Интеграл от корня из дроби
Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.
Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл: , где – числа. Руководствуясь законом подлости, считаем, что все эти числа коэффициенты не равны нулю. Это уже не смешно, так обычно и бывает.
В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.
Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.
Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:
Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал .
Выражаем «икс»:
Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?
Я вывел готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида !
Формулы замены таковы:
Это было ни в коем
случае не хвастовство, просто я не смог
быстро найти эти формулы в близлежащей
литературе и Сети – оказалось проще
вывести.
Да и может быть кто-нибудь для
реферата возьмет.
Опять – двадцать пять, заключительный пример:
Пример 25
Найти неопределенный интеграл
Проведем замену:
В данном примере:
Таким образом:
Еще куда ни шло, могло всё оказаться значительно хуже. Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:
Проведем обратную замену. Если изначально , то обратно:
Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!
Иногда встречаются интегралы вида , , но это нужно быть либо слишком умным либо попасть под раздачу. Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал .
Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: Проведем замену: Интегрируем по частям:
Пример 3: Ответ:
Пример 4: Ответ:
Пример 6: Решение: Интегрируем по частям:
Пример 8: Решение: Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе: Таким образом:
Пример 10: Решение: Проведем замену:
Пример 11: Решение: Замена:
Пример 12: Решение: Замена:
Пример 14: Решение: Дважды используем рекуррентную формулу
Пример 16: Решение:
Пример 18:
Решение: Используем формулу приведения: и формулу двойного угла: .
Пример 19: Решение:
Пример 21: Решение: –3 – 3 = –6 – целое отрицательное число
Пример 23: Решение:
Пример 24: Решение:
Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:
1) Уметь находить неопределенные интегралы.
2) Уметь вычислить определенный интеграл.
Как
видите, для того чтобы освоить определенный
интеграл, нужно достаточно хорошо
ориентироваться в «обыкновенных»
неопределенных интегралах. Поэтому
если вы только-только начинаете
погружаться в интегральное исчисление,
и чайник еще совсем не закипел, то лучше
начать с урока
В общем
виде определенный интеграл записывается
так: Что
прибавилось по сравнению с неопределенным
интегралом? Прибавились пределы
интегрирования.
Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой . Отрезок называется отрезком интегрирования.
Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое «факью» по определенному интегралу.
Что такое определенный интеграл? Я бы мог вам рассказать про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т.д., но урок носит практический характер. Поэтому я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число.
Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл? Есть. И очень хороший. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла.
Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.
Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:
Формулу лучше
переписать на отдельный листочек, она
должна быть перед глазами на протяжении
всего урока.
Этапы решения определенного интеграла следующие:
2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .
3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .
4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.
Готово.
Всегда ли существует определенный интеграл? Нет, не всегда.
Например,
интеграла
не
существует, поскольку отрезок
интегрирования
не
входит в область определения подынтегральной
функции (значения под квадратным корнем
не могут быть отрицательными).
Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция была непрерывной на отрезке интегрирования.
Из
вышесказанного следует первая важная
рекомендация: перед тем, как приступить
к решению ЛЮБОГО определенного интеграла,
нужно убедиться в том, что подынтегральная
функция непрерывна
на отрезке интегрирования.
По студенческой молодости у меня
неоднократно бывал казус, когда я подолгу
мучался с нахождением трудной
первообразной, а когда наконец-то ее
находил, то ломал голову еще над одним
вопросом: «что за ерунда получилась?».
???!!!
Нельзя подставлять отрицательные числа под корень!
Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен несуществующий интеграл вроде
,
то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.
Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу? Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будетнесобственный интеграл, коим отведена отдельная лекция.
Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования?
Может, и такая ситуация реально встречается на практике.– интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.
Без чего не обходится
высшая математика? Конечно же, без
всевозможных свойств.
Поэтому рассмотрим
некоторые свойства определенного
интеграла.
В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:
Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:
– в таком виде интегрировать значительно удобнее.
Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:
– это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.
В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.
Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:
Пример 1
Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Выносим константу
за знак интеграла.
(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?
(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница
.
Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.
Пример 2
Вычислить определенный интеграл
Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.
Немного усложняем задачу:
Пример 3
Вычислить определенный интеграл
Решение:
(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.
(2) Интегрируем по
таблице, при этом все константы выносим
– они не будут участвовать в подстановке
верхнего и нижнего предела.
(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница: СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом:
– первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут
(особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.
Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, я сам привык решать подобные интегралы так:
Здесь я устно использовал правила линейности, устно проинтегрировал по таблице. У меня получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов:
(в отличие от трёх
скобок в первом способе).
И в «целиковую»
первообразную функцию, я сначала
подставил сначала 4, затем –2, опять же
выполнив все действия в уме.
Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений, но лично мне всё равно – обыкновенные дроби я считаю на калькуляторе. Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом, студенту-чайнику лучше использовать первый способ, при «моём» способе решения точно где-нибудь потеряется знак.
Несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная
находится в одной скобке.
Совет: перед тем, как использовать формулу Ньютона-Лейбница, полезно провести проверку: а сама-то первообразная найдена правильно?
