Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды: Условная и абсолютная сходимость ряда

Абсолютная и условная сходимость.

Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 7Следующая ⇒ Признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член un стремится к нулю при , то ряд сходится. Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд Составленный из абсолютных величин его членов, т. е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся. Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимости ряда в общем случае не следует расходимость ряда. Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами. Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда. Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно. Пример.Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд: Решение. Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно. Ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно. Пример.Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд: Решение. Используя признак Лейбница, получим ; , т.е. ряд сходится. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: Это геометрический ряд вида который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно. Задание.Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд: Решение. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: данный ряд сходится условно. Задание.Исследовать сходимость знакопеременного ряда: Решение. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: данный знакопеременный ряд сходится абсолютно. Вопросы для самоконтроля Что называется числовым рядом? Что называют частичными суммами ряда? Какой ряд называется геометрическим? гармоническим? В чем заключается необходимый признак сходимости ряда? Какие вы знаете достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами? Какой ряд называется знакопеременным? В чем заключается признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов?   Контрольное задание   1. Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену: u n = ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2. Найдите формулу общего члена ряда: 1 + + + … _____________________________________________________________________________ 3. Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒ Читайте также:  Как правильно слушать собеседника Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе Принятие христианства на Руси и его значение Средства массовой информации США 

Последнее изменение этой страницы: 2016-12-11; просмотров: 542; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.005 с.)

3. Знакочередующиеся ряды

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда

(11)

выполнен необходимый признак сходимости

, (12)

начиная с некоторого номера члены ряда убывают по абсолютной величине

, (13)

то ряд (11) сходится, при этом остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из слагаемых остатка:

. (14)

Проверка условия (13) иногда затруднительна. Возможен другой путь: рассмотреть ряд , составленный из абсолютных величин членов изучаемого знакочередующегося ряда, применить к нему соответствующий достаточный признак сходимости для положительных рядов, и если этот ряд сходится, то отсюда вытекает сходимость исходного знакочередующегося ряда (11).

Наконец, напомним, что числовой ряд с членами произвольных знаков называется абсолютно сходящимся, если он сходится вместе с рядом , составленным из абсолютных величин его членов (сходимость ряда следует из сходимости ряда ), и условно сходящимся, если он сам сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость рекомендуется начинать с изучения ряда на абсолютную сходимость.

Приведем образцы решений соответствующих примеров из типового расчета № 6.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Воспользуемся признаком Лейбница:

. Проверим, что :

.

Так как выполнен необходимый признак сходимости и члены ряда убывают по абсолютной величине, то по признаку Лейбница ряд сходится.

Замечание. Второе условие признака Лейбница об убывании членов ряда можно обосновать методами анализа, доказав, что у функции её производная при .

Пример 8. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

Рассмотрим ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применим к нему радикальный признак Коши:

.

Ряд из абсолютных величин членов исходного ряда сходится, следовательно, сам ряд тоже сходится. Поэтому исходный знакочередующийся ряд является абсолютно сходящимся.

Областью сходимости функционального ряда называется множество всех , при которых сходятся соответствующие числовые ряды.

Важную роль играют степенные ряды

, (15)

о сходимости которых известно следующее: если ряд сходится не при всех и не только при , то существует такое положительное число , называемое радиусом сходимости ряда, что ряд (15) сходится при и расходится при . Радиус сходимости может быть найден по формулам

, , (16)

если пределы, фигурирующие в этих формулах, существуют.

Если ряд (15) сходится при всех , то полагают . Если же ряд (15) сходится только при , то полагают . Формулы (16) для нахождения радиуса сходимости ряда применимы и в этих случаях, с той лишь оговоркой, что во второй из них соответствует случаю , а соответствует случаю .

Замечание 1. Отметим, что в случае интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (15).

Замечание 2. Заметим ещё, что в случае в граничных точках и интервала сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться. В каждой из этих точек нужно проводить дополнительное исследование, т.е. нужно исследовать сходимость числовых рядов и

Рассмотрим задания из типового расчета № 6 на определение области сходимости.

