Иррациональным числом: Что такое иррациональное число? Ответ на webmath.ru

Иррациональные числа в математике и их свойства с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

На первый взгляд может показаться, что никаких других чисел, кроме рациональных, и быть не может. В действительности же это не так. Мы увидим, что, кроме рациональных чисел, существуют и другие.

Станем исходить из того, что нам известны лишь рациональные числа и никакие другие. Тогда действие возведения в квадрат иад этими числами окажется выполнимым всегда.

Например:

Между тем действие извлечения квадратного корня выполнимо уже далеко не всегда.

Например, действие извлечения квадратного корня из двух окажется невыполнимым, так как во множестве рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого был бы равен двум (см. стр. 244).

Таким образом, чтобы сделать возможным выполнение действия извлечения арифметического квадратного корня, во всех случаях снова требуется прибегнуть к дальнейшему расширению нашего понятия о числе.

Здесь мы снова видим, что для выполнения прямого действия (возведения в квадрат) не требовалось расширять рациональную числовую область, а для безотказного выполнения обратного действия (извлечения квадратного корня) такое расширение уже становится необходимым.

К расширению области рациональных чисел нас приводит и рассмотрение вопроса об отношении несоизмеримых отрезков (см. стр. 247).

Действительно, оставаясь в области рациональных чисел, мы не можем выразить точно отношение несоизмеримых отрезков, а следовательно, и длину отрезка, несоизмеримого с единицей длины (см. стр. 248).

Таким образом, к расширению рациональной числовой области приводят нас потребности не только алгебры, но и геометрии.

Существование на числовой оси точек, не являющихся рациональными

Было доказано, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы (см. стр. 246). Отсюда вытекает следующее: если длину стороны квадрата принять за единицу, то не будет существовать никакого рационального числа, которое выражало бы точно длину диагонали.

Пусть ABCD (рис. 66) есть квадрат, сторона которого принята за единицу длины.

Отложим на числовой оси (рис. 67) отрезки ОМ и равные диагонали АС. Тогда точки М и не будут рациональными («черными») точками числовой оси, а следовательно, будут точками, которые мы назвали образно «красными».

Но так как отрезков, несоизмеримых с единицей; длины, существует бесконечное множество то и точек на числовой оси, не являющихся рациональными, также существует бесконечное множество.

Выше мы назвали образно все рациональные точки числовой оси «черными», а все остальные «красными». Отсюда следует, что «черные» и «красные» точки заполняют собой всю числовую ось сплошь. Иначе говоря, на числовой оси, кроме рациональных («черных») и нерациональных («красных») точек, никаких других точек нет.

В § 5, гл. XVII было доказано, что между двумя любыми различными рациональными («черными») точками существует бесконечное множество других рациональных («черных») точек. В связи с этим примем к сведению без доказательства следующее: на любом сколь угодно малом отрезке числовой, оси, где бы он ни был расположен, имеется бесконечное множество рациональных („черных») и бесконечное множество „красных» точек.

При этом оказывается, что бесконечное множество нерациональных (т. е. «красных») точек числовой оси существенно «богаче» множества ее рациональных (т. е. «черных») точек. Это же самое в точных терминах можно сформулировать так: множество нерациональных (т. е. «красных») точек числовой оси имеет мощность (см. §6 этой же главы) более высокую, чем мощность множества рациональных (т. е. «черных») точек.

Выражаясь образно, можно сказать, что числовая ось настолько сильно насыщена «красными» (т. е. нерациональными) точками, что вся она, по нашей условной терминологии, представлялась бы нам как бы сплошь красной.

Понятие об иррациональном числе

1. Мы убедились в том, что одних рациональных чисел недостаточно для потребностей алгебры и геометрии.

Мы видели, что нет такого рационального числа, которое равнялось бы точно . (Аналогично можно было бы убедиться, что нет таких рациональных чисел, которые равнялись бы точно, например, и многим другим квадратным корням.) Мы знаем еще и то, что существуют отрезки, точное отношение которых не выражается никаким рациональным числом (см. стр. 247). Мы также знаем, что на числовой оси существуют такие точки, точные расстояния которых от начальной точки числовой оси не выражаются никакими рациональными числами (см. стр. 254). Значит, для изображения этих величин необходимы какие-то новые числа.

Как же составить представление об этих новых числах.

Во-первых, заметим, что такими новыми числами никак не могут быть ни конечные десятичные дроби, ни бесконечные периодические десятичные дроби, так как те и другие являются числами рациональными (см. стр. 251).

Во-вторых, заметим, что никакая бесконечная непериодическая дробь не может изображать собой рациональное число, так как всякое рациональное число (как известно из арифметики), будучи изображенным в форме бесконечной дроби, дает дробь обязательно периодическую.

Чтобы составить себе представление об этих новых числах, рассмотрим еще раз вопрос об измерении отрезка, несоизмеримого с единицей длины, и вопрос о квадратном корне из двух.

Пусть отрезки АВ и CD (рис. 68)

Первый шаг. Примем отрезок CD за единицу измерения и станем откладывать его последовательно на отрезке АВ. Пусть отрезок CD отложился раз и получился остаток MB, меньший CD. (На рис. 69 = 5.) Эту операцию назовем первым шагом.

Второй шаг. Разделим отрезок CD на десять равных частей и будем откладывать часть CD на остатке MB. Пусть часть CD отложилась на MB раз (на рис. 70 = 6).

Тогда обязательно получится второй остаток

Третий шаг. На втором остатке откладываем часть CD. Получим целое число и третий остаток

Этот процесс мы продолжаем дальше, делая четвертый, пятый и дальнейшие шаги.

В силу несоизмеримости отрезков АВ и CD этот процесс теоретически никогда не кончится и длина АВ выразится бесконечной десятичной дробью. Эта бесконечная десятичная дробь не будет периодической, так как в таком случае отрезки АВ и CD оказались бы соизмеримыми, тогда как по условию они несоизмеримы.

Вот эта бесконечная непериодическая десятичная дробь и будет примером нового числа, не являющегося рациональным и называемого иррациональным. Этим числом и будет выражаться длина отрезка АВ.

Определение:

Иррациональным числом называется бесконечная непериодическая десятичная (положительная или отрицательная) дробь.

Например, бесконечная непериодическая дробь

8,121121112…

есть вполне определенное иррациональное число.

Ниже будет показано, что математическое выражение, например есть также определенное иррациональное число.

Мы уже умеем находить приближенные значения с любой сколь угодно высокой степенью точности, т. е. мы можем находить сколько угодно десятичных знаков, идущих после запятой в десятичной дроби, которая изображает приближенное значение .

При этом нам ясно, что процесс извлечения никогда не может закончиться. Если бы этот процесс мог закончиться, то был бы равен некоторой дроби , что невозможно.

Нам также ясно, что в результате бесконечного процесса извлечения не может получиться периодическая бесконечная дробь. Если бы получилась периодическая бесконечная дробь, то это означало бы опять, что равен некоторой дроби , что невозможно. (Ведь периодическая бесконечная дробь есть число рациональное.)

Бесконечный ряд чисел

представляет собой приближенные значения с недостатком, с точностью до и т. д.

Бесконечный же ряд чисел

представляет собой приближенные значения с избытком, с точностью до и т. д.

Квадратами чисел ряда (а) будут

Квадратами чисел ряда () будут

Числа, записанные в рядах (b) и , становятся тем ближе к числу 2, чем больше десятичных знаков мы берем.

Ряд (а) обладает той особенностью, что раз полученный десятичный знак навсегда сохраняется при продолжении процесса.

Это, естественно, приводит к мысли принять за бесконечную десятичную дробь

Но эта бесконечная дробь не может оказаться периодической, как это уже было доказано выше.

Итак, квадратный корень из двух изображается бесконечной непериодической десятичной дробью. Следовательно, есть число иррациональное.

Написать бесконечную непериодическую десятичную дробь, разумеется, нельзя. Мы, однако, считаем ее определенной, если имеется то или иное правило, позволяющее написать любой его десятичный знак, как бы далеко ни стоял этот знак в последовательности десятичных знаков.

Например, тысячный знак в бесконечной десятичной дроби

изображающей иррациональное число имеет вполне определенную величину, несмотря на то, что его едва ли кто знает. Впрочем, при помощи современных электронных цифровых вычислительных машин найти этот тысячный знак можно довольно быстро.

Аналогично тому, как мы доказали, что есть число иррациональное, можно доказать, что числа и т. д. также являются иррациональными.

Чтобы показать существование других иррациональных чисел, введем понятие арифметического корня n-й степени.

Определение:

Арифметическим корнем n-й степени из положительного числа а называется такое новое положительное число, п-я степень которого равна а.

Корень n-й степени из а обозначается символом

Число а называется подкоренным выражением; число n называется показателем корня; символ называется знаком корня n-й степени, а выражение называется корнем n -й степепи.

Примеры:

и т. д.

Корни 3-й степени называют кубическими корнями. Например, суть кубические корни.

Примем к сведению без доказательства, что, например,

и им подобные представляют собой числа иррациональные.

Но ошибочно было бы думать, что иррациональные числа порождаются только корнями. Наоборот, существует много других источников, порождающих иррациональные числа. Например, мы видели, что длина всякого отрезка, несоизмеримого с единицей длины, есть число иррациональное, независимо от того, может или не может эта длина выражаться точно с помощью одного или нескольких корней.

Доказано, что отношение длины окружности к своему диаметру есть число иррациональное. Доказано, кроме того, что это иррациональное число не может быть точно представлено с помощью одного или нескольких корней.

Отношение длины окружности к своему диаметру принято обозначать греческой буквой («пи»).

Иррациональность числа впервые была доказана немецким математиком Ламбертом в 1766 году.

Число изображается бесконечной непериодической дробью

первые 15 десятичных знаков которой здесь выписаны.

Число изображается бесконечной непериодической дробью

первые 7 десятичных знаков которой здесь выписаны.

Мы уже знаем, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь представляет собой число иррациональное.

Теперь может возникнуть вопрос о том, как же понимать смысл самой бесконечной непериодической десятичной дроби.

Возьмем какую-нибудь бесконечную непериодическую десятичную дробь, например 4,25 225 2225… Составим две последовательности чисел.

Первая последовательность: 4,2; 4,25; 4,252; 4,2522; 4,25225…

Вторая последовательность: 4,3; 4,26; 4,253; 4,2523, 4,25226…

Доказано (доказательства мы здесь не приводим), что этими двумя бесконечными последовательностями определяется единственное число, которое больше каждого числа первой последовательности и меньше каждого числа второй последовательности. Это единственное число мы и понимаем под символом

Таким образом, конкретное представление об иррациональном числе

мы можем себе составить путем рассмотрения указанных выше двух бесконечных последовательностей. Эти две бесконечные последовательности дают возможность находить приближенные значения определяемого ими иррационального числа с любой точностью— с недостатком и с избытком. Например, число есть приближенное значение с недостатком с точностью до . Число же есть приближенное значение с избытком с точностью до .

Мы уже убедились в том, что всякая бесконечная десятичная непериодическая дробь является числом иррациональным. Однако существуют и другие бесконечные процессы, определяющие собой то или иное иррациональное число. Например, бесконечный процесс

определяет собой иррациональные числа , так что

Пояснения к формуле

Выражение

представляет собой некоторый, идущий по определенному закону, бесконечный процесс. Если допустить, что этот бесконечный процесс определяет собой некоторое число то получим

Перепишем эту формулу в следующем виде:

Выражение в предыдущей формуле, отмеченное одной фигурной скобкой, представляет тот же самый бесконечный процесс, которым (как мы допустили) определяется число х. Поэтому получим, что

Из этого уравнения следует, что

Но так как х — число положительное, то

Итак, доказано следующее. Если допустить, что бесконечным процессом

определяется некоторое число, то этим числом будет как раз иррациональное число .