Так, применительно к рассматриваемому примеру: перед тем, как в первообразную функцию подставлять верхний и нижний пределы, желательно на черновике проверить, а правильно ли вообще найден неопределенный интеграл? Дифференцируем:
Получена исходная
подынтегральная функция, значит,
неопределенный интеграл найден верно.
Теперь можно и формулу Ньютона-Лейбница
применить.
Такая проверка будет не лишней при вычислении любого определенного интеграла.
Пример 4
Вычислить определенный интеграл
Это пример для самостоятельно решения. Попробуйте решить его коротким и подробным способом.
Ответы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||
09.14
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука
| Похожие вопросы |
гусь тяжелее утки на 2…
существуют ли два числа, записываемые только цифрами 7 и 9, произведение которых тоже записывается семерками и девятками
Na2SO3 h3SO4 Na2S=S Na2SO4 h3O…
Решено
Периметр параллелограмма АВСD равен 50 см, угол С равен 30 градусов, а перпендикуляр ВН к прямой СD равен 6,5 см.
Найдите стороны параллелограмма.
Задачи по дисконтированию
Пользуйтесь нашим приложением
Степенная замена. Интегрирование линейных иррациональностей
Замена переменной в неопределённом интеграле, продолжение.
Снова всех приветствую, дорогие друзья! Итак, как я и обещал, продолжаем постигать, как работает процедура замены переменной в неопределённом интеграле. Вот теперь уже начинаются довольно серьёзные примеры. Тем не менее, если как следует уловить суть сегодняшнего материала, то в будущем все примеры, похожие на те, что мы здесь рассмотрим, уже не будут представлять особых проблем. Всё что будет рассматриваться в сегодняшнем материале, так или иначе, будет разложено по полочкам. Что, как, откуда и зачем. Так что устраиваемся поудобнее и вникаем.)
Вообще говоря, всевозможных замен в интегрировании существует довольно много.
И, порой, весьма и весьма нетривиальных. Это и универсальная тригонометрическая подстановка, и подстановки Эйлера, Абеля, гиперболическая замена… Но пока выносить мозг раньше времени всякой экзотикой я не буду. Вот когда познакомимся с общим приёмом интегрирования рациональных дробей (и порешаем соответствующие примеры), тогда и расскажу о таких подстановках. Всему своё время. 🙂
Но некоторые виды замен мы вполне можем рассмотреть уже сейчас. И потренироваться на достаточно простых примерах. Нашего опыта для этого уже вполне хватает.) Так что не будем бродить вокруг да около, а лучше приступим.)
Для начала немного теории. Давайте, вкратце вспомним два предыдущих урока по замене переменной. А чуть конкретнее — как именно выглядела сама процедура в плане оформления. У нас в копилке пока что лишь два варианта. Две типовые схемы:
— подведение функции под знак дифференциала
Оформление:
1) Подынтегральное выражение f(x)dx представляется в виде произведения φ(g(x))·d(g(x)).
2) Вводится замена g(x) = t. Иначе говоря, из подынтегральной функции выделяется некая вспомогательная функция g(x) и её производная g’(x), которая затем и вносится под дифференциал, сводя исходный пример к более простому.
3) Вычисление нового интеграла, где всё выражено через новую переменную t.
4) Обратная замена и запись ответа.
— непосредственная замена переменной
Оформление:
1) Замена: «то, что не нравится» = t.
2) Дифференцирование данного равенства, установление связи между дифференциалами dx и dt.
3) Выражение всего примера через t и нахождение первообразной,
4) Обратная замена и запись ответа.
Обе эти схемы были подробно рассмотрены в двух предыдущих уроках.
Кому непонятно — прогуляйтесь по ссылкам, почитайте предыдущие материалы. Там всё популярно объясняется.)
А теперь, прежде чем знакомиться с двумя интересными и красивыми заменами, рассмотрим ещё один вариант оформления. Заключается он в следующем. Вникаем.)
Пусть перед нами неопределённый интеграл
где под интегралом стоит какая-то сложная функция. Какая именно — пока неважно. Что мы делаем обычно? Либо сразу заменяем то, что нам не нравится, новой буквой, либо же вычленяем какую-то устойчивую конструкцию и подводим её под дифференциал.
А новый вариант замены здесь такой: заменяем переменную икс новой функцией φ(t). Да-да! Не просто буквой, а именно функцией! От новой переменной t.
Для полного перехода к переменной t нам, ясное дело, ещё требуется выразить через неё и наш дифференциал dx:
Ну вот.
Подставляем теперь это всё барахло в наш интеграл и получаем новый интеграл по новой переменной t:
Если получившийся интеграл оказывается табличным или хотя бы проще исходного, то всё шоколадно. Мы победили!)
Как можно заметить, опять всё вертится вокруг производной сложной функции. Ничего удивительного. Вся суть замены и заключается в умении выделять сложную функцию в подынтегральном выражении, да.)
И тут я слышу закономерный вопрос: а на какую именно функцию φ(t) следует заменять икс? А вот здесь уже начинается творчество и искусство! Функцию φ(t) надо постараться подобрать таким образом, чтобы из примера исчезло всё самое нехорошее и неудобное. По максимуму. Например, если под интегралом корень, то надо добиться, чтобы корень пропал и под интегралом осталась более простая функция.
