Исследовать на экстремум функцию двух переменных онлайн калькулятор: экстремум функции двух переменных — 22 Июля 2014 — Примеры решений задач

{2} + 1} = 0$$ Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Зн. экстремумы в точках:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках: $$x_{3} = 0$$ Максимумы функции в точках: $$x_{3} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Убывает на промежутках
(-oo, -0.373548376565] U [0, oo)
Возрастает на промежутках
(-oo, 0] U [3.28103090528, oo)

Также можно найти производную этой функции онлайн https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ - приравниваем ее к нулю и находим корни уравнения. Эти корни и будут экстремумами этой функции.
Можно построить график (https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/xy/) и убедиться, что мы правильно все посчитали

Содержание

Вообще - зачем нужен экстремум?

В некоторых задачах физики и экономики требуется знать при каких условиях данная величина (функция) имеет максимум или минимум - в помощь и приходит теория экстремума функции

Определение экстремума функции

Экстремумом функции называется такая точка x, при которой производная этой функции равна нулю

Точки экстремума функции, необходимые и достаточные условия экстремума

Содержание:

Определение

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой

строгого локального максимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x) \lt f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального минимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x)>f\left(x_{0}\right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_{0}$, то ее производная $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ либо равна нулю, либо не существует.{2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

Как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D - еще одна задача на условный экстремум  из числа тех, которые изучаются в курсе высшей математики.
Существуют варианты этой задачи: когда область D задана неравенством, системой неравенств, как плоская линия или множество точек на плоскости, возможно, заданных, как точки пересечения нескольких плоских линий (совокупностью или системой уравнений).

Как известно, задачи на условный экстремум в  Вольфрам Альфа решаются с помощью запросов minimizemaximize и extrema, к которым дополнительно присоединяются условия, определяющие заданную область. В этом состоит общий подход к решению подобных задач.

Первый, наиболее простой вариант этой задачи - найти наибольшее значение функции двух переменных f(x,y) в плоской области D, заданной одним неравенством, решается в  Вольфрам Альфа с помощью запроса maximize:

maximize x^2 sin(y) over 4x^2-y-1<=0

Аналогично, с помощью запроса minimize ищется наименьшее значение функции двух переменных f(x,y) в плоской области D, заданной одним неравенством:
minimize x^2 sin(y) over 4x^2-y-1<=0


Запрос extrema, как было сказано, позволяет найти сразу наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в плоской области D, заданной одним неравенством:

extrema x^2 sin(y) over 4x^2-y-1<=0


Второй вариант рассматриваемой задачи: плоская область D, ограничена несколькими линиями,.2-y-1=0, 2x+y-1=0}


Понятно, что существуют еще и другие варианты задачи "Как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x,y) в плоской области D". Надеюсь, после прочтения данного поста вам захочется рассмотреть самостоятельно.

Онлайн решение задачи по математике бесплатно

  1. Длина отрезка по координатам x,y. Простенький калькулятор, вычисляющий длину вектора по формуле
  2. Аналитическая геометрия. Мощный по своим характеристикам онлайн-калькулятор, который по координатам пирамиды определяет площадь грани, уравнения плоскостей, углы и др.
  3. По координатам вершин треугольника найти площадь, уравнения сторон, уравнение медианы, уравнение биссектрисы
  4. Площадь треугольника по координатам вершин.
  5. Уравнение прямой по координатам вершин.
  6. Угол между двумя прямыми
  7. Внутренние углы треугольника
  8. Расстояние от точки до прямой
  9. Множество точек на плоскости (Составить уравнение множества точек на плоскости)
  10. Условие коллинеарности векторов
  11. Скалярное произведение векторов
  12. Векторное произведение
  13. Момент силы относительно начала координат
  14. Площадь параллелограмма, построенного на векторах
  15. Объем пирамиды, построенной на векторах
  16. Объем параллелограмма, построенного на векторах
  17. Угол между двумя плоскостями
  18. Уравнение параллельной прямой. Составляется уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данной прямой.
  19. Уравнение перпендикулярной прямой.
  1. Определитель матрицы.
  2. Матричный калькулятор: 3A-BC+A -1
  3. Методы решения системы уравнений: метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы и другие.
  4. Координаты вектора в новом базисе. Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
  5. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
  6. Собственные числа матрицы
  7. Выделение полного квадрата (a•x 2 + b•x + c = 0)
  8. Метод неопределенных коэффициентов (преобразовать в сумму простейших дробей):
  9. Формула дискриминанта. Данный вид калькулятора используется для нахождения дискриминанта и корней функции.
  10. Деление многочленов столбиком. Данная процедура, в частности, поможет при нахождении интегралов.
  11. Решение пределов.
  12. Точки разрыва функции.
  1. Найти производную (Таблица производных) cosx + e sinx+x 3x
  2. Дифференциал функции
  3. Правило Лопиталя при вычислении пределов.
  4. Уравнение касательной к графику функции, уравнение нормали
  5. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной. Калькулятор вычисляет экстремум функции. Интервалы возрастания и убывания функции. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба.
  6. Асимптоты функции. Определение наклонных, вертикальных и горизонтальных асимптот.
  7. Построение графика функции методом дифференциального исчисления
  1. Частные производные.
  2. Экстремум функции двух переменных: нахождение минимума и максимума функции
  3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
  4. Метод множителей Лагранжа для поиска локальных экстремумов функции.
  5. Градиент функции: градиент в точке, производная по направлению вектора. Нахождение полного дифференциала функции.

С помощью сервиса WolframAlpha можно бесплатно решать многие математические задачи. Решение бесплатное и автоматическое с возможностью сохранять результаты вычислений в формате pdf. Есть возможность показать ход решения ( Show steps ).

Комплексное сопряжение
Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

Узнать стоимость за 15 минут

Исследовать на экстремум функционал

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Говорят, что $(x_0,y_0)$ – точка (локального) максимума, если для всех точек $(x,y)$ некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ выполнено неравенство $f(x,y) f(x_0,y_0)$, то точку $(x_0,y_0)$ называют точкой (локального) минимума.2>

ight|_ > 0$, то согласно алгоритму $M_3(sqrt<2>,-sqrt<2>)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:

Настал черёд вернуться к точке $M_1(0;0)$, в которой $Delta(M_1) = 0$. Согласно алгоритму требуется дополнительное исследование. Под этой уклончивой фразой подразумевается "делайте, что хотите" :). Общего способа разрешения таких ситуаций нет, – и это понятно. Если бы такой способ был, то он давно бы вошёл во все учебники. А покамест приходится искать особый подход к каждой точке, в которой $Delta = 0$. Ну что же, поисследуем поведение функции в окрестности точки $M_1(0;0)$. Сразу отметим, что $z(M_1)=z(0;0)=3$. Предположим, что $M_1(0;0)$ – точка минимума. Тогда для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) > z(M_1) $, т.е. $z(M) > 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) 3$? Тогда в точке $M_1$ точно не будет максимума.

Рассмотрим точки, у которых $y=x$, т.4+3 > 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z > 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой максимума.

Точка $M_1(0;0)$ не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. Вывод: $M_1$ вообще не является точкой экстремума.

Ответ: $(-sqrt<2>,sqrt<2>)$, $(sqrt<2>,-sqrt<2>)$ – точки минимума функции $z$. В обеих точках $z_=-5$.

Как найти?

Постановка задачи

Найти экстремум функции двух переменных $ z = z(x,y) $

План решения

Экстремумы функции двух переменных возможны в стационарных точках функции. Стационарными точками называются точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2). $, в которых первые частные производные функции равны нулю: $ z(x,y) = 0 $

Для нахождения стационарных точек (подозрительных на экстремум) составляем систему:

Решая систему получаем точки $ M(x_1,y_1), M(x_2,y_2). $, каждую из которых нужно проверить на экстремум.

Проверку осуществляется с помощью подстановки точек в выражение, называемое достаточным условием существования экстремума:

Если в точке $ M(x_1,y_1) $:

  1. $ A>0 $ и $ z»_ > 0 $, то $ M(x_1,y_1) $ точка минимума
  2. $ A >0 $ и $ z»_ 0 $ и $ z»_> 0 $, то получается $ M(0,0) $ точка минимума.2).

    Введём её в калькулятор по

    исследованию функций онлайн:

    Получим следующий результат:

    Также можно найти производную этой функции онлайн https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ — приравниваем ее к нулю и находим корни уравнения. Эти корни и будут экстремумами этой функции.
    Можно построить график (https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/xy/) и убедиться, что мы правильно все посчитали

    Вообще — зачем нужен экстремум?

    В некоторых задачах физики и экономики требуется знать при каких условиях данная величина (функция) имеет максимум или минимум — в помощь и приходит теория экстремума функции

    Определение экстремума функции

    Экстремумом функции называется такая точка x, при которой производная этой функции равна нулю

    Опубликовано: Февраль 14, 2010

    © Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Наименьшее значение функции f x. Наибольшее и наименьшее значение функции. Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$ на отрезке $$

На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения. На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума функции. На правом рисунке - на концах отрезка.

Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .

Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (

f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, - в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :

Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных

.

Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём

.

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых - монотонность .

Функция f (x ) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:

x 1 x 1 ) x 2 ).

Функция f (x ) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:

x 1 x 1 ) > f (x 2 ).

Другими словами, для возрастающей функции чем больше x , тем больше f (x ). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x , тем меньше f (x ).

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 0.

f (x ) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 0:

f (x ) = a x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит - сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax 2 + bx + c . Его график - стандартная парабола, в которой нас интересуют:

  1. Ветви параболы - могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a
  2. Вершина параболы - точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы , абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x 0 тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x 0 для квадратного трехчлена, а на функцию - забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

  1. Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a ) и f (b ) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
  2. Но таких точек всего одна - это вершина параболы x 0 , координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

  1. Выписать уравнение параболы y = ax 2 + bx + c и найти ее вершину по формуле: x 0 = −b /2a ;
  2. Найти значение исходной функции в этой точке: f (x 0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике - именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Под корнем стоит квадратичная функция y = x 2 + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x 0 = −3 функция y = x 2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x 0 - точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x 2 + 2x + 9. График - парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке x 0 = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log 2 x - монотонная, поэтому:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4x − x 2 . Перепишем ее в нормальном виде: y = −x 2 − 4x + 1.

Очевидно, что график этой функции - парабола, ветви вниз (a = −1

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Исходная функция - показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x 0 = −2:

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка , а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби - никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x 2 . Ее график - парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x 0 = −1 принадлежит отрезку ОДЗ - и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x 0 , а также на концах ОДЗ:

y (−3) = y (1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее - это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x − x 2 − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

Ищем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

  • Найти производную функции.
  • Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
  • Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
  • Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 на отрезке .

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

  • Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
  • Производная функции равна: y’ = 3x 2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
  • Нули производной: y’ = 3x 2 – 36x + 81 = 0, значит x 2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
  • Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x (x -9) 2 +23:
    • y (8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
    • y (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
    • y (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

  • Найти область определения функции.
  • Найти производную функции.
  • Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
  • Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
  • Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
  • Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции.

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word . Если же задана функция f(x,y) , следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных . Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции .

Правила ввода функций :

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f" 0 (x *) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x * первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f 0 (x) дважды дифференцируемая по x , принадлежащему множеству D . Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x * выполняется условие:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)

То точка x * - локальный (глобальный) максимум.

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке .
Решение.

Критическая точка одна x 1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку . (Точка x=0 не является критической, так как 0∉).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Ответ: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π / 3 +2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x 0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x - первое слагаемое. Тогда (49-x) - второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max

В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.


Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами

и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Очередной канун Нового Года... морозная погода и снежинки на оконном стекле... Все это побудило меня вновь написать о... фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.

Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки о фракталах, в своей статье Фракталы и искусство во имя науки написал: "Фракталы - это геометрические формы, которые в равной степени сложны в своих деталях, как и в своей общей форме. То есть, если часть фрактала будет увеличена до размера целого, она будет выглядеть, как целое, или в точности, или, возможно, с небольшой деформацией".

Исследовать на экстремум функцию заданную неявно

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М(х, у) верно неравенство , то точка М называется точкой максимума.

Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М, у) верно неравенство , то точка Мназывается точкой минимума.

Теорема (необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х, у) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку , у) будем называть критической точкой.

Теорема (достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки , у) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение: , где , , .

1) Если D(x, y) > 0, то в точке , у) функция f(x, y) имеет экстремум, если — максимум, если — минимум.

Если , то функция в точке имеет условный минимум; если — то условный максимум.

Пример 21. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:

Решение.Составим функцию Лагранжа .

Найдем частные производные и составляем необходимые условия экстремума для функции Лагранжа:

М — стационарная точка. Для исследования на экстремум в полученных критических точках вычисляем значения и составляем определитель = -12.

Т.к в точке Мфункция f(x, y) = xy имеет условный максимум.

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f (x, y)= 4x 2 у + 24хy + у 2 + 32у – 6.

Решение.Область определения D(f) – вся плоскость Оху, f (x, y) дифференцируема в каждой точке М (x; y) D(f ).

1. Найдем стационарные точки:

=>

2. Исследуем все эти точки на достаточность условий экстремума. Сначала определим отдельно

= 8у, = 8х + 24, = 2. Затем в каждой точке вычислим А, В, С, определим Δ = АСВ 2 и А:

а) М1(4; 0): А1= = 8 ∙ 0 = 0, В1= = 8 ∙ (–4) + 24 = –8, С1= = 2;

б) М2(–2; 0): А2 = = 8 ∙ 0 = 0, В2 = = 8 ∙ (–2) + 24 = 8, С2= = 2;

в) М3(–3; 2): А3 = = 8 ∙ 2 = 16, В3 = = 8 ∙ (–3) + 24 = 0, С3 = = 2;

локального минимума функции, значение которой в этой точке fmin= f (–3, 2) = –10.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию z (x, y), заданную неявно уравнением + 2у 2 – z 2 x + z = 0.

Решение.Схема исследования обычная, но необходимо учитывать неявное задание функции.

1. Необходимые условия. Положим F(x, y, z) = + 2у 2 – z 2 x + z

=> .

К третьей системе присоединили уравнение, определяющее нашу неявную функцию.

Условия у = 0 и z = x приводят исходное уравнение к видух 3 + x = 0, корни которого

x = 0, x = ± , .

Условия у = 0 и z =x приводят исходное уравнение к видух 3 – x = 0, имеющему один действительный корень x = 0. Получаем три пары (x = 0; у = 0), , .

Если x = 0, у = 0, то и z = 0, а, значит, и fx¢ = 0. Это означает, что в окрестности точки ( 0; 0) уравнение не определяет однозначную функцию, и эта точка не подлежит исследованию. Остаются две стационарные точки: М1и М2.

2. Найдем вторые производные по правилам дифференцирования неявных функций:

= = ;

= = ; = = – .

= = – , = 0, = – .

3. Проверяем точки на достаточность условий экстремума.

а) М1: А1= , В1= 0, С1= ; Δ1= А1С1В1 2 > 0, A1> 0 => точка М1точка минимума;

б) М2: А2 = – , В2 = 0, С2= = 2; Δ2= А2С2В2 2 0 => экстремума нет.

Значение экстремума z = x = = zmin.

Пример 3.Исследовать на экстремум функцию z= x 4 + у 4 .

Решение. => x = 0, y = 0 => M (0; 0) – стационарная точка.

А = = 0, В = = 0, С = = 0 => Δ = АСВ 2 = 0 => достаточные условия не дают ответа о наличии или отсутствии экстремума. Поступаем так: рассматриваем ближайшую окрестность точки М. Имеем: во всех точках, отличных от M (0; 0), z (x, y) > z (0; 0). Следовательно,

Пример 4.Исследовать на экстремум функцию z= x 4 + у 4 .

Решение.Эта функция в точке M (0; 0) экстремума не имеет, т.к. в любой

окрестности этой точки найдутся как точки, в которых z (x, y) > z (0; 0), так и

1) на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа:

если в стационарной точке d 2 F > 0 (d 2 F 0, то в точке (x, y) функция f (x, y) имеет условный минимум, если > 0

( > 0) и условный максимум, если 0 и у > 0. С учетом этого решение системы имеет вид: х = 2, у = 1, λ = 2. Т.о., имеется одна стационарная точка М (2; 1; 2). Чтобы выяснить характер условного экстремума в этой точке. Найдем второй дифференциал функции Лагранжа при λ = 2 (d 2 z = d(dz) = dx 2 +2 dx dy + dy 2 ):

d 2 F = dx 2 + 2dxdy – 2 dy 2 .

Из уравнения связи находим: dy (2; 1) = dx. Следовательно,

d 2 F (2; 1) = dx 2 + 2dx 2 = 2dx 2 2 – = => x 2 = 4 => x = 2 => y = 1.

Т.к. zx¢ = при переходе через точку x = 2 меняет знак с «+» на «–»,

то x = 2 – точка максимума и zmax = z(2; 1) = 2.

Пример 2. Найти экстремум функции z = x 2 + y 2 (параболоид вращения) при условии х + у = 1.2).

Введём её в калькулятор по исследованию функций онлайн:

Получим следующий результат:

Также можно найти производную этой функции онлайн https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ — приравниваем ее к нулю и находим корни уравнения. Эти корни и будут экстремумами этой функции.
Можно построить график (https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/xy/) и убедиться, что мы правильно все посчитали

Вообще — зачем нужен экстремум?

В некоторых задачах физики и экономики требуется знать при каких условиях данная величина (функция) имеет максимум или минимум — в помощь и приходит теория экстремума функции

Определение экстремума функции

Экстремумом функции называется такая точка x, при которой производная этой функции равна нулю

Опубликовано: Февраль 14, 2010

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Калькулятор критических точек

- Найдите критические числа

Онлайн-калькулятор критических точек поможет вам определить локальные минимумы, максимумы, стационарные и критические точки данной функции. Этот искатель критических точек различает и применяет правило мощности для определения различных точек. . С помощью этого руководства вы узнаете, как найти критические точки функции, используя правило производной и степени, и многое другое!

Что такое критические точки?

Критическая точка - это широкий термин, используемый во многих областях математики.Когда дело доходит до функций вещественных переменных, критической точкой является точка в области определения функции, в которой функция не дифференцируема. При работе с комплексными переменными критической точкой также является точка, в которой область определения функции не голоморфна или ее производная равна нулю.

Аналогично, для функции нескольких вещественных переменных критической точкой является критическое значение в пределах ее диапазона (где градиент не определен или равен нулю). Критическая точка многомерной функции - это точка, в которой частная производная первого порядка функции равна нулю.2 идет на 2x

Итак, результат: 8x

Затем калькулятор критических точек применяет правило мощности: x переходит в 1

Следовательно, x равен: 8

Результат: 8x + 8

Наконец, калькулятор критических чисел находит критические точки, полагая f '(x) = 0

8x + 8 = 0

Местные минимумы

(х, е (х)) = (-1, -4,0)

Local Maxima

(x, f (x)) = Нет локальных максимумов

Корни: [−1]

Как рассчитать критические точки для двух переменных?

Чтобы найти эти точки вручную, вам необходимо следовать этим рекомендациям:

  • Сначала запишите заданную функцию и возьмите производную всех заданных переменных.2 равно нулю.

    Теперь примените правило мощности: y переходит в 1

    Итак, производная: 8x

    Примените правило мощности: y переходит в 1

    Следовательно, производная 2y равна: 2

    Ответ: 8 x + 2

    Чтобы найти критические точки, положите f '(x, y) = 0

    8x + 8y = 0

    8x + 2 = 0

    Итак, критические числа функции:

    Корни: {x: −14, y: 14}

    Как работает калькулятор критических точек?

    Онлайн-калькулятор критических чисел находит критические точки несколькими способами, следуя этим рекомендациям:

    Ввод:
    • Сначала введите любую функцию с одной или несколькими переменными.
    • Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы просмотреть пошаговые вычисления.

    Выход:
    • Калькулятор критических точек отображает критические точки для данной функции.
    • Он использует правило производной и мощности для определения критических и стационарных точек.

    FAQ:

    Какие бывают типы критических точек?

    Критические точки - это места, где ∇f или ∇f = 0 не существует.Критическая точка - это касательная плоскость точек z = f (x, y) горизонтальна или не существует. Все локальные экстремумы и минимумы являются критическими точками.

    • Локальные минимумы в (−π2, π2), (π2, −π2),
    • Локальные максимумы в (π2, π2), (- π2, −π2),
    • Седловая точка в (0,0).

    Что делать, если критической точки нет?

    Если функция не имеет критической точки, это означает, что наклон не изменится с положительного на отрицательный и наоборот.Итак, критические точки на графике увеличиваются или уменьшаются, что можно найти путем дифференцирования и подстановки значения x.

    Заключение:

    Воспользуйтесь этим онлайн-калькулятором критических точек, который определяет критические точки как для функций с одной, так и с несколькими переменными. Он использует различные методы для точного определения локальных максимумов и минимумов для данной функции одной переменной.

    Артикул:

    Из источника Википедии: Критическая точка функции одной переменной, Расположение критических точек, Критические точки неявной кривой, Использование дискриминанта.

    Из истоков Brilliant: точка непрерывной функции, задачи оптимизации, дифференцируемая функция f, локальный экстремум, точка перегиба.

    Калькулятор относительных экстремумов

    , многопараметрический

    Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство. Тест второй частной производной. Интервал можно указать. е (х) = 3 х 2 + 6 х-1 х 2 + х-3. 3. Решите относительно x {\ displaystyle x} и y {\ displaystyle y}, чтобы получить критические точки. Как правило, нам нужно будет работать с обоими компонентами g... В исчислении одной переменной найти экстремумы функции довольно просто. калькулятор локального максимума. 2. Сортировать по: Самые популярные. 2. Глобальный экстремум - D Следовательно. Решение примера 1: сначала мы находим частные производные первого порядка. В этом разделе мы собираемся продолжить работу из предыдущего раздела. Свернуть Развернуть. При работе с функцией одной переменной определение локального экстремума включает в себя поиск интервала вокруг критической точки, при котором значение функции либо больше, либо меньше, чем все другие значения функции в этом интервале.Бесплатный онлайн-3D-графер от GeoGebra: построение трехмерных графиков, построение поверхностей, построение твердых тел и многое другое! Навигация по страницам. Похожие страницы; Смотрите также; Свяжитесь с нами; авторизуйтесь. alfabeta2 3 года назад. 2. Вычислите градиент f {\ displaystyle f} и установите для каждого компонента значение 0. Напомним, что в двух измерениях градиент ∠‡ f = (∂‚f∂x, ∂‚ˆâˆ‚y). {\ displayst ... Относительные и абсолютные экстремумы этой функции в диапазоне, называемом глобальными экстремумами [/ latex] extrema. Вы хотите найти относительные максимальное и минимальное значения отображаемой функции.Основная цель определения критических точек - найти относительные максимумы и минимумы, как в исчислении одной переменной. 3. Комментарии (8) 1. 9. Проверьте углы, если вы обнаружите глобальные экстремумы в замкнутой области. Четыре угла прямоугольной границы также необходимо учитывать, п ​​... 1. Экстремум Упражнения и решения по следующим темам: Локальный экстремум | Глобальный (абсолютный) экстремум. Google Classroom Facebook Twitter. Относительные экстремумы. 2. Тест второй частной производной. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам лучший опыт.Большое спасибо! Следующий урок. Необычный метод многомерных экстремумов. Если f (x) является (достаточно дифференцируемой) функцией одной переменной и f имеет относительный минимум или максимум (в общем случае экстремум) при x = a, то f0 (a) = 0. Интервал может быть уточненным. Calculus-Online »Решения для вычислений» Функции многих переменных »Экстремум. Раздел 3-4: Абсолютные экстремумы. Изучив эту статью, студент сможет определить абсолютные экстремумы функции двух переменных в компактной плоской области, то есть максимальное и минимальное значение функции в этой области.Получите бесплатный виджет «Относительные экстремумы» для своего веб-сайта, блога, WordPress, Blogger или iGoogle. 1. Рассмотрим функцию ниже. е {\ displaystyle f} - это дважды дифференцируемая функция двух переменных x {\ displaystyle x} и y. {\ displaystyle y.} ... Горизонтальная касательная линия показывает, что частная производная равна нулю. Этот факт приводит нас к связи между относительными экстремумами и частными производными. Критические точки функции двух переменных Функция двух переменных f имеет критическую точку в упорядоченной паре ï € ¨ï € © cd, если 8.Проверьте границы, если вы обнаружите экстремумы в замкнутой области. Для открытых доменов этот шаг не нужен. Однако, поскольку наш домен закрыт ... Используя этот веб-сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie. Также могут быть возвращены кандидаты на получение экстремальных баллов. калькулятор экстремумов. Перейти к навигации (Нажмите Enter) Перейти к основному содержанию (Нажмите Enter) Домой; Потоки; Показатель; О; Math Insight. \\ end {align *}, \\ begin {формула *} Точки \\ (A \\) и \\ (B \\) на рисунке 10.8.1 лежат на контуре \\ (f \\) и на уравнение связи \\ (g (x, y) = 108 \\ text {.возможно: URL-адрес ответа. Описание максимумов и минимумов функций с несколькими переменными, как они выглядят и немного о том, как их найти. Как доказать, что локальный экстремум - это Абсолютный экстремум на открытом интервале? Примеры: Тест второй частной производной. Я готовлюсь к экзамену по многомерному исчислению, и в домашней работе у нас всегда была конкретная задача в отношении экстремальных значений: найти абсолютные минимумы, найти локальные максимумы и т. Д. Оптимизация функций с несколькими переменными ... Может ли кто-нибудь помочь мне с примером синтаксиса для расчета максимумов и минимумы функции двух переменных f (x, y) на интервале x [-0,100], y [0,100].Горячие сетевые вопросы Могу ли я отправить обратно деньги, которые я «одолжил»… При работе с функцией… Evaluatefxx, fyy и fxy в критических точках. Калькулятор критических точек и экстремумов. https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/RelativeExtrema.aspx У меня безуспешно. Вычислите значение D, чтобы решить, соответствует ли критическая точка трехмерным графикам функций, показанным для подтверждения существования этих точек. 6. Проверьте определитель H {\ displaystyle H}. Если detH> 0 {\ displaystyle \ det H> 0} (положительно определено), то точка либо максимальная, либо минимальная... Локальные экстремумы и седловые точки многомерной функции (KristaKingMath) - YouTube. Экстремумы возвращаются как набор, а кандидаты возвращаются как набор наборов уравнений в соответствующих переменных. Wolfram | Alpha Widgets: «Калькулятор критической / седловой точки для f (x, y)» - бесплатный математический виджет. Это видео объясняет, как найти критические точки и как определить относительные экстремумы. Сайт: http://mathispower4u.com Это были критические точки, все это критические точки.Если функция имеет несколько максимальных или минимальных значений или если значение не может быть определено для всех x, попробуйте найти минимальное / максимальное значение на интервале. Многопараметрическое исчисление (новое) Частная производная; Неявная производная; Касательная к конической; Предел нескольких переменных; Кратные интегралы; Градиент (новинка) Дивергенция (новинка) Крайние точки (новинка) \ Sqrt2 $ в критических точках, обозначенных зелеными пунктирными вертикальными линиями. Теорема о значениях утверждает, что это непрерывно. Критические точки вычислителя функций многих переменных Критические точки функций многих переменных Напомним, что критическая точка функции нескольких переменных - это точка, в которой градиент функции является либо нулевым вектором 0, либо неопределенным.5. Вычислите вторые частные производные от f {\ displaystyle f} и подставьте результаты в H {\ displaystyle H}. Обратите внимание, что теорема Клеро guar ...

    Определение критических точек и определение местоположения любых относительных минимумов, максимумов и седловых точек функции f, определенной с помощью Extremum, называется точкой максимума или минимума функции. 1 Тот же вопрос Follow This Topic. Множители Лагранжа и ограниченная оптимизация. Узнать больше Принять. 2. Многопараметрический калькулятор критических точек. Используя этот сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.Найдите критические точки, установив частные производные равными нулю. Многомерное исчисление; Math 2374; Ссылки. Затем запишите функцию многомерной, которая известна как лагранжиан, в соответствующем поле ввода. Вы просто устанавливаете производную на 0, чтобы найти критические точки, и используете тест второй производной, чтобы определить, являются ли эти точки максимальными или минимальными. В математическом анализе максимумы и минимумы (соответствующие множественные числа максимума и минимума) функции, известные вместе как экстремумы (множественное число экстремумов), являются наибольшим и наименьшим значением функции, либо в заданном диапазоне (локальный или относительные экстремумы), или на всей области (глобальные или абсолютные экстремумы).By… Calculadora gratuita de po Многопараметрическое исчисление - это изучение исчисления с более чем одной переменной. Представлять на рассмотрение. Продолжить чтение Глобальный экстремум - область определения функции с фиксированными отрицательными степенями - упражнение 6551. Пример 1; Пример 2; В потоках. Решение примера 1: найдите первые частные производные f x и f y. f x (x, y) = 4x + 2y - 6 f y (x, y) = 2x + 4y Критические точки удовлетворяют уравнениям f x (x, y) = 0 и f y (x, y) = 0 одновременно. Оптимизация функций многих переменных (статьи) Максимумы, минимумы и седловые точки.Получите бесплатно Определите абсолютные экстремумы этой функции, которую мы отправили вам на вход.! Пример 2 Определите все критические точки функции. Обе эти точки называются экстремумами функции. Вершина; Примеры. Если вы видите это сообщение, это означает, что у нас возникли проблемы с загрузкой внешних ресурсов на нашем веб-сайте. Решите эти уравнения, чтобы получить значения x и y критической точки. В предыдущем разделе нас попросили найти и классифицировать все критические точки как относительные минимумы, относительные максимумы и / или седловые точки.Бесплатный калькулятор крайних точек функций - шаг за шагом находите крайние и седловые точки функций. Описание максимумов и минимумов функций с несколькими переменными, как они выглядят и немного о том, как их найти. Расширенная клавиатура; Загрузить; Примеры; Случайный; Вычисляйте ответы с помощью передовых технологий и базы знаний Wolfram, на которые полагаются миллионы студентов и профессионалов. Бесплатный калькулятор частной производной - пошаговое решение для расчета частичной дифференциации. Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить максимальное удобство использования.пробовал разные варианты. Чтобы функция с несколькими переменными, такая как z = f (x, y), была на относительном минимуме или максимуме, должны быть выполнены три условия: 1. Этот факт представляет собой разницу между вычислением свободных или абсолютных крайних значений функции двух переменных. Изучив эту статью, студент сможет определить абсолютные экстремумы функции двух переменных в компактной плоской области, то есть максимальное и минимальное значение функции в этой области. 2. Введение Когда мы работаем с закрытыми областями, мы также должны проверять границы на предмет возможных глобальных максимумов и минимумов.Минимизировать. Относительные экстремумы • Определите критические точки и найдите любые относительные минимумы, максимумы и седловые точки функции f, определяемой формулой f (x, y) = 2x 2 + 2xy + 2y 2 - 6x. (a, b)

    Найдите относительные максимумы, минимумы и седловые точки функций двух переменных. Однако вы также можете определить локальные экстремумы по контурной карте или по градиенту. Расширенная клавиатура; Загрузить; Примеры; Случайный; Вычисляйте ответы с помощью передовых технологий и базы знаний Wolfram, на которые полагаются миллионы студентов и профессионалов.Соответствует калькулятору относительного максимума, относительного минимума многопараметрической критической точки или калькулятора седловой точки f! 0 â ‹® Голосовать. (a, b) 0, то f имеет относительный максимум в точке (a, b). Определите критические точки и найдите любые относительные минимумы, максимумы и седловые точки функции f, определенные с помощью калькулятора критических точек и экстремумов. Калькулятор найдет â € ¦ https://mathinsight.org/local_extrema_introduction_two_variables Примеры вычисления критических точек и локальных экстремумов двух переменных функций.Обоснование теста второй частной производной. Рисунок 1 - Функция gx x x x () 9 24 3ï € ½ï € ï € «ï € 32 и ее относительные экстремумы. Функции с несколькими переменными также имеют высокие и низкие точки. В этом разделе методы, разработанные в предыдущей главе, будут расширены, чтобы помочь вам найти эти экстремумы. Как и следовало ожидать, эти методы будут использовать первую и вторую частные производные. На шаге 6 мы сказали, что если определитель гессиана равен 0, то проверка второй частной производной не дает результатов.Этот бесплатный калькулятор квадратной формулы решает квадратную формулу с учетом значений для a, b и c. Узнайте больше о его происхождении, а также изучите сотни других калькуляторов, охватывающих такие темы, как математика, финансы, здоровье, фитнес и многое другое. Этот факт представляет собой различие между вычислением свободных или абсолютных экстремальных значений функции двух переменных. Ярлык для поиска локальных экстремумов функции многих переменных. Многопараметрическое исчисление. Точки (x2, y2), (x4, y4) являются минимумами функции.4. Используйте матрицу Гессе для определения характеристик критических точек. Эта матрица представляет собой квадратную матрицу вторых производных. В двух тусклых ... Жанна. Калькулятор найдет критические точки, локальные и абсолютные (глобальные) максимумы и минимумы функции одной переменной.

    Из графика можно сделать вывод, что точки Экстремума называют точкой максимума или минимума функции.

    Побочные эффекты метилхалкона гесперидина, Походные ботинки Goodyear Welt, Слова из 3 букв, начинающиеся на Te, Разница между хромопластом лейкопласта и хлоропластом, Out On The Weekend аккорды для укулеле, Отель Downtown Newark Ohio, Регулируемый плечевой ремень Prada, 109-й Национальный день Бутана, Бейсбол Большого шлема Миссисипи, Женские хлопковые капри Active, Где живет Эд Оксенбо, Рабочий лист клеток животных Pdf,

    Нахождение локальных экстремумов на графическом калькуляторе

    Что такое локальные экстремумы?

    локальных экстремумов функции - это значения x , которые дадут максимальное или минимальное значение y в заданном интервале.Локальные экстремумы не могут возникнуть в конечной точке интервала. Графически максимум выглядит как самая вершина холма, а минимум - как основание и . Локальные экстремумы отличаются от глобальных экстремумов тем, что глобальные экстремумы находятся по всей области (все возможные значения x ) функции.

    Нахождение локальных экстремумов с помощью исчисления.