Примем к сведению без доказательства, что, беря все большее и большее число звеньев этого бесконечного процесса, мы можем получать рациональные приближения иррационального числа все с большей и большей точностью.

Например, значение выражения

равно . Отсюда

что как раз и представляет приближенное значение с недостатком с точностью до 0,0001.

Сравнение иррациональных чисел

Два иррациональных числа называются равными, если их изображения с помощью бесконечных непериодических десятичных дробей одинаковы (тождественны).

Из двух положительных иррациональных чисел больше то, у которого целая часть больше. Если же целые части равны, то большим будет то, у которого больше первый десятичный знак после запятой. Если же и первые десятичные знаки одинаковы, то большим будет то, у которого больше второй десятичный знак и т. д.

Например, сравним следующие иррациональные числа:

Здесь одинаковы целые части; первые семь десятичных знаков во втором числе такие же, как и в первом. Восьмой десятичный знак первого числа больше восьмого десятичного знака второго числа. Поэтому первое иррациональное число больше второго. Выписав достаточное число десятичных знаков бесконечных непериодических десятичных дробей изображающих иррациональные числа и , убедитесь, что

Сложение и умножение иррациональных чисел

Поясним, что такое сумма двух иррациональных чисел. Пусть иррациональное число а изображается следующей бесконечной непериодической десятичной дробью

а иррациональное число b — дробью

Тогда сумма а + b изобразится дробью

Эта дробь бесконечная, непериодическая, десятичная; значит, она изображает собой определенное иррациональное число.

Напишем последовательности чисел, изображающих приближенные значения числа а:

с недостатком:
с избытком:

Сделаем то же самое и для числа b:

Составим еще две следующие последовательности:

В последовательности (I) идут суммы соответствующих приближенных значений чисел a и b с недостатком, ав(II)с избытком.

Под суммой а + b подразумевается такое число, которое больше каждого члена бесконечной последовательности (I) и меньше каждого члена бесконечной последовательности (II).

Таким числом как раз будет дробь

Определение:

Суммой двух положительных иррациональных чисел называется число, которое больше суммы любых их приближенных значений с недостатком, но меньше суммы любых их приближенных значений с избытком. Такое число, как это доказано в строгой теории иррациональных чисел, всегда существует и притом только одно.

Сумма двух иррациональных чисел, вообще говоря, будет числом иррациональным, но может оказаться и рациональным.

Например, числа и оба иррациональные, между тем как их сумма

есть рациональное число 3.

Определение:

Произведением двух положительных иррациональных чисел называется число, которое больше произведений любых их приближенных значений с недостатком, но меньше произведений любых их приближенных значений с избытком.

Такое число также всегда существует и притом только одно.

Произведение двух иррациональных чисел, вообще говоря, будет числом иррациональным, но может оказаться и рациональным.

Например, произведение иррациональных чисел и будет иррациональным числом, равным

Произведение же иррациональных чисел и будет равно , т. е. рациональному числу 4.

По аналогии с приведенными рассуждениями читатель сможет сам составить определения сложения и умножения двух чисел для того случая, когда одно из них рациональное, а другое иррациональное.

Подобно этому определяется вычитание и деление иррациональных чисел.

Понятие действительного числа

Определение:

Все рациональные и иррациональные числа, как положительные, так и отрицательные, называются действительными, или вещественными, числами.

Примем к сведению без доказательства, что особенности нуля и единицы (см. стр. 41), а также переместительный и сочетательный законы сложения и переместительный сочетательный и распределительный законы умножения (см. стр. 32 и 39) остаются в силе для всех действительных чисел (рациональных и иррациональных).

Примеры для закрепления терминологии

1. Число 2 есть действительное, рациональное, целое, натуральное.
2. Число (— 2) есть действительное, рациональное, целое, отрицательное.
3. Число есть действительное, рациональное, дробное, положительное.
4. Число 2,333… есть действительное, рациональное, дробное, положительное (2,333… = ).
5. Число 2,1333… есть действительное, рациональное, дробное, положительное (2,1333… = ).
6. Число 2, 12 112 11112… есть действительное, иррациональное, положительное.
7. Число есть действительное, иррациональное, положительное.
8. Число (— ) есть действительное, иррациональное, отрицательное.

Слово «рациональный» происходит от латинского слова «rationalis», что означает — «разумный», «обоснованный».

Слово «иррациональный» происходит также от латинского слова «irratlonalis», что означает — «неразумный», «необоснованный».

Можно было бы подумать, что числа, несоизмеримые с единицей, были названы «иррациональными» потому, что их действительно считали не поддающимися логическому пониманию. На самом деле это не так. Еще у древнегреческого математика Евклида встречаются такие определения, из которых видно, что он отнюдь не считал «иррациональные числа» «неразумными», «нелогичными».

Термин «иррациональное число» возник вследствие чисто формального перевода на латинский язык греческого слова « » . Употребляя это слово, греческие математики вовсе не хотели назвать новые числа «нелогичными», а хотели подчеркнуть лишь то, что каждое из них нельзя выразить отношениями двух целых чисел.

Строгая теория иррациональных чисел была построена впервые лишь во второй половине XIX века немецким математиком Дедекиндом. Со строгой теорией иррациональных чисел можно ознакомиться, например, по книге А. Н. Колмогорова и П. С. Александрова «Введение в теорию функций действительного переменного».

Примечание:

Примем к сведению без доказательства, что правила и формулы, выведенные для рациональных чисел, остаются в силе и для всех действительных чисел. Например, правила умножения и деления степеней, формулы умножения, свойства пропорций, свойство ряда равных отношений и т. д.

Некоторые понятия и предложения элементарной теории множеств

О бесконечных множествах

В математике постоянно приходится иметь дело с бесконечными множествами.

Приведем несколько примеров таких множеств:

1) множество всех натуральных чисел;
2) множество всех четных чисел;
3) множество всех простых чисел;
4) множество всех, рациональных чисел;
5) множество всех иррациональных чисел;
6) множество всех действительных чисел;
7) множество всех различных прямоугольных треугольников с гипотенузой, равной единице;
8) множество всех различных квадратных уравнений с действительными числовыми коэффициентами.

Введем понятие о взаимно однозначном соответствии.

Мы уже знаем, что каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и, наоборот, каждой точке числовой оси соответствует определенное действительное число. Имея это в виду, говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси имеет место взаимно однозначное соответствие.

Приведем другой пример взаимно однозначного соответствия.

Между множеством всех целых положительных чисел и множеством целых отрицательных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие. Например, каждому целому положительному числу можно поставить в соответствие число, ему противоположное.

Определение:

Если между элементами двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то такие два множества называются эквивалентными.

Пример:

Множество точек числовой оси и множество действительных чисел эквивалентны. Каждой точке числовой оси соответствует одно и только одно определенное действительное число и, наоборот, каждому действительному числу соответствует одна и только одна определенная точка числовой оси.

Пример:

Множество точек отрезка АВ (рис. 71) и множество точек отрезка — эквивалентны.

Каждой точке М отрезка А В можно поставить в соответствие одну и только одну точку отрезка лежащую на луче ОМ. Наоборот, каждой точке отрезка можно поставить в соответствие одну и только одну точку К отрезка АВ, лежащую на луче ОК.

Пример:

Множество всех целых положительных чисел

эквивалентно множеству всех положительных четных чисел

В самом деле, мы можем поставить в соответствие каждому целому числу число, вдвое большее его. Наоборот, каждому четному числу мы можем поставить в соответствие число, вдвое меньшее его.

Взаимно однозначное соответствие между рассмотренными множествами (пример 3) мы можем записать в виде следующей таблицы:

Относительно двух эквивалентных бесконечных множеств говорят также, что они имеют одинаковую мощность. Другими словами, два бесконечных множества имеют одинаковую мощность, если эти множества эквивалентны.

Счетные множества и множества мощности континуума

Множество, эквивалентное множеству всех целых положительных чисел, называется счетным множеством. Например, множество всех положительных четных чисел есть счетное множество. Множество всех положительных нечетных чисел также будет счетным, так как оно тоже эквивалентно множеству всех целых положительных чисел.

Так как всякое множество эквивалентно самому себе, то и множество целых положительных чисел также является счетным множеством.

Множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел, называется множеством мощности континуума.

Множество точек числовой оси эквивалентно множеству действительных чисел. Поэтому множество точек числовой оси также имеет мощность континуума.

Приведем еще примеры множеств, имеющих мощность континуума.

Пример:

Множество точек полуокружности имеет мощность континуума. В самом деле, легко убедиться в том, что множество точек полуокружности эквивалентно множеству точек числовой оси. Каждой точке полуокружности (рис. 72) можно поставить в соответствие одну и только одну точку М числовой оси, лежащую на луче . Наоборот, каждой точке К числовой оси можно поставить в соответствие одну и только одну точку полуокружности, лежащую на луче ОК.

Пример:

Множество точек любого отрезка прямой имеет мощность континуума.

Доказательство:

Множество точек отрезка прямой эквивалентно множеству точек полуокружности, построенной на этом отрезке как на диаметре.

В самом деле, каждой точке М отрезка АВ (рис. 73) можно поставить в соответствие одну и только одну определенную точку полуокружности, лежащую на перпендикуляре к прямой АВ, восставленном из точки М. Далее, каждой точке полуокружности можем поставить в соответствие одну и только одну точку К отрезка АВ, лежащую на перпендикуляре, опущенном из точки на прямую АВ.

Но ранее было доказано, что множество точек полуокружности имеет мощность континуума. Следовательно, и мощность множества точек любого отрезка прямой также ийеет мощность континуума, что и требовалось доказать.

Так как всякое множество эквивалентно самому себе, то множество действительных чисел также имеет мощность континуума.

Примем к сведению без доказательства следующее.

1. Множество рациональных чисел эквивалентно множеству натуральных чисел, т. е. есть счетное множество.
2. Множество же одних иррациональных чисел не является счетным, а имеет такую же мощность, как и множество всех действительных чисел, т. е. мощность континуума.
3. Из множества, имеющего мощность континуума, можно выделить сколько угодно бесконечных счетных множеств и прн этом оставшиеся элементы составят бесконечное множество опять же мощности континуума.
4. Мощность счетного множества н мощность континуума — это различные мощности.
5. Мощность счетного множества есть наименьшая мощность нз всех возможных мощностей бесконечных множеств.
6. Мощность континуума есть более высокая мощность, чем мощность счетного множества.

С теорией множеств можно ознакомиться, например, по книге А. Н. Колмогорова и С. Ф. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа».

Дополнение к иррациональным числам

Смотрите также:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Иррациональные числа: определение, примеры

Иррациональные числа известны людям с глубокой древности. Еще за несколько веков до нашей эры индийский математик Манава выяснил, что квадратные корни некоторых чисел (например, 2) невозможно выразить явно.

Данная статья является своего рода вводным уроком в тему «Иррациональные числа». Приведем определение и примеры иррациональных чисел с пояснением, а также выясним, как определить, является ли данное число иррациональным.

Само название «иррациональные числа» как бы подсказывает нам определение. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным. Другими словами, такое число нельзя представить в виде дроби mn, где m — целое, а n — натуральное число.

