Решение онлайн тригонометрических функций: Решение тригонометрических уравнений | Онлайн калькулятор

Содержание

вычисление тригонометрических выражений онлайн

Вы искали вычисление тригонометрических выражений онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычислить онлайн тригонометрическое выражение, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычисление тригонометрических выражений онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.

Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычисление тригонометрических выражений онлайн,вычислить онлайн тригонометрическое выражение,вычислить тригонометрическое выражение онлайн,калькулятор для онлайн решения тригонометрических уравнений,калькулятор онлайн для тригонометрических уравнений онлайн,калькулятор онлайн по тригонометрии,калькулятор онлайн решение тригонометрических уравнений,калькулятор онлайн тригонометрические уравнения,калькулятор онлайн тригонометрические функции,калькулятор онлайн тригонометрический,калькулятор онлайн тригонометрических уравнений,калькулятор онлайн тригонометрических функций,калькулятор онлайн тригонометрия,калькулятор по тригонометрии онлайн,калькулятор решение тригонометрических уравнений,калькулятор решение тригонометрических уравнений онлайн,калькулятор с тригонометрическими функциями,калькулятор тригонометрии,калькулятор тригонометрии онлайн,калькулятор тригонометрические,калькулятор тригонометрические уравнения,калькулятор тригонометрический,калькулятор тригонометрических,калькулятор тригонометрических выражений,калькулятор тригонометрических выражений онлайн,калькулятор тригонометрических уравнений,калькулятор тригонометрических уравнений онлайн,калькулятор тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением,калькулятор тригонометрических функций,калькулятор тригонометрических функций онлайн,калькулятор тригонометрия,калькулятор тригонометрия онлайн,онлайн вычисление тригонометрических выражений,онлайн калькулятор для тригонометрических уравнений онлайн,онлайн калькулятор по тригонометрии,онлайн калькулятор решение тригонометрических уравнений,онлайн калькулятор тригонометрии,онлайн калькулятор тригонометрические уравнения,онлайн калькулятор тригонометрических уравнений,онлайн калькулятор тригонометрических уравнений с подробным решением,онлайн калькулятор тригонометрических функций,онлайн калькулятор тригонометрия,онлайн решатель тригонометрических уравнений,онлайн решение синусов и косинусов,онлайн решение тригонометрии,онлайн решение тригонометрических выражений,онлайн решение тригонометрических уравнений,онлайн решение тригонометрических уравнений с подробным решением,онлайн решение тригонометрических функций,онлайн решение уравнений с синусами и косинусами,онлайн решения тригонометрических уравнений,онлайн решения уравнений тригонометрических,онлайн решить тригонометрическое уравнение онлайн,онлайн тригонометрический калькулятор,онлайн тригонометрия,онлайн упрощение тригонометрических уравнений,преобразование тригонометрических выражений онлайн,решатель тригонометрических уравнений онлайн,решение онлайн тригонометрических выражений,решение онлайн тригонометрических функций,решение синусов и косинусов онлайн,решение тригонометрии онлайн,решение тригонометрических выражений онлайн,решение тригонометрических уравнений калькулятор,решение тригонометрических уравнений калькулятор онлайн,решение тригонометрических уравнений онлайн,решение тригонометрических уравнений онлайн калькулятор,решение тригонометрических уравнений онлайн калькулятор с решением,решение тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением,решение тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением бесплатно,решение тригонометрических уравнений онлайн с подробным решением онлайн,решение тригонометрических уравнений с подробным решением онлайн,решение тригонометрических уравнений с подробным решением онлайн бесплатно,решение тригонометрических функций онлайн,решение тригонометрического уравнения онлайн,решение уравнений онлайн с синусами и косинусами,решение уравнений с косинусами и синусами онлайн,решение уравнений с синусами и косинусами онлайн,решения онлайн тригонометрических уравнений онлайн калькулятор,решения тригонометрических уравнений онлайн,решите уравнение тригонометрическое онлайн,решить онлайн тригонометрическое выражение,решить онлайн тригонометрическое уравнение,решить тригонометрические уравнения онлайн,решить тригонометрическое выражение онлайн,решить тригонометрическое уравнение онлайн,решить тригонометрическое уравнение онлайн с подробным решением,решить уравнение с косинусами и синусами онлайн,решить уравнение с синусами и косинусами онлайн,решить уравнение тригонометрическое онлайн,решить уравнение тригонометрическое уравнение онлайн,решить уравнения онлайн тригонометрические,тригонометрические калькулятор,тригонометрические уравнения калькулятор,тригонометрические уравнения калькулятор онлайн,тригонометрические уравнения онлайн,тригонометрические уравнения онлайн калькулятор,тригонометрические уравнения онлайн решение,тригонометрические уравнения решение онлайн,тригонометрические уравнения решить онлайн,тригонометрические функции калькулятор онлайн,тригонометрические функции онлайн,тригонометрические функции онлайн калькулятор,тригонометрический калькулятор,тригонометрический калькулятор онлайн с решением,тригонометрический калькулятор с решением,тригонометрический калькулятор с решением онлайн,тригонометрическое уравнение онлайн,тригонометрия калькулятор,тригонометрия калькулятор онлайн,тригонометрия онлайн,тригонометрия онлайн калькулятор,тригонометрия онлайн решение,тригонометрия решение онлайн.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычисление тригонометрических выражений онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, вычислить тригонометрическое выражение онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление тригонометрических выражений онлайн Онлайн?

Решить задачу вычисление тригонометрических выражений онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Тесты по теме «Тригонометрия» онлайн

Основые тригонометрические тождества
27. 11.2020 9228 0
Тест по тригонометрии «Основные тригонометрические тождества». Тест предназначен для студентов первых курсов СПО всех специальностей для проверки знания формул по данной теме.
Тригонометрический круг

25.04.2020 3941 0
Данный тест проверяет владение тригонометрическим кругом — основной моделью для работы с тригонометрическими функциями, уравнениями и неравенствами.
Простейшие тригонометрические уравнения
27.10.2016 20721
Тема: Простейшие тригонометрические уравнения. Стандартные тригонометрические уравнения, уравнения приводимые к стандартным, частные случаи.
Решение простейших тригонометрических уравнений

06.11.2019 1791 0
Решить простейшие тригонометрические уравнения, используя справочный материал
Тригонометрические уравнения
12.05.2018 2199 0
Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «тригонометрические уравнения» базового уровня. По окончанию теста необходимо ввести свою Фамилию Имя и класс.
Формулы приведения тригонометрических функций
03.
02.2020 5690
Формулы приведения тригонометрических функций. Учитесь и быдьте умными. Да осилит дорогу идущий.
10 класс. Радианная мера угла.
04.02.2022 128 0
Тест содержит задания, соответствующие материалу учебника, пункты 7.1-7.2
Основные понятия тригонометрии. Повторение
27.05.2020 1285 0
Данный тест предназначен для проверки уровня знаний по основным формулам и понятиям тригонометрии. Расчитан для учащихся старших классов и студентов 1 курса СПО.
Задания соответствуют 1 части профильного уровня ЕГЭ по математике.
Радианная мера угла
13.04.2020 5135 0
Тест по теме «Радианная мера угла» предназначен для учащихся ГБПОУ КК ТИТ.
Тригонометрическая ф-я y=cos(x)
16.09.2021 428 0
Текушая проверка знаний свойств cos(x). Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AC| к длине гипотенузы |AB|
Тригонометрия в ЕГЭ
02. 03.2017 2764 0
Данный тест состоит из 10 заданий из курса тригонометрии. Все задания были подобраны и очень похожи на задания из ЕГЭ базового, так и профильного уровня
Метрология, стандартизация и сертификация
18.12.2021 70 0
Тестовые задание для студентов 3-курса, очного отделение по специальности: «Строительство»

Обратные тригонометрические функции. Арккосинус.
03.02.2020 2005
Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Обратные тригонометрические функции. Арккосинус». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий, в основном, отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10-15 минут.
Теорема синусов. В1
04.02.2020 2624 0
Тест создан для проверки знаний по теме «Теорема синусов» в 9 классе
«Обратные тригонометрические функции»
12.02.2020 2691 0
Будьте внимательны! У Вас на прохождение теста есть неограниченное время. Система оценивания — 5 балльная. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!
Тригонометрические уравнения
14.02.2020 3622 0
Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Тригонометрические уравнения». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий, в основном, отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10-15 минут.
Тригонометрическая функция y=sinx её свойства и график
26. 04.2020 674 0
Тест по теме «Тригонометрическая функция y=sinx, её свойства и график» для учащихся 1 курса ГБПОУ КК ТИТ
Преобразования тригонометрических величин
16.12.2020 245 0
Тест для проверки знаний по теме Формулы двойного угла для 1 курса СПО
Формулы тригонометрии
17.01.2021 847 0
Тест помогает проверить знание формул сложения и вычитания тригонометрических функций.
Тригонометрия.
Тригонометрическая окружность.
02.08.2021 170 0
Сопоставление четвертей на единичной тригонометрической окружности с градусной и радианной мерой углов
Викторина о тригонометрии
21.02.2022 390 0
Викторина о разделе математики, изучающем функции угла: синус, косинус и т.п. В рамках школьной программы.
Тригонометрические функции числового аргумента
29.11.2017 5390
Тест создан, в рамках введения элементов дистанционного обучения, для проверки знаний студентов 1 курса по некоторым темам из раздела «тригонометрия»
Решение трионометрических уравнений
11. 01.2018 5010 0
Тест подотовлен для учениов 10 класса для оценки уровня усвоения темы «Решение тригонометрические уравнения». Тест состоит из 10 вопросов.
Формулы приведения
27.11.2019 1148 0
Используя изученные формулы приведения преобразовать тригоноиетрические выражения.

Обратные тригонометрические функции. Арктангенс
02.02.2020 837 0
Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Обратные тригонометрические функции. Арктангенс». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий, в основном, отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10-15 минут.
Обратные тригонометрические функции. Арксинус.
03.02.2020 858 0
Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Обратные тригонометрические функции. Арксинус». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий, в основном, отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10-15 минут.
Обратные тригонометрические функции. Арккотангенс
03.02.2020 448 0
Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Обратные тригонометрические функции. Арккотангенс». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий, в основном, отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10-15 минут.
Простейшее тригонометрическое уравнение sin t=a
03.02.2020 1021 0
Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Простейшее тригонометрическое уравнение sin t = a». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий, в основном, отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10-15 минут.
Простейшее тригонометрическое уравнение cos t = a
03.02.2020 1140 0
Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Простейшее тригонометрическое уравнение cos t= a». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий, в основном, отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10-15 минут.
Простейшее тригонометрическое уравнение tg t = a
03.02.2020 583 0
Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Простейшее тригонометрическое уравнение tg t= a». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий, в основном, отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10-15 минут.
Простейшее тригонометрическое уравнение ctg t = a
03.02.2020 204 0
Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Простейшее тригонометрическое уравнение ctg t= a». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий, в основном, отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10-15 минут.
Теорема синусов в2
04.02.2020 305 0
Тест создан для проверки знаний по теме «Теорема синусов» в 9 классе
Формулы приведения
28.03.2020 1730
Работа предназначена для закрепления знаний по теме «Формулы привидения»
Тригонометрия.
формулы удвоения и половинного аргумента
31.03.2020 785 0
Тест по математике » Тригонометрия. Формулы удвоения и половинного аргумента» для учащихся ГБПОУ КК ТИТ
Контрольная работа № 5 Тригонометрия
12.04.2020 457 0
Тест предназначен для учащихся ГБПОУ КК «Тихорецкого индустриального техникума».
Однородные уравнения
23.04.2020 228 0
Тест по теме «Тригонометрия. Однородные уравнения» предназначен для студентов ГБПОУ КК ТИТ.

Тригонометрия. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
02.05.2020 2204 0
Данный тест проверяет умение решать простейшие тригонометрические уравнения.
Производная тригонометрической функции
06.05.2020 1193 0
Тест предназначен для проверки зананий по теме «Производная тригонометрических функций и их комбинации с элементарными функциями»
Преобразования числовых тригонометрических выражений (1)
08. 05.2020 993 0
Тест предназначен для подготовки к решению задачи № 5 базового ЕГЭ по математике. Для выполнения заданий необходимо знать определения и свойства тригонометрических функций, уметь применять основное тригонометрическое тождество и формулы приведения.
Нахождение значения производной тригонометрической функции в точке
08.05.2020 193 0
Тест предназначен для проверки зананий по теме «Нахождение значения производной тригонометрической функции в точке»
Тригонометрия. Формулы одного аргумента и формулы приведения.
09. 05.2020 2277
В тесте содержатся задания на применение тригонометрических формул одного аргмента и формул приведения.
Вычисление значений тригонометрических выражений
18.05.2020 410 0
Тест предназначен для подготовки к решению задачи № 5 базового ЕГЭ по математике. Для выполнения заданий необходимо знать определения и свойства тригонометрических функций, уметь применять основное тригонометрическое тождество и формулы приведения.
Преобразования числовых тригонометрических выражений (2)
18.05.2020 159 0
Тест предназначен для подготовки к решению задачи № 5 базового ЕГЭ по математике. Для выполнения заданий необходимо знать определения и свойства тригонометрических функций, уметь применять основное тригонометрическое тождество и формулы приведения.
Тригонометрические уравнения
23.05.2020 609 0
Тест предназначен для проверки знания формул корней тригонометрических уравнений и умения решать простейшие тригонометрические уравнения.
Тригонометрические уравнения
29.05.2020 2532 0
Данный тест предназначен для проверки уровня усвоения темы «Тригонометрические уравнения», проверяет основные знания и умения по теме, поможет подготовиться к контрольной работе. Некоторые уравнения соответствуют уровню 13 задания ЕГЭ математика профильный уровень. Данный тест расчитан на учащихся старших классов и студентов 1 курсов СПО.
Формулы приведения в заданиях ЕГЭ
31.05.2020 269 0
Тест предназначен для подготовки к государственной итоговой аттестации по алгебре и началам анализа, в нём содержатся задачи по разделу «Тригонометрия». В тесте 10 задач из Открытого банка.
Тригонометрия в заданиях ЕГЭ
31.05.2020 448 0
Тест предназначен для подготовки к государственной итоговой аттестации по алгебре и началам анализа, в нём содержатся задачи по разделу «Тригонометрия». Используются свойства чётности и нечётности тригонометрических функций, формулы двойного угла и основные тригонометрические тождества. В тесте 10 задач из Открытого банка.
Тест по модулю 6
21.08.2020 1 0
Привет, ребята! Как всегда, финальный этап каждого модуля — тест. Итоговый тест по первому геометрическому модулю в нашем курсе содержит задачи, для решения которых понадобятся все знания, полученные на протяжении модуля. Удачи!

Обобщение темы Тригонометрические функции
28.09.2020 282
ваши результаты я увижу и выствлю баллы. Незабываем подписать ФИ группа когда завершите тест
Тригонометрические уравнения
01.10.2020 283 0
Тест предназначен для учащихся, которые изучили тему «Тригонометрические уравнения»
Решите уравнение и выберите вариант ответа
05.12.2020 125 0
Тренировочный тест по теме «Решение простых тригонометрических уравнений». Предназначен учащимся 10-11 классов.
Тригонометрические функции.
05. 12.2020 491 0
Тест по теме: «Синус, косинус, тангенс и котангенс. Тригонометрические функции числового аргумента».
Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
24.12.2020 757 0
Тест предназначен для учащихся средней школы для проверки уровня знаний по теме «Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике».
Тригонометрические величины и их свойства
27.12.2020 82 0
Тест предназначен для проверки знания определения тригонометрических величин и их свойств
Формулы двойного аргумента в заданиях ЕГЭ.