    Представьте, что вы едете по холму. Какое-то время вы идете в гору, достигаете вершины холма, затем начинаете спуск.Когда вы находитесь на ровной поверхности, есть момент между подъемом и спуском. Этот момент - ваш максимальный рост. Крутизна холма называется уклоном. Подъем - положительный уклон, спуск - отрицательный. В промежуточный момент, когда вы находитесь на ровной поверхности, наклон равен нулю.

    В расчетах производная функции - это наклон касательной к точке на кривой функции. Чтобы найти максимум или минимум с помощью исчисления (самый верх холма или самый низ долины), найдите точки, в которых производная равна нулю.

    Кнопки

    На графических калькуляторах TI-83/84/85/89 кнопки, которые вам нужно знать, чтобы найти максимум и минимум функции, - это y =, 2nd, calc и window.

    1. y =: Эта кнопка позволяет вам ввести функцию в банк функций. Таким образом вы сообщаете калькулятору, какую функцию вы используете. Удалите любые другие функции, которые могут уже быть там.
    2. 2nd: Эта кнопка позволяет получить доступ ко второй функции кнопок.Вам нужно будет использовать calc , который написан другим цветом. Вторая кнопка позволяет получить доступ к этой функции.
    3. Calc: находится в верхнем ряду калькулятора. После выбора этой функции калькулятор предоставит вам меню параметров. Вы захотите выбрать максимум или минимум.
    4. Окно
    5. : Часто локальные экстремумы не видны в стандартном окне (кадр 10 x 10). Вы можете настроить размер окна, чтобы увидеть интересующую вас часть.

    Шаги по использованию калькулятора экстремумов

    Калькулятор представит график функции. После выбора интервала для максимума или минимума будет найдено наибольшее или наименьшее значение y , содержащееся в этом интервале.

    Шаги
    1. Введите функцию в банк y =.
    2. Нажмите кнопку 2nd , а затем кнопку calc .
    3. Выберите максимум или минимум в зависимости от вопроса.
    4. Если локальные экстремумы плохо видны, отрегулируйте окно.
    5. На экране появится график со словами «Граница слева?» Переместите курсор влево от экстремумов, нажмите Enter.
    6. На экране появится сообщение «Правая граница?», Переместите курсор вправо от крайних точек и нажмите Enter.
    7. На экране появится сообщение «Угадай?», Нажмите «Ввод».
    8. Теперь на экране будут отображаться экстремумы в формате x и y в нижней части экрана.

    Примеры

    Пример 1

    Найдите локальные экстремумы функции f (x) в интервале от 1 до 3

    f (x) = x4-2x3-13x2 + 38x-24

    Если вы построите график этой функции, используя y = банк в стандартном окне; вы не увидите глобальных экстремумов на графике. Они за окном.

    В вопросе говорится, что экстремумы находятся в интервале от 1 до 3. Настройте окно, чтобы смотреть на этот интервал. Перейдите к кнопке «окно» на калькуляторе.Выберите X-min немного меньше, чем ваш интервал. Ноль подойдет для X-min. Выберите X-max немного больше, чем ваш интервал. В этом случае четыре подходят для вашего X-max. Теперь у вас есть более четкая картина ваших локальных экстремумов.

    1. Хит 2-й расчет
    2. Выберите максимальное или минимальное значение (для этого вопроса вы сделаете оба варианта)
    3. Следуйте подсказкам на экране

    Локальные экстремумы имеют минимум (2,6, -2,53) и максимум (1.44,2.09).

    Пример 2

    Джон хочет построить прямоугольный забор, используя 73 фута ограждения, которым он уже владеет. Три стороны прямоугольника будут ограждены, а его дом будет четвертой стороной. Площадь, ограниченная этим забором, определяется уравнением A (x) = 73x-2x2, где A (x) - это площадь в квадратных футах, а x - ширина в футах. Какие размеры дадут ему максимальную площадь?

    1. Введите уравнение в y = банк
    2. Выберите подходящее окно.Если вы используете стандартное окно для этого графика, вы не увидите ничего полезного. Какой вопрос просит вас найти? Ширина и площадь. Оба измерения должны быть положительными. Измените значения X-min и Y-min на ноль (отрицательные значения не требуются). Вы также знаете, что у него всего 73 фута ограждения, поэтому ширина не может превышать 73 фута. Измените X-max на 73. Значение y - это площадь. Выберите место, которое кажется разумным, с 73 футами ограды. Возможно, вам придется сделать небольшую оценку и подсчет.Выбираю 20 на 33 (20 + 20 + 33), вспоминая, что домик служит четвертой стороной. 20 х 33 = 660. Итак, вы можете установить Y-max примерно на 700. Если вы все еще не видите верхнюю часть параболы, увеличьте Y-max.
    3. 2nd Calc, выберите максимум
    4. Следуйте подсказкам на экране.

    Локальные экстремумы (18,25 666,13). Они соответствуют x и A (x). Вам нужно будет вычислить другую сторону (73-2 * 18,25).

    Размеры 18,25 на 36,5 футов, площадь 666.13 кв. Футов (две огражденные стороны имеют длину 18,25 футов и одна огороженная сторона - 36,5 футов)

    Сводка урока

    Когда вы находите локальные экстремумы функции, вы находите максимальное или минимальное значение которые функционируют в течение определенного интервала. Вы можете использовать графический калькулятор, чтобы найти эти экстремумы. Кнопки y =, 2nd, Calc и Window могут выявить экстремумы функции всего за несколько шагов. Если вы вводите уравнение в банк уравнений y =, выберите окно, в котором будут отображаться экстремумы, выберите 2-й расчет, выберите соответствующий минимум или максимум и следуйте подсказкам на экране; у вас будут экстремумы функции.

    4.7 Максимальные / минимальные задачи - Расчетный том 3

    Используя стратегию решения проблем, шаг 11 включает нахождение критических точек ff в его области. Поэтому сначала мы вычисляем fx (x, y) fx (x, y) и fy (x, y), fy (x, y), а затем устанавливаем их каждое равным нулю:

    fx (x, y) = 48−2x − 2yfy (x, y) = 96−2x − 18y. fx (x, y) = 48−2x − 2yfy (x, y) = 96−2x − 18y.

    Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений

    48−2x − 2y = 096−2x − 18y = 0,48−2x − 2y = 096−2x − 18y = 0.

    Решение этой системы: x = 21x = 21 и y = 3.у = 3. Следовательно, (21,3) (21,3) является критической точкой ф.ф. Вычисление f (21,3) f (21,3) дает f (21,3) = 48 (21) +96 (3) −212−2 (21) (3) −9 (3) 2 = 648.f (21,3) = 48 (21) +96 (3) −212−2 (21) (3) −9 (3) 2 = 648.

    Область определения этой функции - 0≤x≤500≤x≤50 и 0≤y≤250≤y≤25, как показано на следующем графике.

    Рис. 4.57. График области определения функции f (x, y) = 48x + 96y − x2−2xy − 9y2.f (x, y) = 48x + 96y − x2−2xy − 9y2.

    L1L1 - это отрезок прямой, соединяющий (0,0) (0,0) и (50,0), (50,0), и его можно параметризовать уравнениями x (t) = t, y (t) = 0x (t) = t, y (t) = 0 для 0≤t≤50.0≤t≤50. Затем мы определяем g (t) = f (x (t), y (t)): g (t) = f (x (t), y (t)):

    g (t) = f (x (t), y (t)) = f (t, 0) = 48t + 96 (0) −y2−2 (t) (0) −9 (0) 2 = 48t− t2.g (t) = f (x (t), y (t)) = f (t, 0) = 48t + 96 (0) −y2−2 (t) (0) −9 (0) 2 = 48т − t2.

    Установка g ′ (t) = 0g ′ (t) = 0 дает критическую точку t = 24, t = 24, которая соответствует точке (24,0) (24,0) в области f.f. Вычисление f (24,0) f (24,0) дает 576,576.

    L2L2 - это отрезок прямой, соединяющий и (50,25), (50,25), и он может быть параметризован уравнениями x (t) = 50, y (t) = tx (t) = 50, y (t ) = t для 0≤t≤25.0≤t≤25. И снова мы определяем g (t) = f (x (t), y (t)): g (t) = f (x (t), y (t)):

    g (t) = f (x (t), y (t)) = f (50, t) = 48 (50) + 96t − 502−2 (50) t − 9t2 = −9t2−4t − 100.g (t) = f (x (t), y (t)) = f (50, t) = 48 (50) + 96t − 502−2 (50) t − 9t2 = −9t2−4t − 100.

    Эта функция имеет критическую точку при t = −29, t = −29, что соответствует точке (50, −29). (50, −29). Этот пункт не входит в компетенцию f.f.

    L3L3 - это отрезок прямой, соединяющий (0,25) и (50,25), (0,25) и (50,25), и его можно параметризовать уравнениями x (t) = t, y (t) = 25x (t) = t, y (t) = 25 для 0≤t≤50.0≤t≤50. Определим g (t) = f (x (t), y (t)): g (t) = f (x (t), y (t)):

    g (t) = f (x (t), y (t)) = f (t, 25) = 48t + 96 (25) −t2−2t (25) −9 (252) = - t2−2t − 3225 .g (t) = f (x (t), y (t)) = f (t, 25) = 48t + 96 (25) −t2−2t (25) −9 (252) = - t2−2t− 3225.

    Эта функция имеет критическую точку при t = −1, t = −1, которая соответствует точке (−1,25), (- 1,25), которой нет в области определения.

    L4L4 - это отрезок линии, соединяющий (0,0) с (0,25), (0,0) с (0,25), и его можно параметризовать уравнениями x (t) = 0, y (t) = tx (t) = 0, y (t) = t для 0≤t≤25.0≤t≤25. Определим g (t) = f (x (t), y (t)): g (t) = f (x (t), y (t)):

    g (t) = f (x (t), y (t)) = f (0, t) = 48 (0) + 96t− (0) 2−2 (0) t − 9t2 = 96t − t2.g (t) = f (x (t), y (t)) = f (0, t) = 48 (0) + 96t− (0) 2−2 (0) t − 9t2 = 96t − t2.

    Эта функция имеет критическую точку при t = 163, t = 163, что соответствует точке (0,163), (0,163), которая находится на границе области. Вычисление f (0,163) f (0,163) дает 256,256.

    Нам также нужно найти значения f (x, y) f (x, y) в углах его области. Эти углы расположены в точках (0,0), (50,0), (50,25) и (0,25) 🙁 0,0), (50,0), (50,25) и (0, 25):

    f (0,0) = 48 (0) +96 (0) - (0) 2−2 (0) (0) −9 (0) 2 = 0f (50,0) = 48 (50) +96 ( 0) - (50) 2−2 (50) (0) −9 (0) 2 = −100f (50,25) = 48 (50) +96 (25) - (50) 2−2 (50) ( 25) −9 (25) 2 = −5825f (0,25) = 48 (0) +96 (25) - (0) 2−2 (0) (25) −9 (25) 2 = −3225.f (0,0) = 48 (0) +96 (0) - (0) 2−2 (0) (0) −9 (0) 2 = 0f (50,0) = 48 (50) +96 ( 0) - (50) 2−2 (50) (0) −9 (0) 2 = −100f (50,25) = 48 (50) +96 (25) - (50) 2−2 (50) ( 25) −9 (25) 2 = −5825f (0,25) = 48 (0) +96 (25) - (0) 2−2 (0) (25) −9 (25) 2 = −3225.

    Максимальное критическое значение составляет 648 648, что соответствует (21,3). (21,3). Таким образом, максимальная прибыль в размере 648 000 долларов США составляет 648 000 долларов США при продаже 21 000 21 000 мячей для гольфа и покупке 33 часов рекламы в месяц, как показано на следующем рисунке.

