23.2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Признаки сравнения. Интегральный признак Коши
Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:
(23.6)
(23.7)
Теорема 23.4 (первый признак сравнения). Если для всех
(23.8)
И ряд (23.7) сходится, то сходится и ряд (23.6).
Если для всех
(23.9)
И ряд (23.7) расходится, то расходится и ряд (23.6).
Теорема 23.5 (второй признак сравнения). Если существует конечный и отличный от нуля предел
(23.10)
То ряды (23.6) и (23.7) сходятся или расходятся одновременно.
Теорема 23.6 (интегральный признак Коши). Если-
Неотрицательная невозрастающая функция приТо ряд
(23.11)
Сходится или расходится одновременно с интегралом
(23.12)
Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле (23.12) может быть любое другое положительное число из области определения функции /(х). Пример 23.6. Выяснить, сходится или расходится ряд
Все члены данного ряда положительны, общий член определяется формулой .
Сравним данный ряд с геометрическим рядом
Так как
Т. е. выполнено условие (23.8) и рядСходится (геометрический ряд, для
Которого, то на основании первого признака сравнения заключаем,
Что исходный ряд также сходится.
Пример 23.7. Выяснить, сходится или расходится ряд
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом (23.5).
Поскольку
Т. е. выполнено условие (23.10), то из расходимости гармонического ряда следует расходимость данного ряда.
Пример 23.8. С помощью интегрального признака Коши доказать сходимость ряда
Рассмотрим функциюЭта функция удовлетворяет условиям
Интегрального признака Коши: она принимает положительные значения и убывает с возрастаниемПричемИсследуем сходимость интеграла
(23.12) для данного случая:
Так как интеграл сходится, то сходится и данный ряд.
Пример 23.9. С помощью интегрального признака Коши исследовать,
Сходится или расходится ряд
ФункцияУдовлетворяет условиям теоремы 23.
6.Т. е. интеграл расходится, то расходится и данный ряд.
Пример 23.11. Исследовать, при каких р сходится ряд Дирихле
(23.13)
ЕслиТо общий член ряда не стремится к нулю,По
Этому ряд расходится (на основании следствия из необходимого признака сходимости). В случаеПрименим интегральный признак Коши. Функция
Положительна и не возрастает приПустьПоложив
Получим
Т. е. интеграл вида (23.12) расходится, то расходится и данный ряд.
Пр и мер 23.10. Исследовать, сходится или расходится данный ряд
Применим интегральный признак, рассмотрим функциюТак как
Поскольку интеграл вида (23.12) сходится, то сходится и ряд Дирихле. ЕслиТо
Интеграл расходится, поэтому расходится и ряд Дирихле (приПолучаем гармонический ряд).
Итак, ряд Дирихле сходится приИ расходится при
Замечание. Сходимость многих рядов может быть исследована сравнением с соответствующим рядом Дирихле. Вопрос о сходимости ряда
(23.14)
ГдеИ- многочлены отСтепениИСоответственно, решается
Сравнением с рядом Дирихле, гдеПри этом целесообразно
Применять второй признак сравнения.
П р и м е р 23.12. Доказать сходимость ряда Преобразуем формулу для общего члена данного ряда:
Рассмотрим ряд с общим членомРяд
Сходится, ибо это ряд вида (23.13), гдеТак как
Т. е. выполнено условие (23.10), то данный ряд также сходится.
Пример 23.13. Исследовать сходимость ряда
Это ряд вида (23.14), причем
Так какСравним данный
Ряд с рядомКоторый является рядом Дирихле и сходится, ибо
Поскольку
Т. е. выполнено условие (23.10), то данный ряд сходится.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Глава 93. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости
Ряды с неотрицательными членами часто встречаются в различных приложениях. Сразу отметим основное свойство таких рядов: Последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами является неубывающей.
Теорема
Для того чтобы ряд с неотрицательными членами Сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была Ограничена.
Доказательство
По определению сходящегося ряда последовательность его частичных сумм сходится, значит, она необходимо ограничена. Что касается достаточности, то ограниченная монотонная неубывающая последовательность сходится в силу признака сходимости монотонной последовательности.
Определим несколько признаков, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость числового ряда.