Определение. Иррациональные числа

Иррациональные числа — это такие числа, которые в десятичной форме записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Для обозначения множества иррациональных чисел используется символ 

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Навигация по статьям

Предыдущая статья

Пределы

Следующая статья

Общее уравнение плоскости

• Арифметические операции над действительными числами
• Взаимно обратные числа
• Вычитание десятичных дробей
• Вычитание натуральных чисел
• Вычитание натуральных чисел
• Все темы по математике

• Курсовые работы
• Рефераты
• Контрольные работы
• Отчет по практике
• Эссе

Узнать подробнее

ПЛАСТИНЧАТЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК В Компас А Бумага теплообменник кожухотрубчатый

• Вид работы:

  Чертёж

• Выполнена:

  27 июня 2022 г.

• Стоимость:

  2 400 руб

Заказать такую же работу

Математические модели инфодемии

Заказать такую же работу

Нужно рассчитать теплообменник

• Вид работы:

  Контрольная работа

• Выполнена:

  28 апреля 2022 г.

• Стоимость:

  3 600 руб

Заказать такую же работу

Задания прикреплены

• Вид работы:

  Контрольная работа

• Выполнена:

  21 января 2022 г.

• Стоимость:

  1 400 руб

Заказать такую же работу

Особенности исторической застройки Красноярска от появления острога до конца века

• Вид работы:

  Реферат

• Выполнена:

  27 декабря 2021 г.

• Стоимость:

  1 000 руб

Заказать такую же работу

по Строительным материалам

• Вид работы:

  Решение задач

• Выполнена:

  30 ноября 2021 г.

• Стоимость:

  1 100 руб

Заказать такую же работу

Смотреть все работы по чертежам в компас

Разница между рациональными и иррациональными числами

• 2019

Математика — не что иное, как игра чисел. Число — это арифметическое значение, которое может быть цифрой, словом или символом, обозначающим количество, которое имеет много последствий, таких как подсчет, измерения, вычисления, маркировка и т. Д. Числа могут быть натуральными числами, целыми числами, целыми числами, действительными числами, сложными номера. Действительные числа далее делятся на рациональные числа и иррациональные числа. Рациональные числа — это числа, которые являются целыми и дробными

С другой стороны, иррациональные числа — это числа, выражение которых в виде дроби невозможно. В этой статье мы собираемся обсудить различия между рациональными и иррациональными числами. Посмотри.

Сравнительная таблица

Основа для сравнения	Рациональное число	Иррациональные числа
Имея в виду	Рациональные числа относятся к числу, которое может быть выражено в соотношении двух целых чисел.	Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде отношения двух целых чисел.
Доля	Выражается в дроби, где знаменатель ≠ 0.	Не может быть выражено в долях.
Включает в себя	Совершенные квадраты	Surds
Десятичное расширение	Конечные или повторяющиеся десятичные дроби	Не конечные или не повторяющиеся десятичные дроби.

Определение рациональных чисел

Термин «отношение» получен из слова «отношение», которое означает сравнение двух величин и выражается в простой дроби. Число называется рациональным, если оно может быть записано в виде дроби, такой как p / q, где и p (числитель), и q (знаменатель) являются целыми числами, а знаменатель — натуральное число (ненулевое число). Целые числа, дроби, включая смешанную дробь, повторяющиеся десятичные дроби, конечные десятичные дроби и т. Д., Являются рациональными числами.

Примеры рационального числа

• 1/9 — числитель и знаменатель являются целыми числами.
• 7 — Можно выразить как 7/1, где 7 — это целое число 7 и 1.
• √16 — поскольку квадратный корень может быть упрощен до 4, что является частным дроби 4/1
• 0, 5 — Может быть записано как 5/10 или 1/2, и все заканчивающиеся десятичные дроби являются рациональными.
• 0.3333333333 — Все повторяющиеся десятичные дроби рациональны.

Определение иррациональных чисел

Число называется иррациональным, когда его нельзя упростить до какой-либо доли целого числа (x) и натурального числа (y). Это также может быть понято как число, которое нерационально. Десятичное разложение иррационального числа не является ни конечным, ни повторяющимся. Он включает в себя дополнительные числа и специальные числа, такие как π («пи» — наиболее распространенное иррациональное число) и e. Surd — это несовершенный квадрат или куб, который нельзя уменьшить, чтобы удалить квадратный корень или кубический корень.

Примеры иррационального числа

• √2 — √2 не может быть упрощено, и поэтому оно нерационально.
• √7 / 5 — данное число является дробью, но это не единственный критерий, который следует называть рациональным числом. И числитель, и знаменатель должны быть целыми числами, а √7 не является целым числом. Следовательно, данное число нерационально.
• 3/0 — дробь с нулевым знаменателем, иррациональна.
• π — поскольку десятичное значение π никогда не заканчивается, никогда не повторяется и никогда не показывает какого-либо шаблона. Следовательно, значение pi не точно равно любой дроби. Число 22/7 является справедливым и приблизительным.
• 0.3131131113 — Десятичные дроби не заканчиваются и не повторяются. Поэтому его нельзя выразить как частное от дроби.

Различие между рациональными и иррациональными числами может быть ясно показано на следующих основаниях

1. Рациональное число определяется как число, которое может быть записано в соотношении двух целых чисел. Иррациональное число — это число, которое не может быть выражено в соотношении двух целых чисел.
2. В рациональных числах и числитель, и знаменатель являются целыми числами, где знаменатель не равен нулю. Пока иррациональное число нельзя записать дробью.
3. Рациональное число включает числа, которые являются идеальными квадратами, такими как 9, 16, 25 и так далее. С другой стороны, иррациональное число включает в себя такие числа, как 2, 3, 5 и т. Д.
4. Рациональное число включает только те десятичные дроби, которые являются конечными и повторяющимися. Наоборот, иррациональные числа включают те числа, десятичное разложение которых бесконечно, неповторяюще и не показывает паттерна.

Заключение

Изучив вышеприведенные пункты, совершенно ясно, что выражение рациональных чисел может быть возможным как в дробной, так и в десятичной форме. Напротив, иррациональное число может быть представлено только в десятичной форме, но не в виде дроби. Все целые числа являются рациональными числами, но все нецелые числа не являются иррациональными числами.

Некоторые дополнения к понятию иррациональное число

Автор(ы): Павлов Анатолий Тимофеевич
Рубрика: Физико-математические науки
Журнал: «Евразийский Научный Журнал №1 2016»  (январь)
Количество просмотров статьи: 2210
Показать PDF версию Некоторые дополнения к понятию иррациональное число

Павлов А. Т., г. Иркутск

Некоторые дополнения к понятию иррациональное число

Иррациональным называется число, которое можно выразить в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Например, иррациональными являются числа , числа e, π, синусы многих рациональных величин, логарифмы целых чисел и т.д. В отличие иррационального числа, любое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби, которую также можно представить обыкновенной дробью , где и – целые числа, . Например, рациональные числа , .

Введем некоторые дополнения к понятию иррациональное число. Рассмотрим на примере. Уравнение имеет корни . Корни данного уравнения являются иррациональными числами, но каждое из данных иррациональных чисел представляет собой алгебраическую сумму собственно иррационального числа и рационального числа . Собственно иррациональную составляющую назовем чисто иррациональным числом, выражение назовем составным иррациональным числом.

Определение. Иррациональное число, которое нельзя представить в виде алгебраической суммы другого иррационального числа и рационального числа назовем чисто иррациональным числом. Иррациональное число, которое представлено в виде алгебраической суммы чисто иррационального числа и рационального числа назовем составным иррациональным числом.

Как уже отмечалось выше, – чисто иррациональное число, – составные иррациональные числа.

Подразделение иррациональных чисел на чисто иррациональные числа и составные иррациональные числа предлагается в математике впервые. Можно провести аналогию в терминологии с комплексными числами, где комплексные числа вида при называются мнимыми, числа вида называются чисто мнимыми.

Составное иррациональное число может быть задано в неявном виде, в этом случае возникает необходимость представить иррациональное число в виде суммы рационального и чисто иррационального чисел. Примеры такого вида есть в курсе алгебры 9-го класса и встречаются в заданиях ЕГЭ по математике. Рассмотрим один из алгоритмов решения подобного вида задач на примерах.

Пример 1. Предположим, что – составное иррациональное число. В таком случае представим его в виде , где – рациональная, – чисто иррациональная составляющая числа. Так как – чисто иррациональное, полагаем . Отсюда запишем , возведем выражение во вторую степень, получим . Сумма рациональных составляющих , чисто иррациональные составляющие равны . Решая полученные уравнения, находим , . В результате получаем .

Пример 2. Покажем, что – составное иррациональное число. Пусть , . Отсюда .

Сумма рациональных составляющих: , чисто иррациональная составляющая: . Решая полученные уравнения, находим , , окончательно запишем .

На основании введенного разделения иррациональных чисел на чисто иррациональные и составные иррациональные сформулируем некоторые очевидные свойства иррациональных чисел.

1. Алгебраическая сумма чисто иррациональных выражений не может быть равна рациональному числу, кроме числа ноль

Например, пусть , где , где и – целые числа, . Возведем выражение во вторую степень, получим . Получили противоречие – чисто иррациональное число представлено обыкновенной дробью, следовательно .

2. Алгебраическая сумма составного и чисто иррациональных чисел может равняться рациональному числу

Например, .

3. Алгебраическая сумма составных иррациональных чисел может равняться рациональному числу

Например, а) ,

б) . 

Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа

Справочник по математике

Арифметика

Рациональные и иррациональные числа

Содержание

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

Иррациональность числа

Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое принято обозначать буквой   Q .

Каждое из рациональных чисел можно представить в виде

,

где   m   – целое число, а   n   – натуральное число.

При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Числа

и т.п. являются примерами иррациональных чисел.

Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.

При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.

Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.

Множество вещественных чисел обозначают буквой   R .  

Иррациональность числа

Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида

,

удовлетворяющая равенству

и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.

Используя данное равенство, получаем:

Отсюда вытекает, что число   m² является четным числом, а, значит, и число   m   является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число   m   является нечетным числом, то найдется такое целое число   k ,   которое удовлетворяет соотношению

m = 2k + 1 .

Следовательно,

m² = (2k + 1)² =
= 4k² + 4k +1 ,

т.е.   m   является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число   m   является четным числом. Значит, найдется такое целое число   k ,  которое удовлетворяет соотношению

m = 2k .

      Поэтому,

Отсюда вытекает, что число   n² является четным, а, значит, и число   n   является четным числом.

Итак, число   m   является четным, и число   n   является четным, значит, число   2   является общим делителем числителя и знаменателя дроби

.

Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению

не существует. Следовательно, число  является иррациональным числом, что и требовалось доказать.

Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число

Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической  десятичной дробью.

Последовательностью десятичных приближений числа с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т. д.

Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на   1 ,   то получится десятичное приближение числа с избытком.

Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.

Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:

и т.д.

Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.

Значение, Определение, Предложения . Что такое иррациональное число

• Онлайн-переводчик
• Грамматика
• Видео уроки
• Учебники
• Лексика
• Специалистам
• Английский для туристов
• Рефераты
• Тесты
• Диалоги
• Английские словари
• Статьи
• Биографии
• Обратная связь
• О проекте

Примеры

Значение слова «ИРРАЦИОНАЛЬНЫЙ»

В идеалистической философии: не постигаемый разумом, мистически скрытый.

Смотреть все значения слова ИРРАЦИОНАЛЬНЫЙ

Значение слова «ЧИСЛО»

Понятие количества, величина, при помощи к-рой производится счёт.

Смотреть все значения слова ЧИСЛО

Предложения с «иррациональное число»

Пи — иррациональное число, это означает, что оно не может быть представлено в виде дроби.

