Несвойственные интегралы 1-го и 2-го рода
Несвойственный интеграл I рода
Если функция f(x) интегрирована за Риманом на каждом конечном промежутке [a;b], тогда несвойственный интеграл находят через предельный переход за формулой
и говорят, что несвойственный интеграл совпадающий, если существует такая конечная граница.
В противном случае (если граница бесконечна или не существует) говорят, что интеграл разбегается.
Несвойственный интеграл ІІ рода
Если функция f(x) неограничена в околе точки B и интегрирована за Риманом на каждом конечном промежутке , тогда несвойственный интеграл ІІ рода вычисляют по формуле
и говорят, что интеграл совпадающий, если существует его конечная граница. В противном случае (если граница бесконечна или не существует) говорят, что интеграл разбегается. Точка B называется особенной.
І. Вычислить интегралы
Начнем рассмотрение готовых ответов к несвойственным интегралам от простых к сложным заданиям.
Пример 2.147 (2334) Найти несвойственный интеграл
Имеем несвойственный интеграл І роду. Изменяем бесконечность на фиксированную точку из промежутка, вычисляем интеграл и после подстановки пределов интегрирования находим границу при следовании верхнего предела к бесконечности
Пример 2.148 ( 2335) Найти интеграл
Подинтегральная функция (логарифм) неопределенна в нуле, который отвечает нижней границе интегрирования. В соответствии с вышеприведенными формулами, имеем несвойственный интеграл второго рода. Для его нахождения переходим к границе в нуле, также выполняем интегрирование частями
Сам по себе интеграл не сложен в плане вычислений.
Замечание: в дальнейшем границу писать НЕ будем, а при вычисление несвойственных интегралов понимаем, что ищем значения границы в особенных точках (или в плюс минус бесконечности ) !!!
Пример 2.149 (2336) Вычислить интеграл
Разбиваем интеграл на 2 и находим несвойственные интегралы І рода
Пример 2.
150 (2337 ) Найти интеграл
Выполняем манипуляции идентичные, как и в предыдущем задании и приходим к несвойственным интегралам второго рода
Пример 2.151 ( 2338) Найти интеграл
Верхняя граница направляется к бесконечности, следовательно имеем несвойственный интеграл первого рода. Для нахождения предельного значения находим неопределенный интеграл и при подстановке пределов выносим переменную за скобки в числителе и знаменателе логарифма. В результате вклад бесконечно малых величин (1/x) направляется к нулю при переменной направляющейся к бесконечности. Таким образом находим главное значение интеграла
Пример 2.152 (2339) Найти интеграл
Решение: Вычислим последний интеграл методом Остроградського — метод не из простых, однако эффективный в подобных примерах:
возьмем производную от каждой части равенства (производная от интеграла равная подинтегральной функции)
Возведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x каждой части равенства
В результате получим систему из 4 линейных уравнений из которой находим 4 константы
Таким образом можем записать неопределенный интеграл в виде
Дальше подставляем пределы и находим границе дроби и арктангенса при переменной направляющейся к плюс минус бесконечности.
В конечной формуле можно еще избавиться от иррациональности в знаменателе, но это уже проделайте самостоятельно.
Пример 2.153 ( 2340)Найти интеграл
Вычислим последний интеграл методом неопределенных коэффициентов:
Записываем подинтегральные функции и, возведя их под общий знаменатель,
а дальше приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x каждой части равенства.
В результате решим систему трех уравнений и определим сталые
Подставим их в расписание и найдем неопределенный интеграл
после возведения под табличные формулы интегрирования получим логарифмы, которые группируем и арктангенс.
В бесконечности выносим из числителя и знаменателя дроби под логарифмом слагаемое с самым старшим показателем переменной и сокращаем на него. Тогда получим логарифм единицы.
В нуле с точностью до наоборот, сталые оставляем — остальные слагаемые с переменными не дают вклада.
С арктангенсом ситуация более определена и его значение на пределе подставляем в формулу
Пример 2.
154 ( 2341)Вычислить интеграл
Покажем, как можно найти интеграл такого вида двумя способами.
І способ: расписание методом неопределенных коэффициентов:
Чему равен арктангенс в нуле, единице и бесконечности Вы должны знать на память при решении подобных заданий.
Здесь применили метод неопределенных коэффициентов (A=C=0; B=D=1/2) :
ІІ способ — через замену переменных:
Пределы интегрирования при замене переменных здесь стали другими (в нуле минус бесконечность).
Пример 2.155 (2342) Найти интеграл
Особенной точкой здесь является нуль, поскольку корень в знаменателе становится равным нулю, а подинтегральная функция направляется к бесконечности. Но это происходит на таком малом участке интегрирования, что вклад мизерен и в целом интеграл совпадающий.
Для его вычисления переходим под интегралом к новым переменным, находим новые пределы интегрирования и находим арктангенсы на краях
Вычисления не сложны, поскольку свели интегрирование под простой табличный интеграл.
Пример 2.156 (2343) Найти интеграл
В бесконечности подинтегральная функция направляется к нулю, поэтому делаем вывод, что имеем несвойственный интеграл І рода. Для его нахождения кое-как превращаем функцию и выполняем замену переменных
В результате сводим интеграл к логарифму, который упрощаем используя свойства логарифмов.
Пример 2.157 ( 2344) Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Выполняем интегрирование частями
Второе слагаемое раскладываем методом неопределенных коэффициентов
В результате приходим к случаю когда имеем несвойственный интеграл І и ІІ рода одновременно, поэтому предел будет иметь вид
Здесь учтены следующие предельные переходы
Интеграл равен нулю.
Пример 2.158 (2345) Вычислить интеграл
В бесконечности подинтеграьная функция направляется к нулю — имеем І несвойственный интеграл.
Обозначив арктансенс через новую переменную определяем пределы интегрирования, дальше упрощаем функцию и интегрированием частями находим значение в крайних точках.
Пример 2.159 (2346) Найти интеграл
Неопределенный интеграл І рода решаем дважды применив интегрирование частями
В результате приходим к записи интеграла через самого себя, то есть рекуррентной формуле
Перегруппировываем известные и неизвестные по разные стороны знака равенства
и выражаем
отсюда искомый интеграл
Метод не новый, и когда Вы имеете произведение экспоненты на синусы и косинусы без него не обойтись.
Пример 2.160 ( 2347) Найти интеграл
На бесконечности подынтегральное выражение дает бесконечно малую осциллирующую около нуля функцию.
Чтобы обойти такую неопределенность используем методику предыдущего примера. Дважды применив интегрирование частями
приходим к рекуррентной формуле
Из нее найти интеграл достаточно просто:
интегралы переносим в одну сторону, сталые в другую.
А дальше выполняем деления одной постоянной справа на множитель при интеграле
Отсюда и имеем искомый интеграл
Запомните методику последних двух заданий, на модулях и экзаменах на этом поплатилась значительная часть студентов.
Не будьте в их числе!
Пример 2.161 Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Находим его и делаем вывод
что интеграл разбегается, поскольку преде не является конечным.
Пример 2.162 Найти интеграл
Экспоненту интегрировать не трудно, при отрицательном показателе она в бесконечности направляется к нулю
Пример 2.163 Вычислить интеграл
Интеграл по виду не сложный, однако при подстановке пределов многие из Вас пишут логарифм минус логарифм = бесконечность минус бесконечность, а дальше что границы не существует, а интеграл расходится.
А он совпадающий причем к нулю
В этом также легко убедиться проанализировав подинтегральную функцию, ее знаменатель положительный для положительных и отрицательных значений переменной, числитель непарная функция, следовательно интеграл справа от оси абсцисс нивелирует интеграл слева.
Пример 2.164 Найти интеграл
В знаменателе дроби выделяем полный квадрат и сводим интеграл под формулу арктангенса.
При следовании переменной к бесконечности арктангенс направляется к Pi/2, при минус бесконечности к — Pi/2.
В сумме получаем Int=Pi.
Пример 2.165 Найти интеграл
Имеем интеграл І рода. Покажем, что он расходится. Знаменатель на рассматриваемом промежутке удовлетворяет условие ln(x)<x-1, поэтому имеем следующее неравенство между функциями
,
Однако второй интеграл расходится
Поскольку функция принимает большие значения , то заданный интеграл также расходится!