Многа букаффф, да. Ничего не поделать… Теория есть теория, да… Но запоминать наизусть всю эту абракадабру, скобочки, штрихи и не надо: на практике всё куда проще выглядит! Важно лишь понимать суть.
А как именно научиться понимать суть, я сейчас и покажу. На примерах.) Итак, хватит болтовни, поехали знакомиться с нашими заменами! Первая из типовых замен, которую мы рассмотрим уже в этом уроке — это степенная замена.
Степенная замена. Интегрирование линейных иррациональностей.
Это наиболее популярная замена при интегрировании всяких нехороших функций с корнями. Суть её заключается в том, чтобы после замены из подынтегральной функции исчезли напрочь все корни. Под корнями при этом может тусоваться всё что угодно — и многочлены, и синусы, и дроби. Мы же пока рассмотрим так называемые линейные иррациональности, когда под корнем стоит линейная конструкция kx+b. Ибо такие интегралы не самые жестокие и вполне годятся для знакомства с методом. Примеров в уроке будет немного, всего три. Зато какие! Итак, решаем! 🙂
Пример 1
Казалось бы, простенькая функция, но… за что зацепиться? Под интегралом произведение, но интегрировать каждый множитель по отдельности — не катит.
Далее. Если бы под корнем не стояло единички, то подынтегральная функция имела бы вид
То есть, была бы обычной табличной степенной функцией с n = 3/2. А уж что надо делать со степенной функцией, мы с вами уже знаем (надеюсь). Но единичка под корнем рушит все наши мечты… Что же делать?
Надо бы как-то извернуться, чтобы и от корня избавиться, и суть примера не испортить. Всё-таки лучше, когда корня нет, правда? 🙂 Выход только один — вводить замену. Но — какую?
Давайте соображать. Нам ведь надо избавиться от корня, верно? Вспоминаем, в результате каких действий у нас пропадает корень. Корень у нас пропадает, когда под корнем стоит точный квадрат. Надо бы наше подкоренное выражение х+1 как-то превратить в точный квадрат. Так, чтобы корень извлекался чисто! Потому что, если корень извлечётся чисто — не станет корня.)
Вот и заменим наше подкоренное выражение x+1 новой функцией t2.
Тогда наш корень как раз и будет извлекаться чисто!
Итак, делаем вот такую замену: x+1 = t2.
Корень у нас квадратный, поэтому и наша новая вспомогательная функция t2 – тоже квадрат, да.)
Хорошо. Давайте теперь выражать все остальные части нашего примера через t. С использованием нашего нового равенства x+1 = t2.
Прежде всего, можно выразить сам икс: x = t2 — 1.
Вот наша вспомогательная функция φ(t) = t2 — 1, ликвидирующая так мешающий нам корень! Если бы под корнем стоял просто икс, то замена была бы такой:
х = φ(t) = t2.
А раз под корнем стоит х+1, то приходится дополнительно отнимать единичку. Всё логично.
)
А теперь можно вычислить и dx:
dx = (t2)’dt = 2tdt
Так. А что же с самим корнем? А сам корень — это не что иное, как просто t! Прямо по смыслу нашей замены:
Отлично. Вставляем теперь всё в наш исходный интеграл и получаем:
Ну, что тут можно сказать? Была под интегралом нехорошая функция с корнем, а после замены стал обычный многочлен — вполне себе благопристойная для интегрирования конструкция!) И дальнейшее интегрирование — сплошное удовольствие:
Осталось лишь вспомнить, что
и вернуться обратно к иксу:
Всё. Это ответ.)
Для проверки можно продифференцировать наш результат, благо здесь это несложно:
Гуд.)
Теперь рассмотрим парочку примеров с дробями.)
Пример 2
Опять анализируем нашу подынтегральную функцию.
Если бы в знаменателе не было слагаемого-тройки, то наша функция была бы просто
Табличная степенная функция, n = -1/2. Что делать — понятно.
Но именно наличие прибавленной тройки в знаменателе и не даёт нам возможности сразу воспользоваться таблицей. Более того, эта самая тройка вообще кардинально меняет нам весь подход к интегрированию! 🙂 Что же делать?
Прежде всего, надо избавляться от корня. Дело уже знакомое. Заменяем подкоренное выражение (в нашем случае это х) на новую функцию t2:
x = t2
Считаем dx:
dx = (t2)’dt = 2tdt
Отлично. Теперь наш исходный интеграл по новой переменной t станет вот таким:
Корень снова исчез. Что и требовалось.) В прошлый раз после замены под интегралом получился многочлен, а здесь — простенькая рациональная дробь, уже безо всяких корней, что уже гораздо проще для интегрирования! Почему проще? А потому, что, забегая вперёд, скажу, что для рациональных дробей (любых!) существует свой универсальный (!) алгоритм интегрирования — метод неопределённых коэффициентов.
Но… Мы его ещё не проходили, да.)
Однако, горевать не нужно, ибо в данном простеньком примере он нам совершенно не потребуется.) Как выкрутимся? Очень элегантно! Излюбленным приёмом математиков «добавить и отнять». 🙂 Этот финт ушами мы с вами уже не раз проделывали, когда только начинали осваивать простецкое интегрирование по таблице. Вспоминайте материал предыдущих уроков!