Пример 9. Найти область сходимости функционального ряда .

Так как функции , то можно применить радикальный признак Коши: . В силу свойств функции при и при таких ряд сходится. Кроме того, на границе области сходимости при исходный ряд превращается в числовой ряд , и в этой точке ряд расходится. Следовательно, область сходимости данного ряда есть интервал .

Пример 10. Определить область сходимости степенного ряда .

Найдем радиус сходимости по первой из формул (16):

.

Итак, при ряд сходится.

Исследуем теперь сходимость данного ряда на границе его интервала сходимости. При получается ряд , который расходится (это табличный ряд, получающийся из формулы (6) при ). При получается знакочередующийся ряд , для которого выполнены оба условия признака Лейбница: поэтому этот ряд сходится. Следовательно, область сходимости изучаемого степенного ряда есть промежуток .

Пример 11. Найти область сходимости степенного ряда .

Сделав замену переменной , получим степенной ряд . Вычислим радиус сходимости полученного ряда по второй из формул (16):

.

В граничных точках интервала сходимости общие члены соответствующих числовых рядов не стремятся к нулю при , и потому эти ряды расходятся. Следовательно, ряд сходится только при . Для нахождения области сходимости исходного ряда остаётся решить неравенство :

Следовательно, область сходимости исходного ряда есть интервал .

Тесты сходимости серии

— Статистика Как сделать

• Тест Абеля
• Абсолютная конвергенция
• Тесты сходимости чередующихся серий
• Удаление первых N терминов
• Тест Дирихле
• Тест прямого сравнения
• Проверка сходимости геометрических рядов
• Тесты сходимости интегральных серий
• n-й термин Тест на дивергенцию
• Серия Р
• Проверка соотношения
• Корневой тест
• Конвергенция ряда Тейлора

Что означает «конвергенция»?

• Абсолютная конвергенция
• Условная сходимость
• Поточечная сходимость
• Скорость сходимости
• Радиус и интервал сходимости
• Равномерная сходимость

Что означает «расхождение»?

Часто вам нужно знать, сходится ли ряд (то есть достигает определенного числа) или расходится (не сходится). Выяснение этого с нуля может быть чрезвычайно трудной задачей — что-то, что выходит за рамки даже курса исчисления II. К счастью, математики до вас рассчитали тесты на сходимость рядов: сходимость или расхождение многих обычных рядов. Это позволяет вам выяснить, может ли конкретный ряд сходиться или нет.

Критерий Абеля — тест сходимости бесконечных рядов; Он говорит нам, сходится ли некоторый бесконечный ряд в определенных ситуациях.

Подробнее: Тест Абеля.

Если модуль ряда

сходится, то ряд

сходится.

Если для всех n a _n положительное, невозрастающее (т. е. 0 < = a _n ) и приближается к 0, то проверка знакопеременных рядов говорит нам, что следующий чередующийся ряд сходится:

Если ряд сходится, то остаток R,sub>N = S – S _N ограничен |R _N |< = a _{N + 1} . S — точная сумма бесконечного ряда, а S _N — сумма первых N членов ряда.

Следующие ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся , если N — целое положительное число.

Критерий Дирихле является обобщением критерия переменного ряда.

Критерий Дирихле — это один из способов определить, сходится ли бесконечный ряд к конечному значению. Тест назван в честь немецкого математика XIX века Петера Густава Лежена Дирихле.

Формально критерий Дирихле утверждает, что бесконечный ряд
a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + … + a _n b _n 0 истинен, если два следующих утверждения сходится:

1. Последовательность частичных сумм
   s _n = a ₁ + a ₂ + … a _n
   — ограниченная последовательность. Другими словами, существует такое положительное число K, что
   S _n < K для всех n.
2. b ₁ + b ₂ + … b _n – монотонно убывающая последовательность (т. е. неуклонно убывающая последовательность), сходящаяся к нулю (т.е. b _n < b _n-1 и lim _{n→∞ ) б н = 0).}

Когда использовать тест Дирихле

Тест Дирихле является одним из менее известных тестов. В общем, общие правила сходимости рядов — те, которые вы изучаете в элементарном исчислении, — достаточны для проверки подавляющего большинства рядов. Но есть некоторые конкретные случаи, когда «обычные» тесты просто не работают.