Пример 2.166 Найти интеграл
Имеем несвойственный интеграл І рода. Его находим расписанием подинтегральной функции через простые множители, как это реализовать расписано дальше
Данный интеграл нашли методом неопределенных коэффициентов:
записываем функцию в виде расписания простых дробей
Дальше их возводим к общему знаменателю
приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x в обеих частях равенства и находим сталіе A=1, B=-1; C=1 .
Их и подставляем в интеграл
Пример 2.167 Найти интеграл
Чтобы не раскладывать на простые дроби через неопределенные коэффициенты прибавим и отнимем в числителе единицу. Это позволит получить в числителе такой же множитель как и знаменатель и разложить дробь на два интегралы.
Дальнейшее их вычисление и определение пределов приведено в формуле
.
Пример 2.168 Найти интеграл
При переменной направляющейся к бесконечности функция, которая интегрируется направляется к нулю. Имеем несвойственный интеграл первого рода. Чтобы найти его значение выносим переменную из под корня знаменателя, переходим к новой переменной интегрирование (при этом изменяются пределы). В результате получим арксинус, который и вычисляем
.
Пример 2.169 Найти интеграл
Здесь необходимо, чтобы параметр превращался в нуль. Для других его значений несвойственный интеграл первого рода находим методом замены переменных.
В результате приходим к логарифму, который расписываем к самому простому виду
Пример 2.170 Найти интеграл
Здесь в нуле надо найти предел, для этого вычисляем несвойственный интеграл, и подставляем пределы интегрирования.
Интеграл равен 0,5.
Пример 2.171 Найти интеграл
В нуле имеем особенность, которую при интегрировании необходимо обойти. Сначала превращаем функцию, чтобы перейти к новой переменной. Дальше применяем интегрирование частями, если множителем имеем экспоненту то это быстро приводит к конечному результату или рекуррентной формуле. Дальше подставляем пределы и анализируем, какие слагаемые сбегаются и к какой границе (значении).
Пример 2.172 Найти интеграл
В бесконечности синус осциллирует, если умножить на переменную то получим осциллирующую функцию с растущей амплитудой. Выполняем интегрирование частями и переходим к границе.
Поскольку последней границы не существует, то интеграл расходится.
Пример 2.173 Вычислить интеграл
Поскольку мы знаем к чему сводить подобные интегралы, то выполняем превращение функции в начале. Вы же можете обозначить корень из аргумента за новую переменную и в результате превращений прийти к тому же конечного интегралу. Самостоятельно проинтегрирував частями, Вы получите, что интеграл равен единице
Пример 2.174 Найти интеграл
В подобных примерах нужно дважды применять интегрирование частями.
В результате придем к рекуррентной формуле
откуда и определяем интеграл
Данный интеграл — это классика интегрирования, если бы экспонента и синус имели множители при аргументах, то вычисления были не такие простые как в рассмотреном примере.
Пример 2.175 Найти интеграл
Здесь с первого взгляда может показаться, что интеграл не принадлежит к несвойственным. Однако, разложив знаменатель на одночлены, видим, что во внутренней точке имеет особенность, а именно разрыв второго рода.
При нахождении несвойственного интегралу второго рода при переходе к границам два логарифма упрощаем, по правилу разница логарифмов равна логарифму части. Таким образом лишь одно из слагаемых дает вклад
На графике функции эта особенность имеет вид
Пример 2.176 Найти интеграл
В единице корень в знаменателе превращается в нуль и функция там имеет вертикальную асимптоту. Чтобы ее обойти прибавим и отнимем в числителе единицы и распишем интеграл на два. Их вычисление уже не содержит никаких особенностей
График функции, не доходя до 1 справа имеет вид
Пример 2.177 Найти интеграл
Неопределенность в заданный интеграл вносит то что логарифм вблизи нуля направляется к минус бесконечности. Интегрируя частями, придем к особенности в нуле, Вы ее можете свести к следствию второй важной границы, мы же записываем конечное значение.
Для наглядности графики подинтегральной функции на указанном промежутке имеет вид
Как можно убедиться здесь все гладко и красиво.
Пример 2.178 Найти интеграл
При приближении к нулю за счет квадрата знаменателя функция растет к бесконечности. Но и при этом промежуток на котором это происходит направляется к нулю. Поэтому несвойственный интеграл существует и с помощью приведенной замены переменных находится без проблем
Найденный интеграл не что другое как площадь фигуры между функцией и осью ординат. За исключением особенности в нуле графики функции имеет вид верхней линии, а значение интеграла — заштрихованной на рисунке поверхности.