В противном случае пусть a-иррациональное число √2√2, А b = √2.

Золотое сечение-еще одно знаменитое квадратичное иррациональное число.

Если k-иррациональное число, то кривая никогда не замыкается и образует плотное подмножество пространства между большим кругом и кругом радиуса R + 2r. .

Квадратный корень из 3-это иррациональное число.

Другие результаты

Возможно, наиболее легко доказать иррациональность чисел с помощью определенных логарифмов.

Я только что добавил таблицу иррациональных чисел, чтобы эта страница соответствовала записям для других баз.

Противоречие означает, что это предположение должно быть ложным, т. е. log2 3 иррационально и никогда не может быть выражено как частное целых чисел m/n с n ≠ 0.

Поскольку алгебраические числа образуют подполе действительных чисел, многие иррациональные действительные числа могут быть построены путем объединения трансцендентных и алгебраических чисел.

Квадратные корни всех натуральных чисел, которые не являются совершенными квадратами, иррациональны, и доказательство можно найти в квадратичных иррациональных числах.

История о том, как Гиппаса утопили за то, что он открыл существование иррациональных чисел, известна, но сомнительна.

Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не мог допустить существования иррациональных чисел.

Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не мог допустить существования иррациональных чисел.

Иррациональные числа также плотны в вещественных числах, однако они неисчислимы и имеют ту же мощность, что и реальные.

Это доказательство можно обобщить, чтобы показать, что любой квадратный корень из любого натурального числа, который не является квадратом натурального числа, иррационален.

Смотрите квадратичный иррациональный или бесконечный спуск для доказательства того, что квадратный корень любого неквадратичного натурального числа иррационален.

Для любой базы, в то время как рациональные числа могут быть просто нормальными в конкретной базе, каждое нормальное число иррационально.

Он дал определения рациональным и иррациональным величинам, которые он рассматривал как иррациональные числа.

Как и в любом другом целочисленном базисе, алгебраические иррациональные и трансцендентальные числа не заканчиваются и не повторяются.

Из доказательства Кантора, что действительные числа неисчислимы, а рациональные-счетны, следует, что почти все действительные числа иррациональны.

Одним из доказательств иррациональности числа является следующее доказательство бесконечного спуска.

Мартин 2001 привел простой пример иррационального числа, которое абсолютно ненормально.

В Средние века развитие алгебры мусульманскими математиками позволило рассматривать иррациональные числа как алгебраические объекты.

Это доказательство использует характеристику π как наименьшего положительного числа, половина которого равна нулю косинусной функции, и фактически доказывает, что π2 иррационально.

Только самые известные иррациональные числа заслуживают перенаправления от частичных десятичных разложений.

Он никогда не доказывает, что корень числа 2 является иррациональным числом.

Теодор и Теэтет разделили рациональные числа и иррациональные числа на различные категории.

Вещественные числа, которые не являются рациональными числами, называются иррациональными числами.

Только самые известные иррациональные числа заслуживают перенаправления от частичных десятичных разложений.

Вещественные числа, которые не являются рациональными числами, называются иррациональными числами.

---

На данной странице приводится толкование (значение) фразы / выражения «иррациональное число», а также синонимы, антонимы и предложения, при наличии их в нашей базе данных. Мы стремимся сделать толковый словарь English-Grammar.Biz, в том числе и толкование фразы / выражения «иррациональное число», максимально корректным и информативным. Если у вас есть предложения или замечания по поводу корректности определения «иррациональное число», просим написать нам в разделе «Обратная связь».

Иррациональные числа

Иррациональное число — это действительное число, которое нельзя записать в виде простой дроби:

  1,5 рационально, но π иррационально

Иррациональное означает Нерациональное (без соотношения)

Давайте посмотрим, что делает число рациональным или иррациональным…

Рациональные числа

A Rational Число можно записать как 0003 Отношение двух целых чисел (т.е. простой дроби).

Пример: 1,5 является рациональным, поскольку его можно записать как отношение 3/2

Пример: 7 рационально, потому что его можно записать как отношение 7/1

Пример 0,333… (3 повторения) также является рациональным, поскольку его можно записать как отношение 1/3

 

Иррациональные числа

Но некоторые цифры нельзя записать как отношение двух целых чисел. ..

…их называют Иррациональные Числа .

Пример:

π (Pi) — известное иррациональное число.

π  = 3,1415

5897932384626433832795… (и больше)

Мы не можем s записать простую дробь, которая равна Пи.

Популярное приближение ²² / ₇ = 3,1428571428571… близко, но неточное .

Еще одна подсказка заключается в том, что десятичная дробь продолжается вечно, не повторяясь.

Не может быть записан как дробь

Это иррационально потому что его нельзя записать как отношение (или дробь),
не потому что это безумие!

Таким образом, мы можем определить, является ли число рациональным или иррациональным, попробовав записать число в виде простой дроби.

Пример:

9,5 можно записать в виде простой дроби следующим образом:

9,5 = 19 2

Итак, это рациональное число (и поэтому не иррациональное )

Вот еще несколько примеров:

Номер		Как дробь		Рациональное или Иррациональное?
1,75		7 4		Рационал
. 001		1 1000		Рационал
√2 (квадратный корень из 2)		?		Неразумно !

Квадратный корень из 2

Давайте посмотрим на квадратный корень из 2 более внимательно.

Когда мы рисуем квадрат размера «1», каково расстояние по диагонали?

Ответом является квадратный корень из 2 , который равен 1.4142135623730950…(и т.д.)

Но это не число вроде 3 или пяти третей или что-то в этом роде…

… на самом деле мы не может записать квадратный корень из 2, используя отношение двух чисел…

… (вы можете узнать , почему , на странице «Иррационально ли это?»). ..

… и так мы знаем это иррациональное число .

Известные иррациональные числа

		Пи — известное иррациональное число. Люди вычислили число Пи с точностью до квадриллиона знаков после запятой, но закономерности до сих пор нет. Первые несколько цифр выглядят так: 3.1415 5897932384626433832795 (и еще…)
		Число e (число Эйлера) — еще одно известное иррациональное число. Люди также вычислили e до большого количества знаков после запятой без какой-либо закономерности. Первые несколько цифр выглядят так: . 2,71828182845 353602874713527 (и еще…)
		Золотое сечение — иррациональное число. Первые несколько цифр выглядят так: . 1.61803398874989484820… (и еще…)
		Многие квадратные корни, кубические корни и т. д. также являются иррациональными числами. Примеры: √3 1.7320508075688772935274463415059 (и т. д.) √99 9,9498743710661995473447982100121 (и т. д.)

Но √4 = 2 рационально, а √9 = 3 рационально…

… так что не все корни иррациональны.

 

Примечание по умножению иррациональных чисел

Взгляните на это:

• π × π = π ² известно, что иррационально
• Но √2 × √2 = 2 равно рациональному

Так что будьте осторожны. .. умножение иррациональных чисел может дать рациональное число!

 

Забавные факты….

Вероятно, Гиппас (один из учеников Пифагора) открыл иррациональные числа, когда пытался записать квадратный корень из 2 в виде дроби (считается, что с помощью геометрии). Вместо этого он доказал квадратный корень из 2·9.0093 нельзя было записать в виде дроби, поэтому иррационально .

Но последователи Пифагора не могли принять существование иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утоплен в море в наказание богов!

 

434 435 1064 2022 3987 1065 3988 2023 2990 2991

Иррациональные числа — определение, свойства, примеры, значение

Иррациональные числа — это те действительные числа, которые не могут быть представлены в виде отношения. Другими словами, те действительные числа, которые не являются рациональными числами, известны как иррациональные числа. Гиппас, философ-пифагорейец, открыл иррациональные числа в V веке до нашей эры. К сожалению, его теория была высмеяна, и он был брошен в море. Но иррациональные числа существуют, давайте заглянем на эту страницу, чтобы лучше понять концепцию, и, поверьте нам, вас не выбросит в море. Скорее, зная эту концепцию, вы также будете знать список иррациональных чисел, разницу между иррациональными и рациональными числами и то, являются ли иррациональные числа действительными числами.

1.	Что такое иррациональные числа?
2.	Свойства иррациональных чисел
3.	Как определить иррациональное число?
4.	Символ иррациональных чисел
5.	Набор иррациональных чисел
6.	Рациональные и иррациональные числа
7.	Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам
8.	Часто задаваемые вопросы об иррациональных числах

Что такое иррациональные числа?

Иррациональные числа — это множество действительных чисел, которые не могут быть выражены в виде дроби p/q, где p и q — целые числа. Знаменатель q не равен нулю (q ≠ 0). Кроме того, десятичное расширение иррационального числа не заканчивается и не повторяется.

Иррациональные числа Определение: Иррациональные числа — это действительные числа, которые не могут быть представлены в виде простой дроби. Они не могут быть выражены в виде отношения, такого как p/q, где p и q — целые числа, q≠0. Это противоречие рациональных чисел.

Распространенные примеры иррациональных чисел

Ниже приведены несколько конкретных иррациональных чисел, которые обычно используются.

• ㄫ (пи) — иррациональное число. π=3⋅14159265… Десятичное значение никогда не останавливается ни в какой точке. Поскольку значение ㄫ ближе к дроби 22/7, мы принимаем значение числа пи как 22/7 или 3,14 (Примечание: 22/7 — рациональное число.)
• √ 2 — иррациональное число. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две равные стороны АВ и ВС имеют длину 1 единицу. По теореме Пифагора гипотенуза AC будет равна √2. √2=1⋅414213⋅⋅⋅⋅
• Число Эйлера e — иррациональное число. е=2⋅718281⋅⋅⋅⋅
• Золотое сечение, φ 1,61803398874989….

Свойства иррациональных чисел

Свойства иррациональных чисел помогают нам выделить иррациональные числа из набора действительных чисел. Ниже приведены некоторые свойства иррациональных чисел:

• Иррациональные числа состоят из непрерывных и неповторяющихся десятичных знаков.
• Это только действительные числа.
• При сложении иррационального и рационального чисел результатом или их суммой является только иррациональное число. Для иррационального числа x и рационального числа y их результат x + y = иррациональное число.
• При умножении любых иррациональных чисел на любое ненулевое рациональное число их произведение будет иррациональным числом. Для иррационального числа x и рационального числа y их произведение xy = иррационально.
• Для любых двух иррациональных чисел их наименьшее общее кратное (НОК) может существовать, а может и не существовать.
• Сложение, вычитание, умножение и деление двух иррациональных чисел могут быть или не быть рациональными числами.

Как определить иррациональное число?

Мы знаем, что иррациональные числа — это только действительные числа, которые не могут быть выражены в виде p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0. Например, √ 5 и √ 3 и т. д. — иррациональные числа. С другой стороны, числа, которые могут быть представлены в виде p/q, такие, что p и q являются целыми числами и q ≠ 0, являются рациональными числами.

Символ иррациональных чисел

Прежде чем знакомиться с символом иррациональных чисел, давайте обсудим символы, используемые для других типов чисел.

• N — Натуральные числа
• I — Воображаемые числа
• R — Реальные числа
• Q — Рациональные числа.

Действительные числа состоят как из рациональных, так и из иррациональных чисел. (R-Q) определяет, что иррациональные числа могут быть получены путем вычитания рациональных чисел (Q) из действительных чисел (R). Это также можно записать как (R\Q). Следовательно, символ иррациональных чисел = Q’.

Набор иррациональных чисел

Набор иррациональных чисел можно получить, записав несколько иррациональных чисел в скобках. Множество иррациональных чисел можно получить по некоторым свойствам.