Например, вы можете использовать тест отношения или тест корня, чтобы показать, что следующий степенной ряд расходится (при |z|> 1) или абсолютно сходится при |z| < 1.

Однако ни один из этих тестов не говорит вам, что происходит, когда z = 1. Для этого вы можете использовать тест Дирихле, чтобы показать, что ряд сходится (Evans, 2009).

Пример теста Дирихле

Используйте критерий Дирихле, чтобы показать, что следующий ряд сходится:

Шаг 1: Перепишите ряд в виде ₁ B ₁ + A ₂ B ₂ +… + A _N B _N :

Шаг 2: Покажите, что последовательность частичной суммы A _N связана. Один из способов решить эту проблему — оценить первые несколько сумм и посмотреть, есть ли тенденция:

• a ₂ = cos(2π) = 1
• a ₃ = cos(2π) + cos(3π) = 1 – 1 = 0
• a ₄ = cos(π) + cos(2π) + cos(3π) = 1 – 1 + 1 = 0

Получается, что последовательность частичных сумм ограничена (≤1).

Шаг 3: Оцените b _n , чтобы увидеть, уменьшается ли оно. Один из способов сделать это — построить график функции (я использовал Desmos.com):

Ясно, что функция (и, следовательно, последовательность) убывает, а предел при n→∞ равен 0. Следовательно, этот ряд сходится.

Доказательство теста Дирхле

Посмотрите следующее видео для доказательства сходимости с помощью теста Дирхле:

Доказательство того, что сумма(sin(n)/n) сходится с помощью теста Дирихле

Посмотрите это видео на YouTube.

В тесте прямого сравнения применяются следующие два правила, если 0 < = a _n <= b _n для всех n, превышающих некоторое натуральное число N. r находится между -1 и 1, тогда ряд сходится к ¹ ⁄ _{(1 – r)} .

Следующие ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся, если для всех n> = 1 f(n) = a ⁿ и f положительна, непрерывна и убывающа. Если ряд сходится, то остаток R _N ограничен

См.: Интегральный ряд / Оценка остатка.

Предельный сравнительный тест

Предельный сравнительный тест утверждает, что следующие ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся, если lim(N → ∞) ( ^{a _n} ⁄ _{b n} где a _{n >0 и L положительна и конечна}

Следующий ряд расходится, если последовательность {a _n } не сходится к 0:

Несколько примеров см.: N-й термин Тест на дивергенцию.

Если p > 1, то p-ряд сходится.
Если 0 < p < 1, то ряд расходится.

Следующие правила применяются, если для всех n n≠0. L = lim (n→ ∞)|a ^{n + 1} ⁄ _{a n} |.
Если L<1, то ряд

сходится.

Если L>1, то ряд

расходится.
Если L = 1, то проверка отношения не дает результатов.

Подробнее: Проверка отношений

Пусть L = lim(n→ ∞)|a _n | ^1/n
Если <, то ряд

сходится.
Если >, то ряд расходится.
Если L = 1, то тест неубедительный.

См.: Root Test

Ряд Тейлора сходится, если f имеет производные всех порядков на интервале «I» с центром в c, если lim(n→ infin;)RN = 0 для всех x в l:

Остаток серии Тейлора R _N = S – S _N равно (1/(n + 1)!)f ^{(n + 1)} (z)(x – c) ^{n + 1} , где z — константа между x и c.

Схождение означает расчет на определенное число . Например, ряд {9, 5, 1, 0, 0, 0} установился или сошелся на числе 0.

Интегралы, пределы, ряды и последовательности могут сходиться. Например, если лимит устанавливается на определенное (конечное) число, то лимит существует. Противоположным является diverge , где интеграл, предел, ряд или последовательность не могут установиться на числе. В случае предела, если он расходится, то его не существует.

Точечная сходимость — это когда последовательность функций сходится к одной функции, называемой предельной функцией (или предельной функцией ). Последовательность функций , обозначаемая {f _n (x)}, представляет собой семейство функций с набором параметров натуральных чисел (целых неотрицательных чисел, которые мы используем для счета, например 1, 2, 3,… ).

Например, последовательность функций f(x) = x/n сходится к предельной функции f(x) = 0 для отрезка [0, 1], как показано на следующем рисунке:
Этот ряд функций сходится поточечно к f(x) = 0.

По сравнению с равномерной сходимостью это довольно простой тип сходимости. Одно из основных различий между двумя типами сходимости состоит в том, что предельная функция поточечно сходящейся последовательности не обязательно должна быть непрерывной, а предельная функция равномерно сходящейся последовательности не обязательно должна быть непрерывной.

Тесты сходимости серии

: формальное определение поточечной сходимости

Поточечная сходимость — относительно простой способ определения сходимости для последовательности функций. Итак, вам может быть интересно, зачем вообще нужно формальное определение. Хотя сходимость кажется естественной (как показанная выше последовательность функций f(x) = x/n), не все функции ведут себя так хорошо. Чтобы показать, что ряд функций имеет поточечную сходимость, вы должны доказать, что он удовлетворяет формальному определению. Тем не менее, определение довольно простое:

Последовательность функций f _n демонстрирует поточечную сходимость для множества A, если для всех x ∈ A выполняется следующее: достигает) определенной точки или предела . Он используется как инструмент для сравнения скорости алгоритмов, особенно при использовании итерационных методов.

Существует множество различных способов расчета скорости сходимости. Один относительно простой способ — следующая формула (Senning, 2020; Hundley, 2020),

Где:

• α = порядок сходимости (действительное число > 0) последовательности. Например: 1 (линейная), 2 (квадратичная) или 3 (кубическая),
• x _n = последовательность,
• λ = асимптотическая ошибка; Действительное число ≥ 1,
• r = значение, к которому сходится последовательность.

Как правило, алгоритмы с более высоким порядком сходимости достигают своей цели быстрее и требуют меньшего количества итераций. См.: Асимптотическая ошибка.

А радиус сходимости связан со степенным рядом, который будет сходиться только для определенных значений x. Интервал, в котором происходит эта сходимость, называется интервалом сходимости и обозначается (-R, R). Буква R в этом интервале называется радиусом сходимости . Это называется «радиус», потому что, если коэффициенты являются комплексными числами, значения x (если |x| < R) образуют открытый диск радиуса R.

Хотя обычно можно сказать, что нечто сходится, если оно располагается на число, сходимость в исчислении обычно определяется более строго, в зависимости от того, равна ли сходимость условное или абсолютное .

Пример геометрического ряда. Этот абсолютно сходится.

Ряд абсолютно сходится если ряд сходится и он также сходится при замене всех членов ряда их абсолютными значениями.

Условная сходимость — это особый вид сходимости, при котором ряд сходится, если его рассматривать как целое, но расходятся абсолютные значения. Иногда его называют полусходящийся .

Ряд абсолютно сходится если ряд сходится (приближается к определенному числу) и он также сходится при замене всех членов ряда их абсолютными значениями. Другими словами,

…if |u ₁ | + |u ₂ | +… сходится, то ряд u ₁ + u ₂ +… абсолютно сходится.

Этот оператор обычно записывается с символом суммирования:

если Σ | и _н | сходится, то ряд Σ u _n имеет абсолютную сходимость.

Ряд положительных членов

Если ряд положительных членов сходится, то сходится как ряд положительных членов, так и ряд знакопеременных членов (т. е. ряд с чередующимися положительными и отрицательными членами).