Теорема
Пусть для двух рядов с неотрицательными членами
(9.3.1) | |
(9.3.2) |
Выполняется неравенство для всех . Тогда из Сходимости ряда (9.3.2) следует Сходимость ряда (9.3.1).
Рассмотрим несколько Примеров применения Теоремы 2 по установлению сходимости (расходимости) неотрицательных рядов.
Пример
Исследовать сходимость ряда .
Решение
Поскольку при , а ряд сходится (сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии), то Сходится и данный ряд.
Пример
Исследовать сходимость ряда .
Решение
Так как для достаточно больших (это легко проверить по правилу Лопиталя для функции при , ), то . Ряд расходится, значит Расходится и данный ряд.
Теорема
Пусть ряд (9.3.1) – ряд с неотрицательными членами, а ряд (9.3.2) – ряд с положительными членами. Если существует предел
, | (9.3.3) |
То оба ряда Сходятся Или Расходятся одновременно.
Теорема (признак Даламбера)
Пусть для ряда (9.3.1) с положительными членами существует предел
. | (9.3.4) |
Тогда этот ряд Сходится при и Расходится при .
Замечание
При необходимо дополнительное исследование ряда с других признаков, так как в этом случае ряд (9.3.1) может как сходится, так и расходится.
В качестве применения признака Даламбера исследуем сходимость следующих рядов.
Пример
Исследовать сходимость ряда , .
Решение
Составим соотношение и перейдем к пределу(9.3.4).
. По признаку Даламбера имеем: если . то данный ряд Расходится, если же , то данный ряд Сходится.
Пример
Исследовать сходимость ряда , .
Решение
Находим предел отношения
Т. е. при данный ряд Сходится, при он Расходится.
Теорема (признак Коши)
Если существует предел
, | (9.3.5) |
То ряд (9.3.1) сходится при и Расходится при .
Пример
Исследовать сходимость ряда , где .
Решение
Применяя признак Коши, получаем . Следовательно, при данный ряд Сходится, а при он Расходится.
Теорема (интегральный признак сходимости)
Пусть функция непрерывная, положительная и убывающая всюду на промежутке . Тогда числовой ряд
(9. |
Сходится вместе с несобственным интегралом
. | (9.3.7) |
Пример
Исследовать сходимость ряда , .
Решение
Членами этого ряда являются значения функции в целочисленных точках. Ранее было исследовано, что соответствующий несобственный интеграл первого рода сходится при и расходится при . Следовательно, данный ряд также сходится при и расходится при . В частности, отсюда следует расходимость так называемого Гармонического ряда:
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
— Исследуйте сходимость ряда
Задавать вопрос
спросил
Изменено 6 лет, 2 месяца назад
Просмотрено 638 раз
$\begingroup$
92+1}\geq \frac{1}{n+1}$$ эквивалентно $$n\geq 1$$, что верно.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почтаТребуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Ratio Test — Расчет 2
Все ресурсы расчета 2
9 Диагностические тесты 308 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Следующая →
Исчисление 2 Помощь » Серия по исчислению » Конвергенция и дивергенция » Ratio Test
Определите сходимость или расхождение следующего ряда:
Возможные ответы:
Ряд может быть условно сходящимся, расходящимся или абсолютно сходящимся.
Ряд условно сходящийся
Ряд сходящийся
Ряд расходящийся
Правильный ответ:
Ряд расходящийся
Объяснение:
Чтобы определить сходимость или расхождение следующего ряда, мы должны использовать тест отношения, который утверждает, что для ряда , и что, когда , ряд расходится, когда , ряд сходится, и когда , ряд может быть абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся.
Для нашего ряда, используя приведенную выше формулу, мы получаем
, что в упрощенном виде становится
Обратите внимание, что факториал был упрощен путем перезаписи.
В пределе n в числителе стремится к бесконечности, поэтому L стремится к бесконечности, что больше 1. Таким образом, ряд расходится.
Сообщить об ошибке
Определить, сходится или расходится ряд:
Возможные ответы:
Ряд может сходиться абсолютно, сходиться условно или расходиться
Ряд условно сходится
Ряд сходится
Ряд расходится
Правильный ответ:
Ряд сходится
Объяснение:
Чтобы определить сходимость или расхождение ряда, мы должны использовать критерий отношения, который утверждает, что для данного ряда , и , если L больше 1, ряд расходится, если меньше 1, ряд сходится , а если L равно 1, то ряд может сходиться абсолютно, условно сходиться или расходиться.