23.01.2021 989 0
Тест для обучающихся средней школы, предназначен для подготовки к ЕГЭ и проверки уровня знаний по теме «Формулы двойного угла».
Вычисление значений тригонометрических выражений
08.02.2021 69 0
Тест для обучающихся средней школы, предназначен для подготовки к ЕГЭ и проверки уровня знаний формул тригонометрии.
Математика 10 класс
22.03.2021 106 0
Проверка знаний тригонометрии и теоремы по геометрии
ТЕСТ по теме «ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ»
11. 04.2021 340 0
Данный тест предназначен для учащихся 9 классов. он является обощающим тестом по теме «Тригонометрия» за 8-9 класс. Тест содержит вопросы по следующим направлениям: основное тригонометрическое тождество, понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, решение треугольников с помощью теорем синусов и косинусов.
Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ. Задание 13.
29.04.2021 45 0
Данный тест предназначен для проверки уровня усвоения темы «Тригонометрические уравнения», проверяет основные знания и умения по теме, поможет подготовиться к контрольной работе. Некоторые уравнения соответствуют уровню 13 задания ЕГЭ математика профильный уровень
Тригонометрическая ф-я y=cos(x) 2
16. 09.2021 38 0
Текушая проверка знаний свойств cos(x). Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AC| к длине гипотенузы |AB|

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
24.01.2022 87 0
Данный тест предназначен для проверки знаний студентов 1 курса СПО по теме «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКМЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА», а также будет полезен для старшеклассников общеобразовательных школ при изучении данной темы и для подготовки к ЕГЭ. Тест содержит 8 вопрсов, каждый правильный ответ оценивается в 1 балл.
СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС УГЛОВ (Х) И (-Х)
09. 02.2022 94 0
Данный тест предназначен для проверки знаний студентов 1 курса СПО по теме «СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС УГЛОВ (х) и (-х)», а также будет полезен для старшеклассников общеобразовательных школ при изучении данной темы и для подготовки к ЕГЭ. Тест содержит 8 вопрсов, каждый правильный ответ оценивается в 1 балл.

Методы решения тригонометрических уравнений — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Методы решения тригонометрических уравнений

•Решение простейших тригонометрических уравнений
Решение тригонометрических уравнений разложением
на множители
•Решение тригонометрических уравнений сводящихся к
квадратным уравнениям
Решение тригонометрических уравнений
преобразованием суммы тригонометрических функций в
произведение
Решение тригонометрических уравнений
преобразованием произведения тригонометрических
функций в сумму
Решение тригонометрических уравнений с применением
формул понижения степени
Решение тригонометрических уравнений как
однородное
Решение тригонометрических уравнений с помощью
введения вспомогательного аргумента
Решение тригонометрических уравнений с помощью
универсальной тригонометрической подстановки
Решение тригонометрических уравнений с помощью
замены неизвестного
Решение тригонометрических уравнений с помощью
оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок)
Решение тригонометрических уравнений содержащих
тригонометрические функции под знаком радикала

2.

К определению тригонометрического уравнения различные авторы учебных пособий подходят по-разному. Мы назовём тригонометрическимК определению тригонометрического уравнения
различные авторы учебных пособий подходят поразному. Мы назовём тригонометрическим
уравнением равенство тригонометрических
выражений, содержащих неизвестное
(переменную) только под знаком
тригонометрических функций. Уравнения вида
cos 3x sin x
3
tg 11x tg 5 x 0
2
2
sin 3x sin 5x sin 4x
и т.д. – тригонометрические
sin x
1
x
2
уравнения
.
Уравнения вида
cos 2 x
1
1
x
2
3
tg 2 x x
и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся к типу
трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно
или графически.

3. Решить тригонометрическое уравнение – значит, найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению.

Простейшими тригонометрическими
уравнениями являются:
sin x a
cos x a , где a 1
tgx a
ctgx a
,
где
a R

4.

1. Решение простейших тригонометрических уравнений1. Решение простейших
тригонометрических
уравнений
По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.
Ответ:

5. 2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители

Пример.
х = 2πn,
nϵZ
Отметим полученные решения и область определения на
тригонометрическом круге.
Ответ:
3. Решение тригонометрических уравнений
сводящихся к квадратным уравнениям
Пусть
тогда
или
Корней нет
Ответ:
4. Преобразование
суммы тригонометрических функций
в произведение
При решение уравнений данным способом
необходимо знать формулы:
По формулам приведения
преобразуем разность
синусов в произведение:
или
Ответ:
5.
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:
или
Ответ:
6. Использование
формул понижения степени
При решение уравнений данным способом
необходимо знать формулы:
или
Ответ:
или
7.

Однородные
Уравнения
уравнения
a sin x b cos x 0;
a sin 2 x b sin x cos x c cos 2 x 0;
и т.д.
a sin 3 x b sin 2 x cos x c sin x cos 2 x d cos 3 x 0
называют однородными относительно sin x
sin x и
Сумма показателей степеней при
и
cos x
cos x
всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью
однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно
первую, вторую и третью степень.
Делением на cos k x ,где
k — степень однородного уравнения,
уравнение приводится к алгебраическому
tgx
относительно функции
cos x 0
Разделим обе части уравнения на
2 sin x 3 cos x 0
3
3
tgx
x arctg k k
2 tgx 3 0
2
2
Ответ:
x arctg
3
k
2
k
4 sin 2 x 2 sin x cos x 3
Умножим правую часть уравнения на
sin 2 x cos 2 x
4 sin 2 x 2 sin x cos 3 sin 2 x 3 cos 2 x;
sin 2 x 2 sin x cos 3 cos 2 x 0
Разделим на
cos 2 x
tg 2 x 2 tgx 3 0;
tgx 3
x arctg 3 k
Ответ:
и
tgx 1
и
x arctg 3 k
x
4
n
x
4
n
n, k
n, k
8.

Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c
где a, b, c – коэффициенты;x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и
косинуса,
а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них
не больше 1,
а сумма их квадратов равна 1.
cos
Тогда можно обозначить их соответственно как
и sin
— так называемый
вспомогательный угол
и наше уравнение принимает вид:
Так как
,то
и
уже являются
соответственно
косинусом и синусом определенного угла; ясно, что этот угол
Ответ:
9. Метод рационализации (метод универсальной тригонометрической
подстановки) для уравнения вида
Известно, что если
, то
выражаются рационально через
Вводим вспомогательное неизвестное так,
получилось
чтобы после подстановки
рациональное уравнение относительно
вспомогательного неизвестного.
Обозначим
,
получим
:
Решим данное уравнение и получим следующие ответы:
1.

если
,
2. если
3. если
то
, то
,
то
то у уравнения нет корней;
— уравнение имеет решение
Ответ:
(1)
(2)
При переходе от уравнения (1)
к уравнению (2),
могла произойти потеря корней,
являются ли корни уравнения
корнями данного уравнения.
значит необходимо проверить,
Проверка.
Если
, тогда
— не верно, значит
не является корнями исходного уравнения.
Ответ:
11. Решение тригонометрических уравнений с
помощью оценки левой и правой частей
уравнения (метод оценок)
Пример 1.
что невозможно.
Ответ. Решений нет.
Пример 2.
Пример 3.
Пусть
Подставляем во второе уравнение:
Ответ.
Пример 4.
или
Если
то
Ответ.
,
Если
то
,
12.
Решение тригонометрических уравнений содержащих
тригонометрические функции под знаком радикала
Пример №1
Решим уравнение 2.
или
Учитывая условие 1, sin x ≥ 0, решением системы будут серии :
x=
х=

English Русский Правила

Урок 10.

Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы. Практика 11 класс онлайн-подготовка на

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.

Практика

Конспект урока

Вычисление периода тригонометрических функций со сложным аргументом

Основную часть урока мы посвятим решению тригонометрических уравнений и систем, но начнем с заданий на свойства тригонометрических функций, которые с решением уравнений не связаны. Рассмотрим вычисление периода тригонометрических функций со сложным аргументом.

Задача №1. Вычислить период функций а) ; б) .

Воспользуемся указанными в лекции формулами.

а) Для функции период . В нашем случае , т.е. .

б) Для функции период . У нас , т.к. аргумент можно представить не только разделенным на три, но и умноженным на . Остальные действия с функцией (умножение на , добавление 1) не влияет на аргумент, поэтому нас не интересуют.

Получаем, что

Ответ. а) ; б) .

Простейшие уравнения

Переходим к основной части нашей практики и начинаем решение тригонометрических уравнений. Для удобства разберем решение тех же примеров, которые мы упоминали в лекции, когда перечисляли основные виды уравнений.

Задача №2. Решить уравнение: а) ; б) ; в) ; г) .

Для нахождения корней таких уравнений пользуемся формулами общих решений.

а)

Для вычисления значений аркфункции пользуемся нечетностью арктангенса и таблицей значений тригонометрических функций, что мы подробно рассматривали на предыдущем уроке. Далее не будем отдельно останавливаться на этих действиях.

б)

в)

г) При решении уравнения хочется написать по общей формуле, что , но этого делать нельзя. Здесь принципиально важна проверка области значений косинуса, которая проверяется вначале решения уравнения.

Поскольку , что не лежит в области значений функции, следовательно, уравнение не имеет решений.

Важно не перепутать значение с табличным значением косинуса , будьте внимательны!

Ответ.

Замечание. Достаточно часто в задачах на решение тригонометрических уравнений и систем требуется указать не общее решение, демонстрирующее бесконечное семейство корней, а выбрать только несколько из них, которые лежат в определенном диапазоне значений. Давайте проделаем эти действия на примере ответа к пункту «в».

Дополнительная задача к пункту «в». Указать количество корней уравнения , которые принадлежат промежутку и перечислить их.

Общее решение нам уже известно:

Для того чтобы указать корни, принадлежащие указанному промежутку, их необходимо по очереди выписать, подставляя конкретные значения параметра. Подставлять будем целые числа, начиная с , т.к. корни нас интересуют из диапазона, который близок к нулю.

При подстановке мы получим еще большее значение корня, поэтому нет смысла этого делать. Теперь подставим отрицательные значения:

Подставлять по тем же соображениям не имеет смысла. Следовательно, мы нашли единственный корень уравнения, который принадлежит указанному диапазону.

Ответ. ; указанному диапазону принадлежит одно значение корня уравнения.

Аналогичная постановка вопроса о поиске определенных значений корней уравнений может встречаться и в заданиях других типов, далее мы не будем тратить на это время. Поиск необходимых корней всегда будет выполняться аналогично. Иногда для этого изображают тригонометрическую окружность. Попробуйте сами нанести на окружность корни уравнений из пунктов «а» и «б», которые попадают в диапазон .

Частные случаи простейших уравнений

Задача №3. Решить уравнение .

Воспользуемся методом нахождения корней с использованием тригонометрической окружности, как это было показано на лекции.

Наносим на окружность точки, соответствующие углам, при которых . Такой угол один.

Первое значение угла, соответствующего указанной точке — точка находится на луче, который является началом отсчета. Далее, чтобы попасть еще раз в эту же точку, но уже при другом значении угла, необходимо к первому найденному корню прибавить и получим следующий корень . Для получения следующего корня необходимо проделать ту же операцию и т.д.

Таким образом, можем указать общее решение, которое будет демонстрировать, что для получения всех корней уравнения к первому значению необходимо любое целое количество раз добавлять :

Ответ..

Напомним, что аналогичным способом решаются уравнения вида:

Уравнения со сложным аргументом

Задача №4. Решить уравнение .

Наличие сложного аргумента не меняет того, что уравнение, по сути, является простейшим, и подход к решению сохраняется. Просто теперь в роли аргумента выступает . Его и пишем в формуле общего решения:

Далее выполняем преобразование линейного уравнения, пока не выразим искомую неизвестную :

Ответ..

Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя

Задача №5. Решить уравнение .

Самое главное, это не допустить типичную ошибку и не сократить обе стороны уравнения на , т.к. при этом мы потеряем корни уравнения, соответствующие . Грамотный подход к решению предполагает перенос всех выражений в одну сторону и вынесение общего множителя.

На этом этапе необходимо вспомнить, что если произведение равно нулю, то это возможно в том случае, если либо один из множителей равен нулю, либо другой. Таким образом, наше уравнение превращается в совокупность уравнений:

Первое уравнение решаем, как частный случай простейшего уравнения. Проделайте это самостоятельно, мы выпишем готовый результат. Во втором уравнении выполним действия, чтобы привести его к простейшему виду со сложным аргументом и решим по общей формуле корней.

Обратите внимание на такой нюанс – при записи общей формулы корней второго уравнения мы используем другой параметр «». Это связано с тем, что мы решаем совокупность независимых уравнений и в них не должно быть общих параметров. В результате получаем два независимых семейства решений.

Ответ. ; .

Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций

Задача №6. Решить уравнение .

Для упрощения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Воспользуемся четностью косинуса и взаимоуничтожим одинаковое слагаемое в двух частях уравнения.

Перенесем все в одну сторону и воспользуемся формулой разности косинусов, чтобы получить произведение функций, которое будет равно нулю. Применим для этого формулу .

Cократим обе стороны уравнения на :

Мы свели уравнение к форме произведения, которая у нас получилась в предыдущем примере. Предлагаем вам самим дорешать его до конца. Укажем окончательный ответ.

В принципе, это уже окончательный ответ. Однако его можно записать компактнее в виде одного семейства решений, а не двух. В первом решении указаны все четверти частей , а во втором все половины частей , но половины входят в четверти, поскольку половина – это две четверти. Таким образом, второе семейство корней входит в первое, и итоговый ответ можно описать первым семейством решений.

Чтобы лучше разобраться в этих рассуждениях, попробуйте нанести полученные корни на тригонометрическую окружность.

Ответ. или .

Мы рассмотрели одно уравнение с использованием преобразований тригонометрических функций, однако их огромное множество, как и типов преобразований. Уравнение на использование универсальной тригонометрической подстановки, пример которой мы не приводили на позапрошлом уроке, мы рассмотрим после того, как разберем метод замены.

Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены

Задача №7. Решить уравнение .

В данном случае необходимо сначала попробовать свести уравнение к использованию одной тригонометрической функции. Т.к. легко выражается через с использованием тригонометрической единицы, мы легко сведем уравнение к синусам.

Подставим выражение в наше уравнение:

Поскольку все сведено к одной функции можем выполнить замену: .

Получили квадратное уравнение, которое легко решить любыми удобными для вас способами, например, с использованием теоремы Виета легко получить, что:

Выполним обратную подстановку:

Первое уравнение не имеет решений, т.к. значение синуса выходит за допустимую область .

Второе уравнение предлагаем вам решить самостоятельно, т.к. это уже рассмотренный нами тип частных случаев простейших уравнений. Выпишем его корни:

Ответ..

Задача №8. Решить уравнение .

В указанном уравнении сразу не видны способы решения, которые мы уже рассмотрели. В таких случаях надо попробовать применить формулы универсальной тригонометрической подстановки, которые помогут привести уравнение к одной функции.

Воспользуемся формулами: и , которые приведут все уравнение к .

Сейчас видно, что можно выполнить замену .

Сложим дроби и умножим обе части уравнения на знаменатель, т.к. он , не равен нулю.

Мы привели уравнение к уже рассмотренной ранее форме, т.е. к произведению множителей, которое равно нулю.

Выполним обратную подстановку:

Оба полученных семейства решений можно легко объединить в одно:

Ответ..