    Рис. 4.58. Функция прибыли f (x, y) f (x, y) имеет максимум в (21,3 648).(21 348).

    13.7: Экстремальные значения и седловые точки

    Одним из наиболее полезных приложений для производных функции одной переменной является определение максимальных и / или минимальных значений. Это приложение также важно для функций двух или более переменных, но, как мы видели в предыдущих разделах этой главы, введение большего количества независимых переменных приводит к большему количеству возможных результатов вычислений. Основные идеи поиска критических точек и использования производных тестов по-прежнему актуальны, но при оценке результатов появляются новые морщинки.

    Критические точки

    Для функций от одной переменной мы определили критические точки как значения переменной, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для функций двух или более переменных концепция по существу та же, за исключением того факта, что теперь мы работаем с частными производными.

    Определение: критические точки

    Пусть \ (z = f (x, y) \) - функция двух переменных, дифференцируемая на открытом множестве, содержащем точку \ ((x_0, y_0) \). 2 + 24y + 36x + 36 = 0.2} {9} = 1 \).

    б . Сначала мы вычисляем \ (g_x (x, y) \) и \ (g_y (x, y) \):

    \ [\ begin {align *} g_x (x, y) & = 2x + 2y + 4 \\ [4pt] g_y (x, y) & = 2x − 8y − 6. \ end {align *} \]

    Затем мы устанавливаем каждое из этих выражений равным нулю, что дает систему уравнений в \ (x \) и \ (y \):

    \ [\ begin {align *} 2x + 2y + 4 & = 0 \\ [4pt] 2x − 8y − 6 & = 0. \ end {align *} \]

    Вычитание второго уравнения из первого дает \ (10y + 10 = 0 \), поэтому \ (y = −1 \).3 + 2xy − 2x − 4y. \)

    Подсказка

    Вычислить \ (f_x (x, y) \) и \ (f_y (x, y) \), затем установить их равными нулю.

    Ответ

    Единственная критическая точка \ (f \) - это \ ((2, −5) \).

    Основной целью определения критических точек является определение относительных максимумов и минимумов, как в исчислении одной переменной. При работе с функцией одной переменной определение локального экстремума включает в себя поиск интервала вокруг критической точки, при котором значение функции либо больше, либо меньше, чем все другие значения функции в этом интервале.При работе с функцией двух и более переменных мы работаем с открытым диском вокруг точки.

    Определение: глобальные и локальные экстремумы

    Пусть \ (z = f (x, y) \) будет функцией двух переменных, которая определена и непрерывна на открытом множестве, содержащем точку \ ((x_0, y_0). \) Тогда \ (f \) имеет локальный максимум в \ ((x_0, y_0) \), если

    \ [f (x_0, y_0) ≥f (x, y) \]

    для всех точек \ ((x, y) \) внутри некоторого диска с центром в \ ((x_0, y_0) \). Число \ (f (x_0, y_0) \) называется локальным максимальным значением.Если предыдущее неравенство выполняется для каждой точки \ ((x, y) \) в области \ (f \), то \ (f \) имеет глобальный максимум (также называемый абсолютным максимумом) в \ (( x_0, y_0). \)

    Функция \ (f \) имеет локальный минимум в \ ((x_0, y_0) \), если

    \ [f (x_0, y_0) ≤f (x, y) \]

    для всех точек \ ((x, y) \) внутри некоторого диска с центром в \ ((x_0, y_0) \). Число \ (f (x_0, y_0) \) называется локальным минимальным значением. Если предыдущее неравенство выполняется для каждой точки \ ((x, y) \) в области \ (f \), то \ (f \) имеет глобальный минимум (также называемый абсолютным минимумом) в \ (( х_0, у_0) \).2 = 16. \)

    В исчислении 1 мы показали, что экстремумы функций одной переменной возникают в критических точках. То же верно и для функций более чем одной переменной, как указано в следующей теореме.

    Теорема Ферма для функций двух переменных

    Пусть \ (z = f (x, y) \) будет функцией двух переменных, которая определена и непрерывна на открытом множестве, содержащем точку \ ((x_0, y_0) \). Предположим, что \ (f_x \) и \ (f_y \) каждый существует в \ ((x_0, y_0) \). Если f имеет локальный экстремум в \ ((x_0, y_0) \), то \ ((x_0, y_0) \) является критической точкой \ (f \).2 \) (парабола, открывающаяся вниз). Следовательно, это и глобальный максимум для одной трассы, и глобальный минимум для другой.

    Определение: седловина

    Для функции \ (z = f (x, y), \) точка \ (\ big (x_0, y_0, f (x_0, y_0) \ big) \) является седловой точкой, если обе \ (f_x (x_0 , y_0) = 0 \) и \ (f_y (x_0, y_0) = 0 \), но \ (f \) не имеет локального экстремума в \ ((x_0, y_0). \)

    Тест второй производной для функции одной переменной предоставляет метод определения того, возникает ли экстремум в критической точке функции.При распространении этого результата на функцию двух переменных возникает проблема, связанная с тем, что на самом деле существует четыре различных частных производных второго порядка, хотя равенство смешанных частных сокращает их до трех. Тест второй производной для функции двух переменных, сформулированный в следующей теореме, использует дискриминант \ (D \) , который заменяет \ (f '' (x_0) \) во втором тесте производной для функции от одна переменная.

    Тест второй производной

    Пусть \ (z = f (x, y) \) - функция двух переменных, для которой частные производные первого и второго порядка непрерывны на некотором диске, содержащем точку \ ((x_0, y_0) \).2. \]

    Тогда:

    1. Если \ (D> 0 \) и \ (f_ {xx} (x_0, y_0)> 0 \), то f имеет локальный минимум в \ ((x_0, y_0) \).
    2. Если \ (D> 0 \) и \ (f_ {xx} (x_0, y_0) <0 \), то f имеет локальный максимум в \ ((x_0, y_0) \).
    3. Если \ (D <0 \), то \ (f \) имеет седловую точку в \ ((x_0, y_0) \).
    4. Если \ (D = 0 \), то проверка безрезультатна.

    См. Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \) : Тест второй производной часто может определить, имеет ли функция двух переменных локальный минимум (a), локальный максимум (b) или седловую точку (c).

    Чтобы применить тест второй производной, необходимо сначала найти критические точки функции. Вся процедура состоит из нескольких этапов, которые изложены в стратегии решения проблем.

    Стратегия решения проблем: использование теста второй производной для функций двух переменных

    Пусть \ (z = f (x, y) \) - функция двух переменных, для которой частные производные первого и второго порядка непрерывны на некотором диске, содержащем точку \ ((x_0, y_0).2 + 2xy − 6x − 3y + 4 \)

  • Решение

    а. Шаг 1 стратегии решения проблем включает нахождение критических точек \ (f \). Для этого мы сначала вычисляем \ (f_x (x, y) \) и \ (f_y (x, y) \), затем устанавливаем каждое из них равным нулю:

    \ [\ begin {align *} f_x (x, y) & = 8x + 8 \\ [4pt] f_y (x, y) & = 18y − 36. \ end {align *} \]

    Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений

    \ [\ begin {align *} 8x + 8 & = 0 \\ [4pt] 18y − 36 & = 0.\ end {align *} \]

    Решение этой системы - \ (x = −1 \) и \ (y = 2 \). Следовательно, \ ((- 1,2) \) является критической точкой \ (f \).

    Шаг 2 стратегии решения проблемы включает вычисление \ (D. 2 = 144.\)

    Шаг 3 указывает, что нужно применить четыре случая теста для классификации поведения функции в этой критической точке.

    Так как \ (D> 0 \) и \ (f_ {xx} (- 1,2)> 0, \), это соответствует случаю 1. Следовательно, \ (f \) имеет локальный минимум в \ ((- 1 , 2) \), как показано на следующем рисунке.

    Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Функция \ (f (x, y) \) имеет локальный минимум в \ ((- 1,2, −16). \) Обратите внимание на масштаб \ (y \) - ось на этом графике в тысячах.

    г.2−2x − 3 & = 0 \\ [4pt] (x − 3) (x + 1) & = 0. \ end {align *} \]

    Следовательно, \ (x = −1 \) или \ (x = 3 \). Подстановка этих значений в уравнение \ (y = \ dfrac {3−2x} {2} \) дает критические точки \ (\ left (−1, \ frac {5} {2} \ right) \) и \ ( \ left (3, - \ frac {3} {2} \ right) \).

    Шаг 2 включает вычисление вторых частных производных от \ (g \):

    \ [\ begin {align *} g_ {xx} (x, y) & = 2x \\ [4pt] g_ {xy} (x, y) & = 2 \\ [4pt] g_ {yy} (x, у) & = 2. 2 \\ [4pt] & = 4x_0−4.2 = 12−4 = 8. \ end {align *} \]

    На шаге 3 заметим, что применение примечания к точке \ (\ left (−1, \ frac {5} {2} \ right) \) приводит к случаю \ (3 \), что означает, что \ (\ left (−1, \ frac {5} {2} \ right) \) - седловая точка. Применение теоремы к точке \ (\ left (3, - \ frac {3} {2} \ right) \) приводит к случаю \ (1 \), что означает, что \ (\ left (3, - \ frac {3 } {2} \ right) \) соответствует локальному минимуму, как показано на следующем рисунке.

    Рисунок \ (\ PageIndex {6} \) : Функция \ (g (x, y) \) имеет локальный минимум и седловую точку.2. \ nonumber \]

    Подсказка

    Следуйте стратегии решения проблем для применения теста второй производной.

    Ответ

    \ (\ left (\ frac {4} {3}, \ frac {1} {3} \ right) \) - седловая точка, \ (\ left (- \ frac {3} {2}, - \ frac {3} {8} \ right) \) является локальным максимумом.

    Абсолютные максимумы и минимумы

    При нахождении глобальных экстремумов функций одной переменной на закрытом интервале мы начинаем с проверки критических значений на этом интервале, а затем оцениваем функцию в конечных точках интервала.При работе с функцией двух переменных замкнутый интервал заменяется замкнутым ограниченным множеством. Множество является ограниченным, если все точки в этом наборе могут находиться внутри шара (или диска) конечного радиуса. Во-первых, нам нужно найти критические точки внутри набора и вычислить соответствующие критические значения. Затем необходимо найти максимальное и минимальное значение функции на границе множества. Когда у нас есть все эти значения, наибольшее значение функции соответствует глобальному максимуму, а наименьшее значение функции соответствует абсолютному минимуму.Однако сначала мы должны быть уверены, что такие ценности существуют. Это делает следующая теорема.

    Теорема об экстремальном значении

    Непрерывная функция \ (f (x, y) \) на замкнутом и ограниченном множестве \ (D \) на плоскости достигает абсолютного максимального значения в некоторой точке \ (D \) и абсолютного минимального значения в некоторой точке. из \ (D \).

    Теперь, когда мы знаем, что любая непрерывная функция \ (f \), определенная на замкнутом ограниченном множестве, достигает своих крайних значений, нам нужно знать, как их найти.

    Нахождение экстремальных значений функции двух переменных

    Предположим, что \ (z = f (x, y) \) - дифференцируемая функция двух переменных, определенная на замкнутом ограниченном множестве \ (D \).Тогда \ (f \) достигнет абсолютного максимального значения и абсолютного минимального значения, которые являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями, найденными среди следующих:

    1. Значения \ (f \) в критических точках \ (f \) в \ (D \).
    2. Значения \ (f \) на границе \ (D \).