В нашем случае, добавим и отнимем в числителе дроби тройку, выделив целую часть. Вот так:
И тогда интеграл от нашей дроби распадается на разность двух совсем простеньких:
C первым интегралом от dt всё ясно, а второй интеграл в уме считается подведением знаменателя t+3 под знак дифференциала.
Вот и считаем:
С учётом коэффициента-двойки перед интегралом:
Всё! Заготовка для окончательного ответа получена. 🙂 Осталось лишь вернуться обратно к старой переменной икс
и прибавить константу С.
Получим ответ:
Модуль под логарифмом писать уже не нужно, ибо выражение под логарифмом положительно при любом неотрицательном икс, когда у нас определён сам корень.)
Проанализируем полученный результат. Если бы в знаменателе не стояло тройки, то наша первообразная была бы табличной и равнялась бы
Что и выражается первым слагаемым нашего результата. Но именно наличие прибавленной тройки в знаменателе, как раз, и привело к появлению «довеска» в виде логарифма:
Вот так вот. 🙂
Не будем халтурить и продифференцируем ответ, проверим плоды наших трудов:
Супер!
Теперь, возможно, у некоторых читателей возник вопрос, почему я в процессе решения сразу заменяю именно само подкоренное выражение на t2, а не пишу, как обычно, по старинке:
и так далее… Ведь именно корни здесь нам и не нравятся! Вот и заменили бы их сразу на t, согласно прошлому уроку, да и дело с концом…
Вопрос хороший.
) Да, действительно, записи
x+1 = t2; x = t2
и
это, фактически, одно и то же. И такая традиционная запись для замены тоже имеет право на жизнь. 🙂 Но! В подобных примерах с иррациональностями (т.е. корнями) первый вариант записи для замены (через подкоренные выражения) имеет колоссальное преимущество перед традиционным (t = «то, что не нравится»). Почему так — покажу подробно на следующем примере, который будет уже покруче. Запасайтесь попкорном. 🙂
Пример 3
Во! В примере уже аж два корня! Причём разных — квадратный и кубический. Вопрос: что нам не нравится в примере? Квадратный корень? Согласен! Кубический? Тоже согласен! И хорошо было бы их оба как-то ликвидировать, да… Но как?
И теперь вполне естественный вопрос: что такое в примере надо заменить так, чтобы из примера пропали все корни? Вот тут некоторые могут и зависнуть.
Если, по старинке, пробовать заменять то, что не нравится, т.е. пробовать замены типа:
то ни в одном случае не получится полной ликвидации корней. Каждый раз будет обязательно где-то торчать либо квадратный, либо кубический корни. Попробуйте на черновике и убедитесь.)
А что, если попробовать заменить сам икс на что-то такое, чтобы все корни извлекались? Пора поразмышлять синим цветом:
«Нам надо попробовать подобрать такую замену x = φ(t), чтобы добиться полной ликвидации корней. Так как корень у нас пропадает при возведении в степень, кратную показателю корня, то наша искомая замена — некая степенная функция типа x = tn. Показатель n нам надо подобрать так, чтобы извлекались начисто как квадратный корень (2-й степени), так и кубический (3-й степени). Какое самое маленькое число делится нацело на 2 и на 3? Очевидно, 6. Стало быть, наша искомая замена:
x = t6
Вот оно чо, Михалыч! )))»
Итак, заменяем в нашем примере х на t6.
Тогда:
Вот так вот! Корень шестой степени! Именно такая замена уберёт нам все корни из интеграла. И попробуй, догадайся до такой замены традиционным способом! А вот способ «наоборот» x = t6 вырисовывается достаточно быстро.) Именно поэтому такое оформление замены, через икс как функцию от t, надо знать! В подобных примерах только такая замена и спасает.)
Ну вот. От корней благополучно избавились.) Теперь выражаем все остальные конструкции в примере через t:
Оформляется сама замена вот так:
Отлично. Страшная иррациональная подынтегральная функция превратилась в рациональную дробь, с которой работать уже гораздо удобнее, чем с корнями.) Напрямую тут пока что ничего не проинтегрируешь: нужно сначала нашу дробь подготовить к интегрированию. Как? Обычными школьными преобразованиями.)
Во-первых, очевидно, можно сразу всё сократить на t2.
Сокращаем:
А теперь снова применяем наш излюбленный приём в дробях: добавляем и тут же вычитаем в числителе единичку и разбиваем нашу дробь на две. Формула суммы кубов нам в помощь.)
Готово дело. Теперь проинтегрировать многочлен t2-t+1 да дробь 1/(t+1) никаких проблем не составляет. Прямо в уме интегрируем:
Тогда, умножая результат на 6 (шестёрка у нас вылезла в процессе замены) и прибавляя константу С, получим заготовку для нашего конечного ответа:
И, наконец, последний штрих — делаем обратную замену
и записываем окончательный ответ:
Есть.)
Желающие могут продифференцировать ответ. Проверьте! Вдруг, накосячил где-то? Тогда жду комментариев.)
Вот такие вот примеры! Всего три, но их детального разбора уже вполне достаточно, чтобы вы смогли успешно интегрировать довольно серьёзные иррациональные конструкции.