Если сходящийся ряд представляет собой набор положительных членов , то этот ряд также абсолютно сходящийся. Это потому, что Σ u _n и Σ| и _н | это одна и та же серия.
Например, следующий геометрический ряд является и тем, и другим:
Геометрический ряд.

Ряды с положительными и отрицательными членами

Если сходящийся ряд имеет бесконечное число положительных членов и бесконечное число отрицательных членов, он имеет абсолютную сходимость, только если Σ| u _n также сходится.

Условная сходимость — это особый вид сходимости, при котором ряд сходится (т. е. останавливается на определенном числе), если рассматривать его как единое целое. Однако есть одна загвоздка:

• Сумма его положительных членов стремится к положительной бесконечности и
• Сумма его отрицательных членов стремится к отрицательной бесконечности.

У него есть особое свойство, называемое теоремой о рядах Римана , которое гласит, что его можно заставить сходиться к любому желаемому значению — или расходиться — путем простой перестановки членов.

Один из способов определить условно сходящийся ряд

Чтобы узнать, сходится ли ряд условно:

1. Узнать, сходится ли ряд, затем
2. Определить, что оно не является абсолютно сходящимся.
   1. Тест чередующихся рядов говорит нам, что если члены ряда чередуются по знаку (например, -x, +x, -x…), и каждый член больше, чем член после него, то ряд сходится.
   2. Возьмите абсолютные значения знакопеременного (сходящегося) ряда. Если новый (все положительные члены) ряд сходится, то ряд абсолютно сходится. Если этот новый ряд не сходится, исходный ряд сходится лишь условно.

Пример условной сходимости

Одним из примеров условно сходящегося ряда является знакопеременный гармонический ряд, который можно записать в виде:

Он сходится к пределу (ln 2) условно, но не абсолютно; создайте новый ряд, взяв абсолютное значение каждого из членов, и ваш новый ряд будет расходиться.

Понимание теоремы о рядах Римана

Может показаться нелогичным, что ряд можно заставить сходиться к чему угодно, просто переставляя члены. Но если у вас есть четко определенный предел, к которому вы хотите приблизиться, все, что вам нужно сделать, это:

1. Возьмите достаточное количество положительных членов, чтобы чуть-чуть превысить желаемый предел, затем
2. Добавьте достаточное количество отрицательных терминов, чтобы опуститься ниже желаемого предела, затем
3. Продолжайте в том же духе.

Поскольку все члены исходного ряда стремятся к нулю, новый перестроенный ряд будет сходиться к выбранному вами пределу.

В качестве примера ряда Римана рассмотрим знакопеременный гармонический ряд, который мы рассмотрели выше. Как написано, он сходится к ln2. Но можем ли мы заставить его сходиться к половине этого, (ln2)/2. Обычным способом было бы написано

1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 +….
и т. д.

Все остальные члены отрицательные. Но если мы представим это как (один положительный член) + (два отрицательных члена), мы получим это:

1 – 1/2 -1/4 + 1/3…

Мы можем переписать это как:

Что составляет половину того, к чему сходилась исходная серия.

Литература

Абсолютная и условная сходимость. Получено с https://www.math.utah.edu/lectures/math2220/22PostNotes.pdf 22 декабря 2018 г.

Неабсолютная (условная) сходимость

Ряд неабсолютно (условно) сходится, если ряд сходится, но множество абсолютных значений ряда расходится. Это также называется полусходимостью или условной сходимостью . Например, следующий знакопеременный ряд сходится:

Однако ряд

расходится.

Выбор теста сходимости ряда для положительного ряда.

Равномерная сходимость — это когда ряд непрерывных функций сходится к одной конкретной функции f(x), называемой предельной функцией . Этот тип сходимости определяется более строго, чем поточечная сходимость.

Идея равномерной сходимости очень похожа на равномерную непрерывность, когда значения должны оставаться внутри определенной «рамки» вокруг функции. Если вы не знакомы с тем, что значит быть единообразным, вы можете сначала прочитать о непрерывности единообразия.