Однородные уравнения

Задача №9. Решите уравнение . В ответ укажите только корни, кратные .

Указанное уравнение усложняется после приведения к синусам или косинусам, как это хочется сделать с помощью формулы тригонометрической единицы. Поэтому используется другой способ.

Указанное уравнение мы назвали однородным, так называют уравнения, в которых после перестановки местами неизвестных функций или переменных ничего не изменится. Переставьте местами синус с косинусом, и вы убедитесь, что это наш случай.

Решают однородные уравнения делением обеих частей на старшую степень функции. В нашем случае это или или . Выбираем ту, которая нам больше нравится, и делим на нее обе стороны уравнения. Возьмем, например, для этого . При этом обязательно необходимо проверить, не потеряем ли мы при таком делении корни, соответствующие , т.е. . Для этого сначала подставим в исходное уравнение.

Поскольку мы получили не тождество, то не будут соответствовать корни нашего уравнения.

Теперь можем смело делить на :

Мы свели уравнение к замене, а такой метод решения уже был рассмотрен. Как говорится «выливаем воду из чайника» и сводим задачу к уже известной. Дорешайте далее сами. Мы укажем окончательный ответ:

Поскольку в условии задачи от нас требуют указать только корни кратные , то в ответ запишем только первое семейство решений.

Ответ..

Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций

Задача №10. Решить уравнение .

Указанное уравнение удивляет тем, что в нем две неизвестные, а как мы знаем, решить в общем случае такое уравнение нельзя. Другая проблема заключается в том, что это уравнение принципиально отличается от всех рассмотренных ранее, т.к. неизвестная в нем находится не только в аргументе тригонометрической функции.

Чтобы его решить, обратим внимание на свойства функций, которые приравниваются слева и справа. Конкретно нас интересует, какими значениями ограничены эти функции.

Для косинуса нам известна область значений:

Для квадратичной функции:

Из этого можно сделать вывод, что эти выражения могут иметь только одно общее значение, когда каждое из них равно 1. Получаем систему уравнений:

Оба уравнения получаются независимыми и содержат по одной переменной, поэтому легко решаются уже известными нам методами.

Конечно же указанный способ неочевиден, а задача относится к заданиям повышенной сложности. Данный метод иногда называют «мини-макс», т.к. используется равенство минимального и максимального значения функций.

Ответ. ; .

Теперь рассмотрим отдельно методы решения систем тригонометрических уравнений. Методы их решений стандартны, просто мы еще будем пользоваться формулами преобразований тригонометрических функций. Разберем самые часто встречающиеся типы таких систем.

Системы тригонометрических уравнений

Задача №11. Решить систему уравнений .

Решаем методом подстановки, выражаем из более простого линейного уравнения, например, и подставляем его во второе уравнение:

Во втором уравнении пользуемся тем, что является периодом синуса, т. е. его можно убрать, и синус нечетная функция, т.е. из нее выносится минус.

По формуле сложения гармонических колебаний приводим к одной тригонометрической функции второе уравнение. Попробуйте выполнить эти преобразования самостоятельно.

Подставим полученное решение в выражение для :

В данном случае мы используем один и тот же параметр для обоих семейств решений, т.к. они зависимы друг от друга.

Ответ. ; .

Системы из простейших тригонометрических уравнений.

Задача №12. Решить систему уравнений .

Оба уравнения в системе являются частными случаями простейших уравнений, мы умеем их решать, и система быстро сводится к линейной.

Параметры в обоих уравнениях различны, т.к. мы решили уравнения независимо друг от друга и переменные еще не выражались одна через другую.

Теперь решаем линейную систему методом подстановки или сложения, как вам больше нравится, проделайте эти действия самостоятельно. Укажем конечный результат.

Обратите внимание на запись решения системы, когда переменные зависят одновременно от двух параметров. Для того чтобы выписать численные значения корней в таком случае подставляются по очереди все целые значения параметров , которые не зависят друг от друга.

Ответ.

В этой практической части урока мы с вами рассмотрели несколько типовых примеров, в которых продемонстрировали методы решения тригонометрических уравнений и их систем.

Решение простейших тригонометрических неравенств. Решение неравенств онлайн

решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www. сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
Отметить точки пересечения двух графиков.
Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — . Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства:

Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

Сначала стоит начертить единичную окружность.
Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы

Являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:

В результате должна получиться красивая кривая.

Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Актуальность. Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Можно сказать, что тригонометрия является одним из важнейших разделов школьного курса и всей математической науки в целом.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.) и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т. д.).

Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений и неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Значимость теории и ее многочисленные применения являются доказательством актуальности выбранной темы. Это в свою очередь позволяет определить цели, задачи и предмет исследования курсовой работы.

Цель исследования: обобщить имеющиеся типы тригонометрических неравенств, основные и специальные методы их решения, подобрать комплекс задач для решения тригонометрических неравенств школьниками.

Задачи исследования:

1. На основе анализа имеющейся литературы по теме исследования систематизировать материал.

2. Привести комплекс заданий, необходимый для закрепления темы «Тригонометрические неравенства».

Объектом исследования являются тригонометрические неравенства в школьном курсе математики.

Предмет исследования: типы тригонометрических неравенств и методы их решения.

Теоретическая значимость заключается в систематизации материала.

Практическая значимость: применение теоретических знаний в решении задач; разбор основных часто встречающихся методов решений тригонометрических неравенств.

Методы исследования : анализ научной литературы, синтез и обобщение полученных знаний, анализ решения заданий, поиск оптимального методов решения неравенств.

§1. Типы тригонометрических неравенств и основные методы их решения

1.1. Простейшие тригонометрические неравенства

Два тригонометрических выражения, соединённые между собой знаком или >, называются тригонометрическими неравенствами.

Решить тригонометрическое неравенство – это значит, найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется.

Основная часть тригонометрических неравенств решается сведением их к решению простейших:

Это может быть метод разложения на множители, замены переменного (
,
и т. д.), где сначала решается обычное неравенство, а затем неравенство вида
и т.д., или другие способы.

Простейшие неравенства решаются двумя способами: с помощью единичной окружности или графически.

Пусть f(х  – одна из основных тригонометрических функций. Для решения неравенства
достаточно найти его решение на одном периоде, т.е. на любом отрезке, длина которого равна периоду функции f  x  . Тогда решением исходного неравенства будут все найденные x , а также те значения, которые отличаются от найденных на любое целое число периодов функции. При этом удобно использовать графический метод.

Приведем пример алгоритма решения неравенств
(
) и
.

Алгоритм решения неравенства
(
).

1. Сформулируйте определение синуса числа x на единичной окружности.

3. На оси ординат отметьте точку с координатой a .

4. Через данную точку проведите прямую, параллельную оси OX, и отметьте точки пересечения ее с окружностью.

5. Выделите дугу окружности, все точки которой имеют ординату, меньшую a .

6. Укажите направление обхода (против часовой стрелки) и запишите ответ, добавив к концам промежутка период функции 2πn ,
.

Алгоритм решения неравенства
.

1. Сформулируйте определение тангенса числа x на единичной окружности.

2. Нарисуйте единичную окружность.

3. Проведите линию тангенсов и на ней отметьте точку с ординатой a .

4. Соедините данную точку с началом координат и отметьте точку пересечения полученного отрезка с единичной окружностью.

5. Выделите дугу окружности, все точки которой имеют на линии тангенсов ординату, меньшую a .

6. Укажите направление обхода и запишите ответ с учетом области определения функции, добавив период πn ,
(число, стоящее в записи слева, всегда меньше числа, стоящего справа).

Графическая интерпретация решений простейших уравнений и формулы решения неравенств в общем виде указаны в приложении (Приложения 1 и 2).

Пример 1. Решите неравенство
.

На единичной окружности проводим прямую
, которая пересекает окружность в точках A и B.

Все значения y на промежутке NM больше , все точки дуги AMB удовлетворяют данному неравенству. При всех углах поворота, больших , но меньших ,
будет принимать значения больше (но не больше единицы).

Рис.1

Таким образом, решением неравенства будут все значения на интервале
, т.е.
. Для того, чтобы получить все решения данного неравенства, достаточно к концам этого промежутка прибавить
, где
, т.е.
,
. Заметим, что значения
и
являются корнями уравнения
,

т.е.
;
.

Ответ:
,
.

1.2. Графический метод

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения тригонометрических неравенств. Рассмотрим сущность метода на примере неравенства
:

1. Если аргумент – сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций
и
.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков , между которыми синусоида располагается выше прямой
. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период косинуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Пример 2. Решить неравенство: .

При решении неравенств графическим методом необходимо как можно более точно построить графики функций. Преобразуем неравенство к виду:

Построим в одной системе координат графики функций
и
(рис. 2).

Рис.2

Графики функций пересекаются в точке А с координатами
;
. На промежутке
точки графика
ниже точек графика
. А при
значения функции совпадают. Поэтому
при
.

Ответ:
.

1.3. Алгебраический метод

Довольно часто исходное тригонометрическое неравенство путем удачно выбранной подстановки удается свести к алгебраическому (рациональному или иррациональному) неравенству. Данный метод подразумевает преобразование неравенства, введение подстановки или замену переменной.

Рассмотрим на конкретных примерах применение этого метода.

Пример 3. Приведение к простейшему виду
.

(рис. 3)

Рис.3

,
.

Ответ:
,

Пример 4. Решить неравенство:

ОДЗ:
,
.

Используя формулы:
,

запишем неравенство в виде:
.

Или, полагая
после несложных преобразований получим

Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем:

Рис. 4

, соответственно
. Тогда из рис. 4 следует
, где
.

Рис.5

Ответ:
,
.

1.4. Метод интервалов

Общая схема решения тригонометрических неравенств методом интервалов:

С помощью тригонометрических формул разложить на множители.

Найти точки разрыва и нули функции, поставить их на окружность.

Взять любую точку К (но не найденную ранее) и выяснить знак произведения. Если произведение положительно, то поставить точку за единичной окружностью на луче, соответствующему углу. Иначе точку поставить внутри окружности.

Если точка встречается четное число раз, назовем ее точкой четной кратности, если нечетное число раз – точкой нечетной кратности. Провести дуги следующим образом: начать с точки К , если следующая точка нечетной кратности, то дуга пересекает окружность в этой точке, если же точка четной кратности, то не пересекает.

Дуги за окружностью – положительные промежутки; внутри окружности – отрицательные промежутки.

Пример 5. Решить неравенство

,
.

Точки первой серии:
.

Точки второй серии:
.

Каждая точка встречается нечетное число раз, то есть все точки нечетной кратности.

Выясним знак произведения при
: . Отметим все точки на единичной окружности (рис.6):

Рис. 6

Ответ:
,
;
,
;
,
.

Пример 6 . Решите неравенство .

Решение:

Найдём нули выражения .

Получ ae м :

,
;

На единичной окружности значения серии х 1 представлены точками
. Серия х 2 дает точки
. Из серии х 3 получаем две точки
. Наконец, серию х 4 будут представлять точки
. Нанесем все эти точки на единичную окружность, указав в скобках рядом с каждой из них ее кратность.

Пусть теперь число будет равным. Делаем прикидку по знаку:

Значит, точку A следует выбрать на луче, образующем угол с лучом Ох, вне единичной окружности. (Заметим, что вспомогательный луч О A совсем не обязательно изображать на рисунке. Точка A выбирается приблизительно.)

Теперь от точки A ведем волнообразную непрерывную линию последовательно ко всем отмеченным точкам. Причем в точках
наша линия переходит из одной области в другую: если она находилась вне единичной окружности, то переходит внутрь нее. Подойдя к точке , линия возвращается во внутреннюю область, так как кратность этой точки четная. Аналогично в точке (с четной кратностью) линию приходится повернуть во внешнюю область. Итак, начертили некую картинку, изображенную на рис. 7. Она помогает выделить на единичной окружности искомые области. Они обозначены знаком « + ».

Рис.7

Окончательный ответ:

Примечание. Если волнообразную линию после обхода ею всех отмеченных на единичной окружности точек не удается вернуть в точку A , не пересекая окружность в «незаконном» месте, то это означает, что в решении допущена ошибка, а именно пропущено нечетное количество корней.

Ответ : .

§2. Комплекс задач по решению тригонометрических неравенств

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства, также можно выделить 3 этапа.

1. подготовительный,

2. формирование умений решать простейшие тригонометрические неравенства;

3. введение тригонометрических неравенств других видов.

Цель подготовительного этапа состоит в том, что необходимо сформировать у школьников умение использовать тригонометрический круг или график для решения неравенств, а именно:

Умения решать простейшие неравенства вида
,
,
,
, с помощью свойств функций синус и косинус;

Умения составлять двойные неравенства для дуг числовой окружности или для дуг графиков функций;

Умения выполнять различные преобразования тригонометрических выражений.

Реализовать этот этап рекомендуется в процессе систематизации знаний школьников о свойствах тригонометрических функций. Основным средством могут служить задания, предлагаемые учащимся и выполняемые либо под руководством учителя, либо самостоятельно, а так же навыки наработанные при решении тригонометрических уравнений.

Приведем примеры таких заданий:

1 . Отметьте на единичной окружности точку , если

2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка , если равно:

3. Отметьте на тригонометрической окружности точки , если:

4. Приведите выражение к тригонометрическим функциям I четверти.

а)
, б)
, в)

5. Дана дуга МР. М – середина I -ой четверти, Р – середина II -ой четверти. Ограничить значение переменной t для: (составить двойное неравенство) а) дуги МР; б) дуги РМ.

6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:

Рис. 1

7. Решите неравенства
,
,
,
.

8. Преобразовать выражение .

На втором этапе обучения решению тригонометрических неравенств можно предложить следующие рекомендации, связанные с методикой организации деятельности учащихся. При этом нужно ориентироваться на уже имеющиеся у учащихся умения работать с тригонометрической окружностью или графиком, сформированные во время решения простейших тригонометрических уравнений.

Во-первых, мотивировать целесообразность получения общего приема решения простейших тригонометрических неравенств можно, обратившись, например, к неравенству вида
. Используя знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенное неравенство к виду
, но могут затрудниться в нахождении множества решений полученного неравенства, т.к. только лишь используя свойства функции синус решить его невозможно. Этого затруднения можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью единичной окружности).

Во-вторых, учитель должен обратить внимание учащихся на различные способы выполнения задания, дать соответствующий образец решения неравенства и графическим способом и с помощью тригонометрического круга.

Рассмотрим такие варианты решения неравенства
.

1. Решение неравенства с помощью единичной окружности.

На первом занятии по решению тригонометрических неравенств предложим учащимся подробный алгоритм решения, который в пошаговом представлении отражает все основные умения, необходимые для решения неравенства.

Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен .

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем . Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

Рис. 2

Шаг 3. Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .

Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги .

Таким образом, мы видим, что неравенству
удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство
. Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде

Учащимся нужно предложить внимательно рассмотреть рисунок и разобраться, почему все решения неравенства
могут быть записаны в виде
,
.

Рис. 3

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что при решении неравенств для функции косинус, прямую проводим параллельно оси ординат.

Графический способ решения неравенства.

Строим графики
и
, учитывая, что
.

Рис. 4

Затем записываем уравнение
и его решение
,
,
, найденное с помощью формул
,
,
.

(Придавая n значения 0, 1, 2, находим три корня составленного уравнения). Значения
являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков
и
. Очевидно, что всегда на интервале
выполняется неравенство
, а на интервале
– неравенство
. Нас интересует первый случай, и тогда добавив к концам этого промежутка число, кратное периоду синуса, получим решение неравенства
в виде:
,
.

