Интегрирование иррациональных функций
Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой при помощи метода интегрирования.
Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа ∫kx+bp dx, где p является рациональной дробью, k и b являются действительными коэффициентами.
Пример 1Найти и вычислить первообразные функции y=13x-13.
Решение
По правилу интегрирования необходимо применить формулу ∫f(k·x+b)dx=1k·F(k·x+b)+C, а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что
∫dx3x-13=∫(3x-1)-13dx=13·1-13+1·(3x-1)-13+1+C==12(3x-1)23+C
Ответ: ∫dx3x-13=12(3x-1)23+C.
Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида ∫f'(x)·(f(x))pdx, когда значение p считается рациональной дробью.
Найти неопределенный интеграл ∫3×2+5×3+5x-776dx.
Решение
Отметим, что dx3+5x-7=x3+5x-7’dx=(3×2+5)dx. Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что
∫3×2+5×3+5x-776dx=∫(x3+5x-7)-76·(3×2+5)dx==∫(x3+5x-7)-76d(x3+5x-7)=x3+5x-7=z==∫z-76dz=1-76+1z-76+1+C=-6z-16+C=z=x3+5x-7=-6(x3+5x-7)6+C
Ответ: ∫3×2+5×3+5x-776dx=-6(x3+5x-7)6+C.
Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида ∫dxx2+px+q, где p и q являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что
x2+px+q=x2+px+p22-p22+q=x+p22+4q-p24
Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:
∫dxx2±α=lnx+x2±α+C
Тогда вычисление интеграла производится:
∫dxx2+px+q=∫dxx+p22+4q-p24==lnx+p2+x+p22+4q-p24+C==lnx+p2+x2+px+q+C
Пример 3Найти неопределенный интеграл вида ∫dx2x2+3x-1.
Решение
Для вычисления необходимо вынести число 2 и расположить его перед радикалом:
∫dx2x2+3x-1=∫dx2x2+32x-12=12∫dxx2+32x-12
Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении.
Получим, что
x2+32x-12=x2+32x+342-342-12=x+342-1716
Тогда получаем неопределенный интеграл вида 12∫dxx2+32x-12=12∫dxx+342-1716==12lnx+34+x2+32x-12+C
Ответ: dxx2+3x-1=12lnx+34+x2+32x-12+C
Интегрирование иррациональных функций производится аналогичным способом. Применимо для функций вида y=1-x2+px+q.
Пример 4Найти неопределенный интеграл ∫dx-x2+4x+5.
Решение
Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.
∫dx-x2+4x+5=∫dx-x2-4x-5==∫dx-x2-4x+4-4-5=∫dx-x-22-9=∫dx-(x-2)2+9
Табличный интеграл имеет вид ∫dxa2-x2=arcsinxa+C, тогда получаем, что ∫dx-x2+4x+5=∫dx-(x-2)2+9=arcsinx-23+C
Ответ: ∫dx-x2+4x+5=arcsinx-23+C.
Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида y=Mx+Nx2+px+q, где имеющиеся M, N, p, q являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:
подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.
Найти первообразные функции y=x+2×2-3x+1.
Решение
Из условия имеем, что d(x2-3x+1)=(2x-3)dx и x+2=12(2x-3)+72, тогда (x+2)dx=12(2x-3)+72dx=12d(x2-3x+1)+72dx.
Рассчитаем интеграл: ∫x+2×2-3x+1dx=12∫d(x2-3x+1)x2-3x+1+72∫dxx2-3x+1==12∫(x2-3x+1)-12d(x2-3x+1)+72∫dxx-322-54==12·1-12+1·x2-3x+1-12+1+72lnx-32+x-32-54+C==x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C
Ответ: ∫x+2×2-3x+1dx=x2-3x+1+72lnx-32+x2-3x+1+C.
Поиск неопределенных интегралов функции ∫xm(a+bxn)pdx осуществляется при помощи метода подстановки.
Для решения необходимо ввести новые переменные:
- Когда число p является целым, тогда считают, что x=zN, а N является общим знаменателем для m, n.
- Когда m+1n является целым числом, тогда a+bxn=zN, а N является знаменателем числа p.
