \ log | x | $, таким образом, является композицией двух функций. Чтобы отличить это, вам нужно применить цепное правило, которое дает $ (\ log | x |) '= (\ log | x |)' _ {| x |} \ cdot (| x |) '_ x $. Ясно, что $ (\ log | x |) '_ {| x |} = 1 / | x | $, поэтому нам просто нужно проработать другую часть. $ y (x) = | x | $ дифференцируем везде, кроме $ x = 0 $, но там $ \ log (x) $ раздувается, поэтому нам не нужно об этом заботиться. По определению, $ (| x |) '$ равно $ 1 $, если $ x> 0 $ и $ -1 $, если $ x <0 $, i.е., это действует как «знак» действительного числа $ x $. Назовем его $ \ text {sgn} (x) $.

Следовательно, мы имеем $ (\ log | x |) '= \ text {sgn} (x) / | x | $. Но затем мы умножаем абсолютное значение действительного числа $ x $ на его знак, что возвращает нам исходное действительное число $ x $. Следовательно,

$$ (\ log | x |) '= \ frac1 {x} $$

И по определению первообразных равенство выше проверяется.

«Докажите» 0 = 1, используя интеграцию вычислений по частям - помните о своих решениях

Вот небольшой тест ваших навыков вычислений.Формула интегрирования по частям гласит:

Давайте сделаем интеграл 1/ x со следующими заменами.

Мы используем формулу интегрирования по частям.

Теперь упростим правую часть и отменим подобные термины.

И вуаля, мы доказали, что 0 = 1. Это, очевидно, абсурдный вывод. Так в чем же ошибка в этом доказательстве? Посмотрите видео для объяснения.

«Доказать» 0 = 1 с использованием исчисляемых интегралов

Или продолжайте читать.
.
.

«Все будет хорошо, если ты будешь использовать свой разум для принятия решений, и думать только о своих решениях». С 2007 года я посвятил свою жизнь разделению радости теории игр и математики. MindYourDecisions теперь имеет более 1000 бесплатных статей без рекламы благодаря поддержке сообщества! Помогите и получите ранний доступ к сообщениям с обещанием на Patreon.

.
.

.
.
.
.
M
I
N
D
.
Y
O
U
R
.
D
E
C
I
S
I
O
N
S
.
M
A
T
H
.
В
I
D
E
O
.
.
.
.
Ответ на ложное доказательство 1 = 0 Использование интегрирования по частям

Ошибка в доказательстве - это забвение константы интегрирования. Неопределенный интеграл слева равен функции плюс константа c , а интеграл справа равен той же функции плюс другая константа C . Мы можем отменить функцию, и тогда мы получим c = 1 + C .Итак, мы доказали, что константа слева на 1 больше, чем константа справа.

Другими словами, ошибка состоит в отмене неопределенных интегралов и ожидании равенства - две стороны могут отличаться на константу.

Студенты часто жалуются на написание константы интеграции. Но, как видите, это жизненно важно. Если вы забудете произвольную константу «плюс C », вы легко сможете доказать, что 0 = 1, и сломать математику!

Альтернативное разрешение - рассмотреть определенный интеграл от a до b .Вот что происходит после использования интеграции по частям.

Обратите внимание, что член 1, вычисляемый от a до b , исчезает, делая скучное утверждение, что определенный интеграл равен определенному интегралу.

Поэтому, когда вы делаете интегралы, всегда включайте произвольную константу для неопределенных интегралов или убедитесь, что вы работаете с пределами интегрирования с использованием определенных интегралов.

Источники

https: // math.stackexchange.com/questions/806254/using-integration-by-parts-results-in-0-1

https://math.stackexchange.com/questions/1104958/fake-0-1-integral-examples

https://math.stackexchange.com/questions/424854/1-0-by-integration-by-parts-of-tanx

http://mathforum.org/library/drmath/view/62380.html

Су, Фрэнсис Э. и др. «Один равен нулю: интегральная форма». Математические забавные факты. https://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10002.3-8.shtml

Аналогичная тема

Существует также ложное доказательство того, что 2 = 1 с использованием производных.

См. Мое сообщение в блоге: Докажите 2 = 1 с помощью исчисления. Сможете ли вы заметить ошибку?

Или посмотрите видео.

«Докажите» 2 = 1, используя производные исчисления

Опубликовано

PRESH TALWALKAR

Я веду канал MindYourDecisions на YouTube, у которого более 1 миллиона подписчиков и 200 миллионов просмотров. Я также являюсь автором книги «Радость теории игр: введение в стратегическое мышление» и нескольких других книг, доступных на Amazon.

(Как и следовало ожидать, ссылки на мои книги ведут на их списки на Amazon.Как партнер Amazon я зарабатываю на соответствующих покупках. Это не влияет на цену, которую вы платите.)

По сути, я начал вести блог Mind Your Decisions еще в 2007 году, чтобы поделиться некоторыми математическими вопросами, личными финансами, личными мыслями и теорией игр. Это было настоящее путешествие! Я благодарю всех, кто поделился моей работой, и я очень благодарен за освещение в прессе, включая Shorty Awards, The Telegraph, Freakonomics и многие другие популярные издания.

Я изучал экономику и математику в Стэнфордском университете.

Люди часто спрашивают, как я снимаю видео. Как и многие ютуберы, я использую популярное программное обеспечение для подготовки своих видео. Вы можете найти на YouTube учебники по программному обеспечению для анимации, чтобы узнать, как снимать видео. Будьте готовы - анимация отнимает много времени, а программное обеспечение может быть дорогим!

Не стесняйтесь, пришлите мне электронное письмо [электронная почта защищена]. Я получаю так много писем, что могу не отвечать, но я сохраняю все предложения для головоломок / тем для видео.

МОИ КНИГИ

Если вы совершите покупку по этим ссылкам, я могу получить компенсацию за покупки, сделанные на Amazon.Как партнер Amazon я зарабатываю на соответствующих покупках. Это не влияет на цену, которую вы платите.

Рейтинг книг с июня 2021 года.

(ссылки для США и мира)
https://mindyourdecisions.com/blog/my-books

Не забывайте о своих решениях - это сборник из 5 книг:

(1) Радость теории игр: введение в стратегическое мышление
(2) 40 парадоксов в теории логики, вероятностей и игр
(3) Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предвзятость
(4) Лучшие уловки с математической математикой (5) Умножение чисел на рисование линий

Радость теории игры показывает, как можно использовать математику, чтобы перехитрить своих конкурентов.(рейтинг 4,2 / 5 звезд в 200 отзывах)


40 Парадоксов в теории логики, вероятностей и игр содержит наводящие на размышления и противоречащие интуиции результаты. (рейтинг 4,1 / 5 звезд в 30 обзорах)


Иллюзия иррациональности: как принимать разумные решения и преодолевать предвзятость - это руководство, которое объясняет, как мы предвзято относимся к принятию решений, и предлагает методы для принятия разумных решений. (оценка 4/5 звезд в 17 обзорах)


Лучшие уловки в области ментальной математики учит, как можно выглядеть гением математики, решая задачи в уме (оценка 4.2/5 звезд в 57 обзорах)


Умножение чисел на рисование линий Эта книга представляет собой справочное руководство для моего видео, которое набрало более 1 миллиона просмотров о геометрическом методе умножения чисел. (рейтинг 4,1 / 5 звезд в 23 обзорах)


Mind Your Puzzles представляет собой сборник из трех книг «Математические головоломки», тома 1, 2 и 3. Темы головоломок включают математические предметы, включая геометрию, вероятность и т. д. логика и теория игр.

Math Puzzles Volume 1 содержит классические головоломки и загадки с полными решениями задач счета, геометрии, вероятности и теории игр.Том 1 получил оценку 4,4 / 5 звезд в 75 отзывах.

Math Puzzles Volume 2 - это продолжение книги с более серьезными задачами. (рейтинг 4.3 / 5 звезд в 21 обзоре)

Math Puzzles Volume 3 - третья в серии. (рейтинг 4.3 / 5 звезд по 17 отзывам)

KINDLE UNLIMITED

Учителя и студенты со всего мира часто пишут мне о книгах. Поскольку образование может иметь такое огромное влияние, я стараюсь сделать электронные книги доступными как можно шире по как можно более низкой цене.

В настоящее время вы можете читать большинство моих электронных книг с помощью программы Amazon Kindle Unlimited. Включив подписку, вы получите доступ к миллионам электронных книг. Вам не нужно устройство Kindle: вы можете установить приложение Kindle на любой смартфон / планшет / компьютер и т. Д. Ниже я собрал ссылки на программы в некоторых странах. Пожалуйста, проверьте свой местный веб-сайт Amazon, чтобы узнать о доступности и условиях программы.

США, список моих книг (США)
Великобритания, список моих книг (Великобритания)
Канада, результаты книги (CA)
Германия, список моих книг (DE)
Франция, список моих книг (FR)
Индия , список моих книг (IN)
Австралия, результаты книги (AU)
Италия, список моих книг (IT)
Испания, список моих книг (ES)
Япония, список моих книг (JP)
Бразилия, книга results (BR)
Mexico, book results (MX)

MERCHANDISE

Купите кружку, футболку и многое другое на официальном сайте товаров: Mind Your Decisions at Teespring .

Интеграция [1 / x, x] должна выдавать Log [Abs [x]], но не дает?

1. Второй абзац сообщения ООН, похоже, отражает ту же точку зрения, что и ваша точка зрения об использовании только $ C $.

2. Я предполагаю, что о независимости имеется в виду что-то вроде этого:

Задача : Найти функцию $ f \ двоеточие {\ Bbb R} \ backslash \ {0 \} \ rightarrow {\ Bbb R} $ такое, что $ f '(x) = 1 / x $, $ f (-1) = 1 $ и $ f (1) = 2 $.

Решение : $ f (x) = \ case {\ log (-x) + 1 & $ x <0 $ \ cr \ log (x) + 2 & $ x> 0 $ \ cr} $

Эта функция не имеет формы $ \ log | x | + C $.И общая проблема с условиями $ f (-1) = C_1 $ и $ f (1) = C_2 $ имеет пространство решений размерности 2.

3. Еще один способ взглянуть на размерность пространства решений: Общая действительная первообразная, заданная частным решением $ \ log | x | $ плюс любое решение $ Df = 0 $ над областью 1 доллар / х $. Условие $ Df = 0 $ влечет только то, что $ f $ локально постоянна. Если область состоит из некоторого числа непересекающихся открытых интервалов, то размерность пространства решений $ Df = 0 $ будет равно количеству интервалов.В случае $ 1 / x $, в котором область состоит из двух интервалов, размерность два, что может быть параметризовано двумя независимыми параметрами. $ C_1 $, $ C_2 $.

В более общем смысле, для рациональной функции $ p (x) / q (x) $, если $ q $ имеет $ n $ вещественных корней (без учета кратностей), то пространство его первообразных будет иметь размерность $ n + 1 $. Однако его сложная область состоит из одного связного компонента, и, следовательно, пространство решений может быть параметризовано одной константой.

4. Области, в которых локально постоянные функции играют роль, как правило, находятся в высшей математике, а не в исчислении первого года обучения (или даже в большинстве курсов по дифференциальным уравнениям второго года).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *