Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле онлайн: Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Решение : В исходном интеграле порядок интегрирования $dx\,dy$. Этот порядок интегрирования соответствует интегрированию сначала по $x$ (т. е. суммированию по строкам на рисунке ниже), а затем интегрированию по $y$ (т. е. суммированию значений для каждой строки). Наша задача — заменить интегрирование на $dy\,dx$, что означает сначала интегрирование по $y$. 91=e$, а точка $(e,1)$.

Чтобы изменить порядок интегрирования, нужно записать интеграл порядка $dy\,dx$. y$ для красной кривой как $y=\log x$, диапазон $y$ равен $\log x \le y \le 1$. (Функция $\log x$ указывает на натуральный логарифм, который иногда мы записываем как $\ln x$.) 92}$, поэтому вы застряли, пытаясь вычислить интеграл с помощью относительно $y$. Но если изменить порядок интегрирования, то можно сначала проинтегрировать по $x$, что выполнимо. И это оказывается, что интеграл по $y$ также становится возможным после того, как мы закончим интегрирование по $x$.

В соответствии с пределами интегрирования данного интеграла область интегрирования \начать{собирать*} 0 \le x \le 1\\ х \ле у \ле 1, \end{собрать*} что показано на следующем рисунке. 91 f(x,y)dy\,dx \end{собрать*}

Решение : Область $\dlr$, описываемая этим интегралом, равна \начать{собирать*} \пи/2 \ле х \ле 5\пи/2\\ \sin x \le y \le 1. \end{собрать*} как показано на следующем изображении, где общий диапазон для $x$ показан серой полосой под областью, а границы переменных для $y$ показаны синей и голубой кривыми.

Один из приемов замены переменных в этой области заключается в правильной работе с нижней границей $y = \sin(x)$. Когда мы решаем это граничное уравнение для $x$ как функции $y$, у нас может возникнуть соблазн записать его в виде $x = \arcsin(y)$ и даже подумать, что $x \le \arcsin(y)$ в регионе.

Присмотревшись к картинке, мы видим, что это не так. На самом деле нижняя граница $y$ как функции $x$ (синяя кривая) должна быть как верхней, так и нижней границей $x$ как функции $y$, как показано красной и фиолетовой линиями. кривые на рисунке ниже.

Чтобы получить формулу для этих границ, мы должны помнить, как определяется обратная синусоида, $\arcsin(y)$. Чтобы определить обратную $\sin(x)$, нам нужно ограничить функцию интервалом, где она принимает каждое значение только один раз. Стандартный способ определения $\arcsin(y)$ состоит в том, чтобы ограничить $\sin(x)$ значениями $x$ в интервале $[-\pi/2,\pi/2]$ как $\sin( x)$ находится в диапазоне от $-1$ до 1 в этом интервале.

Для верхней границы $x$ (выделено фиолетовым цветом) $x$ находится в диапазоне от $3\pi/2$ до $5\pi/2$. Если мы допустим $x=\arcsin(y)+2\pi$, то $x=3\pi/2$ при $y=-1$ и $x=5\pi/2$ при $y=1$ , как требуется. Для нижней границы $x$ (выделено красным) нам нужно, чтобы $x$ было убывающей функцией $y$, начиная с $x=3\pi/2$, когда $y=-1$, и уменьшаясь до $ x=\pi/2$, когда $y=1$. Эти условия выполняются, если мы выбираем $x=\pi-\arcsin(y)$. Если вы являетесь экспертом в своих тригнометрических определениях, вы можете убедиться, что уравнения для обеих этих кривых являются просто разными обратными значениями $\sin(x)$, поскольку взятие синусоиды этих уравнений сводит их к $y=\sin( х)$. 9{\ arcsin y + 2 \ pi} f (x, y) dx \, dy. \end{собрать*}

Другие примеры

Если вам нужно больше примеров двойных интегралов, вы можете изучить некоторые вводный примеры двойных интегралов.

Шесть способов записать один и тот же повторный тройной интеграл — Криста Кинг Математика

Тройные интегралы можно вычислять в шести различных порядках

Повторный тройной интеграл можно выразить шестью способами. В то время как функция ???f(x,y,z)??? внутри интеграла всегда остается одним и тем же, порядок интегрирования изменится, и пределы интегрирования изменятся в соответствии с порядком.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Единственная сложная часть этих задач — найти пределы интегрирования для каждого из трех отдельных интегралов в каждом из шести тройных повторяющихся интегралов.

Помните, что во всех повторяющихся интегралах вы работаете изнутри наружу. Итак, если интеграл оканчивается на ???dx\dy\dz???, то это означает, что вы интегрируете изнутри наружу, слева направо, сначала по ???x???, затем по ? ??y???, а затем относительно ???z???.

???\int\int\int_Ef(x,y,z)\ dx\ dy\ dz???

Так как вы интегрируете относительно ???x??? во-первых, и вам нужно будет интегрировать по отношению к ???y??? и ???з??? позже вам нужно иметь ???y??? и ???з??? переменные, оставшиеся после интегрирования относительно ???x??? и оценить соответствующие пределы интегрирования. Это означает, что внутренний интеграл должен иметь пределы интегрирования с точки зрения ???y??? и ???з???. 9{x(y,z)}f(x,y,z)\dx\dy\dz???

Обратите внимание на приведенную ниже диаграмму, что все самые внутренние интегралы имеют пределы интегрирования по двум переменным, второй интеграл имеет пределы интегрирования по одной переменной, а самый внешний интеграл имеет постоянные пределы интегрирования.

Лучше найти все пределы интегрирования, которые вам понадобятся, прежде чем вы начнете записывать все интегралы. Самый простой способ упорядочить пределы интеграции — использовать приведенную ниже таблицу.

После того, как вы полностью заполните диаграмму, вы сможете сразу перейти к пределам интегрирования, которые вам нужны для каждого интеграла.

Использование диаграммы для нахождения пределов интегрирования тройного интеграла шестью различными способами

Пройти курс

Хотите узнать больше об исчислении 3? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂 92-9???

???y=0???

Начнем с создания диаграммы пределов интегрирования.

Хотя функция внутри интеграла всегда остается неизменной, порядок интегрирования изменится, и пределы интегрирования изменятся в соответствии с порядком.