    Доказательство этой теоремы является прямым следствием теоремы об экстремальном значении и теоремы Ферма. В частности, если любой из экстремумов не находится на границе \ (D \), то он находится во внутренней точке \ (D \).Но внутренняя точка \ ((x_0, y_0) \) точки \ (D \), которая является абсолютным экстремумом, также является локальным экстремумом; следовательно, \ ((x_0, y_0) \) является критической точкой \ (f \) по теореме Ферма. Следовательно, единственными возможными значениями глобальных экстремумов \ (f \) на \ (D \) являются крайние значения \ (f \) внутри или на границе \ (D \).

    Стратегия решения проблем: поиск абсолютных максимальных и минимальных значений

    Пусть \ (z = f (x, y) \) - непрерывная функция двух переменных, определенная на замкнутом ограниченном множестве \ (D \), и предположим, что \ (f \) дифференцируема на \ (D \).Чтобы найти абсолютное максимальное и минимальное значения \ (f \) на \ (D \), выполните следующие действия:

    1. Определите критические точки \ (f \) в \ (D \).
    2. Вычислите \ (f \) в каждой из этих критических точек.
    3. Определите максимальное и минимальное значения \ (f \) на границе его области.
    4. Максимальное и минимальное значения \ (f \) будут соответствовать одному из значений, полученных на этапах \ (2 \) и \ (3 \).

    Нахождение максимального и минимального значений \ (f \) на границе \ (D \) может быть сложной задачей.Если граница представляет собой прямоугольник или набор прямых линий, то можно параметризовать линейные сегменты и определить максимумы на каждом из этих сегментов, как показано в примере \ (\ PageIndex {3} \). Тот же подход можно использовать для других фигур, таких как круги и эллипсы.

    Если граница множества \ (D \) является более сложной кривой, определяемой функцией \ (g (x, y) = c \) для некоторой константы \ (c \), и частными производными первого порядка от \ (g \) существуют, то метод множителей Лагранжа может оказаться полезным для определения экстремумов \ (f \) на границе, который вводится в множителях Лагранжа.2≤16 \)

    Решение

    а . Используя стратегию решения проблем, шаг \ (1 \) включает в себя поиск критических точек \ (f \) на его области определения. Поэтому сначала мы вычисляем \ (f_x (x, y) \) и \ (f_y (x, y) \), а затем устанавливаем их каждое равным нулю:

    \ [\ begin {align *} f_x (x, y) & = 2x − 2y − 4 \\ [4pt] f_y (x, y) & = - 2x + 8y − 2. \ end {align *} \]

    Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений

    \ [\ begin {align *} 2x − 2y − 4 & = 0 \\ [4pt] −2x + 8y − 2 & = 0.2−4 (0) −2 (2) + 24 = 36. \ end {align *} \]

    Абсолютное максимальное значение - \ (36 \), которое встречается в \ ((0,2) \), а глобальное минимальное значение - \ (20 \), которое встречается как в \ ((4,2) \) и \ ((2,0) \), как показано на следующем рисунке.

    Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): функция \ (f (x, y) \) имеет два глобальных минимума и один глобальный максимум в своей области.

    б . Используя стратегию решения проблем, шаг \ (1 \) включает в себя поиск критических точек \ (g \) на его области определения. Поэтому сначала мы вычисляем \ (g_x (x, y) \) и \ (g_y (x, y) \), а затем устанавливаем их каждое равным нулю:

    \ [\ begin {align *} g_x (x, y) & = 2x + 4 \\ [4pt] g_y (x, y) & = 2y − 6.2t + 16 \ cos t − 24 \ sin t \\ [4pt] & = 16 + 16 \ cos t − 24 \ sin t. \ end {align *} \]

    Установка \ (h ′ (t) = 0 \) приводит к

    \ [\ begin {align *} −16 \ sin t − 24 \ cos t & = 0 \\ [4pt] −16 \ sin t & = 24 \ cos t \\ [4pt] \ dfrac {−16 \ sin t} {- 16 \ cos t} & = \ dfrac {24 \ cos t} {- 16 \ cos t} \\ [4pt] \ tan t & = - \ dfrac {3} {2}. \ end {align *} \]

    Это уравнение имеет два решения в интервале \ (0≤t≤2π \). Один - это \ (t = π− \ arctan (\ frac {3} {2}) \), а другой - \ (t = 2π− \ arctan (\ frac {3} {2}) \). Для первого угла

    \ [\ begin {align *} \ sin t & = \ sin (π− \ arctan (\ tfrac {3} {2})) = \ sin (\ arctan (\ tfrac {3} {2})) = \ dfrac {3 \ sqrt {13}} {13} \\ [4pt] \ cos t & = \ cos (π− \ arctan (\ tfrac {3} {2})) = - \ cos (\ arctan (\ tfrac {3} {2})) = - \ dfrac {2 \ sqrt {13}} {13}.2 + 4 \ left (- \ tfrac {8 \ sqrt {13}} {13} \ right) −6 \ left (\ tfrac {12 \ sqrt {13}} {13} \ right) \\ [4pt] & = \ frac {144} {13} + \ frac {64} {13} - \ frac {32 \ sqrt {13}} {13} - \ frac {72 \ sqrt {13}} {13} \\ [4pt ] & = \ frac {208−104 \ sqrt {13}} {13} ≈ −12,844. \ end {align *} \]

    Для второго угла

    \ [\ begin {align *} \ sin t & = \ sin (2π− \ arctan (\ tfrac {3} {2})) = - \ sin (\ arctan (\ tfrac {3} {2})) = - \ dfrac {3 \ sqrt {13}} {13} \\ [4pt] \ cos t & = \ cos (2π− \ arctan (\ tfrac {3} {2})) = \ cos (\ arctan ( \ tfrac {3} {2})) = \ dfrac {2 \ sqrt {13}} {13}.2 + 4 \ left (\ tfrac {8 \ sqrt {13}} {13} \ right) −6 \ left (- \ tfrac {12 \ sqrt {13}} {13} \ right) \\ [4pt] & = \ dfrac {144} {13} + \ dfrac {64} {13} + \ dfrac {32 \ sqrt {13}} {13} + \ dfrac {72 \ sqrt {13}} {13} \\ [4pt ] & = \ dfrac {208 + 104 \ sqrt {13}} {13} ≈44,844. \ end {align *} \]

    Абсолютный минимум \ (g \) равен \ (- 13, \), который достигается в точке \ ((- 2,3) \), которая является внутренней точкой \ (D \). Абсолютный максимум \ (g \) приблизительно равен 44,844, что достигается в граничной точке \ (\ left (\ frac {8 \ sqrt {13}} {13}, - \ frac {12 \ sqrt {13) }} {13} \ right) \).2−8x + 2y + 3 \ nonumber \]

    в области, определяемой \ (0≤x≤2 \) и \ (- 1≤y≤3. \)

    Подсказка

    Вычислить \ (f_x (x, y) \) и \ (f_y (x, y) \) и установить их равными нулю. Затем вычислите \ (f \) для каждой критической точки и найдите экстремумы \ (f \) на границе \ (D \).

    Ответ

    Абсолютный минимум достигается при \ ((1,0): f (1,0) = - 1. \)

    Абсолютный максимум достигается при \ ((0,3): f (0,3) = 63.2, \]

    где \ (z \) измеряется в тысячах долларов. Максимальное количество мячей для гольфа, которое можно произвести и продать, составляет \ (50 000 \), а максимальное количество часов рекламы, которое можно купить, составляет \ (25 \). Найдите значения \ (x \) и \ (y \), которые максимизируют прибыль, и найдите максимальную прибыль.

    Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): (кредит: модификация работы oatsy40, Flickr)

    Решение

    Используя стратегию решения проблем, шаг \ (1 \) включает в себя поиск критических точек \ (f \) на его области определения.Поэтому сначала мы вычисляем \ (f_x (x, y) \) и \ (f_y (x, y), \), а затем устанавливаем их каждое равным нулю:

    \ [\ begin {align *} f_x (x, y) & = 48−2x − 2y \\ [4pt] f_y (x, y) & = 96−2x − 18y. \ end {align *} \]

    Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений

    \ [\ begin {align *} 48−2x − 2y & = 0 \\ [4pt] 96−2x − 18y & = 0. 2−4t − 100.2 = −3225. \ end {align *} \]

    Максимальное значение - \ (648 \), которое встречается в \ ((21,3) \). Таким образом, максимальная прибыль в размере \ (648 000 долл. США) достигается при продаже \ (21 000 \) мячей для гольфа и приобретении \ (3 \) часов рекламы в месяц, как показано на следующем рисунке.

    Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): Функция прибыли \ (f (x, y) \) имеет максимум в \ ((21,3,648) \).

    Руководство по надлежащему использованию коэффициента корреляции в медицинских исследованиях

    Malawi Med J. 2012 Сентябрь; 24 (3): 69–71.

    MM Mukaka

    1 Программа клинических исследований Malawi-Liverpool Wellcome Trust

    2 Департамент общественного здравоохранения, Медицинский колледж, Университет Малави

    3 Ливерпульская школа тропической медицины, Ливерпуль, L69 3GA , Великобритания, Ливерпульский университет

    1 Программа клинических исследований Malawi-Liverpool Wellcome Trust

    2 Департамент общественного здравоохранения, Медицинский колледж, Университет Малави

    3 Ливерпульская школа тропической медицины, Ливерпуль, L69 3GA, Великобритания, Ливерпульский университет

    Эта статья цитируется в других статьях в PMC.

    Abstract

    Корреляция - это статистический метод, используемый для оценки возможной линейной связи между двумя непрерывными переменными. Это просто и вычислить, и интерпретировать. Однако неправильное использование корреляции настолько распространено среди исследователей, что некоторые статистики хотели бы, чтобы этот метод вообще никогда не был изобретен. Цель этой статьи - предоставить руководство по правильному использованию корреляции в медицинских исследованиях и выявить некоторые злоупотребления. Были представлены примеры применения коэффициента корреляции с использованием данных статистического моделирования, а также реальных данных.Было предоставлено практическое правило для интерпретации величины коэффициента корреляции.

    Определения корреляции и пояснения

    Термин корреляция иногда используется в устном общении в широком смысле слова. Среди ученых-коллег термин корреляция используется для обозначения ассоциации, связи или любой формы отношений, ссылки или переписки. Это широкое разговорное определение иногда приводит к неправильному использованию статистического термина «корреляция» среди ученых, участвующих в исследованиях.Неправильное использование корреляции настолько распространено, что некоторые статистики хотели бы, чтобы этот метод никогда не был изобретен. 1

    Интернет-словарь Вебстера определяет корреляцию как взаимную связь между двумя или более вещами; статистика, показывающая, насколько близко друг к другу изменяются две переменные; он может варьироваться от -1 (абсолютная отрицательная корреляция) до 0 (без корреляции) до +1 (идеальная положительная корреляция). 2

    С точки зрения статистики корреляция - это метод оценки возможной двусторонней линейной связи между двумя непрерывными переменными. 1 Корреляция измеряется статистикой, называемой коэффициентом корреляции, которая представляет силу предполагаемой линейной связи между рассматриваемыми переменными. Это безразмерная величина, принимающая значение в диапазоне от -1 до +1 3 . Нулевой коэффициент корреляции указывает на отсутствие линейной зависимости между двумя непрерывными переменными, а коэффициент корреляции -1 или +1 указывает на идеальную линейную зависимость. Сила взаимосвязи может быть от -1 до +1.Чем сильнее корреляция, тем ближе коэффициент корреляции к ± 1. Если коэффициент является положительным числом, переменные напрямую связаны (т. Е. По мере увеличения значения одной переменной значение другой также имеет тенденцию к этому). Если, с другой стороны, коэффициент является отрицательным числом, переменные связаны обратно пропорционально (т. Е. По мере увеличения значения одной переменной значение другой имеет тенденцию уменьшаться). 3 Любая другая форма связи между двумя непрерывными переменными, которая не является линейной, не является корреляцией в статистическом смысле.Чтобы подчеркнуть этот момент, математическая взаимосвязь не обязательно означает наличие корреляции. Например, рассмотрим уравнение y = 2 × 2. С точки зрения статистики, неправильно говорить о корреляции между x и y. Это так, потому что, хотя связь существует, она не является линейной в этом диапазоне указанных значений x. Можно точно предсказать y для каждого значения x в заданном диапазоне, но корреляция не равна ни -1, ни +1. Следовательно, это было бы несовместимо с определением корреляции, и поэтому нельзя сказать, что x коррелирован с y.