Рис. 5

Подведём итог. Чтобы решить неравенство
, надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и , и записать ответ неравенства в виде: ,
.

В-третьих, факт о множестве корней соответствующего тригонометрического неравенства очень наглядно подтверждается при решении его графическим способом.

Рис. 6

Необходимо продемонстрировать учащимся, что виток, который является решением неравенства, повторяется через один и тот же промежуток, равный периоду тригонометрической функции. Так же можно рассмотреть аналогичную иллюстрацию для графика функции синус.

В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у учащихся приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание школьников на роль этих приемов при решении тригонометрических неравенств.

Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделим следующие:

В-пятых, от учащихся необходимо требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического неравенства с помощью графика или тригонометрического круга. Обязательно следует обратить внимание на ее целесообразность, в особенности на применение круга, так как при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множества решений данного неравенства

Знакомство учащихся с приемами решения тригонометрических неравенств, не являющихся простейшими, целесообразно осуществлять по следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому неравенству обращение к соответствующему тригонометрическому уравнению совместный поиск (учитель – учащиеся) приема решения самостоятельный перенос найденного приема на другие неравенства этого же вида.

Чтобы систематизировать знания учащихся о тригонометрии, рекомендуем специально подобрать такие неравенства, решение которых требует различных преобразований, которые могут быть реализованы в процессе его решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях.

В качестве таких продуктивных неравенств можно предложить, например, следующие:

В заключение приведем пример комплекса задач по решению тригонометрических неравенств.

1. Решите неравенства:

2. Решите неравенства: 3. Найдите все решения неравенств: 4. Найдите все решения неравенств:

а)
, удовлетворяющие условию
;

б)
, удовлетворяющие условию
.

5. Найдите все решения неравенств:

а) ;

б) ;

в)
;

г)
;

д)
.

6. Решите неравенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г)
;

д) ;

е) ;

ж)
.

7. Решите неравенства:

а)
;

б) ;

в) ;

г) .

8. Решите неравенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г)
;

д)
;

е) ;

ж)
;

з) .

Задания 6 и 7 целесообразно предложить ученикам, изучающим математику на повышенном уровне, задание 8 – учащимся классов с углубленным изучением математики.

§3. Специальные методы решения тригонометрических неравенств

Специальные методы решения тригонометрических уравнений – то есть те методы, которые можно использовать только для решения тригонометрических уравнений. Эти методы основаны на использовании свойств тригонометрических функций, а также на использовании различных тригонометрических формул и тождеств.

3.1. Метод секторов

Рассмотрим метод секторов для решения тригонометрических неравенств. Решение неравенств вида

, где P ( x ) и Q ( x ) – рациональные тригонометрические функции (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы входят в них рационально), аналогично решению рациональных неравенств. Рациональные неравенства удобно решать методом интервалов на числовой оси. Его аналогом при решении рациональных тригонометрических неравенств является метод секторов в тригонометрическом круге, для sinx и cosx (
) или тригонометрическом полукруге для tgx и ctgx (
).

В методе интервалов каждому линейному множителю числителя и знаменателя вида
на числовой оси соответствует точка , и при переходе через эту точку
меняет знак. В методе секторов каждому множителю вида
, где
— одна из функций sinx или cosx и
, в тригонометрическом круге соответствуют два угла и
, которые делят круг на два сектора. При переходе через и функция
меняет знак.

Необходимо помнить следующее:

а) Множители вида
и
, где
, сохраняют знак для всех значений . Такие множители числителя и знаменателя отбрасывают, изменяя (если
) при каждом таком отбрасывании знак неравенства на противоположный.

б) Множители вида
и
также отбрасываются. При этом, если это множители знаменателя, то в эквивалентную систему неравенств добавляются неравенства вида
и
. Если это множители числителя, то в эквивалентной системе ограничений им соответствуют неравенства
и
в случае строгого исходного неравенства, и равенства
и
в случае нестрогого исходного неравенства. При отбрасывании множителя
или
знак неравенства изменяется на противоположный.

Пример 1. Решить неравенства: а)
, б)
. имеем функция, б) . Решить неравенство Имеем,

3.2. Метод концентрических окружностей

Данный метод является аналогом метода параллельных числовых осей при решении систем рациональных неравенств.

Рассмотрим пример системы неравенств.

Пример 5. Решить систему простейших тригонометрических неравенств

Сначала решим каждое неравенство отдельно (рисунок 5). В правом верхнем углу рисунка будем указывать для какого аргумента рассматривается тригонометрическая окружность.

Рис.5

Далее строим систему концентрических окружностей для аргумента х . Рисуем окружность и заштриховываем ее согласно решению первого неравенства, затем рисуем окружность большего радиуса и заштриховываем ее согласно решению второго, далее строим окружность для третьего неравенства и базовую окружность. Из центра системы через концы дуг проводим лучи так, чтобы они пересекали все окружности. На базовой окружности формируем решение (рисунок 6).

Рис.6

Ответ:
,
.

Заключение

Все задачи курсового исследования были выполнены. Систематизирован теоретический материал: приведены основные типы тригонометрических неравенств и основные методы их решения (графический, алгебраический, метод интервалов, секторов и метод концентрических окружностей). К каждому методы был приведен пример решения неравенства. За теоретической частью следовала практическая. В ней составлен комплекс заданий по решению тригонометрических неравенств.

Данная курсовая может быть использована учащимися для самостоятельной работы. Школьники могут проконтролировать уровень усвоения данной темы, потренироваться в выполнении заданий различной сложности.

Проработав соответствующую литературу по данному вопросу, очевидно, можно сделать вывод о том, что умение и навыки решать тригонометрические неравенства в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.

Поэтому данная работа будет полезна учителям математики, так как дает возможность эффективно организовать подготовку учащихся по теме «Тригонометрические неравенства».

Исследование можно продолжить, расширив его до выпускной квалификационной работы .

Список использованной литературы

Богомолов, Н.В. Сборник задач по математике [Текст] / Н.В. Богомолов. – М.: Дрофа, 2009. – 206 с.

Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике [Текст] / М. Я. Выгодский. – М.: Дрофа, 2006. – 509 с.

Журбенко, Л.Н. Математика в примерах и задачах [Текст] / Л.Н. Журбенко. – М.: Инфра-М, 2009. – 373 с.

Иванов, О.А. Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей [Текст] / О.А. Иванов. – М.: МЦНМО, 2009. – 384 с.

Карп, А.П. Задания по алгебре и началам анализа для организации итогового повторения и проведения аттестации в 11 классе [Текст] / А.П. Карп. – М.: Просвещение, 2005. – 79 с.

Куланин, Е.Д. 3000 конкурсных задач по математике [Текст] / Е.Д. Куланин. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 624 с.

Лейбсон, К.Л. Сборник практических заданий по математике [Текст] / К.Л. Лейбсон. – М.: Дрофа, 2010. – 182 с.

Локоть, В.В. Задачи с параметрами и их решение. Тригонометрия: уравнения, неравенства, системы. 10 класс [Текст] / В.В. Локоть. – М.: АРКТИ, 2008. – 64 с.

Манова, А.Н. Математика. Экспресс-репетитор для подготовки к ЕГЭ: уч. пособие [Текст] / А.Н. Манова. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2012. – 541 с.

Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений [Текст] / А.Г. Мордкович. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 201 с.

Новиков, А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства [Текст] / А.И. Новиков. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 260 с.

Оганесян, В.А. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ. — мат. фак. пед. ин-тов. [Текст] / В.А. Оганесян. – М.: Просвещение, 2006. – 368 с.

Олехник, С.Н. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения [Текст] / С.Н. Олехник. – М.: Изд-во Факториал, 1997. – 219 с.

Севрюков, П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства [Текст] / П.Ф. Севрюков. – М.: Народное образование, 2008. – 352 с.

Сергеев, И.Н. ЕГЭ: 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все задания группы С [Текст] / И.Н. Сергеев. – М.: Экзамен, 2012. – 301 с.

Соболев, А. Б. Элементарная математика [Текст] / А.Б. Соболев. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. – 81 с.

Фенько, Л.М. Метод интервалов в решении неравенств и исследовании функций [Текст] / Л.М. Фенько. – М.: Дрофа, 2005. – 124 с.

Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике [Текст] / Л.М. Фридман. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 248 с.

Приложение 1

Графическая интерпретация решений простейших неравенств

Рис. 1

Рис. 2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Рис.8

Приложение 2

Решения простейших неравенств

1. Если аргумент — сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost и y=a .

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков , между которыми располагается выше прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.

Пример 1.

Далее, по алгоритму, определяем те значения аргумента t , при которых синусоида располагается выше прямой. Выпишем эти значения в виде двойного неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, а затем вернемся к первоначальному аргументу х .

Пример 2.

Выделяем промежуток значений t , при которых синусоида находится выше прямой.

Записываем в виде двойного неравенства значения t, удовлетворяющих условию. Не забываем, что наименьший период функции y=cost равен 2π . Возвращаемся к переменной х , постепенно упрощая все части двойного неравенства.

Ответ записываем в виде закрытого числового промежутка, так как неравенство было нестрогое.

Пример 3.

Нас будет интересовать промежуток значений t , при которых точки синусоиды будут лежать выше прямой.

Значения t запишем в виде двойного неравенства, перезапишем эти же значения для 2х и выразим х . Ответ запишем в виде числового промежутка.

И снова формула cost>a.

Если cost>a , (-1≤а ≤1), то — arccos a + 2πn

Применяйте формулы для решения тригонометрических неравенств, и вы сэкономите время на экзаменационном тестировании.

А теперь формула , которой вам следует воспользоваться на экзамене ЕНТ или ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost

Если cost, (-1≤а ≤1), то arccos a + 2πn

Примените эту формулу для решения рассмотренных в этой статье неравенств, и вы получите ответ гораздо быстрее и безо всяких графиков!

Учитывая периодичность функции синуса, запишем двойное неравенство для значений аргумента t , удовлетворяющий последнему неравенству. Вернемся к первоначальной переменной. Преобразуем полученное двойное неравенство и выразим переменную х. Ответ запишем в виде промежутка.

Решаем второе неравенство:

При решении второго неравенства нам пришлось преобразовать левую часть данного неравенства по формуле синуса двойного аргумента, чтобы получить неравенство вида: sint≥a. Далее мы следовали алгоритму.

Решаем третье неравенство:

Дорогие выпускники и абитуриенты! Имейте ввиду, что такие способы решения тригонометрических неравенств, как приведенный выше графический способ и, наверняка, вам известный, способ решения с помощью единичной тригонометрической окружности (тригонометрического круга) применимы лишь на первых этапах изучения раздела тригонометрии «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». Думаю, вы припомните, что и простейшие тригонометрические уравнения вы вначале решали с помощью графиков или круга. Однако, сейчас вам не придет в голову решать таким образом тригонометрические уравнения. А как вы их решаете? Правильно, по формулам. Вот и тригонометрические неравенства следует решать по формулам, тем более, на тестировании, когда дорога каждая минута . Итак, решите три неравенства этого урока по соответствующей формуле.

Если sint>a , где -1≤a ≤1, то arcsin a + 2πn nєZ.

Учите формулы!

И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!

Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint (-1≤а ≤1) справедлива формула:

— π — arcsin a + 2πn

Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!

Вывод: УЧИТЕ ФОРМУЛЫ, ДРУЗЬЯ!

Страница 1 из 1 1

Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн. Использование метода ограниченности тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений.

Традиционно в школьном курсе алгебры рассматривается решение следующих типов тригонометрических уравнений:

Простейшие. (Решаются применением стандартных формул корней тригонометрических уравнений).
Сводящиеся к простейшим, при помощи тригонометрических тождеств. (Необходимо хорошо знать большое количество формул владеть практическими навыками их применения).
Решаемые заменой переменных. (Замена позволяет из тригонометрического получить алгебраическое уравнение, решив которое и, возвратясь к первоначальной переменной, получим одно или несколько простейших тригонометрических).
Однородные. (Решаемые путем деления обеих частей на синус или косинус в некоторой степени).
Уравнения, решаемые с помощью введения дополнительного угла и некоторые другие.

Но существуют способы решения этих уравнений, о которых в школе вспоминают не всегда. На ЕГЭ знание этих способов позволяет решать и «не решаемые» на первый взгляд задачи. Приведу примеры таких уравнений:

1. sin 3x + cos 2x + 2 = 0

2. sin²x + 3х²cos x + 3x² = 0;

3. cos πx + х² – 6x + 10 = 0 и др.;

При кажущейся необычности, эти уравнения решаются достаточно просто и не требуют каких-то особых знаний.

Достаточно только помнить, что |sin x| ≤ 1 |cos x| ≤ 1. Тогда очевидно, чтоесли sin x + cos y = 2, то sin x = 1 и cos y = 1.

Если sin x · cos y = 1, то sin x = cos y = 1 или sin x = cos y = -1. Заметим, кстати, что здесь мы решили два уравнения с двумя переменными.

Решим уравнение 1. Перенеся 2 вправо, получаем:

sin 3x + cos 2x = -2. Но sin 3x ≤ -1 и cos 2x ≤ -1 при любых значениях х.

Сложив неравенства, получаем:

sin 3x + cos 2x ≤ -2. Очевидно, что равенство достигается лишь при условии одновременного равенства каждого из слагаемых -1.

Следовательно уравнение sin 3x + cos 2x = -2 равносильно cos 2x = -1 и sin 3x = -1.

Решив каждое из уравнений, получаем:

x = -π/2 + nπ и x = -π/6 + 2kπ/3 соответственно. Но равенства должны выполнятся одновременно, поэтому необходимо определить такие n и k, при которых решения совпадут.

Следовательно, n и k должны удовлетворять равенству -π/6 + 2kπ/3 = -π/2 + nπ.

Разделив наπи умножив на 6 обе части равенства получаем:

-1 + 4k = -3 + 6n или n = (2k + 1)/3.

Имея в виду, что n и k – целые, получаем: k = 3i + 1. Подставляя вместо k 3i + 1. в равенство n = (2k + 1)/3 получим n = 2i + 1, где i – любое целое число.

Подставляем n или k в соответствующее выражение для x и получаем x = π/2 + 2iπ, где i – любое целое число.

Решим уравнение 2. Вынося за скобки 3x², получим: sin²x + 3x² (cos x + 1) = 0. Получаем сумму двух неотрицательных слагаемых, которая равна 0. (Так как сos x + 1 ≥ 0, sin²x ≥ 0, 3x² ≥ 0 при любых значениях х). Сумма их окажется равной 0 лишь при условии равенства нулю каждого из слагаемых.

Таким образом имеем: sin²x = 0 и 3x²(сos x + 1) = 0. Из первого уравнения x = πn, где n – целое.

Со второго – x = 0 или сos x = -1, x = π + 2πk, где k – целое. Но оба равенства должны выполняться одновременно. Следовательно надо найти общие решения этих двух уравнений.

Ответ: x = 0 или x = π + 2πk, где k – целое.

Решим уравнение 3. Сделав перенос слагаемых в правую часть уравнения условие преобразуем следующим образом cos πx = -x² + 6x – 10. Но |cos πx| ≤ 1, тогда и |-x² + 6x – 10| ≤ 1. Единственным решением данного неравенства является число 3. Подстановкой убеждаемся, что 3 является решением исходного уравнения. Других корней уравнение иметь не может.

Ответ: x = 3.

Рассмотрим еще одно уравнение: cos⁵ x + sin⁴ x = 1.