Так что мы с вами уже потихонечку растём в интегрировании, накапливаем драгоценный опыт.) Подводя итог урока, дам несколько практических советов:
1) Если под интегралом стоит страшное выражение с корнем, а под корнем — линейная конструкция kx+b , то делаем замену kx+b = tn, где n — показатель корня.
2) Если под интегралом присутствуют корни разных степеней (m и n) из линейного выражения kx+b , то делаем замену kx+b = tmn, ликвидирующую все корни.
3) Если после замены под интегралом получилась рациональная дробь, в которой степень числителя больше степени знаменателя, то первым делом пробуем выделить целую часть — добавлением/вычитанием слагаемых, почленным делением и т.
п. Очень часто дробь значительно упрощается и интеграл легко сводится к комбинации табличных.
А теперь — традиционная домашка. Да-да! Тренируемся и растём над собой.)
С помощью степенной замены найти неопределённые интегралы:
Получилось? Все примеры одной левой? Ну ладно, вот вам примеры покруче!
И эти на одном дыхании? Что ж, респект! Тогда ещё примерчик №8. На десерт.)
Во втором уроке по интегрированию, где мы только учились пользоваться таблицей, рассматривался пример:
Как этот интеграл брался? Мы почленно делили на икс каждое слагаемое в числителе и интегрировали комбинацию простеньких степенных функций.
И получили вот такой результат:
Вспомнили? Отлично!
В том примере я сделал небольшое лирическое отступление насчёт малюсенького видоизменения данной функции и к чему оно привело бы.
Изменение заключалось в добавлении единички в знаменателе дроби.) То есть, наш интеграл теперь стал вот такой:
А теперь — возьмите его! Методом замены икса на t2, да.) Только так у нас есть возможность избавиться от корня.
Подскажу немного, что сначала очень полезно сделать с функцией, чтобы не надорваться и не наляпать ошибок. 🙂
Разложим нашу подынтегральную дробь на две и упростим:
Надеюсь, что процесс интегрирования выражения x — 1 не вызовет затруднений? Ну, а оставшуюся дробь с корнем — уж будьте добры добить методом замены.)
И это получилось? Круто! Мои поздравления! 🙂 Значит, интегрирование иррациональностей — не ваша проблема.
Не всё получилось? Ну да, в паре примеров выделять целую часть из дроби долго и нудно. Но всё решаемо. Формулы сокращённого умножения вам в помощь! И метод «добавить/вычесть». 🙂 А если уж совсем худо — используйте деление многочленов уголком. Не помните, как делить многочлены уголком? Тяжко тогда придётся вам в интегрировании дробей… 🙂
Поскольку где-то результаты получаются достаточно громоздкими и проверочное дифференцирование уже достаточно трудоёмко, то, так уж и быть, в этот раз даю ответы (естественно, в беспорядке):
Успехов вам в интегрировании (и не только)! Продолжение следует.
🙂
Интеграл от производной в квадрате
Введите функцию, для которой необходимо вычислить интеграл
После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла.
Найдем решение неопределенного интеграла от функции f(x)
(первообразную функции).
Примеры
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
С применением синуса и косинуса
Гиберболические синус и косинус
Гиберболические тангенс и котангенс
Гиберболические арксинус и арккосинус
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
Правила ввода выражений и функций
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Производная неопределенного интеграла. Первая основная теорема математического анализа
Сейчас мы обсудим удивительную взаимосвязь, которая существует между интегрированием и дифференцированием. Связь между этими двумя действиями аналогична в какой-то мере связи между операциями возведения в квадрат и извлечения квадратного корня.
x f(t) dt = A(x+h) — A(x)$
Здесь функция непрерывна на интервале [x, x + h]. Следовательно, по теореме о среднем значении для интегралов, получим
A(x + h) — A(x) = hf(Z), где x ≤ z ≤ x + h.
Следовательно,
(5.2) [A(x + h) — A(x)]/h = f(z),
Поскольку x ≤ z ≤ x + h, получаем, что f(z) → f(x) когда h → 0 для всех положительных значений. Аналогичные рассуждения справедливы, если h → 0 для всех отрицательных значений. Следовательно, A'(x) существует и равно f (x).
Эти рассуждения предполагали, что функция f непрерывна в некоторой окрестности точки x. Однако формулировка теоремы требует непрерывности только в точке x. Следовательно, для доказательства теоремы при этом, более слабом, условии, мы должны использовать иной метод.
Аналитическое доказательство. Пусть функция непрерывна в точке x. В этой точке определим следующее выражение
[A(x + h) — A(x)]/h
Для доказательства теоремы необходимо доказать, что это выражение стремится к пределу f(x), когда h → 0.
>$
для всех интервалов [a, b]. Эта формула, доказанная для всех целых n ≥ 0, также справедлива для всех отрицательных целых значений, кроме n = -1. Это значение исключается, поскольку n + 1 расположено в знаменателе. Чтобы доказать (5.9) для отрицательных n, достаточно показать, что из (5.10) следует P'(x) = xn, когда n отрицательно и не равно — 1. Это легко подтверждается дифференцированием P как степенной функции. Безусловно, когда n отрицательно, и P(x), и P'(x) не определены при x = 0, и когда мы используем (5.9) для отрицательных n, важно исключить те интервалы [a, b], которые содержат точку x = 0.