Что означает сходимость ряда функций?

Например, ряд f(x) = x/n сходится к f(x) = 0 на отрезке [0, 1]:

Этот ряд функций равномерно сходится к f(x) = 0 , называемая ограничивающей функцией .

Обратите внимание, как наклон каждой функции становится все ниже и ниже, в конечном итоге сходясь к f(x) = 0 (что, по сути, является функцией, идущей вдоль оси x).

Хотя эти функции сходятся к предельной функции (f(x) = 0 в приведенном выше примере), последовательность может сходиться, а может и не сходиться равномерно для этой функции. Равномерная сходимость — это особый тип сходимости, при котором предельная функция должна находиться в пределах заданной «границы» вокруг двух значений: между двумя крошечными значениями («эпсилон»): -ε и ε.

Формальное определение равномерной сходимости

Последовательность непрерывных вещественных функций ( f ₁ , f ₂ … f _n ), определенная на a замкнутом интервале, [ba ] , имеет равномерную сходимость , если для всех x в области верно следующее неравенство:

| f _n (x) – f ( x )| < ε для всех x ∈ D всякий раз, когда n ≥ N ,

Где:

• N = положительное целое число, зависящее только от 9 ε, 9000
• D = домен,
• ∈ = «является элементом» (т. е. «находится в множестве»)

Следующее изображение графически поясняет, что здесь происходит:

Равномерно сходящаяся функция f(x), окруженная полосой ε. Целое число N выбирается таким образом, чтобы предельная функция f _u (x) находилась внутри полосы для всех x в области.

Точечная сходимость против равномерной сходимости

Если функция сходится равномерно, то она также сходится поточечно к тому же пределу (но обратите внимание, что это не работает наоборот). Основное отличие заключается в значениях N, от которых зависит:

• Точечный : N зависит от ε и x. Выбирается одно значение (x), затем вокруг этой точки рисуется произвольная окрестность.
• Равномерный : N зависит только от ε Окрестность рисуется вокруг всей предельной функции,.

Серийные тесты сходимости для равномерной сходимости

Равномерную сходимость можно проверить с помощью критерия Абеля или М-критерия Вейерштрасса.

История

Считается, что термин «равномерная сходимость» впервые был использован Кристофером Гудерманном в его статье 1838 года об эллиптических функциях. Термин не был официально определен до тех пор, пока Карл Вейерштрасс не написал Zur Theorie der Potenzreihen в 1841 году (Kadak, 2014).

«Расхождение» обычно означает либо:

• Рассчитывается на определенное число (т.е. имеет лимит), либо
• Не сходится.

В некоторых областях математики расхождение может просто означать «идет по другому пути» (например, в KL «Расхождение в статистике»). Однако в исчислении это почти всегда относится к ограничениям или поведению последовательностей и рядов.

Серии и последовательности, которые расходятся (тест на расхождение)

Тест на расхождение.

Серии и последовательности тоже может расходиться. В общем смысле расхождение означает, что последовательность или ряд не ограничиваются конкретным числом.

Расходящиеся ряды будут (обычно) продолжаться и продолжаться до бесконечности (т.е. эти ряды не имеют пределов). Например, ряд

9 + 11 + 13 …

будет расти вечно.

Однако не все ряды расходятся: некоторые расходятся все время , другие сходятся или расходятся при очень специфических обстоятельствах . Например:

• Ряды, которые все время расходятся, включают все бесконечные арифметические ряды и гармонические ряды.
Ряды
• , которые сходятся , иногда , включают степенные ряды, сходящиеся везде или в одной точке (вне которой ряд будет расходиться).

Доказательство расхождения (или сходимости) чрезвычайно сложно за некоторыми исключениями. Например, вы можете показать, что бесконечный ряд расходится, показав, что последовательность частичных сумм расходится.