Преобразовав, получим:

cos⁵ x + (1 – cos² x)² = 1;

cos⁵ x + cos⁴x – 2cos²x = 0;

cos² x(cos³ x + cos x – 2) = 0;

cos² x = 0 или (cos³ x + cos x – 2) = 0;

(второе уравнение решаем с учетом ограниченности косинуса)

x = π/2 + nπ, где n – любое целое или cos x = 1, т.е. x = 2kπ.

Объединив решения, получаем:

Ответ: x = π/2 + nπ или x = 2kπ, где n, k – любые целые.

Интересным, на мой взгляд, является и второй способ решения этого уравнения. Он поможет при решении целого класса уравнений, если вникнуть в суть дела.

Преобразуем правую часть уравнения, заменив 1 на cos²x + sin² x. Получим:

cos⁵x + sin⁴x = cos²x + sin²x;

cos² x(cos³ x – 1) + sin²x(sin² x – 1) = 0;

Вспомнив об ограничениях sin x и cos x и учитывая четность показателей степени, делаем вывод: каждое из двух слагаемых левой части не положительно. Следовательно, их сумма равна 0 лишь при условии равенства 0 каждого из слагаемых.

cos² x(cos³ x – 1) = 0 и sin²x(sin²x – 1) = 0;

cos x = 0 или cos x = 1 и sin² x = 0 и sin² x = 1;

Но cos x = 0 равносильно sin² x = 1 и если cos x = 1, то sin x = 0. Значит, общие решения этих уравнений получим из равенств cos x = 0 или cos x = 1. Тогда x = π/2 + nπ или x = 2kπ.

Oтвет: x = π/2 + nπ или x = 2kπ, где n, k – любые целые числа.

Трудно сказать, какой из способов более рационален, но второй имеет важное преимущество. С его помощью можно решить целый класс уравнений вида cos^п x + sin^m x = 1, где п и m – любые натуральные числа больше 2. Данное утверждение легко доказать, проведя всю цепочку рассуждений, приведенную в последнем примере.

Тогда «страшные» уравнения, типа cos⁵¹x + sin⁴² x = 1, становится простейшими. На ЕГЭ можно не тратить время на решение такого уравнения, а сразу записывать ответ: x = π/2 + nπ или x = 2kπ, где n, k – любые целые числа.

Остались вопросы? Не знаете, как сделать тригонометрию?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.

Исчисление I — Решение триггерных уравнений

Эта задача очень похожа на другие задачи в этом разделе с очень важным отличием. Мы начнем эту задачу точно так же, как и в первом примере. Итак, сначала получите синус с одной стороны сам по себе.

\[\begin{align*}2\sin (5x) & = — \sqrt 3 \\ \sin (5x) & = \frac{{ — \sqrt 3 }}{2}\end{align*}\]

Мы ищем углы, которые дают \( — \frac{{\sqrt 3}}{2}\) из функции синуса. Вернемся снова к нашему верному единичному кругу.

Теперь в первом квадранте нет углов, для которых синус имеет значение \( — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Однако в нижней половине единичного круга есть два угла, для которых синус будет иметь значение \( — \frac{{\sqrt 3}}{2}\). Так что же это за углы?

Обратите внимание, что \(\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3}}{2}\). Учитывая это, мы теперь знаем, что угол в третьем квадранте будет \(\frac{\pi }{3}\) ниже отрицательных \(x\) оси или \(\pi + \frac{ \pi }{3} = \frac{{4\pi }}{3}\). Простой способ запомнить это — заметить, что мы повернем на пол-оборота от положительной оси \(x\) к отрицательной оси \(x\), а затем добавим \(\frac{\pi } {3}\), чтобы достичь искомого угла.

Аналогично, угол в четвертом квадранте будет \(\frac{\pi }{3}\) ниже положительной оси \(x\). Таким образом, мы могли бы использовать \( — \frac{\pi }{3}\) или \(2\pi — \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{3}\) . Помните, что мы обычно ищем положительные углы между 0 и \(2\pi \), поэтому мы будем использовать положительный угол. Простой способ запомнить, как получить здесь положительный угол, — это повернуться на один полный оборот от положительной оси \(x\) ( , т.е. \(2\pi \)) и затем отступить ( т. е. вычитание) \(\ frac{\pi }{3}\).

Теперь мы подходим к очень важному отличию этой задачи от предыдущих задач этого раздела. Решение НЕ

\[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

Это не набор решений, потому что мы НЕ ищем значения \(x\), для которых \(\sin \left( x \right) = — \frac{{\sqrt 3}}{2}\ ), но вместо этого мы ищем значения \(x\), для которых \(\sin\left({5x}\right) = — \frac{{\sqrt 3}}{2}\). Обратите внимание на разницу в аргументах функции синуса! Один из них \(х\), а другой \(5х\). Это имеет большое значение в поиске решения! Следовательно, множество решений равно

\[\begin{align*}5x & = \frac{{4\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 5x & = \frac{{5\pi }}{3} + 2\pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

Вообще-то это не совсем решение. Мы ищем значения \(x\), поэтому делим все на 5, чтобы получить.

\[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi}}{{15}} + \frac{{2\pi n}}{5},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi n}}{5},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ ldots \end{align*}\]

Обратите внимание, что мы также разделили \(2\pi n\) на 5! Это важно! Если мы этого не сделаем, вы БУДЕТЕ упускать решения. Например, возьмем \(n = 1\).

\[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi }}{5} = \frac{{10\pi }}{{ 15}} = \frac{{2\pi}}{3} & \hspace{0,25in} & \Rightarrow \hspace{0,5in}\sin \left( {5\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right) = \sin \left( {\frac{{10\pi}}{3}} \right) = — \frac{{\sqrt 3}}{2} \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi}}{5} = \frac{{11\pi}}{{15}} & \hspace{0,25in} & \ Rightarrow \ hspace {0,5 дюйма} \ sin \ left ( {5 \ left ( {\ frac {{11 \ pi}} {{15}}} \ right)} \ right) = \ sin \ left ( {\ frac {{11\pi}}{3}} \right) = — \frac{{\sqrt 3}}{2}\end{align*}\]

Мы предоставим вам возможность проверить нашу работу, показав, что это решения. Тем не менее, это делает точку. Если бы вы не разделили \(2\pi n\) на 5, вы бы пропустили эти решения!

Хорошо, теперь, когда мы получили все возможные решения, пришло время найти решения на заданном интервале. Сделаем это так же, как и в предыдущей задаче. Выберите значения \(n\) и получите решения.

\(п = 0\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 0 \right)}}{5} = \frac{{ 4\pi }}{{15}} < 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 0 \right)}}{5} = \ frac{\pi }{3} < 2\pi \end{align*}\] \(п = 1\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 1 \right)}}{5} = \frac{{ 2\pi }}{3} < 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 1 \right)}}{5} = \frac{ {11\pi }}{{15}} < 2\pi \end{align*}\] \(п = 2\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 2 \right)}}{5} = \frac{{ 16\pi }}{{15}} < 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 2 \right)}}{5} = \ frac{{17\pi }}{{15}} < 2\pi \end{align*}\] \(п = 3\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 3 \right)}}{5} = \frac{{ 22\pi }}{{15}} < 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 3 \right)}}{5} = \ frac{{23\pi }}{{15}} < 2\pi \end{align*}\] \(n = 4\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 4 \right)}}{5} = \frac{{ 28\pi }}{{15}} < 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 4 \right)}}{5} = \ трещина{{29\pi }}{{15}} < 2\pi \end{align*}\] \(n = 5\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( 5 \right)}}{5} = \frac{{ 34\pi }}{{15}} > 2\pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( 5 \right)}}{5} = \ frac{{35\pi }}{{15}} > 2\pi \end{align*}\]

Итак, мы, наконец, прошли правую конечную точку нашего интервала, поэтому нам больше не нужны положительные n . Теперь давайте посмотрим на отрицательное число \(n\) и посмотрим, что у нас получилось.

\(n = –1 \). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( { — 1} \right)}}{5} = — \frac{{2\pi}}{{15}} > — \pi \\ x & = \frac{\pi} {3} + \frac{{2\pi \left( { — 1} \right) }}{5} = — \frac{\pi }{{15}} > — \pi \end{align*}\] \(n = –2\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( { — 2} \right)}}{5} = — \frac{{8\pi}}{{15}} > — \pi \\ x & = \frac{\pi} {3} + \frac{{2\pi \left( { — 2} \right) }}{5} = — \frac{{7\pi }}{{15}} > — \pi \end{align*}\] \(n = –3\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( { — 3} \right)}}{5} = — \frac{{14\pi}}{{15}} > — \pi \\ x & = \frac{\pi} {3} + \frac{{2\pi \left( { — 3} \right) }}{5} = — \frac{{13\pi }}{{15}} > — \pi \end{align*}\] \(n = –4\). \[\begin{align*}x & = \frac{{4\pi }}{{15}} + \frac{{2\pi \left( { — 4} \right)}}{5} = — \frac{{4\pi}}{3} < - \pi \\ x & = \frac{\pi }{3} + \frac{{2\pi \left( { - 4} \right)}} {5} = - \фракция{{19\pi }}{{15}} < - \pi \end{align*}\]

И вот мы прошли левую конечную точку интервала. Иногда будет много решений, как в этом примере. Собирая все это вместе, мы получаем следующий набор решений, лежащих в заданном интервале.

\[\begin{align*} & \frac{{4\pi}}{{15}},\frac{\pi }{3},\frac{{2\pi}}{3},\frac{ {11\pi}}{{15}},\frac{{16\pi}}{{15}},\frac{{17\pi}}{{15}},\frac{{22\pi} }{{15}},\frac{{23\pi }}{{15}},\frac{{28\pi }}{{15}},\frac{{29\pi}}{{15}}\\ & — \frac{\pi}{{15}}, — \frac{{2\pi}}{{15}}, — \frac{{7\pi} }{{15}}, — \frac{{8\pi }}{{15}}, — \frac{{13\pi }}{{15}}, — \frac{{14\pi }}{ {15}}\end{выравнивание*}\]

Решатель тригонометрических уравнений

Выражение
Уравнение
Неравенство
Contact us

Simplify
Factor
Expand
GCF
LCM

Solve
Graph
System

Solve
Graph
System

Math solver on your сайт

Наших пользователей:

Я думаю, это здорово! Я показал программу паре одноклассников во время учебной группы, и им она понравилась. Мы все хотели, чтобы у нас было это 4 месяца назад.
Мэтт Канин, IA

Я никогда не видел ничего подобного! Шаг за шагом я изучаю сложную алгебру вместе с моими детьми!
Бим Оядаре, Флорида

Посмотри на это. Наконец-то продукт, который действительно делает то, на что претендует. Это был легкий ветерок, когда я готовился к урокам математики. Это была большая помощь, которая теперь оставляет время для других вещей.
Сьюзан Фриман, Огайо

Лучшее, что мне нравится в этом программном обеспечении, — это возможность настройки в соответствии с требованиями пользователя. Сопоставьте свой ответ или проверьте свои шаги или обратитесь за объяснением — это ваша собственная воля. Это дает вам практическое и четкое понимание проблемы.
Мэй Сун, OK

МЫ СДЕЛАЛИ ЭТО!! Большое спасибо за вашу помощь и за то, что вы так отзывчивы на наши электронные письма! Мы ценим ваше время, терпение и помощь с этой загрузкой. Какое УДИВИТЕЛЬНОЕ обслуживание клиентов!!! Спасибо.
Лекейша Смит, Огайо

Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?

Поисковые фразы, использованные 07 февраля 2010 г.:

решения «конкретной абстрактной алгебры»
Макдугал Литтел Алгебра 1 читы
Рабочий лист уравнения двух шагов для 7-го класса
преобразование десятичных дробей в дроби или смешанные числа
вычислить квадратную формулу на ti 89
сложение сложных квадратичных функций
Учебник Холта по математике GCMS для 7 класса избранные ответы
вероятность на ти-83
таблицы алгебраических выражений квадратных футов и объемы
задачи по алгебре для помощи в изучении
Matlab дифференциальные уравнения строят численные решения
рабочих листа с элементарными линейными графами
Калькулятор факторинга трехчленный
приложения по алгебре, ti 84 плюс
темы математических стихотворений
округление десятичной дроби по математике в пятом классе Вирджинии
алгебра с показателями, делением и дробями
+excell арктангенс
вопроса из Advanced Algebra через справку по исследованию данных
бесплатные занятия по математике в средней школе
в чем разница между радикальным и рациональным показателем
Калькулятор наклона алгебры
бесплатных коротких трюка для решения теста на способность рассуждать
полиномиальная функция. swf
рабочие листы умножения целых чисел
калькулятор булевой алгебры
тест по алгебре 2 для многочленов
мягкая математика
Калькулятор уравнений балансировки
онлайн-помощь по логарифмическим вычислениям и шпаргалка
Факторинг в алгебре
линейное уравнение в двух переменных областях
правила алгебры
десятичный корень
Калькулятор добавления целых чисел
корень комплексного квадратного числа
онлайн интерактивный графический калькулятор урок
Решение одношаговых уравнений и неравенств. Рабочий лист
бесплатный калькулятор для решения предметной области и алгебры функций
онлайн калькулятор дифференциальное уравнение второго порядка
комплексные переменные ti 83
использование замены для вычисления алгебраических выражений и формул
расчет уклона с помощью калькулятора TI-83
онлайн калькулятор факторинговых полиномов
проблемы радикалы абсолютное значение
Уравнения для 6 класса
метод подстановки для однородных линейных дифференциальных уравнений
линейные уравнения с десятичными знаками
Калькулятор наименьших множителей
алгебра пицц алгебра 1
делает кубический корень на ти-83 плюс
как написать программу перекрестного произведения в TI-89
граф системы уравнений
целых числа вычитая
перестановки математические бесплатные листы
примеры листов по математике для 8-летних
вычитание значений из алебраических выражений
перестановки и комбинации ti -83 плюс
glencoe продвинутый математический тест ответы
преобразовать число в числовое слово в java с помощью переключателя
это 83 квадратное число
читы математических дробей
ti 83 плюс скачать ром
решение одновременных уравнений с нелинейными уравнениями
научный калькулятор онлайн с кубическим корнем
наименьшее общее кратное 17 и 39
преобразовать дробь в квадратное уравнение
Рабочие листы для двухшагового деления уравнения
Реальный пример деления многочленов
задачи на определение возраста по алгебре
сравнение и округление десятичных дробей, образец теста по математике для 6-го класса
алгебра стандартного класса онлайн
интерактивная алгебра поможет решить проблемы с монетами
алгебра как сделать отрицательное целое число положительным
алгебра исключения 2 триггер как
бесплатные таблицы соотношений и пропорций
powerpoint комплексных чисел и квадратного уравнения
алгебраические рабочие листы со свободным делением на один шаг
нужна помощь в решении задач на алгебраические радикалы и рациональные показатели
gre шпаргалка по математике
каковы наибольшие общие делители 22 и 46
Что такое определение квадратичных отношений
как матрицировать комплексные числа с помощью ti-83
бесплатный рабочий лист по математике для 6-го класса
скачать калькулятор ТИ-84
упростить многочлены в кубе
с отличием геометрия глава 4 рабочий лист
решить третье уравнение
Ti-84 Plus помогает в построении графика остатков
алгебра 1 помощь/комбинированный факторинг бесплатно онлайн
Уолтер Рудин скачать книгу
Неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка
mcdougal littell алгебра 1 ключ ответа бесплатно
онлайн Основы алгебры 2 Руководство по ответам
Колледж алгебры Марк Дугопольски
Масштабный коэффициент без предварительной алгебры ответа
книга учета затрат
Шпаргалка по математике GED
математика в средней школе с умом

Используйте наш бесплатный калькулятор

Мы сотрудничаем с Mathway, чтобы предложить бесплатный онлайн-калькулятор тригонометрии. Обширный список других инструментов тригонометрии находится ниже.