Результат из примера 3 в главе 4.5 позволяет распространить (5.9) на все рациональные показатели степени (кроме -l) с условием, что подынтегральная функция определена везде на рассматриваемом интервале [a, b]. Например, если 0 c для любого действительного показателя c. Мы покажем, что эта функция имеет производную f'(x) = cx c — 1 и первообразную P(x) = x c + 1 /(с + 1)б если c ≠ — 1.
2 (1+x)$
23. Основание твердого тела — множество ординат неотрицательной функции f’ на интервале [0, a]. Все поперечные сечения, перпендикулярные этому интервалу — квадраты. Объем этого тела равен
a 3 — 2acosa + (2 — a 2 )sina
для любого a ≥ 0. Предположите, что f непрерывна на [0, a], и вычислите f(a).
24. Механизм толкает частицу вдоль прямой линии. Он устроен так, что смещение частицы в момент времени t относительно начальной точки 0 на линии выражается формулой f(t) = t 2 /2 + 2tsint. Механизм работал идеально до момента времени t = π , когда случилась поломка. После этого частица движется с постоянной скоростью (ее скоростью в момент времени t = π). Вычислите следующее: (a) ее скорость в момент времени t = π; (b) ее ускорение в момент времени t = π/2; (c) ее ускорение в момент времени t = 3π/2; (d) ее перемещение от 0 до t = 5π/2. (e) Найдите то время t > π, когда частица вернется в начальную точку 0, или докажите, что она никогда не вернется в 0.
25. Частица движется вдоль прямой линии.
2>dx$
(не пытайтесь вычислить этот интеграл.) Когда t ≤ 1,частица движется с постоянным ускорением (ее ускорением на момент времени t = 1). Вычислите следующее: (a) ее ускорение в момент времени t = 2; (b) ее скорость в момент времени t = 1; (c) ее скорость для t > 1; (d) разность f(t) -f(l), когда t > 1.
26. Для каждого варианта найдите функцию f с непрерывной второй производной f», которая удовлетворяет всем заданным условиям, или покажите, почему такая функция не существует:
(a) f»(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f'(1) = 0.
(b) f»(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f'( 1) = 3.
(c) f»(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f(x) ≤ 100 для всех x > 0.
(d) f»(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f(x) ≤ 100 для всех x
За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов
Почему вы не знаете, как решать интегралы
А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.
Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:
- вычисление площади фигуры.
- вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
- определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
- и др.
Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.
Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.
Интеграл – что это?
Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.
Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей.
Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.
Метод исчерпывания для определения площади круга
В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.
Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.
Объясняем понятие «Интеграл»
Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.
Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».
Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.
Интеграл записывается так:
Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).
Неопределённый интеграл
Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.
Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».
Определённый интеграл
В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.
Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла
Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность.
В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:
Таблица интегралов для студентов (основные формулы)
Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся
Как вычислять интеграл правильно
Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:
Вынесение константы из-под знака интеграла
Разложение интеграла суммы на сумму интегралов
Если поменять местами a и b, знак изменится
Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом
Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.
Примеры вычисления интегралов
Решение неопределенного интеграла
Решение определенного интеграла
Базовые понятия для понимания темы
Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.
Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.
Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.
Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.
Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.
Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.
Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.
Заключение
Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.
Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:
Интегрирование корня x — Формула, Примеры
Интегрирование корня x определяется по формуле интегрирования, заданной формулой ∫x n dx = x n+1 /(n + 1) + C. Поскольку корень x является радикалом, поэтому подставим n = 1/2 в формулу, чтобы получить интегрирование корня x. Интеграл от квадратного корня x равен двум третям x, возведенным в степень три на два плюс постоянная интегрирования. Математически интегрирование корня x записывается как ∫√x dx = (2/3) x 3/2 + C.
Далее в этой статье мы выведем интеграл от квадратного корня x, используя формулу интегрирования, и интегрирование корня x квадрат плюс квадрат и интеграл корня x квадрат минус квадрат. Мы также решим несколько примеров для лучшего понимания.
| 1. | Что такое интеграция Root x? |
| 2. | Интеграл квадратного корня x доказательство |
| 3. | Определенная интеграция корня x |
| 4. | Интеграция Root x Square Plus a Square |
| 5. | Часто задаваемые вопросы по интеграции Root x |
Что такое интеграция Root x?
Интегрирование корня x есть не что иное, как интеграл квадратного корня x относительно x, который определяется выражением ∫√x dx = (2/3) x 3/2 + C, где C — постоянная интегрирования, ∫ — символ интегрирования, а dx — интеграл квадратного корня x по отношению к x. Мы можем вычислить интегрирование корня х, используя формулу интегрирования . Следовательно, формула интегрирования корня x имеет вид ∫√x dx = (2/3) x 3/2 + C, где C — постоянная интегрирования.
Интеграл квадратного корня x доказательство
Теперь, когда мы знаем, что интегрирование корня x равно (2/3) x 3/2 + C, докажем это, используя формулу интегрирования. Мы будем использовать формулу ∫x n dx = x n+1 /(n + 1) + C, подставив в нее n = 1/2, поскольку √x есть не что иное, как x, возведенное в степень один на два. , то есть √x = x 1/2 . Следовательно, мы имеем
∫√x dx = ∫x 1/2 dx
= x 1/2 + 1 /(1/2 + 1) + C
= x 3/2 /(3/2) + C
= (2/3) x 3/2 + C
Следовательно, интеграл от квадратного корня x равен (2/3) x 3/2 + C, где C — постоянная интегрирования.