• Все квадратные корни, не являющиеся полным квадратом, являются иррациональными числами. {√ 2 , √3 , √5 , √8}
Число Эйлера 90 313, золотое сечение и число Пи — одни из самых известных иррациональных чисел. {е, ∅, ㄫ}
• Квадратный корень из любого простого числа является иррациональным числом.

Таблица иллюстрирует список некоторых иррациональных чисел .

Иррациональное число	значение
№	3.14159265….
и	2.7182818…..
√2	1.414213562…
√3	1.73205080…
√5	2.23606797….
√7	2,64575131….
√11	3.31662479…
√13	3,605551275…
-√3/2	-0,866025. …
∛47	3.60882608

Рациональные и иррациональные числа

Любое число, которое определяется в виде дроби p/q или отношения , называется рациональным числом. Он может состоять из числителя (p) и знаменателя (q), где q не равно нулю. Рациональное число может быть целым числом или целым числом.

• 2/3 = 0,6666 = 0,67. Поскольку десятичное значение является повторяющимся (повторяющимся). Итак, мы приблизили его к 0,67
• √4 = 2 и -2, где 2 и -2 являются целыми числами.

В таблице показано различие между рациональными и иррациональными числами.

Рациональные числа	Иррациональные числа
Это может быть выражено в виде дроби или отношения, т.е. p/q, где q ≠ 0	Нельзя выразить в виде дроби или отношения.
Десятичное расширение завершается или не завершается повторяющимся (повторяющимся)	Десятичное расширение не является завершающим и неповторяющимся в любой точке.
Пример: 0,33333, 0,656565.., 1,75	Пример: π, √ 13, e

Интересные факты об иррациональных числах

Есть несколько крутых и интересных фактов об иррациональных числах, которые заставляют нас глубже понять почему за чем.

1. Случайное изобретение √2

Квадратный корень из 2 или √2 был первым изобретенным иррациональным числом при вычислении длины равнобедренного треугольника. He used the famous Pythagoras formula a ² = b ² + c ²

AC ² =AB ² +BC ² ⇒ AC ² =1 ² +1 ² ⇒ AC = √ 2

√2 лежит между числами 1 и 2, так как значение равно 1,41421… Таким образом, он обнаружил, что длина AC не может быть выражена в виде дробей или целые числа.

2. Значение числа π

Значение числа π вычисляется приблизительно как более 22 триллионов цифр без конца. Компьютеру потребовалось около 105 дней с 24 жесткими дисками, чтобы вычислить значение числа Пи.

3. Изобретение числа Эйлера e

Число Эйлера впервые было введено Леонардом Эйлером, , швейцарским математиком в 1731 году. Это «e» также называют Числом Нейпира , которое в основном используется в логарифмировании. и тригонометрия.

Доказательство иррационального числа:

Давайте разберемся, как доказать, что данный несовершенный квадрат иррационален. Вот пошаговое доказательство того же.

Чтобы доказать: √2 — иррациональное число. 92\end{align}\)

Отсюда следует, что 2 также является простым делителем q ² . Опять же из теоремы можно сказать, что 2 также является простым множителем числа q.

Согласно исходному предположению p и q взаимно просты, но полученный выше результат противоречит этому предположению, так как p и q имеют 2 в качестве общего простого делителя, отличного от 1. Это противоречие возникло из-за неверного предположения, что √2 рациональный.

Итак, √2 иррационально.

☛Также читайте

• Докажите, что корень 2 иррационален
• Докажите, что корень 3 иррационален
• Докажите, что корень 5 иррационален
• Докажите, что корень 6 иррационален
• Докажите, что корень 7 иррационален
• Докажите, что корень 11 иррационален

Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам

Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам помогут лучше понять, почему рациональные и иррациональные числа являются частью действительных чисел. Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам включают множество задач и примеров, основанных на операциях и свойствах рациональных и иррациональных чисел. Он состоит из творческих и увлекательных забавных заданий, в которых ребенок может подробно изучить сквозные концепции рациональных и иррациональных чисел с помощью практических иллюстраций.

Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 1	Скачать PDF
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 2	Скачать PDF
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 3	Скачать PDF
Рабочие листы по рациональным и иррациональным числам — 4	Скачать PDF

Важные моменты

• Произведение любых двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным. Пример (а): Умножьте √2 и π ⇒ 4,4428829… — иррациональное число. Пример (б): Умножьте √2 и √2 ⇒ 2 — рациональное число.
• Множество иррациональных чисел не замкнуто относительно процесса умножения, в отличие от множества рациональных чисел.
• Сложение или умножение двух иррациональных чисел может быть рациональным; например, √2 × √2 = 2. Здесь √2 — иррациональное число. Если его умножить дважды, то конечный результат будет рациональным числом, т. е. 2.

☛Статьи по теме

Ознакомьтесь с еще несколькими интересными статьями, посвященными иррациональным числам.

• Десятичное представление иррациональных чисел
• Рациональные числа
• Рационализировать знаменатель
• Является ли пи рациональным или иррациональным числом

 

Примеры иррациональных чисел

1. Пример 1: Джон играет со своим другом в игру «Бросьте кости с числами». Джон делает ход и бросает кубик. Он получает 5. Если он получает 5, он должен собрать все иррациональные числа у своего друга. Помогите Джону собрать все иррациональные числа, не пропустив ни одного. {е, -5, √9 , √13 , π, -2/8}

   Решение:

   -5 — целое число. √9 — идеальный квадрат. -2/8 имеет повторяющееся конечное десятичное значение. Эти числа являются рациональными числами. Иррациональные числа — это e, √13, π. Поэтому Джон собрал все иррациональные числа, а именно e, √13 и π.

2. Пример 2: У Джейд есть коробка с четырьмя иррациональными числами. Джейд хочет только одно иррациональное число, которое ближе всего к 3 и не должно превышать 3. Помогите Джейд найти правильное число. Иррациональные числа в коробке √3 , √6 , √10 , √5.

   Решение:

   Сначала найдем значение этих иррациональных чисел. √3 = 1,732020.., √6 = 2,449489.., √10 = 3,162277.., √5 = 2,236067… Таким образом, √6 = 2,449489… ближе всего к 3. Следовательно, √6 является ближайшим числом до 3.

перейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по иррациональным числам

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы об иррациональных числах

Что такое иррациональные числа в математике?

Иррациональные числа — это набор действительных чисел, которые не могут быть выражены в виде дробей или отношений. Пример: π, √2, e, √5

Как определить иррациональное число?

Ибо любое число, не являющееся рациональным, считается иррациональным. Иррациональные числа можно записать в виде десятичных дробей, но точно не в виде дробей. Кроме того, эти числа, как правило, имеют бесконечные неповторяющиеся цифры справа от десятичной запятой.

Рациональные и иррациональные числа — одно и то же?

Нет, рациональные и иррациональные числа не совпадают. Все числа, представленные в виде p/q, где p и q — целые числа, а q не равно 0, — рациональное число. Примеры рациональных чисел: 1/2, -3/4, 0,3 или 3/10. Принимая во внимание, что мы не можем выразить иррациональные числа в виде p/q.

В чем разница между рациональными и иррациональными числами?

Рациональные числа — это те, которые заканчиваются или не заканчиваются повторяющимися числами, а иррациональные числа — это те, которые не заканчиваются и не повторяются после определенного количества знаков после запятой.

Является ли 2/3 иррациональным числом?

Нет, 2/3 не иррациональное число. 2/3 = 0,666666…. повторяющееся десятичное число. Следовательно, 2/3 — рациональное число.

Почему рациональные и иррациональные числа входят в набор действительных чисел?

Числа, которые могут быть представлены в виде десятичных дробей, считаются действительными числами. Если мы говорим о рациональных и иррациональных числах, обе формы чисел могут быть представлены в виде десятичных знаков, следовательно, и рациональные числа, и иррациональные числа находятся в множестве действительных чисел.

Почему Пи — иррациональное число?

Пи определяется как отношение длины окружности к ее диаметру. Значение Пи всегда постоянно. Пи (π) приблизительно равно 3,1415

59… и является непрерывающимся неповторяющимся десятичным числом. Следовательно, «пи» — иррациональное число.

Сколько иррациональных чисел лежит между корнем 2 и корнем 3?

У нас может быть бесконечно много иррациональных чисел между корнем 2 и корнем 3. Несколько примеров иррациональных чисел между корнем 2 и корнем 3: 1,575775777…, 1,4243443… и 1,6869.70…

Являются ли иррациональные числа непрерывающимися и неповторяющимися?

Да, иррациональные числа не прекращаются и не повторяются. Конечные числа — это те десятичные знаки, которые заканчиваются после определенного количества знаков после запятой. Например, 1,5, 3,4, 0,25 и т. д. являются конечными числами. Все конечные числа являются рациональными числами, поскольку их легко записать в виде p/q. В то время как неконечные и неповторяющиеся числа считаются бесконечным десятичным расширением иррациональных чисел.

Почему иррациональные числа называют сурдами?

Слово surd относится к выражению, которое включает квадратный корень, кубический корень или другие символы корня. Surds используются для точного написания иррациональных чисел. Все сурды считаются иррациональными числами, но все иррациональные числа не могут считаться сурдами. Иррациональные числа, которые не являются корнями алгебраических выражений, таких как π и e, не являются поверхностными.

Иррациональные числа — предварительная алгебра

Все ресурсы предварительной алгебры

11 Диагностические тесты 177 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Pre-Algebra Help » Теория чисел » Иррациональные числа

Какое из следующих чисел является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Определение иррационального числа — это число, которое не может быть выражено простой дробью, или число, которое не является рациональным.

 

Используя приведенное выше определение, мы видим, что  уже выражено простой дробью.

 

  любой номер и

. Все эти варианты можно выразить в виде простых дробей, сделав из них все рациональные числа и неправильные ответы.

 

  не может быть представлено в виде простой дроби и равно бесконечной, неповторяющейся (постоянно меняющейся) десятичной дроби, начинающейся с 

Это иррациональное число и наш правильный ответ.

Сообщить об ошибке

Что получится, если умножить два иррациональных числа?

Возможные ответы:

Всегда иррационально.

Целые числа.

Всегда рационально.

Иногда иррациональный, иногда рациональный.

Мнимые числа.

Правильный ответ:

Иногда иррационально, иногда рационально.

Объяснение:

Возьмем два иррациональных числа типа  и перемножим их. Ответ: что рационально.

 

Но что, если мы возьмем произведение и . Мы получили бы значение, которое не имеет определенного значения и не может быть выражено в виде дроби.

Это делает его иррациональным, и поэтому ответ иногда иррационален, иногда рационален.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел НЕ является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Рациональные числа — это числа, которые можно записать как отношение двух целых чисел или просто как дробь.

Решение  есть , которое можно записать как . Каждый из других ответов будет иметь решение с бесконечным числом десятичных знаков и, следовательно, не может быть записан в виде простого отношения. Это иррациональные числа.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел считается иррациональным?

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Иррациональное число не может быть представлено как частное двух целых чисел.

Иррациональные числа не заканчиваются и не повторяются.

Глядя на возможные ответы,

 можно сократить до , следовательно, это целое число.

 по определению представляет собой частное двух целых чисел и, следовательно, не является иррациональным числом.

 может быть переписано как  и по определению представляет собой частное двух целых чисел и, следовательно, не является иррациональным числом.

 является десятичным числом с ограничителем, поэтому его можно записать в виде дроби. Таким образом, это не иррациональное число.

 это число для  и не заканчивается, поэтому это иррационально.