Содержание

Обзор
84 Введение в тригонометрические калькуляторы
4 Тригонометрия прямоугольного треугольника
18 теорем о треугольниках
13 Формула Герона
9 Закон синусов
6 Закон косинусов
4 Закон касательных
3 Котангенс
2 Секанс и косеканс
7 тригонометрических функций
18 обратных тригонометрических функций
74 Усовершенствованные тригонометрические калькуляторы
Преобразование 18 градусов в радианы
2 Измерение угла
3 круглых инструмента
2 тригонометрических тождества
1 Пифагорейские тождества
8 тождеств суммы углов и разности
2 двухугольных тождества
4 полуугловых тождества
5 Идентификаций суммы
2 идентификатора продукта
3 идентификатора снижения мощности
7 тригонометрических уравнений
17 Вектор или векторные операции

Обзор

Как отмечает Академия Хана, тригонометрия — это «изучение свойств треугольников» и используется во всем, от астрономии до спутниковых систем, архитектуры и многого другого.

В Интернете доступно множество ресурсов, которые помогут вам в изучении тригонометрии.

Ниже представлена коллекция из 158 триггерных калькуляторов, разделенных по типу навыка и уровню.

Введение в тригонометрию

Тригонометрия прямоугольных треугольников

Обучение решению прямоугольных треугольников обеспечивает основу, которую вы будете использовать по мере продвижения в тригонометрии. Следующие ресурсы помогут вам ознакомиться со свойствами прямоугольных треугольников:

Прямоугольный треугольник на EasyCalculation.com. Используйте раскрывающиеся меню, чтобы найти угол, противоположную сторону, сторону гипотенузы или примыкающую сторону, используя известные значения. Включает в себя обучающую информацию с мнемоническим устройством для запоминания формулы.

Прямоугольный треугольник VisualTrig.com (включает визуальное отображение) — ознакомьтесь с прямоугольными треугольниками, используя ползунки для настройки свойств предоставленного прямоугольного треугольника. Также доступны варианты Scalene и Circle.

Триггер прямоугольного треугольника PageTutor.com — быстрый и простой в использовании, когда вы знаете два значения, их можно использовать для определения других свойств треугольника.

Прямоугольный треугольник CarbideDepot.com — быстро и легко использовать, просто введите известные вам значения, чтобы найти неизвестные свойства треугольника.

Теоремы о треугольниках

Существует несколько теорем о треугольниках, которые можно использовать для получения дополнительной информации о свойствах треугольников. Следующие инструменты знакомят с этими теоремами:

Теорема треугольника CalculatorSoup.com. Узнайте больше о шести теоремах треугольника и о том, как их решать, используя предоставленную учебную информацию.

Теоремы о треугольниках EasyCalculation.com. Найдите неизвестные свойства треугольников, используя эти шесть простых в использовании ресурсов по теоремам треугольников:

Треугольник AAA
Треугольник AAS
Треугольник ASA
Треугольник ASS
Треугольник SAS
Треугольник SSS

1728. org. Предоставляются полезные диаграммы и обучающая информация, объясняющая теоремы.

Сторона, угол и площадь Had2Know.com — используйте SAS, ASA или SSS, чтобы найти свойства вашего треугольника.

TrianCal — интерактивный инструмент, доступный на испанском и английском языках, который вычисляет переменные и позволяет пользователям обмениваться ссылками на сгенерированный треугольник.

Треугольник GradeMathHelp.com — интересно использовать, просто введите известные значения на треугольной диаграмме. Он предоставляет подробную учебную информацию, объясняющую, какая теорема будет использоваться для решения вашего треугольника в зависимости от предоставленных значений.

Треугольник Triangle-Calculator.com — используйте либо SSA, либо SAS для решения неизвестных значений ваших треугольников. Каждая из них имеет полезную треугольную диаграмму с маркировкой:

Треугольник SSA.