Определенная интеграция Root x
Далее мы найдем определенное интегрирование корня x с пределами от 1 до 10. Мы знаем, что интеграл формулы квадратного корня x равен ∫√x dx = (2/3) x 3/2 + C , При этом мы подставим пределы, чтобы найти его определенный интеграл. 9{\ гидроразрыва {3} {2}}-1] \ конец {выравнивание} \)
Интеграция Root x Square Plus a Square
В этом разделе мы найдем интеграл квадратного корня из квадрата x плюс квадрат, то есть √(x 2 + a 2 ). Для нахождения этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям и формулой ∫1/√(x 2 + a 2 ) dx = log |x + √(x 2 + a 2 ) | + C. Формула интегрирования по частям: ∫f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx — ∫[d(f(x))/dx ∫ g(x) dx] дх. Здесь f(x) = √(x 2 + a 2 ) и g(x) = 1, так как мы можем записать √(x 2 + a 2 ) как √(x 2 + a 2 ).1. Следовательно, мы имеем
∫√ (x 2 + A 2 ) DX = ∫√ (x 2 + A 2 ) . 1 DX
⇒ ∫√ (x 2 + A 2 ) dx = √(x 2 + a 2 ) ∫dx — ∫[d(√(x 2 + a 2 ))/dx ∫dx] dx
∫ 9000 2 + a 2 ) dx = x√(x 2 + a 2 ) — ∫x 2 /√ (x 2 + A 2 ) DX⇒ ∫√ (x 2 + A 2 ) DX = X√ (x 2 + A 2 ) — ∫ (A 2 — A 2 + x 2 )/√ (x 2 + A 2 ) DX
⇒ (x 2 + A 2 ) dx = x√(x 2 + a 2 ) + a 2 ∫1/√(x 2 + a 2 ) dx — 0 0 + 2(x 29005 )/√(х 2 + 2 ) DX
⇒ ∫√ (x 2 + A 2 ) DX = X√ (x 2 + A 2 ) + A 2 ∫1/√ (x 2 + A 2 ) DX — ∫√ (x 2 + A 2 ) DX
⇒ ∫√ (x 2 + A 2 ) DX + ∫√ (x 2 + A ) 2 ) dx = x√ (x 2 + A 2 ) + A 2 ∫1/√ (x 2 + A 2 ) DX
⇒ 2 √ (x 2 + a 2 ) dx = x√(x 2 + a 2 ) + a 2 [log |x + √(x 2 + a 2 )| + C]
⇒ ∫√(x 2 + a 2 ) dx = (x/2)√(x 2 + a 2 ) + (a 2 /2) [log х + √(х 2 + a 2 )| + C]
⇒ ∫√(x 2 + a 2 ) dx = (x/2)√(x 2 + a 2 ) + (a 2 /2) log |x2 + √(x 2 + a 2 )| + К, где К = С(а 2 /2)
Таким образом, интеграл корня x квадрат плюс квадрат определяется как (a 2 /2) log |x + √(x 2 + a 2 )| + K, где K — постоянная интегрирования. Точно так же мы можем определить внутреннюю часть корня x квадрат минус квадрат.
Интегрирование корня x квадрат минус квадрат
Поскольку мы получили интегрирование корня x квадрат плюс квадрат, теперь мы определим интегрирование корня x квадрат минус квадрат, то есть √(x 2 — 2 ). Воспользуемся формулой интегрирования ∫1/√(x 2 + a 2 ) dx = log |x + √(x 2 + a 2 )| + C и интегрирование по частям. Поэтому мы имеем
∫√ (x 2 — A 2 ) DX = ∫√ (x 2 — A 2 ) .1 DX
⇒ ∫√ (x 2 — A 2 ) dx = √(x 2 — a 2 ) ∫dx — ∫[d(√(x 2 — a 2 ))/dx ∫dx] dx
∫ 9000 2 — A 2 ) DX = X√ (x 2 — A 2 ) — ∫x 2 /√ (x 2 — A 2 ) DX⇒ ( x 2 — A 2 ) DX = X√ (x 2 — A 2 ) — ∫ (A 2 — A 2 + x 2 )/√ (x 2 — 2 ) DX
⇒ ∫√ (x 2 — A 2 ) DX = X√ (x 2 — A 2 ) — A 2 ∫1/√ (x 2 — а 2 ) dx — ∫(x 2 — A 2 )/√ (x 2 — A 2 ) DX
⇒ ∫√ (x 2 — A 2 ) DX = X√ (x 2 — A 2 ) — A 2 ∫1/√ (x 2 — A 2 ) DX — ∫√ (x 2 — A 2 ) DX
⇒ ∫ √ (x 2 — a 2 ) dx + ∫√(x 2 — a 2 ) dx = x√(x 2 — a 2 ) — a 2 0 05 26 ∫1/1 — а
2 ) дх
⇒ 2 ∫√(x 2 — a 2 ) dx = x√(x 2 — a 2 ) — a 2 [log |x + 6 2 )| + C]
⇒ ∫√(x 2 — a 2 ) dx = (x/2)√(x 2 — a 2 ) — (a 2 /2) [log х + √(х 2 — а 2 )| + C]
⇒ ∫√(x 2 — a 2 ) dx = (x/2)√(x 2 — a 2 ) — (a 2 /2) log |x2 + √(х 2 — а 2 )| + K, где K = C(a 2 /2)
Таким образом, интеграл от квадрата корня x минус квадрат равен ∫√(x 2 — a 2 ) dx = (x/ 2)√(x 2 — a 2 ) — (a 2 /2) log |x + √(x 2 — a 2 )| + K, где K — постоянная интегрирования.