Сообщить об ошибке

Добавьте следующее:  

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы сложить числитель, сначала умножьте знаменатель, чтобы найти наименьший общий знаменатель.

Общий знаменатель:  

Перепишите дроби.

Сообщить об ошибке

Какой из следующих вариантов является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Смысл иррациональности гласит, что числа нельзя переписать как отношение целых чисел. Из следующего, что можно было бы упростить, единственным возможным выбором иррациональных чисел является .

Ответ .

Все остальные варианты рациональны, потому что их можно записать как дробь целых чисел, так и просто целое число.

 

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Рациональное число может быть представлено в форме , оно может быть завершающим десятичным числом или повторяющимся десятичным числом. является континуальным числом, следовательно, это иррациональное число.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Иррациональное число — это любое число, которое не может быть выражено как отношение целых чисел.

Следовательно, считается иррациональным, поскольку его нельзя выразить как отношение целых чисел.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Иррациональное число — это число, которое не может быть выражено как отношение целых чисел и не может быть выражено как завершающие или повторяющиеся десятичные дроби.

Таким образом, единственным ответом, который следует за этим определением, является .

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде дроби, где и числитель, и знаменатель — целые числа. Знаменатель также не может быть равен 0. В этом наборе иррациональное число является  потому что нет дроби, которую можно составить, десятичная дробь продолжается и не повторяется в образце. Используя тест дроби, мы можем доказать, что следующие числа являются рациональными:

Сообщить об ошибке

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Уведомление об авторских правах 177 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Рациональные и иррациональные числа объясняются примерами и не примерами и рисунками

Рациональные числа

Определение : Может быть выражено как частное двух целых чисел (т. е. дроби) со знаменателем, отличным от нуля.

Многие люди удивляются, узнав, что повторяющаяся десятичная дробь является рациональным числом. На приведенной ниже диаграмме Венна показаны примеры всех различных типов рациональных и иррациональных чисел, включая целые числа, целые числа, повторяющиеся десятичные дроби и многое другое.

Набор действительных чисел Диаграмма Венна

Примеры рациональных чисел

5	Вы можете выразить 5 как $$ \frac{5}{1} $$, что является частным целого числа 5 и 1.
2	Вы можете представить число 2 как $$ \frac{2}{1} $$, которое является частным целых чисел 2 и 1.
$$ \sqrt{9} $$	Рационально, потому что вы можете упростить квадратный корень до 3, что является частным целым числом 3 и 1.
$$ .\overline{11} $$	Все повторяющиеся десятичные дроби рациональны. Немного сложнее показать почему, поэтому я сделаю это в другом месте.
$$ 0,9 $$	Является рациональным, поскольку может быть выражено как $$ \frac{9}{10} $$ (все конечные десятичные дроби также являются рациональными числами).
$$ 0,73 $$	рационально, потому что его можно выразить как $$ \frac{73}{100} $$.
$$ 1,5 $$	рационально, потому что его можно выразить как $$ \frac{3}{2} $$.

Определение: Не может быть выражено как частное двух целых чисел (т.е. дроби), знаменатель которых не равен нулю.

Примеры иррациональных чисел

$$ \sqrt{7} $$	В отличие от $$ \sqrt{9} $$, вы не можете упростить $$ \sqrt{7} $$ .
$$ \frac{5}{0} $$	Если дробь имеет доминатор нуля, то она иррациональна
$$ \sqrt{5} $$	В отличие от $$ \sqrt{9} $$, вы не можете упростить $$ \sqrt{5} $$ .
$$ \пи $$	$$ \pi $$, вероятно, самое известное иррациональное число!
$$ \frac{ \sqrt{2}}{3} $$	Хотя это число может быть выражено в виде дроби, нам нужно нечто большее, чтобы число было рациональным. Числитель и знаменатель дроби должны быть целыми числами, а $$\sqrt{2} $$ не может быть выражено целым числом.
$. 2020020002 …$$	Эта неконечная десятичная дробь не повторяется. Так что, как и $$\pi$$, оно постоянно изменяется и не может быть представлено как частное двух целых чисел.

Практика Задачи

Проблема 1

Является ли число $$ -12 $$ рациональным или иррациональным?

Рационально, потому что его можно записать как $$ -\frac{12}{1}$$, частное двух целых чисел.

Проблема 2

Является ли число $$ \sqrt{ 25} $$ рациональным или иррациональным?

Рационально, потому что вы можете упростить $$ \sqrt{25} $$ до целого числа $$ 5 $$, которое, конечно, можно записать как $$ \frac{5}{1} $$, частное двух целых чисел.

Проблема 3

Является ли число $$ 0,0

00

9… $$ рациональным или иррациональным?

Это иррационально, многоточие отмечает $$ \color{red}{…} $$ в конце числа $$ \boxed{ 0,0

00

9 \color{red}{…}} $$, означает, что закономерность увеличения количества нулей продолжает увеличиваться и что это число никогда не заканчивается и никогда не повторяется.

Проблема 4

Является ли число $$ 0.\overline{201} $$ рациональным или иррациональным?

Это рационально. Все повторяющиеся десятичные дроби рациональны (доказательство см. внизу страницы).

Проблема 5

Является ли число $$ \frac{ \sqrt{3}}{4} $$ рациональным или иррациональным?

Это иррационально. Вы не можете упростить $$ \sqrt{3} $$, что означает, что мы можем , а не выражают это число как частное двух целых чисел.

Проблема 6

Является ли число $$ \frac{ \sqrt{9}}{25} $$ рациональным или иррациональным?

В отличие от последней задачи, это является рациональным. Вы можете упростить $$ \sqrt{9} \text{, а также } \sqrt{25} $$. Если вы упростите эти квадратные корни, то вы получите $$ \frac{3}{5} $$, что удовлетворяет нашему определению рационального числа (т.е. может быть выражено как частное двух целых чисел).

Проблема 7

Является ли число $$ \frac{ \pi}{\pi} $$ рациональным или иррациональным?

Это рационально, потому что дробь можно упростить до отношения двух целых чисел (оба числа равны 1).

$ \frac{ \pi}{\pi } = \ гидроразрыв { \ отмена {\ пи} } { \ отмена {\ пи} } = \фракция{1}{1}=1 $

Проблема 8

Является ли число $$ \frac{ \sqrt{2}}{ \sqrt{2} } $$ рациональным или иррациональным?

Это рационально, потому что вы можете упростить дробь, чтобы она представляла собой частное двух чисел (оба являются числом 1).

$ \frac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2} } = \ гидроразрыв { \ отмена {\ sqrt {2}} } { \ отмена {\ sqrt {2}}} = \фракция{1}{1}=1 $

Доказательство того, что повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными числами

Позволять

$$ x = . \overline{1} $$

Умножьте обе части на 10

$$ 10 \cdot x = 10 \cdot .\overline{1} \\ 10x = 1.\overline{1} $$

Вычтите уравнение 1 из 2

$$ 10x — 1x = 1.\overline{1} — .\overline{1} \\ 9х = 1 \\ х = \ гидроразрыва {1} {9} $$

Да, повторяющаяся десятичная дробь $$ .\overline{1} $$ эквивалентна дроби $$ \frac{1}{9} $$.

Что такое иррациональное число — Плюс Topper

Что такое иррациональное число

1. Число является иррациональным тогда и только тогда, когда его десятичное представление не заканчивается и не повторяется. например √2, √3, π ……………. и т. д.
   
   
2. Рациональное число и иррациональное число вместе образуют множество действительных чисел.
3. Если a и b два действительных числа, то либо
   (i) a > b    или      (ii) a =  b    или       (iii) a < b
4. Отрицательное значение иррационального числа является иррациональным числом.
5. Сумма рационального числа с иррациональным числом всегда иррациональна.
6. Произведение ненулевого рационального числа на иррациональное число всегда является иррациональным числом.
7. Сумма двух иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом.
8. Произведение двух иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом.
9. При делении всех рациональных чисел вида \(\frac { p }{ q } \)(q ≠ 0), p & q являются целыми числами, могут произойти две вещи: либо остаток станет равным нулю, либо никогда не станет равным нулю.

Тип (1)  Пример:  \(\frac { 7} { 8 } \)  = 0,875

Это десятичное расширение 0,875 называется , завершающим .
∴ Если остаток равен нулю, то десятичное расширение заканчивается (заканчивается) после конечного числа шагов. Эти десятичные расширения таких чисел заканчиваются.

Тип (2) Пример:  \(\frac { 1 }{ 3 } \) = 0,333……… = \(0 . \overline{3}\)

или  \(\frac { 1 }{ 7 } \) = 0,142857142857….. =  \(0 . \overline{142857}\)

В обоих примерах остаток никогда не становится нулем, поэтому десятичное расширение никогда не заканчивается после нескольких или бесконечных шагов деления. Этот тип десятичных расширений называется без завершения.
В приведенных выше примерах после I ^st шага и 6 шагов деления (соответственно) мы получаем остаток, равный делимому, поэтому десятичное расширение повторяется (повторяющееся).
Итак, они называются непрерывающимися повторяющимися десятичными расширениями .
Оба вышеуказанных типа (1 и 2) являются рациональными числами.

Типы (3) Пример:  Десятичное расширение 0. 327172398…… нигде не заканчивается, также нет расположения цифр (не повторяющихся), поэтому они называются непрерывными не повторяющимися . Эти числа называются иррациональными числами .
Пример:
0,1279312793         рациональное          завершение
0,1279312793…. рациональное          не завершающееся
или \(0 . \overline{12793}\)                                      повторяющееся
0,32777             рациональный          завершающий
или \(0 . 32\overline{7}\)                рациональный         неограниченный
0,32777……. & повторяющийся
0.5361279             рациональный         завершающий
0.3712854043…. иррациональный       непрерывный неповторяющийся
0,10100100010000 рациональный       завершающий
0,10100100010000…. иррациональный       не прекращающийся, не повторяющийся.

Иррациональные числа Примеры задач с решениями

Пример 1:     Вставьте рациональное и иррациональное число между 2 и 3.
Sol.    Если два положительных рациональных числа a и b такие, что ab не является полным квадратом рационального числа, то \(\sqrt { ab } \) – иррациональное число, лежащее между a и b. Кроме того, если a, b — рациональные числа, то \(\frac { a+b }{ 2 } \) — рациональное число между ними.
∴ Рациональное число между 2 и 3 равно
\(\frac { 2+3 }{ 2 } \) = 2,5
Иррациональное число между 2 и 3 равно
= \(\sqrt { 2\times 3 }  \) = \(\sqrt { 6 } \)

Пример 2:   Найдите два иррациональных числа от 2 до 2,5.
Соль.   Если два различных положительных рациональных числа a и b такие, что ab не является полным квадратом рационального числа, то  является иррациональным числом, лежащим между a и b.
∴ Иррациональное число между 2 и 2,5 равно
= \(\sqrt { 2\times 2,5} \) = \(\sqrt { 5 } \)
Аналогично, иррациональное число между 2 и \(\sqrt { 5 } \) равно \(\sqrt { 2\times \sqrt { 5 }  }\)
Итак, искомые числа равны \(\sqrt { 5 } \) и \(\sqrt { 2\times \sqrt { 5 }  }\)

Пример 3:   Найдите два иррациональных числа, лежащих между \(\sqrt { 2 } \) и \(\sqrt { 3 } \) .
Соль.    Мы знаем, что если a и b — два различных положительных иррациональных числа, то \(\sqrt { ab } \) — иррациональное число, лежащее между a и b.
∴ Иррациональное число между \(\sqrt { 2 } \)  и \(\sqrt { 3 } \) = \(\sqrt { \sqrt { 2 } \times \sqrt { 3 } } \) = 6 9{ \frac { 1 }{ 4 }  } } \) = 2 ^1/4 × 6 ^1/8 .
Следовательно, требуемые иррациональные числа равны 6 ^1/4 и
2 ^1/4 × 6 ^1/8 .      
Пример 4:     Найдите два иррациональных числа в диапазоне от 0,12 до 0,13.
Соль.    Пусть a = 0,12 и b = 0,13. Ясно, что a и b — рациональные числа такие, что a < b.
Заметим, что числа a и b имеют 1 в первом десятичном разряде. Но на втором месте десятичной дроби у а стоит 2, а у b 3. Итак, мы рассматриваем числа
c = 0,1201001000100001 ……
и     d = 0,12101001000100001…….
Ясно, что c и d — иррациональные числа такие, что a < c < d < b.