Треугольник SAS. Затем для нахождения площади вашего треугольника будет использоваться соответствующая теорема о треугольнике.
Треугольник SSS
Треугольник SAS
Площадь треугольника CSGNetwork.com — введите известные значения вашего треугольника, чтобы найти площадь. На каждой изображена треугольная диаграмма:
SSS Треугольник
SAS Triangle
SAS Triangle Solver от Algebra.com. Быстрая и простая в использовании помеченная диаграмма треугольника позволяет узнать больше о теореме SAS о треугольнике.
Интерактивная область диаграммы треугольника MathOpenRef.com — перетащите указанную точку, чтобы изменить свойства треугольника на основе метода SAS. Узнайте больше о методе с предоставленной учебной информацией.
Формула Герона
Как объясняет MathIsFun.com, Формула Герона названа в честь Герона, греческого инженера и математика. Формула используется для нахождения площади треугольника, когда известны длины всех трех сторон. Ниже приведен набор ресурсов, использующих формулу Герона для нахождения площади треугольника:
Формула треугольника Герона CSGNetwork. com. Простая в использовании. Введите длины сторон треугольника, чтобы найти его площадь. Некоторая учебная информация о формуле Герона также включена.
Формула Герона Keisan.Casio.com – Формула Герона и диаграмма треугольника предоставляются. Введите длину сторон, чтобы найти площадь.
Интерактивный треугольник с формулой Герона на MathOpenRef.com — отличный способ поэкспериментировать с формулой. Перетащите точку и посмотрите, как изменятся значения в правом углу.
Формула Герона на сайте OnlineMSchool.com. Узнайте больше о формуле Герона из представленных объяснений и диаграммы треугольников.
Формула Герона на сайте MathIsFun.com. Следуйте простым для понимания инструкциям по использованию формулы Герона для нахождения площади треугольника. Введите длины сторон на диаграмме треугольника, чтобы найти площадь.
Формула Герона на сайте MathWarehouse.com. Используйте обучающую информацию и пошаговые примеры, чтобы закрепить свои знания о формуле Герона. Когда вы вводите длины сторон, площадь вашего треугольника мгновенно корректируется.
Треугольная зона KylesConverter.com. Предоставляется простая для понимания учебная информация и диаграммы в стиле классной доски.
TutorVista.com’s Heron’s Formula – быстрая и простая в использовании, следуйте пошаговым примерам, чтобы узнать больше о формуле.
Формула цапли Nap.st – проста в использовании, просто введите длину сторон, чтобы найти площадь.
Формула Герона на Calculator.Swiftutors.com. Взгляните на версию формулы Герона с цветовой кодировкой, чтобы лучше понять каждый из ее элементов.
Решатель формул Герона на сайте Algebra.com. Предоставляется обучающая информация, объясняющая, когда и зачем использовать формулу Герона. Пошаговое объяснение приходит с результатами.
Площадь треугольника Герона на NCalculators.com. Узнайте больше о формуле Герона из предоставленной учебной информации. Диаграмма треугольника также предоставляется, чтобы помочь вам лучше понять этот метод нахождения площади треугольника.
Calcverter.Blogspot.com’s Heron’s Triangle Area – быстрый, простой в использовании и предоставляет образец задачи, чтобы вы могли проверить свои навыки.
Закон синусов
Как объясняет HotMath.com, закон синусов — это « отношение между сторонами и углами непрямоугольных (наклонных) треугольников». Его можно использовать, когда вы знаете «либо два угла и одну сторону треугольника (AAS или ASA), либо две стороны и угол, противолежащий одному из них (SSA)». Ниже приведен набор инструментов, которые помогут вам узнать, когда и как использовать закон синусов:
Закон синусов EasyCalculation.com – прочитайте разбивку уравнений, которые можно составить на основе закона синусов. Затем введите известные углы и стороны, чтобы найти неизвестные значения на основе закона синусов.
Закон синусов на сайте CalculatorSoup.com. Используйте предоставленную треугольную диаграмму с пометками и учебную информацию, чтобы лучше понять закон синусов и его применение. Затем используйте раскрывающееся меню, чтобы выбрать, какие свойства вы знаете, и решить для неизвестных значений.
Закон синусов и косинусов MathPortal.org. Установите флажки, чтобы указать, какие стороны или углы треугольника известны. Нажмите «Показать объяснение», чтобы узнать, как была решена ваша проблема, и посмотреть, использовался ли для ее решения закон синусов или закон косинусов.
Решение треугольников StudyStack.com. Введите известные значения, чтобы найти неизвестные значения и объяснить, почему был использован либо закон синусов, либо закон косинусов.
Гиперфизический закон синусов – представлен факультетом физики и астрономии Университета штата Джорджия. Узнайте больше о законе синусов, используя понятную учебную информацию.
Интерактивный треугольник закона синусов MathOpenRef.com. Перетащите любую точку треугольника и наблюдайте, как значения корректируются в правом углу на основе закона синусов. Также предоставляется пример с пошаговым объяснением и раздел «Что стоит попробовать».
Закон косинусов и треугольников синусов сайта Chemical-Ecology.net. Введите известные значения непосредственно в треугольную диаграмму, а затем для нахождения неизвестных значений будет использоваться либо закон синусов, либо закон косинусов.
Закон синусов TutorVista.com. Используйте предоставленную информацию и пошаговые примеры, чтобы лучше понять закон синусов.
Синус RapidTables.com – следуйте инструкциям, чтобы использовать синус для решения неизвестных значений вашего треугольника. Также предлагается версия с обратным синусоидальным сигналом.
Закон косинусов
Как объясняет TheMathPage.com, когда вы знаете «две стороны треугольника и угол между ними», закон косинусов можно использовать для нахождения неизвестной стороны. Используйте приведенные ниже ресурсы, чтобы укрепить свое понимание закона косинусов:
Закон косинусов EasyCalculation.com — используйте раскрывающееся меню, чтобы выбрать сторону вашего треугольника, для которой вы хотите решить. Затем введите известные значения. Закон косинусов используется для нахождения неизвестной стороны.
Закон косинусов CalculatorSoup.com. Узнайте больше о законе косинусов из предоставленной учебной информации и треугольной диаграммы. Выберите сторону или угол, который вы хотите решить, используя раскрывающееся меню.
Закон косинусов TutorVista.com. Предлагаются два варианта. Один использует закон косинусов для решения в случае SAS, а другой решает в случае SSS. Следуйте пошаговым примерам, чтобы лучше понять, когда и как использовать закон косинусов.
Гиперфизический закон косинусов — представлен факультетом физики и астрономии Университета штата Джорджия. Узнайте больше о законе косинусов, используя понятную учебную информацию.
Интерактивный закон косинусов треугольника MathOpenRef.com. Перетащите любую точку треугольника и наблюдайте, как значения в правом углу корректируются в соответствии с законом косинусов. Предоставляется пример с пошаговым объяснением и дополнительной учебной информацией.
Закон косинусов от AJDesigner.com – быстрый и простой в использовании, просто введите известные длины сторон, чтобы найти неизвестный угол.
Закон тангенса
Наряду с синусом и косинусом тангенс является еще одной основной тригонометрической функцией. Как объясняет Wikipedia.org, его можно использовать, «где известны две стороны и угол между ними или два угла и сторона». Приведенные ниже инструменты работают на основе закона касательных.
Касательная RapidTables.com — следуйте инструкциям, чтобы найти tan(x). Результаты могут быть представлены в градусах или радианах.
Тангенс на Math.com. Быстро и легко найдите угол касательной, введя противоположный и смежный углы.
Интерактивный треугольник касательной на MathOpenRef.com. Узнайте больше о функции касательной, перетаскивая точки треугольника и наблюдая, как пересчитываются касательные. Также предоставляется пример с пояснением и подробная учебная информация.
Касательная на сайте TutorVista. com. Подробная учебная информация и пошаговый пример помогут вам лучше понять функцию касательной.
Котангенс
Как объясняет SparkNotes.com, котангенс — это «обратная величина тангенса». Чтобы узнать больше о котангенсе, используйте ресурсы ниже:
Котангенс на EndMemo.com. Быстро и легко найдите котангенс, введя известное значение. Также предоставляется графическое представление котангенса.
Котангенс AJDesigner.com – Решите котангенс вашего угла, введя известное значение. Результаты представлены в радианах и градусах.
Котангенс, секанс и косеканс CalcTool.org — введите известный угол, и котангенс, секанс и косеканс будут предоставлены.
Секанс и косеканс
Наряду с котангенсом, секанс и косеканс являются редко используемыми тригонометрическими функциями. В прямоугольном треугольнике секанс определяется MathOpenRef.com как «длина гипотенузы, деленная на длину прилежащей стороны». В то время как сайт определяет косеканс как «длину гипотенузы, деленную на длину противоположной стороны» в прямоугольном треугольнике. Используйте приведенные ниже ресурсы, чтобы найти секанс и косеканс.
Секант AJDesigner.com — прост в использовании и вычисляет секанс угла. Результаты представлены в радианах и градусах.
Косеканс AJDesigner.com — отличный инструмент для нахождения косеканса угла. Результаты представлены в радианах и градусах.
Тригонометрические функции
Используйте эти ресурсы для решения шести тригонометрических функций — синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса.
Тригонометрические функции EasyCalculation.com. Используйте раскрывающееся меню, чтобы выбрать, какую из шести наиболее распространенных тригонометрических функций вы будете решать. Затем введите свое значение.
Тригонометрические функции CalculatorSoup.com — выберите тригонометрическую функцию, которую нужно решить, и затем введите известное значение. Графическая диаграмма предоставляется в качестве визуального представления каждой функции. Эта версия вычисляет функции в радианах.
Тригонометрические функции Keisan.Casio.com. Введите известный угол в радианах, а затем используйте раскрывающееся меню, чтобы выбрать функцию, которую вы хотите найти. В качестве наглядного пособия предоставляется маркированная треугольная диаграмма.
Тригонометрические функции TutorVista.com. Используйте предоставленные пошаговые примеры, чтобы узнать больше о том, как работать с тригонометрическими функциями.
Тригнометрические функции PlanetCalc.com. Предоставляется обучающая информация, которая поможет вам лучше понять каждую функцию. Введите известный угол, и результаты для каждой функции будут предоставлены.
Тригнометрические функции RapidTables.com — следуйте предоставленным инструкциям. Также предоставляется информация о каждой функции.
Тригонометрические функции SolveMyMath.com. Выберите, хотите ли вы получать результаты в градусах или радианах. Затем используйте раскрывающееся меню, чтобы выбрать функцию, которую вы будете решать.
Обратные тригонометрические функции
Как объясняет HotMath. com, обратные тригонометрические функции « используются для нахождения неизвестной меры угла прямоугольного треугольника, когда известны длины двух сторон». Узнайте больше об обратных тригонометрических функциях из ресурсов ниже:
Инверсные тригонометрические функции EasyCalculation.com Grapher — узнайте больше о том, как обратные тригонометрические функции представлены на графике, выбрав обратную функцию в раскрывающемся меню. Будут предоставлены координаты и график обратной функции.
Обратные тригонометрические функции CalculatorSoup.com. Используйте раскрывающееся меню, чтобы выбрать обратное тригонометрическое значение, которое вы хотите найти. Для получения дополнительной информации см. график обратных тригонометрических функций.
Обратные тригонометрические функции Keisan.Casio.com. Быстро и легко используйте функцию обратного запуска, которую вы хотите найти. Результаты представлены в градусах.
Обратные тригонометрические функции RapidTables. com. Используйте предоставленную информацию и таблицу значений, чтобы узнать об обратных функциях синуса, косинуса и тангенса.
Арксинус
Арккосинус
Арктангенс
Обратные тригонометрические функции GyPlan.com – Выберите обратную функцию, которую вы хотите найти, используя раскрывающееся меню. Результаты представлены в радианах и градусах.
Интерактивные треугольники обратных функций MathOpenRef.com. Сайт предлагает три интерактивных треугольника, которые помогут вам узнать больше об обратных функциях синуса, косинуса и тангенса. Каждый содержит учебную информацию, примеры и раздел «Что стоит попробовать».
Arcsin
Arccos
Arctan
Обратные тригонометрические функции AJDesigner.com — это быстрые и простые в использовании ресурсы для нахождения обратных функций синуса, косинуса и тангенса.
Arcsin
Arccos
Arctan
Обратные тригонометрические функции RKM. com.au – Найдите арксинус, arccos или арктангенс, если известны синус, косинус и тангенс соответственно. Результаты представлены в градусах и радианах.
Обратные тригонометрические функции на EndMemo.com — быстрые и простые в использовании ресурсы для нахождения угловых синусов, угловых синусов и арктангенса. Прокрутите вниз, чтобы просмотреть пример графика для каждой обратной функции.
Arcsin
Arccos
Arctan
Обратные триггерные функции TutorVista.com – Найдите обратные функции в градусах и радианах. Чтобы лучше понять концепцию, следуйте пошаговым примерам задач.
Расширенная тригонометрия
Преобразование градусов в радианы
Радианы и градусы — это единицы, наиболее часто используемые для измерения углов. Как объясняет PurpleMath.com, градусы «выражают направленность и величину угла», а радианы служат числовым выражением градусов (например, 360° = 2π). Ниже представлена коллекция конвертеров:
Конвертер углов от CleaveBooks. co.uk. Введите угол в градусах, чтобы преобразовать его в радианы и другие единицы измерения. Если у вас возникли проблемы, следуйте предоставленным инструкциям.
Преобразование углов на сайте RapidTables.com. Прост в использовании и преобразует градусы в радианы или радианы в градусы соответственно. Оба инструмента также содержат учебную информацию, которая поможет вам лучше понять концепцию:
Градусы в радианы
Радианы в градусы
Преобразование градусов в радианы на UnitConversion.org — быстрое и простое в использовании, введите угол в градусах или радианах и другая единица будет предоставлена немедленно.
Angle Conversion от CalculatorSoup.com. Узнайте больше о том, как работают угловые преобразования, прочитав подробное учебное пособие. Используйте раскрывающиеся меню, чтобы выбрать тип преобразования, который вы хотите выполнить.
Угловое преобразование Техасского университета. Предоставляется Бюро экономической геологии Техасского университета, быстрое и простое в использовании. Преобразование градусов в радианы и наоборот.
Преобразование градусов в радианы на сайте ConvertUnits.com. Преобразование градусов в радианы и радианов в градусы выполняется быстро и легко. Узнайте больше о преобразовании из раздела обучающей информации и определений.
Преобразование градусов в радианы на CalcuNation.com. Следуйте приведенной формуле и примеру, чтобы лучше понять, как преобразовать градусы в радианы.
Градусы и радианы на сайте Mathinary.com. Узнайте больше о преобразовании радианов и градусов и его практическом применении из предоставленного учебного руководства.
Конвертер градусов в радианы на MathPortal.org — конвертирует градусы в радианы и наоборот. Пошаговое объяснение предоставляется вместе с вашими результатами.
Градусы в радианы на CalculatorPro.com — этот конвертер быстр и удобен в использовании.
Конвертер градусов и радианов UnitJuggler.com — выберите, какое преобразование вам нужно сделать, и введите свои значения. Результаты четкие и понятные.
Градусы/радианы Had2Know.com. Узнайте больше о том, как конвертировать градусы и радианы, из подробного руководства и круговой диаграммы.
Радианы и градусы MattDoyle.net. С этим конвертером нет наворотов. Он быстрый и простой в использовании. Выберите, какое преобразование вам нужно сделать, и введите свои значения.
Конвертер единиц измерения TranslatorsCafe.com — быстрый и простой в использовании, выберите нужное преобразование и введите свои значения. Ваши результаты будут показаны мгновенно.
Радианы в градусы TutorVista.com. Используйте пошаговые примеры, чтобы узнать больше о выполнении этих преобразований.
Градусы в радианы на PlanetCalc.com. Быстро и легко использовать, введите угол в градусах, и вам будет предоставлен перевод в радианы.
Градусы и радианы WolframAlpha.com — выберите преобразование, которое необходимо выполнить. При преобразовании из радианов в градусы будет обеспечено визуальное представление вашего угла внутри круга.
Измерение углов
Углы можно измерять в градусах или радианах. Ниже приведены инструменты, которые помогут вам научиться измерять углы:
1728.org Angular Size — Используйте для определения угла, расстояния или размера. Углы представлены в градусах, минутах или секундах. Он включает в себя руководство по угловым размерам и примеры использования в реальном мире, такие как измерения в астрономии.
Угол сайта VisualTrig.com — введите либо значение верхнего угла, либо длину основания, и треугольник изменится соответствующим образом. Или используйте ползунок, чтобы отрегулировать верхний угол треугольника, чтобы увидеть, как регулируются другие его углы.
Единичный круг
Как объясняет MathIsFun.com, единичный круг — это «окружность с радиусом 1». В тригонометрии это удобный способ узнать о длинах и углах. Узнайте больше о единичных кругах с помощью инструментов, приведенных ниже:
Единичный круг TutorVista.com — используйте предоставленные пошаговые примеры и диаграмму с метками, чтобы ознакомиться с работой с единичным кругом.
Интерактивный круг единиц MathIsFun.com. Перетащите курсор по кругу единиц, чтобы увидеть, как значения синуса, косинуса и тангенса изменяются на графике.
Апплет Unit Circle на AnalyzeMath.com — выберите функцию синуса, косинуса или тангенса. Затем посмотрите, как единичный круг соответствует нарисованному графику.
Тригонометрические тождества
Как объясняет PurpleMath.com, в математике «тождество — это уравнение, которое всегда верно». В тригонометрии вы часто будете использовать несколько тождеств (каждое с разделами ниже). Вот два общих средства решения тригонометрических тождеств:
Средство решения тригонометрических тождеств от SymboLab.com. Этот простой в использовании ресурс содержит пошаговые инструкции по проверке тригонометрических тождеств.
Решатель тригонометрических тождеств TutorVista.com. Следуйте пошаговым инструкциям и примерам, чтобы улучшить свои знания о тригонометрических тождествах. Могут быть выполнены тождества Sum-to-Product и Product-to-Sum.
Пифагорейская идентичность
RegentsPrep.org объясняет пифагорейскую идентичность. Узнайте больше, используя приведенный ниже инструмент:
EasyCalculation.com Решение пифагорейских тождеств — введите свой угол, затем следуйте пошаговым результатам, чтобы увидеть, как и почему подтверждается тождество.
Тождества суммы углов и разности
MathWords.com представляет тождества суммы и разности. Узнайте, как работать с ними, используя следующие ресурсы:
EasyCalculation.com’s Angle-Sum Identities — эти ресурсы можно использовать для добавления соответствующих тригонометрических функций. Каждый (кроме косинуса и котангенса) содержит необходимую формулу и схему:
Сложение синуса
Сложение косинуса
Сложение тангенса
Сложение котангенса
Тождества разности углов EasyCalculation.com – Узнайте больше о вычитании тригонометрических функций. В каждом (кроме котангенса) есть нужная формула и схема.
Вычитание синуса
Вычитание косинуса
Вычитание тангенса
Вычитание котангенса
Тождества двойного угла
WolframMathworld.com предлагает взглянуть на формулы двойного угла. Ниже представлена коллекция ресурсов двойных удостоверений:
Решатель идентичности двойного угла EasyCalculation.com – Узнайте, как использовать идентичность двойного угла для синуса, косинуса и тангенса. Приведены соответствующие формулы функций.
Идентификация двойного угла на сайте MeraCalculator.com. Предоставляется объяснение формулы идентичности двойного угла и пример задачи.
Полуугольные тождества
MathWords.com предлагает формулы полуугловых тождеств. Ниже представлена коллекция решателей тождеств половинного угла.
Решатель полуугловых тождеств EasyCalculation.com — узнайте, как «найти синус, косинус или тангенс половины заданного угла на основе формулы тождества тригонометрии».
Идентификация половинного угла на MeraCalculator. com. Предоставляется обучающая информация, объясняющая, когда использовать формулу половинного угла, а также формулы для синуса, косинуса и тангенса.
Полуугол котангенса на EasyCalculation.com. Используйте приведенную формулу и диаграмму, чтобы узнать больше о том, как найти половинный угол котангенса на основе известного значения угла.
Полуугол косинуса на EasyCalculation.com. Предоставляется диаграмма с метками и формула косинуса половинного угла.
Sum Identities
MathWords.com представляет формулы Sum to Product Identities. Ниже приведены ресурсы, которые научат вас их использовать:
EasyCalculation.com Sum to Product Identities — на сайте представлены эти быстрые и простые в использовании ресурсы для работы с Sum to Product Identities.
Сумма на произведение синуса и косинуса
Сумма к произведению тангенса и котангенса
Синус и косинус, отличные от произведения
Разность котангенса к произведению
MathCelebrity. com Сумма к произведению и произведение к сумме Формулы – введите сумму к произведению или произведение к сумме хотелось бы упростить. Результаты включают пошаговое объяснение того, как это сделать.
Идентификаторы продукта
Просмотрите продукт для суммирования идентификаторов на MathWords.com. Ниже приведены два ресурса, которые помогут вам научиться работать с ними:
Продукт EasyCalculation.com для суммирования тождеств — быстрый и простой способ «переписать и вычислить произведения синуса и/или косинуса как суммы». Приведены необходимые формулы.
Продукт Eguruchela.com для суммирования идентичностей — никаких наворотов, быстрый ресурс для работы с продуктом для суммирования идентичностей.
Идентификаторы снижения мощности
Chegg.com объясняет формулы снижения мощности. Узнайте больше о работе с ними, используя приведенные ниже ресурсы.
Power Reduction на EasyCalculation.com — ознакомьтесь с работой с формулами снижения мощности, которые предоставляются в качестве справочных материалов.
Идентификатор энергосбережения MeraCalculator.com. Узнайте больше о работе с идентификатором энергосбережения, используя предоставленную учебную информацию.
Power Reduction Identities на сайте Eguruchela.com — простой и удобный ресурс для работы с идентификаторами Power Reduction Identities.
Тригонометрические уравнения
Как объясняет сайт PurpleMath.com, решение тригонометрических уравнений требует объединения того, что вы узнали об углах, с вашими алгебраическими навыками. Ниже представлена коллекция решателей тригонометрических уравнений:
Тригонометрические уравнения EasyCalculation.com — быстро и легко использовать, введите угол и целое число, чтобы найти x. Необходимые формулы приведены для справки.
Решение уравнения косинуса
Решение уравнения тангенса
Решение уравнения котангенса
Тригонометрические уравнения на сайте Symbolab.com. шаг объяснение, как решить уравнение. Уравнение также показано на графике.
Решатель тригонометрических уравнений на MathPortal.org. Узнайте больше о тригонометрических уравнениях с помощью пошаговых примеров.
WebMath.com Упростите тригонометрическое выражение — введите свое выражение. Этот ресурс будет использовать идентификаторы триггеров для упрощения. Дается пошаговое объяснение.
Средство решения уравнений от NumberEmpire.com. Используйте «Пример 2», чтобы узнать больше о решении тригонометрических уравнений. Также можно решить множество других уравнений.
Вектор или векторные операции
Как объясняет SparkNotes.com, вектор — это «по существу отрезок линии в определенном положении, длина и направление которого обозначены стрелкой на конце». Узнайте больше о векторах, используя приведенные ниже ресурсы:
MathIsFun.com Vector — введите векторы в виде величины и угла или в виде координат x,y и посмотрите, как они взаимодействуют на графике.
Вектор MathPortal.org. Введите координаты вашего вектора в 2D или 3D, а затем выберите операцию, которую хотите выполнить. Установите флажок «Показать объяснение», чтобы пошагово увидеть, как был найден результат.
Добавление векторов 1728.org — быстрый и простой в использовании ресурс для добавления до 10 векторов. Учебник информация и диаграмма также предоставляются.
Вектор OnlineMSchool.com. Найдите длину, величину или норму вектора. Пошаговое объяснение дается вместе с результатами.
OnlineMSchool.com «Сложение и вычитание векторов» — предоставляется краткая учебная информация о том, как складывать и вычитать векторы. Пошаговое объяснение прилагается к результатам.
Преобразователь векторов и компонентов TheCraftyCanvas.com — выполняет различные функции с использованием векторов, в том числе «сложение/вычитание векторов, заданные компоненты вектора», «сложение/вычитание векторов, заданные векторы» и «разгадывание вектора с учетом его компонентов, заданных величину и направление».
Величина вектора WolframAlpha.com — введите конечную точку вектора. Величина, а также векторный график и другая информация предоставляются вместе с результатами.
Вектор от Symbolab.com — введите собственную векторную операцию или функцию или используйте один из примеров, чтобы узнать больше о векторах. Пошаговое объяснение дается вместе с результатами.
Операции с векторами на EasyCalculation.com. Эти быстрые и простые в использовании ресурсы помогут вам складывать и вычитать векторы.
Сложение векторов
Вычитание векторов
Вектор NCalculators.com. Используйте предоставленную учебную информацию, чтобы узнать больше об этих концепциях векторов.
Величина вектора
Сложение векторов
Вычитание векторов
Векторное произведение векторов
Операции с векторами TutorVista.com. Используйте примеры задач и пошаговые объяснения, чтобы узнать больше о сложении и вычитании векторов.
Сложение векторов
Вычитание векторов
Операции с векторами CalcTool.org — быстрый и простой в использовании векторный график. Также включены инструкции о том, как вычитать векторы с помощью инструмента.
Решатель тригонометрических уравнений

Бесплатные учебники по алгебре
!

Дом
Системы линейных уравнений и решение задач
Решение квадратных уравнений
Решение абсолютных неравенств
Решение квадратных уравнений
Решение квадратных неравенств
Решающие системы сокращения строк уравнений
Решение систем линейных уравнений с помощью графика
Решение квадратных уравнений
Решение систем линейных уравнений
Решение линейных уравнений. Часть II
Решение уравнений I
Итоговая оценка результатов решения проблем и навыков
Решение математических задач: длинное деление лица
Решение линейных уравнений
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Решение системы линейных уравнений с помощью графика
Ti-89 Решение одновременных уравнений
Системы линейных уравнений с тремя переменными и матричные операции
Решение рациональных уравнений
Решение квадратных уравнений с помощью факторинга
Решение квадратных уравнений
Решение систем линейных уравнений
Системы уравнений с двумя переменными
Решение квадратных уравнений
Решение экспоненциальных и логарифмических уравнений
Решение систем линейных уравнений
Решение квадратных уравнений
Математическая логика и решение задач с отличием
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение буквенных уравнений и формул
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата
Решение экспоненциальных и логарифмических уравнений
Решение уравнений с дробями
Решение уравнений
Решение линейных уравнений
Решение линейных уравнений с одной переменной
Решение линейных уравнений
РЕШЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМУЛЫ
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Наши пользователи:
Я заказал программное обеспечение однажды поздно вечером, когда у моей дочери были проблемы на уроке алгебры с отличием. Прошло много лет с тех пор, как у меня была алгебра, и некоторые ее части имели смысл, но я не мог понять, как ей помочь. После того, как мы заказали ваше программное обеспечение, она смогла шаг за шагом увидеть, как решать проблемы. Ваше программное обеспечение определенно спасло положение.
Дэн Трентон, OK
Никогда раньше я не верил, что смогу заниматься алгеброй! Но теперь я с гордостью говорю людям, что могу, и все, кого я знаю, говорят, что я гений в этом! Как я могу отблагодарить тебя?
Мэри Браун, Северная Дакота
Спасибо за то, что сделали мою жизнь намного проще!
Марио Серта, Калифорния
Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?