- Когда m+1n+p является целым числом, то необходим ввод переменной ax-n+b=zN, а N является знаменателем числа p.
Найти определенный интеграл ∫1x2x-9dx.
Решение
Получаем, что ∫1x2x-9dx=∫x-1·(-9+2×1)-12dx.
Отсюда следует, что m=-1, n=1,p=-12, тогда m+1n=-1+11=0 является целым числом. Можно ввести новую переменную вида -9+2x=z2. Необходимо выразить x через z. На выходы получим, что
-9+2x=z2⇒x=z2+92⇒dx=z2+92’dz=zdz-9+2x=z
Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что
∫dxx2x-9=∫zdzz2+92·z=2∫dzz2+9==23arctgz3+C=23arcctg2x-93+C
Ответ: ∫dxx2x-9=23arcctg2x-93+C.
Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Примеры решения интегрирования иррациональных функций с ответами
Простое объяснение принципов решения интегрирования иррациональных функций и 10 наглядных примеров.
В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Интегралы, подынтегральная функция которых представляет собой иррациональное выражение, не могут быть вычислены непосредственно. С помощью тождественных преобразований подынгегральной функции такие интегралы можно свести к табличным интегралам, либо к их алгебраической сумме.
При решении задач на вычисление интегралов от иррациональных функций, применяются методы подстановки и дробно-линейной подстановки.
Отдельным методом интегрирования иррациональных функций является использование формулы:
Примеры решений
интегрирования иррациональных функцийПример 1
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Представим интеграл в виде:
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и является 6.
Сделаем подстановку
Выделим целую часть в :
Сделаем обратную подстановку
Ответ
Пример 2
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Представим интеграл в виде:
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и является 6.
Сделаем подстановку
Выделим целую часть в :
Сделаем обратную подстановку
Ответ
Пример 3
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Представим интеграл в виде:
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и является 6.
Сделаем подстановку
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем обратную подстановку
Ответ
Пример 4
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Представим интеграл в виде:
Наименьшим общим кратным знаменателей дробей и является 6.
Сделаем подстановку
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем обратную подстановку
Ответ
Пример 5
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем :
Подставим вместо :
Делаем обратную замену :
Ответ
Пример 6
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем :
Подставим вместо :
Делаем обратную замену :
Ответ
Пример 7
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Применим формулу
Дифференцируя равенство по , получаем:
Сопоставим коэффициенты слагаемых с в одинаковой степени:
– коэффициент при
– коэффициент при
– коэффициент при
Находим значения и :
Подставляем найденные значения в
Получаем
Ответ
Пример 8
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку
Найдём dx:
С учётом подстановки подынтегральная функция примет следующий вид:
В результате искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Данный интеграл относится к табличным и равен:
Поэтому:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Ответ
Пример 9
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку
Найдём dx:
С учётом подстановки подынтегральная функция примет следующий вид:
Делаем обратную подстановку и учитываем, что :
Ответ
Пример 10
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Сделаем подстановку :
Сделаем подстановку :
Переходим к переменной через подстановку :
Переходим к переменной через подстановку :
Ответ
Средняя оценка 0 / 5.
Количество оценок: 0
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
6817
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Интеграция иррациональных функций
Некоторые виды интегралов, содержащих иррациональные выражения, можно свести к интегралам от рациональных функций путем соответствующей замены.
Такие преобразования интеграла называют его рационализацией.
В этом разделе мы рассмотрим несколько полезных замен, которые могут помочь с иррациональными интегралами.
Случай 1. Интегралы с дробными степенями числа
х Для интегрирования функции, содержащей только одно иррациональное выражение вида x м / н , делаем замену u = х 1/ н .
Если иррациональная функция содержит более одной рациональной степени х , мы используем замену:2}}\) можно вычислить с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок.
Решенные проблемы
Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.