Пример 5:    Докажите, что это \(\sqrt { 2 } \) иррациональное число
Sol. Предположим противное, что \(\sqrt { 2 } \) рационально. Итак, мы можем найти целые числа r и s (≠0) такие, что \(\sqrt { 2 } =\frac { r }{ s }  \). Предположим, что r и s не имеют общего делителя, отличного от 1. Затем мы делим на общий делитель, чтобы получить \(\sqrt { 2 } =\frac { a }{ b }  \) , где a и b взаимно просты.
Итак,  b\(\sqrt { 2 } \) = a.
Возводя в квадрат с обеих сторон и переставляя, получаем 2b ² = a ² . Следовательно, 2 делит ^{на 2} . Теперь по теореме следует, что 2 делит а.
Итак, мы можем написать a = 2c для некоторого целого числа c.
Подставляя вместо а, получаем 2b ² = 4c ² , то есть
b ² = 2c ² .
Это означает, что 2 делит b ² , и, следовательно, 2 делит b (снова используя теорему с p = 2).
Следовательно, a и b имеют по крайней мере 2 в качестве общего делителя.
Но это противоречит тому факту, что a и b не имеют общих делителей, кроме 1.
Это противоречие возникло из-за нашего неверного предположения, что \(\sqrt { 2 } \) рационально.
Итак, мы заключаем, что \(\sqrt { 2 } \) иррационально.

Пример 6:    Докажите, что это \(\sqrt { 3 } \) иррациональное число.
Соль. Предположим, напротив, что это рационально. То есть мы можем найти целые числа a и b (≠0) такие, что \(\sqrt { 2 } =\frac { a }{ b }  \). Предположим, что a и b не имеют общего делителя, отличного от 1, тогда мы можем разделить на общий делитель и предположить, что a и b взаимно просты.
Итак, b\(\sqrt { 3 } \) = a.
Возводя в квадрат с обеих сторон и переставляя, получаем 3b ² = a ² .
Следовательно, a ² делится на 3, и по теореме следует, что a также делится на 3.
Итак, мы можем написать a = 3c для некоторого целого числа c.
Подставляя вместо а, получаем 3b ² = 9c ² , то есть
b ² = 3c ² .
Это означает, что b ² делится на 3, а значит, b также делится на 3 (используя теорему с p = 3).
Следовательно, a и b имеют по крайней мере 3 в качестве общего делителя.
Но это противоречит тому факту, что a и b взаимно просты.
Это противоречит тому факту, что a и b взаимно просты.
Это противоречие возникло из-за нашего неверного предположения, что \(\sqrt { 3 } \) рационально.
Итак, мы заключаем, что \(\sqrt { 3 } \) иррационально.

Пример 7:   Докажите, что \(7-\sqrt { 3 }  \) иррационально
Sol.     Метод I:
Пусть \(7-\sqrt { 3 }  \) – рациональное число 9.0098 ∴ \(7-\sqrt { 3 }  \) = \(\frac { p }{ q }  \)    (p, q целые числа, q ≠ 0)
∴ 7 – \(\frac { p }{ q }  \) =  \(\sqrt { 3 } \)
⇒ \(\sqrt { 3 } \) = \(\frac { 7q-p}{ q }  \)
Здесь p, q — целые числа
∴ \( \frac { 7q-p }{ q }  \) также является целым числом
∴ LHS = \(\sqrt { 3 } \) также является целым числом, но это \(\sqrt { 3 } \) является противоречием, которое  иррационально, поэтому наше предположение неверно, что \(7-\sqrt { 3 }  \)  рационально
∴ \(7-\sqrt { 3 }  \) доказано иррационально.
Метод II :
Пусть \(7-\sqrt { 3 }  \) рационально
мы знаем, что сумма или разность двух рациональных чисел также рациональна
∴  \(7-7-\sqrt { 3 }  \)
= \ (\sqrt { 3 } \) = рациональное
, но это противоречит тому, что \(\sqrt { 3 } \)  иррационально
∴ \(7-\sqrt { 3 }  \) иррационально     доказано.

Пример 8:     Докажите, что \(\frac { \sqrt { 5 }  }{ 3 }  \) иррационально.
Соль. Пусть \(\frac { \sqrt { 5 }  }{ 3 }  \) рационально
∴ \(3\left( \frac { \sqrt { 5 }  }{ 3 }  \right) \) = \(\sqrt { 5 } \) рационально
(∵ Q произведение двух рациональных чисел также рационально)
но это противоречие, что \(\sqrt { 5 } \) иррационально
∴ \(\frac { \sqrt { 5 }  }{ 3 }  \) иррационально доказано.

Пример 9:     Докажите, что \(2\sqrt { 7 } \) иррационально.
Соль. Пусть  рационально
∴ \(2\sqrt { 7 } \times \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) \) = \(\sqrt { 7 } \)
(∵ Q деление двух рациональных тоже рационально)
∴ \(\sqrt { 7 } \)рационально
но это противоречит тому, что  иррационально
∴ \(2\sqrt { 7 } \) иррационально

Пример 10:     Найдите 3 иррациональных числа между 3 и 5 .
Решение: ∵ 3 и 5 оба являются рациональными
Иррациональные — 3,1271 ……………
3,212325272930 ………
3,9652937 …………

Maths

7,1: R -r: r.

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

5033

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

• Определение рациональных и иррациональных чисел
• Классифицировать различные типы действительных чисел

будьте готовы!

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

1. Запишите 3.19 в виде неправильной дроби. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5. 1.4.
2. Запишите \(\dfrac{5}{11}\) в виде десятичной дроби. Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5.5.3.
3. Упрощение: \(\sqrt{144}\). Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5.12.1.

Определение рациональных и иррациональных чисел

Поздравляем! Вы завершили первые шесть глав этой книги! Пришло время подвести итоги того, что вы уже сделали в этом курсе, и подумать о том, что впереди. Вы научились складывать, вычитать, умножать и делить целые числа, дроби, целые числа и десятичные дроби. Вы познакомились с языком и символами алгебры, упростили и оценили алгебраические выражения. Вы решили множество различных типов приложений. Вы заложили хорошую прочную основу, необходимую для достижения успеха в алгебре.

В этой главе мы проверим ваши навыки. Мы еще раз взглянем на типы чисел, с которыми мы работали во всех предыдущих главах. Мы будем работать со свойствами чисел, которые помогут вам улучшить ваше чувство числа. И мы попрактикуемся в их использовании так, как будем использовать при решении уравнений и других алгебраических процедурах.

Мы уже описали числа как счетные числа, целые числа и целые числа. Вы помните, в чем разница между этими типами чисел?

подсчет чисел	1, 2, 3, 4…
целые числа	0, 1, 2, 3, 4…
целых чисел	…−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4…

Рациональные числа

Какие числа вы бы получили, если бы начали со всех целых чисел, а затем включили все дроби? Числа, которые вы получили бы, образуют множество рациональных чисел. А рациональное число — это число, которое можно записать как отношение двух целых чисел.

Определение: рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде \(\dfrac{p}{q}\), где p и q — целые числа, а q ≠ 0.

Все дроби, как положительные, так и отрицательные, являются рациональными числами. Вот несколько примеров:

\[\dfrac{4}{5}, — \dfrac{7}{8}, \dfrac{13}{4},\; а также\; — \dfrac{20}{3}\]

Каждый числитель и каждый знаменатель являются целыми числами.

Нам нужно просмотреть все числа, которые мы использовали до сих пор, и убедиться, что они рациональны. Определение рациональных чисел говорит нам, что все дроби рациональны. Теперь мы рассмотрим счетные числа, целые числа, целые числа и десятичные дроби, чтобы убедиться, что они рациональны.

Являются ли целые числа рациональными числами? Чтобы решить, является ли целое число рациональным, мы пытаемся записать его как отношение двух целых чисел. Самый простой способ сделать это — записать дробь со знаменателем один.

\[3 = \dfrac{3}{1} \quad -8 = \dfrac{-8}{1} \quad 0 = \dfrac{0}{1}\]

Поскольку можно записать любое целое число как отношение двух целых чисел, все целые числа являются рациональными числами. Помните, что все счетные числа и все целые числа тоже целые, а значит, они тоже рациональны.

Как насчет десятичных знаков? Являются ли они рациональными? Давайте рассмотрим несколько, чтобы увидеть, можем ли мы записать каждое из них как отношение двух целых чисел. Мы уже видели, что целые числа являются рациональными числами. Целое число -8 можно записать как десятичное число -8,0. Итак, ясно, что некоторые десятичные дроби рациональны.

Подумайте о десятичной дроби 7.3. Можем ли мы записать это как отношение двух целых чисел? Поскольку 7.3 означает \(7 \dfrac{3}{10}\), мы можем записать это как неправильную дробь, \(7 \dfrac{3}{10}\). Итак, 7,3 — это отношение целых чисел 73 и 10. Это рациональное число.

Обычно любое десятичное число, которое заканчивается после нескольких цифр (например, 7,3 или −1,2684), является рациональным числом. Мы можем использовать обратное (или мультипликативное обратное) значение места последней цифры в качестве знаменателя при записи десятичной дроби.

Пример \(\PageIndex{1}\):

Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −15 (b) 6,81 (c) \(−3 \dfrac{6}{7}\) .

Решение

(a) −15

Запишите целое число в виде дроби со знаменателем 1.

$$\dfrac{-15}{1}$$

(б) 6,81

Запишите десятичную дробь как смешанное число.	$$6 \dfrac{81}{100}$$
Затем преобразуйте его в неправильную дробь.	$$\dfrac{681}{100}$$

(c) \(−3 \dfrac{6}{7}\)

Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.

$$- \dfrac{27}{7}$$

Упражнение \(\PageIndex{1}\):

Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −24 (b) 3,57.

Ответить на

\(\frac{-24}{1}\)

Ответ б

\(\frac{357}{100}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\):

Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −19 (b) 8,41.

Ответить на

\(\frac{-19}{1}\)

Ответ б

\(\frac{841}{100}\)

Давайте посмотрим на десятичную форму чисел, которые, как мы знаем, являются рациональными. Мы видели, что каждое целое число является рациональным числом, поскольку a = \(\dfrac{a}{1}\) для любого целого числа, a. Мы также можем преобразовать любое целое число в десятичное, добавив десятичную точку и ноль.

\[\begin{split} Целое число \qquad &-2,\quad -1,\quad 0,\quad 1,\; \; 2,\; 3 \\ Decimal \qquad &-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0 \end{split}\]

Эти десятичные числа останавливаются.