Пример 2.179 Найти интеграл
В единице логарифм направляется к минус бесконечности, чтобы учесть это выполняем замену переменных под интегралом
В результате предел равен бесконечности, поэтому заданный интеграл разбегается.
График подинтегральной функции в околі особенной точки имеет вид
Пример 2.180 Найти интеграл
При приближении к единице логарифм направляется к нулю, а функция к плюс бесконечности.
Чтобы вычислить несвойственный интеграл ІІ рода выполняем замену переменных и переходим к корневой функции в знаменателе, которая после интегрирования не имеет особенности
Значение интеграла равно площади заштрихованной фигуры.
Пример 2.181 Найти интеграл
Здесь свой вклад вносит точка x=0, поскольку в ней функция из двух сторон направляется к плюс бесконечности.
Разделим числитель на знаменатель и перепишем функцию в виде показателей переменной.
Дальше разделяем интеграл на два и находим значение в пределе.
Получили совпадающий интеграл. Вид функции приведен на рисунку
Пример 2.182 Найти интеграл
Здесь идентичная ситуация, в нуле имеем особенность. По схеме предыдущего задания находим два неопределенных интеграла
Пример 2.183 Найти интеграл
Здесь в нуле имеем особенность, но поскольку знаменатель в нуле непарный то график общей функции имеет в нуле разрыв второго рода.
Такие функции интегрируемые и по схеме выше находим предел в нуле.
Около нуля график функции имеет вид
Пример 2.184 (2348) Найти интеграл
Вычислим нулевое приближение с устранимой особенностью в бесконечности
Дальше интегрированием частями находим значение для номера n
Получили рекуррентную формулу: In=n*In — 1, отсюда интеграл равен
На этом ознакомление с основными приемами нахождения несвойственных интегралов подходит к концу.
Больше готовых ответов на интегрирование функций ищите на страницах сайта.
Если нужна помощь, также обращайтесь!
определенный интеграл в 2 ч. Часть 1 — Образовательная платформа «Юрайт». Для вузов и ссузов.
- Скопировать в буфер библиографическое описание
Садовничая, И. В. Математический анализ: определенный интеграл в 2 ч.
Часть 1 : учебное пособие для среднего профессионального образования / И. В. Садовничая, Е. В. Хорошилова. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 242 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-06834-4. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441162 (дата обращения: 05.10.2022). - Добавить в избранное
Часть 1 : учебное пособие для среднего профессионального образования / И. В. Садовничая, Е. В. Хорошилова. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 242 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-06834-4. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/441162 (дата обращения: 05.10.2022).2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для СПО
- Нравится
- 1 Посмотреть кому понравилось
- Поделиться
- Описание
- Программа курса
- Нет в мобильном приложении
- Аннотация
- Программа курса
- Комплекты 6
Настоящее издание является первой частью пособия, посвященного теоретическим и практическим аспектам вычисления определенных интегралов, а также методам их оценок, свойствам и приложениям к решению различных геометрических и физических задач.
Цель данного пособия — помочь студенту во время прохождения темы «Определенный интеграл» на лекциях и практических занятиях по курсу математического анализа. Данная книга содержит разделы, посвященные определению, свойствам и методам вычисления собственных интегралов, свойствам несобственных интегралов. Изложение теоретического материала подкреплено большим количеством разобранных примеров вычисления, оценок и исследования свойств определенных интегралов. В конце каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения, подавляющее большинство из них с решениями.
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |||||||||||||
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |||||||||||||
| 3 | 92)|||||||||||||||
| Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | ||||||||||||||
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |||||||||||||
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||||||||||||||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |||||||||||||
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |||||||||||||
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||||||||||||||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |||||||||||||
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |||||||||||||
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|||||||||||||
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |||||||||||||
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |||||||||||||
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |||||||||||||
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |||||||||||||
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |||||||||||||
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92х также. Мы применяем методы интегрирования экспоненциальных функций, чтобы найти интеграл от e к 2x.Давайте найдем интеграл от e к 2x, используя несколько методов, а также решим несколько примеров, используя это.