    Типы коэффициентов корреляции

    4

    Существует два основных типа коэффициентов корреляции: коэффициент корреляции момента произведения Пирсона и коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Правильное использование типа коэффициента корреляции зависит от типа исследуемых переменных. Мы сосредоточимся на этих двух типах корреляции; другие типы основаны на них и часто используются при рассмотрении нескольких переменных.

    Коэффициент корреляции момента произведения Пирсона

    Коэффициент корреляции момента произведения Пирсона обозначается как ϱ для параметра генеральной совокупности и как r для выборочной статистики.Он используется, когда обе изучаемые переменные имеют нормальное распределение. На этот коэффициент влияют экстремальные значения, которые могут преувеличивать или ослаблять силу взаимосвязи, и поэтому неуместен, когда одна или обе переменные не имеют нормального распределения. Для корреляции между переменными x и y формула для расчета коэффициента корреляции выборки Пирсона имеет вид 3

    r = ∑i = 1n (xi − x) (yi − y) [∑i = 1n (xi− x¯) 2] [∑i = 1n (yi − y¯) 2]

    где xi и yi - значения x и y для i-го человека.

    Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

    Коэффициент ранговой корреляции Спирмена обозначается как ϱs для параметра совокупности и как rs для выборочной статистики. Это уместно, когда одна или обе переменные искажены или имеют порядковый номер 1 и устойчивы, когда присутствуют экстремальные значения. Для корреляции между переменными x и y формула для расчета выборочного коэффициента корреляции Спирмена имеет вид

    rs = 1−6∑i = 1ndi2n (n2−1), где di - разность рангов для x и y

    Различие между коэффициентами корреляции Пирсона и Спирмена в приложениях будет обсуждаться на примерах ниже.

    Связь между коэффициентом корреляции и диаграммами рассеяния с использованием статистического моделирования

    Данные, изображенные на - были смоделированы из двумерного нормального распределения 500 наблюдений со средними значениями 2 и 3 для переменных x и y соответственно. Стандартные отклонения составляли 0,5 для x и 0,7 для y. Диаграммы разброса были построены для корреляций 0,2, 0,5, 0,8 и -0,8.

    Диаграмма рассеяния x и y: корреляция Пирсона = 0,2

    Диаграмма рассеяния x и y: корреляция Пирсона = -0.80

    In диаграмма рассеяния показывает некоторый линейный тренд, но тенденция не так ясна, как у. Четко видна тенденция, и точки не так разбросаны, как точки и. То есть, чем выше корреляция в любом направлении (положительном или отрицательном), тем более линейна связь между двумя переменными и тем очевиднее тенденция на диаграмме разброса. Для и сила линейной зависимости одинакова для рассматриваемых переменных, но направление другое. В значения y увеличиваются при увеличении значений x, тогда как значения y уменьшаются при увеличении значений x.

    Диаграмма рассеяния x и y: корреляция Пирсона = 0,50

    Диаграмма рассеяния x и y: корреляция Пирсона = 0,80

    Практическое использование коэффициента корреляции

    Простое применение коэффициента корреляции можно проиллюстрировать на примере данных из выборки из 780 женщин посещение их первых посещений женской консультации (ДРП). Мы можем ожидать положительной линейной зависимости между возрастом матери в годах и количеством детей, поскольку количество детей не может уменьшаться с возрастом, но мы не можем предсказать силу этой взаимосвязи.Задача состоит в том, чтобы количественно оценить силу ассоциации. То есть нас интересует сила взаимосвязи между двумя переменными, а не направление, поскольку в этом случае направление очевидно. Материнский возраст непрерывен и обычно искажен, в то время как родство является порядковым и асимметричным. С этими шкалами измерения данных подходящий коэффициент корреляции - коэффициент Спирмена. Для этих данных коэффициент Спирмена равен 0,84. В этом случае возраст матери сильно коррелирует с паритетом, т.е.е. имеет высокую положительную корреляцию (). Коэффициент корреляции Пирсона для этих переменных равен 0,80. В этом случае два коэффициента корреляции схожи и приводят к одному и тому же выводу, однако в некоторых случаях они могут сильно отличаться, что приводит к разным статистическим выводам. Например, в той же группе женщин корреляция Спирмена между уровнем гемоглобина и паритетом составляет 0,3, а корреляция Пирсона - 0,2. В этом случае два коэффициента могут привести к разным статистическим выводам.Например, коэффициент корреляции 0,2 считается незначительной корреляцией, в то время как коэффициент корреляции 0,3 считается низкой положительной корреляцией (), поэтому было бы важно использовать наиболее подходящий. В этом случае наиболее подходящим коэффициентом является коэффициент Спирмена, поскольку четность искажена.

    Таблица 1

    Практическое правило для интерпретации размера коэффициента корреляции 4

    Размер корреляции Интерпретация
    .От 90 до 1,00 (от -,90 до -1,00) Очень высокая положительная (отрицательная) корреляция
    от 0,70 до 0,90 (от -,70 до -,90) Высокая положительная (отрицательная) корреляция
    От 0,50 до 0,70 (от -,50 до -,70) Умеренная положительная (отрицательная) корреляция
    от 0,30 до 0,50 (от -,30 до -,50) Низкая положительная (отрицательная) корреляция
    от 0,00 до 0,30 (от 0,00 до −30) незначительная корреляция

    В другом наборе данных из 251 взрослой женщины возраст и вес были преобразованы в логарифмическую форму.Причина преобразования заключалась в том, чтобы сделать переменные нормально распределенными, чтобы мы могли использовать коэффициент корреляции Пирсона. Затем мы проанализировали данные на предмет линейной связи между журналом возраста (agelog) и журналом веса (wlog). Обе переменные приблизительно нормально распределены в логарифмической шкале. В этом случае более уместен коэффициент корреляции Пирсона. Коэффициент 0,184. Это показывает, что существует незначительная корреляция между возрастом и весом по логарифмической шкале ().

    В шаблоне изменяется при более высоких значениях четности.показывает, как меняются коэффициенты корреляции Спирмена и Пирсона при исключении семи пациентов с более высокими значениями паритета. Когда семь более высоких значений четности исключаются, коэффициент корреляции Пирсона существенно изменяется по сравнению с коэффициентом корреляции Спирмена. Хотя разница в коэффициенте корреляции Пирсона до и после исключения выбросов не является статистически значимой, интерпретация может быть разной. Коэффициент корреляции 0,2 до исключения выбросов считается незначительной корреляцией, в то время как 0.3 после исключения выбросов можно интерпретировать как слабую положительную корреляцию (). Интерпретация корреляции Спирмена остается той же до и после исключения выбросов с коэффициентом корреляции 0,3. Разница в изменении между коэффициентами Спирмена и Пирсона при исключении выбросов поднимает важный вопрос при выборе подходящей статистики. Данные с нестандартным распределением могут включать значения выбросов, которые требуют использования коэффициента корреляции Спирмена.

    Диаграмма разброса гемоглобина от паритета для 783 женщин, посещавших ДРП номер 1 визита

    Таблица 2

    Коэффициенты корреляции Спирмена и Пирсона для гемоглобина от паритета

    86

    3

    6

    4


    Экстремальные значения
    включены
    Экстремальные значения
    удалены


    n r n
    9286
    Копейщик 783 0.3 776 0,3
    Коэффициент Пирсона 783 0,2 776 0,3




    для оценки силы и направления линейных отношений между парами переменных. Если обе переменные распределены нормально, используйте коэффициент корреляции Пирсона, в противном случае используйте коэффициент корреляции Спирмена.Коэффициент корреляции Спирмена более устойчив к выбросам, чем коэффициент корреляции Пирсона. Коэффициенты корреляции не передают информацию о том, перемещается ли одна переменная в ответ на другую. Нет попытки установить одну переменную как зависимую, а другую как независимую. Таким образом, отношения, выявленные с помощью коэффициентов корреляции, следует интерпретировать как отношения: ассоциации, а не причинные связи. 5 Корреляцию нельзя использовать для оценки соответствия между методами.Согласованность методов следует оценивать с использованием графиков Бланда-Альтмана 6 .

    Выражение признательности

    Я хотел бы поблагодарить доктора Сару Уайт, доктора философии, за ее комментарии во время разработки этой статьи, а также Нинке Р. ван ден Брук, доктор философии, FRCOG, DFFP, DTM & H, за то, что она позволила мне использовать подмножество ее данные для иллюстраций.

    Список литературы

    1. Альтман Д.Г. Практическая статистика для медицинских исследований. Чепмен и Холл / CRC; [Google Scholar] 3. Swinscow TDV. В: Статистика на первом месте.Девятое издание. Кэмпбелл М. Дж., Редактор. Саутгемптонский университет; Авторское право BMJ Publishing Group 1997. [Google Scholar] 4. Hinkle DE, Wiersma W, Jurs SG. Прикладная статистика для поведенческих наук. 5-е изд. Бостон: Хоутон Миффлин; 2003. [Google Scholar] 5. Кларк GM, Кук Д. Базовый курс статистики. 3-е изд [Google Scholar] 6. Альтман Д.Г., Бланд Дж. М.. Измерение в медицине: анализ сравнительных исследований методов. Статистик. 1983; 32: 307–317. [Google Scholar]

    Минимизация функции стоимости: градиентный спуск | автор: XuanKhanh Nguyen

    Итак, мы знаем, что градиентный спуск - это алгоритм оптимизации для поиска минимума функции.Как мы можем применить алгоритм к нашей линейной регрессии?

    Для применения градиентного спуска ключевым термином здесь является производная.

    1. Возьмите функцию стоимости и частную производную по отношению к тета-нулю и тета-единице, которая выглядит следующим образом:

    Чтобы взять частную производную, мы сохраняем все остальные переменные постоянными. Скажем, мы хотим взять частную производную по отношению к нулевой тэте, мы просто рассматриваем тэта-единицу как константу и наоборот.

    Но почему мы используем частные производные в уравнении? Так что у нас будет способ измерить, насколько хорошо наша функция гипотез соответствует данным. Нам нужно оценить параметры (тета-ноль и тета-один) в функции гипотезы, то есть мы хотим знать скорость изменения значений тета-нуля и тета-единицы. В исчислении частные производные представляют скорость изменения функций при изменении одной переменной, в то время как другие остаются постоянными. Мы применяем частные производные по тета-нулю и тета-единице к функции затрат, чтобы указать нам на самую низкую точку.

    2. Подключите их обратно к нашему алгоритму градиентного спуска

    Чтобы найти лучший минимум, повторите шаги, чтобы применить различные значения для тета-нуля и тета-единицы. Другими словами, повторяйте шаги до схождения.

    Процесс поиска оптимальных значений для тета-нуля и тета-единицы заключается в минимизации наших производных.