Поисковые фразы, использованные 24 ноября 2009 г.
:
алгебра 1 глава тест B для Mcdougal littell
задачи на сложение и вычитание слов
0,416666667 дробь
вывод математической формулы для матричного класса
сложные одновременные уравнения
рабочий лист по сложению и вычитанию отрицательных и положительных чисел
Базовая формула расчета матрицы
Ключ от книги по Алгебре Техаса Холта 2
сохранить полное десятичное значение дроби java
Учебник для подготовки к стандартным тестам в Прентис-Холл пре-алгебра
образец бумаги класса VIII
«глава седьмая» Алгебра Макдугала «тест B»
рабочие листы по алгебре
Математические кроссворды алгебра линейные уравнения с ответами
бесплатно загружаемый тест GED для штата Арканзас
параболы фото
как найти уклон на ti 83
рабочих листа для построения основных шаблонов линейных функций
формула пересечения наклона
многочлена
образец целочисленного рабочего листа
алгетайлы онлайн
Какова основная формула деления целых чисел
самая сложная математика в мире
факторинговая алгебра для печати
ti 84 упростить корни
научный калькулятор кубический корень
простые беспроцентные рабочие наборы
Правила расчета степени и радикала
сложных математических вопроса в школах
ti код ПЗУ
решение одновременных квадратных уравнений
система линейных уравнений бесплатный онлайн калькулятор
Алгебратор функций пределов
ти-89 дифференциал 2-го порядка
Общая тригонометрия
алгебраическая задача
Паспорт по математике: Полное руководство по решению
ответ на Макдугал Литтел алгебра 2
реальных математических приложения для третьего класса
нахождение корня четвертой степени на графическом калькуляторе
алгебраист
калькулятор факторинга решить
бесплатных рабочих листа с элементарными математическими узорами
Алгебра с Pizazz
TI-83 PLUS FRACTION SIMPLIFICATION
творческие задачи на умножение
Марвин Биттингер, «ключ ответа онлайн»
бесплатные электронные книги по aptitude
элементарная алгебра и простой способ разложения на множители 92+7х+1=0
Калькулятор биномиального возведения в квадрат
Процентные круговые графики Бесплатные рабочие листы
стихи алгебра
решение неоднородных разностных уравнений второго порядка
графический калькулятор найти значение y
ti-89 решает комплекс уравнений
Решение уравнений на сложение и вычитание с листом
сложные математические уравнения
частное решение неоднородного решателя diffeq
решить мою домашнюю работу
Рабочий лист линейных неравенств с множественным выбором
Рабочий лист
целых чисел ответ
дифференциальное уравнение первого порядка в MATLAB
тригонометрическое сложение
бесплатная онлайн-справочник по алгебре 2 mcdougal littell
упростить квадратный корень из -17
пример решения уравнений равных нулю
Веб-сайт
, чтобы помочь учащимся с домашним заданием по начальной алгебре 9-1 в TI-INTERACTIVE
Предыдущий Далее
jpg»>
Все права защищены. Copyright 2005-2022
Устройство для построения тригонометрических функций — MathCracker.com
Алгебра Решатели
Инструкции: Используйте этот граф тригонометрических функций, чтобы получить график любой тригонометрической функции и различных параметров такие как период, частота, амплитуда, фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг, если применимо:

Тригонометрическая функция \(f(x)\) (например, ‘sin(pi*x)’, ‘cot(2x)’ и т. д.) =
Нижний предел домена (необязательно. Число, например 1 или 2/3 и т. д.) =
Верхний предел домена (Необязательно. Число, например 1 или 2/3 и т. д.) =
Тригонометрические функции имеют свойство повторять свое поведение. То есть они периодические. Математически это означает, что существует число \(P\) со свойством, что
\[е(х+Р) = е(х)\]
для всех значений \(х\). Это число \(P\) называется период . Все это говорит о том, что поведение функции повторяется в триггерных графиках каждые \(P\) единиц по оси X.
Обратите внимание, что во всех тригонометрических функциях, которые вы предоставляете для этого калькулятора, предполагается, что аргумент \(x\) равен измеряется в радианах.
Пример периодических функций
Например, для случая синусоидальной функции \(f(x) = \sin x\) график показан ниже:
Вы можете видеть, что поведение функции повторяется. Действительно, вы можете взять любой интервал длины \(2\pi\), и следующий интервал длины \(2\pi\) будет идентичен предыдущему с точки зрения формы функции.
Почему это происходит? Поскольку \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\) для всех \(x\), то функция периодическая.
Что я могу построить с помощью этого плоттера тригонометрических функций?
Вы можете построить любую тригонометрическую функцию. Чаще всего используется для построения графиков синуса и косинуса, но вы можете использовать его для любого триггерная функция.
Вы увидите, что периодические функции можно сделать более сложными, смешивая их с другими алгебраическими выражениями.
Например, как ведет себя функция \(f(x) = 3\sin(2x+1)-4\) Ну, она даже периодическая? Да, вы держите пари. Поведение функции \(f(x) = 3\sin(2x+1)-4\) во всех отношениях аналогично поведению функции \(f(x) = \sin x\).
Этот графограф тригонометрических функций поможет вам найти график и специфические характеристики (период, частоту, амплитуду, фазовый сдвиг и сдвиг по вертикали) более сложных тригонометрических функций, таких как \(f(x) = 3\cos(\pi(x) -2)+3)-\frac{\pi}{4}\)
Скобки имеют значение?
Короткий ответ: ЭТО ЗАВИСИТ. Иногда у вас будет простое выражение, в котором присутствуют только суммы или только умножения, в этом случае можно использовать ассоциативное свойство. Но когда очень часто выполняются смешанные операции, вы не можете пропустить или изменить скобки, не нарушая функцию или изменяя ее.
Графические калькуляторы
Этот граф имеет дело только с тригонометрическими функциями. Чтобы график других функций , вы можете использовать наш плоттер общего назначения , который будет принимать любые функции, не только тригонометрические.
Пример триггерного графика
Вопрос : Рассмотрим функцию \(f(x) = \sin(3x-2)\). Найдите период, частоту, амплитуду и фазовый сдвиг. Также, представить график функции.
Решение:
Предусмотрена следующая функция:
\[f(x) = \sin\left(3x-2\right)\]
На основе переданного аргумента тригонометрической функции частота и период вычисляются следующим образом:
\[ \begin{array}{ccl} \text{Точка} & = & \displaystyle\frac{2\pi}{3} \\\\ \\\\ & \ приблизительно & 2.0944 \end{массив}\]
, а также
\[ \begin{array}{ccl} \text{Частота} & = & \displaystyle\frac{3}{2\pi} \\\\ \\\\ & \ приблизительно & 0,4775 \end{массив}\]
На основе предоставленной тригонометрической функции \(f(x) = \sin\left(3x-2\right)\) мы получаем, что:
• Амплитуда в этом случае равна \(A = 1\).
• Фазовый сдвиг равен \(\displaystyle\frac{2}{3} = 0,6667\).
• Вертикальный сдвиг равен \( 0\).

Подводя итог, для данного тригонометрическая функция

Период = \(2,0944\)
Частота = \(0,4775\)
Амплитуда = \(1\)
Фазовый сдвиг = \(0,6667\)
Вертикальный сдвиг = \(\displaystyle 0\)
На основании приведенной выше информации получается следующий график:
Алгебра Калькулятор Алгебра Решатель График функций онлайн Геометрический калькулятор График функций синуса и косинуса Графический инструмент Графические инструменты Граф тригонометрических функций
Решение тригонометрических уравнений: графики и квадратные уравнения
Тригонометрическое уравнение — это уравнение, состоящее из тригонометрической функции. Эти функции включают синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. В зависимости от типа тригонометрического уравнения их можно решить с помощью диаграммы CAST, квадратичной формулы, одного из различных доступных тригонометрических тождеств или единичного круга.
Как использовать диаграмму CAST при решении тригонометрических уравнений?
Диаграмма CAST используется для решения тригонометрических уравнений. Это помогает нам запомнить знаки тригонометрических функций в каждом квадранте и то, что происходит с углом, который необходимо вычислить, в зависимости от используемой тригонометрической функции.
Иллюстрация тригонометрической диаграммы приведения Николь Мойо — StudySmarter Originals
Все триггерные функции положительны в первом квадранте.
Положителен только синус во втором квадранте.
Только тангенс положителен в третьем квадранте.
Положителен только косинус в четвертом квадранте.
При использовании диаграммы CAST вы сначала изолируете триггерную функцию, вычисляете острый угол, а затем используете диаграмму для поиска решений. Вы можете использовать этот метод для решения линейных уравнений триггера, уравнений триггера, включающих одну функцию, и использовать свой калькулятор.
Шаг 1: Измените уравнение так, чтобы триггерная функция была самостоятельной.
Шаг 2 : Рассчитайте значение вашего острого угла, используя обратную тригонометрическую функцию. Обратите внимание, что при вычислении острого угла всегда будет игнорироваться отрицательное значение.
Шаг 3: Основываясь на знаке функции, определите квадранты решений и используйте полученную информацию для решения уравнения.
В нашем примере синус отрицателен. Поэтому наши решения находятся в 3-м (180°+x°) и 4-м (360°-x°) квадрантах.
Что такое единичная окружность в тригонометрии?
Единичная окружность — это окружность с радиусом 1, используемая для иллюстрации конкретных общих углов.
Единичный круг. Изображение: Джим Белк, общественное достояние
Как мы решаем квадратные тригонометрические уравнения?
Квадратные тригонометрические уравнения являются тригонометрическими уравнениями второй степени. Их можно решить с помощью квадратичной формулы:
Шаг 1: Замените триггерную функцию на переменную по вашему выбору.
В нашем примере мы скажем, пусть sin (a) = x
Шаг 2: Используйте квадратичную формулу, чтобы найти вашу переменную.
Шаг 3: Замените вашу переменную обратно в качестве функции и возьмите обратную функцию для решения уравнения +. ( )
Шаг 4: Используйте единичную окружность, чтобы определить решение -уравнения, так как область определения обратной функции равна .
Поскольку синус положителен в первом и втором квадрантах, второе решение будет:
Как мы используем тождества для решения тригонометрических уравнений?
Тождества используются для решения тригонометрических функций путем упрощения уравнения и последующего решения в основном с использованием единичной окружности.
Вот несколько важных тригонометрических формул, которые вам следует знать:
Шаг 1: Упростите уравнение, используя известное тождество.
В этом примере это формула разности для косинуса:
Шаг 2: Используйте единичный круг, чтобы определить значения вашего угла (x).
В нашем примере мы сосредоточимся на 4-м и 1-м квадрантах, поскольку косинус в этих квадрантах положителен.
Следовательно,
Как решить тригонометрические уравнения с несколькими углами?
Тригонометрические уравнения с несколькими углами решаются, сначала переписав уравнение как обратное, определив, какие углы удовлетворяют уравнению, а затем разделив эти углы на количество углов. При их решении у вас, скорее всего, будет более двух решений, поскольку, когда у вас есть функция в такой форме: cos (nx) = c, вам нужно будет пройти по кругу n раз.
Тригонометрические уравнения с несколькими углами выглядят так: Все переменные имеют коэффициенты.
Шаг 1: Определите квадранты исходных решений и возможные углы, используя единичную окружность.
Шаг 2: Рассчитайте значение ваших начальных решений, разделив возможный угол на количество углов.
Шаг 3: Определите ваши другие решения, вращаясь по кругу по количеству углов и выбирая ответы только в пределах вашего диапазона.
Решение тригонометрических уравнений. Ключевые выводы
При использовании диаграммы CAST вы сначала изолируете триггерную функцию, вычисляете острый угол, а затем используете диаграмму для решения.
Единичная окружность — это окружность с радиусом 1, используемая для обозначения конкретных общих углов.
Квадратные тригонометрические уравнения можно решить с помощью квадратичной формулы:
Тождества используются для решения тригонометрических функций путем упрощения уравнения и последующего решения с использованием единичной окружности.
No related posts.

вычисление тригонометрических выражений онлайн

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление тригонометрических выражений онлайн Онлайн?

Тесты по теме «Тригонометрия» онлайн

Основые тригонометрические тождества

Тригонометрический круг

Простейшие тригонометрические уравнения

Решение простейших тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения

Формулы приведения тригонометрических функций

10 класс. Радианная мера угла.

Основные понятия тригонометрии. Повторение

Радианная мера угла

Тригонометрическая ф-я y=cos(x)

Тригонометрия в ЕГЭ

Метрология, стандартизация и сертификация

Обратные тригонометрические функции. Арккосинус.

Теорема синусов. В1

«Обратные тригонометрические функции»

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическая функция y=sinx её свойства и график

Преобразования тригонометрических величин

Формулы тригонометрии

Тригонометрия.

Викторина о тригонометрии

Тригонометрические функции числового аргумента

Решение трионометрических уравнений

Формулы приведения

Обратные тригонометрические функции. Арктангенс

Обратные тригонометрические функции. Арксинус.

Обратные тригонометрические функции. Арккотангенс

Простейшее тригонометрическое уравнение sin t=a

Простейшее тригонометрическое уравнение cos t = a

Простейшее тригонометрическое уравнение tg t = a

Простейшее тригонометрическое уравнение ctg t = a

Теорема синусов в2

Формулы приведения

Тригонометрия.

Контрольная работа № 5 Тригонометрия

Однородные уравнения

Тригонометрия. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

Производная тригонометрической функции

Преобразования числовых тригонометрических выражений (1)

Нахождение значения производной тригонометрической функции в точке

Тригонометрия. Формулы одного аргумента и формулы приведения.

Вычисление значений тригонометрических выражений

Преобразования числовых тригонометрических выражений (2)

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Формулы приведения в заданиях ЕГЭ

Тригонометрия в заданиях ЕГЭ

Тест по модулю 6

Обобщение темы Тригонометрические функции

Тригонометрические уравнения

Решите уравнение и выберите вариант ответа

Тригонометрические функции.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Тригонометрические величины и их свойства

Формулы двойного аргумента в заданиях ЕГЭ.

Вычисление значений тригонометрических выражений

Математика 10 класс

ТЕСТ по теме «ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ»

Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ. Задание 13.

Тригонометрическая ф-я y=cos(x) 2

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС УГЛОВ (Х) И (-Х)

Методы решения тригонометрических уравнений — презентация онлайн

1. Методы решения тригонометрических уравнений

2.

3. Решить тригонометрическое уравнение – значит, найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению.

4.

5. 2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители

Урок 10.

Вычисление периода тригонометрических функций со сложным аргументом

Простейшие уравнения

Частные случаи простейших уравнений

Уравнения со сложным аргументом

Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя

Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций

Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены

Однородные уравнения