Теперь мы должны найти L:
Мы упростили предел, используя свойства радикалов и показателей степени. Знаменатель предела становится бесконечно большим, поэтому член стремится к нулю. Следовательно, L меньше 1, поэтому ряд сходится.
Сообщить об ошибке
Определить, сходится ряд (абсолютно или условно) или расходится:
Возможные ответы:
Может абсолютно или условно сходится или расходиться.
Расходится
Абсолютно сходится
Условно сходится
Правильный ответ:
Абсолютно сходится
Объяснение:
Используя тест отношения, мы получаем . Оценив лимит, получим . Потому что ряд сходится. Кроме того, поскольку никакое значение n не может сделать ряд отрицательным, он абсолютно сходится.
Сообщить об ошибке
Определить, сходится или расходится ряд:
Возможные ответы:
Абсолютно сходится
Дивергги
могут сходиться или расходиться
Собрание
Правильный ответ:
Diverges
Объяснение:
Используя тест отношений, мы получаем и, следовательно, ряд расходится.
Мы упрощаем внутреннюю часть, говоря и то , что сокращается со знаменателем.
Сообщить об ошибке
Сходится ли ряд?
Возможные ответы:
сходиги
не сходится
Собрание условно
сходится в интервале
Правильный ответ:
сходящие
. Объяснение:
Сообщить об ошибке
Сходится или расходится следующий ряд?
Возможные ответы:
Сходимость
Расхождение
Правильный ответ:
Дивердж
Объяснение:
Для определения сходимости или расхождения рядов наиболее очевидным способом является использование теста отношений. Тест отношения утверждает, что ряд будет сходиться, если:
Ряд будет расходиться, если:
Тест отношения можно использовать, сначала записав все n как n+1 в числителе, а знаменатель — нормальный ряд :
Это упрощает до:
Поскольку предел больше единицы, ряд расходится.
Сообщить об ошибке
Сходится или расходится следующий ряд?
Возможные ответы:
Расходятся
Абсолютно сходятся
Ряд либо расходится, либо абсолютно сходится, либо условно сходится.
Условно сходятся
Правильный ответ:
Расходятся
Объяснение:
Для определения сходимости или расхождения рядов наиболее очевидным способом является использование теста отношений. Тест отношения утверждает, что ряд будет сходиться, если:
Ряд будет расходиться, если:
Тест отношения можно использовать, сначала записав все n как n+1 в числителе, а знаменатель представляет собой нормальный ряд :
Это упрощает до:
Поскольку предел больше единицы, ряд расходится.
Отчет о ошибке
Тест предельного соотношения использования для положительного ряда, чтобы определить, расходится ли следующая серия или сходимость:
Возможные ответы:
Конвергии
Diverges
Правильный ответ:
Converges
Правильный ответ: 9000
Converges
. Объяснение: Рассмотрим следующий предел: Следовательно, Тогда, в соответствии с тестом отношения пределов для положительной серии: K=1, поэтому и сходятся, и расходятся. Мы знаем, что это обобщенный гармонический ряд с p=3, поэтому он сходится. Соответственно, по критерию предельного отношения также сходится. Сообщить об ошибке Вычислите предел, чтобы определить, сходится или расходится ряд , используя тест отношения. Возможные ответы: Ряд расходится. L = 2/3 Ряд абсолютно сходится, а значит сходится. L = 2/3 Ряд абсолютно сходится, а значит сходится. L = 1/9 Ряд расходится. L = 1/9 Ряд может быть расходящимся, условно сходящимся или абсолютно сходящимся. L = 1 Правильный ответ: Ряд абсолютно сходится, а значит сходится. Д = 1/9 Объяснение: Вычислите предел, чтобы определить, сходится или расходится ряд , или ни то, ни другое. ______________________________________________________________ Определить для последовательности предел. Тест отношения утверждает: ряд Если тогда ряд сходится абсолютно и, следовательно, сходится. Если то ряд расходится. Если то ряд либо сходится абсолютно, либо расходится, либо сходится условно. ____________________________________________________________________________ , чтобы написать числитель в пределах, который нам необходимо, чтобы вычислить, обратите внимание, что каждый станет, который упростит до.