Пример 1
Найдите интеграл \[\int {{\frac{{\sqrt {x + 9}}}}{x}} dx}.\]
Пример 2
Найдите интеграл \[\int { \frac{{dx}}{{x — \sqrt x }}}.\]
Пример 3
Вычислить интеграл \[\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x + 1}} }.\]
Пример 4
Вычислить интеграл \[\int {\sqrt[3]{{5x — 1}}dx}.\]
Пример 5
Найти интеграл \[\int {\frac{x}{{\sqrt { x + 1} }} dx}.\]
Пример 6
Найти интеграл \[\int {x\sqrt {2x — 3} dx}.\]
Пример 7
Вычислить интеграл \[\ int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x — 4} }}}.\]
Пример 8
Вычислить интеграл \[\int {{\frac{{\sqrt x — 1} }{{\sqrt x + 1}}} дх}.\]
Пример 1.
Найдите интеграл \[\int {{\frac{{\sqrt {x + 92},\;\;dx = 2udu.\]
Отсюда
\[\ int {\ frac {{dx}} {\ sqrt x + 1}}} = \ int {\ frac {{2udu}} {{u + 1}}} = 2 \ int {\ frac { и {{и + 1}} du} = 2 \ int {\ frac {{u + 1 — 1}} {{u + 1}} du} = 2 \ int {\ left ({1 — \ frac { 1}{{u + 1}}} \right)du} = 2u — 2\ln \left| {и + 1} \право| + C = 2\sqrt x — 2\ln \left| {\ sqrt х + 1} \ справа | + С.\]
Пример 4.
Вычислить интеграл \[\int {\sqrt[3]{{5x — 1}}dx}.\]
Раствор.
Используем замену: 92}}}{2} — 4u + 4\ln \left| {и + 1} \право| + C = x — 4\sqrt x + 4\ln \left| {\ sqrt х + 1} \ справа | + С.\]
Дополнительные проблемы см. на стр. 2.
Изучение интеграции рациональных и иррациональных функций @ Embibe
- Автор Риту_Кумари
- Последнее изменение 24-01-2023
Интегрирование рациональных и иррациональных функций: Мы знакомы с функциями и их производными. Нам часто не дают выражения для функции \(f\left( x \right)\).
У нас есть только выражение для скорости изменения этой функции \(f’\left( x \right)\). Когда это произойдет, чтобы найти исходную функцию, нам нужно будет найти первообразные, а для этого нам нужно будет использовать интегрирование.
Мы можем найти выражение для скорости, дифференцируя выражение для смещения \(v = \frac{{ds}}{{dt}}\). Поскольку интегрирование является процессом, обратным дифференцированию, для получения смещения \(s\) объекта за время \(t\) для заданного выражения скорости \(v\) мы использовали бы \(s = \ int v dt\). Точно так же с помощью интегрирования можно вычислить скорость объекта в момент времени \(t\) с ускорением \(a\) по формуле \(v = \int a dt\).
Что такое частичные дроби? Рациональная функция объединяет два или более рациональных выражения в одно. Здесь, когда дано одно рациональное выражение, мы выражаем его как сумму двух или более рациональных выражений. Особый тип суммы простых дробей называется разложением на неполные дроби.
Каждое слагаемое в сумме является частичной дробью.
Существует четыре типа неполных дробей и их интегрирование:
Заметим, что любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы неполных дробей.
Рассмотрим рациональную функцию \(f(x) = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}\), где \(P(x)\) и \(Q(x )\) являются полиномами.
Можно выразить \(f(x)\) как сумму более простых дробей, если степень \(P\) меньше степени \(Q\). Проще говоря, \(f\) является правильной рациональной функцией.
Этапы образования неполных дробейИспользуйте следующие шаги, чтобы сформировать разложение рационального выражения на неполные дроби.
Шаг 1: Если \(f\) неправильный, то есть \(\deg(P) \ge \deg (Q)\), то разделите \(P\) на \(Q\) до остатка \(R(x)\) получается таким образом, что \(\deg (R) < \deg (Q)\).
\(\следовательно \,\frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = S(x) + \frac{{R(x)}}{{Q(x)}} \)
Здесь \(S\) и \(R\) также многочлены.
2} + dx + e\) – неприводимое число, а \(m\) и \(n\) – целые числа. 92} – 4ас < 0\).
Шаг 3:
Для каждого типа линейного коэффициента, указанного ниже, разложение должно включать соответствующий член, указанный в таблице.
| Форма линейного коэффициента | Разложение |
Шаг 4: Используйте методы для нахождения констант в числителях. Здесь возможны четыре случая.