Мы также видели, что каждая дробь является рациональным числом. Посмотрите на десятичную форму дробей, которые мы только что рассмотрели.

\[\begin{split} Ratio\; из\; Целые числа \qquad \dfrac{4}{5},\quad -\dfrac{7}{8},\quad \dfrac{13}{4},\;&- \dfrac{20}{3} \\ Decimal \; формы \qquad 0.8, -0. 875, 3.25, &-6.666 \ldots \\ &-6.\overline{66} \end{split}\]

Эти десятичные дроби либо останавливаются, либо повторяются.

О чем говорят вам эти примеры? Каждое рациональное число можно записать как в виде отношения целых чисел, так и в виде десятичной дроби, которая либо останавливается, либо повторяется. В таблице ниже показаны числа, которые мы рассмотрели, выраженные в виде отношения целых чисел и десятичных дробей.

Рациональные числа
	Дроби	Целые числа
Номер	$$\dfrac{4}{5}, — \dfrac{7}{8}, \dfrac{13}{4}, \dfrac{-20}{3}$$	$$-2, -1, 0, 1, 2, 3$$
Отношение целого числа	$$\dfrac{4}{5}, \dfrac{-7}{8}, \dfrac{13}{4}, \dfrac{-20}{3}$$	$$\dfrac{-2}{1}, \dfrac{-1}{1}, \dfrac{0}{1}, \dfrac{1}{1}, \dfrac{2}{1}, \dfrac{3}{1}$$
Десятичное число	$$0,8, -0,875, 3,25, -6. \overline{6}$$	$$-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0$$

Иррациональные числа

Существуют ли десятичные дроби, которые не заканчиваются и не повторяются? Да. Число \(\pi\) (греческая буква pi, произносится как «пирог»), которое очень важно для описания кругов, имеет десятичную форму, которая не заканчивается и не повторяется.

\[\pi = 3.1415

\ldots \ldots\]

Точно так же десятичные представления квадратных корней целых чисел, которые не являются полными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются. Например,

\[\sqrt{5} = 2,236067978 \ldots \ldots\]

Десятичное число, которое не заканчивается и не повторяется, не может быть записано как отношение целых чисел. Мы называем такие числа иррациональными числами .

Определение: иррациональное число

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел. Его десятичная форма не прерывается и не повторяется.

Давайте обобщим метод, который мы можем использовать, чтобы определить, является ли число рациональным или иррациональным.

Если десятичная форма числа

• останавливается или повторяется, число является рациональным.
• не останавливается и не повторяется, число иррациональное.

Пример \(\PageIndex{2}\):

Определите каждое из следующих значений как рациональное или иррациональное: (a) 0,58\(\overline{3}\) (b) 0,475 (c) 3,605551275…

Решение

(a) 0,58\(\overline{3}\)

Полоса над цифрой 3 означает, что это повторяется. Следовательно, 0,583 — это повторяющаяся десятичная дробь, а значит, рациональное число.

(b) 0,475

Это десятичное число заканчивается после 5, поэтому это рациональное число.

(c) 3.605551275…

Многоточие (…) означает, что этот номер не заканчивается. Нет повторяющегося набора цифр. Поскольку число не останавливается и не повторяется, оно иррационально.

Упражнение \(\PageIndex{3}\):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 0,29 (b) 0,81\(\overline{6}\) (c) 2,515115111…

Ответить на

г.

рациональный

Ответ б

рациональный

Ответ c

иррациональный

Упражнение \(\PageIndex{4}\):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 0,2\(\overline{3}\) (b) 0,125 (c) 0,418302…

Ответить на

рациональный

Ответ б

г.

рациональный

Ответ c

иррациональный

Давайте теперь подумаем о квадратных корнях. Квадратные корни из полных квадратов всегда являются целыми числами, поэтому они рациональны. Но десятичные формы квадратных корней чисел, которые не являются идеальными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются, поэтому эти квадратные корни иррациональны.

Пример \(\PageIndex{3}\):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 36 (b) 44

Решение

(a) Число 36 является полным квадратом, так как 6 ² = 36. Таким образом, \(\sqrt{36}\) = 6. Следовательно, \(\sqrt{36}\) равно рациональный.

(b) Помните, что 6 ² = 36 и 7 ² = 49, поэтому 44 не является полным квадратом. Это означает, что \(\sqrt{44}\) иррационально.

Упражнение \(\PageIndex{5}\):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) \(\sqrt{81}\) (b) \(\sqrt{17}\)

Ответ

г.

рациональный

Ответ б

иррациональный

Упражнение \(\PageIndex{6}\):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) \(\sqrt{116}\) (b) \(\sqrt{121}\)

Ответить на

иррациональный

Ответ б

рациональный

Классификация действительных чисел

Мы видели, что все счетные числа являются целыми числами, все целые числа являются целыми числами и все целые числа являются рациональными числами. Иррациональные числа представляют собой отдельную категорию. Когда мы складываем рациональные числа и иррациональные числа, мы получаем набор из действительных чисел . На рисунке \(\PageIndex{1}\) показано, как связаны наборы чисел.

Рисунок \(\PageIndex{1}\) — эта диаграмма иллюстрирует отношения между различными типами действительных чисел.

Определение: Действительные числа

Действительные числа — это числа, которые могут быть как рациональными, так и иррациональными.

Вам не кажется странным термин «действительные числа»? Существуют ли числа, которые не являются «настоящими», и если да, то какими они могут быть? На протяжении веков единственными числами, о которых люди знали, были те, которые мы сейчас называем реальными числами. Затем математики открыли множество мнимых чисел . В этом курсе вы не столкнетесь с мнимыми числами, но вы столкнетесь с ними позже, изучая алгебру.

Пример \(\PageIndex{4}\):

Определите, является ли каждое из чисел в следующем списке (a) целым числом, (b) целым числом, (c) рациональным числом, (d) иррациональным числом, и (e) действительное число.

\[−7, \dfrac{14}{5}, 8, \sqrt{5}, 5.9, − \sqrt{64}\]

Решение

1. Целые числа 0, 1, 2, 3,… Число 8 — единственное целое число.
2. Целые числа — это целые числа, их противоположности и 0. Из заданных чисел −7 и 8 — целые числа. Также обратите внимание, что 64 — это квадрат числа 8, поэтому \(− \sqrt{64}\) = −8. Таким образом, целые числа равны −7, 8, \(− \sqrt{64}\).
3. Поскольку все целые числа рациональны, числа −7, 8 и \(− \sqrt{64}\) также рациональны. Рациональные числа также включают дроби и десятичные дроби, которые заканчиваются или повторяются, поэтому \(\dfrac{14}{5}\) и 5,9 являются рациональными.
4. Число 5 не является полным квадратом, поэтому \(\sqrt{5}\) иррационально.
5. Все указанные номера настоящие.

Сведем результаты в таблицу.

Номер	Целых	Целое число	Рационал	Иррациональный	Настоящий
-7		\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(\dfrac{14}{5}\)			\(\галочка\)		\(\галочка\)
8	\(\галочка\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(\sqrt{5}\)				\(\галочка\)	\(\галочка\)
5,9			\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(- \sqrt{64}\)		\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)

Упражнение \(\PageIndex{7}\):

Определите, является ли каждое число (a) целым числом, (b) целым числом, (c) рациональным числом, (d) иррациональным числом и (e) действительным числом: −3, \(− \sqrt{2}, 0. \overline{3}, \dfrac{9}{5}\), 4, \(\sqrt{49}\).

Ответить

Номер	Целиком	Целое число	Рационал	Иррациональный	Настоящий
-3		\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(-\sqrt{2}\)				\(\галочка\)	\(\галочка\)
\(0. \overline{3}\)			\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(\dfrac{9}{5}\)			\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(4\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(\sqrt{49}\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)

Упражнение \(\PageIndex{8}\):

Определите, является ли каждое число (a) целым числом, (b) целым числом, (c) рациональным числом, (d) иррациональным числом и (e) действительным числом: \(− \sqrt{25}, − \dfrac {3}{8}\), −1, 6, \(\sqrt{121}\), 2,041975…

Ответ

Номер	Целиком	Целое число	Рационал	Иррациональный	Настоящий
\(- \sqrt{25}\)		\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(-\dfrac{3}{8}\)			\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(-1\)		\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(6\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(\sqrt{121}\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)	\(\галочка\)		\(\галочка\)
\(2. 041975…\)				\(\галочка\)	\(\галочка\)

ДОСТУП К ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ РЕСУРСАМ В ИНТЕРНЕТЕ

Наборы действительных чисел

Вещественные числа

Практика делает совершенным

Рациональные числа

В следующих упражнениях запишите как отношение двух целых чисел.

1. (а) 5 (б) 3,19
2. (а) 8 (б) −1,61
3. (а) −12 (б) 9,279
4. (а) −16 (б) 4,399

В следующих упражнениях определите, какие из данных чисел рациональны, а какие иррациональны.

5. 0,75, 0,22\(\overline{3}\), 1,39174…
6. 0,36, 0,94729…, 2,52\(\overline{8}\)
7. 0.\(\overline{45}\), 1,3…, 3,59
8. 0,1\(\над чертой{3}\), 0,42982…, 1,875

В следующих упражнениях определите, является ли каждое число рациональным или иррациональным.

9. (а) 25 (б) 30
10. (а) 44 (б) 49
11. (а) 164 (б) 169
12. (а) 225 (б) 216

Классификация действительных чисел

В следующих упражнениях определите, является ли каждое число целым, целым, рациональным, иррациональным и действительным.

13. −8, 0, 1,95286…., \(\dfrac{12}{5}, \sqrt{36}\), 9
14. −9 , \(−3 \dfrac{4}{9}, − \sqrt{9}, 0,4\overline{09}, \dfrac{11}{6}\), 7
15. \(− \sqrt{100}\), −7, \(− \dfrac{8}{3}\), −1, 0,77, \(3 \dfrac{1}{4}\)

Математика на каждый день

16. Экскурсия Все пятиклассники начальной школы Линкольна отправятся на экскурсию в музей науки. С учетом всех детей, учителей и воспитателей будет 147 человек. В каждом автобусе по 44 человека.
    1. Сколько потребуется автобусов?
    2. Почему ответ должен быть целым числом?
    3. Почему нельзя округлить ответ обычным способом?
17. Уход за детьми Серена хочет открыть лицензированный детский сад. Ее штат требует, чтобы на каждого учителя приходилось не более 12 детей. Она хотела бы, чтобы ее детский сад обслуживал 40 детей.
    1. Сколько учителей потребуется?
    2. Почему ответ должен быть целым числом?
    3. Почему нельзя округлить ответ обычным способом?

Письменные упражнения

18. Своими словами объясните разницу между рациональным числом и иррациональным числом.
19. Объясните, как наборы чисел (счетные, целые, целые, рациональные, иррациональные, действительные) связаны друг с другом.

Самопроверка

(a) После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

(b) Если большинство ваших чеков:

…уверенно. Поздравляем! Вы достигли целей в этом разделе. Подумайте об учебных навыках, которые вы использовали, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы обрести уверенность в своих способностях делать эти вещи? Быть конкретной.

…с некоторой помощью. Это нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не осваиваете, становятся выбоинами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе. Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочная основа. Кого можно попросить о помощи? Ваши одноклассники и преподаватель являются хорошими ресурсами. Есть ли в кампусе место, где есть репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

… нет, я не понимаю! Это предупреждающий знак, и вы не должны его игнорировать. Вы должны немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро будете поражены. Как можно скорее обратитесь к инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы можете придумать план, как получить необходимую вам помощь.

Авторы и авторство

---

Эта страница под названием 7.1: Рациональные и иррациональные числа распространяется по недекларированной лицензии и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.