Важные замечания по интегрированию корня x
- Интегрирование корня x равно ∫√x dx = (2/3) x 3/2 + C, где C — постоянная интегрирования.
- ∫√(x 2 — a 2 ) dx = (x/2)√(x 2 — a 2 ) — (a 2 /2) log |x + √(5x 9000 2 — а 2 )| + К
- ∫√(x 2 + a 2 ) dx = (x/2)√(x 2 + a 2 ) + (a 2 /2) log |x + √(5x 2 + a 2 )| + К
☛ Похожие темы:
- Интеграция Sin 4x
- Интеграция Sec 3x
- Интеграция Tan Square x
Часто задаваемые вопросы по интеграции Root x
Что такое интеграция Root x?
Интеграция корня x равна (2/3) x 3/2 + C, где C — постоянная интегрирования. Его можно определить по формуле ∫x n dx = x n+1 /(n + 1) + C.
Как найти интеграл от квадратного корня x?
Интеграл от квадратного корня x можно найти по формуле интегрирования ∫x n dx = x n+1 /(n + 1) + C. В этой формуле мы можем заменить n = 1/2, так как корень x можно записать как √x = x 1/2 .
Что такое интеграция корня x квадрат плюс квадрат?
Интегрирование корня x квадрата плюс квадрат определяется выражением ∫√(x 2 + a 2 ) dx = (x/2)√(x 2 + a 2 ) + (a 2 /2) log |x + √(x 2 + a 2 )| + K, который рассчитывается методом интегрирования по частям.
Как найти интеграл от квадратного корня x квадрат минус квадрат?
Чтобы найти интеграл от квадратного корня x квадрат минус квадрат, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула этого интегрирования имеет вид + √(x 2 — a 2 )| + К.
Каково значение определенного интегрирования корня x от 1 до 10?
Значение определенного интегрирования корня x с пределами от 1 до 10 равно (2/3)(10 3/2 — 1).
| 1 | Найти производную — d/dx | натуральное бревно х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx 92) | ||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) по x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оцените интеграл 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
| 1 | Найти производную — d/dx | натуральное бревно х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | 92)|||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) по x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оцените интеграл 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Исчисление II.
Интегралы с корнями Онлайн-заметки Пола
Дом
/
Исчисление II
/
Методы интеграции
/ Интегралы с корнями
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 1-5: Интегралы с корнями
В этом разделе мы рассмотрим метод интегрирования, который может быть полезен для некоторых интегралов с корнями в них. Мы уже видели некоторые интегралы с корнями в них. Некоторые из них можно сделать быстро с помощью простой замены в исчислении I, а некоторые — с помощью триггерных замен.
Однако не все интегралы с корнями позволяют использовать один из этих методов. Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы увидеть еще один метод, который можно иногда использовать для помощи в этих интегралах.
Пример 1. Вычислите следующий интеграл. \[\int{{\frac{{x + 2}}{{\sqrt[3]{{x — 3}}}}\,dx}}\]
Показать решение
Иногда, сталкиваясь с интегралом, содержащим корень, мы можем использовать следующую замену, чтобы упростить интеграл до удобной для работы формы.
\[и = \sqrt[3]{{х — 3}}\] 9{\ гидроразрыва {2} {3}}} + с \ конец {выравнивание *} \]
Итак, иногда, когда интеграл содержит корень \(\sqrt[n]{{g\left( x \right)}}\) замена,
\[u = \sqrt[n]{{g\left( x \right)}}\]
можно использовать для упрощения интеграла до формы, с которой мы можем иметь дело.
Давайте быстро рассмотрим еще один пример.
Пример 2. Вычислите следующий интеграл. \[\int{{\frac{2}{{x — 3\sqrt {x + 10}}}\,dx}}\] 92} — 3у — 10}}\,ду}}\]
Этот интеграл теперь может быть сделан с частичными дробями.
\[\frac{{4u}}{{\left( {u — 5} \right)\left( {u + 2} \right)}} = \frac{A}{{u — 5}} + \ frac{B}{{u + 2}}\]
Установка равных числителей дает,
\[4u = A\left( {u + 2} \right) + B\left( {u — 5} \right)\]
Выбор значения \(u\) дает коэффициенты.
\[\begin{align*}u = & — 2 & \hspace{0.5in} — 8 = & \, B\left( { — 7} \right) & \hspace{0.5in}B = & \, \ frac{8}{7}\\ u = & \,5 & \hspace{0.5in} 20 = & \, A\left( 7 \right) & \hspace{0.