Случай 1: \(Q\left( x \right)\) является произведением различных линейных множителей
Запишите \(Q(x) = \left( {{a_1}x + {b_1}} \ right)\left( {{a_2}x + {b_2}} \right) \ldots \left( {{a_k}x + {b_k}} \right)\), где ни один множитель не повторяется.
r}\) встречается при факторизации \(Q \left( x \right)\), то вместо одного члена \(\frac{{{A_1}}}{{{a_1}x + {b_1}}}\) мы будем использовать \(r\) условия. 9r}\) в знаменателе. Это дает \({A_r} = \frac{{P(a)}}{{Q(a)}}\)
Случай 3: \(Q\left( x \right)\) содержит неприводимые квадратичные множители, ни один из которых не повторяется 9{ – 1}}\,x\), в качестве второй функции будем рассматривать единицу, а в качестве первой функции – данное подынтегральное выражение.
n} = ax + b\) и таким образом, можно интегрировать частичными дробями. 92} – 1} \right)(3 + 2x)}}} = \int {\ frac{{dx}}{{(x – 1)(x + 1)(3 + 2x)}}} \)
Теперь пусть \(\frac{1}{{(x + 1)(x – 1)(3 + 2x)}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{ x – 1}} + \frac{C}{{2x + 3}}\)
Или \(1 = A(x – 1)(2x + 3) + B(x + 1)(2x + 3) + C(x + 1)(x – 1)\)
Подставляя последовательно \(x = 1,\, – 1,\, – \frac{3}{2}\), получаем
\(1 = B \ cdot 2 \cdot 5,\,1 = A( – 2) \cdot 1,\,1 = C \cdot \left( { – \frac{1}{2}} \right)\left( { – \frac {5}{2}} \right)\)
Следовательно, \(B = \frac{1}{{10}},\,A = – \frac{1}{2},\,C = \frac {4}{5}\) 92}}}} \right)} dz\)
\( = \ln \left| {\frac{{1 + z}}{{1 – z}}} \right| – \sqrt 2 \ln \left | {\ frac {{\ sqrt 2 + z}} {{\ sqrt 2 — z}}} \right | + C \) где \ (z = \ sqrt {\ left ( {\ frac {{x + 1}) }{{x + 2}}} \right)} \)
Рациональная функция объединяет два или более рациональных выражения в одно. Запись суммы простых дробей особого типа называется разложением на неполные дроби.
Каждый отдельный член суммы называется частичной дробью. Существует четыре типа дробей. Используя частичные дроби, можно интегрировать рациональные функции.
Иногда их можно избежать, чтобы интегрировать рациональную функцию, и мы можем использовать различные методы для ее интеграции. Иррациональные функции можно интегрировать, используя подходящую замену одной из них с помощью рационализации. Некоторые виды интегралов иррациональных алгебраических выражений можно свести к интегралам рациональной функции соответствующей заменой переменных. Такое преобразование в рациональный интеграл называется его рационализацией.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)У учащихся может возникнуть много вопросов относительно интеграции рациональных и иррациональных функций. Вот несколько часто задаваемых вопросов и ответов.
В.1. Как интегрировать иррациональные функции?
Ответ: Мы можем интегрировать иррациональную функцию, используя подходящую замену, или преобразовать ее в рациональную функцию, используя рационализацию.
Q.2. Что такое рациональные и иррациональные функции?
Ответ: Рациональная функция – это отношение многочленов, у которых знаменатель многочлена не должен быть равен нулю. Иррациональной функцией часто считают функцию, содержащую знак корня.
В.3. Что такое рациональная интеграция функций?
Ответ: Рациональные функции могут быть интегрированы с использованием нескольких методов, таких как использование частичных дробей и/или использование формулы интегрирования специального типа рациональных функций.
Q.4. Интегрируемы ли рациональные функции?
Ответ: Да, рациональные функции интегрируются подходящими методами, и вместо этого мы можем интегрировать рациональные функции.
Q.5. Как вы интегрируете рациональные выражения?
Ответ: Чтобы проинтегрировать правильную рациональную функцию, мы можем применить метод частичных дробей.