Сравнение четырех популярных тестов (Boardman & Nleson, 2015). Тесты сходимости серии

: связанные статьи

М-тест Вейерштрасса

Тесты сходимости серии

: ссылки

Arfken, G. (1985). Математические методы для физиков, 3-е изд. Орландо, Флорида: Academic Press.
Боас, Р. и др. (1996). Учебник реальных функций. Издательство Кембриджского университета.
Браудер, А. (1996). Математический анализ: введение. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996.
Clapham, C. & Nicholson, J. (2014). Краткий Оксфордский математический словарь. ОУП Оксфорд.
Эванс, П. (2009). Math 140A Test 2. Получено 18 сентября 2020 г. с: http://math.ucsd.edu/~lni/math240/math240a_Midterm_Sample2.pdf
Hundley, D. Notes: Rate of Convergence. Получено 8 сентября 2020 г. с: http://people.whitman.edu/~hundledr/courses/M467F06/ConvAndError.pdf
Хантер, К. Последовательности и ряды функций.
Джеффрис, Х. и Джеффрис, Б.С. (1988). «Равномерная сходимость последовательностей и рядов» и сл. §1.112-1.1155 в методах математической физики, 3-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 37–43, 19.88.
Кадак, У. (2014). О равномерной сходимости последовательностей и рядов нечеткозначных функций. Получено 10 февраля 2020 г. с: https://www. hindawi.com/journals/jfs/2015/870179/
Kevrekidis, P. 132class13 (PDF). Получено 14 декабря 2018 г. с: http://people.math.umass.edu/~kevrekid/132_f10/132class13.pdf
Кнопп, К. «Равномерная сходимость». §18 в Теории функций, части I и II, два тома, связанные как один, часть I. Нью-Йорк: Довер, стр. 71–73, 1996.
Куратовски, К. (2014). Введение в исчисление. Эльзевир.
Матонлайн. Тест Дирихле на сходимость рядов действительных чисел Примеры 1. Получено 18 сентября 2020 г. с: http://mathonline.wikidot.com/dirichlet-s-test-for-convergence-examples-1
Nelson, D. (2008) . Математический словарь пингвинов. Пингвин Букс Лимитед.
Рудин В. (1976). Основы математического анализа, 3-е изд. Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 147–148.
Сеннинг, Дж. Вычисление и оценка скорости сходимости. Получено 8 сентября 2020 г. с: http://www.math-cs.gordon.edu/courses/ma342/handouts/rate.pdf
Спивак, М. (2006). Исчисление, 3-е издание. Издательство Кембриджского университета.
Васиштха, А. Алгебра и тригонометрия.
Фогель Т. Поточечная и равномерная сходимость последовательностей функций (7.1). Получено 10 февраля 2020 г. с: https://www.math.tamu.edu/~tvogel/410/sect71a.pdf
Вуд, А. (2012) Абсолютная и условная сходимость. Получено 14 декабря 2018 г. с: https://resources.saylor.org/wwwresources/archived/site/wp-content/uploads/2012/09/MA102-5.4.6-Absolute-and-Conditional-Convergence.pdf
Инфографика основана на оригинальной графике профессора Джо Калига.

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Тесты сходимости рядов» из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/sequence-and-series/series-convergence-tests/

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые решения ваших вопросов от эксперта в этой области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .

реальный анализ — Проверить на абсолютную и условную сходимость

Задавать вопрос

спросил 93)}$$

Используя тест переменного ряда, я вижу, что он удовлетворяет условию $$\lim_{n \to \infty}{b_n} = 0$$ Но я не знаю, как поступить и показать, что члены $b_n$ монотонно убывают. Также я утверждаю, что ряд не сходится абсолютно, хотя неясно, как это показать (я думал провести тест на предельное сравнение).

• реальный анализ
• последовательности-и-ряды
• конвергенция-дивергенция

$\endgroup$ 92}\right)}_{w_k}$$ поэтому данный ряд сходится, так как он представляет собой сумму двух сходящихся рядов, но он не сходится абсолютно, так как $\displaystyle\sum_k |v_k|$ расходится.