    Следовательно, чтобы найти градиент на следующем шаге итерации, мы перебираем наши точки данных, используя наши обновленные значения тета-ноль и тета-один, и вычисляем их частные производные.Этот новый градиент сообщает нам наклон нашей функции стоимости в нашей текущей позиции и направление, в котором мы должны двигаться, чтобы обновить наши параметры. Размер нашего обновления зависит от скорости обучения.

    Плюсы и минусы градиентного спуска

    • Простой алгоритм, который легко реализовать, и каждая итерация стоит недорого; нам просто нужно вычислить градиент.
    • Однако это часто происходит медленно, потому что многие интересные проблемы не являются сильно выпуклыми. данные, используемые для расчета градиента:

      • Пакетный градиентный спуск
      • Стохастический градиентный спуск
      • Мини-пакетный градиентный спуск

      Пакетный градиентный спуск

      • При пакетном градиентном спуске для вычисления градиента функции стоимости, мы вычисляем ошибку для каждого примера в наборе обучающих данных, а затем берем сумму.Модель обновляется только после оценки всех примеров.
      • Что делать, если у нас есть 1000 образцов или, в худшем случае, один миллион образцов? Алгоритм градиентного спуска потребуется запустить миллион раз. Поэтому пакетный градиентный спуск не подходит для больших наборов данных.

      Как видим, пакетный градиентный спуск здесь не является оптимальным решением. Это требует большого количества вычислительных ресурсов, так как весь набор данных должен оставаться в памяти. Итак, если нам просто нужно на шаг приблизиться к минимуму, стоит ли рассчитывать стоимость миллион раз?

      Стохастический градиентный спуск (SGD)

      • В SGD мы используем одну обучающую выборку на каждой итерации вместо использования всего набора данных для суммирования всех для каждого шага, то есть SGD выполняет обновление параметров для каждого наблюдения.Таким образом, вместо того, чтобы перебирать каждое наблюдение, достаточно одного для выполнения обновления параметра.

      Примечание. В SGD перед циклом for нам необходимо случайным образом перемешать обучающие примеры.

      • SGD обычно быстрее, чем пакетный градиентный спуск, но его путь к минимумам более случайен, чем пакетный градиентный спуск, поскольку SGD использует только один пример за раз. Но это нормально, поскольку мы равнодушны к пути, пока он дает нам минимум и более короткое время на обучение.
      • SGD широко используется для обучения больших наборов данных, в вычислительном отношении быстрее и может допускать параллельное обучение модели.

      Мини-пакетный градиентный спуск

      • Мини-пакетный градиентный спуск - это комбинация градиентного спуска ванны и стохастического градиентного спуска.
      • Мини-пакетный градиентный спуск использует n точек данных (вместо одной выборки в SGD) на каждой итерации.

      Мы узнали все, что нужно для реализации линейной регрессии. Пришло время посмотреть, как это работает с набором данных. Я многому научился, реализовав простую линейную регрессию в Python.Я надеюсь, что вы узнаете кое-что, прочитав мою заметку.

      Я загрузил метеорологические сводки Бостона из Национального управления океанических и атмосферных исследований. Вы можете искать на Kaggle соревнования, наборы данных и другие решения. В нашем наборе данных содержится информация о погодных условиях, записываемых каждый день на метеостанции. Информация включает в себя среднюю температуру (TAVG), текущий сезон в градусах охлаждения (CDSD), экстремальную максимальную температуру за период (EMXT), текущий сезон в градусах тепла (HDSD), максимальную температуру (TMAX), минимальную температуру (TMIN).В этом примере мы хотим спрогнозировать максимальную температуру, принимая входную функцию в качестве минимальной температуры.

      Давайте запачкаем руки Python, не так ли?

      Источник: giphy.com
      1. Импортировать все необходимые библиотеки:
       import pandas as pd 
      import numpy as np
      import matplotlib.pyplot as plt
      import seaborn as seabornInstance
      from sklearn.model_slection import train .linear_model import LinearRegression
      % matplotlib inline

      2. Импортируйте набор данных CSV с помощью pandas:

       df = pd.read_csv (‘clim.csv’) 
      df.dropna (inplace = True)

      Мы используем функцию dropna () для удаления отсутствующих значений.

      3. Проверьте количество строк и столбцов в наших наборах данных.

       df.shape 

      Мы должны получить вывод как (903,9), что означает, что наши данные содержат 903 строки и 9 столбцов.

      Мы можем увидеть статистические детали нашего набора данных, используя функцию describe ():

       df.description () 

      4. Визуализируйте наш набор данных, чтобы увидеть, сможем ли мы вручную найти какую-либо связь между данными.

       fig, (ax1) = plt.subplots (1, figsize = (12,6)) 
      ax1.scatter (X, y, s = 8)
      plt.title ('Min vs Max Temp')
      plt .xlabel ('TMIN')
      plt.ylabel ('TMAX')
      plt.show ()

      5. Разделите данные на «атрибуты» и «метки».

      Атрибуты - это независимые переменные, а метки - это зависимые переменные, значения которых должны быть предсказаны.В нашем наборе данных всего два столбца. Мы хотим предсказать TMAX в зависимости от записанного TMIN. Поэтому наш набор атрибутов будет состоять из столбца «TMIN», который хранится в переменной X, а меткой будет столбец «TMAX», который хранится в переменной y.

       X = df ['TMIN']. Values.reshape (-1,1) .astype ('float32') 
      y = df ['TMAX']. Values.reshape (-1,1) .astype (' float32 ')

      6. Разделите 80% данных на обучающий набор, в то время как 20% данных войдут в набор тестов.

      В переменной test_size мы указываем пропорцию набора тестов.

       X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split (X, y, test_size = 0.2, random_state = 0) 

      7. Обучите наш алгоритм.

      Для этого нам нужно импортировать класс LinearRegression, создать его экземпляр и вызвать метод fit () вместе с нашими обучающими данными.

       h = LinearRegression () 
      h.fit (X_train, y_train)
      print (h.intercept_) # для получения theta_0
      print (h.coef_) # для получения theta_1

      Результат должен быть приблизительно 16,25 для theta_0 и 1,07 для theta_1.

      8. Сделайте некоторые прогнозы.

      Для этого мы воспользуемся нашими тестовыми данными и посмотрим, насколько точно наш алгоритм предсказывает процентную оценку.

       y_pred = h.predict (X_test) 
      compare = pd.DataFrame ({'Actual': y_test.flatten (), 'Predicted': y_pred.flatten ()})
      compare
      сравнение фактического и прогнозируемого значения

      As как видно из приведенной выше таблицы, прогнозируемые проценты близки к фактическим.Построим прямую линию с данными теста:

       fig, (ax1) = plt.subplots (1, figsize = (12,6)) 
      ax1.scatter (X_test, y_test, s = 8)
      plt.plot ( X_test, y_pred, color = 'black', linewidth = 2) \
      plt.show ()

      Прогнозы довольно близки к фактическому графику, что указывает на небольшое значение дисперсии.

      9. Внедрить линейную регрессию

       # выбрать какое-нибудь случайное значение, чтобы начать с 
      theta_0 = np.random.random ()
      theta_1 = np.random.random () def hypothesis (theta_0, theta_1, X):
      return theta_1 * X + theta_0def cost_function (X, y, theta_0, theta_1):
      m = len (X)
      суммирование = 0,0
      для i в диапазоне ( m):
      суммирование + = ((theta_1 * X [i] + theta_0) - y [i]) ** 2
      возвращает суммирование / (2 * m) def gradient_descent (X, y, theta_0, theta_1, скорость обучения):
      t0_deriv = 0
      t1_deriv = 0
      m = len (X)

      для i в диапазоне (m):
      t0_deriv + = (theta_1 * X [i] + theta_0) - y [i]
      t1_deriv + = ((theta_1 * X [i] + theta_0) - y [i]) * X [i]

      theta_0 - = (1 / m) * learning_rate * t0_deriv
      theta_1 - = (1 / m) * Learning_rate * t1_deriv

      вернуть theta_0, theta_1

      обучения по умолчанию (X, y, theta_0, theta_1, learning_rate, iters):
      cost_history = [0]
      t0_history = [0]
      t1_history = [0]

      для i в диапазоне (iters):
      theta_0, theta_1 = gradient_descent (X, y, theta_0, theta_1, скорость_учения)
      t0_history.append (theta_0)
      t1_history.append (theta_1)
      cost = cost_function (X, y, theta_0, theta_1)
      cost_history.append (cost)
      if i% 10 == 0:
      print ("iter = {}, theta_0 = {}, theta_1 = {}, cost = {} ". format (i, theta_0, theta_1, cost))

      return t0_history, t1_history, cost_history

      Мы выбираем скорость обучения равной 0,01 для 2000 итераций и строим нашу функцию стоимости J

       t0_history, t1_history, cost_history = training (X, y, theta_0, theta_1, 0,01, 2000) # Постройте функцию стоимости 
      plt.title ('Функция затрат J')
      plt.xlabel ('Кол-во итераций')
      plt.ylabel ('Стоимость')
      plt.plot (cost_history)
      plt.ylim (ymin = 0)
      plt.xlim ( xmin = 0)
      plt.show ()

      Я нашел отличный способ визуализировать наши данные с помощью анимации с Matplotlib. Чтобы модель приблизилась к линии наилучшего соответствия, требуется 449 итераций.

       импортировать matplotlib.animation как animationfig = plt.figure () 
      ax = plt.axes () # настроить наш график
      plt.ylabel («TMAX»)
      plt.xlabel («TMIN»)
      plt.title ('Линейная регрессия')
      plt.scatter (X, y, color = 'gray', s = 8)
      line, = ax.plot ([], [], lw = 2)
      plt.close () # Создать данные анимации,
      def init ():
      line.set_data ([], [])
      annotation.set_text ('')
      return line, annotation # функция анимации. Это последовательно вызывается
      def animate (i):
      #print (i)
      x = np.linspace (-5, 20, 1000)
      y = past_thetas [i] [1] * x + past_thetas [i] [0 ]
      line.set_data (x, y)
      annotation.set_text ('Cost =% .2f e10'% (past_costs [i] / 10000000000))
      строка возврата, annotationanim = animation.FuncAnimation (fig, animate, init_func = init, frames = np.arange (1,400), interval = 40, blit = True) из IPython.display import HTML
      HTML (anim.to_html5_video ())

      В этой заметке мы изучили самый фундаментальный алгоритм машинного обучения - градиентный спуск. Мы реализовали простую линейную регрессию с помощью библиотеки машинного обучения Scikit-Learning. В следующем примечании мы сосредоточимся на множественной линейной регрессии.

      Самое сложное в любом начинании - это начало, и вы его прошли, так что не останавливайтесь!

      Источник: memgenerator.net

      К счастью для нас, линейная регрессия хорошо преподается почти в каждой учебной программе по машинному обучению, и есть приличное количество надежных ресурсов, которые помогут нам понять различные части модели линейной регрессии, включая математику, лежащую в основе. Ниже приведены еще несколько ресурсов, если вы захотите узнать еще больше.

      1. Оптимизация скорости обучения
      2. Устранение всех плохих локальных минимумов в глубоком обучении (Корнельский университет)
      3. Устранение всех плохих локальных минимумов в глубоком обучении (MIT)
      4. Что такое конвергенция?
      5. Зачем нужно визуализировать алгоритмы оптимизации градиентного спуска?
      6. Пример - Moneyball - Линейная регрессия
      7. Разделите данные на обучение и тестирование (80/20)
      8. Частичная производная в градиентном спуске для двух переменных
      9. Бесплатные данные для работы: Lionbridge AI, поиск по набору данных
      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *