Как через тангенс выразить котангенс: Арктангенс, арккотангенс, уравнения tg x = a, ctg x = a — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Тригонометрия: основные формулы — intmag24.ru

Опубликовано 12.01.202123.11.2022 от Admin — Оставить комментарий

Тригонометрия (определения и основные формулы) являются одной из базовых тем геометрии. Соотношения между основными тригонометрическими функциями (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) задаются тригонометрическими формулами. А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье по порядку перечислены все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Определение

Прямые тригонометрические функции	*sin*	Синус угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Прямые тригонометрические функции	*cos*	Косинус угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Производные тригонометрические функции	tg	Тангенс угла в прямоугольном треугольнике– это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Производные тригонометрические функции	*ctg*	Котангенс угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Другие тригонометрические функции	sec	Секанс угла в прямоугольном треугольнике — отношение гипотенузы к прилежащему катету
Другие тригонометрические функции	cosec	Косеканс угла в прямоугольном треугольнике — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Тригонометрия: основные тригонометрические формулы

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через другую.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций предназначены для упрощения тригонометрических выражений. Они используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители, сумму и разность синусов и косинусов.
Формулы произведения тригонометрических функций предназначены для упрощения тригонометрических выражений. Они используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители, сумму и разность синусов и косинусов.
Формулы произведения тригонометрических функций в степени
Формулы сложения и вычитания аргументов
Формулы двойного, половинного и тройного углов
Формулы понижения степени

Тригонометрия: основные значения

Угол, градусы	0°	30°	45°	60°	90°	120°	180°	270°	360°
sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1	√3/2	0	-1	0
cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0	-1/2	-1	0	1
tg	0	√3/3	1	√3	—	-√3	0	—	0
ctg	—	√3	1	√3/3	0	-√3/3	—	0	—
sec	1	2√3/3	√2	2	—	-2	-1	—	1
cosec	—	2	√2	2√3/3	1	2√3/3	—	-1	—
Угол, радианы	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2π/3	π	3π/2	2π

Рубрика: Для школьников

Метки Математика, Геометрия

Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры, как выразить синус через тангенс, универсальная тригонометрическая подстановка

Данная статья посвящена разбору такой темы, как универсальная тригонометрическая подстановка. Суть данного термина состоит в том, что мы находим значение любой тригонометрической функции (sin α, cos α, tg α, ctg α) через формулу тангенса половинного угла. Этот вариант намного проще и рациональнее, так как выполнять дальнейшие вычисления легче без корней, а с целыми числами.

Мы подробно рассмотрим этот раздел. Для начала мы расскажем вам о формулах тангенса половинного угла, которой мы будем часто пользоваться. После мы перейдем к практическому применении формул, рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Универсальная тригонометрическая подстановка для sin α, cos α, tg α, ctg α

Во введении мы рассказали, что основной темой этого раздела станет основная тригонометрическая подстановка. Для начала запишем и разберем формулы, с помощью которых можно выразить sin α, cos α, tg α, ctg α через тангенс половинного угла α2 .

sin α=2·tgα21+tg2α2, cos α=1-tg2α21+tg2α2tg α=2·tgα21-tg2α2, ctg=1-tg2α22·tgα2

Указанные формулы будут правильны для всех углов α . Для работы в задаче должен быть определен входящие тангенсы и котангенсы.

Формулы для sin α и cos α, sin α=2·tgα21+tg2α2 и cos α=1-tg2α21+tg2α2 имеют место для a≠π+2π·z , где z – любое целое число, так как при a=π+2π·z, tg α2 не определен.

Формула tg α=2·tgα21-tg2α2 справедлива для α≠π2+π·z и a≠π+2π·z , так как при a=π2+π·z не определен tg αЗнаменатель дроби обращается в нуль, а при α=π+2π·z не определен tg α2 .

Формула ctg=1-tg2α22·tgα2 , выражающая ctg через tg α2 , справедлива для a≠π·z , так как при a=π·z не определен ctg, при a=π+2π·z не определен tg α2, а при α=2π·z знаменатель дроби обращается в нуль.

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих sin α, cos α, tg α, ctg α через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса. Представим синус и косинус по формулам двойного угла как sin α=2·sin α2·cosα2 и cos α=cos2α2-sin2α2 соответственно. Теперь выражения 2·sinα2·cosα2 и cos2α2-sin2α2 запишем в виде дробей со знаменателем 1 как 2·sinα2·cosα21 и cos2α2-sin2α21 . Воспользуемся основным тождеством из тригонометрии и заменим единицы в знаменателе на сумму квадратов sin и cos, после чего получаем 2·sinα2·cosα2sin2α2+cos2α2 и cos2α2-sin2α2sin2α2+cos2α2

Для решения данного выражения необходимо числитель и знаменатель полученных дробей разделить на cos2α2 (его значение не равно нулю при условии α≠π+2π·z ). Вся формула будет выглядеть так sin α=2·sinα2·cosα2=2·sinα2·cosα2sin2α2+cos2α2=2·sinα2·cosα2cos2α2sin2α2+cos2α2cos2α2=2·sinα2cosα2sin2α2сos2α2+cos2α2сos2α2=2·tgα2tg2α2+1

и cos α=cos2α2-sin2α2=cos2α2-sin2α21=cos2α2-sin2α2sin2α2+cos2α2==cos2α2-sin2α2cos2α2sin2α2+cos2α2cos2α2=cos2α2cos2α2-sin2α2cos2α2sin2α2cos2α2+cos2α2cos2α2=1-tg2α2tg2α2+1

Мы закончили вывод формул для sin и cos, завершив все вычислительные действия.

Следующий шаг – это вывод определенных формул для нахождения tg и ctg.

Взяв за основу описанные выше примеры tg α=sin αcos α и ctg α=cos αsin α , мы сразу получаем формулы, которые выражают тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

tg α=sin αcos α=2·tg α21+tg2 α21-tg2 α21+tg2 α2=2·tg α21-tg2 α2;

ctg α= cos αsin α=1-tg2 α21+tg2 α22·tg α21+tg2 α2=1-tg2 α22·tg α2;

В этом разделе мы нашли все формулы, которые нам потребуются для выражения основных тригонометрических функций.

Примеры использования в задачах и упражнениях

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Пример 1

Необходимо привести 2+3·cos 4αsin 4α-5 к примеру, который содержит только одну функцию tg 2α.

В данном упражнении мы также воспользуемся универсальной подстановкой, которая является одним из важных правил тригонометрии. Применим к косинусу и синусу 4α те самые формулировки, которые выражают основные функции через тангенс половинного угла. Получив сложное выражение, нам остается только его упростить.

2+3·cos 4αsin 4α-5=2+tg22αtg22α+12·tg2αtg22α+1-5=2·tg22α+2+3-3·tg22αtg22α+12·tg2α-5·2·tg22α-5tg22α+1=tg22α-55·tg22α-2·tg2α+5

2+3·cos 4αsin 4α-5=tg22α-55·tg22α-2·tg2α+5.

Вспомним, что во введении мы подробно рассказали, как менять sin α, cos α, tg α, ctg α в частных случаях. Она заключается в том, чтобы преобразовать первоначальное рациональное выражение, содержащее sin, cos, tg и ctg, к выражению с одной функцией благодаря формуле. Это намного проще и понятнее. Мы выражаем все формулы через tg половинного угла. Данное преобразование обязательно пригодится при решении разнообразных уравнений и задач, интегрировании основных функций sin α, cos α, tg α, ctg α.

тригонометрия — Как выразить тригонометрическое уравнение через заданную тригонометрическую функцию?

Я хотел бы поделиться более универсальным методом, который я использую в своих научных манипуляциях с тригономическими выражениями реальных аргументов. Он не требует никаких тождеств, используемых вручную, и математически точен.

Идея состоит в том, чтобы преобразовать тригонометрическое выражение в показатели степени, которые, в свою очередь, будут играть роль мономов. Затем вы можете использовать очень мощный метод манипулирования базисом Грёбнера. Позвольте мне проиллюстрировать, как это работает в ваших простых случаях. Сначала определите некоторую вспомогательную функцию, которая переводит тригонометрическое выражение в полиномы. Упрощенная версия выглядит как

 ExpToPoly[expr_] := Block[{ex = ExpandAll[TrigToExp[expr]]},
  ЗаменитьПовторяющийся[
   ex, {Exp[Complex[0, a_Rational | a_Integer]*b_ + c_.] :>
     Мощность[b, a]*Exp[c]}]]

Затем введите выражения, которыми вы хотите управлять.

 выражение = Sin[x];
использовать = Cos[x];

Давайте посмотрим, как он преобразуется в полиномиальный

 ExpToPoly[TrigToExp[expr]]

л/(2 х) — (1 х)/2

Теперь вычислите базу Грёбнера и решите тождество, которое вы считаете полезным (в ваших простых случаях у вас нет выбора) 92]

Этот метод можно легко распространить на множество переменных, он позволяет выполнять очень сложные манипуляции с тригонометрическими выражениями (по крайней мере, с реальными аргументами). И самое главное: он основан на базисе Гребнера, поэтому всегда математически корректен.

Только что заметил, что, используя этот подход, вы можете легко преобразовать аргумент в двойной, тройной и т. д., как было задано в списке пожеланий:

 expr = Sin[x];
использовать = Cos[2 х];
gb2 = GroebnerBasis[{myexpr - ExpToPoly[TrigToExp[expr]],
   myuse - ExpToPoly[TrigToExp[use]]}, {myuse}, {x},
  MonomialOrder ->  EliminationOrder]
 92 + myuse} 
   Результат: 
  Hold @@ (myexpr /. Solve[gb2[[1]] == 0, myexpr]) /. {моё использование -> использование}
 
 Hold[-(Sqrt[1 - Cos[2 x]]/Sqrt[2]), Sqrt[1 - Cos[2 x]]/Sqrt[2]]
 Экспресс кос-тета, кот-тета, тан-тетан термины син-тета. 
 Курс NCERT Класс 12
 Класс 11
 Класс 10
 Класс 9
 Класс 8
 900 73 Класс 7 Класс 6
 IIT JEE
 Exam JEE MAINS
   JEE ADVANCED
 X BOARDS
 9007 3 XII BOARDS NEET Neet Предыдущий год (по годам)
 Физика Предыдущий год
 Химия Предыдущий год
 Биология Предыдущий год
 Нет Все образцы работ
 Образцы работ по биологии
 Образцы работ по физике
 Образцы работ по химии
 Скачать PDF-файлы 3 Класс 7
 Класс 6
 Экзаменационный уголок
 Онлайн-класс
 Викторина
 Задайте вопрос в Whatsapp
 Поиск Doubtnut
 Английский словарь
 Топперы говорят
 Блог
 Скачать
 Получить приложение
 Вопрос
 Обновлено: 26.  04.2023 9 0003 КАЛЯНИ ПУБЛИКАЦИЯ-ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ОТНОШЕНИЯМИ И СВЯЗАННЫМИ ИДЕНТИЧНОСТЬМИ-УПРАЖНЕНИЕ
 20 видео РЕКЛАМА
 Ab Padhai каро бина объявления ке
 Khareedo DN Pro и дехо сари видео бина киси объявление ки rukaavat ке!
 Видео по теме
 (загар А) / (1-кот А) + (кот А) / (1-загар А) = 1 + загар А + кот А = 1 + сек А cos ecA (1 + cos тета + sin тета) / (1 + cos тета-sin тета) = (1 + sin тета) / (cos тета)
 32226
 05:49
 доказать, что (cos тета)/(1-тан тета)+(син тета)/(1-кот тета)=cos тета+sin тета
 4482821
 0 1:23
 Докажите, что: (tanθ1−tanθ)−(cotθ1−cotθ)=cosθ+sinθcosθ−sinθ
 7956880
 02:38
 Докажи, что: cosθ1−tanθ+sinθ1− cotθ=sinθ+cosθ
 8493954
 01:18
 Если тан тета+кот тета=2, то грех тета+кос тета=
 27443939
 01:46
 सिद्ध कीजिए cosθ1−tanθ+sinθ1−cotθ=cosθ+sinθ.
 94852496
 02:19
 सिद्ध कीजिए कि: tanθ−cotθsinθcosθ=tan2θ−cot2θ
 105882637
 04:41
 sinθ और cosθ को tanθ के पदों में व्यक्त करें।
 127319465
 01:58
 सिद्ध करें कि 
 COS2θ -Sin2θsinθcosθ = Cotθ -Tanθ.
No related posts.