Чему равен интеграл от e до 2x?Интеграл от e к 2x равен e 2x /2 + C. Математически это записывается как ∫ e 2x dx = e 2x /2 + C . Здесь
Распространенное заблуждение относительно интеграла от e до 2xПоскольку ∫ e x dx = e x + C, НЕ думайте, что ∫ e 2x dx равно e 2x + C. Мы всегда должны делить фактическое значение интеграла на коэффициент при x. Поскольку коэффициент при x равен 2, ∫ e 2x dx = e 2x /2 + C. Докажем, что интеграл от e к 2x равен e 2x /2 + C, используя различные методы и также проверим результат дифференцированием. Интеграл от е до 2х по дифференцированию Мы знаем, что дифференцирование и интегрирование являются операциями, обратными друг другу. Кроме того, мы знаем, что основная теорема исчисления используется для нахождения интеграла от производной. по правилу цепи, (E 2x ) ‘= 2E 2x Разделение обеих сторон на 2, (E 2x )’ / 2 = E 2x (e 2x / 2)’ = e 2x Взяв интеграл от обеих сторон, ∫ (e 2x / 2)’ dx = 86 e 2x dx Теперь, по основной теореме исчисления, символы интеграла и производной сокращаются друг с другом в левой части, и мы остаемся с: e 2x / 2 + C = ∫ e 2x dx Отсюда доказано. Мы можем найти интеграл от e до 2x, используя метод подстановки интегрирования. Рассмотрим интеграл ∫ e 2x дх. Здесь мы предполагаем, что 2x = u. Дифференцируя в обе стороны, получаем 2 dx = du и это можно записать как dx = du/2. ∫ e u (du/2) = (1/2) ∫ e u du Мы знаем, что интеграл от e x равен e x + C. Используя это, вышеуказанный интеграл становится равным = (1/2) (e u + C\(_1\)) = (1/2) e u + C\(_1\)/2 = (1/2) e 2x + C (где C\(_1\)/2 = C и u = 2x) Таким образом, методом подстановки мы доказали, что ∫ e 2x dx = (1/2) e 2x + C. Поскольку интегралы и производные обратны друг другу, чтобы убедиться, что интеграл от e к x равен e 2x / 2 + C, мы должны доказать, что производная e 2x / 2 + C равна е 2x . Найдем производную. д/дх (е 2x /2+С) Следовательно, мы проверили интеграл от e 2x . Определенный интеграл – это интеграл, имеющий границы (нижние и верхние границы). Мы рассмотрим определенный интеграл от e к 2x от a до b. т. е. ∫ ₐ б e 2x дх. Чтобы оценить это, мы сначала рассмотрим тот факт, что интеграл e 2x равен e 2x /2 + C, а затем подставим верхнюю и нижнюю границы одну за другой по порядку, а затем вычтем результаты. то есть, ∫ ₐ B E 2x DX = (E 2x /2 + C) ₐ B = (E 2B /2 + C) — — /2 + C) — = е 2б /2 + В — е 2а /2 — В = e 2b /2 — e 2a /2 = (1/2) (e 2b — e 2a расчет) Таким образом, постоянная интегрирования не играет никакой роли определенный интеграл (потому что он сократился). Важные замечания по интегралу от e к 2x: Связанные темы: Чтобы найти ∫ e 2x dx, предположим, что 2x = u. Тогда 2 dx = u (или) dx = du/2. Нет, производная e 2x равно 2e 2x , тогда как интеграл от e 2x равен e 2x /2 + C. Мы знаем, что производная от e 2x равна 2e 2x . т. е. d/dx (e 2x ) = 2e 2x d/dx (e 2x /2) = e 2x Взяв интеграл с обеих сторон, ∫ d/dx (e 2x /2) dx = ∫ e 2x dx Интеграл и Интеграл получить отменены друг с другом слева. Таким образом, у нас останется e 2x /2 = ∫ e 2x dx. Так как мы обычно добавляем постоянную интегрирования C для каждого неопределенного интеграла, ∫ e 2x dx = e 2x /2 + C. |
Эта теорема говорит, ∫ f'(x) dx = f(x) + C. Сначала найдем производную от e 2x .
Тогда приведенный выше интеграл принимает вид:
Тогда значение интеграла равно (1/2) ∫ e u dx = (1/2) e u + C = (1/2) e 2x + C.